Теорема Безу , невзирая на кажущуюся простоту и очевидность, является одной из базовых теорем теории многочленов . В данной теореме алгебраические характеристики многочленов (они позволяют работать с многочленами как с целыми числами) связываются с их функциональными характеристиками (которые позволяют рассматривать многочлены как функции).

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена на многочлен - это .

Коэффициенты многочлена лежат в неком коммутативном кольце с единицей (к примеру, в поле вещественных либо комплексных чисел).

Теорема Безу - доказательство.

Делим с остатком многочлен P(x) на многочлен (x-a) :

Исходя из того, что deg R(x) < deg (x-a) = 1 - многочлен степени не выше нуля. Подставляем , так как , получаем .

Но наиболее важна не именно теорема, а следствие теоремы Безу:

1. Число - корень многочлена P(x) тогда и только тогда, когда P(x) делится без остатка на двучлен x-a .

Исходя из этого - множество корней многочлена P(x) тождественно множеству корней соответствующего уравнения x-a .

2. Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (когда старший коэффициент равен единице - все рациональные корни целые).

3. Предположим, что - целый корень приведенного многочлена P(x) с целыми коэффициентами. Значит, для любого целого число делится на .

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать дальше корни многочлена, степень которого уже на 1 меньше: если , то данный многочлен P(x) будет выглядеть так:

Теорема Безу примеры:

Найти остаток от деления многочлена на двучлен .

Теорема Безу примеры решения:

Исходя из теоремы Безу, искомый остаток соответствует значению многочлена в точке . Тогда найдем , для этого значение подставляем в выражение для многочлена вместо . Получаем:

Ответ : Остаток = 5.

Схема Горнера.

Схема Горнера - это алгоритм деления (деление схемой Горнера) многочленов, записываемый для частного случая, если частное равно двучлену .

Построим этот алгоритм:

Предположим, что - делимое

Частное (его степень, вероятно, будет на удиницу меньше), r - остаток (т.к. деление осуществляется на многочлен 1-ой степени, то степень остатка будет на единицу меньше, т.е. нулевая, таким образом, остаток это константа).

По определению деления с остатком P(x) = Q(x) (x-a) + r . После подстановки выражений многочленов получаем:

Раскрываем скобки и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях, после чего выражаем коэффициенты частного через коэффициенты делимого и делителя:

Удобно вычисления сводить в такую таблицу:

В ней выделены те клетки, содержимое которых участвует в вычислениях на очередном шаге.

Схема Горнера примеры:

Пусть надо поделить многочлен на двучлен x-2 .

Составляем таблицу с двумя строками. В 1 строку выписываем коэффициенты нашего многочлена. Во второй строке будем получать коэффициенты неполного частного по следующей схеме: в первую очередь переписываем старший коэффициент данного многочлена, далее, дабы получить очередной коэффициент, умножаем последний найденный на а=2 и складываем с соответствующим коэффициентом многочлена F(x) . Самый последний коэффициент будет остатком, а все предыдущие - коэффициентами неполного частного.

Ранее понятие многочлена было определено как алгебраическая сумма одночленов. Если все подобные одночлены многочлена приведены и расположены в порядке убывания степени переменной, то полученная запись называется канонической формой записи многочлена.

Определение. Выражение вида

где x – некоторая переменная, действительные числа, причем , называется многочленом степени n от переменной x . Степенью многочлена является наибольшая степень переменной в его канонической записи. Если переменная не встречается в записи многочлена, т.е. многочлен равен константе, его степень считается равной 0. Случай, когда многочлен необходимо рассматривать отдельно. В этом случае принято считать, что его степень не определена.

Примеры. многочлен второй степени,

многочлен пятой степени.

Определение. Два многочлена равны тогда и только тогда, когда у них в канонических формах при одинаковых степенях стоят одинаковые коэффициенты.

Определение . Число называется корнем многочлена , если при постановке этого числа вместо x многочлен принимает значение 0, т.е. Другими словами, будет являться корнем уравнения

Таким образом, задача отыскания всех корней многочлена и корней рационального уравнения – одна и та же задача.

Рациональные уравнения первой и второй степени решаются по известным алгоритмам. Существуют также формулы отыскания корней многочленов третьей и четвертой степени (формулы Кардано и Феррари), однако в силу их громоздкости они не входят в курс элементарной математики.

Общей идеей отыскания корней многочленов высших степеней является разложение многочлена на множители и замена уравнения равносильной ему совокупностью уравнений более низкой степени.

В предыдущих темах отмечались основные способы разложения многочленов на множители: вынесение общего множителя; группировка; формулы сокращенного умножения.

Однако способ группировки не носит алгоритмического характера, поэтому его трудно применять для многочленов больших степеней. Рассмотрим некоторые дополнительные теоремы и методы, позволяющие раскладывать на множители многочлены высших степеней.

Теорема о делении с остатком. Пусть даны многочлены , причем степень отлична от 0, и степень больше степени . Тогда существуют многочлены , такие, что выполняется равенство

Причем, степень меньше степени Многочлен называется делимым , многочлен делителем, многочлен неполным частным , а многочлен остатком .

Если остаток от деления равен 0, то говорят, что делится на нацело , при этом равенство принимает вид:

Алгоритм деления многочлена на многочлен аналогичен алгоритму деления числа на число столбиком или уголком. Опишем шаги алгоритма.

Записать делимое в строчку, включая все степени переменной (те, которые отсутствуют, записать с коэффициентом 0).

Записать в «уголке» делимое, включая все степени переменной.

Чтобы найти первое слагаемое (одночлен) в неполном частном, нужно старший одночлен делимого разделить на старший одночлен делителя.

Полученное первое слагаемое частного умножить на весь делитель и результат записать под делимым, причем одинаковые степени переменной записать друг под другом.

Из делимого вычесть полученное произведение.

К полученному остатку применить алгоритм, начиная с пункта 1).

Алгоритм завершен, когда полученная разность будет иметь степень меньше степени делителя. Это – остаток.

Пример . Разделить многочлен на .

Записываем делимое и делитель

Повторяем процедуру

Степень меньше степени делителя. Значит, это – остаток. Результат деления запишется так:

Схема Горнера. Если делителем является многочлен первой степени, то процедуру деления можно упростить. Рассмотрим алгоритм деления многочлена на двучлен .

Пример . Разделить по схеме Горнера многочлен на . В этом случае а =2. Выпишем по шагам результаты выполнения алгоритма.

Шаг первый. Шаг второй Шаг третий Шаг четвертый

Таким образом, результат деления запишем так

Замечание. Если необходимо выполнить деление на двучлен

То его преобразовывают к виду тогда . Отсюда видно, что, разделив по схеме Горнера на мы найдем Тогда искомое частное получится делением найденного на а . Остаток остается таким же.

Теорема Безу . Остаток от деления многочлена на равен значению многочлена в точке x = а , т.е. . Многочлен делится на без остатка тогда и только тогда, когда x = а является корнем многочлена .

Таким образом, найдя один корень многочлена а , можно его разложить на множители , выделив множитель , имеющий степень на единицу меньше степени . Найти этот множитель можно либо по схеме Горнера, либо делением «уголком».

Вопрос о нахождении корня решается либо подбором, либо с использованием теоремы о рациональных корнях многочлена.

Теорема. Пусть многочлен имеет целые коэффициенты. Если несократимая дробь является корнем многочлена, то ее числитель p является делителем свободного члена , а знаменатель q является делителем старшего коэффициента .

Эта теорема лежит в основании алгоритма поиска рациональных корней многочлена (если они есть).

Разложение алгебраической дроби в сумму простейших дробей

Определение Дробь, в числителе и в знаменателе которой стоят многочлены, называется алгебраической дробью .

Рассмотрим алгебраические дроби от одной переменной. Их в общем виде можно записать так: , где в числителе стоит многочлен степени n , в знаменателе – многочлен степени k . Если , то дробь называется правильной .

К простейшим алгебраическим дробям относятся правильные дроби двух видов:

Теорема. Любую алгебраическую дробь можно представить в виде суммы простейших алгебраических дробей.

Алгоритм разложения алгебраической дроби в сумму простейших дробей.

Разложить знаменатель на множители.

Определить количество правильных дробей и вид их знаменателей.

Записать равенство, в левой части которого – исходная дробь, в правой – сумма простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

Привести дроби в правой части к общему знаменателю.

Приравнять многочлены, стоящие в числителях дробей. Пользуясь определением равенства многочленов, составить систему линейных уравнений и решить ее, найдя неопределенные коэффициенты.

Этьен Безу –

французский математик, член Парижской Академии Наук(с 1758 года), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года.

С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.

Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную К. Маклореном) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный“Курс математики “, написанный им в 1764-69 годах. Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе. Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике. Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры.

Теорема Безу.

Остаток от деления полинома P n ( x )

на двучлен ( x - a ) равен значению

этого полинома при x = a .

P n (x ) – данный многочлен степени n ,

двучлен (x - a ) - его делитель,

Q n -1 (x ) – частное от деления P n (x ) на x - a (многочлен степени n-1) ,

R – остаток от деления (R не содержит переменной x как делитель первой степени относительно x ).

Доказательство:

Согласно правилу деления многочленов с остатком можно записать:

P n (x) = (x-a)Q n-1 (x) + R .

Отсюда при x = a :

P n (a) = (a-a)Q n-1 (a) + R =0*Q n-1 (a)+R=

=0+ R = R .

Значит, R = P n (a ) , т.е. остаток от деления полинома на (x - a ) равен значению этого

полинома при x = a , что и требовалось доказать.

Следствия из теоремы .

Следствие 1 :

Остаток от деления полинома P n ( x )

на двучлен ax + b равен значению

этого полинома при x = - b / a ,

т . е . R=P n (-b/a) .

Доказательство:

Согласно правилу деления многочленов:

P n (x)= (ax + b) * Q n-1 (x) + R .

Pn (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R. Значит, R = Pn (-b/a) , что и требовалось доказать.

Следствие 2 :

Если число a является корнем

многочлена P ( x ) , то этот

многочлен делится на ( x - a ) без

остатка.

Доказательство:

По теореме Безу остаток от деления многочлена P (x ) на x - a равен P (a ) , а по условию a является корнем P (x ) , а это значит, что P (a ) = 0 , что и требовалось доказать .

Из данного следствия теоремы Безу видно, что задача решения уравнения P (x ) = 0 равносильна задаче выделения делителей многочлена P , имеющих первую степень (линейных делителей) .

Следствие 3 :

Если многочлен P ( x ) имеет

попарно различные корни

a 1 , a 2 , … , a n , то он делится на

произведение ( x - a 1 ) … ( x - a n )

без остатка .

Доказательство:

Проведём доказательство с помощью математической индукции по числу корней. При n =1 утверждение доказано в следствии 2 . Пусть оно уже доказано для случая, когда число корней равно k , это значит, что P(x) делится без остатка на (x - a 1 )(x - a 2 ) … (x - a k ) , где

a 1 , a 2 , … , a k - егокорни.

Пусть P (x ) имеет k +1 попарно различных корней.По предположению индукции a 1 , a 2 , a k , … , a k +1 являются корнями многочлена, а, значит, многочлен делится на произедение (x - a 1 ) … (x - a k ) , откуда выходит, что

P(x) = (x-a 1 ) … (x-a k )Q(x).

При этом a k +1 – корень многочлена P (x ) , т. е. P (a k +1 ) = 0 .

Значит, подставляя вместо x a k +1 , получаем верное равенство:

P(a k+1 ) = (a k+1 -a 1 ) … (a k+1 -a k )Q(a k+1 ) =

Но a k +1 отлично от чисел a 1 , … , a k , и потому ни одно из чисел a k +1 - a 1 , … , a k +1 - a k не равно 0 . Следовательно, нулю равно Q (a k +1 ) , т. е. a k +1 – корень многочлена Q (x ) . А из следствия 2 выходит, что Q (x ) делится на x - a k + 1 без остатка.

Q (x ) = (x - a k +1 ) Q 1 (x ) , и потому

P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x) =

=(x - a 1 ) … (x - a k )(x - a k +1 ) Q 1 (x ) .

Это и означает, что P (x ) делится на (x - a 1 ) … (x - a k +1 ) без остатка.

Итак, доказано, что теорема верна при k =1 , а из её справедливости при n = k вытекает, что она верна и при n = k +1 . Таким образом, теорема верна при любом числе корней, что и требовалось доказать .

Следствие 4 :

Многочлен степени n имеет не более

n различных корней.

Доказательство:

Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен P n (x ) степени n имел бы более n корней - n + k (a 1 , a 2 , … , a n + k - его корни) , тогда бы по ранее доказанному следствию 3 он

бы делился на произведение (x - a 1 ) … (x - a n + k ) , имеющее степень n + k , что невозможно.

Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно и многочлен степени n не может иметь более, чем n корней, что и требовалось доказать.

Следствие 5 :

Для любого многочлена P ( x )

и числа a разность

( P ( x )- P ( a )) делится без

остатка на двучлен ( x - a ) .

Доказательство:

Пусть P (x ) – данный многочлен степени n , a - любое число.

Многочлен P n (x ) можно представить в виде: P n (x )=(x - a ) Q n -1 (x )+ R ,

где Q n -1 (x ) – многочлен, частное при делении P n (x ) на (x - a ) ,

R – остаток от деления P n (x ) на (x - a ) .

Причём по теореме Безу:

R = P n (a) , т.е.

P n (x)=(x-a)Q n-1 (x)+P n (a) .

Pn(x) - Pn(a) = (x-a)Qn-1(x) ,

а это и означает делимость без остатка (P n (x ) – P n (a ))

на (x - a ) , что и требовалось доказать .

Следствие 6 :

Число a является корнем

многочлена P ( x ) степени

не ниже первой тогда и

только тогда, когда

P ( x ) делится на ( x - a )

без остатка .

Доказательство:

Чтобы доказать данную теорему требуется рассмотреть необходимость и достаточность сформулированного условия.

1. Необходимость .

Пусть a – корень многочлена P (x ) , тогда по следствию 2 P (x ) делится на (x - a ) без остатка.

Таким образом делимость P (x ) на (x - a ) является необходимым условием для того, чтобы a являлось корнем P (x ) , т.к. является следствием из этого.

2. Достаточность .

Пусть многочлен P (x ) делится без остатка на (x - a ) ,

тогда R = 0 , где R – остаток от деления P (x ) на (x - a ) , но по теореме Безу R = P (a ) , откуда выходит, что P (a ) = 0 , а это означает, что a является корнем P (x ) .

Таким образом делимость P (x ) на (x - a ) является и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем P (x ) .

Делимость P (x ) на (x - a ) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем P (x ) , что и требовалось доказать.

Многочлен, не имеющийй действи-

тельных корней, в разложении

на множители линейных множителей

не содержит.

Доказательство:

Воспользуемся методом от противного: предполо-жим, что не имеющий корней многочлен P (x ) при разложении на множители содержит линейный множитель (x – a ) :

P(x) = (x – a)Q(x) ,

тогда бы он делился на (x – a ) , но по следствию 6 a являлось бы корнем P (x ) , а по условию он корней не содержит. Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно и многочлен,

научная работа

Применение теоремы

Остановлюсь на рассмотрении некоторых примеров применения теоремы Безу к решению практических задач.

Следует отметить, что при решении уравнений с помощью теоремы Безу необходимо:

· найти все целые делители свободного члена;

· из этих делителей найти хотя бы один корень уравнения (a);

· левую часть уравнения разделить на (x-a);

· записать в левой части уравнения произведение делителя и частного;

· решить полученное уравнение.

Найти остаток от деления многочлена x 3 -3x 2 +6x-5

на двучлен x-2.

По теореме Безу:

R=f(2)=2 3 -3*2 2 +6*2-5=3.

Ответ: R=3.

При каком значении a многочлен x 4 +ax 3 +3x 2 -4x-4 делится без остатка на двучлен x-2?

По теореме Безу: R=f(2)=16+8a+12-8- 4=8a+16.

Но по условию R=0, значит 8a+16=0, отсюда a=-2.

Ответ: a=-2.

При каких значениях a и b многочлен ax 3 +bx 2 -73x+102 делится на трёхчлен x 2 -5x+6 без остатка?

Разложим делитель на множители: x 2 -5x+6=(x-2)(x-3).

Поскольку двучлены x-2 и x-3 взаимно просты, то данный многочлен делится на x-2 и на x-3, а это значит, что по теореме Безу:

R 1 =f(2)=8a+4b-146+102=8a+4b-44=0

R 2 =f(3)=27a+9b-219+102=27a+9b-117=0

Решу систему уравнений:

8a+4b-44=0 2a+b=11

27a+9b-117=0 3a+b=13

Отсюда получаем: a=2, b=7.

Ответ: a=2, b=7.

При каких значениях a и b многочлен x 4 +ax 3 -9x 2 +11x+b

делится без остатка на трёхчлен x 2 -2x+1?

Представим делитель так: x 2 - 2x + 1 = (x - 1) 2

Данный многочлен делится на x-1 без остатка, если по теореме Безу:

R 1 =f(1)=1+a-9+11+b=a+b+3=0.

Найдём частное от деления этого многочлена на x-1:

X 4 +ax 3 -9x 2 +11x-a-3 x-1

x 4 -x 3 x 3 +(a+1)x 2 +(a-8)x+(a+3)

(a+1)x 3 -(a + 1)x 2

(a-8)x 2 -(a-8)x

Частное x 3 +(a+1)x 2 +(a-8)x+(a+3) делится на (x-1) без остатка, откуда

R 2 =f(1)=1+(a+1)*1+(a-8)*1+a+3=3a-3=0.

Решу систему уравнений:

a + b + 3 = 0 a + b =-3

3a - 3 = 0 a = 1

Из системы: a=1, b=-4

Ответ: a=1, b=-4.

Разложить на множители многочлен f(x)=x 4 +4x 2 -5.

Среди делителей свободного члена число 1 является корнем данного многочлена f(x), а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу f(x) делится на (x-1) без остатка:

f(x)/(x-1)=x 3 +x 2 +5x+5, значит f(x)=(x-1)(x 3 +x 2 +5x+5).

Среди делителей свободного члена многочлена x 3 +x 2 +5x+5 x=-1 является его корнем, а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу x 3 +x 2 +5x+5 делится на (x+1) без остатка:

X 4 +4x 2 -5 x-1 _x 3 +x 2 +5x+5 x+1

x 4 -x 3 x 3 +x 2 +5x+5 x 3 +x 2 x 2 +5

X 3 +4x 2 _5x+5

(x 3 +x 2 +5x+5)/(x+1)=x 2 +5, значит x 3 +x 2 +5x+5=(x+1)(x 2 +5).

Отсюда f(x)=(x-1)(x+1)(x 2 +5).

По следствию 7 (x 2 +5) на множители не раскладывается, т.к. действительных корней не имеет, поэтому f(x) далее на множители не раскладывается.

Ответ: x 4 +4x 2 -5=(x-1)(x+1)(x 2 +5).

Разложить на множители многочлен f(x)=x 4 +324.

f(x) корней не имеет, т.к. x 4 не может быть равен -324, значит, по следствию 7 f(x) на множители не раскладывается.

Ответ: многочлен на множители не раскладывается.

Составить кубический многочлен, имеющий корень 4 кратности 2 и корень -2.

По следствию 3, если многочлен f(x) имеет корень 4 кратности 2 и корень -2, то он делится без остатка на (x-4) 2 (x+2), значит:

f(x)/(x-4) 2 (x+2)=q(x), т.е.

f(x)=(x-4) 2 (x+2)q(x),

f(x)=(x 2 -8x+16)(x+2)q(x),

f(x)=(x 3 -8x 2 +16x+2x 2 -16x+32)q(x),

f(x)=(x 3 -6x 2 +32)q(x).

(x 3 -6x 2 +32) - кубический многочлен, но по условию f(x) - также кубический многочлен, следовательно, Q(x) - некоторое действительное число. Пусть Q(x)=1, тогда f(x)=x 3 -6x 2 +32.

Ответ: x 3 -6x 2 +32.

Решить уравнение x 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30=0.

301; 2, 3, 5, 6, 10.

(x-2)(x 3 +5x 2 -3x-15)=0

(x-2)(x+5)(x 2 -3)=0

X 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30 x-2

x 4 -2x 3 x 3 +5x 2 -3x-15

Ответ: x 1 =2, x 2 =-5, x 3,4 =.

Решить уравнение x 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12=0.

Посмотрев на уравнение, сразу можно сказать, что по следствию 4 оно имеет не более 6 корней уравнения.

12 1; 2; 3; 4; 6; 12.

X 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12 x-1

x 6 -x 5 x 5 +2x 4 -5x 3 -10x 2 +6x+12

10x 3 +16x 2 _x 5 +2x 4 -5x 3 -10x 2 +6x+12 x+2

10x 3 -10x 2 x 5 +2x 4 x 4 -5x 2 +6

6x 2 +6x _ -5x 3 -10x 2

6x 2 -6x -5x 3 -10x 2

x 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12=(x-1)(x 5 +2x 4 -5x 3 -10x 2 +6x+12)=0

x 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12=(x-1)(x+2)(x 4 -5x 2 +6)=0

x 4 -5x 2 +6=0 - биквадратное уравнение, x 1,2 =, x 3,4 =.

Ответ: x 1,2 =, x 3,4 =, x 5 =1, x 6 =-2.

Решить уравнение x 3 -5x 2 +8x-6=0.

X 3 -5x 2 +8x-6 x-3

x 3 -3x 2 x 2 -2x+2

x 3 -5x 2 +8x-6=(x 2 -2x+2)(x-3)=0

x 2 -2x+2=0 - квадратное уравнение, корней не имеет, т.к. D<0.

Ответ: x=3.

Решить уравнение 6x 3 +11x 2 -3x-2=0.

6x 3 +11x 2 -3x-2 x+2

6x 3 +12x 2 6x 2 -x-1

6x 3 +11x 2 -3x-2=(6x 2 -x-1)(x+2)=0

6x 2 -x-1=0 - квадратное уравнение, x 1 =Ѕ, x 2 =-?.

Ответ: x 1 =Ѕ, x 2 =-?, x 3 =-2.

Биография и труды Колмогорова А.Н.

Колмогоровы теоремы: 1. Теорема о нормированных пространствах (1934); 2. Теорема о применимости больших чисел закона (1928); 3. Теорема о применимости больших чисел усиленного закона (1930, 1933). 2.8...

Бипримарные группы

Допустим, что теорема неверна и группа --- контрпример минимального порядка. Пусть --- циклическая силовская -подгруппа в, а, где --- силовская 2-подгруппа в, --- ее инвариантное дополнение в. В силу леммы условие теоремы выполняется для...

Изучение теоремы Безу для решения уравнений n-й степени при n>2

Клеточные пространства

Следствие 1. Пусть X - клеточное пространство и А - его клеточное подпространство. Если А стягиваемо по себе в точку, то X/А ~ X. Доказательство. Обозначим через проектирование X Х/А. Так как А стягиваемо, то существует гомотопия ft: АА, такая...

Максимальные факторизации симплектических групп

Теорема Для любого четного числа и любого поля группа проста за исключением группы, которая простой не является. Доказательство. 1) Исключительное поведение группы следует из. Будем предполагать поэтому, что в общем случае и при...

Научные достижения Пифагора

Задача №1 Решение: Д АВС - прямоугольный с гипотенузой АВ, по теореме Пифагора: АВ2 = АС2 + ВС2,АВ2 = 82 + 62,АВ2 = 64 + 36,АВ2 = 100,АВ = 10. Ответ: АВ = 10 Задача №2 Решение: Д DCE - прямоугольный с гипотенузой DE, по теореме Пифагора: DE2 = DС2 + CE2,DC2 = DE2 - CE2,DC2 = 52 - 32...

Применение производной при решении некоторых задач

Пример 1. Доказать теорему: если уравнение (1) имеет положительный корень, то уравнение (2) также имеет положительный корень и притом меньший...

Системы, эквивалентные системам с известным типом точек покоя

Получаем где - любая нечетная непрерывная функция. Наряду с дифференциальной системой (1) рассмотрим возмущенную систему (2), где - любая непрерывная нечетная функция. Известно по ...

Спектр графа

Ряд фундаментальных свойств спектров графов (или, в более общем случае, мультиорграфов) можно установить на основе некоторых теорем теории матриц. В этом параграфе представлены лишь наиболее важные матричные теоремы...

Теорема Силова

Пусть G - группа и P - другая группа. Пусть каждому элементу aG сопоставлен некоторый элемент из S, то есть, дано отображение G и S. Отображение ц называется гомоморфным или гомоморфизмом G в S...

Теория эллиптических интегралов и эллиптических функций

Теорема 1. Производная эллиптической функции есть также функция эллиптическая. В самом деле, дифференцируя соотношение (1), имеющее место при любом z, получаем Таким образом, производная f(z) имеет те же периоды 2 и 2, что и первоначальная функция...

Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании

Сформулируем теорему, удобную при решении неравенств, относительно произведений или частных разности модулей: Теорема Знак разности модулей двух выражений совпадает со знаком разности квадратов этих выражений...

Функциональные представления ограниченных дистрибутивных решеток

Лемма1. Конгруэнции образуют открытое семейство. Доказательство. Необходимо показать, что для любых элементов множество открыто в. Пусть, тогда и для некоторого. Если - произвольный простой идеал из, то, и поэтому...

Цилиндрические функции

С помощью теоремы Коши об интегралах от функций комплексного переменного можно получить из интеграла Пуассона еще одно интегральное представление, весьма важное для теории функций Бесселя...

Экстремальная задача на индексационных классах

В случае утверждение теоремы очевидно. Пусть. Лемма 3. Для любого ФР и любой точки существует ФР такая, что v(t)(t) (v(t)(t)) в некоторой окрестности точки. Доказательство. Если не существует такого i, 0in+2, что n-1 четно и Yi(0)...

Доказательство теоремы Безу

Пусть f(x) обозначает собой произвольный многочлен n-й степени относительно переменной x и пусть при его делении на двучлен (x-a) получилось в частном q(x), а в остатке R. Очевидно, что q(x) будет некоторый многочлен (n-1)-й степени относительно x, а остаток R будет величиной постоянной, т.е. не зависящей от x.

Если бы остаток R был многочленом хотя бы первой степени относительно x, то это означало бы, что деление не выполнено. Итак, R от x не зависит.

По определению деления (делимое равно произведению делителя на частное плюс остаток) получаю тождество

f(x) =(x-a)q(x)+R.

Это равенство справедливо при всяком значении x, значит, оно справедливо и при x=a.

Подставляя в левую и правую части равенство вместо переменной x число a, получаю:

f(a)=(a-a)q(a)+R. (1)

Здесь символ f(a) обозначает собой уже не f(x), т.е. не многочлен относительно x, а значение этого многочлена при x=a. q(a) обозначает значение q(x) при x=a.

Остаток R остался таким, каким он был раньше, так как R от x не зависит.

Произведение (a-a)q(a) равно нулю, так как множитель (a-a) равен нулю, а множитель q(a) есть определенное число. (Многочлен q(x) ни при каком определенном значении x не теряет смысла.)

Поэтому из равенства (1) получим:

что и требовалось доказать.

Следствия из теоремы

Следствие 1.

Остаток от деления полинома f(x) на двучлен (ax+b) равен значению

этого полинома при x=-b/a, т.е. R=f(-b/a).

Доказательство:

Согласно правилу деления многочленов:

f(x)= (ax+b)*q(x)+R.

f(-b/a)=(a(-b/a)+b)q(-b/a)+R=R. Значит, R=f(-b/a),

что и требовалось доказать.

Следствие 2:

Если число a является корнем многочлена f(x), то этот многочлен делится на (x-a) без остатка.

Доказательство:

По теореме Безу остаток от деления многочлена f(x) на (x-a) равен f(a), а по условию a является корнем f(x), а это значит, что f(a)=0, что и требовалось доказать.

Из данного следствия теоремы Безу видно, что задача решения уравнения f(x)=0 равносильна задаче выделения делителей многочлена f, имеющих первую степень (линейных делителей).

Следствие 3:

Если многочлен f(x) имеет попарно различные корни a 1 , a 2 ,… ,a n ,то он делится на произведение (x-a 1)…(x-a n) без остатка.

Доказательство:

Проведём доказательство с помощью математической индукции по числу корней. При n=1 утверждение доказано в следствии 2. Пусть оно уже доказано для случая, когда число корней равно k, это значит, что f(x) делится без остатка на

(x-a 1)(x-a 2)…(x-a k), где a 1 , a 2 ,…, a k - его корни.

Пусть f(x) имеет (k+1) попарно различных корней. По предположению индукции a 1 , a 2 , a k ,…, (a k+1) являются корнями многочлена, а, значит, многочлен делится на произведение (x-a 1)…(x-a k), откуда выходит, что

f(x)=(x-a 1)…(x-a k)q(x).

При этом (a k+1) - корень многочлена f(x), т.е.

Значит, подставляя вместо x (a k+1), получаем верное равенство:

f(a k+1)=(a k+1 -a 1)…(a k+1 -a k)q(a k+1)=0.

Но (a k+1) отлично от чисел a 1 ,…, a k , и потому ни одно из чисел (a k+1 -a 1),…, (a k+1 -a k) не равно 0. Следовательно, нулю равно q(a k+1), т.е. (a k+1) - корень многочлена q(x). А из следствия 2 выходит, что q(x) делится на (x-a k+1) без остатка.

q(x)=(x-a k+1)q 1 (x), и потому

f(x)=(x-a 1)…(x-a k)q(x)=(x-a 1)…(x-a k)(x-a k+1)q 1 (x).

Это и означает, что f(x) делится на (x-a 1)…(x-a k+1) без остатка.

Итак, доказано, что теорема верна при k=1, а из её справедливости при n=k вытекает, что она верна и при n=k+1. Таким образом, теорема верна при любом числе корней, что и требовалось доказать.

Следствие 4:

Многочлен степени n имеет не более n различных корней.

Доказательство:

Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен f(x) степени n имел бы более n корней - n+k (a 1 , a 2 ,..., a n+k - его корни), тогда бы по ранее доказанному следствию 3 он бы делился на произведение (x-a 1)...(x-a n+k), имеющее степень (n+k), что невозможно.

Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно, и многочлен степени n не может иметь более, чем n корней, что и требовалось доказать.

Следствие 5:

Для любого многочлена f(x) и числа a разность (f(x)-f(a)) делится без остатка на двучлен (x-a).

Доказательство:

Пусть f(x) - данный многочлен степени n, a - любое число.

Многочлен f(x) можно представить в виде: f(x)=(x-a)q(x)+R, где q(x) - многочлен, частное при делении f(x) на (x-a), R - остаток от деления f(x) на (x-a).

Причём по теореме Безу:

f(x)=(x-a)q(x)+f(a).

f(x)-f(a)=(x-a)q(x),

а это и означает делимость без остатка (f(x)-f(a))

на (x-a), что и требовалось доказать.

Следствие 6:

Число a является корнем многочлена f(x) степени не ниже первой только тогда, когда f(x) делится на (x-a) без остатка.

Доказательство:

Чтобы доказать данную теорему требуется рассмотреть необходимость и достаточность сформулированного условия.

1. Необходимость.

Пусть a - корень многочлена f(x), тогда по следствию 2 f(x) делится на (x-a) без остатка.

Таким образом делимость f(x) на (x-a) является необходимым условием для того, чтобы a являлось корнем f(x), т.к. является следствием из этого.

2. Достаточность.

Пусть многочлен f(x) делится без остатка на (x-a),

тогда R=0, где R - остаток от деления f(x) на (x-a), но по теореме Безу R=f(a), откуда выходит, что f(a)=0, а это означает, что a является корнем f(x).

Таким образом, делимость f(x) на (x-a) является и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем f(x).

Делимость f(x) на (x-a) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем f(x), что и требовалось доказать.

Следствие 7:

Многочлен, не имеющий действительных корней, в разложении на множители линейных множителей не содержит.

Доказательство:

Воспользуемся методом от противного: предположим, что не имеющий корней многочлен f(x) при разложении на множители содержит линейный множитель

тогда бы он делился на (x-a), но по следствию 6 a являлось бы корнем f(x), а по условию он действительных корней не содержит. Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно и многочлен, не имеющий действительных корней, в разложении на множители линейных множителей не содержит, что и требовалось доказать.