Серединный перпендикуляр рисунок. Серединный перпендикуляр

На предыдущем уроке мы рассмотрели свойства биссектрисы угла как заключенного в треугольник, так и свободного. Треугольник включает в себя три угла и для каждого из них рассмотренные свойства биссектрисы сохраняются.

Теорема:

Биссектрисы АА 1 , ВВ 1 , СС 1 треугольника пересекаются в одной точке О (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к теореме

Доказательство:

Рассмотрим сначала две биссектрисы ВВ 1 и СС 1 . Они пересекаются, точка пересечения О существует. Чтобы доказать это, предположим противное: пусть данные биссектрисы не пересекаются, в таком случае они параллельны. Тогда прямая ВС является секущей и сумма углов , это противоречит тому, что во всем треугольнике сумма углов .

Итак, точка О пересечения двух биссектрис существует. Рассмотрим ее свойства:

Точка О лежит на биссектрисе угла , значит, она равноудалена от его сторон ВА и ВС. Если ОК - перпендикуляр к ВС, OL - перпендикуляр к ВА, то длины этих перпендикуляров равны - . Также точка О лежит на биссектрисе угла и равноудалена от его сторон CВ и СА, перпендикуляры ОМ и ОК равны.

Получили следующие равенства:

, то есть все три перпендикуляра, опущенные из точки О на стороны треугольника, равны между собой.

Нас интересует равенство перпендикуляров OL и ОМ. Это равенство говорит о том, что точка О равноудалена от сторон угла , отсюда следует, что она лежит на его биссектрисе АА 1 .

Таким образом, мы доказали, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Кроме того, треугольник состоит из трех отрезков, значит, нам следует рассмотреть свойства отдельного отрезка.

Задан отрезок АВ. У любого отрезка есть середина, и через нее можно провести перпендикуляр - обозначим его за р. Таким образом, р - серединный перпендикуляр.

Рис. 2. Иллюстрация к теореме

Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка.

Доказать, что (рис. 2).

Доказательство:

Рассмотрим треугольники и . Они прямоугольные и равные, т. к. имеют общий катет ОМ, а катеты АО и ОВ равны по условию, таким образом, имеем два прямоугольных треугольника, равных по двум катетам. Отсюда следует, что гипотенузы треугольников тоже равны, то есть, , что и требовалось доказать.

Справедлива обратная теорема.

Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Задан отрезок АВ, серединный перпендикуляр к нему р, точка М, равноудаленная от концов отрезка. Доказать, что точка М лежит на серединном перпендикуляре к отрезку (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к теореме

Доказательство:

Рассмотрим треугольник . Он равнобедренный, так как по условию. Рассмотрим медиану треугольника: точка О - середина основания АВ, ОМ - медиана. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к его основанию, является одновременно высотой и биссектрисой. Отсюда следует, что . Но прямая р также перпендикулярна АВ. Мы знаем, что в точку О можно провести единственный перпендикуляр к отрезку АВ, значит прямые ОМ и р совпадают, отсюда следует, что точка М принадлежит прямой р, что и требовалось доказать.

Прямую и обратную теоремы можно обобщить.

Точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку тогда и только тогда, когда она равноудалена от концов этого отрезка.

Итак, повторим, что в треугольнике три отрезка и к каждому из них применимо свойство серединного перпендикуляра.

Теорема:

Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.

Задан треугольник . Перпендикуляры к его сторонам: Р 1 к стороне ВС, Р 2 к стороне АС, Р 3 к стороне АВ.

Доказать, что перпендикуляры Р 1 , Р 2 и Р 3 пересекаются в точке О (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к теореме

Доказательство:

Рассмотрим два серединных перпендикуляра Р 2 и Р 3 , они пересекаются, точка пересечения О существует. Докажем этот факт от противного - пусть перпендикуляры Р 2 и Р 3 параллельны. Тогда угол развернутый, что противоречит тому факту, что сумма трех углов треугольника составляет . Итак, существует точка О пересечения двух из трех серединных перпендикуляров. Свойства точки О: она лежит на серединном перпендикуляре к стороне АВ, значит, она равноудалена от концов отрезка АВ: . Также она лежит на серединном перпендикуляре к стороне АС, значит, . Получили следующие равенства.

Словарь терминов планиметрии - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С … Википедия

Коллинеарные точки

Конкурентные прямые - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

Окружность Аполония - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

Преобразование плоскости - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

Чевиана - Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

Глоссарий планиметрии - Эта страница глоссарий. См. также основную статью: Планиметрия Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице) … Википедия

Задача Аполлония - Задача Аполлония построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. По легенде, задача сформулирована Аполлонием Пергским примерно в 220 г. до н. э. в книге «Касания», которая была потеряна … Википедия

Задача Аполония - Задача Аполлония построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. По легенде, задача сформулирована Аполлонием Пергским примерно в 220 г. до н. э. в книге «Касания», которая была потеряна, но была… … Википедия

Диаграмма Вороного - случайного множества точек на плоскости Диаграмма Вороного конечного множества точек S на плоскости представляет такое разбиение плоскости, при котором ка … Википедия

Серединный перпендикуляр (срединный перпендикуляр или медиатриса ) - прямая , перпендикулярная к данному отрезку и проходящая через его середину .

Свойства

$p\_a=\backslash tfrac\{2aS\}\{a^2+b^2-c^2\},\; p\_b=\backslash tfrac\{2bS\}\{a^2+b^2-c^2\},\; p\_c=\backslash tfrac\{2cS\}\{a^2-b^2+c^2\},$ где нижний индекс обозначает сторону, к которой проведён перпендикуляр, $S$ - площадь треугольника, а также предполагается, что стороны связаны неравенствами $a\; \backslash geqslant\; b\; \backslash geqslant\; c.$ $p\_a\; \backslash geq\; p\_b$ и $p\_c\; \backslash geq\; p\_b.$ Иными словами у треугольника наименьший серединный перпендикуляр относится к среднему отрезку.

Напишите отзыв о статье "Серединный перпендикуляр"

Примечания

Отрывок, характеризующий Серединный перпендикуляр

Кутузов, остановившись жевать, удивленно, как будто не понимая того, что ему говорили, уставился на Вольцогена. Вольцоген, заметив волнение des alten Herrn, [старого господина (нем.) ] с улыбкой сказал:
– Я не считал себя вправе скрыть от вашей светлости того, что я видел… Войска в полном расстройстве…
– Вы видели? Вы видели?.. – нахмурившись, закричал Кутузов, быстро вставая и наступая на Вольцогена. – Как вы… как вы смеете!.. – делая угрожающие жесты трясущимися руками и захлебываясь, закричал он. – Как смоете вы, милостивый государь, говорить это мне. Вы ничего не знаете. Передайте от меня генералу Барклаю, что его сведения неверны и что настоящий ход сражения известен мне, главнокомандующему, лучше, чем ему.
Вольцоген хотел возразить что то, но Кутузов перебил его.
– Неприятель отбит на левом и поражен на правом фланге. Ежели вы плохо видели, милостивый государь, то не позволяйте себе говорить того, чего вы не знаете. Извольте ехать к генералу Барклаю и передать ему назавтра мое непременное намерение атаковать неприятеля, – строго сказал Кутузов. Все молчали, и слышно было одно тяжелое дыхание запыхавшегося старого генерала. – Отбиты везде, за что я благодарю бога и наше храброе войско. Неприятель побежден, и завтра погоним его из священной земли русской, – сказал Кутузов, крестясь; и вдруг всхлипнул от наступивших слез. Вольцоген, пожав плечами и скривив губы, молча отошел к стороне, удивляясь uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [на это самодурство старого господина. (нем.) ]
– Да, вот он, мой герой, – сказал Кутузов к полному красивому черноволосому генералу, который в это время входил на курган. Это был Раевский, проведший весь день на главном пункте Бородинского поля.
Раевский доносил, что войска твердо стоят на своих местах и что французы не смеют атаковать более. Выслушав его, Кутузов по французски сказал:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous retirer? [Вы, стало быть, не думаете, как другие, что мы должны отступить?]

На предыдущем уроке мы рассмотрели свойства биссектрисы угла как заключенного в треугольник, так и свободного. Треугольник включает в себя три угла и для каждого из них рассмотренные свойства биссектрисы сохраняются.

Теорема:

Биссектрисы АА 1 , ВВ 1 , СС 1 треугольника пересекаются в одной точке О (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к теореме

Доказательство:

Рассмотрим сначала две биссектрисы ВВ 1 и СС 1 . Они пересекаются, точка пересечения О существует. Чтобы доказать это, предположим противное: пусть данные биссектрисы не пересекаются, в таком случае они параллельны. Тогда прямая ВС является секущей и сумма углов , это противоречит тому, что во всем треугольнике сумма углов .

Итак, точка О пересечения двух биссектрис существует. Рассмотрим ее свойства:

Точка О лежит на биссектрисе угла , значит, она равноудалена от его сторон ВА и ВС. Если ОК - перпендикуляр к ВС, OL - перпендикуляр к ВА, то длины этих перпендикуляров равны - . Также точка О лежит на биссектрисе угла и равноудалена от его сторон CВ и СА, перпендикуляры ОМ и ОК равны.

Получили следующие равенства:

, то есть все три перпендикуляра, опущенные из точки О на стороны треугольника, равны между собой.

Нас интересует равенство перпендикуляров OL и ОМ. Это равенство говорит о том, что точка О равноудалена от сторон угла , отсюда следует, что она лежит на его биссектрисе АА 1 .

Таким образом, мы доказали, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Кроме того, треугольник состоит из трех отрезков, значит, нам следует рассмотреть свойства отдельного отрезка.

Задан отрезок АВ. У любого отрезка есть середина, и через нее можно провести перпендикуляр - обозначим его за р. Таким образом, р - серединный перпендикуляр.

Рис. 2. Иллюстрация к теореме

Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка.

Доказать, что (рис. 2).

Доказательство:

Рассмотрим треугольники и . Они прямоугольные и равные, т. к. имеют общий катет ОМ, а катеты АО и ОВ равны по условию, таким образом, имеем два прямоугольных треугольника, равных по двум катетам. Отсюда следует, что гипотенузы треугольников тоже равны, то есть, , что и требовалось доказать.

Справедлива обратная теорема.

Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Задан отрезок АВ, серединный перпендикуляр к нему р, точка М, равноудаленная от концов отрезка. Доказать, что точка М лежит на серединном перпендикуляре к отрезку (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к теореме

Доказательство:

Рассмотрим треугольник . Он равнобедренный, так как по условию. Рассмотрим медиану треугольника: точка О - середина основания АВ, ОМ - медиана. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к его основанию, является одновременно высотой и биссектрисой. Отсюда следует, что . Но прямая р также перпендикулярна АВ. Мы знаем, что в точку О можно провести единственный перпендикуляр к отрезку АВ, значит прямые ОМ и р совпадают, отсюда следует, что точка М принадлежит прямой р, что и требовалось доказать.

Прямую и обратную теоремы можно обобщить.

Точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку тогда и только тогда, когда она равноудалена от концов этого отрезка.

Итак, повторим, что в треугольнике три отрезка и к каждому из них применимо свойство серединного перпендикуляра.

Теорема:

Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.

Задан треугольник . Перпендикуляры к его сторонам: Р 1 к стороне ВС, Р 2 к стороне АС, Р 3 к стороне АВ.

Доказать, что перпендикуляры Р 1 , Р 2 и Р 3 пересекаются в точке О (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к теореме

Доказательство:

Рассмотрим два серединных перпендикуляра Р 2 и Р 3 , они пересекаются, точка пересечения О существует. Докажем этот факт от противного - пусть перпендикуляры Р 2 и Р 3 параллельны. Тогда угол развернутый, что противоречит тому факту, что сумма трех углов треугольника составляет . Итак, существует точка О пересечения двух из трех серединных перпендикуляров. Свойства точки О: она лежит на серединном перпендикуляре к стороне АВ, значит, она равноудалена от концов отрезка АВ: . Также она лежит на серединном перпендикуляре к стороне АС, значит, . Получили следующие равенства.