Событие 2 действие. Теоремы сложения и умножения вероятностей: основные задачи

Транскрипт

1 Ответы = A 5 12 = A3 7 = 7 3 = а) 126; б) P(4, 5, 6) = а) P 4 = 24; б) P(2, 2) = C22 4 C2 8 = , 30, 60, Недостаточно, 9, Действия над событиями Событие называется случайным или возможным, если исход испытания приводит к появлению либо к непоявлению этого события. Например, выпадение герба при бросании монеты; выпадение грани с числом очков, равным 3, при бросании игральной кости. Событие называется достоверным, если в условиях испытания оно обязательно произойдет. Например, извлечение белого шара из урны, в которой находятся только белые шары; выпадение не более 6 очков при бросании игральной кости. Событие называется невозможным, если в условиях испытания оно заведомо не произойдет. Например, выпадение семи очков при бросании одной игральной кости; извлечение более четырех тузов из обычной колоды карт. Случайные события обозначаются латинскими буквами алфавита A, B, C и так далее. События бывают совместные и несовместные. События называются несовместными, если в условиях испытания появление одного из них исключает появление остальных. Например, выпадение герба и решки при одном бросании монеты; попадание и промах при одном выстреле. События называются совместными, если в условиях испытания появление одного из них не исключает появления остальных. Например, поражение мишени и промах при одновременной стрельбе из двух винтовок; выпадение двух гербов при бросании двух монет. События называются равновозможными, если в условиях данного испытания возможность наступления каждого из этих событий одинакова. Примеры равновозможных событий: выпадение герба и выпадение решки при одном бросании монеты; 13

2 выпадение числа очков от 1 до 6 при бросании одной игральной кости. Событие C, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A или B, называется суммой (объединением) событий и обозначается C = A + B (C = A B). Событие C, состоящее в совместном наступлении событий A и B, называется произведением (пересечением) этих событий и обозначается C = A B (C = A B). Событие C, состоящее в том, что событиеaне происходит, называется противоположным и обозначается A. Сумма противоположных событий является достоверным событием Ω, то есть A + A = Ω. Произведение противоположных событий событие невозможное (V), то есть A A = V. Совокупность возможных событий образует полную группу, если в результате испытаний появится хотя бы одно из этих событий: n A i = Ω. i=1 Например, при бросании игральной кости выпадения от одного до шести очков составляют полную группу событий Событие A из четырех проверяемых электролампочек все дефектные; событие B все лампочки доброкачественные. Что означают события: 1) A + B; 2) A B; 3) A; 4) B? Решение. 1) Событие A состоит в том, что все электролампочки дефектные, а событие B в том, что все электролампочки доброкачественные. Сумма событий A+B означает, что все лампочки должны быть либо дефектными, либо доброкачественными. 2) Событие A B лампочки должны быть одновременно дефектными и доброкачественными, поэтому событие A B невозможное. 3) A все лампочки дефектные, следовательно, A хотя бы одна лампочка доброкачественная. 4) B все лампочки доброкачественные, следовательно, B хотя бы одна лампочка дефектная. 14

3 2.2. Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Событие A выбранное число делится на 2, событие B выбранное число делится на 3. Что означают события: 1) A+B; 2) A B; 3) A B? Решение. 1) Сумма событийa+ B есть событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий A или B, то есть случайно выбранное число должно делиться или на 2, или на 3, или на 6. 2) Произведение событий A B означает, что события A и B происходят одновременно. Следовательно, выбранное число должно делиться на 6. 3) A B выбранное число не делится на Два стрелка делают по одной и той же цели по одному выстрелу. Событие A первый стрелок попадает в цель; событие B второй стрелок попадает в цель. Что означают события: а) A + B; б) A B; в) A + B; г) A B? Решение. а) Событие A+B означает: хотя бы один из стрелков попадает в цель; б) событие A B означает: оба стрелка попадают в цель; в) событие A+B означает: хотя бы один делает промах; г) события A B означает: оба делают промахи Два шахматиста играют одну партию. Событие A выиграет первый игрок, событие B второй игрок. Какое событие следует добавить к указанной совокупности, чтобы получилась полная группа событий? Решение. Событие C ничья Даны два дублирующих блока a 1 и a 2. Запишите событие, состоящее в том, что система замкнута. Решение. Введем следующие обозначения: A 1 событие, состоящее в том, что блок a 1 исправен; a1 a A 2 2 событие, состоящее в том, что блок a 2 исправен; S событие, состоящее в том, что система замкнута. Блоки дублирующие, поэтому система будет замкнута в том случае, когда исправен хотя бы один из блоков, то есть S = A 1 + A Дана система из трех блоков a 1, a 2, b. Запишите собы- 15

4 тие, состоящее в том, что система замкнута. Решение. Введем обозначения: A 1 a a 1 2 b следующие событие, состоящее в том, что блок a 1 исправен; A 2 событие, состоящее в том, что блок a 2 исправен; B событие, состоящее в том, что блок b исправен; S событие, состоящее в том, что система замкнута. Разобьем систему на две части. Замкнутость системы, состоящей из дублирующих блоков, как мы видим, можно записать в виде события A 1 + A 2. Для замкнутости всей системы исправность блока B всегда обязательна, поэтому S = (A 1 + A 2) B. Задачи для самостоятельного решения 2.7. Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Событие A выбранное число делится на 5, событие B это число оканчивается нулем. Что означают события: 1) A+B; 2) A B; 3) A B; 4) A B? 2.8. Три стрелка стреляют по мишени. События: A 1 попадание в мишень первым стрелком; A 2 попадание вторым стрелком; A 3 попадание третьим стрелком. Составьте полную группу событий В коробке лежат по несколько шаров одного размера, но разных цветов: белого, красного, синего. Событие K i взятый наудачу шар красного цвета; событие B i белого цвета; событие C i синего цвета. Вынимают два шара подряд (i = 1, 2 порядковый номер вынутых шаров). Запишите следующие события: а) событие A взятый наудачу второй шар оказался синего цвета; б) событие A; в) событие B оба шара красные? Составьте полную группу событий По цели производится три выстрела. Даны события A i (i = 1, 2, 3) попадание в цель при i-ом выстреле. Выразите через A i и A i следующие события: 1) ни одного попадания в 16

5 цель; 2) одно попадание в цель; 3) два попадания в цель; 4) три попадания в цель; 5) хотя бы одно попадание в цель; 6) хотя бы один промах Являются ли несовместными следующие события: а) опыт подбрасывание монеты; события: А появление герба, В появление цифры; б) опыт два выстрела по мишени; события: А хотя бы одно попадание, В хотя бы один промах Являются ли равновозможными следующие события: а) опыт подбрасывание монеты; события: А появление герба, В появление цифры; б) опыт подбрасывание погнутой монеты; события: А появление герба, В появление цифры; в) опыт: выстрел по мишени; события: А попадание, В промах Образуют ли полную группу событий следующие события: а) опыт подбрасывание монеты; события: А герб, В цифра; б) опыт подбрасывание двух монет; события: А два герба, В две цифры Подбрасывают игральный кубик. Обозначим события: A выпадение 6 очков, B выпадение 3 очков, C выпадение четного числа очков; D выпадение числа очков, кратного трем. Каковы соотношения между этими событиями? Пусть A, B, C произвольные события. Что означают следующие события: ABC; ABC; A+BC; ABC +ABC+ +ABC; ABC + ABC + ABC + ABC? Через произвольные события A, B, C найдите выражения для следующих событий: а) произошло только событие A; б) произошли A и B, C не произошло; в) произошли все три события; г) произошло, по крайней мере, одно из этих событий; д) произошло, по крайней мере, два события; е) произошло одно и только одно событие; ж) произошло два и только два события; 17

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности, возникающие в случайных испытаниях. Исход испытания - случайный по отношению к испытанию, если в ходе этого

1 Основные понятия комбинаторики 1 Приложение Определение Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут Пример Вычислить 4! 3! n! 1 3 n 4!-3!= 1 3 4 1 3 4 18

Достоверное событие. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при осуществлении определенной совокупности условий. Обозначение: Ω (истина). Невозможное событие. Событие, которое

ТЕМА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. КЛАССИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТИ Предмет теории вероятностей. Понятие случайного события. Пространство элементарных событий. Классическое и геометрическое

1.1. Классическое определение вероятности Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может

Основные положения теории вероятностей Случайным относительно некоторых условий называется событие, которое при осуществлении этих условий может либо произойти, либо не произойти. Теория вероятностей имеет

{ σ-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей - теорема сложения вероятностей - условная вероятность

Предмет теории вероятностей В различных разделах науки и техники нередко возникают ситуации, когда результат каждого из многих проводимых опытов заранее предугадать невозможно, однако можно исследовать

С О Д Е Р Ж А Н И Е ТЕМА III. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ... 2 1. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ... 2 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ... 2 1.2. ДЕЙСТВИЯ НАД СЛУЧАЙНЫМИ СОБЫТИЯМИ... 4 1.3. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ЗАНЯТИЕ 3 ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ МИСИС 2013 УТВЕРЖДАЮ: Д.Е. Капуткин Председатель Учебно-методической комиссии по реализации Соглашения с Департаментом образования гор.

1.6. Независимые испытания. Формула Бернулли При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и то же испытание повторяется многократно и исход каждого испытания

Вероятность. Что это? Теория вероятностей, как следует из названия, имеет дело с вероятностями. Нас окружают множество вещей и явлений, о которых, как бы ни была развита наука, нельзя сделать точных прогнозов.

Практическое занятие 1. Определение вероятности Свойства случайных событий 1. [Вентцель Е.С., 1.1.] Образуют ли полную группу следующие группы событий: а) Опыт бросание монеты; события: б) Опыт бросание

ТЕМА. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Операции над случайными событиями. Алгебра событий. Понятие совместности событий. Полная группа событий. Зависимость и независимость случайных событий. Условная

Лекция 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей Сумма и произведение события Суммой или объединением, нескольких событий называется событие, состоящее в появлении наступления хотя бы одного из этих

Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 2011/2012 учебный год, 1-й семестр Лекция 5. Тема: Комбинаторика, введение в теорию вероятностей 1 Тема: Комбинаторика Комбинаторика это раздел математики, изучающий

Тема урока: «Простейшие вероятностные задачи». 11 класс Учитель математики Переверзьева Н.С. МОУ Лицей 6 Замечательно, что наука, которая начала с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным

Элементы теории вероятностей. План. 1. События, виды событий. 2. Вероятность события а) Классическая вероятность события. б) Статистическая вероятность события. 3. Алгебра событий а) Сумма событий. Вероятность

Тема 33 «Вероятности событий» Все мы довольно часто говорим «это невероятно», «более вероятно, что», «это маловероятно» и т.д., когда пытаемся спрогнозировать наступление того или иного события. При этом

Федеральное Агентство по образованию Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Н. Э. Лугина ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Учебное пособие Томск 2006 Рецензенты: канд.

TTÜ VIRUMAA KOLLEDŽ RAR0530 Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika Лекция 1 Случайные события Действия над событиями Õppejõud: I. Gusseva ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Введение Tеория вероятностей занимается

ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ Аксиомы Колмогорова В 1933 г. А. Н. Колмогоров в книге «Основные понятия теории вероятностей» дал аксиоматическое обоснование теории вероятностей. «Это означает, что, после

Домашнее задание 1 «Теория вероятностей» Задача 1. 1.1. Имеются пять билетов стоимостью по одному рублю, три билета по три рубля и два билета по пять рублей. Наугад берутся три билета. Определить вероятность

Контрольная работа по прикладной математике для студентов 2 курса заочной формы обучения ВИШ направление подготовки 08.03.01 строительство Вариант 1 1) Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее

Практическая работа 3 Алгебра событий. Сложение и умножение вероятностей Цель работы: освоить вычисление вероятностей совместных событий, определение вероятности по формулам суммы и произведения. Оборудование

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОЛЖСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ Теория вероятностей (введение) Часть 1 Методические

Кафедра математики и информатики Математика Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 6 Элементы теории вероятностей и математической статистики

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ. 3.1. Случайные события. Каждая наука при изучении явлений материального мира оперирует теми или иными понятиями, среди которых обязательно имеются основополагающие;

Практическая работа 2 Тема 2 Формула полной вероятности и формула Байеса Повторение опытов (схема Бернулли). Будем говорить, что события H 1, H 2, H n образуют полную группу, если в результате эксперимента:

13 Сложение и умножение вероятностей Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В Записывается: События А и В называются равными, если каждое из них является частным

КОМБИНАТОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Тема 5 Перевод осуществлен при поддержке IT Akadeemia Содержание лекции 1 Введение 2 3 4 Следующий пункт 1 Введение 2 3 4 Проблема... Проблема... Проблема... ... и решение: Девочка

Лекция Тема: АЛГЕБРА СОБЫТИЙ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТИ Алгебра событий Суммой событий и называется событие S = +, которое состоит в наступлении хотя бы одного из них Произведением событий и называется

Лекция 9. Классическое определение вероятности Теория вероятностей математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Контрольная работа 1 Вариант 1 1. Среди 0 поступивших в магазин керамических изделий имеется 4 дефектных. Для проверки качества товаровед наудачу отбирает два изделия. Найти вероятность

{ определения - случайное событие - операции над событиями вероятность на дискретном пространстве элементарных исходов классическое определение вероятности пример гипергеометрическое распределение пример

ПРКТИКУМ Основные формулы комбинаторики Виды событий Действия над событиями Классическая вероятность Геометрическая вероятность Основные формулы комбинаторики Комбинаторика изучает количества комбинаций,

ЛЕКЦИЯ 1 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Теория вероятностей это наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Случайное явление это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же

1 Вероятность Обработка экспериментальных данных происходит с помощью различных методов. Обычно исследователь, получив данные эксперимента на одной или нескольких группах испытуемых и определив по ним

Основы теории вероятностей Лекция 2 Содержание 1. Условная вероятность 2. Вероятность произведения событий 3. Вероятность суммы событий 4. Формула полной вероятности Зависимые и независимые события Определение

Тема: Теория вероятностей Дисциплина: Математика Авторы: Нефедова Г.А. Дата: 9.0.0. Вероятность случайного события может быть равна. 0.5. 3. 0. 0.7 5..5 6. - 7. 0.3. Вероятность достоверного события равна.

Теория вероятностей План лекции П О теории вероятностей как науке П Основные определения теории вероятностей П Частота случайного события Определение вероятности П 4 Применение комбинаторики к подсчету

Чив через S событие, состоящее в том, что система незамкнута, можно записать: S = A 1 A 2 +B = (A 1 + A 2)+B. 2.18. Аналогично решению задач 2.5, 2.6 получаем S = A(B 1 +B 2) C D; S = A + B 1 B 2 + C

Тема 8 Дискретные случайные величины. Часто результатом случайного эксперимента является число. Например, можно подбросить игральную кость и получить одно из чисел:,3,4,5,6. Можно подъехать к бензоколонке

Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей Номер:..B Задача: Вероятность совместного наступления независимых событий A и B определяется по формуле Ответы:). P(A) PA (B)). P (A) + P(B)).

Лекция 10 ТЕМА Основы теории вероятности (часть 2). Автор: Максим Игоревич Писаревский, Преподаватель центра довузовской подготовки НИЯУ МИФИ. Москва, 2017 Определения и свойства Основные определения теории

Задание Решение задач по теории вероятностей Тема: «Вероятность случайного события». Задача. Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать последовательность X X X. где каждый

Тест 01 1. Случайные события и их классификация. 2. Математическое ожидание случайной величины. 3. В ящике находятся 15 красных, 9 голубых и 6 зеленых шаров. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность

ЗАНЯТИЕ 1 СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Основным понятием естествознания является понятие эксперимента, независимо от него, осуществляет этот эксперимент природа или исследователь Условно будем считать, что эксперимент

Решение задач из сборника Чудесенко Теория вероятностей Задачи -0. Вариант 6 Задача. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N; б) произведение

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Экономический факультет ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ ЧАСТЬ Томск 06 ОДОБРЕНО кафедрой математических методов и информационных

1 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ГЛАВА 1. 1. Элементы комбинаторики Определение 1. Примеры: Определение. -факториал это число, обозначаемое!, при этом! = 1** * для всех натуральных чисел 1, ; кроме того,

Параграф: Общие понятия Теория вероятностей Случайные события Определение: Теория вероятностей математическая наука, изучающая количественные закономерности в случайных явлениях Теория вероятностей не

Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов 1 Варианты контрольной работы

Воробьев В.В. «Лицей» г.калачинска Омской области Практикум по решению задач по теории вероятностей и математической статистике Большую роль при изучении тем по теории вероятностей и статистики играют

А.В. Бесклубная Теория вероятностей Учебное пособие Нижний Новгород 06 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального

Задачник Чудесенко, теория вероятностей, вариант Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а сумма числа очков не превосходит N ; б произведение числа очков не превосходит N ; в

Составитель: доцент кафедры медицинской и биологической физики Романова Н.Ю. Теория вероятностей 1 лекция Введение. Теория вероятностей это математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 3 Методы определения вероятностей 0 Классическое определение вероятностей Любой из возможных результатов опыта назовем элементарным

1. Электричка состоит из 12 вагонов. Каждый из 7 пассажиров наудачу выбирает любой вагон. Найти вероятности следующих событий: A = {все пассажиры сели в первые три вагона}; B = {все пассажиры сели в разные

Элементы теории вероятности Случайные события Детерминированные процессы В науке и технике рассматриваются процессы, исход которых с уверенностью можно предсказать: Если к концам проводника приложить разность

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ЛЕКЦИЯ ПО ТЕОРИИ

1 Классическое определение вероятности 1 Колода из 3-х карт тщательно перетасована Найти вероятность того, что все четыре туза лежат в колоде один за другим, не перемежаясь другими картами Решение Число

Лекция 3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМА БАЙЕСА ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить понятия условной вероятности и независимости событий; построить правило умножения

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Задание. Необходимо решить задачу соответствующую номеру Вашего варианта. В ящике находятся катушки четырех цветов: белых 5 красных зеленых синих 0. Какова вероятность того что наудачу

1. В корзине 14 яблок, среди них 4 красных. Наугад (без возвращения) достали 4 яблока. Найти вероятность того, что попались ровно 3 красных. 2. Список из 20 деловых звонков составляют случайным образом.

1. Числа 1,..., n расположены в случайном порядке. Найти вероятность того, что числа 1, 2 и 3 расположены рядом в указанном порядке. 2. Из десяти команд в финал выходят четыре. Предполагая, что каждая

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Челябинская государственная академия культуры и искусства» Кафедра информатики ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ТЕМА 1 Комбинаторика Вычисление вероятностей Задача 1Б В розыгрыше кубка страны по футболу берут участие 17 команд Сколько существует способов распределить золотую, серебряную и бронзовую медали? Поскольку

Введем понятие случайного события. Поскольку в дальнейшем будем рассматривать только случайные события, то, начиная с этого момента, будем называть, как правило, просто событиями.

Любой набор элементарных исходов , или, иными словами, произвольное подмножество пространства элементарных исходов , называют событием .

Элементарные исходы, которые являются элементами рассматриваемого подмножества (события), называют элементарными исходами, благоприятствующими данному событию , или образующими это событие .

События будем обозначать прописными латинскими буквами, снабжая их при необходимости индексами, например: А , В 1 ,С 3 и т.д.

Говорят, что событие А произошло (или наступило), если в результате опыта появился какой-либо из элементарных исходов.

Замечание 1. Для удобства изложения материала термин «событие» как подмножество пространства элементарных событий Ω отождествляется с термином «событие произошло в результате опыта», или «событие заключается в появлении каких-то элементарных исходов».

Так в примере 2, где
, событиемА является подмножество
. Но мы будем также говорить, что событиеА – это появление любого из элементарных исходов

Пример 1.5. В примере 2 было показано, что при однократном бросании игральной кости

где - элементарный исход, заключающийся в выпаденииi очков. Рассмотрим следующие события: А – выпадение четного числа очков; В - выпадение нечетного числа очков; С – выпадение числа очков, кратного трем. Очевидно, что

,
,

Событие, состоящее из всех элементарных исходов, т.е. событие, которое обязательно происходит в данном опыте, называют достоверным событием.

Достоверное событие обозначают буквой Ω .

Событие , противоположное достоверному событию Ω, называетсяневозможным . Очевидно, невозможное событие не может появиться в результате опыта. Например, выпадение более шести очков при бросании игральной кости. Невозможное событие будем обозначать черезØ.

Невозможное событие не содержит в своем составе ни одного элементарного события. Ему соответствует так называемое «пустое множество», не содержащее ни одной точки.

Геометрически случайные события изображаются множествами точек области Ω, т.е. областями, лежащими внутри Ω (рис. 1.1). Достоверному событию соответствует вся область Ω.

В теории вероятностей над событиями производят различные операции, совокупность которых образует так называемую алгебру событий , тесно связанную с алгеброй логики, широко используемой в современных вычислительных машинах.

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Для рассмотрения задач алгебры событий введем основные определения.

Два события называются равносильными (эквивалентными) , если они состоят из одних и тех же элементарных событий. Эквивалентность событий обозначается знаком равенства:

А =В .

Событие В называется следствием события А :

А В ,

Если из появления А следует появление В . Очевидно, если А В и В А , то А =В , если А В и В С , то А С (рис. 1.2).

Суммой или объединением двух событий А и В называется такое событие С , которое состоит или в осуществлении события А , или события В , или событий А и В вместе. Условно записывают так:

С =А +В или С =А
В .

Суммой любого числа событий А 1 ,А 2 , … , А n называется событие С , которое состоит в осуществлении хотя бы одного из этих событий и записывается в виде

или

Произведением или совмещением (пересечением) двух событий А и В называется событие С , которое состоит и в осуществлении события А , и события В . Условно записывают так:

С =АВ или С =А В .

Аналогично определяется произведение любого числа событий. Событие С , эквивалентное произведению n событий А 1 ,А 2 , … , А n записывается в виде

или
.

Сумма и произведение событий обладают следующими свойствами.

А +В =В +А .

(А +В )+С =А +(В +С )=А +В +С .

АВ =ВА .

(АВ )С =А (ВС )=АВС .

А (В +С )=АВ +АС .

Большинство из них легко проверить самостоятельно. Рекомендуем пользоваться при этом геометрической моделью.

Приведем доказательство 5-го свойства.

Событие А (В +С ) состоит из элементарных событий, которые принадлежат и А и В +С , т.е. событию А и хотя бы одному из событий В ,С . Иначе говоря, А (В +С ) – это множество элементарных событий, принадлежащих либо событию АВ , либо событию АС , т.е. событию АВ +АС . Геометрически событие А (В +С ) представляет собой общую часть областей А и В +С (рис. 1.3.а), а событие АВ +АС – объединение областей АВ и АС (рис. 1.3.б), т.е. ту же самую область А (В +С ).

Рис. 1.3.а Рис. 1.3.б

Событие С , состоящее в том, что событие А происходит, а событие В не происходит, называется разностью событий А и В . Условно записывают так:

С =А -В .

События А и В называются совместными , если они могут появиться в одном и том же испытании. Это значит, что существуют такие элементарные события, которые входят в состав и А и В одновременно (рис. 1.4).

События А и В называются несовместными , если появление одного из них исключает появление другого, т.е. если АВ = Ø. Иными словами, нет ни одного элементарного события, которое входило бы в состав и А и В одновременно (рис. 1.5). В частности, противоположные события ивсегда несовместны.

Рис. 1.4 Рис. 1.5

События
называютсяпопарно несовместными , если любые два из них несовместны.

События
образуютполную группу , если они попарно несовместны и в сумме дают достоверное событие, т.е. если для любых i , k

Ø;
.

Очевидно, каждое элементарное событие должно входить в состав одного и только одного события полной группы
. Геометрически это значит, что вся область Ω области
делят наn частей, не имеющих между собой общих точек (рис. 1.6).

Противоположные события ипредставляют собой простейший случай полной группы.

Над событиями можно производить различные действия, получая при этом другие события. Дадим определения этих действий.

Определение 2.13.

Если при всяком испытании, при котором происходит событие А , происходит и событие В , то событие А называется частным случаем события В.

Говорят также, что А влечет за собой В, и пишут: (А вложено в В ) или (рис. 2.1).

Например, пусть событие А состоит в появлении двух очков при бросании игральной кости, а событие В состоит в появлении четного числа очков при бросании игральной кости В = {2; 4; 6}. Тогда событии А есть частный случай события В , так как два - четное число. Можем записать .

Рис . 2.1 . Событие А - частный случай события В

Определение 2.14.

Если А влечет за собой В , а В влечет за собой А , то эти события равносильны , так как они вместе наступают или вместе не наступают.

Из того, что и (следует) А = В .

Например, А - событие, состоящее в том, что на игральной кости выпала четная цифра меньше трех. Это событие равносильно событию В , состоящему в том, что на игральной кости выпала цифра 2.

Определение 2.15.

Событие, состоящее в совместном наступлении обоих событий и А , и В , называется пересечением этих событий А∩В , или произведением этих событий АВ (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Пересечение событий

Например, пусть событие А состоит в выпадении четного числа очков при бросании игральной кости, тогда его наступлению благоприятствуют элементарные события, состоящие в выпадении 2-х, 4-х и 6-ти очков. А - {2; 4; 6}. Событие В состоит в выпадении числа очков больше трех при бросании игральной кости, тогда его наступлению благоприятствуют элементарные события, состоящие в выпадении 4-х, 5-ти и 6-ти очков. В = {4; 5; 6}. Тогда пересечением или произведением событий А и В будет событие, состоящее в выпадении четного числа очков, большего трёх (выполняется и событие А, и событие В):

А∩В =АВ= {4; 6}.

Пересечением событий, одно из которых А - выпадение дамы из колоды карт, а другое В - выпадение трефы, будет трефовая дама.

Примечание. Если два события А и В несовместны, то их совместное наступление невозможно АВ = 0.

Определение 2.16.

Событие, состоящее в наступлении или события А , или события В (хотя бы одного из событий, по крайней мере одного из этих событий), называется их объединением А и В , или суммой событий А и В и обозначается через А+В (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Объединение событий

Например, событие А состоит в выпадении четного числа очков при бросании игральной кости, тогда его наступлению благоприятствуют элементарные события, состоящие в выпадении 2-х, 4-х и 6-ти очков, или А - {2; 4; 6}. Событие В состоит в выпадении числа очков больше трех при бросании игральной кости, тогда его наступлению благоприятствуют элементарные события, состоящие в выпадении 4-х, 5-ти и 6-ти очков, или В = (4; 5; 6}. Тогда объединением, или суммой событий А и В будет событие, состоящее в выпадении хотя бы одного из них - либо четного числа очков, либо числа очков большего трёх (выполняется или событие А, или событие В):

А ∩ В =А +В= {2; 4; 5; 6}.

Определение 2.17.

Событие, состоящее в том, что событие А не происходит, называется противоположным событию А и обозначается через Ā (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Противоположные события

Определение 2.18.

Событие (А и В) , состоящее в том, что А происходит, а не происходит, называется разностью событий А и В и обозначается через А-В . Впрочем, можно обойтись без этого обозначения, так как из определения следует, что А - В - (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Разность событий А и В

Например, пусть событие А состоит в выпадении четного числа очков при бросании игральной кости, тогда А = {2; 4; 6}. Событие В состоит в выпадении числа очков больше трех. В = {4; 5; 6}.

Тогда - событие, состоящее в выпадении числа очков не больше трех, и его наступлению благоприятствуют элементарные события, состоящие в выпадении 1-го, 2-х и 3-х очков. = {1; 2; 3}.

Разностью событий А и В будет событие, состоящее в том, что выполняется событие А и не выполняется событие В. Его наступлению благоприятствует элементарное событие, состоящее в выпадении 2-х очков:

А-В= А∩ = {2}.

Определения суммы и произведения событий распространяются и на большее число событий:

А + В + ... + N = (А или В, или... или N ) (2.1)

есть событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А, В, ... N ;

АВ... N = (А и В и... и N ), (2.2)

есть событие, состоящее в совместном наступлении всех событий А, В, ... N.

Аналогично определяются сумма и произведение бесконечного числа событий А 1 , А 2 , ... А п, ...

Отметим, что все же некоторые правила алгебры сохраняются и для действий над событиями. Например, имеет место перёместительный закон (коммуникативность):

А + В = В + А, АВ=ВА, (2.3)

выполняется распределительный закон (дистрибутивность):

(А +В ) С = АС + ВС, (2.4)

так как левая и правая части представляют событие, состоящее в том, что происходят событие С и по крайней мере одно из событий А и В. Справедлив также сочетательный закон (ассоциативность):

А+(В + С) = (А+В)+ С = А+В + С;

А(ВС) = (АВ)С = АВС. (2.5)

Кроме того, имеют место и такие равенства, которые в обычной алгебре показались бы нелепыми. Например, для любых А, В, С:

АА=А (2.6)

А+А = А (2.7)

А+АВ = А (2.8)

АВ + С = (А+С)(В+С) (2.9)

Противоположные события связаны:

· законом двойного отрицания:

= А; (2.10)

· законом исключенного третьего

А + = Ω. (сумма их есть достоверное событие); (2.11)

· законом противоречия:

А = Ø(произведение их невозможное событие). (2.12)

Равенства (2.6)-(2.12) доказываются для высказываний в курсе дискретной математики. Предлагаем читателю проверить это самостоятельно, используя определения суммы и произведения событий.

Если В = А 1 + А 2 +... +А п и события А попарно несовместимы, т.е. каждое несовместимо с остальными: А j А k = Ø при i≠k говорят, что событие В подразделяется на частные случаи А 1 , А 2 , ..., А п. Например, событие В, состоящее в выпадении нечетного числа очков, подразделяется на частные случаи Е 1 , Е 3 , Е 5 , состоящие соответственно в выпадении 1, 3 и 5 очков.

Исходя из определения действий над событиями, мы можем дать более четкое определение полной группе событий.

Определение 2.19.

Если А 1 + А 2 +... +А п = Ω , т.е. если хотя бы одно из событий А 1 + А 2 +... +А п непременно должно осуществиться и если при этом А j попарно несовместимы (т.е. достоверное событие Ω подразделяется на частные случаи А 1 + А 2 +... +А п ), то говорят, что события А 1 + А 2 +... +А п образуют полную группу событий. Таким образом, если А 1 + А 2 +... +А п - полная группа событий, то при каждом испытании обязательно происходит одно и только одно из событий А 1 + А 2 +... +А п .

Например, при бросании игральной кости полную группу событий составляют также события Е 1 , Е 2 , Е 3 , Е 4 , Е 5 и Е 6 , состоящие соответственно в выпадении 1, 2, 3,4, 5 и 6 очков.

Общая постановка задачи: известны вероятности некоторых событий, а вычислить нужно вероятности других событий, которые связаны с данными событиями. В этих задачах возникает необходимость в таких действиях над вероятностями, как сложение и умножение вероятностей.

Например, на охоте проиведены два выстрела. Событие A - попадание в утку с первого выстрела, событие B - попадание со второго выстрела. Тогда сумма событий A и B - попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов.

Задачи другого типа. Даны несколько событий, например, монета подбрасывается три раза. Требуется найти вероятность того, что или все три раза выпадет герб, или того, что герб выпадет хотя бы один раз. Это задача на умножение вероятностей.

Сложение вероятностей несовместных событий

Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность объединения или логической суммы случайных событий.

Сумму событий A и B обозначают A + B или A ∪ B . Суммой двух событий называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий. Это означает, что A + B – событие, которое наступает тогда и только тогда, когда при наблюдении произошло событие A или событие B , или одновременно A и B .

Если события A и B взаимно несовместны и их вероятности даны, то вероятность того, что в результате одного испытания произойдёт одно из этих событий, рассчитывают, используя сложение вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность того, что произойдёт одно из двух взаимно несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:

Например, на охоте произведены два выстрела. Событие А – попадание в утку с первого выстрела, событие В – попадание со второго выстрела, событие (А + В ) – попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов. Итак, если два события А и В – несовместные события, то А + В – наступление хотя бы одного из этих событий или двух событий.

Пример 1. В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что не глядя будет взят цветной (не белый) мячик.

Решение. Примем, что событие А – «взят красный мячик», а событие В – «взят синий мячик». Тогда событие - «взят цветной (не белый) мячик». Найдём вероятность события А :

и события В :

События А и В – взаимно несовместные, так как если взят один мячик, то нельзя взять мячики разных цветов. Поэтому используем сложение вероятностей:

Теорема сложения вероятностей для нескольких несовместных событий. Если события составляют полное множество событий, то сумма их вероятностей равна 1:

Сумма вероятностей противоположных событий также равна 1:

Противоположные события образуют полное множество событий, а вероятность полного множества событий равна 1.

Вероятности противоположных событий обычно обозначают малыми буквами p и q . В частности,

из чего следуют следующие формулы вероятности противоположных событий:

Пример 2. Цель в тире разделена на 3 зоны. Вероятность того что некий стрелок выстрелит в цель в первой зоне равна 0,15, во второй зоне – 0,23, в третьей зоне – 0,17. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель и вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели.

Решение: Найдём вероятность того, что стрелок попадёт в цель:

Найдём вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Сложение вероятностей взаимно совместных событий

Два случайных события называются совместными, если наступление одного события не исключает наступления второго события в том же самом наблюдении. Например, при бросании игральной кости событием А считается выпадение числа 4, а событием В – выпадение чётного числа. Поскольку число 4 является чётным числом, эти два события совместимы. В практике встречаются задачи по расчёту вероятностей наступления одного из взаимно совместных событий.

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Вероятность того, что наступит одно из совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, из которой вычтена вероятность общего наступления обоих событий, то есть произведение вероятностей. Формула вероятностей совместных событий имеет следующий вид:

Поскольку события А и В совместимы, событие А + В наступает, если наступает одно из трёх возможных событий: или АВ . Согласно теореме сложения несовместных событий, вычисляем так:

Событие А наступит, если наступит одно из двух несовместных событий: или АВ . Однако вероятность наступления одного события из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей всех этих событий:

Аналогично:

Подставляя выражения (6) и (7) в выражение (5), получаем формулу вероятности для совместных событий:

При использовании формулы (8) следует учитывать, что события А и В могут быть:

взаимно независимыми;
взаимно зависимыми.

Формула вероятности для взаимно независимых событий:

Формула вероятности для взаимно зависимых событий:

Если события А и В несовместны, то их совпадение является невозможным случаем и, таким образом, P (AB ) = 0. Четвёртая формула вероятности для несовместных событий такова:

Пример 3. На автогонках при заезде на первой автомашине вероятность победить , при заезде на второй автомашине . Найти:

вероятность того, что победят обе автомашины;
вероятность того, что победит хотя бы одна автомашина;

1) Вероятность того, что победит первая автомашина, не зависит от результата второй автомашины, поэтому события А (победит первая автомашина) и В (победит вторая автомашина) – независимые события. Найдём вероятность того, что победят обе машины:

2) Найдём вероятность того, что победит одна из двух автомашин:

Решить задачу на сложение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Бросаются две монеты. Событие A - выпадение герба на первой монете. Событие B - выпадение герба на второй монете. Найти вероятность события C = A + B .

Умножение вероятностей

Умножение вероятностей используют, когда следует вычислить вероятность логического произведения событий.

При этом случайные события должны быть независимыми. Два события называются взаимно независимыми, если наступление одного события не влияет на вероятность наступления второго события.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий и вычисляется по формуле:

Пример 5. Монету бросают три раза подряд. Найти вероятность того, что все три раза выпадет герб.

Решение. Вероятность того, что при первом бросании монеты выпадет герб , во второй раз , в третий раз . Найдём вероятность того, что все три раза выпадет герб:

Решить задачи на умножение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча, после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трёх игр в коробке не останется неигранных мячей?

Пример 7. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что из букв получится слово "конец".

Пример 8. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.

Пример 9. Та же задача, что в примере 8, но каждая карта после вынимания возвращается в колоду.

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей, а также вычислять произведение нескольких событий - на странице "Различные задачи на сложение и умножение вероятностей" .

Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из взаимно независимых событий , можно вычислить путём вычитания из 1 произведения вероятностей противоположных событий , то есть по формуле.