Свойства системы независимых случайных величин. Системы дискретных случайных величин

Часто при изучении случайных явлений приходится иметь дело не с одной случайной величиной, а с двумя, тремя и более. Совместное изучение конечного числа случайных величин приводит к системе случайных величин. Приведем некоторые примеры систем случайных величин:

1. Точка приземления космического аппарата многоразового использования Спейс Шаттл характеризуется системой трех случайных величин: широтой (ср), долготой (А,), высотой (Н).
2. Успеваемость наудачу выбранной студентки характеризуется системой случайных величин - отметками, проставляемыми в приложении к диплому.

Упорядоченный набор случайных величин >,

заданных на пространстве элементарных событий, называется системой п случайных величин. Ее удобно рассматривать как координаты случайного вектора в n-мерном пространстве. Система п случайных величин является функцией элементарного события, т. е.

Каждому элементарному событию со ставится в соответствие п действительных чисел - значения, принятые случайными величинами (X , Х 2 , ..., XJ в результате опыта.

Случайные величины (Х 1? Х 2 , ..., X), входящие в систему, могут быть дискретными и недискретными (непрерывными и смешанными). На них распространяются практически без изменений все основные определения понятия одной случайной величины.

Рассмотрим систему двух случайных величин (Х;У). Ее основные понятия легко обобщаются на случай большего числа компонентов. Систему двух случайных величин (X;Y) можно изобразить случайной точкой на плоскости ОХУ (рис. 2.18) или случайным вектором (рис. 2.19).

Полной характеристикой системы случайных величин является ее закон распределения, который имеет различные формы:

матрица распределения;
функция распределения;
плотность распределения.

Аналогом ряда распределения дискретной случайной величины X для системы двух случайных величин (X,Y) является матрица распределения - прямоугольная таблица, в которой

располагаются вероятности

Событие- есть произведение событий {X = х г)

и {Y = у).

Матрица распределения двух дискретных случайных величин имеет вид:

Заметим, что

На рис. 2.20 приведен график распределения двумерной дискретной случайной величины (X, Y).

Зная матрицу распределения двумерной дискретной случайной величины (X,Y) можно определить ряды распределения каждой из компонент (обратное в общем случае невозможно).

Искомые формулы имеют вид:

Наиболее универсальной формулой закона распределения для системы двух случайных величин является функция распределения, которую мы обозначаем F(x, у).

Функцией распределения двух случайных величин (X,Y) называется вероятность совместного выполнения неравенства: X х и Y у, т. е.

Геометрически F(x, у) интерпретируется как вероятность попадания случайной точки (X, Y) в бесконечный квадрат с вершиной в точке (х, у), который располагается левее и ниже ее (рис. 2.21).

Заметим, что верхняя и правая границы квадрата в него не включаются.

Если задана матрица распределения двух дискретных случайных величин (2.49), то функция распределения двумерной случайной величины определяется по формуле:

Приведем некоторые свойства функции распределения двумерной случайной величины.

1. Множество значений функции распределения F(x, у) принадлежит отрезку т. е

2. Функция распределения F(x, у) является неубывающей функцией обоих своих аргументов, т. е

3. Если хотя бы один из аргументов функции распределения F(x, у) обращается в -оо, то функция распределения обращается в ноль, т. е.

4. Если оба аргумента функции распределения F(x, у) обращаются в +оо, то она становиться равной единице, т. е. F(+oo, +оо) = 1.
5. Если один из аргументов функции распределения обращается в +оо, то функция распределения системы двух случайных величин становятся функцией распределения случайной величины, которая соответствует другому аргументу, т. е.

где F x (x) и F 2 (y ) - функции распределения случайных величин X и Y соответственно.

6. Функция распределения системы двух случайных величин F(x, у) непрерывна слева по каждому своему аргументу, т. е.

Зная функцию распределения F(x, у), можно найти вероятность попадания случайной точки (X, Y) в прямоугольник G со сторонами, параллельными осям координат, ограниченного абсциссами а, Ъ и ординатами с и d, причем левая и нижняя границы включаются в G, а правая и верхняя -- не включаются (рис. 2.22).

Если функция распределения F(x, у) непрерывна и дифференцируема по каждому из аргументов, то система двух случайных величин (X, Y) является непрерывной, причем составляющие этой системы - непрерывные случайные величины.

Для непрерывных двумерных случайных величин в качестве закона распределения вводится понятие плотности распределения (или совместной плотности распределения) f(x, у), которая является второй смешенной частной производной от функции распределения, т. е.

Плотность распределения f(x, у) представляет собой некоторую поверхность, которую называют поверхностью распределения (рис. 2.23).

Плотность распределения f(x, у) имеет следующие свойства:

1) плотность распределения является неотрицательной функцией, т. е. f(x, у) > 0;
2) объем, ограниченный поверхностью распределения и плоскостью Оху, равен единице, т. е.

3) вероятность попадания случайной точки (X, У) в область G определяется формулой

4) функция распределения системы двух случайных величин (X, У) выражается через совместную плотность распределения следующим образом:

Как и в случае одной случайной величины введем понятие элемент вероятности для системы двух непрерывных случайных величин: f(x, y)dxdy.

С точностью до бесконечно малых высших порядков элемент вероятности f(x, y)dxdy равен вероятности попадания случайной точки (X, Y) в элементарный прямоугольник с размерами dx и dy, примыкающий к точке (х, у) (рис. 2.24).

Эта вероятность приблизительно равна объему элементарного параллелепипеда с высотой f(x, у), который опирается на данный прямоугольник.

Плотности распределения одномерных составляющих X и Y двумерной непрерывной случайной величины находятся по формулам

Зная совместную плотность распределения двумерной непрерывной случайной величины/(х, у), можно найти функцию распределения каждой из ее составляющих:

Если известны законы распределения случайных величин X и Y, которые входят в систему (X, Y), то можно определить закон распределения системы только в том случае, если случайные величины X и У независимы. Две случайные величины X и У будут независимы только в том случае, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какие значения принимает другая. В противном случае величины X и У будут зависимыми.

Приведем без доказательств условия независимости двух случайных величин.

Теорема 2.2. Для того чтобы две дискретные случайные величины X и У, образующие систему (Х,У), были независимыми, необходимо и достаточно выполнение равенства

для Vi = 1, п и j = 1, т.

Теорема 2.3. Для того чтобы случайные величины X и У, входящие в систему (X, У), были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы была равна произведению функций распределения ее составляющих, т. е.

Теорема 2.4. Для того чтобы непрерывные случайные величины X и У, входящие в систему (X, У), были независимыми, необходимо и достаточно выполнение равенства

т. е. совместная плотность распределения системы (X, У) должна быть равна произведению плотностей распределения ее составляющих.

В том случае, если случайные величины X и У, образующие систему, являются зависимыми, для характеристики их зависимости вводятся понятия условных законов распределения случайных величин.

Условных законов распределения в данном пособии касаться не будем. Желающие могут ознакомиться с ними, например в .

Так же, как и одна случайная величина X, систему двух случайных величин (X, У) можно задать числовыми характеристиками. В качестве таковых обычно используются начальные и центральные моменты различных порядков.

Начальным моментом порядка (к + s ) системы двух случайных величин (X и У) называется математическое ожидание произведения Х к на Y s , т. е.

Центральным моментом порядка (к + s) системы двух случайных величин (X, У) называется математическое ожидание

произведения Х к на У®, т. е.

где - центрированные случайные

величины.

Напомним, что порядком начального и центрального моментов является сумма его индексов, т. е. (к + s).

Приведем формулы для нахождения начального и центрального моментов.

Для системы двух дискретных случайных величин, имеем
Напомним, что

Для системы двух непрерывных случайных величин получаем

На практике чаще всего используют начальный и центральный моменты первого и второго порядков.

Имеются два начальных момента первого порядка:

Они являются математическими ожиданиями случайных величин X и Y.

Точка с координатами (М[Х ], M[Y]) на плоскости OXY - характеристика положения случайной точки (X, Y), т. е. ее разброс происходит вокруг точки (М[Х, M[Y]).

Оба центральных момента первого порядка равны нулю, т. е.

Имеются три начальных момента второго порядка:

Момент а 11 часто встречается в приложениях. Из выражений (2.66) и (2.68) следуют формулы для его вычисления:

Для системы двух дискретной случайной величин

Для системы двух непрерывных случайных величин

Имеются три центральных момента второго порядка:

Первые два момента в формулах (2.74) - это дисперсии. А момент { называется ковариацией, или корреляционным моментом системы случайных величин (X,Y). Для него вводится специальное обозначение K = К ху. Из выражений (2.67) и (2.69) следуют формулы для его вычисления:

Для системы дискретных случайных величин

Для систем непрерывных случайных величин

Центральные моменты можно выражать через начальные и наоборот. Поэтому часто ковариацию выражают через начальные моменты.

т. е. ковариация системы двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение их математических ожиданий.

Приведем некоторые свойства ковариации:

1. Ковариация симметрична, т. е. при перемене индексов местами она не меняется:

2. Дисперсия случайной величины - это ее ковариация сама с собой, т. е.

3. Если случайные величины X и Y независимы, то ковариация равна нулю:

Размерность корреляционного момента равна произведению размерностей случайных величин X и Y. Удобнее пользоваться безразмерным коэффициентом, характеризующим только зависимость между случайными величинами X и Y. Поэтому ковариацию делят на произведение средних квадратических отклонений а[Х] х а[У] и получают коэффициент корреляции:

Данный коэффициент характеризует степень зависимости случайных величин X и Y, причем не любой зависимости, а только линейной. Для любых двух случайных величин X и Y выполняется неравенство

Если г ху = 0, то линейной зависимости между случайными величинами X и Y нет и они называются некоррелированными. Если г ху Ф 0, то случайные величины X и Y называются коррелированными.

Чем ближе г к ±1, тем более тесная линейная связь су- ществует между случайными величинами X и Y. Если г = ± 1, то между случайными величинами X и Y существует жесткая функциональная линейная связь вида

Из независимости случайных величин X и Y следует их некоррелированность. Но обратное положение в общем случае неверно, т. е. если г ху = 0, то это говорит только об отсутствии линейной связи между случайными величинами. Они могут быть связаны между собой криволинейной зависимостью.

Рассмотрим конкретный пример.

Пример 2.5

Задана матрица распределения системы двух дискретных случайных величин (X,Y).

Найти числовые характеристики системы (X,Y): М[Х ], M[Y], D[X], D[Y], ст[Х], a[Y], K}