Медианой именуется отрезок, проведенный из вершины треугольника на середину противоположной стороны, то есть делит ее точкой пересечения пополам. Точка, в которой медиана пересекает противоположную вершине, из которой она выходит, сторону, именуется основанием. Через одну точку, называемую точкой пересечения, проходит каждая медиана треугольника. Формула длины ее может выражаться несколькими способами.

Формулы для выражения длины медианы

• Зачастую в задачах по геометрии ученикам приходится иметь дело с таким отрезком, как медиана треугольника. Формула ее длины выражается через стороны:

где a, b и c - стороны. Причем с является стороной, на которую медиана опускается. Таким образом выглядит самая простая формула. Медианы треугольника иногда требуется проводить для вспомогательных расчетов. Есть и другие формулы.

• Если при расчете известны две стороны треугольника и определенный угол α, находящийся между ними, то длина медианы треугольника, опущенной к третьей стороне, будет выражаться так.

Основные свойства

• Все медианы имеют одну общую точку пересечения O и ею же делятся в отношении два к одному, если вести отсчет от вершины. Такая точка носит название центра тяжести треугольника.
• Медиана разделяет треугольник на два других, площади которых равны. Такие треугольники называются равновеликими.
• Если провести все медианы, то треугольник будет разделен на 6 равновеликих фигур, которые также будут треугольниками.
• Если в треугольнике все три стороны равны, то в нем каждая из медиан будет также высотой и биссектрисой, то есть перпендикулярна той стороне, к которой она проведена, и делит надвое угол, из которого она выходит.
• В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная из вершины, которая находится напротив стороны, не равной никакой другой, будет также высотой и биссектрисой. Медианы, опущенные из других вершин, равны. Это также является необходимым и достаточным условием равнобедренности.
• Если треугольник является основанием правильной пирамиды, то высота, опущенная на данное основание, проецируется в точку пересечения всех медиан.

• В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к наибольшей стороне, равняется половине ее длины.
• Пусть O - точка пересечения медиан треугольника. Формула, приведенная ниже, будет верная для любой точки M.

• Еще одним свойством обладает медиана треугольника. Формула квадрата ее длины через квадраты сторон представлена ниже.

Свойства сторон, к которым проведена медиана

• Если соединить любые две точки пересечения медиан со сторонами, на которые они опущены, то полученный отрезок будет являться средней линией треугольника и составлять одну вторую от стороны треугольника, с которой она не имеет общих точек.
• Основания высот и медиан в треугольнике, а также середины отрезков, соединяющих вершины треугольника с точкой пересечения высот, лежат на одной окружности.

В заключение логично сказать, что одним из самых важных отрезков является именно медиана треугольника. Формула ее может использоваться при нахождении длин других его сторон.

Чтобы по сторонам треугольника найти медиану, не обязательно запоминать дополнительную формулу. Достаточно знать алгоритм решения.

Для начала рассмотрим задачу в общем виде.

Дан треугольник со сторонами a, b, c. Найти длину медианы, проведенной к стороне b.

AB=a, AC=b, BC=c.

На луче BF отложим отрезок FD, FD=BF.

Соединим точку D с точками A и C.

Четырехугольник ABCD — параллелограмм (по признаку), так как у него диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Свойство диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Отсюда: AC²+BD²=2(AB²+BC²), значит, b²+BD²=2(a²+c²),

BD²=2(a²+c²)-b². По построению, BF — половина BD, следовательно,

Это — формула нахождения медианы треугольника по его сторонам. Обычно ее записывают так:

Переходим к рассмотрению конкретной задачи.

Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найти медиану треугольника, проведенную к его средней по длине стороне.

Применяя аналогичные рассуждения, получаем:

AC²+BD²=2(AB²+BC²).

14²+BD²=2(13²+15²)

Треугольник – многоугольник с тремя сторонами, или замкнутая ломаная линия с тремя звеньями, или фигура, образованная тремя отрезками, соединяющими три точки, не лежащие на одной прямой (см. рис. 1).

Основные элементы треугольника abc

Вершины – точки A, B, и C;

Стороны – отрезки a = BC, b = AC и c = AB, соединяющие вершины;

Углы – α , β, γ образованные тремя парами сторон. Углы часто обозначают так же, как и вершины, – буквами A, B и C.

Угол, образованный сторонами треугольника и лежащий в его внутренней области, называется внутренним углом, а смежный к нему является смежным углом треугольника (2, стр. 534).

Высоты, медианы, биссектрисы и средние линии треугольника

Кроме основных элементов в треугольнике рассматривают и другие отрезки, обладающие интересными свойствами: высоты, медианы, биссектрисы исредние линии.

Высота

Высоты треугольника – это перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника на противоположные стороны.

Для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:

1) провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике);

2) из вершины, лежащей напротив проведенной прямой, провести отрезок из точки к этой прямой, составляющий с ней угол 90 градусов.

Точка пересечения высоты со стороной треугольника называется основанием высоты (см. рис. 2).

Свойства высот треугольника

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному треугольнику.

В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.

Если треугольник остроугольный, то все основания высот принадлежат сторонам треугольника, а у тупоугольного треугольника две высоты попадают на продолжение сторон.

Три высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют ортоцентром треугольника.

Медиана

Медианы (от лат. mediana– «средняя») – это отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противолежащих сторон (см. рис. 3).

Для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:

1) найти середину стороны;

2)соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком.

Свойства медиан треугольника

Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Биссектриса

Биссектрисами (от лат. bis – дважды» и seko – рассекаю) называют заключенные внутри треугольника отрезки прямых, которые делят пополам его углы (см. рис. 4).

Для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:

1) построить луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части (биссектрису угла);

2) найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;

3) выделить отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне.

Свойства биссектрис треугольника

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.

Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Это точка называется центром вписанной окружности.

Биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны.

Если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противолежащей стороны, то ADBD=ACBC.

Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка - центр одной из трех вневписанных окружностей этого треугольника.

Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника.

Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой.

При изучении какой-либо темы школьного курса можно отобрать определенный минимум задач, овладев методами решения которых, учащиеся будут в состоянии решить любую задачу на уровне программных требований по изучаемой теме. Предлагаю рассмотреть задачи, которые позволят увидеть взаимосвязи отдельных тем школьного курса математики. Поэтому составленная система задач является эффективным средством повторения, обобщения и систематизации учебного материала в ходе подготовки учащихся к экзамену.

Для сдачи экзамена не лишними будут дополнительные сведения о некоторых элементах треугольника. Рассмотрим свойства медианы треугольника и задачи, при решении которых этими свойствами можно воспользоваться. В предложенных задачах реализуется принцип уровневой дифференциации . Все задачи условно поделены на уровни (уровень указан в скобках после каждого задания).

Вспомним некоторые свойства медианы треугольника

Свойство 1. Докажите, что медиана треугольника ABC , проведённая из вершины A , меньше полусуммы сторон AB и AC .

Доказательство

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle {\frac{AB + AC}{2}}$" width="90" height="60">.

Свойство 2. Медиана рассекает треугольник на два равновеликих.

Доказательство

Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE..gif" alt="Площадь" width="82" height="46">

Поскольку отрезок BD является медианой, то

что и требовалось доказать.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Медиана" align="left" width="196" height="75 src=">Свойство 4. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Доказательство

Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC, равна площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF .

В силу свойства 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Медиана" align="left" width="105" height="132 src=">

Свойство 6. Медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Доказательство

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Медиана" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.

Следствия: 1. Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.

2. Если в треугольнике длина медианы равна половине длины стороны, к которой она проведена, то этот треугольник – прямоугольный.

ЗАДАЧИ

При решении каждой последующей задачи используются доказанные свойства.

№1 Темы: Удвоение медианы. Сложность: 2+

Признаки и свойства параллелограмма Классы: 8,9

Условие

На продолжении медианы AM треугольника ABC за точку M отложен отрезок MD , равный AM . Докажите, что четырёхугольник ABDC - параллелограмм.

Решение

Воспользуемся одним из признаков параллелограмма. Диагонали четырёхугольника ABDC пересекаются в точке M и делятся ею пополам, поэтому четырёхугольник ABDC - параллелограмм.