Mahusiano ya binary. Uhusiano wa usawa, seti ya mgawo

Weka nadharia. Dhana za Msingi

Nadharia ya kuweka ni ufafanuzi wa kimsingi wa hisabati ya kisasa. Iliundwa na Georg Cantor katika miaka ya 1860. Aliandika hivi: “Nyingi ni nyingi, zinazofikiriwa kuwa zima.” Wazo la seti ni moja wapo ya dhana za msingi, ambazo hazijafafanuliwa za hisabati. Haiwezi kupunguzwa kwa dhana zingine, rahisi zaidi. Kwa hiyo, haiwezi kuelezwa, lakini inaweza tu kuelezewa. Kwa hivyo, seti ni muunganisho katika moja ya vitu vyote ambavyo vinaweza kutofautishwa wazi na angavu au mawazo yetu; mkusanyiko wa vitu fulani vinavyofafanuliwa na sifa ya kawaida.

Kwa mfano,

1. Wakazi wengi wa Voronezh

2. Seti ya pointi za ndege

3. Seti ya nambari za asili ℕnk.

Seti kawaida huonyeshwa kwa herufi kubwa za Kilatini ( A, B, C na kadhalika.). Vitu vinavyounda seti fulani huitwa vipengele vyake. Vipengele vya seti vinaonyeshwa na herufi ndogo za Kilatini ( a, b, c na kadhalika.). Kama X- weka, kisha rekodi x∈X maana yake X ni kipengele cha seti X au nini X ni ya seti X, na kiingilio x∉X kipengele hicho X sio ya seti X. Kwa mfano, acha ℕ iwe seti ya nambari asilia. Kisha 5 ℕ , A 0,5∉ℕ .

Ikiwa seti Y linajumuisha vipengele vya kuweka X, halafu wanasema hivyo Y ni sehemu ndogo ya seti X na kuashiria Y⊂Х(au Y⊆Х) Kwa mfano, seti ya nambari kamili ℤ ni sehemu ndogo ya nambari za mantiki ℚ .

Ikiwa kwa seti mbili X Na Y inclusions mbili hutokea wakati huo huo X Y Na Y X, i.e. X ni sehemu ndogo ya seti Y Na Y ni sehemu ndogo ya seti X, kisha seti X Na Y inajumuisha vipengele sawa. Seti kama hizo X Na Y wanaitwa sawa na kuandika: X=Y.

Neno seti tupu hutumiwa mara nyingi - Ø - seti ambayo haina kipengele kimoja. Ni seti ndogo ya seti yoyote.

Njia zifuatazo zinaweza kutumika kuelezea seti.

Mbinu za kubainisha seti

1. Uhesabuji wa vitu. Inatumika tu kwa seti za mwisho.

Kwa mfano, X=(x1, x2, x3… x n). Rekodi ya Y ={1, 4, 7, 5} inamaanisha kuwa seti hiyo ina nambari nne 1, 4, 7, 5 .

2. Dalili ya mali ya tabia ya vipengele vya kuweka.

Kwa kusudi hili, mali fulani imewekwa R, ambayo hukuruhusu kuamua ikiwa kipengee ni cha seti. Njia hii ni ya ulimwengu wote.

X=(x: P(x))

( kundi la X inajumuisha vipengele vile X, ambayo mali hiyo inashikilia P(x)).

Seti tupu inaweza kubainishwa kwa kubainisha sifa zake: Ø=(x: x≠x)

Unaweza kuunda seti mpya kwa kutumia zile zilizofafanuliwa kwa kutumia shughuli kwenye seti.

Weka Uendeshaji

1. Muungano (jumla) ni seti inayojumuisha vipengele hivyo vyote, ambavyo kila kimoja ni cha angalau mojawapo ya seti. A au KATIKA.

A∪B=(x: x A au x B).

2. Makutano (bidhaa) ni seti inayojumuisha vipengele vyote, ambayo kila moja ni ya seti wakati huo huo. A, na wengi KATIKA.

A∩B=(x: x A na x B).

3. Weka tofauti A Na KATIKA ni seti inayojumuisha vipengele vyote ambavyo ni vya seti A wala si wa umati wa watu KATIKA.

A\B=(x: x A na x B)

4. Ikiwa A- seti ndogo ya seti KATIKA. Hayo ni mengi B\A inayoitwa inayosaidia seti A kwa wengi KATIKA na kuashiria A'.

5. Tofauti ya ulinganifu wa seti mbili ni seti A∆B=(A\B) (B\A)

N- seti ya nambari zote za asili;
Z- seti ya nambari zote;
Q- seti ya nambari zote za busara;
R- seti ya nambari zote halisi;
C- seti ya nambari zote ngumu;
Z0- seti ya nambari zote zisizo hasi.

Tabia za shughuli kwenye seti:

1. A B=B A (commutativity ya muungano)

2. A B=B A (mawasiliano ya makutano)

3. A(B C)=(A KATIKA) C (ushirika wa muungano)

4. A (IN C)=(A KATIKA) C (uhusiano wa makutano)

5. A (IN C)=(A KATIKA) (A C) (sheria ya 1 ya usambazaji)

6. A (IN C)=(A KATIKA) (A C) (Sheria ya 2 ya usambazaji)

7. A Ø=A

8. A U=U

9. A Ø= Ø

10. A U=A

11. (A B)'=A' B' (sheria ya Morgan)

12. (A B)'=A' B' (sheria ya Morgan)

13. A (A B)=A (sheria ya kunyonya)

14. A (A B)=A (sheria ya kunyonya)

Hebu tuthibitishe mali Nambari 11. (A B)'=A' KATIKA'

Kwa ufafanuzi wa seti sawa, tunahitaji kuthibitisha majumuisho mawili 1) (A B) ⊂A’ KATIKA';

2) A' B’⊂(A KATIKA)'.

Ili kuthibitisha kuingizwa kwa kwanza, fikiria kipengele cha kiholela x∈(A B)’=X\(A∪B). Ina maana kwamba x∈X, x∉ A∪B. Inafuata hiyo x∉A Na x∉B, Ndiyo maana x∈X\A Na x∈X\B, inamaanisha x∈A’∩B’. Hivyo, (A B)'⊂A' KATIKA'

Nyuma kama x∈A’ KATIKA', Hiyo X wakati huo huo ni ya seti A', B', inamaanisha x∉A Na x∉B. Inafuata hiyo x∉ A KATIKA, Ndiyo maana x∈(A KATIKA)'. Kwa hivyo, A' B’⊂(A KATIKA)'.

Kwa hiyo, (A B)'=A' KATIKA'

Seti yenye vipengele viwili, ambayo utaratibu wa vipengele hufafanuliwa, inaitwa jozi iliyoagizwa. Ili kuiandika, tumia mabano. (x 1, x 2)- seti ya vipengele viwili ambayo x 1 inachukuliwa kuwa kipengele cha kwanza, na x 2 ni ya pili. Wanandoa (x 1, x 2) Na (x 2, x 1), Wapi x 1 ≠ x 2, huchukuliwa kuwa tofauti.

Seti inayojumuisha vipengele vya n, ambayo utaratibu wa vipengele hufafanuliwa, inaitwa seti iliyopangwa ya vipengele vya n.

Bidhaa ya Cartesian ni seti ya kiholela X 1, X 2,…,X n seti zilizopangwa za vipengele vya n, wapi x 1 X 1 , x 2 X 2 ,…, x n Xn

X 1 Xn

Ikiwa seti X 1, X 2,…,X n mechi (X 1 = X 2 =…=X n), basi bidhaa zao zinaonyeshwa Xn.

Kwa mfano, ℝ 2 - seti ya jozi zilizoamuru za nambari halisi.

Mahusiano ya usawa. Factor seti

Kulingana na seti fulani, seti mpya zinaweza kuundwa kwa kuzingatia seti ya baadhi ya seti ndogo. Katika kesi hii, sisi kawaida kuzungumza si kuhusu seti ya subsets, lakini kuhusu familia au darasa la subsets.

Katika idadi ya maswali, darasa la sehemu ndogo kama hizo za seti fulani huzingatiwa A, ambazo haziingiliani na ambazo muungano wake unalingana A. Ikiwa hii imewekwa A inaweza kuwakilishwa kama muunganiko wa vijisehemu vilivyotengana vya jozi, basi ni desturi kusema hivyo A kugawanywa katika madarasa. Mgawanyiko katika madarasa unafanywa kwa misingi ya tabia fulani.

Hebu X sio seti tupu, basi kitengo chochote kidogo R kutoka kwa kazi X X inaitwa uhusiano wa binary kwenye seti X. Ikiwa wanandoa (x,y) imejumuishwa katika R, wanasema kwamba kipengele x ni katika uhusiano R Na katika.

Kwa mfano, mahusiano x=y, x≥y ni mahusiano ya binary kwenye seti ℝ.

Uhusiano wa binary R kwenye seti X inaitwa uhusiano wa usawa ikiwa:

1. (x,x) R; X X (sifa ya kubadilika)

2. (x,y) R => (y,x) R (mali ya ulinganifu)

3. (x,y) R, (y,z) R, kisha (x,z) R (mali ya upitishaji)

Ikiwa wanandoa (x,y) aliingia katika mahusiano ya usawa, kisha x na y huitwa sawa (x~y).

1. Hebu ℤ - seti ya nambari kamili, m≥1- nambari kamili. Wacha tufafanue uhusiano wa usawa R juu ℤ Kwahivyo n ~ k, Kama n-k kugawanywa na m. Wacha tuangalie ikiwa mali zimeridhika kwenye uhusiano huu.

1. Reflexivity.

Kwa mtu yeyote n∈ℤ ℤ vile vile (p,p)∈R

р-р=0. Kwa sababu 0∈ ℤ , Hiyo (p,p)∈ℤ.

2. Ulinganifu.

Kutoka (n,k) ∈R inafuata kwamba kuna kitu kama hicho р∈ℤ, Nini n-k=mp;

k-n =m(-p), -p∈ ℤ, kwa hivyo (k,n) ∈R.

3. Transitivity.

Kutoka kwa nini (n,k) ∈R, (k,q) ∈R inafuata kwamba kuna vile uk 1 Na р 2 ∈ ℤ, Nini n-k=mp 1 Na k-q=mp 2. Kuongeza maneno haya, tunapata hiyo n-q=m(p 1 + p 2), p 1 + p 2 =p, p∈ ℤ. Ndiyo maana (n,q) ∈ ℤ.

2. Fikiria kuweka X sehemu zote zilizoelekezwa za nafasi au ndege . =(A, B). Wacha tuanzishe uhusiano wa usawa R juu X.

(Hiyo ni, ambayo ina sifa zifuatazo: kila kipengele cha seti ni sawa na yenyewe; if x sawa y, Hiyo y sawa x; Kama x sawa y, A y sawa z, Hiyo x sawa z ).

Kisha seti ya madarasa yote ya usawa inaitwa seti ya kipengele na imeteuliwa. Kugawanya seti katika madarasa ya vitu sawa huitwa yake factorization.

Onyesha kutoka X katika seti ya madarasa ya usawa inaitwa kipengele cha ramani.

Mifano

Ni busara kutumia kuweka factorization kupata nafasi za kawaida kutoka kwa zile za kawaida, nafasi zilizo na bidhaa ya ndani kutoka kwa nafasi zilizo na karibu bidhaa ya ndani, n.k. Ili kufanya hivyo, tunaanzisha, kwa mtiririko huo, kawaida ya darasa, sawa na kawaida ya kitu cha kiholela, na bidhaa ya ndani ya darasa kama bidhaa ya ndani ya mambo ya kiholela ya darasa. Kwa upande wake, uhusiano wa usawa huletwa kama ifuatavyo (kwa mfano, kuunda nafasi ya mgawo wa kawaida): sehemu ndogo ya nafasi ya asili iliyo na nusu huletwa, inayojumuisha vitu vyenye seminorm ya sifuri (kwa njia, ni ya mstari, ambayo ni, ni nafasi ndogo) na inachukuliwa kuwa vipengele viwili ni sawa ikiwa tofauti zao ni za nafasi hii ndogo.

Ikiwa, ili kuunda nafasi ya mstari, nafasi ndogo huletwa na inadhaniwa kuwa ikiwa tofauti ya vipengele viwili vya nafasi ya awali ni ya nafasi hii, basi vipengele hivi ni sawa, basi kipengele kilichowekwa ni nafasi ya mstari na inaitwa. nafasi ya kipengele.

Mifano

Angalia pia

Wikimedia Foundation. 2010.

Tazama "Seti ya Factor" ni nini katika kamusi zingine:

Kanuni ya kimantiki ya fasili za msingi kupitia ufupisho (Angalia Ufafanuzi kupitia ufupisho): Uhusiano wowote wa aina ya usawa, unaofafanuliwa kwenye seti fulani ya vipengele vya awali, hugawanya (kugawanya, kuainisha) asili... ...

Aina ya fikra inayoonyesha mali muhimu, miunganisho na uhusiano wa vitu na matukio katika kupingana na maendeleo yao; fikra au mfumo wa mawazo ambao unajumlisha, kutofautisha vitu vya tabaka fulani kulingana na jumla fulani na kwa jumla.... Encyclopedia kubwa ya Soviet

Cohomology ya kikundi cha Galois. Ikiwa M ni kikundi cha Wabeli na kikundi cha Galois cha kiendelezi kinachofanya kazi kwa M, basi vikundi vya Kohomolojia vya Galois ni vikundi vya cohomology vilivyofafanuliwa na changamano inayojumuisha ramani zote, na d ni mwendeshaji wa ushirikiano (angalia Cohomology of groups).... . .. Encyclopedia ya hisabati

Ujenzi, kwa paradiso, kwanza ulionekana katika nadharia iliyowekwa, na kisha ukatumiwa sana katika algebra, topolojia na maeneo mengine ya hisabati. Kesi maalum muhimu ya i.p ni i.p ya familia iliyoelekezwa ya miundo ya hisabati ya aina moja. Wacha iwe… Encyclopedia ya hisabati

Alama ingawa zinahusiana na kikundi G kinachofanya kazi kwenye seti X (upande wa kushoto), Seti ya Seti ni kikundi kidogo cha G na inaitwa. kiimarishaji, au kikundi kidogo kisichosimama cha sehemu inayohusiana na G. Uchoraji ramani huleta mgawanyiko kati ya G/Gx na obiti G(x). KUHUSU.…… Encyclopedia ya hisabati

Makala haya yana utangulizi mfupi mno. Tafadhali ongeza sehemu ya utangulizi ambayo inatanguliza kwa ufupi mada ya makala na muhtasari wa yaliyomo... Wikipedia

Nakala hii inahusu mfumo wa aljebra. Kwa tawi la mantiki ya hisabati inayosoma taarifa na uendeshaji juu yake, angalia Algebra ya Mantiki. Aljebra ya Boolean ni seti A isiyo tupu yenye oparesheni mbili za binary (mfano na kiunganishi), ... ... Wikipedia

Acha uhusiano wa usawa utolewe kwenye seti. Kisha seti ya madarasa yote ya usawa inaitwa kipengele kilichowekwa na inaashiria. Kugawanya seti katika madarasa ya vitu sawa huitwa factorization yake. Kuchora ramani kutoka kwa... ... Wikipedia

Katika jiometri, sehemu iliyoelekezwa inaeleweka kama jozi ya alama zilizoamriwa, ya kwanza ambayo, hatua A, inaitwa mwanzo wake, na ya pili, B, mwisho wake. Yaliyomo 1 Ufafanuzi ... Wikipedia

Katika matawi mbalimbali ya hisabati, punje ya uchoraji ramani ni seti fulani ya kerf, ambayo kwa maana fulani inabainisha tofauti kati ya f na uchoraji wa ramani ya sindano. Ufafanuzi mahususi unaweza kutofautiana, lakini kwa ramani ya sindano f... ... Wikipedia

Weka kipengele

Umati.

Uhusiano wa mpangilio wa sehemu kwenye seti ya x ni uhusiano wa binary ambao unapinga ulinganifu, urejeshaji na ubadilikaji na unaonyeshwa na
kama jozi:

Uhusiano wa binary unaitwa uvumilivu ikiwa ni reflexive na ulinganifu.

Uhusiano wa jozi huitwa agizo la quasi ikiwa halibadiliki, linapinga ulinganifu na linabadilika (agizo la mapema).

Uhusiano wa binary unaitwa utaratibu mkali ikiwa ni reflexive na transitive.

Operesheni ya algebraic kwenye seti M ndio chaguo la kukokotoa

- operesheni isiyo ya kawaida;

- operesheni ya binary;

- operesheni ya majaribio.

Operesheni ya algebra ya binary -

- operesheni ambayo inapeana kila jozi iliyoagizwa kutoka kwa seti M sehemu ya seti ya M.

Sifa:

1) Mawasiliano:

2) Ushirikiano:

Kipengele cha upande wowote

Huweka M kwa shughuli za algebra ya jozi

Kipengele kinaitwa:

• 
  Sababu seti- seti ya madarasa ya usawa ya hii seti. Uhusiano wa utaratibu wa sehemu umewashwa nyingi x inaitwa uhusiano wa binary ...


• 
  Swali linalofuata." Sababu seti. Sababu seti- jumla Fomu za kuzidisha na za kuongeza.


• 
  Sababu seti- jumla
  Kundi la- seti ya vitu vilivyofafanuliwa na tofauti ambavyo vinaweza kufikiria kwa ujumla.


• 
  Kazi ya kuzidisha ni... more ». Sababu seti. Sababu seti- seti ya madarasa ya usawa ya hii seti.


• 
  Kwa kweli, mchakato wa uzalishaji ni ngumu zaidi, na bidhaa yake ni matokeo ya matumizi seti sababu.


• 
  Ubora wa maamuzi ya usimamizi inategemea seti sababu, muhimu zaidi ambayo inaweza kuwa n.


• 
  Kuboresha maamuzi ya kuongeza mtaji ni mchakato wa utafiti seti sababu kuathiri matokeo yanayotarajiwa...

Acha R iwe uhusiano wa binary kwenye seti ya X. Uhusiano R unaitwa kutafakari , ikiwa (x, x) О R kwa wote x О X; ulinganifu - ikiwa kutoka (x, y) О R inafuata (y, x) О R; nambari ya mpito 23 inalingana na chaguo 24 ikiwa (x, y) О R na (y, z) О R inamaanisha (x, z) О R.

Mfano 1

Tutasema kwamba x О X ina pamoja na kipengele y О X, ikiwa ni seti
x Ç y si tupu. Uhusiano wa kuwa na pamoja utakuwa wa kurejea na ulinganifu, lakini sio wa mpito.

Uhusiano wa usawa kwenye X ni uhusiano unaorudiwa, unaobadilika na linganifu. Ni rahisi kuona kuwa R Í X ´ X itakuwa uhusiano wa usawa ikiwa tu ikiwa mijumuisho itashikilia:

Kitambulisho X Í R (reflexivity),

R -1 Í R (ulinganifu),

R ° R Í R (transitivity).

Kwa kweli, hali hizi tatu ni sawa na zifuatazo:

Kitambulisho X Í R, R -1 = R, R ° R = R.

Kwa kugawanyika ya seti X ni seti A ya vijisehemu vidogo vilivyotengana viwili a Í X kiasi kwamba UA = X. Kwa kila kizigeu A tunaweza kuhusisha uhusiano wa usawa ~ on X, tukiweka x ~ y ikiwa x na y ni vipengele vya baadhi ya Î A. .

Kila uhusiano wa usawa ~ on X inalingana na kizigeu A, vipengele vyake ni vikundi vidogo, ambavyo kila kimoja kinajumuisha vile vilivyo katika uhusiano ~. Sehemu ndogo hizi zinaitwa madarasa ya usawa . Sehemu hii A inaitwa seti ya sababu ya seti ya X kwa heshima na ~ na inaashiria: X/~.

Hebu tufafanue uhusiano ~ on seti w ya nambari asilia, tukiweka x ~ y ikiwa masalio kutoka kugawanya x na y kwa 3 ni sawa. Kisha w/~ inajumuisha madarasa matatu ya usawa yanayolingana na mabaki 0, 1 na 2.

Uhusiano wa kuagiza

Uhusiano wa binary R kwenye seti ya X inaitwa antisymmetric , ikiwa kutoka kwa x R y na y R x inafuata: x = y. Uhusiano wa binary R kwenye seti ya X inaitwa uhusiano wa utaratibu , ikiwa ni reflexive, antisymmetric na transitive. Ni rahisi kuona kuwa hii ni sawa na hali zifuatazo:

1) Kitambulisho X Í R (reflexivity),

2) R Ç R -1 (antisymmetry),

3) R ° R Í R (transitivity).

Jozi iliyoagizwa (X, R) inayojumuisha seti ya X na uhusiano wa agizo R kwenye X inaitwa seti iliyoagizwa kwa sehemu .

Mfano 1

Acha X = (0, 1, 2, 3), R = ((0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2) ), (1, 3), (2, 2), (3, 3)).

Kwa kuwa R inakidhi masharti 1 - 3, basi (X, R) ni seti iliyoagizwa kwa sehemu. Kwa vipengele x = 2, y = 3, si x R y wala y R x si kweli. Vipengele vile huitwa isiyo na kifani . Kawaida uhusiano wa agizo unaonyeshwa na £. Katika mfano uliotolewa, 0 £ 1 na 2 £ 2, lakini si kweli kwamba 2 £ 3.

Mfano 2

Hebu< – бинарное отношение строгого неравенства на множестве w натуральных чисел, рассмотренное в разд. 1.2. Тогда объединение отношений = и < является отношением порядка £ на w и превращает w в частично упорядоченное множество.

Vipengele x, y О X vya seti iliyopangwa kwa sehemu (X, £) huitwa kulinganishwa , ikiwa x £ y au y £ x.

Seti iliyoagizwa kwa kiasi (X, £) inaitwa linearly kuamuru au mnyororo , ikiwa vipengele vyake viwili vinaweza kulinganishwa. Seti kutoka kwa mfano 2 itaagizwa kwa mstari, lakini seti kutoka kwa mfano 1 haitafanya.

Sehemu ndogo ya A Í X ya seti iliyoagizwa kiasi (X, £) inaitwa iliyofungwa juu , ikiwa kuna kipengele x О X kiasi kwamba £ x kwa О A zote. Kipengele x О X kinaitwa kubwa zaidi katika X ikiwa y £ x kwa zote y О X. Kipengele x О X kinaitwa upeo ikiwa hakuna vipengele y О X tofauti na x ambayo x £ y. Katika mfano 1, vipengele 2 na 3 vitakuwa vya juu zaidi, lakini sio kubwa zaidi. Vile vile hufafanuliwa kikomo cha chini sehemu ndogo, vipengele vidogo na vya chini kabisa. Katika mfano 1, kipengele 0 kitakuwa ndogo na cha chini kabisa. Katika Mfano wa 2, 0 pia ina sifa hizi, lakini (w, £) haina kipengele kikubwa zaidi au cha juu zaidi.

Ikiwa mtazamo R ina mali zifuatazo: reflexive symmetrical transitive, i.e. ni uhusiano wa usawa (~ au ≡ au E) kwenye seti M , basi seti ya madarasa ya usawa inaitwa seti ya sababu ya seti M kuhusu usawa R na imeteuliwa BWANA

Kuna sehemu ndogo ya vipengele vya seti M sawa x , kuitwa darasa la usawa.

Kutoka kwa ufafanuzi wa seti ya sababu inafuata kwamba ni sehemu ndogo ya Boolean: .

Kazi inaitwa kitambulisho na hufafanuliwa kama ifuatavyo:

Nadharia. Factor algebra F n /~ ni isomorphic kwa aljebra ya kazi za Boolean B n

Ushahidi.

Isomorphism inayohitajika ξ : F n / ~ → B n imedhamiriwa na kanuni ifuatayo: darasa la usawa ~(φ) kipengele kinalingana f φ , kuwa na jedwali la ukweli kwa fomula ya kiholela kutoka kwa seti ~(φ) . Kwa kuwa madarasa tofauti ya usawa yanahusiana na jedwali tofauti za ukweli, uchoraji wa ramani ξ sindano, na tangu kwa kazi yoyote ya Boolean f kutoka Katika uk kuna fomula inayowakilisha chaguo la kukokotoa f, kisha uchoraji wa ramani ξ mhusika. Shughuli za Hifadhi, 0, 1 zinapoonyeshwa ξ inakaguliwa moja kwa moja. CTD.

Kwa nadharia juu ya ukamilifu wa utendaji wa kila kazi ambayo sio ya kudumu 0 , inalingana na SDNF fulani ψ , mali ya darasa ~(φ) = ξ -1 (f) fomula zinazowakilisha chaguo la kukokotoa f . Tatizo la kuwa darasani hutokea ~(φ) disjunctive kawaida fomu, ambayo ina muundo rahisi zaidi.

Mwisho wa kazi -

Mada hii ni ya sehemu:

Kozi ya mihadhara juu ya taaluma ya hisabati ya kipekee

Chuo Kikuu cha Uhandisi wa Kiraia cha Jimbo la Moscow.. Taasisi ya Usimamizi wa Uchumi na Mifumo ya Habari katika Ujenzi.. IEEE..

Ikiwa unahitaji nyenzo za ziada juu ya mada hii, au haukupata ulichokuwa unatafuta, tunapendekeza kutumia utaftaji kwenye hifadhidata yetu ya kazi:

Tutafanya nini na nyenzo zilizopokelewa:

Ikiwa nyenzo hii ilikuwa muhimu kwako, unaweza kuihifadhi kwenye ukurasa wako kwenye mitandao ya kijamii:

Tweet

Mada zote katika sehemu hii:

Somo la hisabati tofauti
Somo la hisabati isiyo ya kawaida (ya mwisho, yenye mwisho) ni tawi la hisabati ambalo husoma mali ya miundo isiyo ya kawaida, wakati hisabati ya classical (inayoendelea) inasoma mali ya vitu.

Isomorphism
Sayansi inayochunguza oparesheni za aljebra inaitwa algebra. Wazo hili litakuwa mahususi zaidi na kuimarika unaposoma kozi. Algebra inavutiwa tu na swali la JINSI ya kutenda

Mazoezi
1. Thibitisha kuwa uchoraji wa ramani ya isomorphic daima ni isotoni, na mazungumzo sio kweli. 2. Andika kikundi chako katika lugha ya seti. 3. Andika katika lugha ya seti vitu ambavyo

Seti na vipengele vya kuweka
Hivi sasa, nadharia zilizopo zinatofautiana katika paradigmatics (mfumo wa maoni) ya msingi wa dhana na njia za kimantiki. Kwa hivyo, kama mfano, tunaweza kutaja mbili kinyume

Seti za mwisho na zisizo na mwisho
Hiyo ambayo seti inajumuisha, i.e. Vitu vinavyounda seti huitwa vipengele vyake. Vipengele vya seti ni tofauti na tofauti kutoka kwa kila mmoja. Kama inavyoweza kuonekana kutoka kwa mfano uliopewa

Nguvu ya kuweka
Kardinali kwa seti ya mwisho ni sawa na idadi ya vipengele vyake. Kwa mfano, kadinali ya ulimwengu B(A) ya seti A ya kadinali n

A1A2A3| + … + |A1A2A3| + … + |A1A2An| + … + |Аn-2An-1An| + (-1)n-1 |А1A2A3…An|
Seti yenye kikomo A ina kadinali k ikiwa ni sawa na sehemu ya 1.. k;:

Seti ndogo, kitengo kidogo chako
Baada ya dhana ya seti kuanzishwa, kazi inatokea ya kujenga seti mpya kutoka kwa zilizopo, yaani, kufafanua shughuli kwenye seti. Seti ya M",

Lugha ya ishara ya nadharia zilizowekwa zenye maana
Katika mchakato wa kusoma kozi hiyo, tutatofautisha kati ya lugha ya kitu cha nadharia iliyowekwa na lugha ya metali, ambayo lugha ya kitu inasomwa. Kwa lugha ya nadharia iliyowekwa tunaelewa uhusiano

Ushahidi
Seti B haina mwisho, ambayo inamaanisha

Kuongeza na kuondoa vitu
Ikiwa A ni seti, na x ni kipengele, na kisha kipengele

Seti zilizo na mipaka. Weka mipaka
Acha kazi ya nambari f(x) itolewe kwenye seti fulani ya X. Sehemu ya juu (mpaka) ya chaguo za kukokotoa f(x) ni nambari kama hiyo

Kikomo kamili cha juu (chini).
Seti ya mipaka yote ya juu E inaonyeshwa na Es, na mipaka yote ya chini na Ei. Iwapo

Ufungaji halisi wa juu (chini) wa seti
Ikiwa kipengele z ni cha makutano ya seti E na seti ya mipaka yake yote ya juu Es (mtawaliwa chini r.

Mali ya msingi ya mipaka ya juu na ya chini
Acha X iwe seti iliyoagizwa kwa kiasi. 1. Ikiwa, basi

Weka kutoka kwa mtazamo wa sifa
Mtazamo wa jumla, tofauti na mtazamo wa sifa, haukubaliki kimantiki kwa maana kwamba husababisha utata wa aina ya Russell na Cantor (tazama hapa chini). Ndani ya mfumo wa sifa t

Muundo
Seti iliyoagizwa kiasi X inaitwa muundo ikiwa ina seti yoyote ya vipengele viwili

Seti za kufunika na kugawa
Sehemu ya seti A ni familia ya Ai

Mahusiano ya binary
Mfuatano wa urefu n, masharti ambayo ni a1, .... an, yataashiriwa na (a1, .... a)

Sifa za mahusiano ya binary
Uhusiano wa binary R kwenye seti Ho ina sifa zifuatazo: (a) reflexive if xRx

Mahusiano ya Ternary
Bidhaa ya Cartesian XY

Mahusiano ya N-ary
Kwa mlinganisho na bidhaa ya Cartesian ya seti mbili X,Y, tunaweza kuunda bidhaa ya Cartesian X.

Maonyesho
Uchoraji ni baadhi ya miunganisho kati ya vipengele vya seti. Mifano rahisi zaidi ya mahusiano ni mahusiano ya uanachama x

Mawasiliano
Sehemu ndogo ya S ya bidhaa ya Cartesian inaitwa mawasiliano ya n-ary ya vipengele vya seti Mi. Rasmi

Kazi
Matawi yote ya hisabati ya pekee yanatokana na dhana ya utendakazi. Acha X -

Kuwakilisha kazi katika suala la mahusiano
Uhusiano wa binary f inaitwa kazi ikiwa kutoka na

Sindano, surjection, bijection
Wakati wa kutumia neno "kuchora", tofauti hufanywa kati ya XbY ya kuchora ramani na X ya kuchora kwenye Y.

Kitendaji kinyume
Kwa wale wa kiholela, tunafafanua

Seti zilizoagizwa kwa kiasi
Seti ya S inaitwa iliyoagizwa kwa kiasi (PUM) ikiwa imepewa uhusiano wa mpangilio wa mfumo wa binary unaoakisi, unaobadilika na usiolinganishwa.

Weka upunguzaji wa uwakilishi
Kwa kutumia sheria hizi, tunazingatia tatizo la kupunguza uwakilishi wa kuweka M kwa kutumia shughuli

Mipangilio upya
Imepewa seti A. Acha A iwe seti yenye kikomo inayojumuisha n elementi A = (a1, a2, ..., a

Ruhusa zilizo na marudio
Acha kuweka A iwe na vipengee vinavyofanana (vinavyorudiwa). Ruhusa na marudio ya utunzi (n1, n2, ... ,nk

Nafasi
Vipuli vya urefu k (1≤k≤n), vinavyojumuisha vipengele tofauti vya seti ya kipengele cha A (tuples hutofautiana katika

Nafasi zilizo na marudio
Acha kuweka A iwe na vipengee vinavyofanana (vinavyorudiwa). Uwekaji wenye marudio ya n vipengele vya k majina

Uwekaji wa utaratibu
Wacha tuweke vitu vya n kwenye masanduku ya m ili kila sanduku liwe na mlolongo, na sio, kama hapo awali, seti ya vitu vilivyowekwa ndani yake. Mbili

Mchanganyiko
Kutoka kwa seti ya kipengele cha m A tunaunda seti iliyoamuru ya urefu n, vipengele ambavyo ni mipangilio yenye mandhari sawa.

Mchanganyiko na marudio
Fomula zinazotokana ni halali tu wakati hakuna vipengele vinavyofanana kwenye seti A. Hebu kuwe na vipengele vya aina za n na kutoka kwao tuple ya

Mbinu ya kuzalisha kazi
Njia hii hutumiwa kuhesabu nambari za ujumuishaji na kuanzisha vitambulisho vya ujumuishaji. Sehemu ya kuanzia ni mfuatano wa mfuatano (ai)

Mfumo wa algebraic
Mfumo wa aljebra A ni mkusanyiko ‹M,O,R›, kijenzi cha kwanza ambacho M ni seti isiyo tupu, kijenzi cha pili O ni seti.

Kufungwa na subalgebras
Sehemu ndogo inasemekana kufungwa chini ya operesheni φ if

Algebra na operesheni moja ya jozi
Wacha operesheni moja ya binary itolewe kwenye seti ya M. Wacha tuzingatie algebra inazozalisha, lakini kwanza tutazingatia sifa fulani za shughuli za binary. Nambari o

Groupoid
Algebra ya fomu<М, f2>inayoitwa groupoid. Ikiwa f2 ni operesheni kama kuzidisha (

Nambari modulo m
Imepewa pete ya nambari kamili . Hebu tukumbushe. Aljebra<М,

Mazungumzo
Ulinganifu wa aljebra A = (Σ - saini ya aljebra ina alama za utendaji tu) uhusiano kama huo wa usawa unaitwa

Vipengele vya nadharia ya grafu
Grafu ni vitu vya hisabati. Nadharia ya grafu inatumika katika maeneo kama vile fizikia, kemia, nadharia ya mawasiliano, muundo wa kompyuta, uhandisi wa umeme, uhandisi wa mitambo, usanifu, utafiti wa

Grafu, vertex, makali
Kwa grafu isiyoelekezwa (au, kwa kifupi, grafu) tunamaanisha jozi ya kiholela G = , Nini

Mawasiliano
Maelezo mengine, yanayotumiwa mara nyingi zaidi ya grafu iliyoelekezwa G yanajumuisha kubainisha seti ya vipeo X na mawasiliano Г, hadi.

Grafu isiyoelekezwa
Ikiwa kingo hazina mwelekeo, basi grafu inaitwa isiyoelekezwa (rudufu isiyoelekezwa au isiyoelekezwa.

Matukio, grafu iliyochanganywa
Ikiwa makali e ina fomu (u, v) au<и, v>, basi tutasema kwamba makali e ni tukio ver

Ulinganishaji wa kinyume
Kwa kuwa inawakilisha seti ya vipeo vile

Isomorphism ya grafu
Grafu mbili G1 = na G2 = ni isomorphic (G

Njia iliyoelekezwa kwa njia
Njia (au njia iliyoelekezwa) ya grafu iliyoelekezwa ni mlolongo wa arcs ambayo

Arcs karibu, wima karibu, shahada ya vertex
Arcs a = (xi, xj), xi ≠ xj, yenye vipeo vya kawaida vya mwisho, n

Muunganisho
Vipeo viwili kwenye grafu vinaitwa kushikamana ikiwa kuna njia rahisi inayowaunganisha. Grafu inaitwa kuunganishwa ikiwa wima zake zote zimeunganishwa. Nadharia.

Grafu ya arc yenye uzito
Grafu G = (N, A) inaitwa iliyopimwa ikiwa baadhi ya chaguo za kukokotoa l: A → R hufafanuliwa kwenye seti ya safu A kama hizo.

Matrix yenye nguvu ya muunganisho
Matrix ya uunganisho yenye nguvu: weka 1 kando ya diagonal; jaza mstari wa X1 - ikiwa vertex inapatikana kutoka X1 na X1 d

Miti
Miti ni muhimu si tu kwa sababu wanapata maombi katika nyanja mbalimbali za ujuzi, lakini pia kwa sababu wana nafasi maalum katika nadharia ya grafu yenyewe. Mwisho unasababishwa na unyenyekevu mkubwa wa muundo wa mti

Mti wowote ambao sio mdogo una angalau wima mbili zinazoning'inia
Uthibitisho Fikiria mti G(V, E). Mti ni grafu iliyounganishwa, kwa hiyo

Nadharia
Katikati ya mti huru huwa na kipeo kimoja au vipeo viwili vilivyo karibu: Z(G) = 0&k(G) = 1 → C(G) = K1

Miti iliyoelekezwa, iliyoagizwa na ya binary
Miti iliyoelekezwa (iliyoagizwa) ni muhtasari wa mahusiano ya kihierarkia ambayo mara nyingi hupatikana katika maisha ya vitendo na katika hisabati na programu. Mti (mwelekeo)

Ushahidi
1. Kila arc inaingia node fulani. Kutoka kwa kifungu cha 2 cha ufafanuzi 9.2.1 tunayo: v

Miti iliyoagizwa
Seti T1,..., Tk katika ufafanuzi sawa wa orderev ni miti midogo. Ikiwa mpangilio wa jamaa wa miti midogo T1,...,

Miti ya binary
Mti wa binary (au wa binary) ni seti ya mwisho ya nodi ambazo hazina tupu au zina mzizi na miti miwili iliyotengana ya binary - kushoto na kulia. Binary mti si katika java

Uwakilishi wa bure wa miti
Ili kuwakilisha miti, unaweza kutumia mbinu sawa na za kuwakilisha grafu za jumla - matrices ya karibu na matukio, orodha za karibu, na wengine. Lakini kwa kutumia mali maalum ya

Mwisho kwa
Sababu Msimbo wa Prüfer kwa hakika ni uwakilishi wa mti usiolipishwa. Ili kuona hili, hebu tuonyeshe kwamba ikiwa T" ni mti

Uwakilishi wa miti ya binary
Mti wowote wa bure unaweza kuelekezwa kwa kuteua nodi zake moja kama mzizi. Agizo lolote linaweza kuamuru kiholela. Kwa wazao wa node moja (ndugu) ya utaratibu ulioamriwa, inafafanuliwa jamaa

Kazi za msingi za mantiki
Wacha tuonyeshe kwa E2 = (0, 1) seti inayojumuisha nambari mbili. Nambari 0 na 1 ni za msingi katika mkeka tofauti

Kazi ya Boolean
Utendakazi wa Boolean wa n hoja x1, x2, ... ,xn ni chaguo la kukokotoa f kutoka kwa nguvu ya nth ya seti

Aljebra ya Boolean yenye vipengele viwili
Wacha tuchunguze seti Во = (0,1) na tufafanue shughuli juu yake, kulingana na jedwali la vyanzo.

Majedwali ya Kazi ya Boolean
Kitendaji cha Boolean cha vigeu vya n kinaweza kubainishwa na jedwali linalojumuisha safu wima mbili na safu mlalo 2. Safu ya kwanza inaorodhesha seti zote kutoka kwa B

F5 - kurudia katika y
f6 – jumla modulo 2 f7

Utaratibu wa uendeshaji
Ikiwa hakuna mabano katika usemi mgumu, basi shughuli lazima zifanyike kwa utaratibu ufuatao: kuunganishwa, kutenganisha, maana, usawa, kukataa. Mikataba kuhusu mpangilio wa nadharia ya kwanza ya shannon
Ili kutatua tatizo la kupata SDNF na SCNF sawa na fomula asili φ, kwanza tunazingatia upanuzi wa kitendakazi cha Boolean f(x1, x2).

Nadharia ya pili ya Shannon
Kwa mujibu wa kanuni ya uwili, Theorem 6.4.3 (nadharia ya pili ya Shannon) inashikilia algebra za Boolean. Kitendaji chochote cha Boolean f(x1, x2,...

Ukamilifu wa kiutendaji
Theorem (kuhusu utimilifu wa kazi). Kwa kitendakazi chochote cha Boolean f kuna fomula φ inayowakilisha chaguo za kukokotoa f

Algorithm ya kutafuta sdnf
Ili kupata SDNF, fomula hii lazima kwanza ipunguzwe hadi DNF, na kisha kubadilisha viunganishi vyake kuwa viunga vya kitengo kwa kutumia vitendo vifuatavyo: a) ikiwa kiunganishi kinajumuisha baadhi ya viunganishi vyake.

Mbinu ya Quine
Fikiria mbinu ya Quine ya kutafuta MDNF inayowakilisha kitendakazi fulani cha Boolean. Hebu tufafanue shughuli tatu zifuatazo: - operesheni kamili ya kuunganisha -

Uwakilishi wa kisheria wa kazi za kimantiki
Aina za kisheria za utendakazi wa kimantiki (fomula) ni semi ambazo zina umbo la kawaida la fomula ya Boolean hivi kwamba inawakilisha kipekee utendaji wa kimantiki. Katika algebra

Mifumo ya kazi ya Boolean
Acha Boolean ifanye kazi f(g1, g2, …, gm) na g1(x1, x2, …, xn), g2(x1)

Msingi wa Zhegalkin
Wacha tuijaribu. Imekamilika, kwani kazi yoyote kutoka kwa msingi wa kawaida inaonyeshwa kwa maneno

Nadharia ya chapisho
Nadharia ya chapisho huweka masharti muhimu na ya kutosha kwa ukamilifu wa mfumo wa kazi za Boolean. (Chapisho E.L. Mifumo ya mwingiliano yenye thamani mbili ya mantiki ya hisabati. – Annals of Math. Stu

Ushahidi
Umuhimu. Kutoka kinyume. Liwe liwalo

algebra ya Zhegalkin
Jumla ya modulo 2, kiunganishi na viunga 0 na 1 huunda mfumo kamili wa utendaji, i.e. kuunda algebra - Zhegalkin algebra. A=

Mantiki ya pendekezo
Mantiki ya hisabati huchunguza dhana za kimsingi za sintaksia (umbo) na semantiki (maudhui) ya lugha asilia. Hebu tuchunguze maeneo makuu matatu ya utafiti katika mantiki ya hisabati - mantiki

Ufafanuzi wa kiima
Acha X1, X2, ..., Xn ziwe vigeu vya kiholela. Vigezo hivi tutaviita vigeu vya somo. Hebu variable inakuweka

Utumiaji wa vihusishi katika aljebra
Hebu tuchunguze vihusishi ambamo kigeu kimoja pekee ni cha bure, ambacho tunaashiria kwa x, na tujadili matumizi ya vidahizo katika aljebra. Mfano wa kawaida

Aljebra ya kivumishi cha Boolean
Kwa kuwa utendakazi wa kimantiki unaweza kutumika kwa vihusishi, sheria za msingi za aljebra ya Boolean ni halali kwao. Nadharia. (Sifa za shughuli za kimantiki kwa vitabiri). Mhe

F↔G=(F→G)(G→F), F→G=sio FG
2. Tumia sheria sio F=F, sheria za de Morgan: sio (F

Hesabu ya kutabiri
Calculus predicate pia huitwa nadharia ya mpangilio wa kwanza. Katika calculus prediketo, kama vile katika calculus propositional, nafasi ya kwanza muhimu zaidi ni tatizo la solvability.

Kufuatia na usawa
Fomu ya pendekezo Q2 inafuata kutoka kwa fomu ya pendekezo Q1 ikiwa maana ya Q1→ Q2 inakuwa kweli.

Maandishi yaliyokubaliwa
Alama za "usiamuru tena". Wakati wa kulinganisha kiwango cha ukuaji wa chaguo mbili za kukokotoa f(n) na g(n) (na maadili yasiyo hasi), zifuatazo ni rahisi sana.

Majina ya Meta
Alama Yaliyomo Mfano AU