Ni nini wastani katika pembetatu? Wastani wa pembetatu

Upeo wa kati na urefu wa pembetatu ni mojawapo ya kuvutia zaidi na mada za kuvutia jiometri. Neno "Median" linamaanisha mstari au sehemu inayounganisha kipeo cha pembetatu na yake upande kinyume. Kwa maneno mengine, wastani ni mstari unaotoka katikati ya upande mmoja wa pembetatu hadi kipeo kinyume cha pembetatu sawa. Kwa kuwa pembetatu ina wima tatu tu na pande tatu, inamaanisha kunaweza kuwa na wapatanishi watatu tu.

Sifa za wastani wa pembetatu

Wastani wote wa pembetatu huingiliana kwa hatua moja na hutenganishwa na hatua hii kwa uwiano wa 2: 1, kuhesabu kutoka kwa vertex. Kwa hivyo, ikiwa utachora wapatanishi wote watatu kwenye pembetatu, basi sehemu yao ya makutano itawagawanya katika sehemu mbili. Sehemu ambayo iko karibu na vertex itakuwa 2/3 ya mstari mzima, na sehemu ambayo iko karibu na upande wa pembetatu itakuwa 1/3 ya mstari. Wastani huingilia kati kwa wakati mmoja.
Wastani watatu waliochorwa katika pembetatu moja hugawanya pembetatu hii katika pembetatu ndogo 6, ambazo eneo lake litakuwa sawa.
Upande mkubwa wa pembetatu ambayo wastani hutoka, ndogo ya wastani. Na kinyume chake, zaidi upande mfupi ina wastani mrefu zaidi.
Wastani ndani pembetatu ya kulia ina idadi ya sifa zake. Kwa mfano, ikiwa tunaelezea mduara unaozunguka pembetatu kama hiyo ambayo itapita kwenye wima zote, basi wastani pembe ya kulia inayotolewa kwa hypotenuse itakuwa radius ya duara iliyozungushwa (yaani, urefu wake utakuwa umbali kutoka kwa sehemu yoyote ya duara hadi katikati yake).

Mlinganyo wa urefu wa wastani wa pembetatu

Njia ya wastani inatoka kwa nadharia ya Stewart na inasema kuwa wastani ni Kipeo kutoka kwa uwiano wa miraba ya jumla ya pande za pembetatu zinazounda vertex, toa mraba wa upande ambao wastani hutolewa hadi nne. Kwa maneno mengine, ili kujua urefu wa wastani, unahitaji kuweka mraba urefu wa kila upande wa pembetatu, na kisha uandike kama sehemu, nambari ambayo itakuwa jumla ya mraba wa pande ambazo. tengeneza pembe ambayo wastani hutoka, ukiondoa mraba wa upande wa tatu. Denominator hapa ni namba 4. Kisha tunahitaji kutoa mizizi ya mraba kutoka sehemu hii, na kisha tutapata urefu wa wastani.

Sehemu ya makutano ya viunga vya pembetatu

Kama tulivyoandika hapo juu, wapatanishi wote wa pembetatu moja huingiliana kwa wakati mmoja. Hatua hii inaitwa katikati ya pembetatu. Inagawanya kila wastani katika sehemu mbili, urefu ambao ni sawia na 2:1. Katika kesi hii, katikati ya pembetatu pia ni katikati ya mduara unaozunguka. Na wengine takwimu za kijiometri kuwa na vituo vyao.

Kuratibu za hatua ya makutano ya wapatanishi wa pembetatu

Ili kupata kuratibu za makutano ya wapatanishi wa pembetatu moja, tunatumia mali ya centroid, kulingana na ambayo inagawanya kila wastani katika sehemu 2: 1. Tunaashiria wima kama A(x 1 ;y 1), B(x 2 ;y 2), C(x 3 ;y 3),

na uhesabu kuratibu za katikati ya pembetatu kwa kutumia formula: x 0 = (x 1 + x 2 + x 3) / 3; y 0 = (y 1 + y 2 + y 3)/3.

Eneo la pembetatu kupitia wastani

Wastani wote wa pembetatu moja hugawanya pembetatu hii na 6 pembetatu sawa, na katikati ya pembetatu hugawanya kila wastani kwa uwiano wa 2:1. Kwa hivyo, ikiwa vigezo vya kila wastani vinajulikana, unaweza kuhesabu eneo la pembetatu kupitia eneo la moja ya pembetatu ndogo, na kisha kuongeza kiashiria hiki kwa mara 6.

Wastani ni sehemu inayotolewa kutoka kwenye vertex ya pembetatu hadi katikati ya upande wa kinyume, yaani, inaigawanya kwa nusu kwenye hatua ya makutano. Hatua ambayo wastani huingilia upande kinyume na vertex ambayo inatoka inaitwa msingi. Kila wastani wa pembetatu hupitia hatua moja, inayoitwa hatua ya makutano. Fomu ya urefu wake inaweza kuonyeshwa kwa njia kadhaa.

Fomula za kueleza urefu wa wastani

Mara nyingi katika matatizo ya jiometri, wanafunzi wanapaswa kushughulika na sehemu kama vile wastani wa pembetatu. Fomula ya urefu wake imeonyeshwa kwa suala la pande:

ambapo a, b na c ni pande. Zaidi ya hayo, c ni upande ambao wastani huanguka. Hivi ndivyo inavyoonekana formula rahisi. Wastani wa pembetatu wakati mwingine inahitajika kwa hesabu za msaidizi. Kuna fomula zingine.

Ikiwa wakati wa hesabu pande mbili za pembetatu na pembe fulani α iko kati yao zinajulikana, basi urefu wa wastani wa pembetatu, uliopunguzwa kwa upande wa tatu, utaonyeshwa kama ifuatavyo.

Mali ya msingi

Wapatanishi wote wana moja hatua ya kawaida makutano ya O na imegawanywa kwa uwiano wa mbili hadi moja, ikiwa imehesabiwa kutoka kwa vertex. Hatua hii inaitwa katikati ya mvuto wa pembetatu.
Wastani hugawanya pembetatu katika nyingine mbili ambazo maeneo yao ni sawa. Pembetatu kama hizo huitwa eneo la usawa.
Ikiwa unachora wapatanishi wote, pembetatu itagawanywa katika takwimu 6 sawa, ambazo pia zitakuwa pembetatu.
Ikiwa pande zote tatu za pembetatu ni sawa, basi kila moja ya wapatanishi pia itakuwa urefu na bisector, ambayo ni, perpendicular kwa upande ambao hutolewa, na kugawanya pembe ambayo inatoka.
KATIKA pembetatu ya isosceles wastani ulioshuka kutoka kwenye kipeo kilicho kinyume na upande ambao si sawa na mwingine wowote pia itakuwa mwinuko na sehemu mbili. Wastani ulioshuka kutoka kwa wima zingine ni sawa. Hii pia ni muhimu na hali ya kutosha isosceles.
Ikiwa pembetatu ni msingi piramidi ya kawaida, kisha urefu ulioteremshwa kwa msingi fulani unakadiriwa hadi mahali pa makutano ya wapatanishi wote.

Katika pembetatu ya kulia, wastani unaotolewa kwa upande mrefu zaidi ni sawa na nusu ya urefu wake.
Acha O iwe sehemu ya makutano ya vipatanishi vya pembetatu. Fomula hapa chini itakuwa kweli kwa nukta yoyote ya M.

Wastani wa pembetatu ina mali nyingine. Njia ya mraba ya urefu wake kupitia mraba wa pande imewasilishwa hapa chini.

Sifa za pande ambazo wastani hutolewa

Ikiwa unaunganisha pointi mbili za makutano ya wapatanishi na pande ambazo zimeshuka, basi sehemu inayotokana itakuwa mstari wa kati wa pembetatu na kuwa nusu ya upande wa pembetatu ambayo haina pointi za kawaida.
Misingi ya urefu na wapatanishi katika pembetatu, na vile vile sehemu za katikati za sehemu zinazounganisha wima za pembetatu na hatua ya makutano ya miinuko, ziko kwenye duara moja.

Kwa kumalizia, ni mantiki kusema kwamba moja ya sehemu muhimu zaidi ni wastani wa pembetatu. Fomula yake inaweza kutumika kupata urefu wa pande zake nyingine.

Maagizo

Ili kujiondoa fomula Kwa wapatanishi kwa kiholela, ni muhimu kurejea kwa msingi wa nadharia ya cosine kwa parallelogram iliyopatikana kwa kukamilisha. pembetatu. Fomu inaweza kuthibitishwa na hili, ni rahisi sana kwa kutatua ikiwa urefu wote wa pande hujulikana au wanaweza kupatikana kwa urahisi kutoka kwa data nyingine za awali za tatizo.

Kwa kweli, theorem ya cosine ni jumla ya nadharia ya Pythagorean. Inaonekana kama hii: kwa pande mbili pembetatu yenye urefu wa pande a, b na c na pembe α kinyume na a, usawa ufuatao unashikilia: a² = b² + c² – 2 b c cos α.

Muhtasari wa jumla kutoka kwa nadharia ya cosine huamua mojawapo ya mali muhimu zaidi pande nne: jumla ya miraba ya diagonals ni sawa na jumla ya miraba ya pande zake zote: d1² + d2² = a² + b² + c² + d².

Kamilisha pembetatu hadi sambamba la ABCD kwa kuongeza mistari sambamba na a na c. hivyo na pande a na c na ulalo b. Njia rahisi zaidi ya kujenga ni hii: kwenye mstari wa moja kwa moja ambao wa kati ni wa, weka sehemu ya MD ya urefu sawa, unganisha vertex yake na wima ya A na C iliyobaki.

Kwa mujibu wa mali ya parallelogram, diagonals imegawanywa katika sehemu sawa na hatua ya makutano. Tumia muhtasari wa nadharia ya cosine, kulingana na ambayo jumla ya miraba ya diagonals ya parallelogram ni sawa na jumla ya miraba mara mbili ya pande zake: BK² + AC² = 2 AB² + 2 BC².

Kwa kuwa BK = 2 BM, na BM ni wastani wa m, basi: (2 m) ² + b² = 2 c² + 2 a², kutoka wapi: m = 1/2 √(2 c² + 2 a² - b²).

ulileta nje fomula mmoja wa pembetatu kwa upande b: mb = m. Vile vile kuna wapatanishi pande zake nyingine mbili:ma = 1/2 √(2 c² + 2 b² - a²);mc = 1/2 √(2 a² + 2 b² - c²).

Vyanzo:

fomula ya wastani
Fomula za wastani wa pembetatu [video]

Wastani pembetatu inayoitwa sehemu inayounganisha vertex yoyote pembetatu kutoka katikati ya upande mwingine. Wapatanishi watatu huingiliana kwa wakati mmoja kila wakati ndani pembetatu. Hatua hii inagawanya kila mmoja wastani kwa uwiano wa 2:1.

Maagizo

Tatizo la kupata wastani linaweza kutatuliwa na ujenzi wa ziada pembetatu kwa parallelogram na kwa njia ya theorem kwenye diagonal ya parallelogram Panua pande pembetatu Na wastani, kuwajenga hadi parallelogram. Kwa hivyo wa kati pembetatu itakuwa nusu ya diagonal ya parallelogram inayosababisha, pande mbili pembetatu- upande wake (a, b), na upande wa tatu pembetatu, ambayo wastani ulitolewa, ni diagonal ya pili ya parallelogram inayosababisha. Kulingana na nadharia, jumla ya miraba ya parallelogram ni sawa na mara mbili ya jumla ya miraba ya pande zake.
2*(a^2 + b^2) = d1^2 + d2^2,
Wapi
d1, d2 - diagonals ya parallelogram kusababisha;
kutoka hapa:
d1 = 0.5*v(2*(a^2 + b^2) - d2^2)

Wastani ni sehemu ya mstari inayounganisha kipeo pembetatu na katikati ya upande wa pili. Kujua urefu wa pande zote tatu pembetatu, unaweza kupata wastani wake. Katika kesi maalum za isosceles na equilateral pembetatu, kwa wazi, inatosha kujua, kwa mtiririko huo, mbili (sio sawa na kila mmoja) na upande mmoja pembetatu.

Utahitaji

Mtawala

Maagizo

Hebu tuzingatie kesi ya jumla pembetatu ABC na marafiki wasio sawa vyama. Urefu wa AE ya wastani ya hii pembetatu inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Wapatanishi waliobaki wanafanana kabisa. Hii inaweza kupatikana kupitia nadharia ya Stewart, au kupitia ugani pembetatu kwa parallelogram.

Ikiwa ABC ni isosceles na AB = AC, basi AE ya wastani itakuwa zote mbili pembetatu. Kwa hiyo, pembetatu BEA itakuwa pembetatu sahihi. Kulingana na nadharia ya Pythagorean, AE = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Kutoka kwa urefu wa jumla wa wastani pembetatu, kwa wapatanishi BO na CP zifuatazo ni kweli: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.

Vyanzo:

Wastani na mistari isiyo na sekta ya pembetatu

Wastani ni sehemu ya mstari inayounganisha kipeo cha pembetatu na katikati ya upande wa pili. Kujua urefu wa pande zote tatu za pembetatu, unaweza kuipata wapatanishi. Katika matukio maalum ya isosceles na pembetatu ya usawa Kwa wazi, ujuzi wa, kwa mtiririko huo, mbili (sio sawa na kila mmoja) na upande mmoja wa pembetatu ni wa kutosha. Wastani pia unaweza kupatikana kwa kutumia data nyingine.

Utahitaji

Urefu wa pande za pembetatu, pembe kati ya pande za pembetatu

Maagizo

Wacha tuzingatie kisa cha jumla zaidi cha pembetatu ABC na pande tatu zisizo sawa. Urefu wapatanishi AE ya pembetatu hii inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Pumzika wapatanishi zinafanana kabisa. Hili linatokana na nadharia ya Stewart, au kwa kukamilika kwa pembetatu hadi sambamba.

Ikiwa ABC ni isosceles na AB = AC, basi AE pia itakuwa pembetatu hii. Kwa hiyo, pembetatu BEA itakuwa pembetatu sahihi. Kulingana na nadharia ya Pythagorean, AE = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Kutoka urefu wa jumla wapatanishi pembetatu, kwa BO na CP zifuatazo ni kweli: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.

Wastani wa pembetatu inaweza kupatikana kwa kutumia data nyingine. Kwa mfano, ikiwa urefu wa pande mbili hutolewa, wastani hutolewa kwa mmoja wao, kwa mfano, urefu wa pande AB na BC, pamoja na angle x kati yao. Kisha urefu wapatanishi inaweza kupatikana kupitia nadharia ya cosine: AE = sqrt((AB^2+(BC^2)/4)-AB*BC*cos(x)).

Vyanzo:

Medians na bisectors ya pembetatu
jinsi ya kupata urefu wa wastani

Wastani wa pembetatu- hii ni sehemu inayounganisha vertex ya pembetatu na katikati ya upande wa pili wa pembetatu hii.

Sifa za wapatanishi wa pembetatu

1. Wastani hugawanya pembetatu katika pembetatu mbili za eneo sawa.

2. Wastani wa pembetatu huingiliana kwa hatua moja, ambayo hugawanya kila mmoja wao kwa uwiano wa 2: 1, kuhesabu kutoka kwa vertex. Hatua hii inaitwa katikati ya mvuto wa pembetatu (centroid).

3. Pembetatu nzima imegawanywa na wapatanishi wake katika pembetatu sita sawa.

Urefu wa wastani uliochorwa kwa upande: ( uthibitisho kwa kujenga hadi parallelogramu na kutumia usawa katika msambao wa jumla ya mara mbili ya miraba ya pande na jumla ya miraba ya diagonal. )

T1. Wastani watatu wa pembetatu huingiliana kwa hatua moja M, ambayo hugawanya kila mmoja wao kwa uwiano wa 2: 1, kuhesabu kutoka kwa wima ya pembetatu. Imetolewa: ∆ ABC, SS 1, AA 1, BB 1 - wapatanishi
∆ABC. Thibitisha: na

D-vo: Acha M iwe sehemu ya makutano ya wastani CC 1, AA 1 ya pembetatu ABC. Hebu tuweke alama A 2 - katikati ya sehemu AM na C 2 - katikati ya sehemu ya CM. Kisha A 2 C 2 - mstari wa kati pembetatu AMS. Ina maana, A2C2| AC

na A 2 C 2 = 0.5 * AC. NA 1 A 1 - mstari wa kati wa pembetatu ABC. Kwa hivyo A 1 NA 1 | AC na A 1 NA 1 = 0.5 * AC.

Quadrangle A 2 C 1 A 1 C 2- parallelogram, kwani pande zake tofauti ni A 1 NA 1 Na A2C2 sawa na sambamba. Kwa hivyo, A 2 M = MA 1 Na C 2 M = MC 1 . Hii ina maana kwamba pointi A 2 Na M kugawanya wastani AA 2 katika sehemu tatu sawa, yaani AM = 2MA 2. Sawa na CM = 2MC 1 . Kwa hivyo, onyesha M ya makutano ya wapatanishi wawili AA 2 Na CC 2 pembetatu ABC inagawanya kila mmoja wao kwa uwiano wa 2: 1, kuhesabu kutoka kwa wima ya pembetatu. Inathibitishwa kwa njia sawa kabisa kwamba hatua ya makutano ya wapatanishi AA 1 na BB 1 inagawanya kila mmoja wao kwa uwiano wa 2: 1, kuhesabu kutoka kwa wima ya pembetatu.

Kwenye AA ya wastani 1 hatua kama hiyo ni M, kwa hivyo, hatua M na kuna sehemu ya makutano ya viunga vya AA 1 na BB 1.

Hivyo, n

T2. Thibitisha kwamba sehemu zinazounganisha katikati na vipeo vya pembetatu zinaigawanya katika sehemu tatu sawa. Imetolewa: ∆ABC, - wastani wake.

Thibitisha: S AMB =S BMC =S AMC .Ushahidi. NDANI, wanafanana. kwa sababu misingi yao ni sawa na urefu unaotolewa kutoka kwenye vertex M, wanafanana. Kisha

Kwa njia sawa inathibitishwa kuwa S AMB = S AMC . Hivyo, S AMB = S AMC = S CMB.n

Nadharia za pembetatu zinazohusiana na visekta viwili. Mifumo ya kutafuta sehemu mbili

Angle bisector- ray yenye mwanzo kwenye vertex ya angle, kugawanya angle katika pembe mbili sawa.

Kipenyo cha pembe ni locus pointi ndani ya pembe, usawa kutoka pande za pembe.

Mali

1. Nadharia ya sehemu mbili: Sehemu mbili ya pembe ya ndani ya pembetatu inagawanya upande wa pili kwa uwiano sawa na uwiano wa pande mbili zinazokaribiana.

2. Vipuli vya pembe za ndani za pembetatu huingiliana kwa hatua moja - kitovu - katikati ya duara iliyoandikwa katika pembetatu hii.

3. Ikiwa bisectors mbili katika pembetatu ni sawa, basi pembetatu ni isosceles (theorem ya Steiner-Lemus).

Uhesabuji wa urefu wa sehemu mbili

l c - urefu wa bisector inayotolewa kwa upande c,

a,b,c - pande za pembetatu kinyume na wima A,B,C mtawalia,

p ni nusu ya mzunguko wa pembetatu,

a l , b l - urefu wa sehemu ambazo bisector l c inagawanya upande c,

α,β,γ - pembe za ndani pembetatu kwa vipeo A,B,C kwa mtiririko huo,

h c ni urefu wa pembetatu, iliyoshushwa kwa upande c.

Mbinu ya eneo.

Tabia za mbinu. Kutoka kwa jina inafuata kwamba kitu kikuu njia hii ni eneo. Kwa idadi ya takwimu, kwa mfano kwa pembetatu, eneo hilo linaonyeshwa kwa urahisi kupitia mchanganyiko mbalimbali wa vipengele vya takwimu (pembetatu). Kwa hivyo, mbinu nzuri sana ni wakati misemo tofauti ya eneo la takwimu fulani inalinganishwa. Katika kesi hii, equation hutokea yenye vipengele vinavyojulikana na vinavyotakiwa vya takwimu, kwa kutatua ambayo tunaamua haijulikani. Hapa ndipo kipengele kikuu cha njia ya eneo kinajidhihirisha - "hufanya" shida ya algebraic kutoka kwa shida ya kijiometri, kupunguza kila kitu ili kutatua equation (na wakati mwingine mfumo wa equations).

1) Njia ya kulinganisha: inayohusishwa na idadi kubwa ya fomula S za takwimu sawa

2) Njia ya uhusiano wa S: kulingana na shida za msaada wa kufuatilia:

Nadharia ya Ceva

Acha pointi A", B", C" zilale kwenye mistari BC, CA, AB ya pembetatu. Mistari AA", BB", CC" ikatike kwa wakati mmoja ikiwa na ikiwa tu.

Ushahidi.

Wacha tuonyeshe kwa hatua ya makutano ya sehemu na. Hebu tupunguze perpendiculars kutoka kwa pointi C na A kwenye mstari wa BB 1 hadi watakapoingiliana nayo kwa pointi K na L, kwa mtiririko huo (angalia takwimu).

Kwa kuwa pembetatu zina upande wa pamoja, basi maeneo yao yanahusiana na urefu unaotolewa kwa upande huu, i.e. AL na CK:

Usawa wa mwisho ni kweli, kwani pembetatu za kulia na zinafanana kwa pembe ya papo hapo.

Vile vile tunapata Na

Wacha tuzidishe usawa huu tatu:

Q.E.D.

Maoni. Sehemu (au muendelezo wa sehemu) inayounganisha vertex ya pembetatu na hatua iliyolala upande wa pili au kuendelea kwake inaitwa ceviana.

Nadharia ( nadharia ya mazungumzo Chevy). Acha pointi A", B", C" ziwe kwenye pande BC, CA na AB za pembetatu ABC, mtawalia. Wacha uhusiano uridhike.

Kisha sehemu AA",BB",CC" huingiliana kwa wakati mmoja.

Nadharia ya Menelaus

Nadharia ya Menelaus. Acha mstari wa moja kwa moja uingie pembetatu ABC, na C 1 ni hatua ya makutano yake na upande AB, A 1 ni hatua ya makutano yake na upande BC, na B 1 ni hatua ya makutano yake na kuendelea kwa upande AC. Kisha

Ushahidi . Wacha tuchore mstari sambamba na AB kupitia nukta C. Hebu tuonyeshe kwa K hatua yake ya makutano na mstari B 1 C 1 .

Pembetatu AC 1 B 1 na CKB 1 zinafanana (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1, ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). Kwa hivyo,

Pembetatu BC 1 A 1 na CKA 1 pia zinafanana (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). Ina maana,

Kutoka kwa kila usawa tunaelezea CK:

Wapi Q.E.D.

Theorem (nadharia inverse ya Menelaus). Acha pembetatu ABC itolewe. Acha nukta C 1 iwe upande wa AB, weka A 1 upande wa BC, na alama B 1 kwenye mwendelezo wa upande wa AC, na acha uhusiano ufuatao ushikilie:

Kisha pointi A 1, B 1 na C 1 ziko kwenye mstari huo huo.

1. Wastani ni nini?

Ni rahisi sana!

Chukua pembetatu:

Weka alama katikati upande mmoja wake.

Na kuunganisha kwa vertex kinyume!

Mstari unaosababisha na kuna mpatanishi.

2. Mali ya wastani.

Je, mpatanishi ana sifa gani nzuri?

1) Hebu fikiria kwamba pembetatu ni mstatili. Kuna vitu kama hivyo, sawa?

Kwanini??? Pembe ya kulia ina uhusiano gani nayo?

Hebu tuangalie kwa makini. Sio tu pembetatu, lakini ... mstatili. Kwanini unauliza?

Lakini unatembea Duniani - unaona kuwa ni pande zote? Hapana, bila shaka, kufanya hivyo unahitaji kuangalia Dunia kutoka nafasi. Kwa hiyo tutaangalia pembetatu yetu ya kulia "kutoka nafasi".

Wacha tuchore diagonal:

Je, unakumbuka kwamba diagonals ya mstatili sawa Na shiriki sehemu ya makutano katika nusu? (Ikiwa hukumbuki, angalia mada)

Hii ina maana kwamba nusu ya diagonal ya pili ni yetu wastani. Ulalo ni sawa, na nusu zao, bila shaka, pia. Hiyo ndiyo tutapata

Hatutathibitisha kauli hii, lakini ili kuiamini, jifikirie mwenyewe: je, kuna msambamba mwingine wowote wenye vilaza sawa isipokuwa mstatili? Bila shaka hapana! Kweli, hiyo inamaanisha kuwa wastani unaweza kuwa sawa na nusu ya upande katika pembetatu ya kulia pekee.

Hebu tuone jinsi mali hii inasaidia kutatua matatizo.

Hapa, kazi:
Kwa pande; . Imetolewa kutoka juu wastani. Tafuta kama.

Hooray! Unaweza kutumia nadharia ya Pythagorean! Unaona jinsi ilivyo kuu? Kama hatukujua hilo wastani sawa na nusu ya upande

Tunatumia nadharia ya Pythagorean:

2) Na sasa tusiwe na moja, bali nzima wapatanishi watatu! Je, wana tabia gani?

Kumbuka sana ukweli muhimu:

Ngumu? Angalia picha:

Wapatanishi na kukatiza kwa hatua moja.

Na….(tunathibitisha hili ndani, lakini kwa sasa Kumbuka!):

- mara mbili zaidi;
- mara mbili zaidi;
- mara mbili zaidi.

Je, umechoka bado? Je, utakuwa na nguvu za kutosha kwa mfano unaofuata? Sasa tutatumia kila kitu tulichozungumza!

Kazi: Katika pembetatu, wastani na hutolewa, ambayo huingiliana kwa uhakika. Tafuta kama

Wacha tupate kutumia nadharia ya Pythagorean:

Sasa hebu tutumie ujuzi kuhusu hatua ya makutano ya wapatanishi.

Hebu tufafanue. Sehemu, a. Ikiwa kila kitu si wazi, angalia picha.

Tayari tumegundua hilo.

Ina maana,; .

Katika tatizo tunaulizwa kuhusu sehemu.

Katika nukuu yetu.

Jibu: .

Umependa? Sasa jaribu kutumia maarifa yako kuhusu mpatanishi wewe mwenyewe!

MEDIA. KIWANGO CHA WASTANI

1. Wastani hugawanya upande kwa nusu.

Ni hayo tu? Au labda anagawanya kitu kingine kwa nusu? Hebu wazia hilo!

2. Nadharia: Wastani hugawanya eneo kwa nusu.

Kwa nini? Wacha tukumbuke zaidi fomu rahisi eneo la pembetatu.

Na tunatumia formula hii mara mbili!

Angalia, wastani umegawanywa katika pembetatu mbili: na. Lakini! Wana urefu sawa -! Kwa urefu huu tu huanguka kando, na kwa - kwa upande wa muendelezo. Kwa kushangaza, hii pia hutokea: pembetatu ni tofauti, lakini urefu ni sawa. Na sasa tutatumia formula mara mbili.

Hii ingemaanisha nini? Angalia picha. Kwa kweli, kuna kauli mbili katika nadharia hii. Je, umeona hili?

Kauli ya kwanza: wapatanishi hukatiza kwa hatua moja.

Kauli ya pili: Hatua ya makutano ya wastani imegawanywa kwa uwiano, kuhesabu kutoka kwa vertex.

Wacha tujaribu kufunua siri ya nadharia hii:

Hebu tuunganishe pointi na. Nini kimetokea?

Sasa wacha tuchore mstari mwingine wa kati: weka alama katikati - weka alama, weka alama katikati - weka alama.

Sasa - mstari wa kati. Hiyo ni

sambamba;

Umeona sadfa zozote? Wote na ni sambamba. Na, na.

Nini kinafuata kutoka kwa hii?

sambamba;

Bila shaka, tu kwa parallelogram!

Hii ina maana kwamba ni parallelogram. Kwa hiyo? Hebu tukumbuke mali ya parallelogram. Kwa mfano, unajua nini kuhusu diagonals ya parallelogram? Hiyo ni kweli, wamegawanywa katika nusu na hatua ya makutano.

Wacha tuangalie mchoro tena.

Hiyo ni, wastani umegawanywa na dots katika sehemu tatu sawa. Na sawa kabisa.

Hii ina maana kwamba wapatanishi wote wawili walitenganishwa na uhakika katika uwiano, yaani, na.

Nini kitatokea kwa wastani wa tatu? Turudi mwanzo. Mungu wangu?! Hapana, sasa kila kitu kitakuwa kifupi zaidi. Hebu kutupa nje ya wastani na kufanya medians na.

Sasa fikiria kwamba tumetekeleza hoja sawa kabisa na za wapatanishi na. Nini sasa?

Inatokea kwamba wastani atagawanya wastani kwa njia sawa: kwa uwiano, kuhesabu kutoka kwa uhakika.

Lakini ni alama ngapi zinaweza kuwa kwenye sehemu inayoigawanya kwa uwiano, kuhesabu kutoka kwa uhakika?

Bila shaka, moja tu! Na tayari tumeiona - hiyo ndiyo uhakika.

Nini kilitokea mwishoni?

Mpatanishi hakika alipitia! Wapatanishi wote watatu walipitia humo. Na kila mtu aligawanywa kwa mtazamo, akihesabu kutoka juu.

Kwa hivyo tulitatua (kuthibitisha) nadharia. Suluhisho liligeuka kuwa parallelogram iliyoketi ndani ya pembetatu.

4. Mfumo wa urefu wa wastani

Jinsi ya kupata urefu wa wastani ikiwa pande zinajulikana? Je, una uhakika unahitaji hii? Hebu tufungue siri ya kutisha: Fomula hii sio muhimu sana. Lakini bado, tutaiandika, lakini hatutathibitisha (ikiwa una nia ya uthibitisho, angalia ngazi inayofuata).

Tunawezaje kuelewa kwa nini jambo hili hutokea?

Hebu tuangalie kwa makini. Sio tu pembetatu, lakini mstatili.

Kwa hivyo, hebu tuzingatie mstatili.

Je, umeona kwamba pembetatu yetu ni nusu kamili ya mstatili huu?

Hebu tuchore diagonal

Je! unakumbuka kwamba diagonal za mstatili ni sawa na hugawanya hatua ya makutano? (Ikiwa hukumbuki, angalia mada)
Lakini moja ya diagonals ni hypotenuse yetu! Hii ina maana kwamba hatua ya makutano ya diagonals ni katikati ya hypotenuse. Iliitwa yetu.

Hii ina maana kwamba nusu ya diagonal ya pili ni wastani wetu. Ulalo ni sawa, na nusu zao, bila shaka, pia. Hiyo ndiyo tutapata

Aidha, hii hutokea tu katika pembetatu sahihi!

Hatutathibitisha taarifa hii, lakini kuamini, fikiria mwenyewe: kuna parallelogram nyingine na diagonals sawa, isipokuwa mstatili? Bila shaka hapana! Kweli, hiyo inamaanisha kuwa wastani unaweza kuwa sawa na nusu ya upande katika pembetatu ya kulia pekee. Hebu tuone jinsi mali hii inasaidia kutatua matatizo.

Hapa kuna jukumu:

Kwa pande; . Wastani hutolewa kutoka kwa vertex. Tafuta kama.

Hooray! Unaweza kutumia nadharia ya Pythagorean! Unaona jinsi ilivyo kuu? Ikiwa hatukujua kuwa wastani ni nusu ya upande tu katika pembetatu ya kulia, hakuna njia tunaweza kutatua tatizo hili. Na sasa tunaweza!

Tunatumia nadharia ya Pythagorean:

MEDIA. KWA UFUPI KUHUSU MAMBO MAKUU

1. Wastani hugawanya upande kwa nusu.

2. Nadharia: wastani hugawanya eneo kwa nusu

4. Mfumo wa urefu wa wastani

Nadharia ya mazungumzo: ikiwa wastani ni sawa na nusu ya upande, basi pembetatu ina pembe ya kulia na wastani huu hutolewa kwa hypotenuse.

Naam, mada imekwisha. Ikiwa unasoma mistari hii, inamaanisha kuwa wewe ni mzuri sana.

Kwa sababu ni 5% tu ya watu wanaweza kusimamia kitu peke yao. Na ukisoma hadi mwisho, basi uko kwenye hii 5%!

Sasa jambo muhimu zaidi.

Umeelewa nadharia juu ya mada hii. Na, narudia, hii ... hii ni super tu! Tayari wewe ni bora kuliko idadi kubwa ya wenzako.

Shida ni kwamba hii inaweza kuwa haitoshi ...

Kwa ajili ya nini?

Kwa mafanikio kufaulu Mtihani wa Jimbo la Umoja, kwa ajili ya kujiunga na chuo kwa bajeti na, MUHIMU ZAIDI, kwa maisha yote.

Sitakushawishi chochote, nitasema jambo moja tu ...

Watu waliopokea elimu nzuri, kulipwa zaidi ya wale ambao hawakupokea. Hizi ni takwimu.

Lakini hii sio jambo kuu.

Jambo kuu ni kwamba wana FURAHA ZAIDI (kuna masomo kama haya). Labda kwa sababu kuna mengi zaidi wazi mbele yao uwezekano zaidi na maisha yanakuwa angavu? Sijui...

Lakini fikiria mwenyewe ...

Je, inachukua nini ili kuwa na uhakika wa kuwa bora zaidi kuliko wengine kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja na hatimaye kuwa... furaha zaidi?

PATA MKONO WAKO KWA KUTATUA MATATIZO JUU YA MADA HII.

Hutaulizwa nadharia wakati wa mtihani.

Utahitaji kutatua matatizo kwa wakati.

Na, ikiwa haujayatatua (MENGI!), hakika utafanya makosa ya kijinga mahali fulani au hutakuwa na wakati.

Ni kama katika michezo - unahitaji kurudia mara nyingi ili kushinda kwa hakika.

Tafuta mkusanyiko popote unapotaka, lazima na suluhisho, uchambuzi wa kina na kuamua, kuamua, kuamua!

Unaweza kutumia kazi zetu (hiari) na sisi, bila shaka, tunazipendekeza.

Ili kufanya vyema katika kutumia kazi zetu, unahitaji kusaidia kupanua maisha ya kitabu cha kiada cha YouClever unachosoma kwa sasa.

Vipi? Kuna chaguzi mbili:

Fungua kazi zote zilizofichwa katika nakala hii - 299 kusugua.
Fungua ufikiaji wa kazi zote zilizofichwa katika nakala zote 99 za kitabu - 499 kusugua.

Ndio, tuna nakala kama hizo 99 kwenye kitabu chetu cha maandishi na ufikiaji wa kazi zote na maandishi yote yaliyofichwa ndani yao yanaweza kufunguliwa mara moja.

Ufikiaji wa kazi zote zilizofichwa hutolewa kwa maisha YOTE ya tovuti.

Hitimisho...

Ikiwa hupendi majukumu yetu, tafuta mengine. Usiishie kwenye nadharia.

"Kueleweka" na "naweza kutatua" ni ujuzi tofauti kabisa. Unahitaji zote mbili.

Tafuta shida na utatue!