Katika video hii tutachambua seti nzima milinganyo ya mstari, ambayo hutatuliwa kwa kutumia algorithm sawa - ndiyo sababu inaitwa rahisi zaidi.

Kwanza, hebu tufafanue: equation ya mstari ni nini na ni ipi inayoitwa rahisi zaidi?

Mlinganyo wa mstari ni ule ambao kuna tofauti moja tu, na kwa kiwango cha kwanza tu.

Equation rahisi zaidi inamaanisha ujenzi:

Equations zingine zote za mstari hupunguzwa kuwa rahisi zaidi kwa kutumia algorithm:

1. Panua mabano, ikiwa yapo;
2. Hamisha masharti yaliyo na kigezo hadi upande mmoja wa ishara sawa, na istilahi bila kigezo hadi kingine;
3. Kuongoza masharti yanayofanana kushoto na kulia kwa ishara sawa;
4. Gawanya mlinganyo unaotokana na mgawo wa tofauti $x$.

Kwa kweli, algorithm hii haisaidii kila wakati. Ukweli ni kwamba wakati mwingine baada ya mifumo hii yote mgawo wa kutofautiana $x$ hugeuka kuwa sawa na sifuri. Katika kesi hii, chaguzi mbili zinawezekana:

1. Mlinganyo hauna suluhu hata kidogo. Kwa mfano, kitu kama $0\cdot x=8$ kinapotokea, i.e. upande wa kushoto ni sifuri, na upande wa kulia ni nambari nyingine isipokuwa sifuri. Katika video hapa chini tutaangalia sababu kadhaa kwa nini hali hii inawezekana.
2. Suluhisho ni nambari zote. Kisa pekee wakati hii inawezekana ni wakati equation imepunguzwa kwa ujenzi $0\cdot x=0$. Ni sawa kabisa kwamba bila kujali $x$ tunayobadilisha, bado itageuka kuwa "sifuri ni sawa na sifuri", i.e. usawa sahihi wa nambari.

Sasa hebu tuone jinsi hii yote inavyofanya kazi kwa kutumia mifano ya maisha halisi.

Mifano ya kutatua milinganyo

Leo tunashughulika na hesabu za mstari, na zile rahisi tu. Kwa ujumla, mlinganyo wa mstari unamaanisha usawa wowote ambao una kigezo kimoja, na huenda kwa daraja la kwanza tu.

Miundo kama hiyo hutatuliwa kwa takriban njia sawa:

1. Kwanza kabisa, unahitaji kufungua mabano, ikiwa ipo (kama ilivyo kwenye yetu mfano wa mwisho);
2. Kisha kuchanganya sawa
3. Hatimaye, tenga kutofautiana, i.e. songa kila kitu kilichounganishwa na kibadilishaji - masharti ambayo ndani yake - kwa upande mmoja, na uhamishe kila kitu kinachobaki bila hiyo kwa upande mwingine.

Halafu, kama sheria, unahitaji kutoa sawa kwa kila upande wa usawa unaosababishwa, na baada ya hayo yote iliyobaki ni kugawanya kwa mgawo wa "x", na tutapata jibu la mwisho.

Kwa nadharia, hii inaonekana nzuri na rahisi, lakini kwa mazoezi, hata wanafunzi wa shule ya upili wenye uzoefu wanaweza kufanya makosa ya kukera katika milinganyo rahisi ya mstari. Kwa kawaida, makosa hufanywa ama wakati wa kufungua mabano au wakati wa kuhesabu "pluses" na "minuses".

Kwa kuongeza, hutokea kwamba equation ya mstari haina ufumbuzi kabisa, au kwamba suluhisho ni mstari mzima wa nambari, i.e. nambari yoyote. Tutaangalia hila hizi katika somo la leo. Lakini tutaanza, kama ulivyoelewa tayari, na sana kazi rahisi.

Mpango wa kutatua milinganyo rahisi ya mstari

Kwanza, wacha niandike tena mpango mzima wa kutatua hesabu rahisi zaidi za mstari:

1. Panua mabano, ikiwa yapo.
2. Tunatenganisha vigezo, i.e. Tunahamisha kila kitu kilicho na "X" kwa upande mmoja, na kila kitu bila "X" hadi nyingine.
3. Tunawasilisha masharti sawa.
4. Tunagawanya kila kitu kwa mgawo wa "x".

Kwa kweli, mpango huu haufanyi kazi kila wakati; kuna hila na hila ndani yake, na sasa tutazijua.

Kutatua mifano halisi ya milinganyo rahisi ya mstari

Kazi nambari 1

Hatua ya kwanza inatuhitaji tufungue mabano. Lakini hawako katika mfano huu, kwa hivyo tunaruka hatua hii. Katika hatua ya pili tunahitaji kutenganisha vigezo. Kumbuka: tunazungumzia tu kuhusu masharti ya mtu binafsi. Hebu tuandike:

Tunawasilisha masharti sawa upande wa kushoto na kulia, lakini hii tayari imefanywa hapa. Kwa hivyo, tunaendelea kwa hatua ya nne: gawanya kwa mgawo:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Kwa hivyo tulipata jibu.

Kazi nambari 2

Tunaweza kuona mabano kwenye tatizo hili, kwa hivyo wacha tuyapanue:

Wote upande wa kushoto na wa kulia tunaona takriban muundo sawa, lakini hebu tufanye kulingana na algorithm, i.e. kutenganisha vigezo:

Hapa kuna baadhi ya zinazofanana:

Hii inafanya kazi katika mizizi gani? Jibu: kwa yoyote. Kwa hivyo, tunaweza kuandika kwamba $x$ ni nambari yoyote.

Kazi nambari 3

Equation ya mstari wa tatu inavutia zaidi:

\[\kushoto(6-x \kulia)+\kushoto(12+x \kulia)-\kushoto(3-2x \kulia)=15\]

Kuna mabano kadhaa, lakini hayazidishi na chochote, yanatanguliwa tu ishara mbalimbali. Wacha tuyachambue:

Tunafanya hatua ya pili ambayo tayari tunaijua:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Wacha tufanye hesabu:

Tunafanya hatua ya mwisho - gawanya kila kitu kwa mgawo wa "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Mambo ya Kukumbuka Wakati wa Kutatua Milinganyo ya Mistari

Ikiwa tutapuuza kazi rahisi sana, ningependa kusema yafuatayo:

• Kama nilivyosema hapo juu, sio kila equation ya mstari ina suluhisho - wakati mwingine hakuna mizizi;
• Hata ikiwa kuna mizizi, kunaweza kuwa na sifuri kati yao - hakuna chochote kibaya na hilo.

Sifuri ni nambari sawa na zingine; hupaswi kuibagua kwa njia yoyote au kudhani kwamba ikiwa unapata sifuri, basi ulifanya kitu kibaya.

Kipengele kingine kinahusiana na ufunguzi wa mabano. Tafadhali kumbuka: wakati kuna "minus" mbele yao, tunaiondoa, lakini kwenye mabano tunabadilisha ishara kuwa kinyume. Na kisha tunaweza kuifungua kwa kutumia algorithms ya kawaida: tutapata kile tulichoona katika mahesabu hapo juu.

Kuelewa hili ukweli rahisi itawawezesha kuepuka kufanya makosa ya kijinga na ya kukera katika shule ya sekondari, wakati kufanya vitendo vile ni kuchukuliwa kwa urahisi.

Kutatua milinganyo changamano ya mstari

Wacha tuendelee zaidi milinganyo changamano. Sasa ujenzi utakuwa ngumu zaidi na wakati wa kufanya mabadiliko anuwai kazi ya quadratic itaonekana. Walakini, hatupaswi kuogopa hii, kwa sababu ikiwa, kulingana na mpango wa mwandishi, tunasuluhisha equation ya mstari, basi wakati wa mchakato wa mabadiliko monomia zote zilizo na kazi ya quadratic hakika zitaghairi.

Mfano Nambari 1

Ni wazi, hatua ya kwanza ni kufungua mabano. Wacha tufanye hivi kwa uangalifu sana:

Sasa hebu tuangalie faragha:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Hapa kuna baadhi ya zinazofanana:

Kwa wazi, equation hii haina suluhu, kwa hivyo tutaandika hii katika jibu:

\[\varnothing\]

au hakuna mizizi.

Mfano Nambari 2

Tunafanya vitendo sawa. Hatua ya kwanza:

Wacha tusogeze kila kitu kwa kutofautisha kwenda kushoto, na bila hiyo - kulia:

Hapa kuna baadhi ya zinazofanana:

Kwa wazi, equation hii ya mstari haina suluhu, kwa hivyo tutaiandika hivi:

\[\varnothing\],

au hakuna mizizi.

Nuances ya suluhisho

Equations zote mbili zimetatuliwa kabisa. Kwa kutumia misemo hii miwili kama mfano, tulikuwa na hakika tena kwamba hata katika milinganyo rahisi ya mstari, kila kitu kinaweza kuwa si rahisi sana: kunaweza kuwa na moja, au hakuna, au mizizi mingi sana. Kwa upande wetu, tulizingatia hesabu mbili, zote mbili hazina mizizi.

Lakini ningependa kuteka mawazo yako kwa ukweli mwingine: jinsi ya kufanya kazi na mabano na jinsi ya kuifungua ikiwa kuna ishara ya minus mbele yao. Fikiria usemi huu:

Kabla ya kufungua, unahitaji kuzidisha kila kitu kwa "X". Tafadhali kumbuka: huzidisha kila muda wa mtu binafsi. Ndani kuna maneno mawili - kwa mtiririko huo, maneno mawili na kuongezeka.

Na tu baada ya mabadiliko haya yanayoonekana kuwa ya msingi, lakini muhimu sana na hatari yamekamilika, unaweza kufungua bracket kutoka kwa mtazamo wa ukweli kwamba kuna ishara ya minus baada yake. Ndio, ndio: sasa tu, wakati mabadiliko yamekamilika, tunakumbuka kuwa kuna ishara ya minus mbele ya mabano, ambayo inamaanisha kuwa kila kitu hapa chini kinabadilisha ishara. Wakati huo huo, mabano yenyewe hupotea na, muhimu zaidi, "minus" ya mbele pia hupotea.

Tunafanya vivyo hivyo na equation ya pili:

Sio kwa bahati kwamba mimi huzingatia ukweli huu mdogo, unaoonekana kuwa duni. Kwa sababu kutatua equations daima ni mlolongo mabadiliko ya msingi, ambapo kutokuwa na uwezo wa kufanya kazi kwa uwazi na kwa ustadi hatua rahisi inaongoza kwa ukweli kwamba wanafunzi wa shule ya upili huja kwangu na tena kujifunza kutatua hesabu rahisi kama hizo.

Bila shaka, siku itakuja ambapo utaboresha ujuzi huu kwa uhakika wa moja kwa moja. Hutalazimika tena kufanya mabadiliko mengi kila wakati; utaandika kila kitu kwenye mstari mmoja. Lakini wakati unajifunza tu, unahitaji kuandika kila hatua tofauti.

Kutatua milinganyo changamano zaidi ya mstari

Kile tutakachosuluhisha sasa hakiwezi kuitwa kazi rahisi zaidi, lakini maana inabaki sawa.

Kazi nambari 1

\[\kushoto(7x+1 \kulia)\kushoto(3x-1 \kulia)-21((x)^(2))=3\]

Wacha tuzidishe vitu vyote katika sehemu ya kwanza:

Wacha tufanye faragha:

Hapa kuna baadhi ya zinazofanana:

Wacha tukamilishe hatua ya mwisho:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Hapa kuna jibu letu la mwisho. Na, licha ya ukweli kwamba katika mchakato wa kutatua tulikuwa na coefficients na kazi ya quadratic, walighairi kila mmoja, ambayo inafanya equation kuwa mstari na sio quadratic.

Kazi nambari 2

\[\kushoto(1-4x \kulia)\kushoto(1-3x \kulia)=6x\kushoto(2x-1 \kulia)\]

Wacha tutekeleze kwa uangalifu hatua ya kwanza: zidisha kila kipengee kutoka kwa mabano ya kwanza kwa kila kipengele kutoka kwa pili. Lazima kuwe na jumla ya istilahi nne mpya baada ya mabadiliko:

Sasa hebu tufanye kuzidisha kwa uangalifu katika kila neno:

Wacha tuhamishe maneno na "X" kushoto, na yale yasiyo - kulia:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Hapa kuna maneno sawa:

Kwa mara nyingine tena tumepokea jibu la mwisho.

Nuances ya suluhisho

Ujumbe muhimu zaidi juu ya hesabu hizi mbili ni zifuatazo: mara tu tunapoanza kuzidisha mabano ambayo yana zaidi ya neno moja, hii inafanywa kulingana na sheria ifuatayo: tunachukua muhula wa kwanza kutoka kwa kwanza na kuzidisha kwa kila kipengele kutoka. ya pili; kisha tunachukua kipengele cha pili kutoka kwa kwanza na vile vile kuzidisha na kila kipengele kutoka kwa pili. Matokeo yake, tutakuwa na masharti manne.

Kuhusu jumla ya algebra

Kwa mfano huu wa mwisho, ningependa kuwakumbusha wanafunzi nini jumla ya algebra. Katika hisabati ya kitambo, kwa $1-7$ tunamaanisha ujenzi rahisi: toa saba kutoka kwa moja. Katika algebra, tunamaanisha yafuatayo kwa hili: kwa nambari "moja" tunaongeza nambari nyingine, yaani "minus saba". Hivi ndivyo jumla ya aljebra hutofautiana na jumla ya hesabu ya kawaida.

Mara tu, wakati wa kufanya mabadiliko yote, kila nyongeza na kuzidisha, unapoanza kuona miundo inayofanana na ile iliyoelezwa hapo juu, hautakuwa na shida yoyote katika algebra wakati wa kufanya kazi na polynomials na equations.

Mwishowe, wacha tuangalie mifano michache zaidi ambayo itakuwa ngumu zaidi kuliko ile tuliyotazama hivi punde, na ili kuitatua itabidi kupanua kidogo kanuni zetu za kawaida.

Kutatua milinganyo na sehemu

Ili kutatua kazi kama hizo, tutalazimika kuongeza hatua moja zaidi kwa algorithm yetu. Lakini kwanza, wacha nikukumbushe algorithm yetu:

1. Fungua mabano.
2. Vigezo tofauti.
3. Lete zinazofanana.
4. Gawanya kwa uwiano.

Ole, algorithm hii ya ajabu, kwa ufanisi wake wote, inageuka kuwa haifai kabisa wakati tuna sehemu mbele yetu. Na katika kile tutakachoona hapa chini, tunayo sehemu upande wa kushoto na kulia katika milinganyo yote miwili.

Jinsi ya kufanya kazi katika kesi hii? Ndiyo, ni rahisi sana! Ili kufanya hivyo, unahitaji kuongeza hatua moja zaidi kwa algorithm, ambayo inaweza kufanywa kabla na baada ya hatua ya kwanza, yaani, kuondokana na sehemu. Kwa hivyo algorithm itakuwa kama ifuatavyo:

1. Ondoa sehemu.
2. Fungua mabano.
3. Vigezo tofauti.
4. Lete zinazofanana.
5. Gawanya kwa uwiano.

Inamaanisha nini "kuondoa sehemu"? Na kwa nini hii inaweza kufanywa baada na kabla ya hatua ya kwanza ya kiwango? Kwa kweli, kwa upande wetu, sehemu zote ni nambari katika denominator yao, i.e. Kila mahali denominator ni nambari tu. Kwa hivyo, ikiwa tutazidisha pande zote mbili za equation kwa nambari hii, tutaondoa sehemu.

Mfano Nambari 1

\[\frac(\kushoto(2x+1 \kulia)\kushoto(2x-3 \kulia))(4)=((x)^(2))-1\]

Wacha tuondoe sehemu katika equation hii:

\[\frac(\kushoto(2x+1 \kulia)\kushoto(2x-3 \kulia)\cdot 4)(4)=\kushoto(((x)^(2))-1 \kulia)\cdot 4\]

Tafadhali kumbuka: kila kitu kinazidishwa na "nne" mara moja, i.e. kwa sababu tu una mabano mawili haimaanishi kwamba unapaswa kuzidisha kila moja kwa "nne." Hebu tuandike:

\[\kushoto(2x+1 \kulia)\kushoto(2x-3 \kulia)=\kushoto(((x)^(2))-1 \kulia)\cdot 4\]

Sasa hebu tupanue:

Tunatenga tofauti:

Tunapunguza maneno sawa:

\[-4x=-1\kushoto| :\kushoto(-4 \kulia) \kulia.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Tumepata uamuzi wa mwisho, wacha tuendelee kwenye mlinganyo wa pili.

Mfano Nambari 2

\[\frac(\kushoto(1-x \kulia)\kushoto(1+5x \kulia))(5)+((x)^(2))=1\]

Hapa tunafanya vitendo vyote sawa:

\[\frac(\kushoto(1-x \kulia)\kushoto(1+5x \kulia)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Tatizo linatatuliwa.

Hiyo, kwa kweli, ndiyo yote nilitaka kukuambia leo.

Pointi muhimu

Matokeo muhimu ni:

• Jua algoriti ya kusuluhisha milinganyo ya mstari.
• Uwezo wa kufungua mabano.
• Usijali ikiwa unaona kazi za quadratic, uwezekano mkubwa, katika mchakato wa mabadiliko zaidi watapungua.
• Kuna aina tatu za mizizi katika milinganyo ya mstari, hata ile rahisi zaidi: mzizi mmoja, mstari mzima wa nambari ni mzizi, na hakuna mizizi kabisa.

Natumai somo hili litakusaidia kujua mada rahisi, lakini muhimu sana kwa uelewa zaidi wa hisabati zote. Ikiwa kitu haijulikani, nenda kwenye tovuti na kutatua mifano iliyotolewa hapo. Endelea kufuatilia, mambo mengi zaidi ya kuvutia yanakungoja!

Kwa mpango huu wa hisabati unaweza kutatua mfumo wa equations mbili za mstari na mbili njia ya kutofautiana njia mbadala na kuongeza.

Mpango huo sio tu hutoa jibu kwa tatizo, lakini pia hutoa ufumbuzi wa kina na maelezo ya hatua za suluhisho kwa njia mbili: njia ya uingizwaji na njia ya kuongeza.

Mpango huu inaweza kuwa muhimu kwa wanafunzi wa shule za upili katika shule za sekondari katika maandalizi vipimo na mitihani, wakati wa kupima ujuzi kabla ya Mtihani wa Jimbo la Umoja, kwa wazazi kudhibiti ufumbuzi wa matatizo mengi katika hisabati na algebra. Au labda ni ghali sana kwako kuajiri mwalimu au kununua vitabu vipya vya kiada? Au unataka tu kuifanya haraka iwezekanavyo? kazi ya nyumbani katika hisabati au aljebra? Katika kesi hii, unaweza pia kutumia programu zetu na ufumbuzi wa kina.

Kwa njia hii unaweza kutumia yako mafunzo mwenyewe na/au kuwafunza ndugu wadogo au akina dada, huku kiwango cha elimu katika uwanja wa matatizo yanayotatuliwa kinaongezeka.

Sheria za kuingiza milinganyo

Herufi yoyote ya Kilatini inaweza kutenda kama kigezo.
Kwa mfano: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), nk.

Wakati wa kuingiza equations unaweza kutumia mabano. Katika kesi hii, equations hurahisishwa kwanza. Equations baada ya kurahisisha lazima iwe mstari, i.e. ya umbo shoka+kwa+c=0 kwa usahihi wa mpangilio wa vipengele.
Kwa mfano: 6x+1 = 5(x+y)+2

Unaweza kutumia sio nambari tu katika hesabu, lakini pia nambari za sehemu kwa namna ya decimals na sehemu za kawaida.

Sheria za kuingiza sehemu za desimali.
Sehemu kamili na za sehemu ndani desimali inaweza kutengwa kwa nukta au koma.
Kwa mfano: 2.1n + 3.5m = 55

Sheria za kuingiza sehemu za kawaida.
Nambari nzima pekee ndiyo inayoweza kutenda kama sehemu ya nambari, denomineta na kamili ya sehemu.
Denominator haiwezi kuwa hasi.
Wakati wa kuingia sehemu ya nambari Nambari imetenganishwa na dhehebu kwa ishara ya mgawanyiko: /
Sehemu nzima kutengwa na sehemu na ampersand: &

Mifano.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

Tatua mfumo wa milinganyo

Iligunduliwa kwamba baadhi ya maandiko muhimu ya kutatua tatizo hili hayakupakiwa, na programu inaweza kufanya kazi.
Huenda umewasha AdBlock.
Katika kesi hii, izima na uonyeshe upya ukurasa.

JavaScript imezimwa kwenye kivinjari chako.
Ili suluhisho lionekane, unahitaji kuwezesha JavaScript.
Haya hapa ni maagizo ya jinsi ya kuwezesha JavaScript kwenye kivinjari chako.

Kwa sababu Kuna watu wengi wako tayari kutatua tatizo, ombi lako limewekwa kwenye foleni.
Katika sekunde chache suluhisho litaonekana hapa chini.
Tafadhali subiri sekunde...

Ikiwa wewe niligundua kosa katika suluhisho, basi unaweza kuandika kuhusu hili katika Fomu ya Maoni.
Usisahau onyesha ni kazi gani unaamua nini ingia mashambani.

Michezo yetu, puzzles, emulators:

Nadharia kidogo.

Mifumo ya kutatua milinganyo ya mstari. Mbinu ya uingizwaji

Mlolongo wa vitendo wakati wa kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia njia mbadala:
1) eleza tofauti moja kutoka kwa equation fulani ya mfumo kwa suala la mwingine;
2) badilisha usemi unaotokana na mlingano mwingine wa mfumo badala ya tofauti hii;

$$ \kushoto\( \anza(safu)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \mwisho(safu) \kulia. $$

Wacha tueleze y kwa suala la x kutoka kwa mlinganyo wa kwanza: y = 7-3x. Kubadilisha usemi 7-3x kwenye equation ya pili badala ya y, tunapata mfumo:
$$ \kushoto\( \anza(safu)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \mwisho(safu) \kulia. $$

Ni rahisi kuonyesha kwamba mifumo ya kwanza na ya pili ina ufumbuzi sawa. Katika mfumo wa pili, equation ya pili ina tofauti moja tu. Wacha tusuluhishe equation hii:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Mshale wa Kulia -5x+14-6x=3 \Mshale wa Kulia -11x=-11 \Mshale wa Kulia x=1 $$

Kubadilisha nambari 1 badala ya x kwa usawa y=7-3x, tunapata thamani inayolingana ya y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Mshale wa kulia y=4 $$

Jozi (1;4) - suluhisho la mfumo

Mifumo ya equations katika vigezo viwili ambavyo vina ufumbuzi sawa huitwa sawa. Mifumo ambayo haina suluhisho pia inachukuliwa kuwa sawa.

Kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kuongeza

Hebu fikiria njia nyingine ya kutatua mifumo ya equations linear - njia ya kuongeza. Wakati wa kutatua mifumo kwa njia hii, na pia wakati wa kutatua kwa uingizwaji, tunatoka kwenye mfumo huu hadi mwingine, mfumo sawa, ambao moja ya equations ina variable moja tu.

Mlolongo wa vitendo wakati wa kutatua mfumo wa hesabu za mstari kwa kutumia njia ya kuongeza:
1) kuzidisha milinganyo ya muda wa mfumo kwa muda, kuchagua vipengele ili coefficients kwa moja ya vigezo kuwa. nambari zinazopingana;
2) ongeza pande za kushoto na kulia za equations za mfumo kwa muda;
3) kutatua equation kusababisha na variable moja;
4) pata thamani inayolingana ya tofauti ya pili.

Mfano. Wacha tusuluhishe mfumo wa equations:
$$ \kushoto\( \anza(safu)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \mwisho(safu) \kulia. $$

Katika milinganyo ya mfumo huu, mgawo wa y ni nambari tofauti. Kwa kuongeza pande za kushoto na kulia za milinganyo kwa muda, tunapata mlinganyo wenye kigezo kimoja 3x=33. Wacha tubadilishe moja ya milinganyo ya mfumo, kwa mfano ya kwanza, na equation 3x=33. Wacha tupate mfumo
$$ \kushoto\( \anza(safu)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \mwisho(safu) \kulia. $$

Kutoka kwa equation 3x=33 tunapata kwamba x=11. Kubadilisha thamani hii ya x kwenye mlinganyo \(x-3y=38\) tunapata mlinganyo na kigezo y: \(11-3y=38\). Wacha tusuluhishe equation hii:
\(-3y=27 \Mshale wa kulia y=-9 \)

Kwa hivyo, tulipata suluhisho la mfumo wa milinganyo kwa kuongeza: \(x=11; y=-9\) au \((11;-9)\)

Kwa kuchukua faida ya ukweli kwamba katika hesabu za mfumo mgawo wa y ni nambari tofauti, tulipunguza suluhisho lake kwa suluhisho. mfumo sawa(kwa muhtasari wa pande zote mbili za kila milinganyo ya ishara asilia), ambamo moja ya milinganyo ina kigezo kimoja tu.

Vitabu (vitabu) Muhtasari wa Mitihani ya Jimbo Iliyounganishwa na mitihani ya Mitihani ya Jimbo Iliyounganishwa mkondoni Michezo, mafumbo Kupanga michoro ya kazi Kamusi ya tahajia ya lugha ya Kirusi Kamusi ya misimu ya vijana Katalogi ya shule za Kirusi Katalogi ya taasisi za elimu ya sekondari ya Urusi Katalogi ya Orodha ya Vyuo Vikuu vya Urusi. ya majukumu

Milinganyo ya mstari ni mada isiyo na madhara na inayoeleweka. hisabati ya shule. Lakini, cha kushangaza, idadi ya makosa nje ya bluu wakati wa kusuluhisha hesabu za mstari ni kidogo tu kuliko katika mada zingine - milinganyo ya quadratic, logarithms, trigonometry na wengine. Sababu za makosa mengi ni mabadiliko ya banal sawa ya milinganyo. Kwanza kabisa, hii ni machafuko katika ishara wakati wa kuhamisha maneno kutoka sehemu moja ya equation hadi nyingine, na pia makosa wakati wa kufanya kazi na sehemu na sehemu. tabia mbaya za sehemu. Ndiyo ndiyo! Sehemu pia huonekana katika milinganyo ya mstari! Pande zote. Hapo chini tutachambua hesabu mbaya kama hizi.)

Kweli, tusivute paka kwa mkia na tuanze kuifikiria, sivyo? Kisha tunasoma na kuzama ndani yake.)

Mlingano wa mstari ni nini? Mifano.

Kwa kawaida equation ya mstari inaonekana kama hii:

shoka + b = 0,

Ambapo a na b ni nambari yoyote. Aina yoyote: nambari, sehemu, hasi, isiyo na maana - kunaweza kuwa na yoyote!

Kwa mfano:

7x + 1 = 0 (hapa a = 7, b = 1)

x – 3 = 0 (hapa a = 1, b = -3)

x/2 – 1.1 = 0 (hapa a = 1/2, b = -1.1)

Kwa ujumla, unaelewa, natumaini.) Kila kitu ni rahisi, kama katika hadithi ya hadithi. Kwa wakati huu ... Na ukiangalia kwa karibu rekodi ya jumla ax+b=0 angalia kwa karibu na ufikirie kidogo? Baada ya yote, a na b ni nambari yoyote! Na ikiwa tuna, sema, a = 0 na b = 0 (nambari yoyote inaweza kuchukuliwa!), basi tutapata nini?

0 = 0

Lakini hiyo sio furaha yote! Je, ikiwa, tuseme, a = 0, b = -10? Kisha inageuka kuwa aina fulani ya upuuzi:

0 = 10.

Jambo ambalo linaudhi sana na linadhoofisha imani katika hisabati ambayo tumeipata kwa jasho na damu... Hasa wakati wa majaribio na mitihani. Lakini kati ya usawa huu usioeleweka na wa kushangaza, unahitaji pia kupata X! Ambayo haipo kabisa! Na hapa, hata wanafunzi waliojitayarisha vizuri wanaweza wakati mwingine kuanguka katika kile kinachoitwa stupor ... Lakini usijali! KATIKA somo hili Pia tutazingatia mshangao kama huo. Na pia hakika tutapata X kutoka kwa usawa kama huo.) Zaidi ya hayo, X hii inaweza kupatikana sana, kwa urahisi sana. Ndiyo ndiyo! Inashangaza lakini ni kweli.)

Sawa, hiyo inaeleweka. Lakini unawezaje kujua kwa kuonekana kwa kazi kuwa ni mlinganyo wa mstari na sio mlinganyo mwingine? Kwa bahati mbaya, si mara zote inawezekana kutambua aina ya equation tu kwa kuonekana. Jambo ni kwamba sio tu equations ya fomu ax + b = 0 inaitwa linear, lakini pia equations nyingine yoyote ambayo, kwa njia moja au nyingine, inaweza kupunguzwa kwa fomu hii kwa mabadiliko ya kufanana. Unajuaje kama inajumlisha au la? Mpaka huwezi kutatua mfano - karibu sio kabisa. Hii inasikitisha. Lakini kwa aina fulani za equations, unaweza kusema mara moja kwa ujasiri ikiwa ni ya mstari au la kwa mtazamo mmoja wa haraka.

Ili kufanya hivyo, wacha tugeuke kwa mara nyingine tena muundo wa jumla mlinganyo wowote wa mstari:

shoka + b = 0

Tafadhali kumbuka: katika equation ya mstari Kila mara tofauti x pekee ndiyo iliyopo katika shahada ya kwanza na idadi fulani! Ni hayo tu! Hakuna kingine. Wakati huo huo, hakuna X kwenye mraba, kwenye mchemraba, chini ya mzizi, chini ya logarithm na vitu vingine vya kigeni. Na (muhimu zaidi!) hakuna sehemu na X katika madhehebu! Lakini sehemu zilizo na nambari katika denominators au mgawanyiko kwa nambari- kwa urahisi!

Kwa mfano:

Huu ni mlinganyo wa mstari. Mlinganyo una X pekee kwa nguvu na nambari za kwanza. Na hakuna X zaidi digrii za juu- mraba, mraba, na kadhalika. Ndio, kuna sehemu hapa, lakini wakati huo huo madhehebu ya sehemu yana nambari pekee. Yaani, mbili na tatu. Kwa maneno mengine, hakuna mgawanyiko kwa x.

Na hapa ni equation

Haiwezi kuitwa tena mstari, ingawa hapa, pia, kuna nambari tu na X kwa nguvu ya kwanza. Kwa sababu, kati ya mambo mengine, pia kuna sehemu na X katika madhehebu. Na baada ya kurahisisha na mabadiliko, equation kama hiyo inaweza kuwa chochote: mstari, quadratic - chochote.

Jinsi ya kutatua equations za mstari? Mifano.

Kwa hivyo unasuluhisha vipi milinganyo ya mstari? Soma na ushangae.) Suluhisho zima la milinganyo ya mstari inategemea mambo makuu mawili tu. Hebu tuorodheshe.

1) Seti ya hatua za kimsingi na sheria za hisabati.

Hizi ni kutumia mabano, kufungua mabano, kufanya kazi na sehemu, kufanya kazi na nambari hasi, meza za kuzidisha, na kadhalika. Maarifa na ujuzi huu ni muhimu si tu kwa ajili ya kutatua equations linear, lakini kwa hisabati yote kwa ujumla. Na ikiwa una shida na hii, kumbuka madarasa ya vijana. Vinginevyo utakuwa na wakati mgumu...

2)

Wapo wawili tu. Ndiyo ndiyo! Zaidi ya hayo, mabadiliko haya ya kimsingi ya kitambulisho yana msingi wa suluhisho la sio tu la mstari, lakini kwa ujumla milinganyo yoyote ya kihesabu! Kwa neno moja, suluhisho la equation nyingine yoyote - quadratic, logarithmic, trigonometric, irrational, nk. - kama sheria, huanza na mabadiliko haya ya kimsingi. Lakini suluhisho la equations za mstari, kwa kweli, huisha nao (mabadiliko). Jibu lililo tayari.) Kwa hiyo usiwe mvivu na uangalie kiungo.) Zaidi ya hayo, milinganyo ya mstari pia inachambuliwa kwa kina huko.

Naam, nadhani ni wakati wa kuanza kuangalia mifano.

Kuanza, kama kuongeza joto, wacha tuangalie mambo kadhaa ya kimsingi. Bila sehemu yoyote au kengele nyingine na filimbi. Kwa mfano, equation hii:

x – 2 = 4 – 5x

Huu ni mlinganyo wa kawaida wa mstari. X zote ziko kwenye nguvu ya kwanza na hakuna mgawanyiko wa X popote. Mpango wa suluhisho katika milinganyo kama hii kila wakati ni sawa na rahisi sana: masharti yote yenye X lazima yakusanywe upande wa kushoto, na masharti yote bila ya X (yaani nambari) lazima yakusanywe upande wa kulia. Basi hebu tuanze kukusanya.

Ili kufanya hivyo, tunazindua mabadiliko ya kwanza ya utambulisho. Tunahitaji kusonga -5x kwenda kushoto, na kusonga -2 kwenda kulia. Kwa mabadiliko ya ishara, bila shaka.) Kwa hivyo tunahamisha:

x + 5x = 4 + 2

Haya basi. Nusu ya vita imefanywa: X zimekusanywa kwenye rundo, na hivyo kuwa na idadi. Sasa tunawasilisha sawa upande wa kushoto, na tunawahesabu kulia. Tunapata:

6x = 6

Tunahitaji nini sasa? furaha kamili? Ndio, ili X safi ibaki upande wa kushoto! Na sita huingia njiani. Jinsi ya kujiondoa? Sasa tunaendesha mabadiliko ya pili ya utambulisho - kugawanya pande zote mbili za equation na 6. Na - voila! Jibu liko tayari.)

x = 1

Kwa kweli, mfano huo ni wa zamani kabisa. Kwa wazo la jumla kukamata. Kweli, wacha tuamue jambo muhimu zaidi. Kwa mfano, hebu tuangalie equation hii:

Hebu tuitazame kwa undani.) Huu pia ni mlinganyo wa mstari, ingawa inaweza kuonekana kuwa kuna sehemu hapa. Lakini katika sehemu kuna mgawanyiko kwa mbili na kuna mgawanyiko kwa tatu, lakini hakuna mgawanyiko kwa kujieleza na X! Basi tuamue. Kwa kutumia mabadiliko sawa, ndio.)

Tufanye nini kwanza? Na X - kushoto, bila X - kulia? Kimsingi, hii inawezekana. Kuruka kwa Sochi kupitia Vladivostok.) Au unaweza kuchukua njia fupi, mara moja ukitumia njia ya ulimwengu wote na yenye nguvu. Ikiwa unajua mabadiliko ya kitambulisho, bila shaka.)

Kwa kuanzia nauliza swali muhimu: Ni nini kinachojulikana na kisichopendeza zaidi kuhusu mlingano huu? Watu 99 kati ya 100 watasema: sehemu! Na watakuwa sahihi.) Basi tuwaondoe kwanza. Salama kwa equation yenyewe.) Kwa hivyo, wacha tuanze mara moja mabadiliko ya kitambulisho cha pili- kutoka kwa kuzidisha. Je, tunapaswa kuzidisha upande wa kushoto na nini ili denominator ipunguzwe kwa ufanisi? Hiyo ni kweli, mbili. Vipi kuhusu upande wa kulia? Kwa tatu! Lakini... Hisabati ni mwanamke asiyebadilika. Yeye, unaona, anahitaji kuzidisha pande zote mbili pekee kwa idadi sawa! Kuzidisha kila sehemu kwa nambari yake mwenyewe haifanyi kazi ... Tutafanya nini? Kitu... Tafuta maelewano. Ili tuweze kukidhi matamanio yetu (kuondoa sehemu) na sio kuumiza hisabati.) Hebu tuzidishe sehemu zote mbili kwa sita!) Hiyo ni, kwa dhehebu la kawaida sehemu zote zilizojumuishwa kwenye mlinganyo. Kisha kwa mpigo mmoja wote wawili na watatu watapunguzwa!)

Basi hebu tuzidishe. Upande wote wa kushoto na upande wote wa kulia! Kwa hiyo, tunatumia mabano. Hivi ndivyo utaratibu yenyewe unavyoonekana:

Sasa tunafungua mabano haya haya:

Sasa, tukiwakilisha 6 kama 6/1, hebu tuzidishe sita kwa kila sehemu ya kushoto na kulia. Huu ni uzidishaji wa kawaida wa sehemu, lakini iwe hivyo, nitaelezea kwa undani:

Na hapa - tahadhari! Niliweka nambari (x-3) kwenye mabano! Hii yote ni kwa sababu wakati wa kuzidisha sehemu, nambari inazidishwa kabisa, kabisa! Na usemi wa x-3 lazima ufanyike kazi kama muundo mmoja muhimu. Lakini ukiandika nambari kama hii:

6x - 3,

Lakini tuna kila kitu sawa na tunahitaji kuikamilisha. Nini cha kufanya baadaye? Ungependa kufungua mabano kwenye nambari iliyo upande wa kushoto? Kwa vyovyote vile! Wewe na mimi tulizidisha pande zote mbili kwa 6 ili kuondoa sehemu, na sio kuwa na wasiwasi juu ya kufungua mabano. Washa katika hatua hii Tunahitaji kupunguza sehemu zetu. Kwa hisia ya kuridhika sana, tunapunguza madhehebu yote na kupata equation bila sehemu yoyote, katika mtawala:

3 (x-3) + 6x = 30 - 4x

Na sasa mabano yaliyobaki yanaweza kufunguliwa:

3x - 9 + 6x = 30 - 4x

Mlinganyo unaendelea kuwa bora na bora! Sasa hebu tukumbuke tena kuhusu mabadiliko ya kwanza ya kufanana. Kwa uso wa moja kwa moja tunarudia spell kutoka madarasa ya vijana: na X - kushoto, bila X - kulia. Na utumie mabadiliko haya:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

Tunawasilisha zinazofanana upande wa kushoto na kuhesabu kulia:

13x = 39

Inabakia kugawanya sehemu zote mbili na 13. Hiyo ni, tumia mabadiliko ya pili tena. Tunagawanya na kupata jibu:

x = 3

Kazi imekamilika. Kama unaweza kuona, katika kupewa mlinganyo tulilazimika kutumia mabadiliko ya kwanza mara moja (uhamishaji wa maneno) na ya pili mara mbili: mwanzoni mwa suluhisho tulitumia kuzidisha (na 6) ili kuondoa sehemu, na mwisho wa suluhisho tulitumia mgawanyiko ( na 13) ili kuondoa mgawo mbele ya X. Na suluhisho la yoyote (ndiyo, yoyote!) linear equation lina mchanganyiko wa mabadiliko haya sawa katika mlolongo mmoja au mwingine. Ambapo hasa kuanza inategemea equation maalum. Katika maeneo mengine ni faida zaidi kuanza na uhamisho, na kwa wengine (kama katika mfano huu) na kuzidisha (au mgawanyiko).

Tunafanya kazi kutoka rahisi hadi ngumu. Hebu sasa tufikirie ukatili mtupu. Na rundo la sehemu na mabano. Nami nitakuambia jinsi ya kutojisumbua.)

Kwa mfano, hapa kuna equation:

Tunaangalia equation kwa dakika, tunaogopa, lakini bado tunajivuta pamoja! Tatizo kuu ni wapi pa kuanzia? Unaweza kuongeza sehemu upande wa kulia. Unaweza kutoa sehemu kwenye mabano. Unaweza kuzidisha sehemu zote mbili kwa kitu. Au kugawanya ... Kwa hivyo ni nini bado kinawezekana? Jibu: kila kitu kinawezekana! Hisabati haikatazi hatua zozote zilizoorodheshwa. Na haijalishi ni mlolongo gani wa vitendo na mabadiliko unayochagua, jibu litakuwa sawa kila wakati - moja sahihi. Isipokuwa, kwa kweli, kwa hatua fulani unakiuka kitambulisho cha mabadiliko yako na, kwa hivyo, kufanya makosa ...

Na, ili usifanye makosa, katika mifano ya kisasa kama hii, daima ni muhimu sana kutathmini. mwonekano na ufikirie akilini mwako: nini kinaweza kufanywa kwa mfano ili upeo kurahisisha kwa hatua moja?

Basi hebu kufikiri ni nje. Upande wa kushoto ni sita katika madhehebu. Binafsi, siwapendi, na ni rahisi sana kuwaondoa. Acha nizidishe pande zote mbili za mlinganyo kwa 6! Kisha sita upande wa kushoto zitapunguzwa kwa ufanisi, sehemu kwenye mabano hazitaenda popote bado. Naam, hiyo ni sawa. Tutashughulika nao baadaye kidogo.) Lakini upande wa kulia, tunayo madhehebu 2 na 3 kughairi.

Baada ya kuzidisha, equation yetu mbaya yote inakuwa kama hii:

Ikiwa huelewi hasa jinsi equation hii ilitokea, basi haujaelewa uchambuzi wa mfano uliopita vizuri. Na nilijaribu, kwa njia ...

Kwa hivyo, wacha tufunue:

Sasa hatua ya kimantiki zaidi itakuwa kutenga sehemu zilizo upande wa kushoto, na kutuma 5x upande wa kulia. Wakati huo huo, tutawasilisha sawa kwa upande wa kulia. Tunapata:

Bora zaidi tayari. Sasa upande wa kushoto umejitayarisha kwa kuzidisha. Je, tunapaswa kuzidisha upande wa kushoto na nini ili wote watano na wanne wapunguzwe mara moja? Tarehe 20! Lakini pia tunayo hasara kwa pande zote mbili za equation. Kwa hivyo, itakuwa rahisi zaidi kuzidisha pande zote mbili za equation sio kwa 20, lakini kwa -20. Kisha katika moja akapiga swoop wote minuses na sehemu sehemu zitatoweka.

Kwa hivyo tunazidisha:

Mtu yeyote ambaye bado haelewi hatua hii ina maana kwamba tatizo haliko katika equations. Matatizo yapo kwenye misingi! Tukumbuke tena Kanuni ya Dhahabu mabano ya kufungua:

Ikiwa nambari inazidishwa na usemi fulani katika mabano, basi nambari hii lazima iongezwe kwa mpangilio kwa kila neno la usemi huu. Zaidi ya hayo, ikiwa nambari ni chanya, basi ishara za misemo huhifadhiwa baada ya upanuzi. Ikiwa hasi, badilisha hadi kinyume:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

Hasara zetu zilitoweka baada ya kuzidisha pande zote mbili kwa -20. Na sasa tunazidisha mabano na sehemu upande wa kushoto na kabisa nambari chanya 20. Kwa hiyo, wakati mabano haya yanafunguliwa, ishara zote zilizokuwa ndani yao zimehifadhiwa. Lakini ambapo mabano katika nambari za sehemu hutoka, tayari nilielezea kwa undani katika mfano uliopita.

Sasa unaweza kupunguza sehemu:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

Fungua mabano iliyobaki. Tena, tunaifunua kwa usahihi. Mabano ya kwanza yanazidishwa na nambari nzuri ya 4 na, kwa hiyo, ishara zote zinahifadhiwa wakati zinafunguliwa. Lakini mabano ya pili yanazidishwa hasi nambari ni -5 na, kwa hivyo, ishara zote zimebadilishwa:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

Yamebaki mambo madogo madogo tu. Na X upande wa kushoto, bila X wa kulia:

-20x - 15x = 20 - 10 - 12

-35x = -2

Hiyo ni karibu yote. Kwa upande wa kushoto unahitaji X safi, lakini nambari -35 iko njiani. Kwa hiyo tunagawanya pande zote mbili kwa (-35). Acha nikukumbushe kwamba mabadiliko ya pili ya utambulisho huturuhusu kuzidisha na kugawanya pande zote mbili Vyovyote nambari. Ikiwa ni pamoja na hasi.) Ilimradi sio sifuri! Jisikie huru kugawanya na kupata jibu:

X = 2/35

Wakati huu X iligeuka kuwa ya sehemu. Ni sawa. Mfano kama huo.)

Kama tunavyoona, kanuni ya kutatua hesabu za mstari (hata zile ngumu zaidi) ni rahisi sana: tunachukua equation ya asili na, kwa kutumia mabadiliko yanayofanana, hurahisisha mfululizo hadi tupate jibu. Kwa misingi, bila shaka! Shida kuu hapa ni kutofaulu kwa kufuata misingi (kwa mfano, kuna minus mbele ya mabano, na walisahau kubadilisha ishara wakati wa kupanua), na pia katika hesabu za banal. Kwa hivyo usipuuze mambo ya msingi! Ndio msingi wa hisabati zingine zote!

Baadhi ya mambo ya kufurahisha ya kufanya wakati wa kutatua milinganyo ya mstari. Au matukio maalum.

Kila kitu kingekuwa sawa. Walakini ... Miongoni mwa hesabu za mstari pia kuna lulu za kuchekesha ambazo katika mchakato wa kuzitatua zinaweza kukuingiza kwenye mshtuko mkali. Hata mwanafunzi bora.)

Kwa mfano, hapa kuna mlinganyo usio na hatia:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

Kupiga miayo kwa upana na kuchoka kidogo, tunakusanya X zote upande wa kushoto na nambari zote upande wa kulia:

7x-4x-3x = 5-2-3

Tunawasilisha zinazofanana, hesabu na upate:

0 = 0

Ni hayo tu! Nilitoa mfano wa hila! Usawa huu wenyewe hauleti pingamizi lolote: sifuri kweli ni sawa na sifuri. Lakini X haipo! Bila kuwaeleza! Na lazima tuandike katika jibu, kwa nini sawa na x . Vinginevyo, uamuzi hauhesabu, ndiyo.) Nini cha kufanya?

Usiwe na wasiwasi! Katika kesi zisizo za kawaida, zaidi dhana za jumla na kanuni za hisabati. Mlinganyo ni nini? Jinsi ya kutatua equations? Inamaanisha nini kutatua equation?

Kutatua equation kunamaanisha kupata Wote maadili ya kutofautisha x, ambayo, ikibadilishwa kuwa asili equation itatupa usawa sahihi (utambulisho)!

Lakini tuna usawa wa kweli tayari imetokea! 0=0, au tuseme, hakuna mahali popote!) Tunaweza tu kukisia ni X gani tunapata usawa huu. Ni aina gani za X zinaweza kubadilishwa asili equation, ikiwa baada ya kuzibadilisha zote bado zitapunguzwa hadi sifuri? Bado hujaelewa?

Hakika! X inaweza kubadilishwa yoyote!!! Kabisa yoyote. Peana chochote unachotaka. Angalau 1, angalau -23, angalau 2.7 - chochote! Bado watapunguzwa na matokeo yake, ukweli safi utabaki. Ijaribu, ibadilishe na ujionee mwenyewe.)

Hili hapa jibu lako:

x - nambari yoyote.

Katika nukuu ya kisayansi usawa huu umeandikwa kama ifuatavyo:

Ingizo hili linasomeka hivi: "X ni nambari yoyote halisi."

Au kwa namna nyingine, kwa vipindi:

Ibuni jinsi unavyopenda bora zaidi. Hili ni jibu sahihi na kamili kabisa!

Sasa nitabadilisha nambari moja tu katika mlingano wetu wa asili. Sasa hebu tusuluhishe equation hii:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x - 2

Tena tunahamisha masharti, kuhesabu na kupata:

7x - 4x - 3x = 5 - 2 - 2

0 = 1

Na una maoni gani kuhusu utani huu? Kulikuwa na equation ya kawaida ya mstari, lakini ikawa usawa usioeleweka

0 = 1…

Akizungumza lugha ya kisayansi, tumepata usawa wa uongo. Lakini kwa Kirusi hii sio kweli. Bullshit. Upuuzi.) Kwa sababu sifuri sio sawa na moja!

Na sasa hebu tuchunguze tena ni aina gani za X, zikibadilishwa kuwa equation ya asili, zitatupa. usawa wa kweli? Ambayo? Lakini hakuna! Haijalishi ni X gani unabadilisha, kila kitu bado kitafupishwa na kila kitu kitabaki ujinga.)

Hili hapa jibu: hakuna masuluhisho.

Katika nukuu ya hisabati, jibu hili limeandikwa kama hii:

Inasomeka: "X ni ya seti tupu."

Majibu kama haya katika hisabati pia hufanyika mara nyingi: sio kila wakati hesabu zozote zina mizizi kwa kanuni. Baadhi ya milinganyo huenda isiwe na mizizi hata kidogo. Hata kidogo.

Hapa kuna maajabu mawili. Natumai kuwa sasa kutoweka kwa ghafla kwa X kutoka kwa equation hakutakuacha ukiwa na wasiwasi milele. Hii inajulikana sana.)

Na kisha nasikia swali la kimantiki: watakuwa katika OGE au Mtihani wa Jimbo la Umoja? Juu ya Mtihani wa Jimbo la Umoja yenyewe kama kazi - hapana. Rahisi sana. Lakini katika OGE au katika matatizo ya neno - kwa urahisi! Kwa hivyo sasa wacha tufunze na tuamue:

Majibu (katika mkanganyiko): -2; -1; nambari yoyote; 2; hakuna suluhisho; 7/13.

Kila kitu kilifanyika? Kubwa! Una nafasi nzuri katika mtihani.

Je, kuna kitu hakijumuishi? Hm... Huzuni, bila shaka. Hii ina maana bado kuna mapungufu mahali fulani. Ama katika misingi au mabadiliko ya utambulisho. Au ni suala la kutojali tu. Soma somo tena. Kwa sababu hii sio mada ambayo inaweza kutolewa kwa urahisi katika hisabati ...

Bahati njema! Hakika atakutabasamu, niamini!)

Mlinganyo wa mstari ni mlinganyo wa algebra, jumla ya shahada ambayo polynomia ni sawa na moja. Kutatua equations linear - sehemu mtaala wa shule, na sio ngumu zaidi. Walakini, wengine bado wana ugumu wa kukamilisha mada hii. Tunatumai baada ya kusoma nyenzo hii, shida zote kwako zitakuwa jambo la zamani. Kwa hiyo, hebu tufikirie. jinsi ya kutatua milinganyo ya mstari.

Fomu ya jumla

Equation ya mstari inawakilishwa kama:

• shoka + b = 0, ambapo a na b ni nambari zozote.

Ingawa a na b inaweza kuwa nambari yoyote, maadili yao huathiri idadi ya masuluhisho ya mlinganyo. Kuna kesi kadhaa maalum za suluhisho:

• Ikiwa a=b=0, mlinganyo una seti isiyo na mwisho maamuzi;
• Ikiwa a=0, b≠0, mlinganyo hauna suluhu;
• Ikiwa a≠0, b=0, mlinganyo una suluhisho: x = 0.

Katika tukio ambalo nambari zote mbili hazina maadili sifuri, mlinganyo lazima utatuliwe ili kupata usemi wa mwisho wa kutofautisha.

Jinsi ya kuamua?

Kutatua mlinganyo wa mstari kunamaanisha kupata kigezo ni sawa na nini. Jinsi ya kufanya hili? Ndiyo, ni rahisi sana - kutumia shughuli rahisi za aljebra na kufuata sheria za uhamisho. Ikiwa mlinganyo unaonekana mbele yako kwa umbo la jumla, una bahati;

1. Hoja b kwa upande wa kulia wa equation, bila kusahau kubadilisha ishara (kanuni ya uhamisho!), kwa hiyo, kutoka kwa usemi wa fomu ax + b = 0, usemi wa fomu unapaswa kupatikana: ax = -b.
2. Tumia sheria: kupata moja ya sababu (x - kwa upande wetu), unahitaji kugawanya bidhaa (-b kwa upande wetu) kwa sababu nyingine (a - kwa upande wetu). Kwa hivyo, unapaswa kupata usemi wa fomu: x = -b/a.

Hiyo ni - suluhisho limepatikana!

Sasa hebu tuangalie mfano maalum:

1. 2x + 4 = 0 - hoja b sawa na kwa kesi hii 4, kulia
2. 2x = -4 - gawanya b kwa a (usisahau kuhusu ishara ya kuondoa)
3. x = -4/2 = -2

Ni hayo tu! Suluhisho letu: x = -2.

Kama unavyoona, suluhu ya mlinganyo wa mstari na kigezo kimoja ni rahisi sana kupata, lakini kila kitu ni rahisi sana ikiwa tunabahatika kupata mlinganyo katika umbo lake la jumla. Katika hali nyingi, kabla ya kutatua equation katika hatua mbili zilizoelezwa hapo juu, bado unahitaji kuleta usemi uliopo kwa fomu ya jumla. Walakini, hii pia sio kazi ngumu sana. Wacha tuangalie kesi maalum kwa kutumia mifano.

Kutatua kesi maalum

Kwanza, hebu tuangalie kesi ambazo tulielezea mwanzoni mwa kifungu na tueleze maana ya kuwa na idadi isiyo na kikomo ya suluhisho na hakuna suluhisho.

• Ikiwa a=b=0, mlinganyo utaonekana kama: 0x + 0 = 0. Tukitekeleza hatua ya kwanza, tunapata: 0x = 0. Je, upuuzi huu unamaanisha nini, unashangaa! Baada ya yote, bila kujali nambari gani unayozidisha kwa sifuri, daima unapata sifuri! Haki! Ndio maana wanasema kwamba equation ina idadi isiyo na kikomo ya suluhisho - haijalishi unachukua nambari gani, usawa utakuwa kweli, 0x = 0 au 0 = 0.
• Ikiwa a=0, b≠0, equation itaonekana kama: 0x + 3 = 0. Fanya hatua ya kwanza, tunapata 0x = -3. Ujinga tena! Ni dhahiri kwamba usawa huu hautakuwa kweli kamwe! Ndio maana wanasema kuwa equation haina suluhu.
• Ikiwa a≠0, b = 0, equation itaonekana kama: 3x + 0 = 0. Kufanya hatua ya kwanza, tunapata: 3x = 0. Suluhisho ni nini? Ni rahisi, x = 0.

Imepotea katika tafsiri

Kesi maalum zilizoelezewa sio zote ambazo milinganyo ya mstari inaweza kutushangaza. Wakati mwingine equation ni vigumu kutambua kwa mtazamo wa kwanza. Hebu tuangalie mfano:

• 12x - 14 = 2x + 6

Je, huu ni mlinganyo wa mstari? Vipi kuhusu sifuri upande wa kulia? Wacha tusikimbilie hitimisho, wacha tuchukue hatua - wacha tuhamishe vifaa vyote vya equation yetu ndani. upande wa kushoto. Tunapata:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Sasa toa kama kutoka kama, tunapata:

• 10x - 20 = 0

Umejifunza? Mlinganyo wa mstari zaidi kuwahi kutokea! Suluhisho ambalo ni: x = 20/10 = 2.

Ikiwa tunayo mfano huu:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Ndio, hii pia ni equation ya mstari, mabadiliko zaidi tu yanahitajika kufanywa. Kwanza, hebu tufungue mabano:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - sasa tunafanya uhamishaji:
4. 25x - 4 = 0 - inabaki kupata suluhisho kwa kutumia mpango unaojulikana tayari:
5. 25x = 4,
6. x = 4/25 = 0.16

Kama unaweza kuona, kila kitu kinaweza kutatuliwa, jambo kuu sio kuwa na wasiwasi, lakini kuchukua hatua. Kumbuka, ikiwa equation yako ina vigezo tu vya shahada ya kwanza na nambari, una equation ya mstari, ambayo, bila kujali jinsi inaonekana mwanzoni, inaweza kupunguzwa kwa fomu ya jumla na kutatuliwa. Tunatumahi kuwa kila kitu kitafanya kazi kwako! Bahati njema!

Mifumo ya equations hutumiwa sana katika sekta ya uchumi katika mfano wa hisabati michakato mbalimbali. Kwa mfano, wakati wa kutatua matatizo ya usimamizi na mipango ya uzalishaji, njia za vifaa ( tatizo la usafiri) au uwekaji wa vifaa.

Mifumo ya equations haitumiwi tu katika hisabati, lakini pia katika fizikia, kemia na biolojia, wakati wa kutatua matatizo ya kutafuta ukubwa wa idadi ya watu.

Mfumo wa milinganyo ya mstari ni milinganyo miwili au zaidi yenye vigezo kadhaa ambavyo ni muhimu kupata suluhisho la kawaida. Msururu kama huo wa nambari ambao milinganyo yote inakuwa usawa wa kweli au kuthibitisha kuwa mfuatano huo haupo.

Mlinganyo wa mstari

Milinganyo ya fomu ax+by=c inaitwa linear. Majina x, y ni majina yasiyojulikana ambayo thamani yake lazima ipatikane, b, a ni mgawo wa viambajengo, c ni neno lisilolipishwa la mlinganyo.
Kutatua equation kwa kupanga njama itaonekana kama mstari wa moja kwa moja, pointi zote ambazo ni suluhisho kwa polynomial.

Aina za mifumo ya milinganyo ya mstari

Mifano rahisi zaidi inachukuliwa kuwa mifumo ya milinganyo ya mstari yenye viambishi viwili X na Y.

F1(x, y) = 0 na F2(x, y) = 0, ambapo F1,2 ni vitendaji na (x, y) ni vigezo vya chaguo za kukokotoa.

Tatua mfumo wa milinganyo - hii inamaanisha kupata thamani (x, y) ambapo mfumo unageuka kuwa usawa wa kweli au kuthibitisha kwamba thamani zinazofaa za x na y hazipo.

Jozi ya maadili (x, y), iliyoandikwa kama kuratibu za nukta, inaitwa suluhisho la mfumo wa milinganyo ya mstari.

Ikiwa mifumo ina suluhisho moja la kawaida au hakuna suluhisho lipo, huitwa sawa.

Mifumo ya usawa ya milinganyo ya mstari ni mifumo sehemu ya kulia ambayo ni sawa na sifuri. Ikiwa sehemu ya kulia baada ya ishara sawa ina thamani au imeonyeshwa na chaguo za kukokotoa, mfumo kama huo ni tofauti.

Idadi ya vigezo inaweza kuwa zaidi ya mbili, basi tunapaswa kuzungumza juu ya mfano wa mfumo wa equations linear na vigezo tatu au zaidi.

Wakati wanakabiliwa na mifumo, watoto wa shule wanadhani kwamba idadi ya equations lazima lazima sanjari na idadi ya haijulikani, lakini hii sivyo. Idadi ya milinganyo katika mfumo haitegemei vigeuzo;

Njia rahisi na ngumu za kutatua mifumo ya equations

Hakuna njia ya jumla ya uchambuzi ya kutatua mifumo inayofanana, njia zote zinategemea ufumbuzi wa nambari. KATIKA kozi ya shule hisabati, mbinu kama vile vibali, nyongeza za aljebra, uingizwaji, na vile vile kielelezo na njia ya matrix, suluhisho kwa njia ya Gaussian.

Kazi kuu wakati wa kufundisha njia za suluhisho ni kufundisha jinsi ya kuchambua kwa usahihi mfumo na kupata algorithm mojawapo suluhisho kwa kila mfano. Jambo kuu sio kukariri mfumo wa sheria na vitendo kwa kila njia, lakini kuelewa kanuni za kutumia njia fulani.

Kutatua mifano ya mifumo ya milinganyo ya mstari wa programu ya daraja la 7 shule ya Sekondari rahisi sana na kuelezewa kwa kina sana. Katika kitabu chochote cha hisabati, sehemu hii inapewa umakini wa kutosha. Kutatua mifano ya mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya Gauss na Cramer inasomwa kwa undani zaidi katika miaka ya kwanza ya elimu ya juu.

Kutatua mifumo kwa kutumia njia mbadala

Vitendo vya njia ya uingizwaji vinalenga kuelezea thamani ya kigezo kimoja katika suala la pili. Usemi huo hubadilishwa kuwa mlinganyo uliobaki, kisha hupunguzwa kuwa fomu yenye kigezo kimoja. Kitendo kinarudiwa kulingana na idadi ya haijulikani kwenye mfumo

Wacha tutoe suluhisho kwa mfano wa mfumo wa hesabu za mstari wa darasa la 7 kwa kutumia njia mbadala:

Kama inavyoweza kuonekana kutoka kwa mfano, kigezo cha x kilionyeshwa kupitia F(X) = 7 + Y. Usemi uliotokana, uliowekwa badala ya mlingano wa 2 wa mfumo badala ya X, ulisaidia kupata kigezo kimoja cha Y katika mlingano wa 2. . Suluhisho mfano huu haisababishi ugumu na hukuruhusu kupata thamani ya Y Hatua ya mwisho ni kuangalia maadili yaliyopatikana.

Si mara zote inawezekana kutatua mfano wa mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kubadilisha. Milinganyo inaweza kuwa changamano na kuelezea kutofautisha katika suala la pili isiyojulikana itakuwa ngumu sana kwa hesabu zaidi. Wakati kuna zaidi ya 3 haijulikani katika mfumo, kutatua kwa uingizwaji pia siofaa.

Suluhisho la mfano wa mfumo wa milinganyo isiyo na usawa ya mstari:

Suluhisho kwa kutumia nyongeza ya algebra

Wakati wa kutafuta suluhisho kwa mifumo kwa kutumia njia ya kuongeza, hufanya nyongeza ya muda baada ya muda na kuzidisha milinganyo kwa nambari tofauti. Lengo kuu la shughuli za hisabati ni mlinganyo katika kigezo kimoja.

Kwa Maombi njia hii mazoezi na uchunguzi unahitajika. Kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya kuongeza wakati kuna vigeu 3 au zaidi si rahisi. Nyongeza ya aljebra ni rahisi kutumia wakati milinganyo ina sehemu na desimali.

Algorithm ya suluhisho:

1. Zidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari fulani. Matokeo yake operesheni ya hesabu moja ya mgawo wa kutofautisha lazima iwe sawa na 1.
2. Ongeza neno linalotokana na usemi kwa muhula na upate mojawapo ya yasiyojulikana.
3. Badilisha thamani inayotokana na mlingano wa 2 wa mfumo ili kupata kigezo kilichosalia.

Njia ya suluhisho kwa kuanzisha kigezo kipya

Tofauti mpya inaweza kuletwa ikiwa mfumo unahitaji kutafuta suluhisho kwa si zaidi ya milinganyo miwili;

Njia hiyo hutumiwa kurahisisha mojawapo ya milinganyo kwa kuanzisha kigezo kipya. Equation mpya inatatuliwa kwa iliyoanzishwa haijulikani, na thamani inayotokana hutumiwa kuamua kutofautiana kwa asili.

Mfano unaonyesha kuwa kwa kuanzisha kibadilishaji kipya cha t, iliwezekana kupunguza equation ya 1 ya mfumo hadi ile ya kawaida. quadratic trinomial. Unaweza kutatua polynomial kwa kutafuta kibaguzi.

Ni muhimu kupata thamani ya kibaguzi kwa formula inayojulikana: D = b2 - 4*a*c, ambapo D ni kibaguzi kinachohitajika, b, a, c ni sababu za polynomial. KATIKA kupewa mfano a=1, b=16, c=39, kwa hivyo D=100. Ikiwa mbaguzi Juu ya sifuri, basi kuna ufumbuzi mbili: t = -b±√D / 2*a, ikiwa kibaguzi ni chini ya sifuri, basi kuna suluhisho moja: x = -b / 2*a.

Suluhisho la mifumo inayotokana hupatikana kwa njia ya kuongeza.

Njia ya kuona ya kutatua mifumo

Inafaa kwa mifumo 3 ya equation. Mbinu ni kujenga juu mhimili wa kuratibu grafu za kila mlinganyo uliojumuishwa kwenye mfumo. Kuratibu za pointi za makutano ya curves na itakuwa uamuzi wa jumla mifumo.

Njia ya graphical ina idadi ya nuances. Wacha tuangalie mifano kadhaa ya utatuzi wa mifumo ya milinganyo ya mstari kwa njia ya kuona.

Kama inavyoonekana kutoka kwa mfano, kwa kila mstari pointi mbili zilijengwa, maadili ya kutofautiana x yalichaguliwa kiholela: 0 na 3. Kulingana na maadili ya x, maadili ya y yalipatikana: 3 na 0. Pointi zilizo na kuratibu (0, 3) na (3, 0) ziliwekwa alama kwenye grafu na kuunganishwa na mstari.

Hatua lazima zirudiwe kwa equation ya pili. Hatua ya makutano ya mistari ni suluhisho la mfumo.

Mfano ufuatao unahitaji kupatikana suluhisho la picha mifumo ya milinganyo ya mstari: 0.5x-y+2=0 na 0.5x-y-1=0.

Kama inavyoonekana kutoka kwa mfano, mfumo hauna suluhisho, kwa sababu grafu ni sawa na haziingiliani kwa urefu wao wote.

Mifumo kutoka kwa mifano 2 na 3 ni sawa, lakini inapojengwa inakuwa dhahiri kuwa suluhisho zao ni tofauti. Inapaswa kukumbuka kuwa si mara zote inawezekana kusema ikiwa mfumo una suluhisho au la, daima ni muhimu kujenga grafu.

Matrix na aina zake

Matrices hutumiwa kwa noti fupi mifumo ya milinganyo ya mstari. Matrix ni meza aina maalum kujazwa na nambari. n*m ina n - safu mlalo na safu wima m.

Matrix ni mraba wakati idadi ya safu wima na safu ni sawa. Vekta ya matrix ni matrix ya safu wima moja isiyo na mwisho nambari inayowezekana mistari. Matrix iliyo na zile kando ya moja ya diagonals na vitu vingine vya sifuri inaitwa utambulisho.

Matrix inverse ni matrix inapozidishwa ambayo ya asili inabadilika kuwa matrix ya kitengo;

Sheria za kubadilisha mfumo wa milinganyo kuwa matrix

Kuhusiana na mifumo ya milinganyo, mgawo na masharti ya bure ya milinganyo huandikwa kama nambari za matrix;

Safu mlalo ya matriki inasemekana kuwa nonzero ikiwa angalau kipengele kimoja cha safu mlalo si sifuri. Kwa hiyo, ikiwa katika equations yoyote idadi ya vigezo hutofautiana, basi ni muhimu kuingia sifuri mahali pa kukosa haijulikani.

Safu wima za matrix lazima zilingane kabisa na vigeuzo. Hii ina maana kwamba coefficients ya kutofautiana x inaweza kuandikwa tu katika safu moja, kwa mfano ya kwanza, mgawo wa y haijulikani - tu kwa pili.

Wakati wa kuzidisha matrix, vitu vyote vya matrix huzidishwa kwa mpangilio na nambari.

Chaguzi za kutafuta matrix inverse

Njia ya kupata matrix inverse ni rahisi sana: K -1 = 1 / |K|, ambapo K -1 - matrix ya kinyume, na |K| ni kiashiria cha matrix. |K| lazima isiwe sawa na sifuri, basi mfumo una suluhisho.

Kiamuzi kinahesabiwa kwa urahisi kwa matrix mbili kwa mbili unahitaji tu kuzidisha vipengele vya diagonal kwa kila mmoja. Kwa chaguo la "tatu kwa tatu", kuna fomula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Unaweza kutumia fomula, au unaweza kukumbuka kuwa unahitaji kuchukua kipengee kimoja kutoka kwa kila safu na kila safu ili nambari za safu na safu za vitu zisirudiwe kwenye kazi.

Kutatua mifano ya mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya matrix

Njia ya matrix ya kupata suluhisho hukuruhusu kupunguza maingizo magumu wakati wa kutatua mifumo na kiasi kikubwa vigezo na milinganyo.

Katika mfano, nm ni coefficients ya equations, matrix ni vector x n ni vigezo, na b n ni masharti ya bure.

Mifumo ya kutatua kwa kutumia njia ya Gaussian

KATIKA hisabati ya juu Njia ya Gaussian inasomwa pamoja na njia ya Cramer, na mchakato wa kutafuta ufumbuzi wa mifumo inaitwa njia ya ufumbuzi wa Gauss-Cramer. Njia hizi hutumiwa kupata mifumo ya kutofautiana na idadi kubwa ya milinganyo ya mstari.

Njia ya Gauss ni sawa na suluhisho kwa kutumia mbadala na nyongeza ya algebra, lakini kwa utaratibu zaidi. Katika kozi ya shule, suluhisho kwa njia ya Gaussian hutumiwa kwa mifumo ya 3 na 4 equations. Madhumuni ya njia ni kupunguza mfumo kwa fomu ya trapezoid inverted. Kwa njia ya mabadiliko ya aljebra na uingizwaji, thamani ya kutofautiana moja hupatikana katika mojawapo ya milinganyo ya mfumo. Mlinganyo wa pili ni usemi ulio na 2 zisizojulikana, wakati 3 na 4 ziko, mtawaliwa, na 3 na 4 anuwai.

Baada ya kuleta mfumo kwa fomu iliyoelezwa, suluhisho zaidi linapunguzwa kwa uingizaji wa mfululizo wa vigezo vinavyojulikana katika equations ya mfumo.

Katika vitabu vya kiada vya shule kwa darasa la 7, mfano wa suluhisho kwa njia ya Gauss umeelezewa kama ifuatavyo:

Kama inavyoonekana kutoka kwa mfano, katika hatua (3) milinganyo miwili ilipatikana: 3x 3 -2x 4 = 11 na 3x 3 +2x 4 =7. Kutatua milinganyo yoyote itakuruhusu kujua moja ya vigeuzo x n.

Nadharia ya 5, ambayo imetajwa katika maandishi, inasema kwamba ikiwa moja ya equations ya mfumo inabadilishwa na sawa, basi mfumo wa matokeo pia utakuwa sawa na wa awali.

Mbinu ya Gauss ni ngumu kwa wanafunzi kuelewa sekondari, lakini ni mojawapo ya njia za kuvutia zaidi za kuendeleza ujuzi wa watoto wanaosoma chini ya programu utafiti wa kina katika madarasa ya hisabati na fizikia.

Kwa urahisi wa kurekodi, mahesabu kawaida hufanywa kama ifuatavyo:

Coefficients ya equations na maneno ya bure yameandikwa kwa namna ya matrix, ambapo kila safu ya matrix inafanana na moja ya equations ya mfumo. hutenganisha upande wa kushoto wa equation kutoka kulia. Nambari za Kirumi zinaonyesha nambari za milinganyo kwenye mfumo.

Kwanza, andika matrix ya kufanyia kazi, kisha vitendo vyote vinavyofanywa na safu moja ya safu. Matrix inayosababishwa imeandikwa baada ya ishara ya "mshale" na shughuli muhimu za algebra zinaendelea hadi matokeo yanapatikana.

Matokeo yake yanapaswa kuwa matrix ambayo moja ya diagonals ni sawa na 1, na coefficients nyingine zote ni sawa na sifuri, yaani, tumbo hupunguzwa kwa fomu ya kitengo. Hatupaswi kusahau kufanya mahesabu na nambari za pande zote za equation.

Njia hii ya kurekodi sio ngumu sana na hukuruhusu usikengeushwe kwa kuorodhesha mengi yasiyojulikana.

Matumizi ya bure ya njia yoyote ya ufumbuzi itahitaji huduma na uzoefu fulani. Sio njia zote ni za asili ya kutumika. Njia zingine za kupata suluhisho zinapendekezwa zaidi katika eneo fulani la shughuli za wanadamu, wakati zingine zipo kwa madhumuni ya kielimu.