Je, sehemu ya desimali isiyo na kikomo ya upimaji inamaanisha nini? Desimali, ufafanuzi, nukuu, mifano, utendakazi na desimali

Tayari ndani Shule ya msingi wanafunzi hukutana na sehemu. Na kisha wanaonekana katika kila mada. Huwezi kusahau vitendo na nambari hizi. Kwa hiyo, unahitaji kujua habari zote kuhusu kawaida na desimali. Dhana hizi sio ngumu, jambo kuu ni kuelewa kila kitu kwa utaratibu.

Kwa nini sehemu zinahitajika?

Ulimwengu unaotuzunguka una vitu vizima. Kwa hiyo, hakuna haja ya hisa. Lakini maisha ya kila siku mara kwa mara huwasukuma watu kufanya kazi na sehemu za vitu na vitu.

Kwa mfano, chokoleti ina vipande kadhaa. Fikiria hali ambapo tile yake huundwa na rectangles kumi na mbili. Ikiwa utaigawanya katika sehemu mbili, utapata sehemu 6. Inaweza kugawanywa kwa urahisi katika tatu. Lakini haitawezekana kuwapa watu watano idadi nzima ya vipande vya chokoleti.

Kwa njia, vipande hivi tayari ni sehemu. Na mgawanyiko wao zaidi husababisha kuonekana kwa nambari ngumu zaidi.

"Sehemu" ni nini?

Hii ni nambari inayoundwa na sehemu za kitengo. Kwa nje, inaonekana kama nambari mbili zilizotenganishwa na mlalo au kufyeka. Kipengele hiki kinaitwa sehemu. Nambari iliyoandikwa juu (kushoto) inaitwa nambari. Kilicho chini (kulia) ni dhehebu.

Kimsingi, kufyeka hugeuka kuwa ishara ya mgawanyiko. Hiyo ni, nambari inaweza kuitwa mgawanyiko, na denominator inaweza kuitwa mgawanyiko.

Je, kuna sehemu gani?

Katika hisabati kuna aina mbili tu: sehemu za kawaida na za decimal. Wanafunzi wa shule hukutana kwa mara ya kwanza Shule ya msingi, kuwaita "vipande". Mwisho utajifunza katika daraja la 5. Hapo ndipo majina haya yanapotokea.

Sehemu za kawaida ni zile zote ambazo zimeandikwa kama nambari mbili zilizotenganishwa na mstari. Kwa mfano, 4/7. Desimali ni nambari ambayo sehemu ya sehemu ina nukuu ya nafasi na inatenganishwa na nambari nzima kwa koma. Kwa mfano, 4.7. Wanafunzi wanapaswa kuelewa wazi kwamba mifano miwili iliyotolewa ni nambari tofauti kabisa.

Kila sehemu rahisi inaweza kuandikwa kwa fomu ya decimal. Taarifa hii ni karibu kila wakati kweli katika mwelekeo wa nyuma. Kuna sheria zinazokuruhusu kuandika sehemu ya desimali kama sehemu ya kawaida.

Je, aina hizi za sehemu zina aina gani ndogo?

Ni bora kuanza ndani mpangilio wa mpangilio, zinavyosomwa. Kwanza kwenda sehemu za kawaida. Kati yao, spishi ndogo 5 zinaweza kutofautishwa.

Sahihi. Nambari yake daima ni chini ya denominator yake.

Si sahihi. Nambari yake ni kubwa kuliko au sawa na denominator yake.

Inayoweza kupunguzwa/isiyopunguzwa. Inaweza kugeuka kuwa sawa au mbaya. Jambo lingine muhimu ni ikiwa nambari na denominator zina mambo ya kawaida. Ikiwa kuna, basi ni muhimu kugawanya sehemu zote mbili za sehemu nao, yaani, kupunguza.

Imechanganywa. Nambari kamili imepewa sehemu yake ya kawaida ya kawaida (isiyo ya kawaida). Aidha, daima ni upande wa kushoto.

Mchanganyiko. Inaundwa kutoka kwa sehemu mbili zilizogawanywa na kila mmoja. Hiyo ni, ina mistari mitatu ya sehemu mara moja.

Sehemu ndogo za decimal zina aina mbili tu:

finite, yaani, ile ambayo sehemu yake ya sehemu ni ndogo (ina mwisho);

usio na mwisho - nambari ambayo tarakimu zake baada ya uhakika wa decimal haziishi (zinaweza kuandikwa bila mwisho).

Jinsi ya kubadilisha sehemu ya decimal kuwa sehemu ya kawaida?

Kama hii nambari ya mwisho, basi chama kulingana na sheria kinatumika - kama ninavyosikia, kwa hivyo ninaandika. Hiyo ni, unahitaji kuisoma kwa usahihi na kuiandika, lakini bila comma, lakini kwa bar ya sehemu.

Kama kidokezo juu ya dhehebu inayohitajika, unahitaji kukumbuka kuwa kila wakati ni sifuri moja na kadhaa. Unahitaji kuandika nyingi za mwisho kama vile kuna nambari katika sehemu ya nambari inayohusika.

Jinsi ya kubadilisha sehemu za decimal kuwa sehemu za kawaida ikiwa sehemu nzima haipo, yaani, sawa na sifuri? Kwa mfano, 0.9 au 0.05. Baada ya kutumia sheria maalum, inageuka kuwa unahitaji kuandika nambari za sifuri. Lakini haijaonyeshwa. Kinachobaki ni kuandika sehemu za sehemu. Nambari ya kwanza itakuwa na denominator ya 10, ya pili itakuwa na denominator ya 100. Hiyo ni, mifano iliyotolewa itakuwa na nambari zifuatazo kama majibu: 9/10, 5/100. Aidha, zinageuka kuwa mwisho unaweza kupunguzwa na 5. Kwa hiyo, matokeo yake yanahitaji kuandikwa kama 1/20.

Unawezaje kubadilisha sehemu ya desimali kuwa sehemu ya kawaida ikiwa sehemu yake kamili ni tofauti na sifuri? Kwa mfano, 5.23 au 13.00108. Katika mifano yote miwili, sehemu nzima inasomwa na thamani yake imeandikwa. Katika kesi ya kwanza ni 5, kwa pili ni 13. Kisha unahitaji kuendelea na sehemu ya sehemu. Operesheni sawa inapaswa kufanywa nao. Nambari ya kwanza inaonekana 23/100, ya pili - 108/100000. Thamani ya pili inahitaji kupunguzwa tena. Jibu linatoa sehemu zifuatazo zilizochanganywa: 5 23/100 na 13 27/25000.

Jinsi ya kubadilisha sehemu ya decimal isiyo na kikomo kuwa sehemu ya kawaida?

Ikiwa sio mara kwa mara, basi operesheni kama hiyo haitawezekana. Ukweli huu ni kwa sababu ya ukweli kwamba kila sehemu ya desimali hubadilishwa kila wakati kuwa sehemu ya mwisho au ya muda.

Kitu pekee unachoweza kufanya na sehemu kama hiyo ni kuizunguka. Lakini basi desimali itakuwa takriban sawa na hiyo isiyo na mwisho. Tayari inaweza kubadilishwa kuwa ya kawaida. Lakini mchakato wa kurudi nyuma: kubadilisha kuwa decimal hautatoa kamwe thamani ya awali. Hiyo ni, kutokuwa na mwisho sehemu zisizo za mara kwa mara hazijabadilishwa kuwa za kawaida. Hili linahitaji kukumbukwa.

Jinsi ya kuandika sehemu isiyo na kipimo ya upimaji kama sehemu ya kawaida?

Katika nambari hizi, daima kuna tarakimu moja au zaidi baada ya uhakika wa decimal ambao unarudiwa. Wanaitwa kipindi. Kwa mfano, 0.3 (3). Hapa "3" ni katika kipindi. Zimeainishwa kuwa za kimantiki kwa sababu zinaweza kubadilishwa kuwa sehemu za kawaida.

Wale ambao wamekutana na sehemu za mara kwa mara wanajua kuwa zinaweza kuwa safi au mchanganyiko. Katika kesi ya kwanza, kipindi huanza mara moja kutoka kwa comma. Katika pili, sehemu ya sehemu huanza na nambari fulani, na kisha marudio huanza.

Sheria ambayo unahitaji kuandika desimali isiyo na kikomo kama sehemu ya kawaida itakuwa tofauti kwa aina mbili za nambari zilizoonyeshwa. Ni rahisi sana kuandika sehemu za mara kwa mara kama sehemu za kawaida. Kama ilivyo kwa zile zenye kikomo, zinahitaji kubadilishwa: andika kipindi katika nambari, na kiashiria kitakuwa nambari 9, kinachorudiwa mara nyingi kama idadi ya nambari za kipindi.

Kwa mfano, 0, (5). Nambari haina sehemu kamili, kwa hivyo unahitaji kuanza mara moja na sehemu ya sehemu. Andika 5 kama nambari na 9 kama kipunguzo. Hiyo ni, jibu litakuwa sehemu 5/9.

Sheria ya jinsi ya kuandika sehemu ya kawaida ya decimal ambayo imechanganywa.

Angalia urefu wa kipindi. Hiyo ni 9 ngapi denominator itakuwa nayo.

Andika dhehebu: tisa za kwanza, kisha sufuri.

Kuamua nambari, unahitaji kuandika tofauti ya nambari mbili. Nambari zote baada ya nukta ya desimali zitapunguzwa, pamoja na kipindi. Inapunguzwa - ni bila hedhi.

Kwa mfano, 0.5(8) - andika sehemu ya decimal ya mara kwa mara kama sehemu ya kawaida. Sehemu ya sehemu kabla ya kipindi ina tarakimu moja. Kwa hivyo kutakuwa na sifuri moja. Pia kuna nambari moja tu katika kipindi - 8. Hiyo ni, kuna tisa tu. Hiyo ni, unahitaji kuandika 90 katika denominator.

Kuamua nambari, unahitaji kutoa 5 kutoka 58. Inageuka 53. Kwa mfano, itabidi uandike jibu kama 53/90.

Je, sehemu hubadilishwaje kuwa desimali?

wengi zaidi chaguo rahisi inageuka kuwa nambari ambayo denominator ina nambari 10, 100, nk. Kisha denominator inatupwa tu, na koma huwekwa kati ya sehemu za sehemu na kamili.

Kuna hali wakati denominator inageuka kwa urahisi 10, 100, nk Kwa mfano, namba 5, 20, 25. Inatosha kuzizidisha kwa 2, 5 na 4, kwa mtiririko huo. Unahitaji tu kuzidisha sio denominator tu, lakini pia nambari kwa nambari sawa.

Kwa matukio mengine yote, sheria rahisi ni muhimu: kugawanya nambari na denominator. Katika kesi hii, unaweza kupata majibu mawili iwezekanavyo: sehemu ya mwisho au ya muda ya decimal.

Uendeshaji na sehemu za kawaida

Kuongeza na kutoa

Wanafunzi wanafahamiana nao mapema kuliko wengine. Na kwanza kwa sehemu madhehebu sawa, na kisha tofauti. Kanuni za jumla inaweza kupunguzwa kwa mpango kama huo.

Pata kizidishio kidogo cha kawaida cha madhehebu.

Andika vipengele vya ziada kwa sehemu zote za kawaida.

Zidisha nambari na denomineta kwa vipengele vilivyobainishwa kwao.

Ongeza (ondoa) nambari za sehemu na uache denominator ya kawaida bila kubadilika.

Ikiwa nambari ya minuend ni chini ya subtrahend, basi tunahitaji kujua mbele yetu nambari iliyochanganywa au sehemu inayofaa.

Katika kesi ya kwanza, unahitaji kukopa moja kutoka sehemu nzima. Ongeza dhehebu kwa nambari ya sehemu. Na kisha fanya kutoa.

Katika pili, ni muhimu kutumia utawala wa kutoa kutoka idadi ndogo zaidi. Hiyo ni, kutoka kwa moduli ya subtrahend, toa moduli ya minuend, na kwa kujibu weka ishara "-".

Angalia kwa uangalifu matokeo ya kuongeza (kutoa). Ikiwa unapata sehemu isiyofaa, basi unahitaji kuchagua sehemu nzima. Hiyo ni, kugawanya nambari na denominator.

Kuzidisha na kugawanya

Ili kuzifanya, sehemu hazihitaji kupunguzwa dhehebu la kawaida. Hii inafanya iwe rahisi kufanya vitendo. Lakini bado wanahitaji kufuata sheria.

Wakati wa kuzidisha sehemu, unahitaji kuangalia nambari katika nambari na denominators. Ikiwa nambari na denominator yoyote ina sababu ya kawaida, basi inaweza kupunguzwa.

Zidisha nambari.

Zidisha madhehebu.

Ikiwa matokeo ni sehemu inayoweza kupunguzwa, basi lazima iwe rahisi tena.

Wakati wa kugawanya, lazima kwanza ubadilishe mgawanyiko na kuzidisha, na kigawanyaji (sehemu ya pili) na sehemu ya kubadilishana (badilisha nambari na denominator).

Kisha endelea kama vile kuzidisha (kuanzia nukta 1).

Katika kazi ambapo unahitaji kuzidisha (kugawanya) kwa nambari, mwisho unapaswa kuandikwa kwa fomu sehemu isiyofaa. Hiyo ni, na dhehebu la 1. Kisha tenda kama ilivyoelezwa hapo juu.

Uendeshaji na desimali

Kuongeza na kutoa

Kwa kweli, unaweza kubadilisha desimali kila wakati kuwa sehemu. Na tenda kulingana na mpango ulioelezewa tayari. Lakini wakati mwingine ni rahisi zaidi kutenda bila tafsiri hii. Kisha sheria za kuongeza na kutoa kwao zitakuwa sawa kabisa.

Sawazisha idadi ya tarakimu katika sehemu ya sehemu ya nambari, yaani, baada ya nukta ya desimali. Ongeza nambari inayokosekana ya sufuri kwake.

Andika sehemu ili koma iwe chini ya koma.

Ongeza (ondoa) kama nambari asili.

Ondoa koma.

Kuzidisha na kugawanya

Ni muhimu kwamba huna haja ya kuongeza zero hapa. Sehemu zinapaswa kuachwa kama zinavyoonyeshwa kwenye mfano. Na kisha kwenda kulingana na mpango.

Ili kuzidisha, unahitaji kuandika sehemu moja chini ya nyingine, ukipuuza koma.

Zidisha kama nambari za asili.

Weka koma katika jibu, ukihesabu kutoka mwisho wa kulia wa jibu tarakimu nyingi kama zilivyo katika sehemu za sehemu za vipengele vyote viwili.

Ili kugawanya, lazima kwanza ubadilishe kigawanyaji: uifanye nambari ya asili. Hiyo ni, kuzidisha kwa 10, 100, nk, kulingana na nambari ngapi ziko katika sehemu ya sehemu ya kigawanyiko.

Zidisha mgao kwa nambari sawa.

Gawa desimali kwa nambari ya asili.

Weka koma katika jibu lako wakati ambapo mgawanyo wa sehemu nzima unaisha.

Je, ikiwa mfano mmoja una aina zote mbili za sehemu?

Ndio, katika hisabati mara nyingi kuna mifano ambayo unahitaji kufanya shughuli kwenye sehemu za kawaida na za decimal. Katika kazi kama hizo kuna suluhisho mbili zinazowezekana. Unahitaji kupima nambari kwa usawa na uchague ile bora.

Njia ya kwanza: kuwakilisha desimali za kawaida

Inafaa ikiwa, wakati wa kugawanya au kutafsiri, unapata sehemu za mwisho. Ikiwa angalau nambari moja inatoa sehemu ya mara kwa mara, basi mbinu hii ni marufuku. Kwa hivyo, hata ikiwa haupendi kufanya kazi na sehemu za kawaida, italazimika kuzihesabu.

Njia ya pili: andika sehemu za desimali kama kawaida

Mbinu hii inageuka kuwa rahisi ikiwa sehemu baada ya hatua ya decimal ina tarakimu 1-2. Ikiwa kuna zaidi yao, unaweza kuishia na sehemu kubwa sana ya kawaida na nukuu ya desimali itafanya kazi kuwa haraka na rahisi kuhesabu. Kwa hivyo, kila wakati unahitaji kutathmini kazi hiyo kwa uangalifu na uchague njia rahisi zaidi ya suluhisho.

ukweli kwamba wengi mizizi ya mraba ni nambari zisizo na mantiki, haipunguzii umuhimu wao kabisa; haswa, nambari $\sqrt2$ hutumiwa mara nyingi sana katika hesabu mbali mbali za uhandisi na kisayansi. Nambari hii inaweza kuhesabiwa kwa usahihi unaohitajika katika kila kesi maalum. Unaweza kupata nambari hii hadi sehemu nyingi za desimali kadri unavyoweza kuvumilia.

Kwa mfano, nambari $\sqrt2$ inaweza kutambuliwa kwa usahihi wa maeneo sita ya decimal: $\sqrt2=1.414214$. Thamani hii sio tofauti sana na maana ya kweli, tangu $1.414214 \mara 1.414214=2.000001237796$. Jibu hili linatofautiana na 2 kwa karibu zaidi ya milioni moja. Kwa hiyo, thamani ya $\sqrt2$ sawa na $1.414214$ inachukuliwa kuwa inakubalika kabisa kwa kutatua matatizo mengi ya vitendo. Katika hali ambapo usahihi zaidi unahitajika, si vigumu kupata tarakimu nyingi muhimu baada ya nukta ya desimali inavyohitajika katika kwa kesi hii.

Walakini, ikiwa unaonyesha ukaidi wa nadra na jaribu kutoa Kipeo kutoka kwa nambari $\sqrt2$ hadi ufanikiwe matokeo halisi, hutamaliza kazi yako kamwe. Ni mchakato usio na mwisho. Haijalishi unapata sehemu ngapi za desimali, kutakuwa na chache zaidi zilizosalia.

Ukweli huu unaweza kukushangaza kama vile kugeuza $\frac13$ kuwa desimali isiyo na kikomo $0.333333333…$ na kuendelea kwa muda usiojulikana, au kubadilisha $\frac17$ kuwa $0.142857142857142857…$ na kuendelea kwa muda usiojulikana. Kwa mtazamo wa kwanza inaweza kuonekana kuwa mizizi hii ya mraba isiyo na mwisho na isiyo na maana ni matukio ya utaratibu sawa, lakini hii sivyo kabisa. Baada ya yote, haya sehemu zisizo na mwisho ina sehemu sawa, wakati $\sqrt2$ haina. Kwa nini hasa? Ukweli ni kwamba decimal sawa na $\frac13$ na $\frac17$, pamoja na idadi isiyo na kikomo ya sehemu nyingine, ni sehemu zisizo na kikomo za mara kwa mara.

Wakati huo huo, desimali sawa na $\sqrt2$ ni sehemu isiyo ya muda. Taarifa hii pia ni kweli kwa nambari yoyote isiyo na mantiki.

Shida ni kwamba decimal yoyote ambayo ni makadirio ya mzizi wa mraba wa 2 ni sehemu isiyo ya mara kwa mara. Haijalishi tunaenda umbali gani katika hesabu zetu, sehemu yoyote tutakayopata haitakuwa ya mara kwa mara.

Fikiria sehemu na kiasi kikubwa maeneo yasiyo ya muda ya desimali. Ikiwa ghafla baada ya tarakimu ya milioni mlolongo mzima wa maeneo ya decimal unarudiwa, inamaanisha Nukta- mara kwa mara na kuna sawa kwa hiyo katika mfumo wa uwiano wa integers. Ikiwa sehemu yenye idadi kubwa (mabilioni au mamilioni) ya nafasi za desimali zisizorudiwa mara kwa mara ina mfululizo usio na mwisho wa tarakimu zinazojirudia, kama vile $...55555555555...$, hii pia inamaanisha kuwa sehemu iliyotolewa- mara kwa mara na kuna sawa kwa hiyo katika mfumo wa uwiano wa integers.

Walakini, ikiwezekana, nambari zao za desimali sio za mara kwa mara na haziwezi kuwa za mara kwa mara.

Bila shaka unaweza kuuliza swali linalofuata: “Ni nani anayeweza kujua na kusema kwa uhakika kile kinachotokea kwa sehemu, tuseme, baada ya ishara ya trilioni? Ni nani anayeweza kuhakikisha kwamba sehemu haitakuwa ya mara kwa mara?" Kuna njia za kuthibitisha hilo bila kupingwa nambari zisizo na mantiki sio za mara kwa mara, lakini uthibitisho kama huo unahitaji ngumu vifaa vya hisabati. Lakini ikiwa ghafla ikawa hivyo nambari ya busara inakuwa sehemu ya mara kwa mara, hiyo ingemaanisha kuanguka kamili misingi sayansi ya hisabati. Na kwa kweli hii haiwezekani kabisa. Si rahisi kwako kuitupa kutoka upande hadi upande kwenye vifundo vyako, kuna nadharia tata ya hisabati hapa.

Makala hii inahusu desimali. Hapa tutashughulika na nukuu ya decimal nambari za sehemu, tunatanguliza dhana ya sehemu ya desimali na kutoa mifano ya sehemu za desimali. Ifuatayo, tutazungumza juu ya nambari za sehemu za desimali na tupe majina ya nambari. Baada ya hayo, tutazingatia sehemu za decimal zisizo na kikomo, hebu tuzungumze juu ya sehemu za mara kwa mara na zisizo za muda. Ifuatayo, tunaorodhesha shughuli za kimsingi na sehemu za desimali. Kwa kumalizia, hebu tuanzishe nafasi ya sehemu za decimal kwenye boriti ya kuratibu.

Urambazaji wa ukurasa.

Ubainishaji wa decimal wa nambari ya sehemu

Kusoma Desimali

Wacha tuseme maneno machache juu ya sheria za kusoma sehemu za decimal.

Sehemu za decimal, ambazo zinalingana na sehemu zinazofaa za kawaida, husomwa kwa njia sawa na sehemu hizi za kawaida, "nambari kamili ya sifuri" pekee ndiyo inayoongezwa kwanza. Kwa mfano, sehemu ya decimal 0.12 inalingana na sehemu ya kawaida 12/100 (soma "mia kumi na mbili"), kwa hivyo, 0.12 inasomwa kama "sifuri hatua ya mia kumi na mbili".

Sehemu za decimal zinazolingana na nambari zilizochanganywa husomwa sawasawa na nambari hizi zilizochanganywa. Kwa mfano, sehemu ya desimali 56.002 inalingana na nambari iliyochanganywa, kwa hivyo sehemu ya desimali 56.002 inasomwa kama "nukta hamsini na sita elfu mbili."

Maeneo katika desimali

Kwa kuandika sehemu za decimal, na pia kwa kuandika nambari za asili, maana ya kila tarakimu inategemea nafasi yake. Hakika, nambari ya 3 katika sehemu ya decimal 0.3 ina maana ya kumi tatu, katika sehemu ya decimal 0.0003 - tatu elfu kumi, na katika sehemu ya decimal 30,000.152 - makumi tatu ya maelfu. Kwa hivyo tunaweza kuzungumza juu maeneo ya desimali, na pia kuhusu tarakimu katika nambari za asili.

Majina ya tarakimu katika sehemu ya decimal hadi nukta ya decimal yanawiana kabisa na majina ya tarakimu katika nambari asilia. Na majina ya maeneo ya decimal baada ya uhakika wa decimal yanaweza kuonekana kutoka kwa meza ifuatayo.

Kwa mfano, katika sehemu ya decimal 37.051, tarakimu 3 iko katika nafasi ya kumi, 7 iko katika sehemu ya vitengo, 0 iko katika nafasi ya kumi, 5 iko katika nafasi ya mia, na 1 iko katika nafasi ya elfu.

Maeneo katika sehemu za desimali pia hutofautiana katika utangulizi. Ikiwa kwa maandishi sehemu ya desimali tunasonga kutoka kwa tarakimu hadi tarakimu kutoka kushoto kwenda kulia, basi tutatoka wazee Kwa vyeo vya chini. Kwa mfano, mahali pa mamia ni pakubwa kuliko mahali pa kumi, na mahali pa mamilioni ni chini kuliko mahali pa mia. Katika sehemu fulani ya mwisho ya desimali, tunaweza kuzungumza juu ya tarakimu kuu na ndogo. Kwa mfano, katika sehemu ya decimal 604.9387 mwandamizi (juu) mahali ni mahali pa mamia, na mdogo (chini)- tarakimu ya elfu kumi.

Kwa sehemu za desimali, upanuzi katika tarakimu hufanyika. Ni sawa na upanuzi katika tarakimu za nambari za asili. Kwa mfano, upanuzi katika maeneo decimal ya 45.6072 ni kama ifuatavyo: 45.6072=40+5+0.6+0.007+0.0002. Na mali ya kuongeza kutoka kwa mtengano wa sehemu ya decimal katika tarakimu inakuwezesha kuendelea na uwakilishi mwingine wa sehemu hii ya decimal, kwa mfano, 45.6072=45+0.6072, au 45.6072=40.6+5.007+0.0002, au 45.6072= 45.0072 0.6.

Kumalizia desimali

Hadi kufikia hatua hii, tumezungumza tu juu ya sehemu za decimal, katika nukuu ambayo kuna idadi ya mwisho ya tarakimu baada ya uhakika wa decimal. Sehemu kama hizo huitwa desimali zenye mwisho.

Ufafanuzi.

Kumalizia desimali- Hizi ni sehemu za decimal, rekodi ambazo zina idadi maalum ya wahusika (tarakimu).

Hapa kuna mifano ya sehemu za mwisho za desimali: 0.317, 3.5, 51.1020304958, 230,032.45.

Walakini, sio kila sehemu inaweza kuwakilishwa kama desimali ya mwisho. Kwa mfano, sehemu ya 5/13 haiwezi kubadilishwa na sehemu sawa na moja ya madhehebu 10, 100, ..., kwa hiyo, haiwezi kubadilishwa kuwa sehemu ya mwisho ya decimal. Tutazungumza zaidi juu ya hili katika sehemu ya nadharia, kubadilisha sehemu za kawaida kuwa desimali.

Desimali Isiyo na Kikomo: Sehemu za Muda na Sehemu Zisizo za Muda

Kwa kuandika sehemu ya decimal baada ya uhakika wa decimal, unaweza kudhani uwezekano wa idadi isiyo na kipimo ya tarakimu. Katika kesi hii, tutakuja kuzingatia kinachojulikana kama sehemu za decimal zisizo na mwisho.

Ufafanuzi.

Desimali zisizo na kikomo- hizi ni sehemu za decimal, rekodi ambayo ina seti isiyo na mwisho nambari

Ni wazi kwamba hatuwezi kuandika sehemu za desimali zisizo na kikomo katika umbo kamili, kwa hivyo katika kurekodi kwao tunajiwekea kikomo kwa idadi fulani tu ya kikomo ya tarakimu baada ya nukta ya desimali na kuweka duaradufu inayoonyesha mfuatano usio na kikomo wa tarakimu. Hii hapa ni baadhi ya mifano ya sehemu za decimal zisizo na kikomo: 0.143940932…, 3.1415935432…, 153.02003004005…, 2.111111111…, 69.74152152152….

Ikiwa unatazama kwa karibu sehemu mbili za mwisho za decimal zisizo na kipimo, basi katika sehemu 2.111111111 ... nambari ya kurudia bila mwisho inaonekana wazi, na katika sehemu 69.74152152152 ..., kuanzia nafasi ya tatu ya nambari, kikundi cha kurudia cha nambari. 1, 5 na 2 inaonekana wazi. Sehemu hizo za desimali zisizo na mwisho huitwa periodic.

Ufafanuzi.

Desimali za mara kwa mara(au kwa urahisi sehemu za mara kwa mara) ni sehemu za desimali zisizo na mwisho, katika kurekodi ambayo, kuanzia sehemu fulani ya decimal, nambari fulani au kikundi cha nambari hurudiwa tena, ambayo inaitwa. kipindi cha sehemu.

Kwa mfano, kipindi cha sehemu ya mara kwa mara 2.111111111... ni tarakimu 1, na muda wa sehemu 69.74152152152... ni kundi la tarakimu za fomu 152.

Kwa sehemu za desimali zisizo na kikomo za muda inakubaliwa sura maalum kumbukumbu. Kwa ufupi, tulikubali kuandika kipindi mara moja, tukiambatanisha kwenye mabano. Kwa mfano, sehemu ya muda 2.111111111... imeandikwa kama 2,(1) , na sehemu ya muda 69.74152152152... imeandikwa kama 69.74(152) .

Inafaa kumbuka kuwa kwa sehemu sawa ya decimal unaweza kutaja vipindi tofauti. Kwa mfano, sehemu ya desimali ya muda 0.73333... inaweza kuzingatiwa kama sehemu 0.7(3) yenye muda wa 3, na pia kama sehemu 0.7(33) yenye kipindi cha 33, na kadhalika 0.7(333), 0.7 (3333), ... Unaweza pia kuangalia sehemu ya mara kwa mara 0.73333 ... kama hii: 0.733(3), au kama hii 0.73(333), nk. Hapa, ili kuepusha utata na utofauti, tunakubali kuzingatia kama kipindi cha sehemu ya desimali kuwa fupi zaidi ya mfuatano wote unaowezekana wa tarakimu zinazojirudia, na kuanzia nafasi ya karibu zaidi hadi nukta ya desimali. Hiyo ni, kipindi cha sehemu ya decimal 0.73333 ... itazingatiwa mlolongo wa tarakimu moja 3, na periodicity huanza kutoka nafasi ya pili baada ya uhakika wa decimal, yaani, 0.73333 ... = 0.7 (3). Mfano mwingine: sehemu ya mara kwa mara 4.7412121212 ... ina muda wa 12, periodicity huanza kutoka kwa tarakimu ya tatu baada ya uhakika wa decimal, yaani, 4.7412121212 ... = 4.74 (12).

Sehemu zisizo na kikomo za upimaji wa desimali hupatikana kwa kugeuza sehemu za desimali sehemu za kawaida ambazo denomineta zake zina sababu kuu, tofauti na 2 na 5.

Hapa inafaa kutaja sehemu za mara kwa mara na kipindi cha 9. Hebu tutoe mifano ya sehemu hizo: 6.43(9) , 27,(9) . Sehemu hizi ni nukuu nyingine ya sehemu za muda zilizo na kipindi 0, na kwa kawaida hubadilishwa na sehemu za muda na kipindi cha 0. Kwa kufanya hivyo, kipindi cha 9 kinabadilishwa na kipindi cha 0, na thamani ya tarakimu ya juu zaidi huongezeka kwa moja. Kwa mfano, sehemu iliyo na kipindi cha 9 cha fomu 7.24(9) inabadilishwa na sehemu ya muda na kipindi cha 0 cha fomu 7.25(0) au sehemu sawa ya mwisho ya desimali 7.25. Mfano mwingine: 4,(9)=5,(0)=5. Usawa wa sehemu na kipindi cha 9 na sehemu yake inayolingana na kipindi cha 0 huwekwa kwa urahisi baada ya kubadilisha sehemu hizi za desimali na sehemu sawa za kawaida.

Hatimaye, hebu tuchunguze kwa undani sehemu za desimali zisizo na kikomo, ambazo hazina mlolongo unaojirudiarudia wa tarakimu. Zinaitwa zisizo za mara kwa mara.

Ufafanuzi.

Desimali zisizorudiwa(au kwa urahisi sehemu zisizo za mara kwa mara) ni sehemu za desimali zisizo na kikomo ambazo hazina muda.

Wakati mwingine sehemu zisizo za muda zina fomu sawa na ile ya sehemu za mara kwa mara, kwa mfano, 8.02002000200002 ... ni sehemu isiyo ya muda. Katika kesi hizi, unapaswa kuwa mwangalifu sana ili kugundua tofauti.

Kumbuka kuwa sehemu zisizo za muda hazibadilishi kuwa sehemu za kawaida; sehemu za desimali zisizo za muda zinawakilisha nambari zisizo na mantiki.

Uendeshaji na desimali

Moja ya shughuli zilizo na sehemu za desimali ni kulinganisha, na kazi nne za msingi za hesabu pia zimefafanuliwa shughuli na desimali: kuongeza, kutoa, kuzidisha na kugawanya. Wacha tuzingatie kando kila moja ya vitendo na sehemu za decimal.

Ulinganisho wa decimals kimsingi kulingana na ulinganisho wa sehemu za kawaida zinazolingana na sehemu za desimali zinazolinganishwa. Walakini, kubadilisha sehemu za desimali kuwa sehemu za kawaida ni mchakato unaohitaji nguvu kazi nyingi, na sehemu zisizo za muda haziwezi kuwakilishwa kama sehemu ya kawaida, kwa hivyo ni rahisi kutumia ulinganisho wa busara wa sehemu za decimal. Ulinganisho wa busara wa sehemu za desimali ni sawa na ulinganisho wa nambari asilia. Kwa habari zaidi, tunapendekeza kusoma kifungu: kulinganisha kwa sehemu za decimal, sheria, mifano, suluhisho.

Wacha tuendelee kwa hatua inayofuata - kuzidisha desimali. Kuzidisha kwa sehemu ndogo za desimali hufanywa sawa na kutoa sehemu za decimal, sheria, mifano, suluhisho la kuzidisha kwa safu ya nambari asilia. Katika kesi ya sehemu za mara kwa mara, kuzidisha kunaweza kupunguzwa hadi kuzidisha kwa sehemu za kawaida. Kwa upande mwingine, kuzidisha kwa sehemu za desimali zisizo za muda baada ya kuzungushwa kwao kunapunguzwa hadi kuzidisha kwa sehemu za desimali zenye ukomo. Tunapendekeza kwa kusoma zaidi nyenzo katika kifungu: kuzidisha kwa sehemu za decimal, sheria, mifano, suluhisho.

Desimali kwenye mwale wa kuratibu

Kuna mawasiliano ya moja kwa moja kati ya pointi na decimals.

Wacha tuone jinsi alama kwenye miale ya kuratibu zinaundwa ambazo zinalingana na sehemu fulani ya decimal.

Tunaweza kuchukua nafasi ya sehemu ndogo za desimali na sehemu zisizo na kikomo za desimali za muda na sehemu sawa za kawaida, na kisha kuunda sehemu za kawaida zinazolingana kwenye miale ya kuratibu. Kwa mfano, sehemu ya decimal 1.4 inalingana na sehemu ya kawaida 14/10, hivyo hatua iliyo na kuratibu 1.4 imeondolewa kutoka kwa asili katika mwelekeo mzuri na sehemu 14 sawa na sehemu ya kumi ya sehemu ya kitengo.

Sehemu za decimal zinaweza kutiwa alama kwenye mwali wa kuratibu, kuanzia mtengano wa sehemu fulani ya desimali hadi tarakimu. Kwa mfano, hebu tunahitaji kujenga uhakika na kuratibu 16.3007, tangu 16.3007=16+0.3+0.0007, basi katika hatua hii unaweza kufika hapo kwa kutenganisha sehemu za asili 16 kutoka asili, sehemu 3 ambazo urefu wake ni sawa na sehemu ya kumi ya kitengo, na sehemu 7 ambazo urefu wake ni sawa na elfu kumi ya sehemu ya kitengo.

Njia hii ya kujenga nambari za desimali kwenye miale ya kuratibu hukuruhusu kupata karibu kama unavyopenda kwa uhakika unaolingana na sehemu ya desimali isiyo na kikomo.

Wakati mwingine inawezekana kupanga kwa usahihi hatua inayolingana na sehemu ya decimal isiyo na kipimo. Kwa mfano, , basi sehemu hii ya desimali isiyo na kikomo 1.41421... inalingana na uhakika kuratibu ray, imeondolewa kutoka kwa asili kwa urefu wa diagonal ya mraba na upande wa sehemu 1 ya kitengo.

Mchakato wa nyuma wa kupata sehemu ya decimal inayolingana na nukta fulani kwenye mionzi ya kuratibu ndiyo inayoitwa. kipimo cha desimali cha sehemu. Wacha tujue jinsi inafanywa.

Wacha kazi yetu iwe kutoka kwa asili hadi sehemu fulani kwenye mstari wa kuratibu (au kuikaribia kabisa ikiwa hatuwezi kuifikia). Kwa kipimo cha desimali cha sehemu, tunaweza kuweka kwa mtiririko kutoka kwa asili idadi yoyote ya sehemu za kitengo, kisha sehemu ambazo urefu wake ni sawa na sehemu ya kumi ya kitengo, kisha sehemu ambazo urefu wake ni sawa na mia moja ya kitengo, nk. Kwa kurekodi idadi ya sehemu za kila urefu uliowekwa kando, tunapata sehemu ya decimal inayolingana na hatua fulani kwenye ray ya kuratibu.

Kwa mfano, ili kufikia hatua ya M katika takwimu hapo juu, unahitaji kutenga sehemu 1 ya kitengo na sehemu 4, urefu ambao ni sawa na sehemu ya kumi ya kitengo. Kwa hivyo, hatua M inalingana na sehemu ya decimal 1.4.

Ni wazi kwamba pointi za ray ya kuratibu ambazo haziwezi kufikiwa katika mchakato kipimo cha desimali, yanahusiana na sehemu za desimali zisizo na kikomo.

Bibliografia.

Hisabati: kitabu cha maandishi kwa daraja la 5. elimu ya jumla taasisi / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Toleo la 21, limefutwa. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: mgonjwa. ISBN 5-346-00699-0.
Hisabati. Daraja la 6: elimu. kwa elimu ya jumla taasisi / [N. Ya. Vilenkin na wengine]. - Toleo la 22., Mch. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: mgonjwa. ISBN 978-5-346-00897-2.
Aljebra: kitabu cha kiada kwa daraja la 8. elimu ya jumla taasisi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; imehaririwa na S. A. Telyakovsky. - Toleo la 16. - M.: Elimu, 2008. - 271 p. : mgonjwa. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V. A., Mordkovich A. G. Hisabati (mwongozo kwa wale wanaoingia shule za ufundi): Proc. posho.- M.; Juu zaidi shule, 1984.-351 p., mgonjwa.

Inajulikana kuwa ikiwa ni denominator P sehemu isiyoweza kupunguzwa ndani yake upanuzi wa kanuni ina kipengele kikuu kisicho sawa na 2 na 5, basi sehemu hii haiwezi kuwakilishwa kama sehemu ya desimali yenye ukomo. Ikiwa tutajaribu katika kesi hii kuandika sehemu ya asili isiyoweza kupunguzwa kama decimal, kugawanya nambari na denominator, basi mchakato wa mgawanyiko hauwezi kumalizika, kwa sababu. ikiwa ingekamilishwa baada ya idadi fupi ya hatua, tungepata sehemu ya desimali yenye ukomo, ambayo inapingana na nadharia iliyothibitishwa hapo awali. Hivyo katika kesi hii nukuu ya desimali nambari chanya ya busara A= inaonekana kuwa sehemu isiyo na mwisho.

Kwa mfano, sehemu = 0.3636... . Ni rahisi kutambua kwamba mabaki wakati wa kugawanya 4 na 11 hurudiwa mara kwa mara, kwa hiyo, maeneo ya decimal yatarudiwa mara kwa mara, i.e. inageuka sehemu ya desimali ya muda isiyo na kikomo, ambayo inaweza kuandikwa kama 0,(36).

Kurudia nambari 3 na 6 mara kwa mara huunda kipindi. Inaweza kugeuka kuwa kuna tarakimu kadhaa kati ya uhakika wa decimal na mwanzo wa kipindi cha kwanza. Nambari hizi huunda kipindi cha kabla. Kwa mfano,

0.1931818... Mchakato wa kugawanya 17 na 88 hauna mwisho. Nambari 1, 9, 3 huunda kipindi cha kabla; 1, 8 - kipindi. Mifano ambayo tumezingatia inaonyesha muundo, i.e. nambari yoyote chanya ya kimantiki inaweza kuwakilishwa kama sehemu ya desimali yenye kikomo au isiyo na kipimo.

Nadharia 1. Acha sehemu ya kawaida isiweze kupunguzwa katika upanuzi wa kanuni wa dhehebu n ni kipengele kikuu tofauti na 2 na 5. Kisha sehemu ya kawaida inaweza kuwakilishwa kama sehemu isiyo na kikomo ya decimal ya upimaji.

Ushahidi. Tayari tunajua kuwa mchakato wa kugawanya nambari ya asili m kwa nambari ya asili n itakuwa haina mwisho. Wacha tuonyeshe kuwa itakuwa mara kwa mara. Kwa kweli, wakati wa kugawa m juu n mizani inayotokana itakuwa ndogo n, hizo. nambari za fomu 1, 2, ..., ( n- 1), ambayo ni wazi kuwa idadi ya mabaki tofauti ni ya mwisho na kwa hivyo, kuanzia hatua fulani, salio fulani itarudiwa, ambayo itajumuisha marudio ya sehemu za desimali za mgawo, na sehemu ya desimali isiyo na kikomo. inakuwa mara kwa mara.

Nadharia mbili zaidi zinashikilia.

Nadharia 2. Ikiwa upanuzi wa denominator ya sehemu isiyoweza kupunguzwa katika mambo makuu haijumuishi namba 2 na 5, basi wakati sehemu hii inabadilishwa kuwa sehemu ya decimal isiyo na kipimo, sehemu safi ya mara kwa mara itapatikana, i.e. sehemu ambayo kipindi chake huanza mara baada ya uhakika wa desimali.

Nadharia 3. Ikiwa upanuzi wa denominator ni pamoja na mambo 2 (au 5) au zote mbili, basi sehemu isiyo na kipimo ya upimaji itachanganywa, i.e. kati ya nukta ya desimali na mwanzo wa kipindi kutakuwa na tarakimu kadhaa (kabla ya kipindi), ambazo ni nyingi kama kubwa zaidi za vielelezo vya vipengele vya 2 na 5.

Nadharia 2 na 3 zinapendekezwa kwa msomaji kuthibitisha kwa kujitegemea.

28. Mbinu za mpito kutoka kwa muda usio na kipimo
sehemu za desimali hadi sehemu za kawaida

Acha sehemu ya muda itolewe A= 0,(4), yaani. 0.4444... .

Hebu tuzidishe A kwa 10, tunapata

10A= 4.444…4…Þ 10 A = 4 + 0,444….

Wale. 10 A = 4 + A, tulipata equation kwa A, kusuluhisha, tunapata: 9 A= 4 Þ A = .

Tunaona kwamba 4 ni nambari zote mbili za sehemu inayotokana na kipindi cha sehemu 0, (4).

Kanuni kubadilisha sehemu safi ya upimaji kuwa sehemu ya kawaida imeundwa kama ifuatavyo: nambari ya sehemu ni sawa na kipindi, na denominator ina idadi sawa ya nines kama kuna nambari katika kipindi cha sehemu.

Hebu sasa tuthibitishe sheria hii kwa sehemu ambayo kipindi chake kinajumuisha P

A= . Hebu tuzidishe A tarehe 10 n, tunapata:

10n × A = = + 0, ;

10n × A = + a;

(10n – 1) A = Þ a = =.

Kwa hivyo, sheria iliyoundwa hapo awali imethibitishwa kwa sehemu yoyote safi ya upimaji.

Hebu sasa tupe sehemu A= 0.605 (43) - mara kwa mara mchanganyiko. Hebu tuzidishe A kwa 10 na kiashiria sawa, ni tarakimu ngapi katika kipindi cha awali, i.e. kwa 10 3, tunapata

10 3 × A= 605 + 0,(43) Þ 10 3 × A = 605 + = 605 + = = ,

hizo. 10 3 × A= .

Kanuni kubadilisha sehemu iliyochanganywa ya upimaji kuwa sehemu ya kawaida imeundwa kama ifuatavyo: nambari ya sehemu ni sawa na tofauti kati ya nambari iliyoandikwa kwa nambari kabla ya kuanza kwa kipindi cha pili na nambari iliyoandikwa kwa nambari kabla ya kuanza kwa kipindi cha kwanza. , kiashiria kinajumuisha nambari ya nines sawa na idadi ya tarakimu katika kipindi na vile idadi ya sufuri ni tarakimu ngapi kabla ya kuanza kwa kipindi cha kwanza.

Hebu sasa tuthibitishe sheria hii kwa sehemu ambayo kipindi chake cha awali kinajumuisha P nambari, na kipindi ni kutoka Kwa nambari Acha sehemu ya muda itolewe

Hebu kuashiria V= ; r= ,

Na= ; Kisha Na=katika × 10k + r.

Hebu tuzidishe A kwa 10 na kielelezo kama hicho ni tarakimu ngapi katika kipindi cha awali, i.e. tarehe 10 n, tunapata:

A×10 n = + .

Kwa kuzingatia nukuu zilizoletwa hapo juu, tunaandika:

a× 10n= V+ .

Kwa hivyo, sheria iliyoandaliwa hapo juu imethibitishwa kwa sehemu yoyote iliyochanganywa ya upimaji.

Kila sehemu isiyo na kikomo ya desimali ya muda ni aina ya kuandika nambari fulani ya kimantiki.

Kwa ajili ya uthabiti, wakati mwingine desimali yenye kikomo pia inachukuliwa kuwa ni desimali isiyo na kikomo ya muda na kipindi "sifuri". Kwa mfano, 0.27 = 0.27000...; 10.567 = 10.567000...; 3 = 3,000... .

Sasa kauli ifuatayo inakuwa kweli: kila nambari ya kimantiki inaweza (na kwa njia ya kipekee) kuonyeshwa kwa sehemu isiyo na kikomo ya desimali ya muda, na kila sehemu isiyo na kikomo ya desimali huonyesha nambari moja ya kimantiki (sehemu za desimali za muda na kipindi cha 9 hazizingatiwi. )

Unakumbuka jinsi katika somo la kwanza kuhusu desimali nilisema kwamba kuna sehemu za nambari ambazo haziwezi kuwakilishwa kama desimali (tazama somo la "Desimali")? Pia tulijifunza jinsi ya kuhesabu madhehebu ya sehemu ili kuona kama kulikuwa na nambari zozote isipokuwa 2 na 5.

Hivyo: Nilidanganya. Na leo tutajifunza jinsi ya kutafsiri yoyote kabisa sehemu ya nambari kwa desimali. Wakati huo huo, tutafahamiana na darasa zima la sehemu na sehemu kubwa isiyo na kikomo.

Desimali ya muda ni desimali yoyote ambayo:

Sehemu muhimu ina idadi isiyo na kikomo ya nambari;

Katika vipindi fulani, nambari katika sehemu muhimu hurudiwa.

Seti ya nambari zinazorudiwa ambazo hufanya sehemu muhimu inaitwa sehemu ya mara kwa mara ya sehemu, na idadi ya nambari katika seti hii inaitwa kipindi cha sehemu. Sehemu iliyobaki ya sehemu muhimu, ambayo haijarudiwa, inaitwa sehemu isiyo ya muda.

Kwa kuwa kuna ufafanuzi mwingi, inafaa kuzingatia baadhi ya sehemu hizi kwa undani:

Sehemu hii inaonekana mara nyingi katika matatizo. Sehemu isiyo ya muda: 0; sehemu ya mara kwa mara: 3; urefu wa kipindi: 1.

Sehemu isiyo ya muda: 0.58; sehemu ya mara kwa mara: 3; urefu wa kipindi: tena 1.

Sehemu isiyo ya muda: 1; sehemu ya mara kwa mara: 54; urefu wa kipindi: 2.

Sehemu isiyo ya muda: 0; sehemu ya mara kwa mara: 641025; urefu wa kipindi: 6. Kwa urahisi, sehemu za kurudia zinatenganishwa kutoka kwa kila mmoja na nafasi - hii sio lazima katika suluhisho hili.

Sehemu isiyo ya muda: 3066; sehemu ya mara kwa mara: 6; urefu wa kipindi: 1.

Kama unaweza kuona, ufafanuzi wa sehemu ya mara kwa mara inategemea wazo sehemu muhimu ya nambari. Kwa hivyo, ikiwa umesahau ni nini, napendekeza kurudia - tazama somo "".

Mpito hadi sehemu ya desimali ya muda

Fikiria sehemu ya kawaida ya fomu a /b. Wacha tubadilishe dhehebu lake kuwa sababu kuu. Kuna chaguzi mbili:

Upanuzi una vipengele vya 2 na 5 pekee. Sehemu hizi hubadilishwa kwa urahisi kuwa desimali - angalia somo la "Desimali". Hatupendezwi na watu kama hao;
Kuna kitu kingine katika upanuzi zaidi ya 2 na 5. Katika kesi hii, sehemu haiwezi kuwakilishwa kama desimali, lakini inaweza kubadilishwa kuwa desimali ya muda.

Ili kufafanua sehemu ya decimal ya muda, unahitaji kupata sehemu zake za mara kwa mara na zisizo za muda. Vipi? Badilisha sehemu kuwa sehemu isiyofaa, na kisha ugawanye nambari na denominator kwa kutumia kona.

Yafuatayo yatatokea:

Itagawanyika kwanza sehemu nzima, ikiwa ipo;
Kunaweza kuwa na nambari kadhaa baada ya uhakika wa decimal;
Baada ya muda, nambari zitaanza kurudia.

Ni hayo tu! Nambari za kurudia baada ya hatua ya desimali zinaonyeshwa na sehemu ya mara kwa mara, na zile zilizo mbele zinaonyeshwa na sehemu isiyo ya muda.

Kazi. Badilisha sehemu za kawaida kuwa desimali za muda:

Sehemu zote bila sehemu kamili, kwa hivyo tunagawanya nambari na dhehebu na "kona":

Kama unaweza kuona, mabaki yanarudiwa. Wacha tuandike sehemu hiyo katika fomu "sahihi": 1.733 ... = 1.7(3).

Matokeo ni sehemu: 0.5833 ... = 0.58 (3).

Tunaandika kwa fomu ya kawaida: 4.0909 ... = 4, (09).

Tunapata sehemu: 0.4141 ... = 0. (41).

Mpito kutoka sehemu ya desimali ya muda hadi sehemu ya kawaida

Fikiria sehemu ya decimal ya mara kwa mara X = abc (a 1 b 1 c 1). Inahitajika kuibadilisha kuwa ya "hadithi mbili" ya kawaida. Ili kufanya hivyo, fuata hatua nne rahisi:

Pata kipindi cha sehemu, i.e. hesabu ni tarakimu ngapi katika sehemu ya muda. Hebu hii iwe nambari k;
Tafuta thamani ya usemi X · 10 k. Hii ni sawa na kuhamisha nukta ya desimali kwenda kulia kwa muda kamili - tazama somo "Kuzidisha na kugawanya desimali";
Usemi asili lazima utolewe kutoka kwa nambari inayotokana. Katika kesi hii, sehemu ya mara kwa mara "imechomwa" na inabaki sehemu ya kawaida;
Tafuta X katika mlinganyo unaotokana. Tunabadilisha sehemu zote za desimali kuwa sehemu za kawaida.

Kazi. Badilisha nambari kuwa sehemu ya kawaida isiyofaa:

9,(6);
32,(39);
0,30(5);
0,(2475).

Tunafanya kazi na sehemu ya kwanza: X = 9, (6) = 9.666 ...

Mabano yana tarakimu moja tu, kwa hivyo kipindi ni k = 1. Kisha, tunazidisha sehemu hii kwa 10 k = 10 1 = 10. Tuna:

10X = 10 9.6666... = 96.666...

Ondoa sehemu asili na utatue mlinganyo:

10X - X = 96.666 ... - 9.666 ... = 96 - 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Sasa hebu tuangalie sehemu ya pili. Kwa hivyo X = 32,(39) = 32.393939...

Kipindi k = 2, kwa hivyo zidisha kila kitu kwa 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32.393939 ... = 3239.3939 ...

Ondoa sehemu asili tena na utatue mlinganyo:

100X - X = 3239.3939 ... - 32.3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Hebu tuendelee kwenye sehemu ya tatu: X = 0.30 (5) = 0.30555 ... Mchoro ni sawa, kwa hiyo nitatoa tu mahesabu:

Kipindi k = 1 ⇒ kuzidisha kila kitu kwa 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0.30555... = 3.05555...
10X - X = 3.0555 ... - 0.305555 ... = 2.75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Hatimaye, sehemu ya mwisho: X = 0, (2475) = 0.2475 2475 ... Tena, kwa urahisi, sehemu za mara kwa mara zinatenganishwa kutoka kwa kila mmoja kwa nafasi. Tuna:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10,000;
10,000X = 10,000 0.2475 2475 = 2475.2475 ...
10,000X - X = 2475.2475 ... - 0.2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.