Bainisha milinganyo rahisi zaidi ya trigonometriki. Njia za msingi za kutatua milinganyo ya trigonometric

Uhusiano kati ya kazi za msingi za trigonometric - sine, cosine, tangent na cotangent - hutolewa fomula za trigonometric. Na kwa kuwa kuna miunganisho mingi kati ya kazi za trigonometric, hii inaelezea wingi wa fomula za trigonometric. Njia zingine huunganisha kazi za trigonometric za pembe sawa, zingine - kazi za pembe nyingi, zingine - hukuruhusu kupunguza kiwango, nne - kuelezea kazi zote kupitia tangent ya pembe ya nusu, nk.

Katika makala hii tutaorodhesha kwa utaratibu fomula zote za msingi za trigonometric, ambazo zinatosha kutatua matatizo mengi ya trigonometry. Kwa urahisi wa kukariri na matumizi, tutawaweka kwa kusudi na kuwaingiza kwenye meza.

Urambazaji wa ukurasa.

Vitambulisho vya msingi vya trigonometric

Vitambulisho vya msingi vya trigonometric fafanua uhusiano kati ya sine, kosine, tanjiti na kotanjiti ya pembe moja. Wanafuata kutoka kwa ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent, pamoja na dhana ya mduara wa kitengo. Wanakuruhusu kuelezea kazi moja ya trigonometric kulingana na nyingine yoyote.

Kwa maelezo ya kina ya fomula hizi za trigonometry, derivation yao na mifano ya matumizi, angalia makala.

Fomula za kupunguza

Fomula za kupunguza kufuata kutoka kwa mali ya sine, cosine, tangent na cotangent, yaani, zinaonyesha mali ya upimaji wa kazi za trigonometric, mali ya ulinganifu, pamoja na mali ya kuhama kwa pembe fulani. Fomula hizi za trigonometriki hukuruhusu kuhama kutoka kufanya kazi na pembe kiholela hadi kufanya kazi na pembe kuanzia sifuri hadi digrii 90.

Mantiki ya fomula hizi, sheria ya mnemonic ya kukariri na mifano ya matumizi yao inaweza kusomwa katika kifungu hicho.

Fomula za nyongeza

Njia za kuongeza trigonometric onyesha jinsi utendakazi wa trigonometriki za jumla au tofauti za pembe mbili zinavyoonyeshwa kulingana na utendaji wa trigonometriki za pembe hizo. Fomula hizi hutumika kama msingi wa kupata fomula za trigonometriki zifuatazo.

Fomula za mara mbili, tatu, nk. pembe

Fomula za mara mbili, tatu, nk. pembe (pia huitwa fomula za pembe nyingi) zinaonyesha jinsi kazi za trigonometric za mara mbili, tatu, nk. pembe () zinaonyeshwa kwa suala la kazi za trigonometric za pembe moja. Utoaji wao unategemea kanuni za nyongeza.

Maelezo ya kina zaidi yanakusanywa katika kanuni za makala kwa mara mbili, tatu, nk. pembe

Fomula za pembe nusu

Fomula za pembe nusu onyesha jinsi utendakazi wa trigonometriki za pembe nusu zinavyoonyeshwa kulingana na kosine ya pembe nzima. Fomula hizi za trigonometric hufuata kutoka kwa fomula za pembe mbili.

Hitimisho lao na mifano ya maombi inaweza kupatikana katika makala.

Fomula za kupunguza shahada

Fomula za trigonometric za kupunguza digrii zimeundwa ili kuwezesha mpito kutoka kwa nguvu za asili za kazi za trigonometric hadi sines na cosines katika shahada ya kwanza, lakini pembe nyingi. Kwa maneno mengine, wanakuwezesha kupunguza nguvu za kazi za trigonometric kwa kwanza.

Fomula za jumla na tofauti za chaguo za kukokotoa za trigonometric

Kusudi kuu fomula za jumla na tofauti za kazi za trigonometric ni kwenda kwa bidhaa ya vitendaji, ambayo ni muhimu sana wakati wa kurahisisha misemo ya trigonometric. Fomula hizi pia hutumiwa sana katika kutatua milinganyo ya trigonometric, kwani hukuruhusu kuangazia jumla na tofauti ya sines na cosine.

Fomula za bidhaa za sines, cosines na sine na kosine

Mpito kutoka kwa bidhaa ya kazi za trigonometric hadi jumla au tofauti hufanywa kwa kutumia fomula za bidhaa za sines, cosines na sine kwa cosine.

Ubadilishaji wa trigonometric wa Universal

Tunakamilisha ukaguzi wetu wa fomula za msingi za trigonometria kwa fomula zinazoonyesha utendaji wa trigonometriki kulingana na tanjenti ya pembe ya nusu. Uingizwaji huu uliitwa uingizwaji wa trigonometric zima. Urahisi wake upo katika ukweli kwamba kazi zote za trigonometric zinaonyeshwa kwa suala la tangent ya pembe ya nusu rationally bila mizizi.

Bibliografia.

• Aljebra: Kitabu cha kiada kwa daraja la 9. wastani. shule/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Mh. S. A. Telyakovsky - M.: Elimu, 1990. - 272 pp.: mgonjwa - ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra na mwanzo wa uchambuzi: Kitabu cha maandishi. kwa darasa la 10-11. wastani. shule - Toleo la 3. - M.: Elimu, 1993. - 351 p.: mgonjwa. - ISBN 5-09-004617-4.
• Aljebra na mwanzo wa uchambuzi: Proc. kwa darasa la 10-11. elimu ya jumla taasisi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn na wengine; Mh. A. N. Kolmogorov - 14 ed - M.: Elimu, 2004. - 384 pp. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Hisabati (mwongozo kwa wale wanaoingia shule za ufundi): Proc. posho.- M.; Juu zaidi shule, 1984.-351 p., mgonjwa.

Hakimiliki na wanafunzi wajanja

Haki zote zimehifadhiwa.
Imelindwa na sheria ya hakimiliki. Hakuna sehemu ya tovuti, ikijumuisha nyenzo za ndani na mwonekano, inayoweza kunakiliwa kwa namna yoyote au kutumika bila kibali cha maandishi cha mwenye hakimiliki.

Milinganyo ya trigonometric sio mada rahisi. Zinatofautiana sana.) Kwa mfano, hizi:

dhambi 2 x + cos3x = ctg5x

dhambi(5x+π /4) = kitanda(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Na kadhalika...

Lakini hizi (na zingine zote) monsters za trigonometric zina sifa mbili za kawaida na za lazima. Kwanza - hutaamini - kuna utendaji wa trigonometric katika milinganyo.) Pili: misemo yote yenye x hupatikana. ndani ya kazi hizi hizo. Na hapo tu! Ikiwa X inaonekana mahali fulani nje, Kwa mfano, sin2x + 3x = 3, hii tayari itakuwa equation ya aina mchanganyiko. Equations kama hizo zinahitaji mbinu ya mtu binafsi. Hatutazingatia hapa.

Hatutatua milinganyo miovu katika somo hili pia.) Hapa tutashughulikia milinganyo rahisi zaidi ya trigonometric. Kwa nini? Ndio kwa sababu suluhisho yoyote milinganyo ya trigonometric ina hatua mbili. Katika hatua ya kwanza, equation mbaya hupunguzwa hadi rahisi kupitia mabadiliko anuwai. Kwa pili, equation hii rahisi zaidi inatatuliwa. Hakuna njia nyingine.

Kwa hivyo, ikiwa una shida katika hatua ya pili, hatua ya kwanza haina maana sana.)

Je, milinganyo ya msingi ya trigonometric inaonekanaje?

dhambi = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Hapa A inasimama kwa nambari yoyote. Yoyote.

Kwa njia, ndani ya kazi kunaweza kusiwe na X safi, lakini aina fulani ya usemi, kama:

cos(3x+π /3) = 1/2

na kadhalika. Hii inachanganya maisha, lakini haiathiri njia ya kutatua equation ya trigonometric.

Jinsi ya kutatua equations za trigonometric?

Milinganyo ya trigonometric inaweza kutatuliwa kwa njia mbili. Njia ya kwanza: kutumia mantiki na mduara wa trigonometric. Tutaangalia njia hii hapa. Njia ya pili - kutumia kumbukumbu na fomula - itajadiliwa katika somo linalofuata.

Njia ya kwanza ni wazi, ya kutegemewa, na ni ngumu kusahau.) Ni nzuri kwa kutatua milinganyo ya trigonometric, ukosefu wa usawa, na kila aina ya mifano gumu isiyo ya kawaida. Mantiki ni nguvu kuliko kumbukumbu!)

Kutatua milinganyo kwa kutumia mduara wa trigonometric.

Tunajumuisha mantiki ya msingi na uwezo wa kutumia mduara wa trigonometric. Je, hujui jinsi gani? Hata hivyo ... Utakuwa na wakati mgumu katika trigonometry ...) Lakini haijalishi. Angalia masomo "Trigonometric circle...... Ni nini?" na "Kupima pembe kwenye mduara wa trigonometric." Kila kitu ni rahisi huko. Tofauti na vitabu vya kiada ...)

Oh, unajua!? Na hata kujua "Kazi ya vitendo na mduara wa trigonometric"!? Hongera sana. Mada hii itakuwa karibu na kueleweka kwako.) Kinachopendeza hasa ni kwamba mduara wa trigonometric haujali ni equation gani unayosuluhisha. Sine, cosine, tangent, cotangent - kila kitu ni sawa kwake. Kuna kanuni moja tu ya suluhisho.

Kwa hivyo tunachukua mlinganyo wowote wa msingi wa trigonometric. Angalau hii:

cosx = 0.5

Tunahitaji kupata X. Kuzungumza kwa lugha ya kibinadamu, unahitaji tafuta pembe (x) ambayo kosini yake ni 0.5.

Tulitumiaje duara hapo awali? Tulichora pembe juu yake. Katika digrii au radiani. Na mara moja saw kazi za trigonometric za pembe hii. Sasa tufanye kinyume. Hebu tuchore cosine kwenye mduara sawa na 0.5 na mara moja tutaona kona. Kilichobaki ni kuandika jibu.) Ndiyo, ndiyo!

Chora duara na uweke alama ya cosine sawa na 0.5. Kwenye mhimili wa cosine, bila shaka. Kama hii:

Sasa hebu tuchore pembe ambayo cosine hii inatupa. Weka kipanya chako juu ya picha (au gusa picha kwenye kompyuta yako ndogo), na utaona kona hii X.

Kosini ya pembe gani ni 0.5?

x = π /3

cos 60°= maana ( π /3) = 0,5

Watu wengine watacheka kwa wasiwasi, ndiyo ... Kama, ilikuwa ni thamani ya kufanya mduara wakati kila kitu tayari ni wazi ... Unaweza, bila shaka, chuckle ...) Lakini ukweli ni kwamba hii ni jibu la makosa. Au tuseme, haitoshi. Wajuzi wa duara wanaelewa kuwa kuna rundo zima la pembe zingine hapa ambazo pia hutoa cosine ya 0.5.

Ukigeuza upande wa kusonga OA zamu kamili, hatua A itarudi kwenye nafasi yake ya awali. Na cosine sawa na 0.5. Wale. pembe itabadilika kwa 360° au 2π radiani, na cosine - hapana. Pembe mpya 60 ° + 360 ° = 420 ° pia itakuwa suluhisho kwa mlinganyo wetu, kwa sababu.

Idadi isiyo na kikomo ya mapinduzi kamili kama haya yanaweza kufanywa ... Na pembe hizi zote mpya zitakuwa suluhisho kwa mlingano wetu wa trigonometric. Na wote wanahitaji kuandikwa kwa namna fulani kwa kujibu. Wote. Vinginevyo, uamuzi hauhesabu, ndio ...)

Hisabati inaweza kufanya hivyo kwa urahisi na kifahari. Andika kwa jibu moja fupi seti isiyo na mwisho maamuzi. Hivi ndivyo inavyoonekana kwa mlinganyo wetu:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Nitaifafanua. Bado kuandika kwa maana Inafurahisha zaidi kuliko kuchora kwa ujinga herufi kadhaa za kushangaza, sivyo?)

π /3 - hii ni kona sawa na sisi saw kwenye duara na kuamua kulingana na jedwali la cosine.

2p ni mapinduzi moja kamili katika radiani.

n - hii ni idadi ya kamili, i.e. mzima rpm Ni wazi kwamba n inaweza kuwa sawa na 0, ±1, ±2, ±3.... na kadhalika. Kama inavyoonyeshwa na ingizo fupi:

n ∈ Z

n ni mali ( ∈ ) seti ya nambari kamili ( Z ) Kwa njia, badala ya barua n barua inaweza kutumika vizuri k, m, t na kadhalika.

Nukuu hii inamaanisha unaweza kuchukua nambari yoyote kamili n . Angalau -3, angalau 0, angalau +55. Chochote unachotaka. Ukibadilisha nambari hii kwenye jibu, utapata pembe maalum, ambayo hakika itakuwa suluhisho la mlinganyo wetu mkali.)

Au, kwa maneno mengine, x = π /3 ndio mzizi pekee wa seti isiyo na mwisho. Ili kupata mizizi mingine yote, inatosha kuongeza idadi yoyote ya mapinduzi kamili kwa π /3 ( n ) katika radiani. Wale. 2pn radian.

Wote? Hapana. Ninaongeza furaha kwa makusudi. Ili kukumbuka vyema.) Tulipokea sehemu tu ya majibu ya mlingano wetu. Nitaandika sehemu hii ya kwanza ya suluhisho kama hii:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - sio mizizi moja tu, lakini mfululizo mzima wa mizizi, iliyoandikwa kwa fomu fupi.

Lakini pia kuna pembe ambazo pia hutoa cosine ya 0.5!

Wacha turudi kwenye picha yetu ambayo tuliandika jibu. Huyu hapa:

Hover mouse yako juu ya picha na tunaona pembe nyingine hiyo pia inatoa cosine ya 0.5. Unafikiri ni sawa na nini? Pembetatu ni sawa ... Ndiyo! Ni sawa na pembe X , imechelewa tu katika mwelekeo mbaya. Hii ndio kona -X. Lakini tayari tumehesabu x. π /3 au 60°. Kwa hivyo, tunaweza kuandika kwa usalama:

x 2 = - π /3

Kweli, kwa kweli, tunaongeza pembe zote ambazo hupatikana kupitia mapinduzi kamili:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Hiyo ndiyo yote sasa.) Kwenye mduara wa trigonometric sisi saw(nani anaelewa, bila shaka)) Wote pembe zinazotoa kosini ya 0.5. Na tuliandika pembe hizi kwa fomu fupi ya hisabati. Jibu lilisababisha safu mbili zisizo na mwisho za mizizi:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Hili ndilo jibu sahihi.

Tumaini, kanuni ya jumla ya kutatua milinganyo ya trigonometric kutumia mduara ni wazi. Tunaweka alama ya cosine (sine, tangent, cotangent) kutoka kwa equation iliyotolewa kwenye mduara, chora pembe zinazolingana nayo na uandike jibu. Kwa kweli, tunahitaji kujua ni pembe gani sisi ni saw kwenye mduara. Wakati mwingine sio wazi sana. Kweli, nilisema kwamba mantiki inahitajika hapa.)

Kwa mfano, hebu tuangalie equation nyingine ya trigonometric:

Tafadhali zingatia kwamba nambari 0.5 sio nambari pekee inayowezekana katika milinganyo!) Ni rahisi zaidi kwangu kuiandika kuliko mizizi na sehemu.

Tunafanya kazi kulingana na kanuni ya jumla. Tunatoa mduara, alama (kwenye mhimili wa sine, bila shaka!) 0.5. Tunatoa pembe zote zinazofanana na sine hii mara moja. Tunapata picha hii:

Wacha tushughulike na pembe kwanza X katika robo ya kwanza. Tunakumbuka meza ya sines na kuamua thamani ya pembe hii. Ni jambo rahisi:

x = π /6

Tunakumbuka zamu kamili na, kwa dhamiri safi, andika safu ya kwanza ya majibu:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Nusu ya kazi imekamilika. Lakini sasa tunahitaji kuamua kona ya pili... Ni ngumu zaidi kuliko kutumia cosines, ndio ... Lakini mantiki itatuokoa! Jinsi ya kuamua angle ya pili kupitia x? Ndiyo Rahisi! Pembetatu kwenye picha ni sawa, na kona nyekundu X sawa na pembe X . Ni tu inayohesabiwa kutoka kwa pembe π katika mwelekeo mbaya. Ndiyo sababu ni nyekundu.) Na kwa jibu tunahitaji angle, iliyopimwa kwa usahihi, kutoka kwa OX ya nusu-axis chanya, i.e. kutoka kwa pembe ya digrii 0.

Tunaweka mshale juu ya mchoro na kuona kila kitu. Niliondoa kona ya kwanza ili sio ngumu picha. Pembe tunayovutiwa nayo (iliyochorwa kwa kijani kibichi) itakuwa sawa na:

π - x

X tunajua hili π /6 . Kwa hivyo, pembe ya pili itakuwa:

π - π /6 = 5π /6

Tena tunakumbuka juu ya kuongeza mapinduzi kamili na kuandika safu ya pili ya majibu:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ni hayo tu. Jibu kamili lina safu mbili za mizizi:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Milinganyo ya tanji na kotanji inaweza kutatuliwa kwa urahisi kwa kutumia kanuni ya jumla sawa ya kutatua milinganyo ya trigonometriki. Ikiwa, bila shaka, unajua jinsi ya kuteka tangent na cotangent kwenye mduara wa trigonometric.

Katika mifano hapo juu, nilitumia thamani ya meza ya sine na cosine: 0.5. Wale. moja ya maana hizo ambazo mwanafunzi anazijua lazima. Sasa tupanue uwezo wetu maadili mengine yote. Amua, kwa hivyo amua!)

Kwa hivyo, wacha tuseme tunahitaji kutatua equation hii ya trigonometric:

Hakuna thamani kama hiyo ya cosine katika meza fupi. Tunapuuza ukweli huu mbaya. Chora mduara, alama 2/3 kwenye mhimili wa cosine na uchora pembe zinazofanana. Tunapata picha hii.

Wacha tuangalie, kwanza, kwa pembe katika robo ya kwanza. Laiti tungejua x ni sawa na nini, tungeandika jibu mara moja! Hatujui ... Kushindwa!? Tulia! Hisabati haiwaachi watu wake kwenye matatizo! Alikuja na arc cosines kwa kesi hii. Sijui? Kwa bure. Jua, Ni rahisi sana kuliko unavyofikiria. Hakuna herufi moja ya hila kuhusu "utendaji kinyume cha trigonometric" kwenye kiungo hiki... Hili ni jambo la ziada katika mada hii.

Ikiwa unafahamu, jiambie tu: "X ni pembe ambayo cosine ni sawa na 2/3." Na mara moja, kwa ufafanuzi wa arc cosine, tunaweza kuandika:

Tunakumbuka juu ya mapinduzi ya ziada na kwa utulivu tunaandika safu ya kwanza ya mizizi ya equation yetu ya trigonometric:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Mfululizo wa pili wa mizizi kwa pembe ya pili ni karibu kuandikwa moja kwa moja. Kila kitu ni sawa, X pekee (arccos 2/3) itakuwa na minus:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Na ndivyo hivyo! Hili ndilo jibu sahihi. Hata rahisi kuliko na maadili ya meza. Hakuna haja ya kukumbuka chochote.) Kwa njia, makini zaidi ataona kwamba picha hii inaonyesha suluhisho kupitia arc cosine. kwa asili, hakuna tofauti na picha kwa equation cosx = 0.5.

Hasa! Kanuni ya jumla ni hiyo tu! Nilichora kwa makusudi picha mbili karibu zinazofanana. Mduara unatuonyesha pembe X kwa cosine yake. Ikiwa ni cosine ya tabular au la haijulikani kwa kila mtu. Hii ni pembe ya aina gani, π /3, au arc cosine ni nini - ni juu yetu kuamua.

Wimbo sawa na sine. Kwa mfano:

Chora mduara tena, alama sine sawa na 1/3, chora pembe. Hii ndio picha tunayopata:

Na tena picha ni karibu sawa na kwa equation sinx = 0.5. Tena tunaanza kutoka kona katika robo ya kwanza. X ni sawa na nini ikiwa sine yake ni 1/3? Hakuna shida!

Sasa pakiti ya kwanza ya mizizi iko tayari:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Wacha tushughulike na pembe ya pili. Katika mfano na thamani ya jedwali ya 0.5, ilikuwa sawa na:

π - x

Itakuwa sawa kabisa hapa pia! x pekee ni tofauti, arcsin 1/3. Kwa hiyo!? Unaweza kuandika kwa usalama pakiti ya pili ya mizizi:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Hili ni jibu sahihi kabisa. Ingawa haionekani kujulikana sana. Lakini ni wazi, natumai.)

Hivi ndivyo milinganyo ya trigonometric hutatuliwa kwa kutumia duara. Njia hii ni wazi na inaeleweka. Ni yeye ambaye anaokoa katika hesabu za trigonometric na uteuzi wa mizizi kwa muda fulani, katika usawa wa trigonometric - kwa ujumla hutatuliwa karibu kila mara katika mduara. Kwa kifupi, katika kazi yoyote ambayo ni ngumu zaidi kuliko ile ya kawaida.

Wacha tutumie maarifa kwa vitendo?)

Tatua milinganyo ya trigonometric:

Kwanza, rahisi zaidi, moja kwa moja kutoka kwa somo hili.

Sasa ni ngumu zaidi.

Kidokezo: hapa itabidi ufikirie juu ya duara. Binafsi.)

Na sasa ni rahisi nje ... Pia huitwa kesi maalum.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Kidokezo: hapa unahitaji kufikiri katika mduara ambapo kuna mfululizo wa majibu mawili na ambapo kuna moja ... Na jinsi ya kuandika moja badala ya mfululizo wa majibu mawili. Ndio, ili hakuna mzizi mmoja kutoka kwa nambari isiyo na kikomo inayopotea!)

Kweli, rahisi sana):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Kidokezo: hapa unahitaji kujua arcsine na arccosine ni nini? arctangent ni nini, arccotangent? Ufafanuzi rahisi zaidi. Lakini huna haja ya kukumbuka maadili yoyote ya meza!)

Majibu ni, bila shaka, fujo):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Je! si kila kitu kitafanya kazi? Hutokea. Soma somo tena. Pekee kwa kufikiri(kuna neno kama hilo la kizamani...) Na fuata viungo. Viungo kuu ni kuhusu mduara. Bila hivyo, trigonometria ni kama kuvuka barabara ukiwa umefumba macho. Wakati mwingine inafanya kazi.)

Ikiwa unapenda tovuti hii ...

Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)

Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)

Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.

Milinganyo rahisi zaidi ya trigonometric ni milinganyo

Cos (x) = a, dhambi (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

Equation cos(x) = a

Ufafanuzi na mantiki

1. Mizizi ya equation cosx = a. Wakati | a | > 1 mlinganyo hauna mizizi, kwani | kosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 au a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Acha | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Kwa muda, kazi y = cos x inapungua kutoka 1 hadi -1. Lakini kazi inayopungua inachukua kila moja ya maadili yake katika hatua moja ya kikoa chake cha ufafanuzi, kwa hivyo equation cos x = a ina mzizi mmoja tu kwenye muda huu, ambao, kwa ufafanuzi wa arccosine, ni sawa na: x 1 = arccos a (na kwa mzizi huu cos x = A).

Cosine ni kazi sawa, kwa hivyo kwa muda [-n; 0] equation cos x = na pia ina mzizi mmoja tu - nambari iliyo kinyume x 1, ambayo ni

x 2 = -arccos a.

Kwa hivyo, kwa muda [-n; p] (urefu 2p) mlingano cos x = a na | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Kazi y = cos x ni ya mara kwa mara na kipindi cha 2n, kwa hiyo mizizi mingine yote inatofautiana na ile inayopatikana na 2n (n € Z). Tunapata formula ifuatayo ya mizizi ya equation cos x = a wakati

x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.

1. Kesi maalum za kutatua equation cosx = a.

Ni muhimu kukumbuka nukuu maalum kwa mizizi ya equation cos x = a when

a = 0, a = -1, a = 1, ambayo inaweza kupatikana kwa urahisi kwa kutumia mduara wa kitengo kama rejeleo.

Kwa kuwa cosine ni sawa na abscissa ya hatua inayolingana ya mduara wa kitengo, tunapata hiyo cos x = 0 ikiwa na tu ikiwa hatua inayolingana ya mduara wa kitengo ni A au uhakika B.

Vile vile, cos x = 1 ikiwa na tu ikiwa hatua inayolingana ya mduara wa kitengo ni hatua C, kwa hivyo,

x = 2πп, k € Z.

Pia cos x = -1 ikiwa na tu ikiwa hatua inayolingana ya mduara wa kitengo ni hatua D, kwa hivyo x = n + 2n,

Equation dhambi(x) = a

Ufafanuzi na mantiki

1. Mizizi ya equation sinx = a. Wakati | a | > 1 mlinganyo hauna mizizi, kwani | dhambi |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 au a< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Mbinu kuu za kutatua milinganyo ya trigonometriki ni: kupunguza milinganyo hadi rahisi zaidi (kwa kutumia fomula za trigonometric), kuanzisha viambajengo vipya, na uwekaji alama. Wacha tuangalie matumizi yao na mifano. Zingatia umbizo la uandishi wa suluhu za milinganyo ya trigonometric.

Hali ya lazima ya kusuluhisha milinganyo ya trigonometric kwa mafanikio ni ujuzi wa fomula za trigonometric (mada ya 13 ya kazi 6).

Mifano.

1. Milinganyo imepunguzwa hadi rahisi zaidi.

1) Tatua mlinganyo

Suluhisho:

Jibu:

2) Tafuta mizizi ya equation

(sinx + cosx) 2 = 1 - sinxcosx, mali ya sehemu.

Suluhisho:

Jibu:

2. Milinganyo ambayo inapungua hadi quadratic.

1) Tatua mlingano wa 2 dhambi 2 x - cosx -1 = 0.

Suluhisho: Kwa kutumia formula dhambi 2 x = 1 - cos 2 x, tunapata

Jibu:

2) Tatua equation cos 2x = 1 + 4 cosx.

Suluhisho: Kwa kutumia formula cos 2x = 2 cos 2 x - 1, tunapata

Jibu:

3) Tatua mlingano tgx - 2ctgx + 1 = 0

Suluhisho:

Jibu:

3. Milinganyo ya homogeneous

1) Tatua mlingano 2sinx - 3cosx = 0

Suluhisho: Hebu cosx = 0, basi 2sinx = 0 na sinx = 0 - kupingana na ukweli kwamba dhambi 2 x + cos 2 x = 1. Hii ina maana cosx ≠ 0 na tunaweza kugawanya equation na cosx. Tunapata

Jibu:

2) Tatua mlingano 1 + 7 cos 2 x = 3 dhambi 2x

Suluhisho:

Tunatumia fomula 1 = dhambi 2 x + cos 2 x na dhambi 2x = 2 sinxcosx, tunapata

dhambi 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
dhambi 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Acha cosx = 0, halafu dhambi 2 x = 0 na sinx = 0 - ukinzani na ukweli kwamba dhambi 2 x + cos 2 x = 1.
Hii inamaanisha cosx ≠ 0 na tunaweza kugawanya mlinganyo kwa cos 2 x . Tunapata

tg 2 x - 6 tgx + 8 = 0
Wacha tuonyeshe tgx = y
y 2 - 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .

Jibu: actg4 + 2 k, arctan2 + 2 k,k

4. Milinganyo ya fomu a dhambi + b cosx = s, s≠ 0.

1) Tatua mlinganyo.

Suluhisho:

Jibu:

5. Equations kutatuliwa kwa factorization.

1) Tatua equation sin2x - sinx = 0.

Mzizi wa equation f (X) = φ ( X) inaweza kutumika tu kama nambari 0. Wacha tuangalie hii:

cos 0 = 0 + 1 - usawa ni kweli.

Nambari 0 ndio mzizi pekee wa mlingano huu.

Jibu: 0.

Milinganyo ya Trigonometric .

Milinganyo rahisi zaidi ya trigonometriki .

Njia za kutatua milinganyo ya trigonometric.

Milinganyo ya Trigonometric. Mlinganyo ulio na isiyojulikana chini yake ishara ya kazi ya trigonometric inaitwa trigonometric.

Milinganyo rahisi zaidi ya trigonometric.

Njia za kutatua milinganyo ya trigonometric. Kutatua equation ya trigonometric ina hatua mbili: mabadiliko ya equation ili kupata rahisi zaidi aina (tazama hapo juu) na suluhishomatokeo rahisi mlinganyo wa trigonometric. Kuna saba njia za msingi za kutatua milinganyo ya trigonometric.

1. Mbinu ya algebra. Njia hii inajulikana kwetu kutoka kwa algebra.

(mbinu ya uingizwaji na uwekaji mbadala).

2. Factorization. Hebu tuangalie njia hii kwa mifano.

Mfano 1. Tatua mlinganyo: dhambi x+cos x = 1 .

Suluhisho Wacha tuhamishe masharti yote ya equation kushoto:

Dhambi x+cos x – 1 = 0 ,

Wacha tubadilishe na tubadilishe usemi ndani

Upande wa kushoto wa equation:

Mfano 2. Tatua mlinganyo: cos 2 x+ dhambi x cos x = 1.

Suluhisho: cos 2 x+ dhambi x cos x– dhambi 2 x-cos 2 x = 0 ,

Dhambi x cos x– dhambi 2 x = 0 ,

Dhambi x· (cos x– dhambi x ) = 0 ,

Mfano 3. Tatua mlinganyo: kos 2 x-cos 8 x+ cos 6 x = 1.

Suluhisho: cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos 8 x,

2 koz 4 x kos 2 x= 2cos² 4 x ,

Kos 4 x · (cos 2 x- kwa 4 x) = 0 ,

Kos 4 x · 2 dhambi 3 x dhambi x = 0 ,

1). kos 4 x= 0, 2). dhambi 3 x= 0, 3). dhambi x = 0 ,

3.

Kuongoza kwa mlinganyo wa homogeneous. Mlinganyo kuitwa homogeneous kutoka kuhusu dhambi Na cos , Kama yote wanachama wa shahada sawa kuhusiana na dhambi Na cos pembe sawa. Ili kutatua equation ya homogeneous, unahitaji: A) kuhamisha wanachama wake wote upande wa kushoto; b) kuweka mambo yote ya kawaida nje ya mabano; V) kusawazisha mambo yote na mabano kwa sifuri; G) mabano sawa na sufuri toa equation homogeneous ya shahada ndogo, ambayo inapaswa kugawanywa katika cos(au dhambi) katika shahada ya juu; d) suluhisha mlingano wa aljebra unaotokana natan . MFANO Tatua mlingano: 3 dhambi 2 x+ 4 dhambi x cos x+ 5 cos 2 x = 2. Suluhisho: 3sin 2 x+ 4 dhambi x cos x+ 5 cos 2 x= 2 dhambi 2 x+ 2cos 2 x , Dhambi 2 x+ 4 dhambi x cos x+ 3 cos 2 x = 0 , Tani 2 x+ 4 tani x + 3 = 0 , kutoka hapa y 2 + 4y +3 = 0 , Mizizi ya equation hii ni:y 1 = - 1, y 2 = - 3, kwa hiyo 1) tani x= -1, 2) tani x = –3,

4. Mpito kwa pembe ya nusu. Wacha tuangalie njia hii kwa kutumia mfano:

MFANO Tatua mlingano: 3 dhambi x- 5 cos x = 7.

Suluhisho: dhambi 6 ( x/ 2) cos ( x/ 2) - 5 cos² ( x/ 2) + 5 dhambi² ( x/ 2) =

7 dhambi² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 dhambi² ( x/ 2) - dhambi 6 ( x/ 2) cos ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

tan² ( x/ 2) - tani 3 ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Utangulizi wa pembe ya msaidizi. Fikiria equation ya fomu:

a dhambi x + b cos x = c ,

Wapi a, b, c- coefficients;x- haijulikani.

Sasa coefficients ya equation ina sifa ya sine na cosine, yaani: moduli (thamani kamili) ya kila moja