Hatua za mtawanyiko. Uhesabuji wa vikundi, vikundi na tofauti za jumla (kulingana na sheria ya kuongeza tofauti)

Kwa data iliyojumuishwa tofauti ya mabaki- wastani wa tofauti za kikundi:

Ambapo σ 2 j ni tofauti ya kikundi cha jth.

Kwa data isiyojumuishwa tofauti ya mabaki- kipimo cha usahihi wa makadirio, i.e. Ukadiriaji wa laini ya rejista kwa data asili:
ambapo y(t) ni utabiri kwa kutumia mlinganyo wa mwenendo; y t - mfululizo wa mienendo ya awali; n - idadi ya pointi; p - idadi ya mgawo wa usawa wa regression (idadi ya vigezo vya maelezo).
Katika mfano huu inaitwa makadirio ya tofauti yasiyopendelea.

Mfano Nambari 1. Usambazaji wa wafanyikazi wa biashara tatu za chama kimoja kulingana na kategoria za ushuru ni sifa ya data ifuatayo:

Jamii ya ushuru wa mfanyakazi	Idadi ya wafanyikazi katika biashara
	biashara 1	biashara 2	biashara 3
1	50	20	40
2	100	80	60
3	150	150	200
4	350	300	400
5	200	150	250
6	150	100	150

Bainisha:
1. tofauti kwa kila biashara (tofauti za ndani ya kikundi);
2. wastani wa tofauti za ndani ya kikundi;
3. mtawanyiko wa vikundi;
4. tofauti ya jumla.

Suluhisho.
Kabla ya kuanza kutatua tatizo, ni muhimu kujua ni kipengele gani kinachofaa na ambacho ni cha msingi. Katika mfano unaozingatiwa, sifa ya matokeo ni "Kategoria ya Ushuru", na sifa ya kipengele ni "Nambari (jina) ya biashara".
Halafu tuna vikundi vitatu (biashara), ambayo ni muhimu kuhesabu wastani wa kikundi na tofauti za kikundi:

Kampuni	Wastani wa kikundi,	Tofauti za kikundi,
1	4	1,8

Wastani wa tofauti za ndani ya kikundi ( tofauti ya mabaki) itahesabiwa kwa kutumia formula:

ambapo unaweza kuhesabu:
au:

Kisha:
Tofauti ya jumla itakuwa sawa na: s 2 = 1.6 + 0 = 1.6.
Tofauti ya jumla inaweza pia kuhesabiwa kwa kutumia moja ya fomula mbili zifuatazo:

Wakati wa kutatua matatizo ya vitendo, mara nyingi mtu anapaswa kukabiliana na kipengele ambacho kinachukua tu maadili mawili mbadala. Katika kesi hii, hatuzungumzi juu ya uzito wa thamani fulani ya kipengele, lakini kuhusu sehemu yake kwa jumla. Ikiwa idadi ya vitengo vya idadi ya watu vyenye sifa inayochunguzwa inaonyeshwa na " R", na wale ambao hawana - kupitia" q", basi tofauti inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula:
s 2 = p×q

Mfano Nambari 2. Kulingana na data ya uzalishaji ya wafanyakazi sita katika timu, bainisha tofauti kati ya vikundi na utathmini athari ya zamu ya kazi kwenye tija yao ya kazi ikiwa jumla ya tofauti ni 12.2.

Mfanyakazi wa timu No.	Pato la mfanyakazi, pcs.
	katika zamu ya kwanza	katika zamu ya pili
1	18	13
2	19	14
3	22	15
4	20	17
5	24	16
6	23	15

Suluhisho. Data ya awali

X	f 1	f 2	f 3	f 4	f 5	f 6	Jumla
1	18	19	22	20	24	23	126
2	13	14	15	17	16	15	90
Jumla	31	33	37	37	40	38

Kisha tuna makundi 6 ambayo ni muhimu kuhesabu maana ya kikundi na tofauti za intragroup.
1. Pata maadili ya wastani ya kila kikundi.







2. Tafuta wastani wa mraba wa kila kikundi.







Wacha tufanye muhtasari wa matokeo ya hesabu kwenye jedwali:

Nambari ya kikundi	Wastani wa kikundi	Tofauti ya ndani ya kikundi
1	1.42	0.24
2	1.42	0.24
3	1.41	0.24
4	1.46	0.25
5	1.4	0.24
6	1.39	0.24

3. Tofauti ya ndani ya kikundi inaashiria mabadiliko (tofauti) ya tabia iliyosomwa (matokeo) ndani ya kikundi chini ya ushawishi wa mambo yote juu yake, isipokuwa kwa sababu ya msingi wa kikundi:
Wastani wa tofauti za ndani ya kikundi zitahesabiwa kwa kutumia fomula:


4. Tofauti kati ya vikundi inaashiria mabadiliko (tofauti) ya tabia iliyosomwa (matokeo) chini ya ushawishi wa sababu (tabia ya sababu) ambayo huunda msingi wa kikundi.
Tunafafanua tofauti za vikundi kama:

Wapi


Kisha

Jumla ya tofauti inaashiria mabadiliko (tofauti) ya tabia iliyosoma (matokeo) chini ya ushawishi wa mambo yote (sifa za sababu) bila ubaguzi. Kulingana na hali ya shida, ni sawa na 12.2.
Uhusiano wa uhusiano wa kisayansi hupima ni sehemu gani ya tofauti ya jumla ya sifa inayosababishwa inasababishwa na sababu inayosomwa. Huu ni uwiano wa tofauti ya sababu kwa tofauti ya jumla:

Tunafafanua uhusiano wa uunganisho wa nguvu:

Uunganisho kati ya sifa unaweza kuwa dhaifu na wenye nguvu (karibu). Vigezo vyao vinatathminiwa kwa kipimo cha Chaddock:
0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 Katika mfano wetu, uhusiano kati ya sifa Y na factor X ni dhaifu.
Mgawo wa uamuzi.

Wacha tuamue mgawo wa uamuzi:

Kwa hiyo, 0.67% ya tofauti ni kutokana na tofauti kati ya sifa, na 99.37% ni kutokana na mambo mengine.
Hitimisho: katika kesi hii, pato la wafanyakazi haitegemei kazi kwenye mabadiliko maalum, i.e. ushawishi wa mabadiliko ya kazi kwenye tija yao ya kazi sio muhimu na ni kwa sababu ya mambo mengine.

Mfano Nambari 3. Kulingana na data ya wastani wa mishahara na mikengeuko ya mraba kutoka kwa thamani yake kwa vikundi viwili vya wafanyikazi, pata tofauti ya jumla kwa kutumia kanuni ya kuongeza tofauti:

Suluhisho:
Wastani wa tofauti za ndani ya kikundi

Tunafafanua tofauti za vikundi kama:


Tofauti ya jumla itakuwa: 480 + 13824 = 14304

Ukurasa huu unaelezea mfano wa kawaida wa kutafuta tofauti, unaweza pia kuangalia matatizo mengine ya kuipata

Mfano 1. Uamuzi wa kikundi, wastani wa kikundi, kikundi na tofauti ya jumla

Mfano 2. Kupata tofauti na mgawo wa tofauti katika jedwali la kambi

Mfano 3. Kupata tofauti katika mfululizo tofauti

Mfano 4. Data ifuatayo inapatikana kwa kikundi cha wanafunzi 20 wa mawasiliano. Inahitajika kuunda safu ya muda ya usambazaji wa tabia, kuhesabu thamani ya wastani ya tabia na kusoma utawanyiko wake.

Wacha tujenge kikundi cha muda. Wacha tuamue anuwai ya muda kwa kutumia fomula:

ambapo X max ndio thamani ya juu zaidi ya tabia ya kambi;
X min - thamani ya chini ya tabia ya kikundi;
n - idadi ya vipindi:

Tunakubali n=5. Hatua ni: h = (192 - 159)/ 5 = 6.6

Hebu tuunde kikundi cha muda

Kwa mahesabu zaidi, tutaunda meza ya msaidizi:

X"i – katikati ya muda. (kwa mfano, katikati ya muda 159 – 165.6 = 162.3)

Tunabainisha urefu wa wastani wa wanafunzi kwa kutumia fomula ya wastani ya hesabu iliyopimwa:

Wacha tuamue tofauti kwa kutumia formula:

Formula inaweza kubadilishwa kama hii:

Kutoka kwa formula hii inafuata kwamba tofauti ni sawa na tofauti kati ya wastani wa mraba wa chaguzi na mraba na wastani.

Mtawanyiko katika mfululizo wa tofauti na vipindi sawa kwa kutumia njia ya muda inaweza kuhesabiwa kwa njia ifuatayo kwa kutumia mali ya pili ya utawanyiko (kugawanya chaguzi zote kwa thamani ya muda). Kuamua tofauti, iliyohesabiwa kwa kutumia njia ya muda, kutumia fomula ifuatayo sio ngumu sana:

ambapo mimi ni thamani ya muda;
A ni sifuri ya kawaida, ambayo ni rahisi kutumia katikati ya muda na mzunguko wa juu zaidi;
m1 ni mraba wa wakati wa utaratibu wa kwanza;
m2 - wakati wa utaratibu wa pili

Tofauti ya sifa mbadala (ikiwa katika idadi ya watu kitakwimu mabadiliko ya tabia kwa njia ambayo kuna chaguzi mbili tu za kipekee, basi utofauti kama huo unaitwa mbadala) unaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula:

Kubadilisha q = 1- p kwenye fomula hii ya utawanyiko, tunapata:

Aina za kutofautiana

Jumla ya tofauti hupima utofauti wa sifa katika jamii nzima kwa ujumla chini ya ushawishi wa mambo yote yanayosababisha tofauti hii. Ni sawa na mraba wa wastani wa mikengeuko ya thamani mahususi ya sifa x kutoka kwa thamani ya jumla ya x na inaweza kufafanuliwa kama tofauti rahisi au tofauti iliyopimwa.

Tofauti ya ndani ya kikundi ina sifa ya kutofautiana kwa nasibu, i.e. sehemu ya tofauti ambayo inatokana na ushawishi wa mambo ambayo hayajahesabiwa na haitegemei kipengele-sifa ambacho huunda msingi wa kikundi. Mtawanyiko kama huo ni sawa na mraba wa wastani wa kupotoka kwa maadili ya mtu binafsi ya sifa ndani ya kikundi X kutoka kwa maana ya hesabu ya kikundi na inaweza kuhesabiwa kama mtawanyiko rahisi au kama mtawanyiko wa uzito.

Hivyo, hatua za tofauti za ndani ya kikundi tofauti ya sifa ndani ya kikundi na imedhamiriwa na fomula:

ambapo xi ni wastani wa kikundi;
ni ni idadi ya vitengo katika kikundi.

Kwa mfano, tofauti za ndani za kikundi ambazo zinahitaji kuamuliwa katika kazi ya kusoma ushawishi wa sifa za wafanyikazi juu ya kiwango cha tija ya wafanyikazi katika semina zinaonyesha tofauti za pato katika kila kikundi zinazosababishwa na sababu zote zinazowezekana (hali ya kiufundi ya vifaa, upatikanaji wa vifaa). zana na nyenzo, umri wa wafanyikazi, nguvu ya wafanyikazi, n.k. .), isipokuwa kwa tofauti katika kategoria ya kufuzu (ndani ya kikundi wafanyikazi wote wana sifa zinazofanana).

Matarajio na tofauti ndizo sifa za nambari zinazotumiwa sana za kigezo cha nasibu. Wao huonyesha sifa muhimu zaidi za usambazaji: nafasi yake na kiwango cha kueneza. Katika matatizo mengi ya vitendo, sifa kamili, kamili ya kutofautiana kwa random - sheria ya usambazaji - haiwezi kupatikana kabisa, au haihitajiki kabisa. Katika matukio haya, moja ni mdogo kwa maelezo ya takriban ya kutofautiana kwa nasibu kwa kutumia sifa za nambari.

Thamani inayotarajiwa mara nyingi huitwa thamani ya wastani ya kigezo cha nasibu. Mtawanyiko wa kigeugeu bila mpangilio ni sifa ya mtawanyiko, kuenea kwa kigeugeu bila mpangilio karibu na matarajio yake ya kihisabati.

Matarajio ya kigeu tofauti cha nasibu

Hebu tufikie dhana ya matarajio ya hisabati, kwanza kulingana na tafsiri ya mitambo ya usambazaji wa kutofautiana kwa nasibu. Hebu misa ya kitengo isambazwe kati ya pointi za mhimili wa x x1 , x 2 , ..., x n, na kila nukta ya nyenzo ina misa inayolingana ya uk1 , uk 2 , ..., uk n. Inahitajika kuchagua hatua moja kwenye mhimili wa abscissa, unaoonyesha nafasi ya mfumo mzima wa pointi za nyenzo, kwa kuzingatia wingi wao. Ni kawaida kuchukua katikati ya wingi wa mfumo wa vidokezo vya nyenzo kama hatua kama hiyo. Huu ni wastani wa uzani wa tofauti ya nasibu X, ambayo abscissa ya kila nukta xi huingia na "uzito" sawa na uwezekano unaofanana. Thamani ya wastani ya utofauti wa nasibu uliopatikana kwa njia hii X inaitwa matarajio yake ya hisabati.

Matarajio ya hisabati ya kutofautisha bila mpangilio ni jumla ya bidhaa za maadili yake yote na uwezekano wa maadili haya:

Mfano 1. Bahati nasibu ya kushinda-kushinda imeandaliwa. Kuna ushindi 1000, ambao 400 ni rubles 10. 300 - 20 rubles kila mmoja. 200 - 100 rubles kila mmoja. na rubles 100 - 200 kila mmoja. Ni wastani gani wa ushindi kwa mtu anayenunua tikiti moja?

Suluhisho. Tutapata ushindi wa wastani ikiwa tutagawanya jumla ya ushindi, ambayo ni 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 rubles, kwa 1000 (jumla ya kiasi cha ushindi). Kisha tunapata 50000/1000 = 50 rubles. Lakini usemi wa kuhesabu ushindi wa wastani unaweza kuwasilishwa kwa fomu ifuatayo:

Kwa upande mwingine, katika hali hizi, saizi ya kushinda ni tofauti ya nasibu, ambayo inaweza kuchukua maadili ya rubles 10, 20, 100 na 200. na uwezekano sawa na 0.4, kwa mtiririko huo; 0.3; 0.2; 0.1. Kwa hivyo, ushindi wa wastani unaotarajiwa ni sawa na jumla ya bidhaa za saizi ya ushindi na uwezekano wa kuzipokea.

Mfano 2. Mchapishaji aliamua kuchapisha kitabu kipya. Anapanga kuuza kitabu kwa rubles 280, ambayo yeye mwenyewe atapata 200, 50 - duka la vitabu na 30 - mwandishi. Jedwali linatoa habari kuhusu gharama za kuchapisha kitabu na uwezekano wa kuuza idadi fulani ya nakala za kitabu.

Tafuta faida inayotarajiwa ya mchapishaji.

Suluhisho. Tofauti ya nasibu ya "faida" ni sawa na tofauti kati ya mapato kutoka kwa mauzo na gharama ya gharama. Kwa mfano, ikiwa nakala 500 za kitabu zinauzwa, basi mapato kutoka kwa uuzaji ni 200 * 500 = 100,000, na gharama ya uchapishaji ni rubles 225,000. Kwa hivyo, mchapishaji anakabiliwa na hasara ya rubles 125,000. Jedwali lifuatalo linatoa muhtasari wa maadili yanayotarajiwa ya kutofautisha bila mpangilio - faida:

Nambari	Faida xi	Uwezekano uki	xi uk i
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Jumla:		1,00	25000

Kwa hivyo, tunapata matarajio ya hisabati ya faida ya mchapishaji:

.

Mfano 3. Uwezekano wa kupiga kwa risasi moja uk= 0.2. Amua matumizi ya projectiles ambayo hutoa matarajio ya hisabati ya idadi ya hits sawa na 5.

Suluhisho. Kutoka kwa fomula ile ile ya matarajio ya hisabati ambayo tumetumia hadi sasa, tunaelezea x- matumizi ya ganda:

.

Mfano 4. Amua matarajio ya hisabati ya utofauti wa nasibu x idadi ya vibao vilivyo na mikwaju mitatu, ikiwa kuna uwezekano wa kupigwa kwa kila risasi uk = 0,4 .

Kidokezo: pata uwezekano wa maadili tofauti bila mpangilio kwa Fomula ya Bernoulli .

Tabia za matarajio ya hisabati

Hebu fikiria mali ya matarajio ya hisabati.

Mali 1. Matarajio ya hisabati ya thamani ya mara kwa mara ni sawa na hii mara kwa mara:

Mali 2. Sababu ya mara kwa mara inaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya matarajio ya hisabati:

Mali 3. Matarajio ya hisabati ya jumla (tofauti) ya anuwai za nasibu ni sawa na jumla (tofauti) ya matarajio yao ya hisabati:

Mali 4. Matarajio ya hisabati ya bidhaa ya anuwai ya nasibu ni sawa na matokeo ya matarajio yao ya hisabati:

Mali 5. Ikiwa maadili yote ya mabadiliko ya nasibu X kupungua (kuongezeka) kwa idadi sawa NA, basi matarajio yake ya kihesabu yatapungua (kuongezeka) kwa idadi sawa:

Wakati huwezi kujiwekea kikomo tu kwa matarajio ya hisabati

Katika hali nyingi, matarajio ya kihisabati pekee hayawezi kutofautisha vya kutosha.

Wacha vibadilishio bila mpangilio X Na Y zinatolewa na sheria zifuatazo za usambazaji:

Maana X	Uwezekano
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Maana Y	Uwezekano
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Matarajio ya hisabati ya idadi hii ni sawa - sawa na sifuri:

Walakini, mifumo yao ya usambazaji ni tofauti. Thamani ya nasibu X inaweza tu kuchukua maadili ambayo yanatofautiana kidogo na matarajio ya hisabati, na utofauti wa nasibu Y inaweza kuchukua maadili ambayo yanapotoka kwa kiasi kikubwa kutoka kwa matarajio ya hisabati. Mfano sawa: mshahara wa wastani haufanyi iwezekanavyo kuhukumu sehemu ya wafanyakazi wa juu na wa chini. Kwa maneno mengine, mtu hawezi kuhukumu kutokana na matarajio ya hisabati ni kupotoka gani kutoka kwake, angalau kwa wastani, kunawezekana. Ili kufanya hivyo, unahitaji kupata tofauti ya kutofautiana kwa random.

Tofauti ya kigeu tofauti cha nasibu

Tofauti tofauti tofauti bila mpangilio X inaitwa matarajio ya hisabati ya mraba wa kupotoka kwake kutoka kwa matarajio ya hisabati:

Mkengeuko wa kawaida wa kigeu cha nasibu X thamani ya hesabu ya mzizi wa mraba wa tofauti yake inaitwa:

.

Mfano 5. Kokotoa tofauti na mikengeuko ya kawaida ya vigeu vya nasibu X Na Y, sheria za usambazaji ambazo zimetolewa katika majedwali hapo juu.

Suluhisho. Matarajio ya hisabati ya anuwai za nasibu X Na Y, kama inavyopatikana hapo juu, ni sawa na sifuri. Kulingana na fomula ya utawanyiko katika E(X)=E(y)=0 tunapata:

Kisha mikengeuko ya kawaida ya anuwai za nasibu X Na Y make up

.

Kwa hivyo, kwa matarajio sawa ya hisabati, tofauti ya kutofautiana kwa nasibu X ndogo sana, lakini variable random Y- muhimu. Hii ni matokeo ya tofauti katika usambazaji wao.

Mfano 6. Mwekezaji ana miradi 4 mbadala ya uwekezaji. Jedwali linatoa muhtasari wa faida inayotarajiwa katika miradi hii na uwezekano unaolingana.

Mradi 1	Mradi 2	Mradi 3	Mradi 4
500, P=1	1000, P=0,5	500, P=0,5	500, P=0,5
	0, P=0,5	1000, P=0,25	10500, P=0,25
		0, P=0,25	9500, P=0,25

Tafuta matarajio ya hisabati, tofauti na mchepuko wa kawaida kwa kila mbadala.

Suluhisho. Wacha tuonyeshe jinsi maadili haya yanavyohesabiwa kwa mbadala ya 3:

Jedwali linatoa muhtasari wa maadili yaliyopatikana kwa njia mbadala zote.

Njia mbadala zote zina matarajio sawa ya hisabati. Hii ina maana kwamba kwa muda mrefu kila mtu ana mapato sawa. Mkengeuko wa kawaida unaweza kufasiriwa kama kipimo cha hatari - kadri inavyokuwa juu, ndivyo hatari ya uwekezaji inavyoongezeka. Mwekezaji ambaye hataki hatari nyingi atachagua mradi 1 kwa kuwa una mchepuko mdogo kabisa wa kawaida (0). Ikiwa mwekezaji anapendelea hatari na faida kubwa katika kipindi kifupi, basi atachagua mradi na kupotoka kwa kiwango kikubwa zaidi - mradi wa 4.

Tabia za mtawanyiko

Wacha tuwasilishe mali ya utawanyiko.

Mali 1. Tofauti ya thamani ya mara kwa mara ni sifuri:

Mali 2. Sababu ya mara kwa mara inaweza kutolewa nje ya ishara ya utawanyiko kwa kuipiga:

.

Mali 3. Tofauti ya kigezo cha nasibu ni sawa na matarajio ya hisabati ya mraba wa thamani hii, ambapo mraba wa matarajio ya hisabati ya thamani yenyewe imetolewa:

,

Wapi .

Mali 4. Tofauti ya jumla (tofauti) ya anuwai za nasibu ni sawa na jumla (tofauti) ya tofauti zao:

Mfano 7. Inajulikana kuwa tofauti ya nasibu isiyo na maana X inachukua tu maadili mawili: -3 na 7. Kwa kuongeza, matarajio ya hisabati yanajulikana: E(X) = 4 . Pata utofauti wa kigeu tofauti cha nasibu.

Suluhisho. Wacha tuonyeshe kwa uk uwezekano ambao ubadilishaji nasibu huchukua thamani x1 = −3 . Kisha uwezekano wa thamani x2 = 7 itakuwa 1 - uk. Wacha tupate equation ya matarajio ya hisabati:

E(X) = x 1 uk + x 2 (1 − uk) = −3uk + 7(1 − uk) = 4 ,

ambapo tunapata uwezekano: uk= 0.3 na 1 - uk = 0,7 .

Sheria ya usambazaji wa tofauti bila mpangilio:

X	−3	7
uk	0,3	0,7

Tunahesabu tofauti za utaftaji huu wa nasibu kwa kutumia fomula kutoka kwa mali ya 3 ya utawanyiko:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Pata matarajio ya kihesabu ya kutofautisha bila mpangilio mwenyewe, na kisha uangalie suluhisho

Mfano 8. Tofauti tofauti bila mpangilio X inachukua maadili mawili tu. Inakubali thamani kubwa zaidi ya 3 na uwezekano 0.4. Kwa kuongeza, tofauti ya kutofautiana kwa random inajulikana D(X) = 6 . Pata matarajio ya kihisabati ya kigezo cha nasibu.

Mfano 9. Kuna mipira 6 nyeupe na 4 nyeusi kwenye mkojo. Mipira 3 hutolewa kutoka kwenye mkojo. Idadi ya mipira nyeupe kati ya mipira inayotolewa ni tofauti isiyo ya kawaida X. Pata matarajio ya hisabati na tofauti za kigeu hiki cha nasibu.

Suluhisho. Thamani ya nasibu X inaweza kuchukua maadili 0, 1, 2, 3. Uwezekano unaolingana unaweza kuhesabiwa kutoka kanuni ya kuzidisha uwezekano. Sheria ya usambazaji wa tofauti bila mpangilio:

X	0	1	2	3
uk	1/30	3/10	1/2	1/6

Kwa hivyo matarajio ya kihesabu ya utofauti huu wa nasibu:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Tofauti ya kigezo fulani cha nasibu ni:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Matarajio na tofauti ya tofauti inayoendelea ya nasibu

Kwa utofauti unaoendelea wa nasibu, tafsiri ya kimakanika ya matarajio ya hisabati itabaki na maana sawa: katikati ya misa kwa misa inayosambazwa kwa mfululizo kwenye mhimili wa x wenye msongamano. f(x) Tofauti na tofauti tofauti isiyo ya kawaida, ambayo hoja yake ya utendaji kazi xi mabadiliko ya ghafla; kwa kutofautiana kwa nasibu, hoja hubadilika mfululizo. Lakini matarajio ya hisabati ya kutofautiana kwa nasibu inayoendelea pia yanahusiana na thamani yake ya wastani.

Ili kupata matarajio ya hisabati na tofauti ya utofauti unaoendelea wa nasibu, unahitaji kupata viambajengo dhahiri. . Ikiwa kazi ya wiani ya kutofautiana kwa random inayoendelea inatolewa, basi inaingia moja kwa moja kwenye integrand. Ikiwa kazi ya usambazaji wa uwezekano hutolewa, basi kwa kuitofautisha, unahitaji kupata kazi ya wiani.

Wastani wa hesabu wa maadili yote yanayowezekana ya kutofautisha kwa nasibu inayoendelea inaitwa yake matarajio ya hisabati, iliyoashiriwa na au .

Tofauti ya tofauti ya nasibu ni kipimo cha kuenea kwa maadili ya kutofautiana hii. Tofauti ya chini inamaanisha kuwa maadili yameunganishwa kwa karibu. Mtawanyiko mkubwa unaonyesha kuenea kwa nguvu kwa maadili. Dhana ya tofauti ya tofauti ya nasibu hutumiwa katika takwimu. Kwa mfano, ukilinganisha tofauti za thamani mbili (kama vile kati ya wagonjwa wa kiume na wa kike), unaweza kupima umuhimu wa kigezo. Tofauti pia hutumiwa wakati wa kuunda mifano ya takwimu, kwani tofauti ndogo inaweza kuwa ishara kwamba unazidisha maadili.

Hatua

Kuhesabu tofauti za sampuli

1. Rekodi maadili ya sampuli. Katika hali nyingi, wanatakwimu wanaweza tu kufikia sampuli za idadi maalum. Kwa mfano, kama sheria, wanatakwimu hawachambui gharama ya kudumisha jumla ya magari yote nchini Urusi - wanachambua sampuli ya nasibu ya magari elfu kadhaa. Sampuli hiyo itasaidia kuamua gharama ya wastani ya gari, lakini, uwezekano mkubwa, thamani ya matokeo itakuwa mbali na halisi.

   • Kwa mfano, hebu tuchambue idadi ya mikate inayouzwa katika mkahawa kwa zaidi ya siku 6, iliyochukuliwa kwa mpangilio nasibu. Sampuli inaonekana kama hii: 17, 15, 23, 7, 9, 13. Hii ni sampuli, si idadi ya watu, kwa sababu hatuna data juu ya mikate inayouzwa kwa kila siku mgahawa umefunguliwa.
   • Ukipewa idadi ya watu badala ya sampuli ya thamani, endelea hadi sehemu inayofuata.

2. Andika fomula ili kukokotoa tofauti za sampuli. Mtawanyiko ni kipimo cha kuenea kwa maadili ya kiasi fulani. Kadiri thamani ya tofauti inavyokaribia sifuri, ndivyo maadili yanavyowekwa pamoja. Unapofanya kazi na sampuli ya maadili, tumia fomula ifuatayo ili kuhesabu tofauti:

   • s 2 (\mtindo wa kuonyesha s^(2)) = ∑[(x i (\mtindo wa kuonyesha x_(i))- x̅) 2 (\mtindo wa kuonyesha ^(2))] / (n - 1)
   • s 2 (\mtindo wa kuonyesha s^(2))- huu ni utawanyiko. Mtawanyiko hupimwa katika vitengo vya mraba.
   • x i (\mtindo wa kuonyesha x_(i))- kila thamani katika sampuli.
   • x i (\mtindo wa kuonyesha x_(i)) unahitaji kutoa x̅, mraba, na kisha kuongeza matokeo.
   • x̅ - wastani wa sampuli (maana ya sampuli).
   • n - idadi ya maadili katika sampuli.

3. Kuhesabu wastani wa sampuli. Inaashiriwa kama x̅. Wastani wa sampuli huhesabiwa kama maana rahisi ya hesabu: ongeza thamani zote kwenye sampuli, kisha ugawanye matokeo kwa idadi ya maadili kwenye sampuli.

   • Katika mfano wetu, ongeza maadili katika sampuli: 15 + 17 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84
     Sasa gawanya matokeo kwa idadi ya maadili kwenye sampuli (katika mfano wetu kuna 6): 84 ÷ 6 = 14.
     Sampuli wastani x̅ = 14.
   • Sampuli ya wastani ni thamani kuu ambayo thamani katika sampuli husambazwa. Ikiwa maadili katika nguzo ya sampuli karibu na sampuli inamaanisha, basi tofauti ni ndogo; vinginevyo tofauti ni kubwa.

4. Ondoa wastani wa sampuli kutoka kwa kila thamani kwenye sampuli. Sasa hesabu tofauti x i (\mtindo wa kuonyesha x_(i)) x̅, wapi x i (\mtindo wa kuonyesha x_(i))- kila thamani katika sampuli. Kila tokeo lililopatikana linaonyesha kiwango cha mkengeuko wa thamani fulani kutoka kwa wastani wa sampuli, yaani, umbali wa thamani hii kutoka kwa wastani wa sampuli.

   • Katika mfano wetu:
     x 1 (\mtindo wa kuonyesha x_(1))- x = 17 - 14 = 3
     x 2 (\mtindo wa kuonyesha x_(2))- x̅ = 15 - 14 = 1
     x 3 (\mtindo wa kuonyesha x_(3))- x = 23 - 14 = 9
     x 4 (\mtindo wa kuonyesha x_(4))- x̅ = 7 - 14 = -7
     x 5 (\mtindo wa kuonyesha x_(5))- x̅ = 9 - 14 = -5
     x 6 (\mtindo wa kuonyesha x_(6))- x̅ = 13 - 14 = -1
   • Usahihi wa matokeo yaliyopatikana ni rahisi kuangalia, kwani jumla yao inapaswa kuwa sawa na sifuri. Hii inahusiana na ufafanuzi wa wastani, kwani maadili hasi (umbali kutoka kwa wastani hadi maadili madogo) hupunguzwa kabisa na maadili mazuri (umbali kutoka kwa wastani hadi maadili makubwa).

5. Kama ilivyoelezwa hapo juu, jumla ya tofauti x i (\mtindo wa kuonyesha x_(i))- x̅ lazima iwe sawa na sifuri. Hii ina maana kwamba tofauti ya wastani daima ni sifuri, ambayo haitoi wazo lolote juu ya kuenea kwa maadili ya kiasi fulani. Ili kutatua tatizo hili, mraba kila tofauti x i (\mtindo wa kuonyesha x_(i))-x̅. Hii itasababisha kupata nambari chanya pekee, ambazo hazitawahi kuongeza hadi 0.

   • Katika mfano wetu:
     (x 1 (\mtindo wa kuonyesha x_(1))- x̅) 2 = 3 2 = 9 (\mtindo wa kuonyesha ^(2)=3^(2)=9)
     (x 2 (\mtindo wa kuonyesha (x_(2)))- x̅) 2 = 1 2 = 1 (\mtindo wa kuonyesha ^(2)=1^(2)=1)
     9 2 = 81
     (-7) 2 = 49
     (-5) 2 = 25
     (-1) 2 = 1
   • Umepata mraba wa tofauti - x̅) 2 (\mtindo wa kuonyesha ^(2)) kwa kila thamani katika sampuli.

6. Kuhesabu jumla ya miraba ya tofauti. Hiyo ni, tafuta sehemu ya fomula iliyoandikwa kama hii: ∑[( x i (\mtindo wa kuonyesha x_(i))- x̅) 2 (\mtindo wa kuonyesha ^(2))]. Hapa ishara Σ inamaanisha jumla ya tofauti za mraba kwa kila thamani x i (\mtindo wa kuonyesha x_(i)) katika sampuli. Tayari umepata tofauti za mraba (x i (\mtindo wa kuonyesha (x_(i)))- x̅) 2 (\mtindo wa kuonyesha ^(2)) kwa kila thamani x i (\mtindo wa kuonyesha x_(i)) katika sampuli; sasa ongeza miraba hii.

   • Katika mfano wetu: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166 .

7. Gawanya matokeo kwa n - 1, ambapo n ni idadi ya maadili katika sampuli. Wakati fulani uliopita, ili kuhesabu tofauti za sampuli, wanatakwimu waligawanya tu matokeo na n; katika kesi hii utapata maana ya tofauti ya mraba, ambayo ni bora kwa kuelezea tofauti ya sampuli fulani. Lakini kumbuka kuwa sampuli yoyote ni sehemu ndogo tu ya idadi ya maadili. Ukichukua sampuli nyingine na kufanya mahesabu sawa, utapata matokeo tofauti. Kama inavyotokea, kugawanya na n - 1 (badala ya n) kunatoa makadirio sahihi zaidi ya tofauti ya idadi ya watu, ambayo ndio unavutiwa nayo. Mgawanyiko kwa n - 1 umekuwa wa kawaida, kwa hiyo umejumuishwa katika fomula ya kuhesabu tofauti za sampuli.

   • Katika mfano wetu, sampuli inajumuisha maadili 6, ambayo ni, n = 6.
     Tofauti ya sampuli = s 2 = 166 6 − 1 = (\mtindo wa kuonyesha s^(2)=(\frac (166)(6-1))=) 33,2

8. Tofauti kati ya tofauti na kupotoka kwa kawaida. Kumbuka kuwa fomula ina kipeo, kwa hivyo mtawanyiko hupimwa katika vitengo vya mraba vya thamani inayochanganuliwa. Wakati mwingine ukubwa kama huo ni ngumu sana kufanya kazi; katika hali kama hizi, tumia kupotoka kwa kawaida, ambayo ni sawa na mzizi wa mraba wa tofauti. Ndio maana tofauti ya sampuli inaonyeshwa kama s 2 (\mtindo wa kuonyesha s^(2)), na mkengeuko wa kawaida wa sampuli ni kama s (\displaystyle s).

   • Katika mfano wetu, kupotoka kwa kiwango cha sampuli ni: s = √33.2 = 5.76.

   Kuhesabu Tofauti ya Idadi ya Watu

   1. Changanua seti fulani ya maadili. Seti inajumuisha maadili yote ya kiasi kinachozingatiwa. Kwa mfano, ikiwa unasoma umri wa wakazi wa mkoa wa Leningrad, basi jumla ni pamoja na umri wa wakazi wote wa mkoa huu. Wakati wa kufanya kazi na idadi ya watu, inashauriwa kuunda meza na kuingiza maadili ya idadi ya watu ndani yake. Fikiria mfano ufuatao:

      • Katika chumba fulani kuna aquariums 6. Kila aquarium ina idadi ifuatayo ya samaki:
        x 1 = 5 (\mtindo wa kuonyesha x_(1)=5)
        x 2 = 5 (\mtindo wa kuonyesha x_(2)=5)
        x 3 = 8 (\mtindo wa kuonyesha x_(3)=8)
        x 4 = 12 (\mtindo wa kuonyesha x_(4)=12)
        x 5 = 15 (\mtindo wa kuonyesha x_(5)=15)
        x 6 = 18 (\mtindo wa kuonyesha x_(6)=18)

   2. Andika fomula ya kukokotoa tofauti za idadi ya watu. Kwa kuwa idadi ya watu inajumuisha maadili yote ya idadi fulani, fomula hapa chini hukuruhusu kupata dhamana halisi ya tofauti ya idadi ya watu. Ili kutofautisha tofauti za idadi ya watu kutoka kwa tofauti za sampuli (ambayo ni makadirio tu), wanatakwimu hutumia anuwai anuwai:

      • σ 2 (\mtindo wa kuonyesha ^(2)) = (∑(x i (\mtindo wa kuonyesha x_(i)) - μ) 2 (\mtindo wa kuonyesha ^(2)))/n
      • σ 2 (\mtindo wa kuonyesha ^(2))- mtawanyiko wa idadi ya watu (soma kama "sigma squared"). Mtawanyiko hupimwa katika vitengo vya mraba.
      • x i (\mtindo wa kuonyesha x_(i))- kila thamani kwa ukamilifu wake.
      • Σ - ishara ya jumla. Hiyo ni, kutoka kwa kila thamani x i (\mtindo wa kuonyesha x_(i)) unahitaji kutoa μ, mraba, na kisha kuongeza matokeo.
      • μ - maana ya idadi ya watu.
      • n - idadi ya maadili katika idadi ya watu.

   3. Kuhesabu wastani wa idadi ya watu. Wakati wa kufanya kazi na idadi ya watu, maana yake inaonyeshwa kama μ (mu). Maana ya idadi ya watu huhesabiwa kama maana rahisi ya hesabu: ongeza maadili yote katika idadi ya watu, na kisha ugawanye matokeo kwa idadi ya maadili katika idadi ya watu.

      • Kumbuka kwamba wastani hauhesabiwi kila wakati kama maana ya hesabu.
      • Katika mfano wetu, idadi ya watu inamaanisha: μ = 5 + 5 + 8 + 12 + 15 + 18 6 (\mtindo wa kuonyesha (\frac (5+5+8+12+15+18)(6))) = 10,5

   4. Ondoa wastani wa idadi ya watu kutoka kwa kila thamani katika idadi ya watu. Kadiri thamani ya tofauti inavyokaribia sifuri, ndivyo thamani mahususi inavyokaribia maana ya idadi ya watu. Pata tofauti kati ya kila thamani katika idadi ya watu na maana yake, na utapata wazo la kwanza la usambazaji wa maadili.

      • Katika mfano wetu:
        x 1 (\mtindo wa kuonyesha x_(1))- μ = 5 - 10.5 = -5.5
        x 2 (\mtindo wa kuonyesha x_(2))- μ = 5 - 10.5 = -5.5
        x 3 (\mtindo wa kuonyesha x_(3))- μ = 8 - 10.5 = -2.5
        x 4 (\mtindo wa kuonyesha x_(4))- μ = 12 - 10.5 = 1.5
        x 5 (\mtindo wa kuonyesha x_(5))- μ = 15 - 10.5 = 4.5
        x 6 (\mtindo wa kuonyesha x_(6))- μ = 18 - 10.5 = 7.5

   5. Mraba kila matokeo yaliyopatikana. Thamani za tofauti zitakuwa chanya na hasi; Ikiwa maadili haya yamepangwa kwenye mstari wa nambari, watalala kulia na kushoto kwa maana ya idadi ya watu. Hii si nzuri kwa kuhesabu tofauti kwa sababu nambari chanya na hasi hughairi zote. Kwa hivyo mraba kila tofauti ili kupata nambari chanya pekee.

      • Katika mfano wetu:
        (x i (\mtindo wa kuonyesha x_(i)) - μ) 2 (\mtindo wa kuonyesha ^(2)) kwa kila thamani ya idadi ya watu (kutoka i = 1 hadi i = 6):
        (-5,5)2 (\mtindo wa kuonyesha ^(2)) = 30,25
        (-5,5)2 (\mtindo wa kuonyesha ^(2)), Wapi x n (\mtindo wa kuonyesha x_(n))- thamani ya mwisho katika idadi ya watu.
      • Ili kuhesabu thamani ya wastani ya matokeo yaliyopatikana, unahitaji kupata jumla yao na ugawanye kwa n:(( x 1 (\mtindo wa kuonyesha x_(1)) - μ) 2 (\mtindo wa kuonyesha ^(2)) + (x 2 (\mtindo wa kuonyesha x_(2)) - μ) 2 (\mtindo wa kuonyesha ^(2)) + ... + (x n (\mtindo wa kuonyesha x_(n)) - μ) 2 (\mtindo wa kuonyesha ^(2)))/n
      • Sasa hebu tuandike maelezo hapo juu kwa kutumia vigeu: (∑( x i (\mtindo wa kuonyesha x_(i)) - μ) 2 (\mtindo wa kuonyesha ^(2))) / n na upate fomula ya kuhesabu tofauti za idadi ya watu.

Mtawanyiko katika takwimu hupatikana kama maadili mahususi ya sifa iliyo na mraba kutoka . Kulingana na data ya awali, imedhamiriwa kutumia fomula rahisi na zenye uzani:

1. (kwa data isiyojumuishwa) huhesabiwa kwa kutumia fomula:

2. Tofauti iliyopimwa (kwa mfululizo wa tofauti):

ambapo n ni frequency (kujirudia kwa sababu X)

Mfano wa kutafuta tofauti

Ukurasa huu unaelezea mfano wa kawaida wa kutafuta tofauti, unaweza pia kuangalia matatizo mengine ya kuipata

Mfano 1. Data ifuatayo inapatikana kwa kikundi cha wanafunzi 20 wa mawasiliano. Inahitajika kuunda safu ya muda ya usambazaji wa tabia, kuhesabu thamani ya wastani ya tabia na kusoma utawanyiko wake.

Wacha tujenge kikundi cha muda. Wacha tuamue anuwai ya muda kwa kutumia fomula:

ambapo X max ndio thamani ya juu zaidi ya tabia ya kambi;
X min - thamani ya chini ya tabia ya kikundi;
n - idadi ya vipindi:

Tunakubali n=5. Hatua ni: h = (192 - 159)/ 5 = 6.6

Hebu tuunde kikundi cha muda

Kwa mahesabu zaidi, tutaunda meza ya msaidizi:

X'i ni katikati ya muda. (kwa mfano, katikati ya muda 159 - 165.6 = 162.3)

Tunabainisha urefu wa wastani wa wanafunzi kwa kutumia fomula ya wastani ya hesabu iliyopimwa:

Wacha tuamue tofauti kwa kutumia formula:

Formula ya utawanyiko inaweza kubadilishwa kama ifuatavyo:

Kutoka kwa formula hii inafuata kwamba tofauti ni sawa na tofauti kati ya wastani wa mraba wa chaguzi na mraba na wastani.

Mtawanyiko katika mfululizo wa tofauti na vipindi sawa kwa kutumia njia ya muda inaweza kuhesabiwa kwa njia ifuatayo kwa kutumia mali ya pili ya utawanyiko (kugawanya chaguzi zote kwa thamani ya muda). Kuamua tofauti, iliyohesabiwa kwa kutumia njia ya muda, kutumia fomula ifuatayo sio ngumu sana:

ambapo mimi ni thamani ya muda;
A ni sifuri ya kawaida, ambayo ni rahisi kutumia katikati ya muda na mzunguko wa juu zaidi;
m1 ni mraba wa wakati wa utaratibu wa kwanza;
m2 - wakati wa utaratibu wa pili

(ikiwa katika idadi ya watu kitakwimu mabadiliko ya tabia kwa njia ambayo kuna chaguzi mbili tu za kipekee, basi utofauti kama huo unaitwa mbadala) unaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula:

Kubadilisha q = 1- p kwenye fomula hii ya utawanyiko, tunapata:

Aina za kutofautiana

Jumla ya tofauti hupima utofauti wa sifa katika jamii nzima kwa ujumla chini ya ushawishi wa mambo yote yanayosababisha tofauti hii. Ni sawa na mraba wa wastani wa mikengeuko ya thamani mahususi ya sifa x kutoka kwa thamani ya jumla ya x na inaweza kufafanuliwa kama tofauti rahisi au tofauti iliyopimwa.

ina sifa ya kutofautiana kwa nasibu, i.e. sehemu ya tofauti ambayo inatokana na ushawishi wa mambo ambayo hayajahesabiwa na haitegemei kipengele-sifa ambacho huunda msingi wa kikundi. Mtawanyiko kama huo ni sawa na mraba wa wastani wa kupotoka kwa maadili ya mtu binafsi ya sifa ndani ya kikundi X kutoka kwa maana ya hesabu ya kikundi na inaweza kuhesabiwa kama mtawanyiko rahisi au kama mtawanyiko wa uzito.

Hivyo, hatua za tofauti za ndani ya kikundi tofauti ya sifa ndani ya kikundi na imedhamiriwa na fomula:

ambapo xi ni wastani wa kikundi;
ni ni idadi ya vitengo katika kikundi.

Kwa mfano, tofauti za ndani za kikundi ambazo zinahitaji kuamuliwa katika kazi ya kusoma ushawishi wa sifa za wafanyikazi juu ya kiwango cha tija ya wafanyikazi katika semina zinaonyesha tofauti za pato katika kila kikundi zinazosababishwa na sababu zote zinazowezekana (hali ya kiufundi ya vifaa, upatikanaji wa vifaa). zana na nyenzo, umri wa wafanyikazi, nguvu ya wafanyikazi, n.k. .), isipokuwa kwa tofauti katika kategoria ya kufuzu (ndani ya kikundi wafanyikazi wote wana sifa zinazofanana).

Wastani wa tofauti za ndani ya kikundi huonyesha nasibu, yaani, sehemu hiyo ya tofauti iliyotokea chini ya ushawishi wa mambo mengine yote, isipokuwa kipengele cha kambi. Inahesabiwa kwa kutumia formula:

Inabainisha tofauti ya utaratibu wa tabia inayotokana, ambayo ni kutokana na ushawishi wa sababu-ishara ambayo huunda msingi wa kikundi. Ni sawa na mraba wa wastani wa mikengeuko ya kikundi kutoka kwa wastani wa jumla. Tofauti kati ya vikundi huhesabiwa kwa kutumia fomula:

Sheria ya kuongeza tofauti katika takwimu

Kulingana na kanuni ya kuongeza tofauti tofauti ya jumla ni sawa na jumla ya wastani wa tofauti za ndani ya kikundi na kati ya kikundi:

Maana ya kanuni hii ni kwamba tofauti kamili inayotokea chini ya ushawishi wa mambo yote ni sawa na jumla ya tofauti zinazotokea chini ya ushawishi wa mambo mengine yote na tofauti inayotokea kutokana na sababu ya kambi.

Kwa kutumia fomula ya kuongeza tofauti, unaweza kuamua tofauti ya tatu isiyojulikana kutoka kwa tofauti mbili zinazojulikana, na pia kuhukumu nguvu ya ushawishi wa tabia ya kambi.

Tabia za mtawanyiko

1. Ikiwa maadili yote ya tabia yamepunguzwa (kuongezeka) kwa kiasi sawa cha mara kwa mara, basi utawanyiko hautabadilika.
2. Ikiwa maadili yote ya sifa yamepunguzwa (kuongezeka) kwa idadi sawa ya mara n, basi tofauti itapungua (kuongezeka) kwa n^2 mara.