Uthibitisho wa kutofautiana kwa nambari za sehemu. Uthibitisho na suluhisho la usawa

Shule ya sekondari ya MOU Grishino-Slobodskaya

Mpango wa moduli

"Njia za kuthibitisha ukosefu wa usawa"

kama sehemu ya kozi ya kuchaguliwa

"Nyuma ya Kurasa za Kitabu cha Hisabati"

kwa wanafunzi wa darasa la 10-11

Imekusanywa na:

mwalimu wa hisabati

Pankova E.Yu

Maelezo ya maelezo

"Hisabati inaitwa sayansi ya tautological: kwa maneno mengine, wanahisabati wanasemekana kutumia wakati kuthibitisha kwamba vitu ni sawa na wao wenyewe. Taarifa hii si sahihi sana kwa sababu mbili. Kwanza, hisabati, licha ya asili yake lugha ya kisayansi, sio sayansi; badala yake, inaweza kuitwa sanaa. Pili Matokeo kuu ya hisabati mara nyingi huonyeshwa na ukosefu wa usawa badala ya usawa.

Ukosefu wa usawa hutumiwa mara kwa mara katika kazi ya vitendo ya wanahisabati. Zinatumika kupata idadi ya mali ya kuvutia na muhimu zaidi ya takwimu za "ulinganifu": mraba, mchemraba, pembetatu ya usawa, na pia kuthibitisha muunganisho wa michakato ya kurudia na kuhesabu mipaka fulani. Jukumu la ukosefu wa usawa pia ni muhimu katika masuala mbalimbali ya sayansi ya asili na teknolojia.

Matatizo ya kuthibitisha usawa ni magumu zaidi na ya kuvutia ya wale wa jadi. Kuthibitisha ukosefu wa usawa kunahitaji werevu na ubunifu wa kweli ambao hufanya hisabati kuwa somo la kusisimua kama ilivyo.

Uthibitisho wa ufundishaji una jukumu kubwa katika ukuzaji wa fikra za kihisabati na uwezo wa kufikiria wa jumla wa wanafunzi. Jinsi ya kufundisha watoto wa shule kwa kujitegemea kuthibitisha usawa? Jibu ni: tu kwa kuzingatia mbinu na mbinu nyingi za ushahidi na kuzitumia mara kwa mara.

Mawazo yanayotumiwa kuthibitisha ukosefu wa usawa yanakaribia kutofautiana kama vile ukosefu wenyewe. Katika hali maalum, mbinu za jumla mara nyingi husababisha ufumbuzi mbaya. Lakini ni watoto wachache tu wa shule wanaofaulu katika kuchanganya tofauti kadhaa za "msingi" kwa njia isiyo ya wazi. Na, zaidi ya hayo, hakuna kinachomzuia mwanafunzi katika kila kesi maalum kutafuta suluhisho bora kuliko ile iliyopatikana kwa njia ya jumla. Kwa sababu hii, uthibitisho wa usawa mara nyingi huwekwa kwenye uwanja wa sanaa. Na kama sanaa yoyote, kuna mbinu za kiufundi hapa, ambazo anuwai ni pana sana na ni ngumu sana kuzijua zote, lakini kila mwalimu anapaswa kujitahidi kupanua zana za hesabu zinazopatikana kwake.

Moduli hii inapendekezwa kwa wanafunzi wa darasa la 10-11. Sio njia zote zinazowezekana za kuthibitisha usawa zinajadiliwa hapa (mbinu ya kuchukua nafasi ya kutofautiana, kuthibitisha usawa kwa kutumia derivative, njia ya utafiti na jumla, na mbinu ya kuagiza haijashughulikiwa). Unaweza kutoa kuzingatia njia zingine katika hatua ya pili (kwa mfano, katika daraja la 11), ikiwa moduli hii ya kozi inaamsha shauku kati ya wanafunzi, na pia kulingana na mafanikio ya kusoma sehemu ya kwanza ya kozi.

		Equations na kutofautiana na parameter.
		Mbinu za kuthibitisha usawa.
		Milinganyo na usawa zilizo na isiyojulikana chini ya ishara ya moduli.
		Mifumo ya kutofautiana na vigezo viwili.

Yaliyomo katika kozi ya uchaguzi

"Nyuma ya Kurasa za Kitabu cha Hisabati"

"Njia za kuthibitisha ukosefu wa usawa"

		Utangulizi.
		Uthibitisho wa kutofautiana kulingana na ufafanuzi.
		Njia induction ya hisabati.
		Utumiaji wa usawa wa classical.
		Mbinu ya picha.
		Njia kinyume.
		Mbinu ya kuzingatia ukosefu wa usawa kuhusiana na mojawapo ya vigezo.
		Wazo la kuimarisha.
		Somo - kudhibiti.

Somo la 1. Utangulizi.

Kuthibitisha ukosefu wa usawa ni mada ya kuvutia na yenye changamoto katika hisabati ya msingi. Ukosefu wa mbinu ya umoja wa tatizo la kuthibitisha usawa husababisha kutafuta mbinu kadhaa zinazofaa kuthibitisha aina fulani za kutofautiana. Kozi hii ya uchaguzi itashughulikia mbinu zifuatazo za kuthibitisha ukosefu wa usawa:

Kurudia:

Thibitisha baadhi ya mali.

Ukosefu wa usawa wa kawaida:

1)
(Ukosefu wa usawa)

2)

3)

4)

Rejeleo la kihistoria:

Ukosefu wa usawa (1) umepewa jina la mwanahisabati Mfaransa Auguste Cauchy. Nambari
kuitwa maana ya hesabu nambari a na b;

nambari inaitwa maana ya kijiometri nambari A na b. Kwa hivyo, kukosekana kwa usawa kunamaanisha kuwa maana ya hesabu ya nambari mbili chanya sio chini ya maana yao ya kijiometri.

Kwa kuongeza:

Fikiria sophisms kadhaa za hisabati na usawa.

Ujanja wa hisabati- taarifa ya kushangaza, uthibitisho ambao huficha makosa yasiyowezekana na wakati mwingine hila kabisa.

Sophism ni matokeo ya uwongo yanayopatikana kupitia hoja ambayo inaonekana tu kuwa sawa, lakini lazima iwe na kosa moja au lingine.

Mfano:

Nne ni zaidi ya kumi na mbili

Somo la 2. Uthibitisho wa kutofautiana kulingana na ufafanuzi.

Kiini cha njia hii ni kama ifuatavyo: ili kubaini uhalali wa kukosekana kwa usawa F(x,y,z)>S(x,y,z) hufanya tofauti F(x,y,z)-S( x,y,z) na uthibitishe kuwa ni chanya. Kutumia njia hii, mara nyingi mtu hutenga mraba, mchemraba wa jumla au tofauti, au mraba usio kamili wa jumla au tofauti. Hii husaidia kuamua ishara ya tofauti.

Mfano. Thibitisha ukosefu wa usawa (x+y)(x+y+2cosx)+2 2 dhambi 2 x

Uthibitisho:

Zingatia tofauti (x+y)(x+y+2cosx)+2- 2sin 2 x =(x+y)(x+y+2cosx)+2cos 2 x=(x+y)(x+y+2cosx ) + cos 2 x +cos 2 x= (x+y) 2 +2(x+y)cosx+ cos 2 x +cos 2 x=((x+y)+cosx) 2 + cos 2 x 0.

Thibitisha ukosefu wa usawa:

1.ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) 6abc

3.

4.
>2x-20

5.

6.(a+b)(b+c)(c+a) 8abc

7.

Somo la 3. Mbinu ya uingizaji wa hisabati.

Wakati wa kuthibitisha usawa unaojumuisha nambari kamili mara nyingi huamua njia ya uingizaji wa hisabati. Mbinu ni kama ifuatavyo:

1) angalia ukweli wa nadharia kwa n = 1;

2) tunachukulia kwamba nadharia ni kweli kwa baadhi ya n=k, na kwa kuzingatia dhana hii tunathibitisha ukweli wa nadharia ya n=k+1;

3) kwa kuzingatia hatua mbili za kwanza na kanuni ya introduktionsutbildning hisabati, tunahitimisha kwamba theorem ni kweli kwa yoyote n.

Mfano.

Thibitisha ukosefu wa usawa

Uthibitisho:

1) kwa n=2 ukosefu wa usawa ni kweli:

2) Acha kukosekana kwa usawa kuwa kweli kwa n=k i.e.
(*)

Hebu tuthibitishe kwamba ukosefu wa usawa ni kweli kwa n=k+1, i.e.
. Hebu tuzidishe pande zote mbili za ukosefu wa usawa (*) kwa
tunapata 3) Kutoka kwa kipengele 1. na kipengele cha 2 tunahitimisha kuwa usawa ni kweli kwa n yoyote.

Kazi za kufanya kazi darasani na nyumbani

Thibitisha ukosefu wa usawa:

1)

2)

3)

4)

Somo la4. Utumiaji wa usawa wa classical.

Kiini cha njia hii ni kama ifuatavyo: kwa kutumia mfululizo wa mabadiliko, usawa unaohitajika unatokana na kutofautiana kwa classical.

Mfano.

Thibitisha ukosefu wa usawa:

Uthibitisho:

Kama marejeleo ya ukosefu wa usawa tunayotumia
.

Wacha tupunguze ukosefu huu wa usawa kwa fomu ifuatayo:

, Kisha

Lakini =
, Kisha

Thibitisha ukosefu wa usawa:

1)(p+2)(q+2)(p+q)16pq (kwa uthibitisho kwamba ukosefu wa usawa umetumika
)

2)
(kwa usawa wa hati hutumika)

3) (a+b)(b+c)(c+a) 8abc (kutokuwepo kwa usawa kunatumika kuthibitisha)

4)
(kwa hati, usawa hutumiwa).

Somo la 5. Mbinu ya picha.

Uthibitisho wa ukosefu wa usawa kwa mbinu ya picha ni kama ifuatavyo: ikiwa tutathibitisha ukosefu wa usawa f(x)>g(x)(f(x)

1) jenga grafu za kazi y=f(x) na y=g(x);

2) ikiwa grafu ya chaguo za kukokotoa y=f(x) iko juu (chini) ya grafu ya chaguo za kukokotoa y=g(x), basi ukosefu wa usawa unaothibitishwa ni kweli.

Mfano.

Thibitisha ukosefu wa usawa:

cosx
,x0

Uthibitisho:

Wacha tujenge grafu za kazi y=cosx na

Ni wazi kutoka kwa grafu kwamba kwa x0 grafu ya chaguo za kukokotoa y=cosx iko juu ya grafu ya chaguo za kukokotoa y=.

Kazi za kufanya kazi darasani na nyumbani.

Thibitisha ukosefu wa usawa:

1)

4)
.

5)

Somo la 6. Njia iliyo kinyume

Kiini cha njia hii ni kama ifuatavyo: basi unahitaji kuthibitisha ukweli wa ukosefu wa usawa F(x,y,z) S(x,y,z)(1). Wanachukulia kinyume, yaani kwamba kwa angalau seti moja ya vigeuzo usawa F(x,y,z) S(x,y,z) (2) ni kweli. Kwa kutumia mali ya kutofautiana, mabadiliko ya usawa (2) yanafanywa. Ikiwa kama matokeo ya mabadiliko haya ukosefu wa usawa wa uwongo hupatikana, basi hii inamaanisha kuwa dhana kwamba ukosefu wa usawa (2) ni kweli sio sahihi, na kwa hivyo usawa (1) ni kweli.

Mfano.

Thibitisha ukosefu wa usawa:

Uthibitisho:

Hebu tuchukue kinyume chake, i.e.

Wacha tuweke pande zote mbili za usawa na tupate , ambayo zaidi

. Lakini hii inapingana na ukosefu wa usawa wa Cauchy. Hii ina maana kwamba dhana yetu si sahihi, yaani, kutokuwa na usawa ni kweli kwa kazi za darasani na nyumbani.

Somo la9. Somo - udhibiti wa maarifa ya wanafunzi.

Somo hili linaweza kufanywa kwa jozi au kama idadi kubwa darasa katika vikundi. Mwishoni mwa somo, kila mwanafunzi lazima apimwe. Hii ndiyo fomu ya mkopo ya kozi hii. Haipendekezi kufanya vipimo juu ya mada hii kwa sababu uthibitisho wa kukosekana kwa usawa, kama ilivyotajwa tayari katika maelezo ya maelezo, ni ya uwanja wa sanaa. Mwanzoni, wanafunzi wanaulizwa kuamua njia ya kuthibitisha usawa uliopendekezwa. Ikiwa wanafunzi wana shida, mwalimu anawaambia njia ya busara, akionya kikundi kwamba hii, bila shaka, itaathiri darasa lao.

Fanya kazi kwa jozi.

Mifano ya kazi.

________________________________________________________________

Thibitisha ukosefu wa usawa:

1.
(njia ya induction ya hisabati)

2.
(kipaumbele)

Moduli. Equations na ukosefu wa usawa na vigezo. ... mali, uundaji na ushahidi nadharia, derivation ya fomula... rahisi zaidi ukosefu wa usawa. 7. Jua jinsi ya kutumia njia vipindi...

Fungua mpango wa Olympiad na mahitaji ya maandalizi ya hisabati kwa wanafunzi wa darasa la 9

Mpango

Dhana moduli nambari halisi. Hesabu na ufafanuzi wa kijiometri moduli. Ufichuzi moduli. ... ukosefu wa usawa. Ushahidi ukosefu wa usawa. Kutatua matatizo ya kimantiki ya mstari, ya quadratic, ya sehemu ukosefu wa usawa yenye kigezo kimoja. Suluhisho ukosefu wa usawa ...

Programu ya kuchaguliwa katika hisabati kwa daraja la 8

Mpango

Onyesha mbinu ushahidi ngumu zaidi kidogo ukosefu wa usawa na hii rahisi ukosefu wa usawa? Kwa hiyo, katika uwaziri huu programu ...

Taasisi ya elimu: Taasisi ya Elimu ya Manispaa Lyceum No. 1, Komsomolsk-on-Amur

Mkuu: Budlyanskaya Natalya Leonidovna

Ikiwa ungependa kushiriki katika maisha makubwa, kisha jaza kichwa chako na hisabati wakati una nafasi. Kisha atakupa msaada mkubwa katika kazi zako zote. (M.I. Kalinin)

Uwakilishi wa upande wa kushoto wa ukosefu wa usawa kama jumla ya maneno yasiyo hasi (upande wa kulia ni 0) kwa kutumia vitambulisho.

Mfano 1. Thibitisha hilo kwa xϵR yoyote

Ushahidi . 1 njia.

Mbinu 2.

kwa kazi ya quadratic

ambayo ina maana chanya yake kwa yoyote halisi X.

Mfano 2. Thibitisha hilo kwa x na y yoyote

Ushahidi.

Mfano 3. Thibitisha hilo

Ushahidi.

Mfano 4. Thibitisha hilo kwa yoyote a na b

Ushahidi.

2. Njia ya kinyume

Hapa kuna mfano mzuri wa kutumia njia hii.

Thibitisha hilo kwa a, b ϵ R.

Ushahidi.

Hebu kujifanya hivyo.

Lakini hii inathibitisha wazi kwamba dhana yetu si sahihi.

C.T.D.

Mfano 5.Thibitisha kuwa kwa nambari zozote A, B, C ukosefu wa usawa ufuatao ni kweli:

Ushahidi. Kwa wazi, inatosha kuanzisha usawa huu kwa wasio hasi A, B Na NA, kwani tutakuwa na uhusiano ufuatao:

, ambayo ndiyo sababu ya ukosefu wa usawa wa awali .

Sasa iwe na nambari zisizo hasi kama hizo A, B Na NA, ambayo ukosefu wa usawa unashikilia

, ambayo haiwezekani chini ya ukweli wowote A, B Na NA. Dhana iliyotolewa hapo juu inakanushwa, ambayo inathibitishwa na ukosefu wa usawa wa awali chini ya utafiti.

Kutumia mali ya trinomial ya quadratic

Njia hiyo inategemea mali ya kutokuwa na hasi ya trinomial ya quadratic ikiwa

Na.

Mfano 6. Thibitisha hilo

Ushahidi.

Wacha iwe, a=2, 2>0

=>

Mfano 7. Thibitisha kuwa kwa x yoyote halisi na y ukosefu wa usawa unashikilia

Ushahidi. Fikiria upande wa kushoto wa ukosefu wa usawa kama trinomial ya quadratic kwa heshima na X:

, a>0, D

D= => P(x)>0 Na

kweli kwa maadili yoyote halisi X Na u.

Mfano 8. Thibitisha hilo

kwa maadili yoyote halisi ya x na y.

Ushahidi. Hebu ,

Hii ina maana kwamba kwa kweli yoyote katika na ukosefu wa usawa

ni kuridhika kwa yoyote halisi X Na u.

Mbinu ya kutambulisha viambajengo vipya au mbinu mbadala

Mfano 9. Thibitisha hilo kwa nambari zozote zisizo hasi x, y, z

Ushahidi. Wacha tutumie usawa sahihi kwa,

.

Tunapata ukosefu wa usawa chini ya utafiti

Kutumia sifa za kazi.

Mfano 10. Hebu tuthibitishe ukosefu wa usawa

kwa yoyote a na b.

Ushahidi. Wacha tuchunguze kesi 2:

• Ikiwa a=b basi ni kweli

Zaidi ya hayo, usawa unapatikana tu wakati a=b=0.

2)Kama

, kwenye R =>

()* ()>0, ambayo inathibitisha ukosefu wa usawa

Mfano 11. Wacha tuthibitishe hilo kwa yoyote

Ushahidi.

juu ya R.

Ikiwa, basi ishara za nambari zinapatana, ambayo ina maana tofauti chini ya utafiti ni chanya =>

Utumiaji wa njia ya induction ya hisabati

Njia hii hutumiwa kuthibitisha usawa kuhusu idadi ya asili.

Mfano 12. Thibitisha hilo kwa nϵN yoyote

• Hebu tuangalie ukweli wa taarifa lini

- (haki)

2) Chukulia ukweli wa kauli wakati

(k>1)

3) Hebu tuthibitishe ukweli wa kauli hiyo wakati n=k+1.

Wacha tulinganishe na:

Tuna:

Hitimisho: taarifa hiyo ni kweli kwa mtu yeyote nϵN.

Kutumia usawa wa ajabu

• Nadharia ya wastani (kukosekana kwa usawa wa Cauchy)

• Ukosefu wa usawa wa Cauchy-Bunyakovsky

• Ukosefu wa usawa wa Bernoulli

Wacha tuzingatie kila moja ya usawa ulioorodheshwa kando.

Utumiaji wa nadharia ya thamani ya wastani (Usawa wa Cauchy)

Maana ya hesabu ya nambari kadhaa zisizo hasi ni kubwa kuliko au sawa na maana yao ya kijiometri

, Wapi

Ishara sawa hupatikana ikiwa na tu ikiwa

Wacha tuchunguze kesi maalum za nadharia hii:

• Hebu n=2, basi

• Hebu n=2, a>0, basi

• Hebu n=3, basi

Mfano 13. Thibitisha kwamba kwa wote wasio hasi a,b,c kuna ukosefu wa usawa

Ushahidi.

Cauchy-Bunyakovsky usawa

Ukosefu wa usawa wa Cauchy-Bunyakovsky unasema kwamba kwa yoyote; uwiano ni halali

Usawa uliothibitishwa una tafsiri ya kijiometri. Kwa n = 2,3 inaelezea ukweli unaojulikana kuwa bidhaa za scalar za vectors mbili kwenye ndege na katika nafasi hazizidi bidhaa za urefu wao. Kwa n=2 ukosefu wa usawa una fomu: . Kwa n=3 tunapata

Mfano 14.

Ushahidi. Hebu tuandike ukosefu wa usawa chini ya utafiti fomu ifuatayo:

Hii ni ukosefu wa usawa wa kweli, kwani ni kesi maalum ya usawa wa Cauchy-Bunyakovsky.

Mfano 15. Thibitisha kwamba kwa yoyote a,b,c ϵ R usawa ufuatao unashikilia:

Ushahidi. Inatosha kuandika usawa huu katika fomu

na rejea usawa wa Cauchy–Bunyakovsky.

Ukosefu wa usawa wa Bernoulli

Ukosefu wa usawa wa Bernoulli unasema kwamba ikiwa x> -1, basi kwa maadili yote ya asili ya n usawa ufuatao unashikilia:

Ukosefu wa usawa unaweza kutumika kwa maneno ya fomu

Kwa kuongeza, kikundi kikubwa sana cha kutofautiana kinaweza kuthibitishwa kwa urahisi kwa kutumia nadharia ya Bernoulli.

Mfano 16.

Ushahidi. Kuweka x=0.5 na kutumia nadharia ya Bernoulli kueleza

Tunapata usawa unaohitajika.

Mfano 17. Thibitisha kuwa kwa n $ yoyote $ \ N

Ushahidi.

na nadharia ya Bernoulli, kama inavyotakiwa.

David Gilbert aliulizwa kuhusu moja yake wanafunzi wa zamani. "Ah, hivi na hivi?" Hilbert alikumbuka "Alikua mshairi.

Lengo lako:kujua mbinu za kuthibitisha ukosefu wa usawa na kuweza kuzitumia.

Sehemu ya vitendo

Dhana ya uthibitisho wa usawa . Baadhi ya kukosekana kwa usawa hugeuka kuwa usawa wa kweli wa nambari kwa wote maadili yanayokubalika vigezo au kwa baadhi ya seti fulani ya maadili kutofautiana. Kwa mfano, usawa A 2³0, ( A–b) 2³ 0 ,a 2 +b 2 +c 2 " ³ 0 ni kweli kwa thamani zozote halisi za vigeu, na ukosefu wa usawa ³ 0 – kwa maadili yoyote halisi yasiyo hasi A. Wakati mwingine tatizo la kuthibitisha ukosefu wa usawa hutokea.

Ili kudhibitisha ukosefu wa usawa inamaanisha kuonyesha kuwa ukosefu wa usawa unabadilika kuwa usawa wa kweli wa nambari kwa maadili yote yanayokubalika ya anuwai au kwa seti fulani ya maadili ya anuwai hizi.

Mbinu za kuthibitisha usawa. taarifa, hiyo njia ya jumla hakuna uthibitisho wa kutofautiana. Hata hivyo, baadhi yao yanaweza kutajwa.

1. Njia ya kukadiria ishara ya tofauti kati ya pande za kushoto na kulia za usawa. Tofauti kati ya pande za kushoto na kulia za kukosekana kwa usawa imeundwa na imeanzishwa ikiwa tofauti hii ni chanya au hasi kwa maadili yanayozingatiwa ya anuwai (kwa usawa usio na usawa ni muhimu kujua ikiwa tofauti hii sio - hasi au isiyo chanya).

Mfano 1. Kwa nambari yoyote halisi A Na b kuna ukosefu wa usawa

a 2 +b 2³ 2 ab. (1)

Ushahidi. Wacha tufanye tofauti kati ya pande za kushoto na kulia za usawa:

a 2 +b 2 – 2ab = a 2 – 2ab + b 2 = (a–b) 2 .

Kwa kuwa mraba wa nambari yoyote halisi ni nambari isiyo hasi, basi ( a–b) 2 ³ 0, ambayo ina maana a 2 +b 2³ 2 ab kwa nambari yoyote halisi A Na b. Usawa katika (1) hutokea ikiwa na iwapo tu a = b.

Mfano 2. Thibitisha kwamba ikiwa A³ 0 na b³ 0, kisha ³ , i.e. maana ya hesabu ya nambari halisi zisizo hasi A Na b si chini ya maana yao ya kijiometri.

Ushahidi. Kama A³ 0 na b³ 0, basi

³ 0. Kwa hivyo, ³ .

2. Mbinu ya kupunguza ushahidi wa kutofautiana. Kiini cha njia hii ni kama ifuatavyo: kwa kutumia mfululizo wa mabadiliko, usawa unaohitajika unatokana na kutofautiana (rejea) inayojulikana. Kwa mfano, ukosefu wa usawa ufuatao unaweza kutumika kama marejeleo: A 2³ 0 kwa yoyote aÎ R ; (a–b) 2 ³ 0 kwa yoyote A Na bÎ R ; (A 2 + b 2) ³ 2 ab kwa yoyote a, bÎ R ; ³ saa A ³ 0, b ³ 0.

Mfano 3. Thibitisha hilo kwa nambari yoyote halisi A Na b kuna ukosefu wa usawa

A 2 + b 2 + Na 2³ ab + bc + ac.

Ushahidi. Kutoka kwa usawa wa kweli ( a–b) 2³ 0, ( b – c) 2³ 0 na ( c – a) 2 ³ 0 inafuata hivyo A 2 + b 2³ 2 ab, b 2 + c 2³ 2 bc, c 2 + a 2³ 2 ac. Kuongeza ukosefu wote wa usawa tatu kwa muhula na kugawanya pande zote mbili za mpya na 2, tunapata ukosefu wa usawa unaohitajika.

Ukosefu wa usawa wa asili unaweza kuthibitishwa kwa kutumia njia ya kwanza. Hakika, A 2 + b 2 + Na 2 –ab – bc – ac = 0,5(2A 2 + 2b 2 + 2Na 2 – 2ab - 2bc - 2ac) = = 0,5((a–b) 2 + (a-c) 2 + (b-c) 2)³ 0.

Tofauti kati ya A 2 + b 2 + Na 2 na ab + bc + ac kubwa kuliko au sawa na sifuri, ambayo ina maana kwamba A 2 + b 2 + Na 2³ ab + bc + ac(usawa ni kweli ikiwa na tu ikiwa a = b = c).

3. Mbinu ya makadirio ya kuthibitisha ukosefu wa usawa.

Mfano 4. Thibitisha usawa

+ + + … + >

Ushahidi. Ni rahisi kuona kwamba upande wa kushoto wa usawa una maneno 100, ambayo kila moja sio chini. Katika kesi hii, wanasema kwamba upande wa kushoto wa usawa unaweza kukadiriwa kutoka chini kama ifuatavyo:

+ + + … + > = 100 = .

4. Mbinu kamili ya induction. Kiini cha njia ni kuzingatia kesi zote maalum zinazofunika hali ya tatizo kwa ujumla.

Mfano 5. Thibitisha kwamba ikiwa x > ï katikaï , Hiyo x > y.

Ushahidi. Kuna kesi mbili zinazowezekana:

A) katika³ 0 ; basi katikaï = y, na kwa masharti x >ï katikaï . Ina maana, x > y;

b) katika< 0; basi katikaï > y na kwa masharti x >ï katikaï maana yake x > y.

Sehemu ya vitendo

Kazi 0. Chukua Karatasi tupu karatasi na juu yake andika majibu ya mazoezi yote ya mdomo yaliyotolewa hapa chini. Kisha angalia majibu yako dhidi ya majibu au maagizo ya muhtasari mwishoni mwa hili kipengele cha elimu katika sehemu ya "Mratibu Wako".

Mazoezi ya mdomo

1. Linganisha jumla ya miraba ya nambari mbili zisizo sawa na bidhaa zao mbili.

2. Thibitisha ukosefu wa usawa:

A) ;

b) ;

V) ;

3. Inajulikana kuwa. Thibitisha hilo.

4. Inajulikana kuwa. Thibitisha hilo.

Zoezi 1. Hiyo zaidi:

a) 2 + 11 au 9; d) + au;

b) au +; e) - au;

c) + au 2; e) + 2 au + ?

Jukumu la 2. Thibitisha hilo kwa ukweli wowote x kuna ukosefu wa usawa:

a) 3( x+ 1) + x– 4(2 + x) < 0; г) 4x 2 + 1³ 4 x;

b) ( x+ 2)(x+ 4) > (x+ 1)(x+ 5); e) ³ 2 x;

V) ( x– 2) 2 > x(x- 4); e) l + 2 x 4 > x 2 + 2x 3 .

Jukumu la 3. Thibitisha kwamba:

A) x 3 + 1³ x 2 + x, Kama x³ -1;

b) x 3 + 1 £ x 2 + x, Kama x£ -1 .

Jukumu la 4. Thibitisha kwamba ikiwa a ³ 0, b³ 0, Na³ 0, d³ 0, basi

(a 2 + b 2)(c 2 + d 2) ³ ( ac + bd) 2 .

Jukumu la 5. Thibitisha ukosefu wa usawa kwa kujitenga mraba kamili:

A) x 2 – 2xy + 9y 2³ 0;

b) x 2 + y 2 + 2³2( x+y);

saa 10 x 2 + 10xy + 5y 2 + 1 > 0;

G) x 2 – xy + y 2³ 0 ;

d) x 2 + y 2 + z 2 + 3³ 2( x + y + z);

e) ( x+ l)( x - 2y + l) + y 2³ 0 .

Jukumu la 6. Thibitisha kwamba:

A) x 2 + 2y 2 + 2xy + 6y+ l0 > 0 ;

b) x 2 + y 2 – 2xy + 2x – 2katika + 1 > 0;

saa 3 x 2 + y 2 + 8x+ 4y - 2xy + 22³ 0;

G) x 2 + 2xy+ 3y 2 + 2x + 6y + 3 > 0.

Jukumu la 7. Thibitisha kwamba ikiwa n³ k³ 1, basi k(n–k+ 1) ³ n.

Jukumu la 8. Thibitisha kwamba ikiwa 4 A + 2b= 1, basi a 2 + b 2³ .

Bainisha Maadili A Na b, ambapo usawa hutokea.

Kazi ya 9. Thibitisha ukosefu wa usawa:

A) X 3 + katika 3³ X 2 katika + xy 2 kwa x³ 0 na y ³ 0;

b) X 4 + katika 4³ X 3 katika + xy 3 kwa yoyote x Na katika;

V) X 5 + katika 5³ X 4 katika + xy 4 kwa x³ 0 na y ³ 0;

G) x n + y n ³ x n-1 mwaka + xy n-1 kwa x³ 0 na y ³ 0.

Nakala

1 CHUO KIKUU CHA FETROZAVODSK KITIVO CHA HISABATI NA TEKNOLOJIA YA HABARI Idara ya Jiometri na Topolojia Elizaveta Sergeevna Khaltsenen Kazi ya mwisho ya kufuzu kwa shahada ya kwanza Mbinu za kuthibitisha ukosefu wa usawa Mwelekeo: "0.03.0" "Mathematics, Doctors Fizikia na Sayansi ya Hisabati" Sayansi, Platonov S.S. (saini ya meneja) Petrozavodsk

2 Yaliyomo Utangulizi...3 Kukosekana kwa usawa kwa Jensen Kubadilisha usawa Kukosekana kwa usawa kwa Karamata Kutatua matatizo ili kuthibitisha ukosefu wa usawa...3 Marejeleo.

3 Utangulizi Mbinu ni seti ya vitendo vya kufuatana vinavyolenga kutatua aina mahususi ya tatizo. Njia za kuthibitisha usawa katika kazi hii zinalenga kutafuta suluhisho isiyo ya kawaida kutokuwa na usawa aina fulani. Kutumia njia hizo, suluhisho hupunguzwa kwa kiasi kikubwa. Matokeo yake ni sawa, lakini kiasi cha kazi ni kidogo. Kusudi kazi ya mwisho ilianza utafiti wa aina tatu za kutofautiana kwa msaada ambao wengine wengi wanaweza kuthibitishwa kwa urahisi. Hizi ni ukosefu wa usawa wa Jensen, usawa wa mabadiliko, ukosefu wa usawa wa Karamata. Ukosefu huu wote ni mzuri wa hisabati; kwa msaada wa usawa huu unaweza kutatua kutofautiana kwa shule. Mada hii ni muhimu. Kwa maoni yangu, inaweza kuwa na manufaa kwa watoto wa shule, ikiwa ni pamoja na kuboresha ujuzi wao katika uwanja wa hisabati. Kwa kuwa mbinu hizo si za kawaida, nadhani wanafunzi walio na mwelekeo wa hisabati wangeziona kuwa muhimu na za kufurahisha. Kazi ni kutafuta na kutatua kutofautiana kwa mada kutoka kwa fasihi iliyopendekezwa. Kazi hiyo ina aya nne. Sehemu inaelezea ukosefu wa usawa wa Jensen, inatoa uthibitisho na ufafanuzi wake msaidizi. Sehemu ya 2 ina ukosefu wa usawa wa mabadiliko, kesi zake maalum na usawa wa jumla wa ubadilishanaji. Katika aya ya 3, ukosefu wa usawa wa Karamata hauna uthibitisho. Kifungu cha 4 ni kazi kuu ya kazi ya mwisho, i.e. uthibitisho wa ukosefu wa usawa kwa kutumia ukosefu wa usawa wa Jensen, usawa wa mabadiliko na ukosefu wa usawa wa Karamata.

4 . Ufafanuzi wa ukosefu wa usawa wa Jensen. Sehemu ndogo ya ndege inaitwa convex ikiwa pointi mbili za seti fulani zinaweza kuunganishwa na sehemu ambayo itakuwa kabisa katika seti hii. Ufafanuzi 2. Acha f(x) ifafanuliwe kwa muda fulani. Seti ya pointi zote (x, y) ambayo y f(x) inaitwa epigraph, ambapo x ni ya muda fulani. Seti ya pointi (x,y) ambayo y f(x) inaitwa taswira ndogo. Ufafanuzi 3. Fikiria chaguo la kukokotoa kwa muda fulani. Chaguo za kukokotoa huitwa convex ikiwa kwa muda huu epigrafu yake ni seti mbonyeo. Chaguo za kukokotoa huitwa concave ikiwa sehemu yake ndogo ni seti mbonyeo. Kigezo cha kukokotoa (concavity) ya chaguo za kukokotoa. Ili kitendakazi y = f(x), kinachoweza kutofautishwa kwa muda (a, b), kuwa mbonyeo (concave) kwenye (a, b), ni muhimu na inatosha kwamba derivative yake f huongezeka (hupungua) kwa muda (a , b). Kigezo cha 2 cha kukokotoa (concavity) ya chaguo za kukokotoa. Ili kitendakazi y = f(x), kiweze kutofautishwa mara mbili kwa muda (a, b), kuwa mbonyeo (concave) kwenye (a, b), ni muhimu na inatosha kwamba f (x) 0(f () x) 0 ) kwa pointi zote x (a, b) Ufafanuzi 4. Kiini cha wingi wa pointi A(x, y) na B(x 2, y 2) ni nukta C(x, y) inayomilikiwa na sehemu hiyo. AB, kiasi kwamba AC = m B, ambapo m BC m B ni wingi A wa uhakika B na m A ni wingi wa uhakika A. Katika fomu ya vekta, katikati ya molekuli hupatikana kama ifuatavyo: vekta ya radius ya katikati ya wingi: ambapo r i ni vector ya radius ya pointi A na B, i =,2. Katika kuratibu: r = m r +m 2 r 2 m +m 2 () x = m x +m 2 x 2 m +m 2, y = m y +m 2 y 2 m +m 2-4 -

5 Acha C AB iwe kitovu cha wingi wa pointi A na B. Ikiwa U ni sehemu ndogo ya ndege na pointi A na B ni za U, basi C AB ni ya U, kwa kuwa C AB ni ya sehemu ya AB. Acha A, A 2 A pointi holela kwenye ndege yenye wingi m, m 2, m. Katikati ya molekuli C A, A 2 A ya mfumo wa pointi A, A 2 A imedhamiriwa na induction na :) Katika = 2 katikati ya molekuli C A A 2 ya mfumo wa pointi A, A 2 tayari imedhamiriwa. Tutafikiri kwamba hatua C A A 2 ina wingi m + m 2 2) Hebu tuchukue kwamba kwa mfumo wa pointi A, A 2 A katikati ya molekuli c A, A 2 A tayari imedhamiriwa. Hebu tuonyeshe katikati ya wingi wa pointi A, A 2 A na B na kudhani kuwa wingi wa uhakika B ni sawa na m B = m + m m. Kwa ufafanuzi, tunadhani C A, A 2 A = C BA, i.e. katikati ya wingi wa mfumo wa pointi A, A 2 A, A ni sawa na katikati ya wingi wa pointi mbili B na A. Tutafikiri kwamba wingi wa hatua C A, A 2 A ni sawa na m B + m. = m + m m. Kutoka kwa ufafanuzi wa katikati ya misa inafuata kwamba ikiwa pointi zote A, A 2 A ni za seti ya convex U, basi katikati yao ya molekuli pia ni ya U. Lemma. Acha A, A 2 A ziwe pointi kwenye ndege yenye wingi wa m, m 2, m na iwe vekta ya radius ya uhakika A i, i =,. Ikiwa C ni katikati ya wingi wa mfumo wa pointi A, A 2 A, basi vector ya radius r C ya uhakika C inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula Uthibitisho. r C = m r +m 2 r 2 + +m r m +m 2 + +m (2) Tutathibitisha fomula (2) kwa kuingizwa kwenye. Kwa = 2, fomula tayari imethibitishwa (tazama fomula ()). Hebu tuchukulie kwamba fomula (2) tayari imethibitishwa kwa (). Hebu B iwe katikati ya wingi wa mfumo wa pointi A, A 2 A. Kisha - 5 -

6 r B = m r + m 2 r m r m + m m, wingi wa uhakika B ni sawa na m B = m + m m. Kwa ufafanuzi, katikati ya molekuli C ya mfumo wa pointi A, A 2 A inafanana na katikati ya wingi wa jozi ya pointi B na A. Vector ya radius ya uhakika C imehesabiwa na formula () r C = m. Br B + m r m B + m = m r + m 2 r m r m + m m ambayo inathibitisha formula (2) kwa pointi. Katika kuratibu, fomula (2) ina fomu: x C = m x + m 2 x m k x k m + m m k y C = m y + m 2 y m k y k m + m m k "Nadharia ya Jensen. Acha y = f(x) iwe kazi ya mbonyeo kwa muda fulani, x, x 2, x - nambari kutoka kwa muda huu; nambari chanya, kukidhi hali m + m m =. Kisha kutokuwepo kwa usawa kwa Jensen kunashikilia: f(m x + m 2 x m x) m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f(x) Ikiwa chaguo za kukokotoa y = f(x) ni concave kwa muda fulani, x, x 2 , x - nambari kutoka kwa muda huu; m, m 2, m ni nambari nzuri ambazo pia zinakidhi hali ya m + m =. Kisha ukosefu wa usawa wa Jensen una fomu: f(m x + m 2 x m x) m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f(x)" Uthibitisho: Zingatia chaguo la kukokotoa f(x) convex kwenye muda (a, b) . Kwenye grafu yake, fikiria pointi A, A 2, A na basi A i = (x i, y i), y i = f (x i). Hebu tuchukue raia wa kiholela m, m 2, m kwa pointi A, A 2, A, ili m + m m =. Kutoka kwa ukweli kwamba f(x) ni kitendakazi cha mbonyeo inafuata kwamba - 6 -

7 kwamba epigrafu ya chaguo za kukokotoa ni seti mbonyeo. Kwa hiyo, katikati ya wingi wa pointi A, A 2, A ni ya epigraph. Hebu tupate kuratibu za katikati ya wingi: x c = m x + m 2 x m x m + m m = m x + m 2 x m x y c = m y + m 2 y m y m + m m = m f (x) + m 2 f (x 2) + + m f( x) Kwa kuwa C ni ya epigraph, basi tunapata h.t.d. y c f(x c) m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f(x) f(m x + m 2 x m x) Kwa kutumia ukosefu wa usawa wa Jensen, tunaweza kuthibitisha ukosefu wa usawa wa Cauchy: Kwa nambari zozote chanya a, a 2, a. , ukosefu wa usawa ufuatao unashikilia: (a + a) a a 2 a Hebu tuchukue logariti ya ukosefu wa usawa (3), tunapata usawa sawa(3) l (a +a 2 + +a) l(a a 2 a) (4) Kwa kutumia sifa za logariti, tunaandika upya ukosefu wa usawa (4) katika umbo: l (a +a 2 + +a) l a + l a l a (5) Ukosefu wa usawa unaosababishwa ni kesi maalum ya kutofautiana kwa Jensen kwa kesi wakati f(x) = l(x), m = m 2 = = m =. Kumbuka kuwa chaguo la kukokotoa y = l(x) ni laini kwa muda (0, +), kwani y =< 0, поэтому неравенство (5) есть kesi maalum ukosefu wa usawa x2-7 -

8 Jensen kwa kitendakazi cha concave f(x) = l(x). Kwa kuwa ukosefu wa usawa (5) ni kweli, basi usawa sawa (3) pia ni kweli 2. Ukosefu wa usawa wa kubadilisha Ufafanuzi. Mawasiliano ya moja kwa moja kati ya seti ya nambari (,2,3,) na yenyewe inaitwa ruhusa ya vipengele. Wacha tuonyeshe idhini ya herufi σ (), σ (2), σ (3) σ () ni nambari, 2,3, kwa mpangilio tofauti. Fikiria seti mbili za nambari a, a 2, a na b, b 2, b. Seti a, a 2, a na b, b 2, b huitwa kwa mpangilio sawa ikiwa kwa nambari yoyote i na j, kutokana na ukweli kwamba a i a j inafuata kwamba b i b j. Hasa, idadi kubwa zaidi kutoka kwa seti a, a 2, a inalingana na nambari kubwa zaidi kutoka kwa seti ya b, b 2, b, kwa nambari ya pili kubwa kutoka kwa seti ya kwanza kuna nambari ya pili kubwa kutoka kwa seti ya pili, na kadhalika. Seti a, a 2, a na b, b 2, b huitwa kwa mpangilio tofauti ikiwa, kwa nambari yoyote i na j, kutokana na ukweli kwamba a i a j inafuata kwamba b i b j. Inafuata kutoka kwa hii kwamba nambari kubwa zaidi kutoka kwa seti a, 2, a inalingana nambari ndogo zaidi kutoka kwa seti ya b, b 2, b, nambari ya pili kubwa kutoka kwa seti a, a 2, a inalingana na nambari ndogo ya pili kutoka kwa seti ya b, b 2, b, na kadhalika. Mfano.) Hebu seti mbili zitolewe hivi kwamba a 2 a na b b 2 b, kisha kulingana na ufafanuzi tuliotoa seti hizi zimepangwa kwa usawa. 2) Acha seti mbili zitolewe ili a 2 a na b b 2 b, katika hali ambayo seti za nambari a, a 2, a na b, b 2, b zitapangwa kinyume kila mahali hapa chini, a, a 2. a na b, b 2 , b - nambari halisi chanya "Theorem. (Kutofautiana kwa usawa) Acha kuwe na seti mbili za nambari a, a 2, a na b, b 2, b. Hebu tuchunguze mengi ya vibali vyao mbalimbali. Halafu thamani ya usemi ni - 8 -

9 S = a b σ + a 2 b σ2 + + a b σ () itakuwa kubwa zaidi wakati seti a, a 2, a na b, b 2, b zimepangwa kwa usawa, na ndogo zaidi wakati a, a 2, a na b , b 2, b zimepangwa kinyume. Kwa vibali vingine vyote, jumla ya S itakuwa kati ya thamani ndogo na kubwa zaidi." Mfano. Kwa mujibu wa nadharia a b + b c + c a 3, kwa kuwa seti a, b, c na a, b, c imepangwa kinyume na thamani ya a + b b + c c = 3 itakuwa ndogo zaidi. Uthibitisho wa nadharia. Fikiria seti mbili za nambari: ya kwanza a, a 2, a na ya pili b, b 2, b. Wacha tufikirie kuwa seti hizi hazijaamriwa kwa njia ile ile. Kuna fahirisi i na k vile kwamba a i > a k na b k > b i. Wacha tubadilishane nambari b k na b i katika seti ya pili (mabadiliko haya yanaitwa "kupanga"). Kisha katika jumla S masharti a i b i na k b k yatabadilishwa na a i b k na k b i, na masharti mengine yote yatabaki bila kubadilika. Kumbuka kwamba a i b i + a k b k< a i b k + a k b i, так как (a i b i + a k b k) (a i b k + a k b i) = a i (b i b k) a k (b i b k) = (a i a k)(b i b k) < 0 Поэтому сумма Sувеличится. Выполняем сортировку пока это возможно. Если процесс прекратился, то это означает, что мы получили правильный порядок, а это и есть thamani ya juu. Thamani ndogo zaidi hupatikana kwa njia ile ile, tunapanga tu hadi seti ziagizwe. Mwisho tutakuja thamani ya chini. “Nadharia 2. Fikiria seti mbili chanya a, a 2, a 3 a na b, b 2, b 3 b na vibali vyake vyote vinavyowezekana. Kisha thamani ya bidhaa (a i + b σ(i)) itakuwa kubwa zaidi wakati seti a, a 2, a 3 a na b, b 2, b 3 b zimepangwa kwa usawa, na angalau wakati zimepangwa kinyume.

10 Nadharia 3. Fikiria seti mbili a, a 2, a 3 a na b, b 2, b 3 b vipengele vya seti hii ni chanya. Kisha thamani () a i + b σ(i) itakuwa kubwa zaidi wakati seti a, a 2, a 3 a na b, b 2, b 3 b zimepangwa kwa usawa na angalau zinapopangwa kinyume. Nadharia 2 na 3 ni kesi maalum za zaidi nadharia ya jumla, ambayo inajadiliwa hapa chini. Ukosefu wa usawa wa jumla wa mabadiliko “Nadharia ya 4 (Usawa wa jumla wa mabadiliko). Acha chaguo la kukokotoa f liwe endelevu na lifanane kwa muda fulani katika R. Kisha kwa seti zozote za nambari a, a 2, a 3 a na b, b 2, b 3 b kutoka kwa muda thamani ya usemi f (a + b) σ()) + f ( a 2 + b σ(2)) + f (a + b σ()) itakuwa kubwa zaidi wakati seti zimepangwa kwa usawa na ndogo zaidi wakati seti zimepangwa kinyume. Nadharia ya 5. Acha chaguo la kukokotoa f liendelee na libadilike kwa muda fulani katika R Kisha: thamani ya usemi f (a + b σ()) + f (a 2 + b σ(2)) + f (a + b σ()) itakuwa kubwa zaidi nambari zitakapopangwa kinyume na kuwa ndogo zaidi wakati seti a, a 2, a 3 a na b, b 2, b 3 b zimepangwa kwa usawa. Uthibitisho.") Fikiria kesi = 2. Acha kitendakazi f kiwe cha kukokotoa na kuna seti mbili a > a 2 na b > b 2. Tunahitaji kuthibitisha kwamba Hebu tuashiria f(a + b) + f(a 2 +) b 2) f(a + b 2) + f(a 2 + b) (2) x = a + b 2, k = a 2, m = b b 2. Kisha - 0 -

11 a + b 2 = x + k, a 2 + b = x + m, a + b = x + k + m, kwa hiyo kutofautiana (2) inachukua fomu f(x + k + m) + f(x + k ) f(x + k) + f(x + m) (3) Ili kuthibitisha ukosefu wa usawa, tutatumia kielelezo kinaonyesha grafu ya kitendakazi cha mbonyeo y = f(x) na pointi A(x , f(x)), C(x) zimetiwa alama kwenye jedwali + k, f(x + k)), D(x + m, f(x + m)), B (x + k + m, f (x + k + m)). na kuwasha Kutoka kwa mnyumbuliko wa kitendakazi f inafuata kwamba chord CD iko chini ya chord AB. Acha K iwe katikati ya chord CD, MZ katikati ya chord AB. Kumbuka kwamba abscissas ya pointi K na M ni sawa, tangu x k = 2 ((x + k) + (x + m)) = (2x + k + m) 2 x m = 2 (x + (x + k +) m) ) = (2x + k + m) 2 Kwa hiyo, pointi K na M ziko kwenye mstari wa wima sawa, ambayo ina maana kwamba y m y k. --

12 Kwa kuwa y m = (f(x) + f(x + k + m)) 2 y k = (f(x + k) + f(x + m)) 2 Hii inaashiria ukosefu wa usawa (3) na (2). Q.E.D. 2) Hebu > 2. Tuseme kwamba seti a, a 2, a 3 a na b, b 2, b 3 b hazijaamriwa kwa njia sawa, i.e. kuna fahirisi i na k vile kwamba a i > a k na b i< b k. Поменяем во втором наборе числа b i и b k местами. Тогда в сумме S слагаемые f(a i + b i) и f(a k + b k) заменятся на f(a i + b k) и f(a k + b i), а все остальные слагаемые останутся без изменений. Из неравенства (2) вытекает, что поэтому сумма S увеличится. f(a i + b k) + f(a k + b i) f(a i + b i) + f(a k + b k) Аналогично можно продолжать сортировку до тех пор, пока не получим одинаково упорядоченные наборы. Полученное значение суммы S будет наибольшим, что и требовалось доказать. Теорема 5 доказывается аналогично. 3. Неравенство Караматы Определение. Невозрастающий набор чисел X = (x, x 2, x) мажорирует невозрастающий набор чисел Y = (y, y 2, y) если выполнены условия x + x x k y + y y k и x + x x = y + y y. Для k =,2 и положительных чисел x, x 2, x и y, y 2, y. Обозначение X Y, если X можарирует Y и X Y, если Y можарирует X. Например. (,0,0,0, 0) (2, 2, 0,0,0, 0) (,) - 2 -

13 Ikiwa x, x 2, x ni nambari chanya, i= x i =, basi (,) (x, x 2, x) (,0,0,0, 0) “Nadharia (Kukosekana kwa Usawa wa Karamata) Hebu f: (a , b ) R, f ni kitendakazi cha mbonyeo x, x 2, x, y, y 2, y (a, b) na (x, x 2, x) (y, y 2, y), kisha f(x ) + f(x 2) + f(x) f(y) + f(y 2) + f(y). Ikiwa f ni kitendakazi cha concave, basi f(x) + f(x 2) + f(x) f(y) + f(y 2) + f(y).” Kwa uthibitisho, ona. 4. Kutatua matatizo ili kuthibitisha ukosefu wa usawa. Sehemu hii inachunguza matatizo mbalimbali ya kuthibitisha ukosefu wa usawa, ambayo suluhisho lake linaweza kutatuliwa kwa kutumia ukosefu wa usawa wa Jensen, utofauti wa mabadiliko, au ukosefu wa usawa wa Karamata. Zoezi. Thibitisha ukosefu wa usawa ambapo x, x 2, x > 0 Acha x + x 2 + x + x x 2 x, f(x) = +x, m i = f(x) = (+ x) f(x) = (+ x ) 2 f(x) = 2(+ x) 3 > 0, x Kisha inafuata kutokana na ukosefu wa usawa wa Jensen kwamba - 3 -

14 Hebu tuthibitishe kwamba i= + x i + x x 2 x + x +x 2 + +x Hii ni kweli ikiwa na ikiwa tu + x x 2 x + x + x x + x x 2 x x + x x x 2 x Na ukosefu wa usawa wa mwisho unaambatana na ukosefu wa usawa Cauchy. Kazi ya 2. Thibitisha kwamba kwa yoyote a, b > 0 ukosefu wa usawa ufuatao ni kweli: 2 a + b ab Hii ni sawa na ukosefu wa usawa 2ab a + b ab 2ab ab(a + b) 2 ab a + b nk. Kazi ya 3. Thibitisha kwamba kwa yoyote a, a 2, a > 0 ukosefu wa usawa ufuatao ni kweli: a 2 a a 2 a Ukosefu wa usawa unaweza kuandikwa upya kama: - 4 -

15 () (a a a 2 a 2 a) Hebu tufanye badala ya b i = a i, basi ukosefu wa usawa utachukua fomu: (b + b b) (b b 2 b) Ukosefu huu ni kweli, kwa sababu. Huu ni ukosefu wa usawa wa Cauchy. Kazi ya 4. Thibitisha kwamba kwa yoyote a, a 2, a > 0 kuna ukosefu wa usawa ufuatao: Zingatia ukosefu wa usawa kwa =3. a + a a + a a 2 a 3 a a a 2 + a 2 a 3 + a 3 a 3 Hebu tuashiria a a 2 = x, a 2 a 3 = y, a 3 a = z, xyz = x+y+z 3 3 xyz= -kweli Hebu tudokeze x = a a 2,x 2 = a 2 a 3,x = a, Kisha x x 2 x =. Kisha ukosefu wa usawa utachukua fomu: x + x x Ukosefu huu wa usawa unafuata kutoka kwa usawa wa Cauchy: h.t.d. Kazi 5. Thibitisha kwamba (x + x x) x x 2 x = si x + si x si x si x + x x, ambapo 0 x i π - 5 -

16 Kutokuwepo kwa usawa kunafuata kutokana na ukosefu wa usawa wa Jensen kwa chaguo za kukokotoa y = si x. Chaguo za kukokotoa y = si x ni concave kwenye muda (0, π), kwani y = si x< 0при x (0, π), Гдеm i =. ч.т.д. Задание 6. si x + si x si x si(x + x x) Доказать,что для любых a, a 2, a >0 ukosefu wa usawa ni kweli: (a + a 2+ +a)(a + a) 2 Ukosefu wa usawa unaweza kuandikwa upya kama: hii ni sawa na ukweli kwamba (a + a) a + a a 2 a +a 2 + + a + a 2+ +a Zingatia chaguo la kukokotoa la Jensen f(x) = x, tunapata usawa huu. na kutumia ukosefu wa usawa Kazi 7. Thibitisha kwamba kwa x, y, z > 0 ukosefu wa usawa x 5 + y 5 + z 5 x 3 y 2 + y 3 x 2 + z 3 x 2 ni kweli ukosefu wa usawa. Acha seti ya kwanza iwe na fomu ya Pili x 3, y 3, z 3, x 2, y 2, z 2 Usemi wa upande wa kushoto utakuwa mkubwa zaidi, kwa sababu. thamani ya usemi wa upande wa kushoto x 5 + y 5 + z 5 imeundwa na seti za nambari zilizopangwa sawa. Inafuata kutoka kwa hii kwamba thamani iliyopatikana - 6 -

17 kwa vibali vingine vyote sivyo thamani kubwa zaidi, iliyopatikana kwa mpangilio "sahihi zaidi" wa vigezo. Kazi ya 8. Thibitisha kwamba kwa x yoyote, y, z > 0 usawa ufuatao ni kweli: x + x 2 + y + y 2 + z + z 2 x + y 2 + y + z 2 + z + x 2 Tunaweza kudhani kwamba x y z. Acha a = x, a 2 = y, a 3 = z, b = + x 2, b 2 = + y 2, b 3 = + z 2 Seti a, a 2, a 3 na b, b 2, b 3 zimeagizwa kinyume, kwa hivyo, kwa usawa wa mabadiliko, jumla ya b + a 2 b 2 + a 3 b 3 ni ndogo zaidi kati ya hesabu, haswa, ni sawa na b σ + a 2 b σ2 + a 3 b σ3. . a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 a b 2 + a 2 b 3 + a 3 b, x + x 2 + y + y 2 + z + z 2 x + y 2 + y + z 2 + z + x 2. Kazi ya 9. Thibitisha kwamba kwa yoyote a, a 2, a > 0 usawa ufuatao unashikilia: (+ a 2) (+ a 2 2) (+ a 2) (+ a 2 a 3 a) (+ a 2) ) (+ a) Zidisha kwa 2 a, tunapata (a 2 + a 2) (a 3 + a 2 2) (a + a 2) (a + a 2) (a 2 + a 2 2) (a + a 2) - 7 -

18 Hebu tuchukue logariti ya ukosefu wa usawa na tupate usawa sawa. l(a 2 + a 2) + l(a a 3) + + l(a 2 + a) l(a 2 + a) + l(a a 2) + + l(a 2 + a) (9.) Hebu tumia kukosekana kwa usawa kwa jumla kwa kitendakazi cha concave y = l x. Hebu a i = a i, b i = a i 2. Kisha seti b, b 2, b na a, a 2, a zimepangwa kwa usawa, hivyo l(b + a) + l(b 2 + a 2) + + l( b + a ) l(b + a 2) + l(b 2 + a 3) + + l(b + a), Ambayo inathibitisha kutofautiana (9.). Kazi 0. Thibitisha kwamba kwa chanya yoyote a, b, c a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ac (0.) Hebu b c.. Kwa kuwa seti (a, b, c) na (a, b , c) zimepangwa kwa usawa, lakini seti (a, b, c) na (b, c, a) hazijaagizwa kwa usawa, basi ukosefu wa usawa (0.) hufuata kutoka kwa usawa wa ubadilishaji. Zoezi. Thibitisha kwamba ikiwa xy + yz + zx =, basi Kutokuwa na Usawa (.) hufuata kutoka kwa Tatizo 0. Kazi ya 2. Thibitisha kwamba ikiwa a, b, c > 0, basi x 2 + y 2 + z 2 (.). (a + c)(b + d) ab + cd Kwa kuwa mzizi wa mraba ni mkubwa kuliko au sawa na sufuri, tunaweza mraba wa pande za kulia na kushoto. Tunapata: (a + c)(b + d) ab + 2 abcd + cd ab + ad + cb + cd ab + 2 abcd + cd ab + cd 2 abcd - 8 -

19 a 2 d 2 + 2abcd + c 2 d 2 4abcd a 2 d 2 + c 2 d 2 2abcd 0 (ad cd) 2 0 -Kazi ya Kweli 3, 4. Thibitisha kwamba kwa yoyote a, a 2, a > 0 the kufuata usawa ni kweli: 3) a 2 + a a 2 (a +a 2 + a) 2 4)a 2 + a a 2 (3.) (4.) ambapo a + a 2 + a = Kutokuwa na usawa (4.) hufuata. kutoka (3.) na + a 2 + a =. Tutathibitisha ukosefu wa usawa (3.). Inaweza kubadilishwa kuwa umbo Au 2 + a a 2 (a + a 2 + a) 2 2 a 2 + a a 2 (a + a) Wacha tutumie ukosefu wa usawa wa Jensen kwa kazi ya mbonyeo f(x): f(q x + q 2 x 2 + q x) q f(x) + q 2 f(x 2) + q f(x), Ambapo 0 q i, q + q 2 + q =. Ikiwa tunachukua f(x) = x 2, q i =, i =,2, basi tunapata usawa (3.), nk. Kazi ya 5. Thibitisha kwamba kwa nambari yoyote asilia na kwa p yoyote, q usawa () 2 pq + ()(p + q) + ()pq + (5.) - 9 -

20 Hebu tubadilishe ukosefu wa usawa (5.) hadi umbo sawa: () 2 pq + ()(p + q) + ()pq + () 2 pq + ()(p + q) + ()pq 0 Kuleta sawa zile tunazopata: ( )[()pq + (p + q) pq] + 0 () () 0 () 0 () 0 daima, tangu -asili Tunathibitisha kwamba Kumbuka kwamba 0 (5.2) p + q pq = p(q ) (q) = (p)(q) Kwa kuwa p, q, kisha p 0, q 0, kwa hiyo, ukosefu wa usawa (5.2) ni kweli. Kazi ya 6. Kwa nambari zozote chanya x, y, z ukosefu wa usawa ufuatao unashikilia: Acha x y z xyz (y + z x)(z + x y)(x + y z) (6.))Kama y + z x< 0, то неравенство (6.) выполнено 2) Пусть все множители в правой части >0. Kisha ukosefu wa usawa (6.) ni sawa na usawa l x + l y + l z l (y + z x) + l(z + x y) + l(x + y z) Hebu f(x) = l x. Kwa kuwa f(x)`` = x 2< 0то функция f(x) = l x вогнутая на интервале (0, +) Проверим, что набор (y + z x, x + z y, x + y z) мажорирует набор (x, y, z). Действительно:

21 x + y z x (tangu y z 0); (x + y z) + (x + z y) = 2x x + y (x + y z) + (x + z y) + (y + z x) = x + y + z Kwa kuwa kazi f(x) = l x ni concave , kisha kutokana na kutokuwa na usawa wa Karamata inafuata kwamba l(x + y z) + l(x + z y) + l(y + z x) = l x + l y + l z, ambayo inathibitisha kutofautiana (6.). Kazi ya 7. Thibitisha kwamba kwa yoyote a, b na c > 0 usawa ufuatao unashikilia: a 2 + b 2 + c ab + ac + bc a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab Hii ni sawa na ukweli kwamba Hebu a b c. a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac + bc + ab + ac + bc Fikiria seti mbili za nambari a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab (a 2 + b 2 + c 2, ab + ac + b, ab + ac + b) (7.) (a 2 + 2bc, b 2 + 2ac, c 2 + 2ab) (7.2) Tunahitaji kuthibitisha kwamba (7.) majorizes (7.2). Wacha tutumie ufafanuzi wa kukuza:) a 2 + b 2 + c 2 a 2 + 2bc (b c) 2 0-kweli 2) a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac + bc a 2 + 2bc + b 2 + 2ac c 2 bc ac + ab 0 c(c b) a(c b) 0 (c b)(c a) 0-2 -

22 (c b) 0 na (c a) 0, kisha (c b) (c a) 0 3) 3)a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac + bc + ab + ac + bc = a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab Sahihi. Kwa hivyo, seti ya nambari (7.) inakuza seti ya nambari (7.2). Kwa kutumia ukosefu wa usawa wa Karamata kwa chaguo za kukokotoa mbonyeo f(x) = x, tunapata ukosefu sahihi wa usawa wa asili. Kazi ya 8. Kwa a, b, c, d > 0, thibitisha kwamba ukosefu wa usawa a 4 + b 4 + c 4 + d 4 a 2 b 2 + a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b ni kweli 2 d 2 + c 2 d 2 Hebu b c d Fanya uingizwaji: x = l a, y = l b, z = l c, w = l d na uandike usawa wa awali katika fomu: e 4x + e 4y + e 4z + e 4w + e x+ y+z+w + e x+y+z+w e 2x+2y + e 2x+2z + e 2x+2w + e 2y+2z + e 2y+2w + e 2z+2w Fikiria seti mbili za nambari: (4x, 4y, 4z, 4w, x + y + z + w, x + y + z + w) na (2x + 2y, 2x + 2z, ​​2x + 2w, 2y + 2z, ​​2y + 2w, 2z + 2w) Hebu tuagize seti hizi: (4x, 4y, 4z, x + y + z + w, x + y + z + w, 4w) na (8.) Ya pili inabakia bila kubadilika: (2x + 2y, 2x + 2z, ​​2x + 2w, 2y + 2z, ​​2y + 2w, 2z + 2w) (8.2) Hebu tuthibitishe kwamba (8.) inaongeza (8.2)

23 ) 4x 2x + 2y, x y ni sahihi 2) 4x + 4y 4x + 2y + 2z,y z ni sahihi 3) 4x + 4y + 4z 4x + 2y + 2z + 2x + 2w y + z x + w Kwa kuwa seti zimeagizwa. kwa njia hii, kwamba 2x + 2w 2y + 2z I.e. x + w y + z, kisha kesi 3) inawezekana tu wakati x + w = ​​y + z 4) 4x + 4y + 4z + x + y + z + w 4x + 2y + 2z + 2x + 2w + 2y + 2z x + y + z w 0 y + z x + w Sawa na kesi ya awali, ukosefu huu wa usawa ni sahihi kwa x + w = ​​y + z 5) 4x + 4y + 4z + 2x + 2y + 2z + 2w 4x + 2y + 2z + 2x + 2w + 2y + 2z + 2y + 2w z w sahihi 6) 4x + 4y + 4z + 2x + 2y + 2z + 2w + 4w 4x + 2y + 2z + 2x + 2w + 2y + 2z + 2y + 2z + 2w 0 = 0 Kwa hivyo, seti (8.) inakuza seti ya nambari (8.2). Kwa kutumia usawa wa Karamata kwa chaguo za kukokotoa f(x) = e x, tunapata ukosefu wa usawa wa kweli. Kazi ya 9. Kwa a, b, c > 0, thibitisha kwamba ukosefu wa usawa a 3 + b 3 + c 3 + abc 2 3 (a2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca) ni kweli.

24 Acha a b c Kuzidisha pande zote mbili za ukosefu wa usawa kwa 3, tunapata 3a 3 + 3b 3 + 3c 3 + 3abc 2 (a 2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca) 2 (9. ) Hebu tufanye uingizwaji : Na tunaandika usawa (9.) kwa fomu: x = l a, y = l b, z = l c e 3x + e 3x + e 3x + e 3y + e 3y + e 3y + e 3z + e 3z + e 3z + e x +y+z + e x+y+z + e x+y+z e 2x+y + e 2x+y + e 2y+z + e 2y+z + e 2z+x + e 2z +x + e x+ 2y + e x+2y + e y+2z + e y+2z + e z+2x + e z+2x Fikiria seti mbili: (3x, 3x, 3x, 3y, 3y, 3y, 3z, 3z, 3z, x + y + z, x + y + z, x + y + z) na (9.2) (2x + y, 2x + y, 2y + z, 2y + z, 2z + x, 2z + x , x + 2y, x + 2y, y + 2z, ​​y + 2z, ​​z + 2x, z + 2x) (9.3) Hebu tuagize seti hizi: (3x, 3x, 3x, 3y, 3y, 3y , x + y + z, x + y + z, x + y + z, 3z, 3z, 3z,) na (9.2) Hebu tuagize seti ya pili: 2x + y z + 2x y z kweli y + 2z 2z + x y x kweli Kwa hivyo, tunapata seti: (2x + y, 2x + y, z + 2x, z + 2x, 2y + z, x + 2y, x + 2y,2y + z, 2y + z, 2z + x, 2z + x, y + 2z, ​​y + 2z) (9.3) Inahitajika kuthibitisha kwamba seti ya nambari (9.2) inakuza seti ya nambari (9.3)) 3x 2x + y, x y 2) 6x 4x + 2y, x y 3) 9x 6x ​​+ 2y + z, 3x 2y + z

25 4) 9x + 3y 4x + 2y + 2z + 4x, x + y 2z, kwa x = y tunapata kwamba y z 5) 9x + 6y 4x + 2y + 2z + 4x + 2y + x, y z 6) 9x + 9y 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x, x + 3y 2z 0 Wakati x = y tunapata kwamba y z 7) 9x + 9y + x + y + z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 2y + z , tunapata y z 8) 9x + 9y + 2x + 2y + 2z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z, ​​x + y + 3z 0 9) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 2z + x, x + 2y + 3z 0 0) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z + 3z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y 2x + 4y + 2z + 4z + 2x, y z) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z + 6z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 4z + 2x + 2z + y 2 ) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z + 9z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 4z + 2x + 4z + 2y 2x + 2y + 2z = 2x + 2y + seti 2z Hivyo, ya nambari (9.2) inakuza seti ya nambari (9.3) na kwa ukosefu wa usawa wa Karamata kwa chaguo za kukokotoa f(x) = e x tunapata usawa sahihi

26 Marejeo) Yu.P. Soloviev. Kutokuwa na usawa. M.: Nyumba ya kuchapisha ya Kituo cha Moscow cha Elimu ya Kuendelea ya Hisabati 2005. 6 p. 2) I.Kh. Sivashinsky. Kutokuwepo kwa usawa katika matatizo M.: Nauka, p. 3) A.I. Karibu na ukosefu wa usawa wa Kimongolia, Mat. mwangaza, kijivu 3, 7, MTsNMO, M., 2003, p. 4) L.V. Radzivilovsky, Ujumla wa usawa wa mabadiliko na usawa wa Kimongolia, Mat. mwangaza, kijivu 3, 0, Nyumba ya uchapishaji MTsNMO, M., 2006, p. 5) V.A.ch Kretschmar. Kitabu cha shida cha algebra. Toleo la tano M., sayansi, uk. 6) D. Nomirovsky Karamata usawa /D. Nomirovsky // (Kvant)-S

Seti za Convex na kazi R n seti ya seti za n nambari za kweli. Katika kile kinachofuata, tutaita seti hii kuwa nafasi;

Masharti ya kazi 1 Hatua ya Manispaa daraja la 8 1. Nambari mbili zimeandikwa ubaoni. Mmoja wao aliongezeka kwa mara 6, na nyingine ilipungua kwa 2015, wakati jumla ya idadi haikubadilika. Tafuta angalau jozi moja kati ya hizi

Sura ya IX. Euclidean na nafasi za umoja 35. Bidhaa ya Scalar katika nafasi ya vector Ural chuo kikuu cha shirikisho, Taasisi ya Hisabati na sayansi ya kompyuta, Idara ya Aljebra na Discrete

Chuo Kikuu cha Shirikisho cha Ural, Taasisi ya Hisabati na Sayansi ya Kompyuta, Idara ya Aljebra na Hisabati Maalum Maelezo ya Utangulizi Wakati wa kutatua shida nyingi, inakuwa muhimu kuwa na nambari.

Kutatua matatizo ya pande zote za kichwa cha kichwa cha Euler Olympiad ya tisa 1. Ufumbuzi wote wa mfumo x yz 1, x y z x, x y z huzingatiwa. Pata maadili yote ambayo x inaweza kuchukua. Jibu: 1; 1; 1. Suluhisho 1. Tangu x y

Hotuba ya 4 1. VEKI Vekta ni sehemu iliyoelekezwa. Vectors sawa: kuwa urefu sawa na maelekezo sanjari (sambamba na kuelekeza katika mwelekeo huo huo) Vekta zinazopingana: zina urefu sawa.

Mada 1-8: Nambari tata A. Ya Ovsyannikov Taasisi ya Chuo Kikuu cha Shirikisho cha Ural ya Hisabati na Sayansi ya Kompyuta Idara ya Aljebra na Hisabati Discrete Hesabu na jiometri kwa mechanics (muhula 1)

Penza Chuo Kikuu cha Jimbo Kitivo cha Fizikia na Hisabati "Shule ya ndani na ya muda ya fizikia na hisabati" HISABATI Mabadiliko ya utambulisho. Kutatua milinganyo. Pembetatu Kazi 1 kwa

Maonyesho ya Taasisi ya Fizikia na Teknolojia ya Moscow, milinganyo ya logarithmic na kutofautiana, njia ya potentiation na logarithm katika kutatua matatizo. Zana katika maandalizi ya Olimpiki.

98 HISABATI: ALGEBRA NA MWANZO WA UCHAMBUZI JOMETRI Ufumbuzi wa milinganyo kulingana na sifa za kazi ya mbonyeo Lipatov SV Kaluga MBOU "Lyceum 9 iliyopewa jina la KE Tsiolkovsky" 0 "A" Msimamizi wa Kisayansi wa darasa:

Aina ya aljebra ya nambari changamano. Wasilisho la elimu A. V. Likhatsky Msimamizi: E. A. Maksimenko Southern Federal University Aprili 14, 2008 A. V. Likhatsky (SFU) Algebra. seti ya fomu nambari

Chuo Kikuu cha Jimbo la Moscow Chuo Kikuu cha Ufundi jina lake baada ya N.E. Kitivo cha Bauman " Sayansi ya Msingi» Idara » Uundaji wa hesabu» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

72 Sura ya 2 Polynomials Mifano na maoni Kanuni za A-01 Kuandika polynomial katika fomu ya kawaida Vitendo vya A-02 kuhusu polimanomia A-03 Mabadiliko ya mdomo A-04 Miundo ya kuzidisha kwa kifupi A-05 Binomial ya Newton

Suluhisho la shida za mzunguko wa mawasiliano wa 6 Euler Olympiad I block ya Hisabati Jua ni kwa maadili gani ya paramu kuna nambari halisi x na y zinazokidhi equation xy + x + y + 7 Jibu: 89 Suluhisho.

Hotuba ya 8 Sura Vekta algebra Vectors Kiasi ambacho kimedhamiriwa na wao tu thamani ya nambari, wanaitwa scalar Mifano kiasi cha scalar: urefu, eneo, kiasi, joto, kazi, wingi

Olympiad ya kikanda watoto wa shule" Mtihani wa Juu", 2017 HISABATI, hatua ya 2 uk. 1/10 Suluhisho na vigezo vya kutathmini majukumu ya Olympiad 10-1 Katika kundi la watu 6, wengine walienda katika vikundi vya watu watatu.

7. Utendaji uliokithiri wa vigezo kadhaa 7.. Ukali wa ndani Acha kitendakazi f(x,..., x n) kifafanuliwe kwenye seti fulani iliyo wazi D R n. Point M D inaitwa point upeo wa ndani(ndani

Olympiad ya nane ya Euler kwa Walimu wa Hisabati Suluhisho la matatizo ya mzunguko wa mawasiliano Tatua mlinganyo a b c b a c c a b a b c, ambapo a, b na c ni nambari chanya Suluhisho Ni wazi kuwa a b c suluhu. kupewa mlinganyo

Mimi mwaka, kazi. Thibitisha kuwa kazi ya Riemann, ikiwa 0, m m R(), ikiwa, m, m 0, na sehemu haiwezi kupunguzwa, 0, ikiwa haina mantiki, haifanyiki katika kila moja. uhakika wa busara na ni mwendelezo katika kila lisilo na mantiki. Suluhisho.

Mashindano ya Jiji katika hisabati, Khabarovsk, 1997 Tatizo 1. Pata ufumbuzi wa equation DARAJA LA 9 (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) Suluhisho. Baada ya kuchukua nafasi ya x = y 1, equation (1) inaweza kuandikwa kama

Chuo Kikuu cha Shirikisho la Ural, Taasisi ya Hisabati na Sayansi ya Kompyuta, Idara ya Algebra na Hisabati Discrete Maneno ya Utangulizi Katika mihadhara mitatu ya awali, mistari na ndege zilijifunza, i.e.

Mada 2-14: Nafasi za Euclidean na za umoja A. Ya Ovsyannikov Taasisi ya Chuo Kikuu cha Shirikisho cha Ural ya Hisabati na Sayansi ya Kompyuta Idara ya Aljebra na Hisabati Discrete Hesabu na jiometri kwa ajili ya.

Olympiad ya Tisa ya Euler kwa Walimu wa Hisabati Suluhisho la matatizo ya mzunguko wa mawasiliano 1. Tatua mlingano wa x(x ab) a b kwa x. Suluhisho. Ni wazi kuwa x a b ndio mzizi wa mlingano huu. Kugawanya polynomial x abx

1. Milinganyo ya mstari na vigezo viwili Katika kazi ya kwanza, tuliangalia equations za mstari na kutofautiana moja. Kwa mfano, milinganyo 2x+ 5= 0, 3x+ (8x 1) + 9= 0 ni milinganyo ya mstari yenye kutofautiana

Sura ya 6 Vekta aljebra 6.1. Vectors kwenye ndege na angani Vector ya kijiometri, au vekta tu, ni sehemu iliyoelekezwa, i.e. sehemu ambayo moja ya alama za mpaka imepewa jina.

Kazi za Olympiad ya Wazi kwa watoto wa shule katika hisabati (Orodha 54 za Olympiads kwa watoto wa shule, mwaka wa masomo wa 2015/2016) Yaliyomo I. Kazi hatua ya mwisho Olympiads kwa daraja la 11... 2 II. Majukumu ya raundi ya 1 ya mchujo

3.. Mbinu za ufumbuzi usawa wa kimantiki 3..1. Kutokuwepo kwa usawa kwa nambari Kwanza, hebu tufafanue tunachomaanisha kwa kauli a > b. Ufafanuzi 3..1. Nambari a nambari zaidi b, ikiwa tofauti kati yao ni chanya.

Mhadhara wa 13. Utendaji wa Convex na fomula ya Taylor 1 Convex na concave C -tendaji laini. Ufafanuzi 1 Chaguo la kukokotoa linaitwa convex (concave) ikiwa epigrafu yake (subgraph) ni eneo la mbonyeo. Mfano 1x

Warsha: "Utofautishaji na utofautishaji wa chaguo za kukokotoa" Ikiwa chaguo za kukokotoa y f () ina derivative yenye kikomo kwa uhakika, basi nyongeza ya chaguo za kukokotoa katika hatua hii inaweza kuwakilishwa kama: y(,) f () () (), wapi () kwa

Mhadhara wa 2 Vidhibiti Viamuzi vya mpangilio wa pili na wa tatu 1 VECTOR Sehemu iliyoelekezwa ya Vekta Vekta sawa: zina urefu sawa na mwelekeo sawa (sambamba na kuelekezwa kwa mwelekeo sawa)

Kutatua matatizo ya ziara ya mawasiliano 0 I Kizuizi cha hisabati Tatizo Tafuta idadi ya mizizi asili ya equation Jibu: 00 0 ufumbuzi Kutatua tatizo Hebu tuwakilishe nambari katika fomu Kisha. sehemu ya kulia ya equation hii ni sawa na

Maelezo ya muhadhara 11 NAFASI ZA EUCLIDAN 0. Muhtasari wa mihadhara 1. Bidhaa ya nukta. 1.1. Ufafanuzi wa bidhaa ya scalar. 1.2. Kurekodi sawa kupitia makadirio. 1.3. Uthibitisho wa mstari katika

Olympiad "Watafiti wa Baadaye, Baadaye ya Sayansi" Hisabati. Raundi ya mchujo 4.0.0 MATATIZO NA SULUHU 8 Daraja la 9 8-9.. Nambari ipi ni kubwa zaidi: 0 0 0 0 au 0 0 0 0? Jibu. Nambari ya kwanza ni kubwa kuliko ya pili. Suluhisho. Hebu kuashiria

Daraja la 0 Mzunguko wa kwanza (dakika 0; kila tatizo pointi 6)... Inajulikana kuwa tg + tg = p, ctg + ctg = q. Tafuta tg(+). pq Jibu: tg. q p Kutokana na hali p tg q tg tg tg tg p na usawa ctg ctg q, tunapata hiyo

Uchambuzi wa hisabati 2.5 Hotuba: Upeo wa kazi ya vigezo kadhaa Profesa Mshiriki wa Idara ya VMMF Vladimir Feliksovich Zalmezh Fikiria kazi w = f (x) iliyofafanuliwa katika kikoa D R n. Hatua x 0 D inaitwa

Mada ya 1-4: Shughuli za Aljebraic A. Ya

Yaliyomo I. V. Yakovlev Nyenzo juu ya hisabati Mifumo ya MathUs.ru milinganyo ya algebra Ubadilishaji maradufu................................... Mifumo ya ulinganifu........ .... .....................

Shirika la Shirikisho kwa elimu Jimbo la Shirikisho taasisi ya elimu juu elimu ya ufundi CHUO KIKUU CHA SHIRIKISHO KUSINI R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Methodological

Mhadhara wa 10 1 NAFASI YA EUCLIDEAN 11 Ufafanuzi Acha V (R) LP juu ya uwanja wa nambari halisi Bidhaa ya scalar kwenye V ni kazi ya kiholela V V R, ambayo inahusisha jozi ya vekta zilizoagizwa

1 Vipengele vya Kina 1.1 Nambari tata Kumbuka hilo nambari ngumu inaweza kufafanuliwa kama seti ya jozi zilizopangwa za nambari halisi C = ((x, y): x, y R), z = x + iy, ambapo mimi ni kitengo cha kufikiria (i)

Sura ya 4 Nadharia za Msingi hesabu tofauti Kufichua kutokuwa na uhakika Nadharia za msingi za calculus tofauti Nadharia ya Fermat (Pierre Fermat (6-665) mwanahisabati wa Ufaransa) Ikiwa kitendakazi y f

Vidokezo vya muhadhara 10 NAFASI ZA AFFINE 0. Muhtasari wa mihadhara Mhadhara Affine nafasi. 1. Msingi wa ushirika. 2. Affine kuratibu pointi. 3. Vector equation ya mstari. 4. Vector equation ya ndege. 5.

DARAJA LA 8 1. Thibitisha kuwa kwa nambari yoyote asilia n mtu anaweza kuchagua nambari asilia kiasi kwamba nambari a(n+ 1) (+ n+1) inaweza kugawanywa kwa nambari kamili. 2. Washiriki wawili walishiriki katika Olympiad ya jiji katika hisabati

Chuo Kikuu cha Shirikisho la Ural, Taasisi ya Hisabati na Sayansi ya Kompyuta, Idara ya Algebra na Hisabati Tofauti Maelezo ya Utangulizi Katika somo hili, curve nyingine ya hyperbola ya utaratibu wa pili inasomwa.

Kazi ya nyumbani katika algebra kwa daraja la 0 hadi kitabu cha maandishi "Algebra na mwanzo wa uchambuzi, daraja la 0" Alimov Sh.A. na wengine, -M.: "Mwangaza", 00. www.balls.ru Yaliyomo Sura ya I. Nambari halisi.. Sura ya II. Nguvu

Vector algebra Dhana ya nafasi ya vekta. Utegemezi wa mstari vekta. Mali. Dhana ya msingi. Vector kuratibu. Mabadiliko ya mstari wa nafasi za vekta. Maadili ya Eigen na kumiliki

Shirika la Shirikisho la Elimu Chuo Kikuu cha Jimbo la Tomsk la Mifumo na Idara ya Redioelectronics hisabati ya juu(VM) Prikhodovsky M.A. LINEAR OPERATORS NA MAUMBO YA QUADRATIC Vitendo

Chuo Kikuu cha Ural Federal, Taasisi ya Hisabati na Sayansi ya Kompyuta, Idara ya Aljebra na Hisabati Tofauti Hotuba za utangulizi Hotuba hii inatanguliza utendakazi wa kuzidisha matrix, masomo.

Taasisi ya Fizikia na Teknolojia ya Moscow Cauchy-Bunyakovsky usawa. Mwongozo wa kimbinu wa kuandaa Olympiads. Iliyoundwa na: Parkevich Egor Vadimovich Moscow 014 Nyenzo za kinadharia. Katika kazi hii

KAZI YA MAABARA SETI 1. MAONYESHO. SET SYSTEMS 1. Dhana za kimsingi na nadharia Acha X iwe seti na acha (x) iwe sifa ambayo kwa kila kipengele mahususi.

Semina 2. Conics kwenye ndege ya projective 1. Ufafanuzi wa conic katika P 2. Mali ya kwanza ya conics. Kama hapo awali, tunafanya kazi katika k = R au C. Ufafanuzi wa koni katika P 2. Fikiria ramani dhabiti f: l

5 Vipengele vya uchanganuzi wa kiutendaji 5.1 Nafasi za mstari, za kawaida na za Banachi 5.1.1 Ufafanuzi wa nafasi Seti isiyo tupu X ya vipengele x, y, z,... inaitwa nafasi ya mstari (vekta),

LD Lappo, AV Morozov Kazi ya nyumbani juu ya algebra kwa daraja la 0 kwa kitabu "Aljebra na mwanzo wa uchambuzi: Masomo kwa taasisi za elimu ya jumla ya daraja la 0 / ShA Alimov na M: Prosveshchenie, 00" Sura ya I Halali

Sura ya 8 Mistari na ndege 8.1. Equations ya mistari na nyuso 8.1.1. Mistari kwenye ndege Tuseme kwamba ndege imepewa mfumo wa ushirika kuratibu Acha niwe curve kwenye ndege na f(x, y) baadhi

Wizara ya Elimu na Sayansi Shirikisho la Urusi Shirika la Shirikisho la Elimu Chuo Kikuu cha Jimbo la Penza Rudenko AK, Rudenko MN, Semerich YUS Mkusanyo WA MATATIZO NA SULUHU KWA AJILI YA MAANDALIZI.

Equations Katika algebra, aina mbili za usawa huzingatiwa: utambulisho ni usawa ambao umeridhika kwa wote halali) maadili ya herufi zilizojumuishwa ndani yake

Matatizo ya ziara ya mawasiliano katika hisabati kwa darasa la 9, 2014/2015 mwaka wa shule. mwaka, kiwango cha kwanza cha ugumu Tatizo 1 Tatua mlinganyo: (x+3) 63 + (x+3) 62 (x-1) + (x+3) 61 (x-1) 2 + + (x-1) 63 = 0 Jibu: -1 Tatizo 2 Muhtasari

Kambi ya Shule 57 Julai 06 Kutokuwepo kwa Usawa (maelezo) Dmitrieva A, Ionov K Somo la kwanza Ukosefu wa usawa rahisi Kutokuwepo kwa usawa kuhusu njia Tatizo Thibitisha ukosefu wa usawa x + 4y + 9z 4xy + 6yz + 6zx Suluhisho: x + 4y + 9z

Wizara ya Elimu ya Taasisi ya Bajeti ya Jimbo la Moscow ya elimu ya juu ya kitaalam ya Mkoa wa Moscow " Chuo Kikuu cha Kimataifa asili, jamii na

Interregional Olympiad kwa watoto wa shule "Mtihani wa Juu", 2017 HISABATI, hatua ya 2 uk 1/11 Suluhisho na vigezo vya kutathmini kazi za Olympiad 8-1 Tafuta nambari zote za asili n kutoka 1 hadi 100 ili ukizidisha.

Wizara ya Elimu na Sayansi ya Shirikisho la Urusi Taasisi ya Fizikia na Teknolojia ya Moscow (Chuo Kikuu cha Jimbo) Shule ya Mawasiliano ya Fizikia na Teknolojia ya HISABATI Mabadiliko yanayofanana. Suluhisho

Hotuba ya 7 Sura. Mifumo usawa wa mstari.. Dhana za kimsingi Mifumo ya usawa wa mstari hutumiwa kutatua anuwai matatizo ya hisabati. Mfumo wa usawa wa mstari na mfumo usiojulikana