Njia za nguvu za kuhesabu maeneo ya takwimu rahisi. Jinsi ya kupata eneo la maumbo ya kijiometri

Ili kutatua shida za jiometri, unahitaji kujua fomula - kama eneo la pembetatu au eneo la parallelogram - na vile vile. mbinu rahisi, ambayo tutazungumzia.

Kwanza, hebu tujifunze fomula za maeneo ya takwimu. Tumezikusanya haswa kwenye meza inayofaa. Chapisha, jifunze na utume maombi!

Kwa kweli, sio fomula zote za jiometri ziko kwenye meza yetu. Kwa mfano, kutatua matatizo katika jiometri na stereometry katika sehemu ya pili wasifu Mtihani wa Jimbo Pamoja Katika hisabati, fomula zingine za eneo la pembetatu pia hutumiwa. Hakika tutakuambia juu yao.

Nini cha kufanya ikiwa unahitaji kupata sio eneo la trapezoid au pembetatu, lakini eneo la baadhi takwimu tata? Kula mbinu zima! Tutawaonyesha kwa kutumia mifano kutoka kwa benki ya kazi ya FIPI.

1. Jinsi ya kupata eneo la takwimu isiyo ya kawaida? Kwa mfano, quadrilateral holela? Mbinu rahisi - hebu tugawanye takwimu hii kwa wale ambao tunajua kila kitu juu yao, na kupata eneo lake - kama jumla ya maeneo ya takwimu hizi.

Gawanya sehemu hii ya pembe nne na mstari wa mlalo katika pembetatu mbili msingi wa pamoja, sawa na. Urefu wa pembetatu hizi ni sawa na na. Kisha eneo la quadrilateral ni sawa na jumla ya maeneo ya pembetatu mbili: .

Jibu:.

2. Katika baadhi ya matukio, eneo la takwimu linaweza kuwakilishwa kama tofauti ya baadhi ya maeneo.

Si rahisi sana kuhesabu ni nini msingi na urefu wa pembetatu hii ni sawa! Lakini tunaweza kusema kwamba eneo lake ni sawa na tofauti kati ya maeneo ya mraba yenye upande na pembetatu tatu za kulia. Unawaona kwenye picha? Tunapata:.

Jibu:.

3. Wakati mwingine katika kazi unahitaji kupata eneo la sio takwimu nzima, lakini sehemu yake. Kawaida tunazungumza juu ya eneo la sekta - sehemu ya mduara Pata eneo la mduara wa radius ambao urefu wa arc ni sawa na .

Katika picha hii tunaona sehemu ya duara. Eneo la mduara mzima ni sawa na . Inabakia kujua ni sehemu gani ya duara iliyoonyeshwa. Kwa kuwa urefu wa mzunguko mzima ni sawa (tangu), na urefu wa arc ya sekta iliyotolewa ni sawa, kwa hiyo, urefu wa arc ni sababu ya chini ya urefu wa mzunguko mzima. Pembe ambayo arc hii inakaa pia ni sababu ya chini ya mduara kamili (yaani, digrii). Hii ina maana kwamba eneo la sekta hiyo litakuwa ndogo mara kadhaa kuliko eneo la mzunguko mzima.

Eneo la takwimu ya kijiometri - tabia ya nambari takwimu ya kijiometri inayoonyesha ukubwa wa takwimu hii (sehemu ya uso mdogo kitanzi kilichofungwa ya takwimu hii). Ukubwa wa eneo hilo unaonyeshwa na idadi ya vitengo vya mraba vilivyomo ndani yake.

Njia za eneo la pembetatu

Mfumo wa eneo la pembetatu kwa upande na urefu
Eneo la pembetatu sawa na nusu ya bidhaa ya urefu wa upande wa pembetatu na urefu wa urefu unaotolewa kwa upande huu
Mfumo wa eneo la pembetatu kulingana na pande tatu na radius ya mduara
Mfumo wa eneo la pembetatu kulingana na pande tatu na radius ya duara iliyoandikwa
Eneo la pembetatu ni sawa na bidhaa ya mzunguko wa nusu ya pembetatu na radius ya mduara ulioandikwa.

Njia za eneo la mraba

Mfumo wa eneo la mraba kwa urefu wa upande
Eneo la mraba sawa na mraba wa urefu wa upande wake.
Mfumo wa eneo la mraba kando ya urefu wa diagonal
Eneo la mraba sawa na nusu ya mraba ya urefu wa diagonal yake.
S= 1 2
2

Fomula ya eneo la mstatili

Eneo la mstatili

Njia za eneo la Parallelogram

Mfumo wa eneo la parallelogram kulingana na urefu wa upande na urefu
Eneo la parallelogram
Mfumo wa eneo la parallelogram kulingana na pande mbili na pembe kati yao
Eneo la parallelogram ni sawa na bidhaa ya urefu wa pande zake iliyozidishwa na sine ya pembe kati yao.
a b dhambi α

Fomula za eneo la rhombus

Mfumo wa eneo la rhombus kulingana na urefu wa upande na urefu
Eneo la rhombus ni sawa na bidhaa ya urefu wa upande wake na urefu wa urefu uliopungua kwa upande huu.
Mfumo wa eneo la rhombus kulingana na urefu wa upande na pembe
Eneo la rhombus ni sawa na bidhaa ya mraba ya urefu wa upande wake na sine ya pembe kati ya pande za rhombus.
Mfumo wa eneo la rhombus kulingana na urefu wa diagonal zake
Eneo la rhombus sawa na nusu ya bidhaa ya urefu wa diagonals yake.

Njia za eneo la trapezoid

Njia ya Heron ya trapezoid
Ambapo S ni eneo la trapezoid,
- urefu wa besi za trapezoid;
- urefu wa pande za trapezoid;

Eneo ni nini?

Eneo ni tabia ya takwimu ya kijiometri iliyofungwa (mduara, mraba, pembetatu, nk), ambayo inaonyesha ukubwa wake. Eneo hupimwa kwa sentimita za mraba, mita, nk. Inaonyeshwa na barua S(mraba).

Jinsi ya kupata eneo la pembetatu?

S= a h

Wapi a- urefu wa msingi, h- urefu wa pembetatu inayotolewa kwa msingi.

Kwa kuongeza, msingi sio lazima uwe chini. Hiyo itafanya pia.

Ikiwa pembetatu butu, basi urefu hupunguzwa kwa mwendelezo wa msingi:

Ikiwa pembetatu mstatili, basi msingi na urefu ni miguu yake:

2. Fomula nyingine, ambayo sio muhimu sana, lakini ambayo kwa sababu fulani husahaulika kila wakati:

S= b dhambi

Wapi a Na b- pande mbili za pembetatu, dhambi ni sine ya pembe kati ya pande hizi.

Hali kuu ni kwamba angle inachukuliwa kati ya pande mbili zinazojulikana.

3. Mfumo wa eneo kwa pande tatu (formula ya Heron):

S=

Wapi a, b Na Na ni pande za pembetatu, na R - nusu mzunguko uk = (a+b+c)/2.

4. Mfumo wa eneo la pembetatu kulingana na radius ya duara iliyozungushwa:

S=

Wapi a, b Na Na ni pande za pembetatu, na R - radius ya duara iliyozungushwa.

5. Mfumo wa eneo la pembetatu kulingana na radius ya duara iliyoandikwa:

S= p · r

Wapi R - nusu ya mzunguko wa pembetatu, na r - radius ya duara iliyoandikwa.

Jinsi ya kupata eneo la mstatili?

1. Eneo la mstatili linapatikana kwa urahisi kabisa:

S=a b

Hakuna ujanja.

Jinsi ya kupata eneo la mraba?

1. Kwa kuwa mraba ni mstatili na pande zote sawa, fomula sawa inatumika kwake:

S=a a = a 2

2. Pia, eneo la mraba linaweza kupatikana kupitia diagonal yake:

S= d 2

Jinsi ya kupata eneo la parallelogram?

1. Eneo la parallelogram linapatikana kwa formula:

S=a h

Hii ni kutokana na ukweli kwamba ikiwa utaikata pembetatu ya kulia kulia na kuiweka upande wa kushoto, unapata mstatili:

2. Pia, eneo la parallelogram linaweza kupatikana kupitia pembe kati ya pande mbili:

S=a · b · sinα

Jinsi ya kupata eneo la rhombus?

Rombus kimsingi ni msambamba na pande zote sawa. Kwa hiyo, formula za eneo sawa zinatumika kwake.

1. Eneo la rhombus kupitia urefu:

S=a h

Njia zote za eneo la takwimu za ndege

Eneo la trapezoid ya isosceles

1. Mfumo wa eneo la trapezoid ya isosceles kwa kutumia pande na pembe

a - msingi wa chini

b - msingi wa juu

c - pande sawa

α - pembe kwenye msingi wa chini

Mfumo wa eneo la trapezoid ya isosceles kupitia pande, (S):

Mfumo wa eneo la trapezoid ya isosceles kwa kutumia pande na pembe, (S):

2. Mfumo wa eneo la isosceles trapezoid kulingana na radius ya duara iliyoandikwa.

R - radius ya mduara ulioandikwa

D - kipenyo cha mduara ulioandikwa

O - katikati ya mduara ulioandikwa

H- urefu wa trapezoid

α, β - pembe za trapezoid

Mfumo wa eneo la trapezoid ya isosceles kwa suala la radius ya duara iliyoandikwa, (S):

FAIR, kwa mduara ulioandikwa kwenye trapezoid ya isosceles:

3. Mfumo wa eneo la trapezoid ya isosceles kupitia diagonals na pembe kati yao.

d- diagonal ya trapezoid

α,β- pembe kati ya diagonal

Mfumo wa eneo la trapezoid ya isosceles kupitia diagonal na pembe kati yao, (S):

4. Mfumo wa eneo la trapezoid ya isosceles kupitia mstari wa kati, upande na kona kwenye msingi

c- upande

m - katikati ya trapezoid

α, β - pembe kwenye msingi

Mfumo wa eneo la trapezoid ya isosceles kwa kutumia mstari wa kati, upande wa nyuma na pembe ya msingi,

(S):

5. Mfumo wa eneo la trapezoid ya isosceles kwa kutumia besi na urefu

a - msingi wa chini

b - msingi wa juu

h - urefu wa trapezoid

Mfumo wa eneo la trapezoid ya isosceles kwa kutumia besi na urefu, (S):

Eneo la pembetatu kulingana na upande na pembe mbili, formula.

a, b, c - pande za pembetatu

α, β, γ - pembe za kinyume

Eneo la pembetatu kupitia upande na pembe mbili (S):

Mfumo wa eneo la poligoni ya kawaida

a - upande wa poligoni

n - idadi ya pande

Eneo la poligoni ya kawaida, (S):

Mfumo (Heron) wa eneo la pembetatu kupitia nusu ya mzunguko (S):

Eneo la pembetatu ya usawa ni:

Njia za kuhesabu eneo la pembetatu ya usawa.

a - upande wa pembetatu

h - urefu

Jinsi ya kuhesabu eneo la pembetatu ya isosceles?

b - msingi wa pembetatu

a - pande sawa

h - urefu

3. Mfumo wa eneo la trapezoid kwa kutumia pande nne

a - msingi wa chini

b - msingi wa juu

c, d - pande

Radi ya mduara unaozunguka wa trapezoid kando ya pande na diagonals

a - pande za nyuma za trapezoid

c - msingi wa chini

b - msingi wa juu

d - diagonal

h - urefu

Fomula ya mzunguko wa trapezoid, (R)

pata mduara wa pembetatu ya isosceles kwa kutumia pande

Kujua pande za pembetatu ya isosceles, unaweza kutumia fomula ili kupata radius ya mduara unaozunguka pembetatu hii.

a, b - pande za pembetatu

Circumradius ya pembetatu ya isosceles (R):

Radi ya duara iliyoandikwa katika hexagon

a - upande wa hexagon

Radius ya duara iliyoandikwa katika hexagon, (r):

Radi ya mduara ulioandikwa kwenye rhombus

r - radius ya mduara ulioandikwa

a - upande wa rhombus

D, d - diagonals

h - urefu wa rhombus

Radi ya mduara ulioandikwa katika trapezoid ya equilateral

c - msingi wa chini

b - msingi wa juu

a - pande

h - urefu

Radi ya duara iliyoandikwa katika pembetatu ya kulia

a, b - miguu ya pembetatu

c - hypotenuse

Radi ya duara iliyoandikwa katika pembetatu ya isosceles

a, b - pande za pembetatu

Thibitisha kuwa eneo la pembe nne iliyoandikwa ni

\/(р - а)(р - b) (р - с) (р - d),

ambapo p ni nusu mzunguko na a, b, c na d ni pande za quadrilateral.

Thibitisha kuwa eneo la quadrilateral iliyoandikwa kwenye duara ni sawa na

1/2 (ab + cb) · sin α, ambapo a, b, c na d ni pande za pembe nne na α ni pembe kati ya pande a na b.

S = √[ a ƀ c d] dhambi ½ (α + β). - Soma zaidi kwenye FB.ru:

Eneo la pembe nne la kiholela (Mchoro 1.13) linaweza kuonyeshwa kupitia pande zake a, b, c na jumla ya jozi ya pembe tofauti:

ambapo p ni nusu ya mzunguko wa quadrilateral.

Eneo la pembe nne lililoandikwa kwenye mduara () (Mchoro 1.14, a) huhesabiwa kwa kutumia fomula ya Brahmagupta.

na ilivyoelezwa (Mchoro 1.14, b) () - kulingana na formula

Ikiwa quadrilateral imeandikwa na kuelezewa kwa wakati mmoja (Mchoro 1.14, c), basi formula inakuwa rahisi sana:

Fomu ya kuchagua

Ili kukadiria eneo la poligoni kwenye karatasi iliyotiwa alama, inatosha kuhesabu ni seli ngapi zinazofunika poligoni (tunachukua eneo la seli kama moja). Kwa usahihi zaidi, ikiwa S ni eneo la poligoni, ni idadi ya seli ambazo ziko ndani ya poligoni kabisa, na ni idadi ya seli ambazo zina angalau nukta moja ya kawaida na mambo ya ndani ya poligoni.

Hapo chini tutazingatia poligoni zile tu ambazo wima zote ziko kwenye nodi za karatasi iliyotiwa alama - zile ambazo mistari ya gridi ya taifa huingiliana. Inabadilika kuwa kwa polygons kama hizo mtu anaweza kutaja fomula ifuatayo:

eneo liko wapi, r ni idadi ya nodi ambazo ziko ndani ya poligoni kabisa.

Njia hii inaitwa "Chagua formula" - baada ya mwanahisabati ambaye aliigundua mnamo 1899.