Ikiwa safu za matrices ni sawa basi. Kiwango cha matrix na msingi mdogo wa matrix

Ufafanuzi. Kiwango cha Matrix ni idadi ya juu zaidi ya safu mlalo huru zinazozingatiwa kama vivekta.

Nadharia ya 1 kuhusu kiwango cha matrix. Kiwango cha Matrix inaitwa mpangilio wa juu wa nonzero mdogo wa matrix.

Tayari tulijadili wazo la mtoto mdogo katika somo juu ya viashiria, na sasa tutaifanya kwa ujumla. Wacha tuchukue idadi fulani ya safu na idadi fulani ya safu kwenye tumbo, na hii inapaswa kuwa "ngapi" idadi ndogo safu mlalo na safu wima za matrix, na kwa safu mlalo na safu wima hii "kiasi gani" lazima iwe nambari sawa. Kisha katika makutano ya safu ngapi na safu wima ngapi kutakuwa na matrix ya mpangilio wa chini kuliko matrix yetu ya asili. Kiamuzi ni matriki na kitakuwa kidogo katika mpangilio wa kth ikiwa "baadhi" iliyotajwa (idadi ya safu mlalo na safuwima) inaashiria k.

Ufafanuzi. Ndogo ( r+1) mpangilio, ambamo mtoto aliyechaguliwa yuko r-agizo linaitwa kupakana kwa mtoto aliyepewa.

Njia mbili zinazotumiwa sana ni kutafuta kiwango cha matrix. Hii njia ya kupakana na watoto Na njia ya mabadiliko ya msingi(Njia ya Gauss).

Wakati wa kutumia njia ya watoto wanaopakana, theorem ifuatayo hutumiwa.

Nadharia ya 2 kwenye safu ya matrix. Ikiwa mtoto mdogo anaweza kutengenezwa kutoka kwa vipengele vya matrix r th mpangilio, sio sawa na sifuri, basi kiwango cha matrix ni sawa na r.

Wakati wa kutumia njia ya mabadiliko ya kimsingi, mali ifuatayo hutumiwa:

Ikiwa, kupitia mabadiliko ya kimsingi, matrix ya trapezoidal inapatikana ambayo ni sawa na ile ya asili, basi. cheo cha matrix hii ni idadi ya mistari ndani yake isipokuwa mistari inayojumuisha sufuri kabisa.

Kupata kiwango cha matrix kwa kutumia njia ya kupakana na watoto

Mtoto aliyefungwa ni mdogo wa daraja la juu kuhusiana na yule aliyepewa ikiwa huyu mdogo wa daraja la juu ana aliyepewa.

Kwa mfano, kwa kuzingatia matrix

Hebu tuchukue mdogo

Watoto wa mpakani watakuwa:

Algorithm ya kupata kiwango cha matrix ijayo.

1. Tafuta watoto wa mpangilio wa pili ambao si sawa na sifuri. Ikiwa watoto wote wa mpangilio wa pili ni sawa na sifuri, basi kiwango cha matrix kitakuwa sawa na moja (r =1 ).

2. Ikiwa kuna angalau mdogo wa utaratibu wa pili ambao si sawa na sifuri, basi tunatunga watoto wa mpaka wa utaratibu wa tatu. Ikiwa watoto wote wa mpaka wa mpangilio wa tatu ni sawa na sifuri, basi kiwango cha matrix ni sawa na mbili ( r =2 ).

3. Ikiwa angalau mmoja wa watoto wa mpaka wa utaratibu wa tatu si sawa na sifuri, basi tunatunga watoto wa mpaka. Ikiwa watoto wote wa mpaka wa mpangilio wa nne ni sawa na sifuri, basi kiwango cha matrix ni sawa na tatu ( r =2 ).

4. Endelea kwa njia hii mradi ukubwa wa matrix unaruhusu.

Mfano 1. Tafuta kiwango cha matrix

Suluhisho. Ndogo ya utaratibu wa pili .

Hebu tuiweke mpaka. Kutakuwa na watoto wanne wanaopakana:

Kwa hivyo, watoto wote wanaopakana wa mpangilio wa tatu ni sawa na sifuri, kwa hivyo, kiwango cha matrix hii ni sawa na mbili ( r =2 ).

Mfano 2. Tafuta kiwango cha matrix

Suluhisho. Kiwango cha matrix hii ni sawa na 1, kwa kuwa watoto wote wa daraja la pili la matrix hii ni sawa na sifuri (katika hili, kama ilivyo kwa watoto wa mpaka katika mifano miwili ifuatayo, wanafunzi wapendwa wanaalikwa kuthibitisha wenyewe, labda kwa kutumia sheria za kuhesabu viashiria), na kati ya watoto wa utaratibu wa kwanza , yaani, kati ya vipengele vya matrix, kuna zisizo za sifuri.

Mfano 3. Tafuta kiwango cha matrix

Suluhisho. Agizo la pili la matrix hii ni , na watoto wote wa mpangilio wa tatu wa matrix hii ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, kiwango cha matrix hii ni mbili.

Mfano 4. Tafuta kiwango cha matrix

Suluhisho. Kiwango cha matrix hii ni 3, kwani mtoto pekee wa mpangilio wa tatu wa matrix hii ni 3.

Kupata kiwango cha matrix kwa kutumia njia ya mabadiliko ya kimsingi (Njia ya Gauss)

Tayari katika mfano wa 1 ni wazi kwamba kazi ya kuamua kiwango cha tumbo kwa kutumia njia ya mpaka watoto inahitaji kuhesabu. idadi kubwa viashiria. Kuna, hata hivyo, njia ya kupunguza kiasi cha hesabu kwa kiwango cha chini. Njia hii inategemea utumiaji wa mabadiliko ya msingi ya matrix na pia inaitwa njia ya Gauss.

Shughuli zifuatazo zinaeleweka kama mabadiliko ya msingi ya matrix:

1) kuzidisha safu au safu wima yoyote ya matrix kwa nambari nyingine isipokuwa sifuri;

2) kuongeza kwa vipengele vya safu yoyote au safu ya matrix vipengele vinavyolingana vya safu nyingine au safu, kuzidisha kwa idadi sawa;

3) kubadilisha safu mbili au nguzo za matrix;

4) kuondoa safu za "null", ambayo ni, wale ambao vipengele vyake vyote ni sawa na sifuri;

5) kufuta mistari yote ya uwiano isipokuwa moja.

Nadharia. Wakati wa mabadiliko ya kimsingi, kiwango cha matrix haibadilika. Kwa maneno mengine, ikiwa tunatumia mabadiliko ya kimsingi kutoka kwa matrix A akaenda kwenye tumbo B, Hiyo.

Kiwango cha matrix ni muhimu tabia ya nambari. Shida ya kawaida ambayo inahitaji kupata kiwango cha matrix ni kuangalia utangamano wa mfumo wa mstari. milinganyo ya algebra. Katika nakala hii tutatoa wazo la kiwango cha matrix na fikiria njia za kuipata. Ili kuelewa vyema nyenzo, tutachambua kwa undani ufumbuzi wa mifano kadhaa.

Urambazaji wa ukurasa.

Uamuzi wa kiwango cha matrix na dhana muhimu za ziada.

Kabla ya kutamka ufafanuzi wa kiwango cha matrix, unapaswa kuwa na uelewa mzuri wa dhana ya mtoto, na kupata watoto wa matrix kunamaanisha uwezo wa kuhesabu kibainishi. Kwa hivyo, ikiwa ni lazima, tunapendekeza kwamba ukumbuke nadharia ya kifungu, njia za kupata kibainishi cha matrix, na sifa za kiambishi.

Wacha tuchukue matrix A ya mpangilio. Hebu k kuwa baadhi nambari ya asili, isiyozidi nambari ndogo zaidi ya m na n, yaani, .

Ufafanuzi.

Mpangilio mdogo wa kth matriki A ni kibainishi cha matrix ya mraba ya mpangilio, inayojumuisha vipengele vya matrix A, ambavyo viko katika safu mlalo za k zilizochaguliwa awali na safuwima k, na mpangilio wa vipengele vya matrix A huhifadhiwa.

Kwa maneno mengine, ikiwa katika tumbo A tunafuta safu (p-k) na safu (n-k), na kutoka kwa vipengele vilivyobaki tunaunda matrix, kuhifadhi mpangilio wa vipengele vya matrix A, kisha kiashiria cha matrix inayosababisha ni ndogo ya mpangilio k wa matrix A.

Wacha tuangalie ufafanuzi wa mtoto wa matrix kwa kutumia mfano.

Fikiria tumbo .

Wacha tuandike watoto kadhaa wa mpangilio wa kwanza wa tumbo hili. Kwa mfano, ikiwa tutachagua safu ya tatu na safu ya pili ya matrix A, basi chaguo letu linalingana na mpangilio mdogo wa mpangilio wa kwanza. . Kwa maneno mengine, ili kupata hii ndogo, tulivuka safu ya kwanza na ya pili, pamoja na safu wima ya kwanza, ya tatu na ya nne kutoka kwa matrix A, na tukaunda kiashiria kutoka kwa kipengele kilichobaki. Ikiwa tunachagua safu ya kwanza na safu ya tatu ya matrix A, basi tunapata ndogo .

Hebu tuonyeshe utaratibu wa kupata watoto wanaozingatiwa wa kwanza
Na .

Kwa hivyo, watoto wa utaratibu wa kwanza wa matrix ni vipengele vya tumbo wenyewe.

Wacha tuonyeshe watoto kadhaa wa mpangilio wa pili. Chagua safu mbili na safu mbili. Kwa mfano, chukua safu ya kwanza na ya pili na safu ya tatu na ya nne. Kwa chaguo hili tunayo mtoto wa pili . Kidogo hiki kinaweza pia kutungwa kwa kufuta safu mlalo ya tatu, safu wima ya kwanza na ya pili kutoka kwa matrix A.

Mdogo mwingine wa mpangilio wa pili wa matrix A ni .

Hebu tuonyeshe ujenzi wa hawa wadogo wa daraja la pili
Na .

Vile vile, watoto wa daraja la tatu la matrix A wanaweza kupatikana. Kwa kuwa kuna safu tatu tu kwenye tumbo A, tunachagua zote. Ikiwa tunachagua safu tatu za kwanza za safu hizi, tunapata ndogo ya utaratibu wa tatu

Inaweza pia kujengwa kwa kuvuka safu ya mwisho ya matrix A.

Mpangilio mwingine wa tatu mdogo ni

iliyopatikana kwa kufuta safu wima ya tatu ya matrix A.

Hapa kuna picha inayoonyesha ujenzi wa watoto hawa wa daraja la tatu
Na .

Kwa matrix A iliyopewa hakuna watoto wa mpangilio wa juu kuliko wa tatu, kwani.

Je, kuna watoto wangapi wa mpangilio wa kth wa matrix A ya mpangilio?

Idadi ya watoto wa mpangilio k inaweza kuhesabiwa kama , wapi Na - idadi ya mchanganyiko kutoka p hadi k na kutoka n hadi k, kwa mtiririko huo.

Jinsi ya kuunda watoto wote wa mpangilio k wa matrix A ya mpangilio p na n?

Tutahitaji nambari nyingi za safu mlalo na nambari nyingi za safu wima. Tunaandika kila kitu mchanganyiko wa vipengele vya p kwa k(zitalingana na safu zilizochaguliwa za matrix A wakati wa kuunda mpangilio mdogo k). Kwa kila mchanganyiko wa nambari za safu mlolongo tunaongeza mchanganyiko wote wa vipengele vya n vya nambari za safu k. Seti hizi za michanganyiko ya nambari za safu mlalo na nambari za safu wima za matrix A zitasaidia kutunga watoto wote wa mpangilio k.

Hebu tuitazame kwa mfano.

Mfano.

Pata watoto wote wa mpangilio wa pili wa tumbo.

Suluhisho.

Kwa kuwa mpangilio wa matrix ya asili ni 3 kwa 3, basi jumla ya watoto wa mpangilio wa pili watakuwa .

Hebu tuandike michanganyiko yote ya nambari za safu 3 hadi 2 za matrix A: 1, 2; 1, 3 na 2, 3. Mchanganyiko wote wa nambari za safu 3 hadi 2 ni 1, 2; 1, 3 na 2, 3.

Wacha tuchukue safu ya kwanza na ya pili ya matrix A. Kwa kuchagua safu ya kwanza na ya pili, safu ya kwanza na ya tatu, safu ya pili na ya tatu kwa safu hizi, tunapata watoto, kwa mtiririko huo.

Kwa safu ya kwanza na ya tatu, na chaguo sawa la safu, tunayo

Inabakia kuongeza safu ya kwanza na ya pili, ya kwanza na ya tatu, ya pili na ya tatu kwa safu ya pili na ya tatu:

Kwa hivyo, watoto wote tisa wa mpangilio wa pili wa matrix A wamepatikana.

Sasa tunaweza kuendelea na kuamua kiwango cha matrix.

Ufafanuzi.

Kiwango cha Matrix-Hii utaratibu wa juu matrix madogo, tofauti na sifuri.

Kiwango cha matrix A kinaonyeshwa kama Cheo(A) . Unaweza pia kupata majina Rg(A) au Rang(A) .

Kutoka kwa ufafanuzi wa kiwango cha matrix na matrix madogo, tunaweza kuhitimisha kuwa kiwango cha matrix ya sifuri ni sawa na sifuri, na kiwango cha matrix ya nonzero sio chini ya moja.

Kupata kiwango cha matrix kwa ufafanuzi.

Kwa hivyo, njia ya kwanza ya kupata kiwango cha matrix ni njia ya kuhesabu watoto. Njia hii inategemea kuamua kiwango cha matrix.

Hebu tunahitaji kupata cheo cha matrix A ya utaratibu.

Hebu tueleze kwa ufupi algorithm kutatua tatizo hili kwa kuhesabu watoto.

Ikiwa kuna angalau kipengele kimoja cha matrix ambacho ni tofauti na sifuri, basi kiwango cha matrix ni angalau sawa na moja (kwani kuna mdogo wa utaratibu wa kwanza ambao si sawa na sifuri).

Ifuatayo tunaangalia watoto wa utaratibu wa pili. Ikiwa watoto wote wa mpangilio wa pili ni sawa na sifuri, basi kiwango cha matrix ni sawa na moja. Ikiwa kuna angalau moja isiyo ya sifuri ya utaratibu wa pili, basi tunaendelea kuhesabu watoto wa utaratibu wa tatu, na kiwango cha matrix ni angalau sawa na mbili.

Vile vile, ikiwa watoto wote wa daraja la tatu ni sifuri, basi kiwango cha matrix ni mbili. Ikiwa kuna angalau mtoto mmoja wa mpangilio wa tatu isipokuwa sifuri, basi kiwango cha matrix ni angalau tatu, na tunaendelea na kuhesabu watoto wa daraja la nne.

Kumbuka kuwa kiwango cha matrix hakiwezi kuzidi nambari ndogo zaidi ya p na n.

Mfano.

Tafuta kiwango cha matrix .

Suluhisho.

Kwa kuwa matrix sio sifuri, kiwango chake sio chini ya moja.

Ndogo ya utaratibu wa pili ni tofauti na sifuri, kwa hivyo, kiwango cha matrix A ni angalau mbili. Wacha tuendelee kuhesabu watoto wa daraja la tatu. Jumla yao mambo.

Watoto wote wa mpangilio wa tatu ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, kiwango cha matrix ni mbili.

Jibu:

Cheo(A) = 2 .

Kupata kiwango cha matrix kwa kutumia njia ya kupakana na watoto.

Kuna njia zingine za kupata kiwango cha matrix ambayo hukuruhusu kupata matokeo na kazi ndogo ya hesabu.

Njia moja kama hiyo ni njia ndogo ya makali.

Hebu tushughulikie dhana ya makali madogo.

Inasemekana kuwa M ok ndogo ya mpangilio wa (k+1) wa matrix A inapakana na M ndogo ya mpangilio k wa matrix A ikiwa matriki inayolingana na M ok ndogo "ina" tumbo inayolingana na ndogo. M.

Kwa maneno mengine, matrix inayolingana na M mdogo anayepakana hupatikana kutoka kwa tumbo inayolingana na ndogo inayopakana ya M ok kwa kufuta vipengele vya safu moja na safu moja.

Kwa mfano, fikiria matrix na kuchukua utaratibu wa pili mdogo. Wacha tuandike watoto wote wanaopakana:

Njia ya watoto wa mpaka inahesabiwa haki na theorem ifuatayo (tunawasilisha uundaji wake bila uthibitisho).

Nadharia.

Ikiwa watoto wote wanaopakana na mpangilio wa kth mdogo wa matrix A ya mpangilio p kwa n ni sawa na sifuri, basi watoto wote wa mpangilio (k+1) wa matrix A ni sawa na sifuri.

Kwa hivyo, ili kupata kiwango cha matrix sio lazima kupitia watoto wote ambao wanapakana vya kutosha. Idadi ya watoto wanaopakana na ndogo ya mpangilio wa kth wa matrix A ya mpangilio, hupatikana kwa fomula. . Kumbuka kwamba hakuna watoto zaidi wanaopakana na mpangilio mdogo wa k-th wa matrix A kuliko kuna (k + 1) watoto wa mpangilio wa matrix A. Kwa hiyo, katika hali nyingi, kutumia njia ya mpaka watoto ni faida zaidi kuliko tu kuhesabu watoto wote.

Wacha tuendelee kutafuta kiwango cha matrix kwa kutumia njia ya kupakana na watoto. Hebu tueleze kwa ufupi algorithm njia hii.

Ikiwa matrix A ni nonzero, basi kama mtoto wa mpangilio wa kwanza tunachukua kipengele chochote cha matrix A ambacho ni tofauti na sifuri. Wacha tuangalie watoto wake wanaopakana. Ikiwa zote ni sawa na sifuri, basi kiwango cha matrix ni sawa na moja. Ikiwa kuna angalau mdogo asiye na sifuri anayepakana (agizo lake ni mbili), basi tunaendelea kuzingatia watoto wake wa mpaka. Ikiwa zote ni sifuri, basi Cheo(A) = 2. Ikiwa angalau mdogo mmoja anayepakana sio sifuri (agizo lake ni tatu), basi tunazingatia watoto wake wanaopakana. Nakadhalika. Kama matokeo, Cheo(A) = k ikiwa watoto wote wanaopakana na mpangilio wa (k + 1) wa matriki A ni sawa na sifuri, au Cheo(A) = min(p, n) ikiwa hakuna- sifuri ndogo inayopakana na ndogo ya mpangilio (min( p, n) - 1) .

Wacha tuangalie njia ya kupakana na watoto kupata kiwango cha matrix kwa kutumia mfano.

Mfano.

Tafuta kiwango cha matrix kwa njia ya mpaka watoto.

Suluhisho.

Kwa kuwa kipengee cha 1 1 cha matrix A ni nonzero, tunakichukulia kama kitu kidogo cha mpangilio wa kwanza. Wacha tuanze kutafuta mtoto anayepakana ambaye ni tofauti na sifuri:

Makali madogo ya mpangilio wa pili, tofauti na sifuri, hupatikana. Wacha tuangalie watoto wake wanaopakana (wao mambo):

Watoto wote wanaopakana na mdogo wa mpangilio wa pili ni sawa na sifuri, kwa hivyo, kiwango cha matrix A ni sawa na mbili.

Jibu:

Cheo(A) = 2 .

Mfano.

Tafuta kiwango cha matrix kutumia watoto wanaopakana.

Suluhisho.

Kama mtu ambaye sio sifuri mdogo wa mpangilio wa kwanza, tunachukua kipengee 1 1 = 1 cha matrix A. Kidogo kinachozunguka cha agizo la pili si sawa na sifuri. Mtoto huyu mdogo amepakana na mtoto wa daraja la tatu
. Kwa kuwa sio sawa na sifuri na hakuna hata mdogo anayepakana nayo, kiwango cha matrix A ni sawa na tatu.

Jibu:

Cheo(A) = 3 .

Kupata kiwango kwa kutumia mabadiliko ya msingi ya matrix (Njia ya Gauss).

Wacha tuchunguze njia nyingine ya kupata kiwango cha matrix.

Mabadiliko yafuatayo ya matrix yanaitwa msingi:

kupanga upya safu (au nguzo) za matrix;
kuzidisha vipengele vyote vya safu yoyote (safu) ya matrix kwa nambari ya kiholela k, tofauti na sifuri;
kuongeza kwa vipengele vya safu (safu) vipengele vinavyolingana vya safu nyingine (safu) ya matrix, ikizidishwa na nambari ya kiholela k.

Matrix B inaitwa sawa na matrix A, ikiwa B inapatikana kutoka kwa A kutumia nambari ya mwisho mabadiliko ya msingi. Usawa wa matrices unaonyeshwa na ishara "~", ambayo ni, iliyoandikwa A ~ B.

Kupata kiwango cha matriki kwa kutumia mabadiliko ya msingi ya matriki kunatokana na taarifa: ikiwa matriki B hupatikana kutoka kwa matriki A kwa kutumia idadi maalum ya mabadiliko ya kimsingi, basi Cheo(A) = Cheo(B) .

Uhalali wa taarifa hii unafuata kutokana na sifa za kibainishi cha matrix:

Wakati wa kupanga upya safu (au safu wima) za matrix, kiashiria chake hubadilisha ishara. Ikiwa ni sawa na sifuri, basi wakati safu (safu) zimepangwa upya, inabaki sawa na sifuri.
Wakati wa kuzidisha vipengee vyote vya safu mlalo yoyote (safu wima) ya matrix kwa nambari ya kiholela k isipokuwa sifuri, kibainishi cha matrix inayotokana ni sawa na kiambishi cha matrix ya asili iliyozidishwa na k. Ikiwa kiamua cha matrix ya asili ni sawa na sifuri, basi baada ya kuzidisha vitu vyote vya safu au safu yoyote kwa nambari k, kiamua cha matrix inayosababisha pia itakuwa sawa na sifuri.
Kuongeza kwa vipengele vya safu fulani (safu) ya matrix vipengele vinavyolingana vya safu nyingine (safu) ya matrix, iliyozidishwa na nambari fulani k, haibadilishi kiashiria chake.

Kiini cha njia ya mabadiliko ya kimsingi inajumuisha kupunguza matrix ambayo kiwango chake tunahitaji kupata kwa trapezoidal (katika kesi fulani, hadi ya pembetatu ya juu) kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi.

Kwa nini hili linafanywa? Kiwango cha matrices ya aina hii ni rahisi sana kupata. Ni sawa na idadi ya mistari iliyo na angalau kipengele kimoja kisicho sifuri. Na kwa kuwa kiwango cha matrix haibadilika wakati wa kufanya mabadiliko ya kimsingi, thamani inayotokana itakuwa kiwango cha matrix ya asili.

Tunatoa vielelezo vya matrices, moja ambayo inapaswa kupatikana baada ya mabadiliko. Muonekano wao unategemea utaratibu wa matrix.

Vielelezo hivi ni violezo ambavyo tutabadilisha matrix A.

Hebu tueleze algorithm ya njia.

Hebu tunahitaji kupata cheo cha matrix isiyo ya sifuri A ya utaratibu (p inaweza kuwa sawa na n).

Kwa hiyo,. Wacha tuzidishe vitu vyote vya safu ya kwanza ya matrix A kwa . Katika kesi hii, tunapata matrix sawa, inayoashiria A (1):

Kwa vipengele vya safu ya pili ya matrix A (1) tunaongeza vipengele vinavyolingana vya mstari wa kwanza, kuzidishwa na . Kwa vipengele vya mstari wa tatu tunaongeza vipengele vinavyolingana vya mstari wa kwanza, kuzidishwa na. Na kadhalika hadi mstari wa p-th. Wacha tupate matrix sawa, iashiria A (2):

Ikiwa vitu vyote vya matrix inayosababishwa iko kwenye safu kutoka kwa pili hadi p-th ni sawa na sifuri, basi kiwango cha matrix hii ni sawa na moja, na, kwa hivyo, kiwango cha matrix ya asili ni sawa. kwa moja.

Ikiwa katika mistari kutoka kwa pili hadi p-th kuna angalau kipengele kimoja kisicho na sifuri, basi tunaendelea kufanya mabadiliko. Zaidi ya hayo, tunatenda kwa njia sawa, lakini tu na sehemu ya tumbo A (2) iliyowekwa kwenye takwimu.

Ikiwa , basi tunapanga upya safu na (au) safu wima za matrix A (2) ili kipengele "kipya" kiwe kisicho sifuri.

Kuamua kiwango cha matrix

Fikiria matrix \(A\) ya aina \((m,n)\). Wacha, kwa uhakika, \(m \leq n\). Wacha tuchukue safu za \(m\) na tuchague \(m\) safu wima za matrix \(A\), kwenye makutano ya safu na safu hizi tunazopata. matrix ya mraba agizo \(m\), ambalo kibainishi kinaitwa utaratibu mdogo \(m\) matrices \(A\). Ikiwa mdogo huyu ni tofauti na 0, inaitwa msingi mdogo na wanasema kuwa daraja la matrix \(A\) ni sawa na \(m\). Ikiwa kiashiria hiki ni sawa na 0, basi safuwima zingine \(m\) huchaguliwa, kwenye makutano yao kuna vitu ambavyo huunda utaratibu mwingine mdogo \(m\). Ikiwa mdogo ni 0, tunaendelea utaratibu. Ikiwa kati ya watoto wote wanaowezekana wa mpangilio \(m\) hakuna nonzero, tunachagua \(m-1\) safu na safu kutoka kwa tumbo \(A\), kwenye makutano yao matrix ya mraba ya mpangilio \(m- 1\) inaonekana , kibainishi chake kinaitwa mpangilio mdogo \(m-1\) wa matrix ya asili. Kuendelea utaratibu, tunatafuta mdogo asiye na sifuri, akipitia watoto wote wanaowezekana, kupunguza utaratibu wao.

Ufafanuzi.

Kidogo kisicho na sifuri cha matrix iliyopewa ya mpangilio wa juu inaitwa msingi mdogo ya matrix ya asili, utaratibu wake unaitwa cheo matrices \(A\), safu na safu, kwenye makutano ambayo ni msingi mdogo, huitwa safu na nguzo za msingi. Kiwango cha matrix kinaonyeshwa na \(rang(A)\).

Kutoka kwa ufafanuzi huu kufuata sifa rahisi za safu ya matrix: ni nambari kamili, na safu ya matrix isiyo ya sifuri inakidhi ukosefu wa usawa: \(1 \leq cheo(A) \leq \min(m,n)\ )

Je, kiwango cha matrix kitabadilika vipi ikiwa safu mlalo itafutwa? Ungependa kuongeza mstari?

Angalia jibu

1) Cheo kinaweza kupungua kwa 1.

2) Cheo kinaweza kuongezeka kwa 1.

Utegemezi wa mstari na uhuru wa mstari wa safu wima za matrix

Acha \(A\) iwe matrix ya aina \((m,n)\). Fikiria safu wima za matrix \(A\) - hizi ni safu wima za nambari \(m\) kila moja. Hebu tuziashiria \(A_1,A_2,...,A_n\). Hebu \(c_1,c_2,...,c_n\) ziwe baadhi ya nambari.

Ufafanuzi.

Safu wima \[ D=c_1A_1+c_2A_2+...+c_nA_n = \jumla _(m=1)^nc_mA_m \] inaitwa mseto wa safu wima \(A_1,A_2,...,A_n\), nambari \( c_1,c_2 ,...,c_n\) huitwa coefficients ya mseto huu wa mstari.

Ufafanuzi.

Acha \(p\) safuwima \(A_1, A_2, ..., A_p\) itolewe. Ikiwa kuna nambari \(c_1,c_2,...,c_p\) kama hizo

1. sio nambari zote hizi ni sawa na sifuri,

2. mchanganyiko wa mstari \(c_1A_1+c_2A_2+...+c_pA_p =\sum _(m=1)^pc_mA_m\) ni sawa na safu wima sifuri (yaani safu ambayo vipengele vyote ni sufuri), kisha tunasema kwamba safu wima \( A_1, A_2, ..., A_p\) hutegemea kimstari. Ikiwa kwa seti hii Hakuna safu wima za nambari kama hizo \(c_1,c_2,...,c_n\), safu wima huitwa huru kwa mstari.

Mfano. Zingatia safu-2

\[ A_1=\kushoto(\anza(safu)(c) 1 \\ 0 \mwisho(safu) \kulia), A_2=\kushoto(\anza(safu)(c) 0 \\ 1 \mwisho(safu) \kulia), \] basi kwa nambari zozote \(c_1,c_2\) tunayo: \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\kushoto(\anza(safu)(c) 1 \\ 0 \mwisho(safu) \kulia) + c_2\kushoto(\anza(safu)(c) 0 \\ 1 \mwisho(safu) \kulia)=\kushoto(\anza(safu)(c) c_1 \\ c_2 \mwisho(safu) \kulia). \]

Mchanganyiko huu wa mstari ni sawa na safu wima sifuri ikiwa na ikiwa tu nambari zote \(c_1,c_2\) ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, safu hizi zinajitegemea kimstari.

Kauli. Ili safu ziwe tegemezi kwa mstari, ni muhimu na ya kutosha kwamba moja yao ni mchanganyiko wa mstari wa wengine.

Acha safuwima \(A_1,A_2,...,A_m\) zitegemee kimstari, i.e. kwa baadhi ya viambajengo \(\lambda _1, \lambda _2,...,\lambda _m\), sio zote ni sawa na 0, zifuatazo zinashikilia: \[ \sum _(k=1)^m\lambda _kA_k=0 \ ] (upande wa kulia kuna safu wima sifuri). Hebu, kwa mfano, \(\lambda _1 \neq 0\). Kisha \[ A_1=\sum _(k=2)^mc_kA_k, \quad c_k=-\lambda _k/\lambda _1, \quad \quad (15) \] i.e. safu ya kwanza ni mchanganyiko wa mstari wa zingine.

Msingi wa nadharia ndogo

Nadharia.

Kwa matrix yoyote isiyo ya sifuri \(A\) ifuatayo ni kweli:

1. Nguzo za msingi zinajitegemea kimstari.

2. Safu yoyote ya matrix ni mchanganyiko wa mstari wa safu wima zake za msingi.

(Vile vile ni kweli kwa masharti).

Acha, kwa uhakika, \((m,n)\) iwe aina ya matrix \(A\), \(rang(A)=r \leq n\) na msingi mdogo unapatikana katika \(r) ya kwanza. \) safu mlalo na safu wima matrices \(A\). Hebu \(s\) iwe nambari yoyote kati ya 1 na \(m\), \(k\) iwe nambari yoyote kati ya 1 na \(n\). Wacha tufikirie madogo aina ifuatayo: \[ D=\kushoto| \anza(safu)(ccccc) a_(11) & a_(12) & \ldets & a_(1r) & a_(1s) \\ a_(21) & a_(22) & \lddots & a_(2r) & a_(2s) \\ \dots &\ldets & \lddots & \lddots & \ldets \\ a_(r1) & a_(r2) & \ldets & a_(rr) & a_(rs) \\ a_(k1) & a_(k2) & \ldets & a_(kr) & a_(ks) \\ \mwisho(safu) \kulia| , \] i.e. Tuliweka safu ya \(s-\)th na safu ya \(k-\)th kwa msingi mdogo. Kwa ufafanuzi wa safu ya matrix, kibainishi hiki ni sawa na sifuri (ikiwa tulichagua \(s\leq r\) au \(k \leq r\), basi huyu mdogo ana safu wima 2 zinazofanana au safu 2 zinazofanana, ikiwa. \(s>r\) na \(k>r\) - kwa ufafanuzi wa cheo, ndogo ya ukubwa zaidi ya \(r\) inakuwa sifuri). Hebu tupanue kibainishi hiki kwenye mstari wa mwisho, tunapata: \[ a_(k1)A_(k1)+a_(k2)A_(k2)+....+a_(kr)A_(kr)+a_(ks) A_(ks)=0. \quad \quad(16) \]

Hapa nambari \(A_(kp)\) - nyongeza za algebra vipengele kutoka safu ya chini \(D\). Thamani zao hazitegemei \(k\), kwa sababu huundwa kwa kutumia vipengee kutoka safu za \(r\) za kwanza. Katika hali hii, thamani \(A_(ks)\) ni ndogo ya msingi, tofauti na 0. Hebu tuashiria \(A_(k1)=c_1,A_(k2)=c_2,...,A_(ks) =c_s \neq 0 \). Hebu tuandike upya (16) katika nukuu mpya: \[ c_1a_(k1)+c_2a_(k2)+...+c_ra_(kr)+c_sa_(ks)=0, \] au, tukigawanya kwa \(c_s\), \[ a_(ks)=\lambda_1a_(k1)+\lambda_2a_(k2)+...+\lambda_ra_(kr), \quad \lambda _p=-c_p/c_s. \] Usawa huu ni halali kwa thamani yoyote ya \(k\), kwa hivyo \[ a_(1s)=\lambda_1a_(11)+\lambda_2a_(12)+...+\lambda_ra_(1r), \] \[ a_ (sekunde 2)=\lambda_1a_(21)+\lambda_2a_(22)+...+\lambda_ra_(2r), \] \[ ................... .. .................................... \] \[ a_(ms)=\lambda_1a_( m1) +\lambda_2a_(m2)+...+\lambda_ra_(mr). \] Kwa hivyo, safu ya \(s-\)th ni mchanganyiko wa mstari wa safu wima za kwanza za \(r\). Nadharia imethibitishwa.

Maoni.

Kutoka kwa msingi wa nadharia ndogo inafuata kwamba kiwango cha matrix sawa na nambari safu wima zake zinazojitegemea (ambazo ni sawa na idadi ya safu mlalo huru).

Muhimu 1.

Ikiwa kibainishi ni sifuri, basi kina safu ambayo ni mchanganyiko wa safu wima zingine.

Muhimu 2.

Ikiwa kiwango cha matrix ni chini ya idadi ya safu, basi safu wima za matrix zinategemea mstari.

Kuhesabu kiwango cha matrix na kupata msingi mdogo

Baadhi ya mabadiliko ya matrix hayabadilishi kiwango chake. Mabadiliko kama haya yanaweza kuitwa msingi. Mambo yanayolingana yanaweza kuthibitishwa kwa urahisi kwa kutumia sifa za vibainishi na kubainisha kiwango cha matriki.

1. Upangaji upya wa safuwima.

2. Kuzidisha vipengele vya safu yoyote kwa kipengele kisicho sifuri.

3. Kuongeza safu wima nyingine yoyote kwenye safu, ikizidishwa na nambari isiyo ya kawaida.

4. Kuvuka safu ya sifuri.

Vile vile ni kweli kwa masharti.

Kutumia mabadiliko haya, matrix inaweza kubadilishwa kuwa fomu inayoitwa "trapezoidal" - matrix yenye zero tu chini ya diagonal kuu. Kwa tumbo la "trapezoidal", cheo ni idadi ya vipengele visivyo na sifuri kwenye diagonal kuu, na msingi mdogo ni mdogo ambaye diagonal inafanana na seti ya mambo yasiyo ya sifuri kwenye diagonal kuu ya matrix iliyobadilishwa.

Mfano. Fikiria tumbo

\[ A=\kushoto(\anza(safu)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \mwisho(safu) \kulia). \] Tutaibadilisha kwa kutumia mabadiliko yaliyo hapo juu. \[ A=\kushoto(\anza(safu)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \mwisho(safu) \kulia) \mapsto \kushoto(\anza(safu)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \mwisho(safu) \kulia) \mapsto \kushoto(\anza(safu)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \mwisho(safu) \kulia) \mapsto \] \[ \kushoto(\anza(safu)(cccc) 1 & 0 & 4 & - 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \mwisho(safu) \kulia)\mapsto \kushoto(\anza(safu)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \mwisho(safu)\kulia). \]

Hapa tunafanya hatua zifuatazo kwa mlolongo: 1) panga upya mstari wa pili hadi juu, 2) toa mstari wa kwanza kutoka kwa wengine na sababu inayofaa, 3) toa mstari wa pili kutoka kwa tatu mara 4, ongeza mstari wa pili kwenye nne, 4) vuka mistari ya sifuri - ya tatu na ya nne. Matrix yetu ya mwisho imepata sura inayotaka: kuna nambari zisizo za sifuri kwenye diagonal kuu, na zero chini ya diagonal kuu. Baada ya hayo, utaratibu unaacha na idadi ya vipengele visivyo na sifuri kwenye diagonal kuu ni sawa na cheo cha matrix. Kidogo cha msingi ni safu mbili za kwanza na safu mbili za kwanza. Katika makutano yao kuna matrix ya utaratibu 2 na kiashiria kisicho na sifuri. Wakati huo huo, kurudi pamoja na mlolongo wa mabadiliko kwa upande wa nyuma, unaweza kufuatilia ambapo hii au safu hiyo (hii au safu hiyo) ilitoka kwenye tumbo la mwisho, i.e. amua safu za msingi na safu wima katika matrix asili. KATIKA kwa kesi hii safu mbili za kwanza na safu wima mbili za kwanza huunda msingi mdogo.

Acha A iwe mkusanyiko wa saizi m\ nyakati n na k iwe nambari asilia isiyozidi m na n: k\leqslant\min\(m;n\). Mpangilio mdogo wa kth matriki A ni kibainishi cha mkusanyiko wa mpangilio wa k-th unaoundwa na vipengele kwenye makutano ya safu mlalo za k zilizochaguliwa kiholela na safu wima k za matrix A. Wakati wa kuashiria watoto, tutaonyesha nambari za safu zilizochaguliwa kama fahirisi za juu, na nambari za safu wima zilizochaguliwa kama fahirisi za chini, tukizipanga kwa mpangilio wa kupanda.

Mfano 3.4. Andika watoto wa maagizo tofauti ya matrix

A=\anza(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\mwisho(pmatrix)\!.

Suluhisho. Matrix A ina vipimo 3\times4 . Ina: watoto 12 wa utaratibu wa 1, kwa mfano, mdogo M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; Watoto wa daraja la 18, kwa mfano, M_(()_(23))^(()^(12))=\anza(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; Watoto wa mpangilio wa 4, kwa mfano,

M_(()_(134))^(()^(123))= \anza(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \mwisho(vmatrix)=0.

Katika matrix A ya vipimo m\ nyakati n, mpangilio mdogo wa r-th unaitwa msingi, ikiwa sio sifuri na watoto wote wa mpangilio wa (r+1)-ro ni sawa na sifuri au hawapo kabisa.

Kiwango cha Matrix inaitwa utaratibu wa msingi mdogo. Hakuna msingi mdogo katika matrix ya sifuri. Kwa hiyo, cheo cha matrix ya sifuri ni, kwa ufafanuzi, sawa na sifuri. Kiwango cha matrix A kinaonyeshwa na \jina la opereta(rg)A.

Mfano 3.5. Pata watoto wote wa msingi na kiwango cha matrix

A=\anza(pmmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmmatrix)\!.

Suluhisho. Watoto wote wa mpangilio wa tatu wa matriki hii ni sawa na sifuri, kwa kuwa viashirio hivi vina safu mlalo ya sifuri ya tatu. Kwa hiyo, ni mtoto mdogo wa pili tu aliye katika safu mbili za kwanza za tumbo anaweza kuwa msingi. Kupitia watoto 6 wanaowezekana, tunachagua zisizo sifuri

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \anza(vmatrix)1&2\\0&2 \mwisho( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \anza(vmatrix) 2&0\\2&3\mwisho(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \anza(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Kila moja ya watoto hawa watano ni ya msingi. Kwa hivyo, kiwango cha matrix ni 2.

Vidokezo 3.2

1. Ikiwa watoto wote wa mpangilio wa kth kwenye tumbo ni sawa na sifuri, basi watoto wa daraja la juu pia ni sawa na sifuri. Hakika, kupanua utaratibu mdogo wa (k + 1)-ro juu ya safu yoyote, tunapata jumla ya bidhaa za vipengele vya mstari huu na watoto wa utaratibu wa kth, na ni sawa na sifuri.

2. Kiwango cha matrix ni sawa na mpangilio wa juu zaidi wa nonzero mdogo wa matrix hii.

3. Ikiwa matrix ya mraba sio ya umoja, basi kiwango chake ni sawa na mpangilio wake. Ikiwa matrix ya mraba ni ya umoja, basi kiwango chake ni chini ya mpangilio wake.

4. Uteuzi pia hutumika kwa cheo \jina la opereta(Rg)A,~ \jina la kiendeshaji(rang)A,~ \jina la opereta(cheo)A.

5. Kiwango cha matrix ya kuzuia inafafanuliwa kama kiwango cha matrix ya kawaida (ya nambari), i.e. bila kujali muundo wake wa kuzuia. Katika kesi hii, kiwango cha matrix ya block sio chini ya safu ya vizuizi vyake: \jina la opereta(rg)(A\mid B)\geqslant\jina la opereta(rg)A Na \jina la opereta(rg)(A\mid B)\geqslant\jina la opereta(rg)B, kwa kuwa watoto wote wa matrix A (au B ) pia ni watoto wa matrix ya kuzuia (A\mid B) .

Nadharia kwa msingi mdogo na kiwango cha matrix

Hebu tuzingatie nadharia kuu zinazoonyesha sifa za utegemezi wa mstari na uhuru wa mstari wa safu (safu) za matrix.

Nadharia 3.1 kwa msingi mdogo. Katika matrix ya kiholela, kila safu (safu) ni mchanganyiko wa safu wima (safu) ambamo msingi mdogo unapatikana.

Hakika, bila kupoteza kwa ujumla, tunadhani kuwa katika matrix A ya ukubwa m \ nyakati n msingi mdogo iko katika safu za kwanza na safu za kwanza za r. Fikiria kibainishi

D=\anza(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrix),

ambayo hupatikana kwa kugawa vitu vinavyolingana kwa msingi mdogo wa matrix A safu ya sth na safu ya kth. Kumbuka kwamba kwa yoyote 1\leqslant s\leqslant m na kibainishi hiki ni sawa na sifuri. Ikiwa s\leqslant r au k\leqslant r , basi kibainishi D kina safu mlalo mbili zinazofanana au safu wima mbili zinazofanana. Ikiwa s>r na k>r, basi kiashiria D ni sawa na sifuri, kwani ni ndogo ya mpangilio wa (r+l)-ro. Kupanua kibainishi kwenye mstari wa mwisho, tunapata

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldets+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

ambapo D_(r+1\,j) ni viambajengo vya aljebra vya vipengele vya safu mlalo ya mwisho. Kumbuka kuwa D_(r+1\,r+1)\ne0 kwani hii ni msingi mdogo. Ndiyo maana

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldets+\lambda_r\cdot a_(sr), Wapi \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldets,r.

Kuandika usawa wa mwisho wa s=1,2,\ldets,m, tunapata

\anza(pmmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmmatrix)= \lambda_1\cdot\! \anza(pmmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\mwisho(pmmatrix)+\ldets \lambda_r\cdot\! \anza(pmmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\mwisho(pmmatrix)\!.

hizo. kth safu (kwa yoyote 1\leqslant k\leqslant n) ni mchanganyiko wa mstari wa safu wima za msingi mdogo, ambayo ndiyo tulihitaji kuthibitisha.

Msingi wa nadharia ndogo hutumika kuthibitisha nadharia muhimu zifuatazo.

Masharti ya kibainishi kuwa sifuri

Nadharia 3.2 (muhimu na hali ya kutosha kiambishi kuwa sawa na sifuri). Ili kiashiria kiwe sawa na sifuri, ni muhimu na ya kutosha kwamba moja ya safu zake (moja ya safu zake) iwe mchanganyiko wa mstari wa safu zilizobaki (safu).

Hakika, umuhimu unafuata kutoka kwa msingi wa nadharia ndogo. Ikiwa kiashiria cha matrix ya mraba ya utaratibu n ni sawa na sifuri, basi cheo chake ni chini ya n, i.e. angalau safu wima moja haijajumuishwa katika msingi mdogo. Kisha safu hii iliyochaguliwa, na Theorem 3.1, ni mchanganyiko wa mstari wa safu ambazo msingi mdogo unapatikana. Kwa kuongeza, ikiwa ni lazima, kwenye mchanganyiko huu safu nyingine zilizo na coefficients sifuri, tunapata kwamba safu iliyochaguliwa ni mchanganyiko wa mstari wa safu zilizobaki za matrix. Utoshelevu hufuata kutokana na sifa za kibainishi. Ikiwa, kwa mfano, safu wima ya mwisho A_n ya kibainishi \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) linearly walionyesha kwa njia ya mapumziko

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldets+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

kisha kuongeza kwa safu A_n A_1 ikizidishwa na (-\lambda_1), kisha safu wima A_2 ikizidishwa na (-\lambda_2), nk. safu A_(n-1) ikizidishwa na (-\lambda_(n-1)) tunapata kibainishi \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) na safu wima isiyofaa ambayo ni sawa na sifuri (mali 2 ya kibainishi).

Kubadilika kwa kiwango cha matrix chini ya mabadiliko ya kimsingi

Nadharia 3.3 (juu ya kutofautiana kwa cheo chini ya mabadiliko ya msingi). Wakati wa mabadiliko ya msingi ya safuwima (safu) za matrix, safu yake haibadilika.

Kweli, iwe hivyo. Wacha tuchukulie kuwa kama matokeo ya badiliko moja la msingi la safu wima A tulipata matrix A". Ikiwa mabadiliko ya aina ya I yalifanywa (ruhusa ya safu wima mbili), basi ndogo yoyote (r+l)-ro ya mpangilio. ya matrix A" ni sawa na ndogo inayolingana (r+l )-ro ya mpangilio wa matrix A, au inatofautiana nayo kwa ishara (mali ya 3 ya kibainishi). Ikiwa mabadiliko ya aina ya II yalifanywa (kuzidisha safu kwa nambari \lambda\ne0 ), basi ndogo yoyote (r+l)-ro ya mpangilio wa matrix A" ni sawa na ndogo inayolingana (r+l) -ro ya mpangilio wa matrix A au tofauti nayo kizidishi \lambda\ne0 (mali 6 ya kibainishi) Ikiwa mabadiliko yamefanywa. Aina ya III(kuongeza kwenye safu wima moja safu nyingine iliyozidishwa na nambari \Lambda), basi dogo lolote la mpangilio wa (r+1) wa matrix A" ni sawa na ndogo inayolingana ya mpangilio wa (r+1) wa mpangilio. matrix A (mali 9 ya kibainishi), au sawa na jumla watoto wawili (r+l)-ro wa mpangilio wa matrix A (mali 8 ya kibainishi). Kwa hivyo, chini ya mabadiliko ya kimsingi ya aina yoyote, watoto wote (r+l)-ro wa mpangilio wa matrix A" ni sawa na sifuri, kwani watoto wote (r+l)-ro wa mpangilio wa matrix A ni. sawa na sifuri kwa hivyo, imethibitishwa kuwa chini ya mabadiliko ya msingi ya safu matrix ya kiwango haiwezi kuongezeka. ilithibitisha kuwa kiwango cha matrix haibadilika chini ya mabadiliko ya kimsingi ya safu.

Muhimu 1. Ikiwa safu moja (safu) ya matrix ni mchanganyiko wa mstari wa safu zake zingine (safu), basi safu wima hii (safu) inaweza kufutwa kutoka kwa matrix bila kubadilisha safu yake.

Hakika, kamba kama hiyo inaweza kufanywa sifuri kwa kutumia mabadiliko ya msingi, na kamba ya sifuri haiwezi kujumuishwa katika msingi mdogo.

Muhimu 2. Ikiwa matrix imepunguzwa kwa fomu rahisi (1.7), basi

\jina la opereta(rg)A=\jina la kiendeshaji(rg)\Lambda=r\,.

Hakika, matrix ya fomu rahisi (1.7) ina msingi mdogo wa utaratibu wa rth.

Muhimu 3. Matrix yoyote ya mraba isiyo ya umoja ni ya msingi, kwa maneno mengine, matrix yoyote ya mraba isiyo ya umoja ni sawa na matrix ya utambulisho wa mpangilio sawa.

Hakika, ikiwa A ni matrix ya mraba isiyo ya umoja ya mpangilio wa nth, basi \jina la opereta(rg)A=n(tazama aya ya 3 ya maoni 3.2). Kwa hivyo, kuleta matrix A kwa fomu rahisi zaidi (1.7) na mabadiliko ya kimsingi, tunapata matrix ya utambulisho\Lambda=E_n , tangu \jina la kiendeshaji(rg)A=\jina la kiendeshaji(rg)\Lambda=n(angalia Mfululizo 2). Kwa hivyo, matrix A ni sawa na matriki ya kitambulisho E_n na inaweza kupatikana kutoka kwayo kama matokeo ya idadi maalum ya mabadiliko ya kimsingi. Hii inamaanisha kuwa matrix A ni ya msingi.

Nadharia 3.4 (kuhusu kiwango cha matrix). Kiwango cha matrix ni sawa na idadi ya juu zaidi ya safu mlalo zinazojitegemea za matrix hii.

Kwa kweli, basi \jina la opereta(rg)A=r. Kisha matrix A ina safu r zinazojitegemea kwa mstari. Hizi ni mistari ambayo msingi mdogo iko. Ikiwa walikuwa wanategemea mstari, basi mdogo huyu angekuwa sawa na sifuri kwa Theorem 3.2, na cheo cha matrix A haitakuwa sawa na r. Hebu tuonyeshe kwamba r ni idadi ya juu ya safu za mstari zinazojitegemea, i.e. safu mlalo zozote zinategemea p>r. Hakika, tunaunda matrix B kutoka kwa safu hizi za p. Kwa kuwa matrix B ni sehemu ya matrix A, basi \jina la kiendeshaji(rg)B\leqslant \jina la kiendeshaji(rg)A=r

Hii inamaanisha kuwa angalau safu mlalo moja ya matrix B haijajumuishwa katika msingi mdogo wa matriki hii. Kisha, kwa msingi wa nadharia ndogo, ni sawa na mchanganyiko wa mstari wa safu ambayo msingi mdogo iko. Kwa hivyo, safu za matrix B zinategemea mstari. Kwa hivyo, matriki A ina safu mlalo huru zaidi ya r.

Muhimu 1. Idadi ya juu zaidi ya safu mlalo zinazojitegemea kimstari katika mkusanyiko ni sawa na idadi ya juu zaidi ya safu wima zinazojitegemea kimstari:

\jina la opereta(rg)A=\jina la opereta(rg)A^T.

Taarifa hii inafuata kutoka kwa Nadharia 3.4 ikiwa tutaitumia kwenye safu mlalo za matriki iliyopitishwa na kuzingatia kwamba watoto hawabadiliki wakati wa uhamishaji (mali ya 1 ya kibainishi).

Muhimu 2. Kwa mabadiliko ya msingi ya safu za matrix utegemezi wa mstari(au uhuru wa mstari) ya mfumo wowote wa safu wima za matrix hii zimehifadhiwa.

Kwa kweli, hebu tuchague safu wima zozote za k za matrix A fulani na tutunge matrix B kutoka kwao. Wacha matrix A" ipatikane kama matokeo ya mabadiliko ya kimsingi ya safu A, na matrix B" ipatikane kama matokeo ya mabadiliko sawa ya safu za matrix B. Kwa nadharia 3.3 \jina la opereta(rg)B"=\jina la kiendeshaji(rg)B. Kwa hiyo, ikiwa nguzo za matrix B zilikuwa huru kwa mstari, i.e. k=\jina la opereta(rg)B(ona Corollary 1), kisha safu wima za matrix B" pia zinajitegemea kimstari, kwani k=\jina la opereta(rg)B". Ikiwa safu wima za matrix B zilitegemea mstari (k>\jina la opereta(rg)B), basi safu wima za matrix B" pia zinategemeana (k>\jina la opereta(rg)B"). Kwa hivyo, kwa safuwima zozote za matrix A, utegemezi wa mstari au uhuru wa mstari huhifadhiwa chini ya mabadiliko ya msingi ya safu.

Vidokezo 3.3

1. Kulingana na Mfuatano wa 1 wa Nadharia ya 3.4, sifa ya safu wima iliyoonyeshwa katika Mfululizo wa 2 pia ni kweli kwa mfumo wowote wa safu mlalo za matrix ikiwa mabadiliko ya kimsingi yanafanywa kwenye safu wima zake pekee.

2. Nadharia ya 3 ya Nadharia 3.3 inaweza kuboreshwa kama ifuatavyo: matrix yoyote ya mraba isiyo ya umoja, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi ya safu mlalo zake pekee (au safu wima zake pekee), inaweza kupunguzwa hadi matrix ya utambulisho wa mpangilio sawa.

Kwa kweli, kwa kutumia mabadiliko ya safu ya msingi tu, matrix yoyote A inaweza kupunguzwa kwa fomu iliyorahisishwa \ Lambda (Mchoro 1.5) (ona Theorem 1.1). Kwa kuwa matrix A haina umoja (\det(A)\ne0), safu wima zake zinajitegemea kimstari. Hii ina maana kwamba safu wima za matrix \Lambda pia zinajitegemea kimstari (Corollary 2 of Theorem 3.4). Kwa hivyo, aina iliyorahisishwa ya \Lambda matrix isiyo ya umoja A inalingana na umbo lake rahisi zaidi (Mchoro 1.6) na ni matriki ya utambulisho \Lambda=E (ona Corollary 3 of Theorem 3.3). Kwa hivyo, kwa kubadilisha tu safu za matrix isiyo ya umoja, inaweza kupunguzwa kwa matrix ya utambulisho. Hoja kama hiyo ni halali kwa mabadiliko ya kimsingi ya safu wima za matrix isiyo ya umoja.

Cheo cha bidhaa na jumla ya matrices

Nadharia 3.5 (kwenye safu ya bidhaa ya matrices). Kiwango cha bidhaa ya matrices haizidi safu ya mambo:

\jina la opereta(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\jina la opereta(rg)A,\jina la opereta(rg)B\).

Kwa kweli, acha matrices A na B ziwe na saizi m\times p na p\times n . Wacha tugawanye matrix A tumbo C=AB\koloni\,(A\katikati C). Bila shaka hilo \jina la kiendeshaji(rg)C\leqslant\jina la opereta(rg)(A\mid C), kwa kuwa C ni sehemu ya matrix (A\mid C) (tazama aya ya 5 ya maoni 3.2). Kumbuka kuwa kila safu C_j, kulingana na operesheni ya kuzidisha matrix, ni mchanganyiko wa safu wima A_1,A_2,\ldets,A_p matrices A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldets+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldets,n.

Safu kama hiyo inaweza kufutwa kutoka kwa tumbo (A\mid C) bila kubadilisha kiwango chake (Corollary 1 of Theorem 3.3). Kuvuka safu zote za matrix C, tunapata: \jina la opereta(rg)(A\mid C)=\jina la kiendeshaji(rg)A. Kuanzia hapa, \jina la kiendeshaji(rg)C\leqslant\jina la opereta(rg)(A\mid C)=\jina la opereta(rg)A. Vile vile, tunaweza kuthibitisha kwamba hali hiyo imeridhika wakati huo huo \jina la opereta(rg)C\leqslant\jina la kiendeshaji(rg)B, na kutoa hitimisho kuhusu uhalali wa nadharia hiyo.

Matokeo. Kama A ni matrix ya mraba isiyo ya umoja, basi \jina la opereta(rg)(AB)= \jina la kiendeshaji(rg)B Na \jina la opereta(rg)(CA)=\jina la kiendeshaji(rg)C, i.e. cheo cha matrix haibadiliki inapozidishwa kutoka kushoto au kulia na matrix ya mraba isiyo ya umoja.

Nadharia 3.6 juu ya safu ya jumla ya matrices. Kiwango cha jumla ya matrices haizidi jumla ya safu za masharti:

\jina la kiendeshaji(rg)(A+B)\leqslant \jina la kiendeshaji(rg)A+\jina la kiendeshaji(rg)B.

Kwa kweli, wacha tuunda matrix (A+B\katikati A\katikati ya B). Kumbuka kwamba kila safu ya matrix A+B ni mchanganyiko wa mstari wa safu wima A na B. Ndiyo maana \jina la opereta(rg)(A+B\katikati A\mid B)= \jina la kiendeshaji(rg)(A\mid B). Ikizingatiwa kuwa idadi ya safu wima zinazojitegemea kimstari kwenye matrix (A\katikati B) haizidi \jina la opereta(rg)A+\jina la kiendeshaji(rg)B, a \jina la opereta(rg)(A+B)\leqslant \jina la kiendeshaji(rg)(A+B\mid A\mid B)(tazama sehemu ya 5 ya Hotuba 3.2), tunapata ukosefu wa usawa unaothibitishwa.

Wacha matrix fulani itolewe:

Wacha tuchague kwenye matrix hii masharti holela na nguzo holela
. Kisha kiashiria mpangilio, unaojumuisha vipengele vya matrix
, iko kwenye makutano ya safu na safu zilizochaguliwa, inaitwa ndogo matrix ya utaratibu
.

Ufafanuzi 1.13. Kiwango cha Matrix
kuitwa utaratibu wa juu ndogo ya matrix hii, tofauti na sifuri.

Ili kuhesabu cheo cha matrix, mtu anapaswa kuzingatia watoto wake wote wa utaratibu wa chini kabisa na, ikiwa angalau mmoja wao ni tofauti na sifuri, endelea kuzingatia watoto wa hali ya juu. Njia hii ya kuamua kiwango cha matrix inaitwa njia ya mpaka (au njia ya watoto wanaopakana).

Tatizo 1.4. Kutumia njia ya kupakana na watoto, tambua kiwango cha matrix
.

Fikiria mpangilio wa mpangilio wa kwanza, kwa mfano,
. Kisha tunaendelea kuzingatia upangaji wa mpangilio wa pili.

Kwa mfano,
.

Hatimaye, hebu tuchambue mpaka wa mpangilio wa tatu.

Kwa hivyo agizo la juu zaidi la mtoto ambaye sio sifuri ni 2, kwa hivyo
.

Wakati wa kusuluhisha Tatizo la 1.4, unaweza kugundua kuwa idadi ya watoto wanaopakana na mpangilio wa pili ni nonzero. Katika suala hili, dhana ifuatayo inatumika.

Ufafanuzi 1.14. Msingi mdogo wa matrix ni mtoto yeyote ambaye si sifuri ambaye mpangilio wake ni sawa na kiwango cha matrix.

Nadharia 1.2.(Msingi wa nadharia ndogo). Safu za msingi (safu wima) zinajitegemea kimstari.

Kumbuka kuwa safu mlalo (safu wima) za matriki zinategemeana kimstari ikiwa na iwapo tu angalau moja inaweza kuwakilishwa kama mseto wa nyingine.

Nadharia 1.3. Idadi ya safu mlalo za matrix zinazojitegemea kimstari ni sawa na idadi ya safu wima za matrix zinazojitegemea kimstari na ni sawa na kiwango cha matrix.

Nadharia 1.4.(Hali ya lazima na ya kutosha kwa kibainishi kuwa sawa na sifuri). Ili kwa kibainishi - utaratibu ilikuwa sawa na sifuri, ni muhimu na ya kutosha kwamba safu zake (safu) ziwe tegemezi kwa mstari.

Kuhesabu kiwango cha matrix kulingana na ufafanuzi wake ni ngumu sana. Hii inakuwa muhimu hasa kwa matrices ya maagizo ya juu. Katika suala hili, kwa mazoezi, kiwango cha matrix huhesabiwa kulingana na utumiaji wa nadharia 10.2 - 10.4, na vile vile utumiaji wa dhana za usawa wa matrix na mabadiliko ya kimsingi.

Ufafanuzi 1.15. Matrices mbili
Na wanaitwa sawa ikiwa safu zao ni sawa, i.e.
.

Ikiwa matrices
Na ni sawa, basi kumbuka
 .

Nadharia 1.5. Kiwango cha matrix haibadilika kwa sababu ya mabadiliko ya kimsingi.

Tutaita mabadiliko ya msingi ya matrix
shughuli zozote zifuatazo kwenye matrix:

Kubadilisha safu na safu na safu na safu zinazolingana;

Kupanga upya safu za matrix;

Kuvuka mstari ambao vipengele vyote ni sifuri;

Kuzidisha kamba kwa nambari nyingine isipokuwa sifuri;

Kuongeza kwa vipengele vya mstari mmoja vipengele vinavyolingana vya mstari mwingine vinazidishwa na nambari sawa
.

Mfuatano wa Nadharia 1.5. Ikiwa matrix
zilizopatikana kutoka kwa tumbo kwa kutumia idadi ndogo ya mabadiliko ya kimsingi, kisha matrix
Na ni sawa.

Wakati wa kuhesabu kiwango cha matrix, inapaswa kupunguzwa kwa fomu ya trapezoidal kwa kutumia idadi ndogo ya mabadiliko ya msingi.

Ufafanuzi 1.16. Tutaita trapezoidal aina ya uwakilishi wa tumbo wakati katika sehemu ndogo inayopakana na isiyo ya sifuri, vipengele vyote vilivyo chini ya zile za diagonal hupotea. Kwa mfano:

Hapa
, vipengele vya matrix
nenda kwa sifuri. Kisha fomu ya uwakilishi wa matrix hiyo itakuwa trapezoidal.

Kama sheria, matrices hupunguzwa kwa sura ya trapezoidal kwa kutumia algorithm ya Gaussian. Wazo la algorithm ya Gauss ni kwamba, kwa kuzidisha vitu vya safu ya kwanza ya matrix na mambo yanayolingana, inafanikiwa kuwa vitu vyote vya safu ya kwanza iko chini ya kitu hicho.
, ingegeuka kuwa sifuri. Kisha, kuzidisha vipengele vya safu ya pili na mambo yanayolingana, tunahakikisha kwamba vipengele vyote vya safu ya pili iko chini ya kipengele.
, ingegeuka kuwa sifuri. Kisha endelea kwa njia ile ile.