Hebu tusifikiri juu ya mambo ya juu kwa muda mrefu - hebu tuanze mara moja na ufafanuzi.

- hii ni wakati n majaribio ya kujitegemea yanayofanana yanafanywa, katika kila moja ambayo tukio A la maslahi kwetu linaweza kuonekana, na uwezekano wa tukio hili P (A) = p inajulikana. Tunahitaji kubainisha uwezekano kwamba, baada ya majaribio n, tukio A litatokea mara k haswa.

Shida ambazo zinaweza kutatuliwa kwa kutumia mpango wa Bernoulli ni tofauti sana: kutoka kwa rahisi (kama vile "tafuta uwezekano kwamba mpiga risasi atapiga mara 1 kwa 10") hadi kali sana (kwa mfano, shida zinazohusisha asilimia au kucheza kadi) Kwa kweli, mpango huu mara nyingi hutumiwa kutatua matatizo yanayohusiana na ufuatiliaji wa ubora wa bidhaa na uaminifu wa taratibu mbalimbali, sifa zote ambazo zinapaswa kujulikana kabla ya kuanza kazi.

Hebu turudi kwenye ufafanuzi. Kwa sababu ya tunazungumzia kuhusu majaribio huru, na katika kila jaribio uwezekano wa tukio A ni sawa, ni matokeo mawili tu yanawezekana:

1. A ni utokeaji wa tukio A lenye uwezekano p;
2. "sio A" - tukio A halikutokea, ambalo linatokea kwa uwezekano q = 1 - p.

Hali muhimu zaidi, bila ambayo mpango wa Bernoulli unapoteza maana yake, ni uthabiti. Haijalishi ni majaribio mangapi tunayofanya, tunavutiwa na tukio sawa A, ambalo hutokea kwa uwezekano sawa uk.

Kwa njia, sio matatizo yote katika nadharia ya uwezekano yanapunguzwa kwa hali ya mara kwa mara. Mwalimu yeyote mwenye uwezo atakuambia kuhusu hili. hisabati ya juu. Hata kitu rahisi kama kuchukua mipira ya rangi kutoka kwenye sanduku sio uzoefu na hali za mara kwa mara. Walichukua mpira mwingine - uwiano wa rangi kwenye sanduku ulibadilika. Kwa hivyo, uwezekano umebadilika.

Ikiwa hali ni thabiti, tunaweza kubainisha kwa usahihi uwezekano kwamba tukio A litatokea mara k haswa kati ya n iwezekanavyo. Wacha tuunde ukweli huu katika mfumo wa nadharia:

Acha uwezekano wa kutokea kwa tukio A katika kila jaribio uwe thabiti na sawa na uk. Halafu uwezekano kwamba tukio A litaonekana mara k haswa katika majaribio huru n huhesabiwa kwa fomula:

ambapo C n k ni idadi ya michanganyiko, q = 1 - p.

Fomula hii inaitwa:. Inashangaza kutambua kwamba matatizo yaliyotolewa hapa chini yanaweza kutatuliwa kabisa bila kutumia fomula hii. Kwa mfano, unaweza kutumia fomula za kuongeza uwezekano. Walakini, kiasi cha hesabu kitakuwa kisichowezekana.

Kazi. Uwezekano wa kutengeneza bidhaa yenye kasoro kwenye mashine ni 0.2. Amua uwezekano kwamba katika kundi la sehemu kumi zinazozalishwa kwenye mashine hii sehemu za k zitakuwa bila kasoro. Tatua tatizo kwa k = 0, 1, 10.

Kwa mujibu wa hali hiyo, tunavutiwa na tukio A la kutolewa kwa bidhaa bila kasoro, ambayo hutokea kila wakati kwa uwezekano p = 1 - 0.2 = 0.8. Tunahitaji kubainisha uwezekano kwamba tukio hili litatokea mara k. Tukio A linalinganishwa na tukio "sio A", i.e. kutolewa kwa bidhaa yenye kasoro.

Hivyo, tuna: n = 10; p = 0.8; q = 0.2.

Kwa hivyo, tunapata uwezekano kwamba sehemu zote kwenye kundi zina kasoro (k = 0), kwamba kuna sehemu moja tu isiyo na kasoro (k = 1), na kwamba hakuna sehemu zenye kasoro kabisa (k = 10):

Kazi. Sarafu inatupwa mara 6. Vichwa vya kutua na mikia vina uwezekano sawa. Tafuta uwezekano kwamba:

1. kanzu ya mikono itaonekana mara tatu;
2. kanzu ya silaha itaonekana mara moja;
3. kanzu ya silaha itaonekana angalau mara mbili.

Kwa hivyo, tunavutiwa na tukio A, wakati kanzu ya mikono iko nje. Uwezekano wa tukio hili ni p = 0.5. Tukio A linalinganishwa na tukio "si A", wakati matokeo ni vichwa, ambayo hutokea kwa uwezekano q = 1 - 0.5 = 0.5. Tunahitaji kuamua uwezekano kwamba kanzu ya silaha itaonekana mara k.

Hivyo, tuna: n = 6; p = 0.5; q = 0.5.

Hebu tutambue uwezekano kwamba kanzu ya silaha hutolewa mara tatu, i.e. k = 3:

Sasa hebu tutambue uwezekano kwamba kanzu ya silaha ilikuja mara moja tu, i.e. k = 1:

Inabakia kuamua na uwezekano gani kanzu ya silaha itaonekana angalau mara mbili. Jambo kuu ni katika kifungu "sio chini." Inatokea kwamba k yoyote isipokuwa 0 na 1 itatufaa, i.e. tunahitaji kupata thamani ya jumla ya X = P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Kumbuka kwamba jumla hii pia ni sawa na (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), i.e. ya kutosha ya yote chaguzi zinazowezekana"kata" wale wakati kanzu ya silaha ilianguka mara 1 (k = 1) au haikuanguka kabisa (k = 0). Kwa kuwa tayari tunajua P 6 (1), inabaki kupata P 6 (0):

Kazi. Uwezekano kwamba TV ina kasoro zilizofichwa ni 0.2. TV 20 zilifika kwenye ghala. Ni tukio gani linalowezekana zaidi: kwamba katika kundi hili kuna seti mbili za TV zilizo na kasoro zilizofichwa au tatu?

Tukio la kupendeza A ni uwepo wa kasoro iliyofichika. Kuna n = TV 20 kwa jumla, uwezekano wa kasoro iliyofichwa ni p = 0.2. Ipasavyo, uwezekano wa kupokea TV bila kasoro iliyofichwa ni q = 1 - 0.2 = 0.8.

Tunapata masharti ya kuanzia kwa mpango wa Bernoulli: n = 20; p = 0.2; q = 0.8.

Wacha tupate uwezekano wa kupata TV mbili "zisizo" (k = 2) na tatu (k = 3):

\[\anza(safu)(l)(P_(20))\kushoto(2 \kulia) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20)}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Kwa wazi, P 20 (3) > P 20 (2), i.e. uwezekano wa kupokea televisheni tatu zenye kasoro zilizojificha ni mkubwa kuliko uwezekano wa kupokea televisheni mbili tu za aina hiyo. Aidha, tofauti si dhaifu.

Ujumbe wa haraka kuhusu factorials. Watu wengi hupata hisia zisizo wazi za usumbufu wanapoona ingizo "0!" (soma "zero factorial"). kwa hivyo, 0! = 1 kwa ufafanuzi.

P.S. Na uwezekano mkubwa katika kazi ya mwisho ni kupata TV nne zilizo na kasoro zilizofichwa. Jihesabu mwenyewe na ujionee mwenyewe.

Angalia pia:

Asante kwa kusoma na kushiriki na wengine.

Wakati wa kutatua matatizo ya uwezekano, mara nyingi mtu hukutana na hali ambayo mtihani huo unarudiwa mara nyingi na matokeo ya kila mtihani ni huru na matokeo ya wengine. Jaribio hili pia linaitwa mpango wa upimaji huru unaorudiwa au Mpango wa Bernoulli.

Mifano ya majaribio ya mara kwa mara:

1) kuondolewa mara kwa mara kwa mpira mmoja kutoka kwa urn, mradi mpira ulioondolewa umewekwa tena kwenye urn baada ya kusajili rangi yake;

2) marudio ya mpiga risasi mmoja kwa lengo sawa, mradi uwezekano wa kupiga kwa mafanikio kwa kila risasi unadhaniwa kuwa sawa (jukumu la sifuri halizingatiwi).

Kwa hiyo, basi vipimo viweze iwezekanavyo kama matokeo matokeo mawili: ama tukio litatokea A, au tukio kinyume. Wacha tufanye majaribio ya n Bernoulli. Hii ina maana kwamba majaribio yote ni huru; uwezekano wa kutokea kwa tukio $A$ katika kila jaribio la mtu binafsi au moja ni thabiti na haubadiliki kutoka kwa jaribio hadi jaribio (yaani, majaribio hufanywa chini ya hali sawa). Hebu tuonyeshe uwezekano wa kutokea kwa tukio $A$ katika jaribio moja kwa herufi $p$, i.e. $p=P(A)$, na uwezekano tukio kinyume(tukio $A$ halikutokea) - yenye herufi $q=P(\overline(A))=1-p$.

Kisha uwezekano kwamba tukio hilo A itaonekana katika haya n vipimo hasa k nyakati, zilizoonyeshwa Fomula ya Bernoulli

$$P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^(n-k), \quad q=1-p.$$

Usambazaji wa idadi ya mafanikio (matukio ya tukio) inaitwa usambazaji wa binomial.

Vikokotoo vya mtandaoni vya fomula ya Bernoulli

Baadhi ya aina maarufu za shida zinazotumia fomula ya Bernoulli zinajadiliwa katika vifungu na zikiwa na kikokotoo cha mkondoni, unaweza kufuata viungo:

Mifano ya ufumbuzi wa matatizo kwa kutumia fomula ya Bernoulli

Mfano. Kuna mipira 20 nyeupe na 10 nyeusi kwenye mkojo. Mipira 4 hutolewa nje, na kila mpira uliotolewa unarudishwa kwenye mkojo kabla ya mwingine kutolewa nje na mipira kwenye mkojo kuchanganyikiwa.

Fomula ya Bernoulli. Kutatua tatizo

Tafuta uwezekano kwamba kati ya mipira minne inayotolewa kutakuwa na 2 nyeupe.

Suluhisho. Tukio A- alichukua mpira mweupe. Kisha uwezekano
, .
Kulingana na fomula ya Bernoulli, uwezekano unaohitajika ni sawa na
.

Mfano. Amua uwezekano kwamba familia yenye watoto 5 haitakuwa na wasichana zaidi ya watatu. Uwezekano wa kuwa na mvulana na msichana unadhaniwa kuwa sawa.

Suluhisho. Uwezekano wa kuwa na msichana
, Kisha.

Wacha tupate uwezekano kwamba hakuna wasichana katika familia, msichana mmoja, wawili au watatu walizaliwa:

, ,

, .

Kwa hiyo, uwezekano unaohitajika

.

Mfano. Miongoni mwa sehemu zilizochakatwa na mfanyakazi, kwa wastani 4% sio za kawaida. Pata uwezekano kwamba kati ya sehemu 30 zilizochukuliwa kwa majaribio, mbili zitakuwa zisizo za kawaida.

Suluhisho. Hapa uzoefu unajumuisha kuangalia kila moja ya sehemu 30 kwa ubora.

Tukio A ni "kuonekana kwa sehemu isiyo ya kawaida", uwezekano wake ni basi. Kutoka hapa, kwa kutumia formula ya Bernoulli, tunapata
.

Mfano. Kwa kila risasi ya mtu binafsi kutoka kwa bunduki, uwezekano wa kugonga lengo ni 0.9. Tafuta uwezekano kwamba kati ya picha 20 idadi ya picha zilizofaulu itakuwa angalau 16 na si zaidi ya 19.

Suluhisho. Tunahesabu kwa kutumia formula ya Bernoulli:

Mfano. Jaribio la kujitegemea linaendelea hadi tukio A haitatokea k mara moja. Tafuta uwezekano kwamba itahitajika n vipimo (n ³ k), ikiwa katika kila moja yao .

Suluhisho. Tukio KATIKA- hasa n vipimo kabla k- tukio la tukio A- ni zao la matukio mawili yafuatayo:

D - ndani n- mtihani A kilichotokea;

C - kwanza (n-1)- vipimo A ilionekana (k-1) mara moja.

Nadharia ya kuzidisha na fomula ya Bernoulli inatoa uwezekano unaohitajika:

Ikumbukwe kwamba matumizi ya sheria ya binomial mara nyingi huhusishwa na matatizo ya computational. Kwa hiyo, kwa kuongeza maadili n Na m Inashauriwa kutumia fomula takriban (Poisson, Moivre-Laplace), ambayo itajadiliwa katika sehemu zifuatazo.

Mafunzo ya video formula Bernoulli

Kwa wale wanaopendelea maelezo thabiti ya video, video ya dakika 15:

Fomula ya uwezekano wa jumla: nadharia na mifano ya utatuzi wa shida

Jumla ya fomula ya uwezekano na uwezekano wa masharti wa matukio

Mfumo uwezekano kamili ni matokeo ya kanuni za msingi za nadharia ya uwezekano - sheria za kuongeza na sheria za kuzidisha.

Fomula ya jumla ya uwezekano hukuruhusu kupata uwezekano wa tukio A, ambayo inaweza tu kutokea kwa kila moja ya n matukio ya kipekee ambayo huunda mfumo kamili, ikiwa uwezekano wao unajulikana, na uwezekano wa masharti matukio A kuhusiana na kila moja ya matukio ya mfumo ni sawa.

Matukio pia huitwa hypotheses; ni ya kipekee. Kwa hivyo, katika fasihi unaweza pia kupata jina lao sio kwa barua B, na barua H(dhahania).

Ili kutatua matatizo na hali hiyo, ni muhimu kuzingatia 3, 4, 5 au kesi ya jumla n uwezekano wa tukio kutokea A- na kila tukio.

Kwa kutumia nadharia za kuongeza na kuzidisha uwezekano, tunapata jumla ya bidhaa za uwezekano wa kila moja ya matukio ya mfumo. uwezekano wa masharti matukio A kuhusu kila moja ya matukio ya mfumo.

21 vipimo vya Bernoulli. Fomula ya Bernoulli

Hiyo ni, uwezekano wa tukio A inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula

au kwa ujumla

,

ambayo inaitwa jumla ya formula ya uwezekano .

Fomula ya uwezekano wa jumla: mifano ya utatuzi wa shida

Mfano 1. Kuna urns tatu zinazofanana: ya kwanza ina mipira 2 nyeupe na 3 nyeusi, ya pili ina 4 nyeupe na moja nyeusi, ya tatu ina mipira mitatu nyeupe. Mtu anakaribia moja ya uni bila mpangilio na kuchukua mpira kutoka humo. Kuchukua faida jumla ya formula ya uwezekano, pata uwezekano kwamba mpira huu utakuwa mweupe.

Suluhisho. Tukio A- mwonekano mpira mweupe. Tunatoa nadharia tatu:

- sanduku la kwanza la kura limechaguliwa;

- sanduku la pili la kura limechaguliwa;

- urn ya tatu imechaguliwa.

Uwezekano wa masharti wa tukio A kuhusu kila moja ya dhana:

, , .

Tunatumia fomula ya jumla ya uwezekano, na kusababisha uwezekano unaohitajika:

.

Mfano 2. Katika mmea wa kwanza, kati ya kila balbu 100, wastani wa balbu 90 za kawaida hutolewa, kwa pili - 95, kwa tatu - 85, na bidhaa za viwanda hivi ni 50%, 30% na 20%. , kwa mtiririko huo, ya balbu zote za mwanga zinazotolewa kwa maduka katika eneo fulani. Tafuta uwezekano wa kununua balbu ya kawaida.

Suluhisho. Hebu tuonyeshe uwezekano wa kununua balbu ya kawaida kwa A, na matukio ambayo balbu ya taa iliyonunuliwa ilitengenezwa katika viwanda vya kwanza, vya pili na vya tatu, kwa mtiririko huo, kupitia. Kwa hali, uwezekano wa matukio haya hujulikana: , , na uwezekano wa masharti ya tukio hilo A kuhusu kila mmoja wao: , , . Huu ndio uwezekano wa kununua balbu ya kawaida ya mwanga, mradi ilitengenezwa katika viwanda vya kwanza, vya pili na vya tatu, kwa mtiririko huo.

Tukio A itatokea ikiwa tukio litatokea K- balbu ya mwanga hutengenezwa kwenye mmea wa kwanza na ni ya kawaida, au tukio L- balbu ya mwanga hutengenezwa kwenye mmea wa pili na ni ya kawaida, au tukio M- balbu ya mwanga ilitengenezwa kwenye mmea wa tatu na ni ya kawaida.

Uwezekano mwingine wa tukio kutokea A Hapana. Kwa hiyo, tukio A ni jumla ya matukio K, L Na M, ambazo haziendani. Kwa kutumia nadharia ya kuongeza uwezekano, tunawazia uwezekano wa tukio A kama

na kwa nadharia ya uwezekano wa kuzidisha tunayopata

hiyo ni, kesi maalum jumla ya fomula za uwezekano.

Kubadilisha thamani za uwezekano katika upande wa kushoto wa fomula, tunapata uwezekano wa tukio. A:

Je, huna muda wa kuzama katika suluhisho? Unaweza kuagiza kazi!

Mfano 3. Ndege inatua kwenye uwanja wa ndege. Ikiwa hali ya hewa inaruhusu, rubani huweka ndege, kwa kutumia, pamoja na vyombo, pia uchunguzi wa kuona. Katika kesi hii, uwezekano wa kutua salama ni sawa na. Ikiwa uwanja wa ndege umefunikwa na mawingu ya chini, basi rubani hutua ndege, akiongozwa na vyombo tu. Katika kesi hii, uwezekano wa kutua salama ni sawa na; .

Vifaa ambavyo hutoa kutua kwa upofu ni vya kuaminika (uwezekano wa operesheni bila kushindwa) P. Katika uwepo wa mawingu ya chini na vyombo vya kutua vipofu vilivyoshindwa, uwezekano wa kutua kwa mafanikio ni sawa na; . Takwimu zinaonyesha kuwa katika k% ya kutua uwanja wa ndege umefunikwa na mawingu ya chini. Tafuta uwezekano wa jumla wa tukioA- kutua salama kwa ndege.

Suluhisho. Nadharia:

- hakuna mawingu ya chini;

- kuna mawingu ya chini.

Uwezekano wa dhana hizi (matukio):

;

Uwezekano wa masharti.

Tutapata tena uwezekano wa masharti kwa kutumia fomula ya uwezekano kamili na dhahania

- vifaa vya kutua vipofu vinafanya kazi;

- vyombo vya kutua vipofu vilishindwa.

Uwezekano wa nadharia hizi:

Kulingana na formula ya jumla ya uwezekano

Mfano 4. Kifaa kinaweza kufanya kazi kwa njia mbili: kawaida na isiyo ya kawaida. Hali ya kawaida huzingatiwa katika 80% ya matukio yote ya uendeshaji wa kifaa, na hali isiyo ya kawaida huzingatiwa katika 20% ya kesi. Uwezekano wa kushindwa kwa kifaa ndani muda fulani t sawa na 0.1; katika hali isiyo ya kawaida 0.7. Tafuta uwezekano kamili kushindwa kwa kifaa kwa muda t.

Suluhisho. Tunaashiria tena uwezekano wa kushindwa kwa kifaa kupitia A. Kwa hiyo, kuhusu uendeshaji wa kifaa katika kila hali (tukio), uwezekano unajulikana kulingana na hali: kwa hali ya kawaida hii ni 80% (), kwa hali isiyo ya kawaida - 20% (). Uwezekano wa tukio A(yaani, kushindwa kwa kifaa) kulingana na tukio la kwanza (hali ya kawaida) ni sawa na 0.1 (); kulingana na tukio la pili (hali isiyo ya kawaida) - 0.7 ( ) Tunabadilisha maadili haya katika fomula ya jumla ya uwezekano (ambayo ni, jumla ya bidhaa za uwezekano wa kila tukio la mfumo kwa uwezekano wa masharti wa tukio. A kuhusu kila moja ya matukio ya mfumo) na mbele yetu kuna matokeo yanayohitajika.

1

1. Bogolyubov A.N. Wanahisabati. Mechanics: kitabu cha kumbukumbu ya wasifu. - Kyiv: Naukova Dumka, 1983.

2. Gulay T.A., Dolgopolova A.F., Litvin D.B. Uchambuzi na tathmini ya kipaumbele cha sehemu za taaluma za hesabu zilizosomwa na wanafunzi wa utaalam wa kiuchumi. vyuo vikuu vya kilimo// Bulletin ya AIC ya Stavropol. - 2013. - Nambari 1 (9). – Uk. 6-10.

3. Dolgopolova A.F., Gulay T.A., Litvin D.B. Matarajio ya maombi mbinu za hisabati V utafiti wa kiuchumi// Sayansi ya kilimo, ubunifu, ukuaji. - 2013. - P. 255-257.

Katika hisabati, mara nyingi kuna matatizo ambayo kuna idadi kubwa ya marudio ya hali sawa, jaribio au jaribio. Matokeo ya kila mtihani yatazingatiwa kuwa tofauti kabisa na ya awali. Pia hakutakuwa na utegemezi katika matokeo. Kama matokeo ya mtihani, uwezekano kadhaa wa matokeo ya kimsingi unaweza kutofautishwa: kutokea kwa tukio (A) au tukio la tukio ambalo linakamilisha A.

Basi hebu tujaribu kudhani kuwa uwezekano wa kutokea kwa tukio P (A) ni wa kawaida na sawa na p (0).<р<1).

Mifano ya mtihani huo inaweza kuwa idadi kubwa ya kazi, kama vile kurusha sarafu, kuchora mipira nyeusi na nyeupe kutoka kwenye mfuko wa giza, au kuzaa sungura nyeusi na nyeupe.

Jaribio hili linaitwa muundo wa majaribio huru unaorudiwa au muundo wa Bernoulli.

Jacob Bernoulli alizaliwa katika familia ya mfamasia. Baba alijaribu kuweka mtoto wake kwenye njia ya matibabu, lakini J. Bernoulli alipendezwa na hisabati peke yake, na baadaye ikawa taaluma yake. Anamiliki nyara mbalimbali katika kazi za mada katika nadharia ya uwezekano na nambari, mfululizo na calculus tofauti. Baada ya kusoma nadharia ya uwezekano kutoka kwa moja ya kazi za Huygens "Kwenye Mahesabu katika Kamari," Jacob alipendezwa nayo. Kitabu hiki hakikufafanua waziwazi wazo la "uwezekano." Ilikuwa ni J. Bernoulli aliyeingiza dhana nyingi za kisasa za nadharia ya uwezekano katika hisabati. Bernoulli pia alikuwa wa kwanza kuelezea toleo lake la sheria ya idadi kubwa. Kazi mbalimbali, nadharia na mipango hubeba jina la Jacob: "Nambari za Bernoulli", "Bernoulli Polynomial", "Bernoulli Differential Equation", "Bernoulli Distribution" na "Bernoulli Equation".

Turudi kwa wawakilishi. Kama ilivyoonyeshwa hapo juu, kama matokeo ya majaribio anuwai, matokeo mawili yanawezekana: ama tukio A litatokea, au kinyume cha tukio hili. Mpango wa Bernoulli yenyewe unaashiria utengenezaji wa nambari ya n-th ya majaribio ya kawaida ya bure, na katika kila moja ya majaribio haya tukio A tunalohitaji linaweza kuonekana (uwezekano wa tukio hili unajulikana: P (A) = p), uwezekano. ya tukio kinyume na tukio A inaonyeshwa na q = P( A)=1-p. Inahitajika kuamua uwezekano kwamba wakati wa kupima idadi isiyojulikana, tukio A litaonekana mara k haswa.

Ni muhimu kukumbuka hali kuu wakati wa kutatua matatizo kwa kutumia mpango wa Bernoulli - hii ni mara kwa mara. Bila hivyo, mpango huo unapoteza maana yote.

Mpango huu unaweza kutumika kutatua matatizo ya ngazi mbalimbali za utata: kutoka rahisi (sarafu sawa) hadi ngumu (maslahi). Walakini, mara nyingi zaidi mpango wa Bernoulli hutumiwa katika kutatua shida zinazojumuisha ufuatiliaji wa mali ya bidhaa anuwai na kujiamini katika mifumo mbali mbali. Ili tu kutatua shida, hali zote na maadili lazima yajulikane mapema kabla ya kuanza kazi.

Sio matatizo yote katika nadharia ya uwezekano yanapunguzwa kwa uthabiti katika hali. Hata ikiwa tunachukua mipira nyeusi na nyeupe kwenye begi la giza kama mfano: wakati mpira mmoja unapotolewa, uwiano wa nambari na rangi za mipira kwenye begi hubadilika, ambayo inamaanisha kuwa uwezekano wenyewe pia hubadilika.

Walakini, ikiwa hali zetu ni za kila wakati, basi tunaweza kuamua kwa usahihi uwezekano unaohitajika kwetu kwamba tukio A litatokea haswa mara k nje ya n iwezekanavyo.

Jacob Bernoulli alikusanya ukweli huu katika nadharia, ambayo baadaye ilianza kuitwa baada yake. "Nadharia ya Bernoulli" ni mojawapo ya nadharia kuu katika nadharia ya uwezekano. Ilichapishwa kwa mara ya kwanza katika kazi ya J. Bernoulli "Sanaa ya Assumptions." Nadharia hii ni nini? “Ikiwa uwezekano p wa kutokea kwa tukio A katika kila jaribio ni thabiti, basi uwezekano Pk,n kwamba tukio litatokea mara k katika majaribio n ambayo hayategemei ni sawa na: , ambapo q=1-p .”

Matatizo yanaweza kutajwa ili kuthibitisha ufanisi wa fomula.

Jukumu #1:

Kutoka kwa mitungi ya glasi, k kuvunja wakati wa mwezi wa kuhifadhi. Tulichukua m makopo bila mpangilio. Pata uwezekano kwamba kati ya makopo haya hayatavunja. n=250, k=10, m=8,l=4.

Suluhisho: Tunayo mpango wa Bernoulli na maadili:

p=10/250=0.04 (uwezekano kwamba mitungi itavunjika);

n=8 (idadi ya majaribio);

k=8-4=4 (idadi ya makopo yaliyovunjika).

Tunatumia formula ya Bernoulli

Nimepata:

Jibu: 0.0141

Kazi #2:

Uwezekano wa kuzalisha bidhaa yenye kasoro katika uzalishaji ni 0.2. Tafuta uwezekano kwamba kati ya bidhaa 10 zinazotengenezwa katika tovuti hii ya uzalishaji k zinapaswa kuwa katika mpangilio mzuri wa kufanya kazi. Tatua kwa k = 0, 1, 10.

Tunavutiwa na tukio A - utengenezaji wa sehemu zinazoweza kutumika, ambayo hufanyika mara moja kwa saa na uwezekano p=1-0.2=0.8. Tunahitaji kupata uwezekano kwamba tukio hili litatokea mara k. Kinyume cha tukio A ni tukio "si A", i.e. kutengeneza bidhaa yenye kasoro.

Kwa hiyo, tunayo: n=10; p=0.8; q=0.2.

Matokeo yake, tutapata uwezekano kwamba kati ya bidhaa 10 zinazotengenezwa bidhaa zote ni mbovu (k=0), kwamba bidhaa moja inafanya kazi (k=1), kwamba hakuna zenye kasoro kabisa (k=10):

Kwa kumalizia, ningependa kutambua kwamba katika nyakati za kisasa wanasayansi wengi wanajaribu kuthibitisha kwamba "formula ya Bernoulli" hailingani na sheria za asili na kwamba matatizo yanaweza kutatuliwa bila kuitumia. Kwa kweli, hii inawezekana, shida nyingi katika nadharia ya uwezekano zinaweza kukamilika bila formula ya Bernoulli, jambo kuu sio kuchanganyikiwa kwa idadi kubwa ya nambari.

Kiungo cha bibliografia

Khomutova E.A., Kalinichenko V.A. BERNOULLI FORMULA IN PROBABILITY THEORY // Taarifa ya Kisayansi ya Wanafunzi wa Kimataifa. - 2015. - Nambari 3-4.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=14141 (tarehe ya ufikiaji: 03/12/2019). Tunakuletea magazeti yaliyochapishwa na shirika la uchapishaji "Chuo cha Sayansi ya Asili"

Takwimu hutusaidia katika kutatua matatizo mengi, kwa mfano: wakati haiwezekani kuunda muundo wa kuamua, wakati kuna mambo mengi, au wakati tunahitaji kutathmini uwezekano wa muundo uliojengwa kwa kuzingatia data inayopatikana. Mtazamo kuelekea takwimu ni utata. Kuna maoni kwamba kuna aina tatu za uwongo: uwongo, uwongo uliolaaniwa na takwimu. Kwa upande mwingine, "watumiaji" wengi wa takwimu wanaamini sana, bila kuelewa kikamilifu jinsi inavyofanya kazi: kwa mfano, kutumia mtihani kwa data yoyote bila kuangalia kawaida yake. Uzembe kama huo unaweza kuzalisha makosa makubwa na kugeuza "mashabiki" wa mtihani kuwa watu wanaochukia takwimu. Wacha tujaribu kuweka mikondo juu ya i na tubaini ni mifano gani ya vigeu vya nasibu vinavyopaswa kutumiwa kuelezea matukio fulani na ni uhusiano gani wa kijeni upo kati yao.

Kwanza kabisa, nyenzo hii itakuwa ya kupendeza kwa wanafunzi wanaosoma nadharia na takwimu za uwezekano, ingawa wataalam "waliokomaa" wataweza kuitumia kama rejeleo. Katika mojawapo ya kazi zifuatazo, nitaonyesha mfano wa kutumia takwimu ili kujenga mtihani kwa ajili ya kutathmini umuhimu wa viashiria vya mikakati ya biashara ya kubadilishana.

Kazi itazingatia:

Mwishoni mwa makala kutakuwa na swali la kutafakari. Nitawasilisha mawazo yangu kuhusu jambo hili katika makala inayofuata.

Baadhi ya ugawaji unaoendelea hapo juu ni kesi maalum.

Ugawaji tofauti

Usambazaji tofauti hutumiwa kuelezea matukio yenye sifa zisizoweza kutofautishwa zinazofafanuliwa katika maeneo yaliyotengwa. Kwa ufupi, kwa matukio ambayo matokeo yake yanaweza kuainishwa katika jamii fulani tofauti: mafanikio au kutofaulu, nambari kamili (kwa mfano, mchezo wa roulette, kete), vichwa au mikia, nk.

Usambazaji tofauti wa uwezekano wa kutokea kwa kila moja ya matokeo ya uwezekano wa tukio umeelezwa. Kama ilivyo kwa usambazaji wowote (pamoja na kuendelea), dhana za matarajio na mtawanyiko hufafanuliwa kwa matukio tofauti. Walakini, inapaswa kueleweka kuwa matarajio ya hisabati kwa tukio lisilo la kawaida ni thamani katika hali ya jumla ambayo haiwezi kufikiwa kama matokeo ya tukio moja la nasibu, lakini kama dhamana ambayo maana ya hesabu ya matokeo ya matukio. itaelekea kadri idadi yao inavyoongezeka.

Katika kuiga matukio ya nasibu mahususi, viunganishi vina jukumu muhimu, kwani uwezekano wa matokeo ya tukio unaweza kufafanuliwa kama uwiano wa idadi ya michanganyiko inayotoa matokeo yanayohitajika kwa jumla ya idadi ya michanganyiko. Kwa mfano: kuna mipira 3 nyeupe na mipira 7 nyeusi kwenye kikapu. Tunapochagua mpira 1 kutoka kwa kikapu, tunaweza kufanya hivyo kwa njia 10 tofauti (jumla ya idadi ya mchanganyiko), lakini chaguo 3 tu ambazo mpira mweupe utachaguliwa (mchanganyiko 3 ambao hutoa matokeo yaliyohitajika). Kwa hivyo, uwezekano wa kuchagua mpira mweupe ni: ().

Mtu anapaswa pia kutofautisha kati ya sampuli na bila kurudi. Kwa mfano, kuelezea uwezekano wa kuchagua mipira miwili nyeupe, ni muhimu kuamua ikiwa mpira wa kwanza utarejeshwa kwenye kikapu. Ikiwa sivyo, basi tunashughulika na sampuli bila kurudi () na uwezekano utakuwa kama ifuatavyo: - uwezekano wa kuchagua mpira mweupe kutoka kwa sampuli ya awali ukizidishwa na uwezekano wa kuchagua tena mpira mweupe kutoka kwa wale waliobaki kwenye kikapu. . Ikiwa mpira wa kwanza unarudi kwenye kikapu, basi hii ni kuchota na kurudi (). Katika kesi hii, uwezekano wa kuchagua mipira miwili nyeupe ni.

Ikiwa tutarasimisha mfano na kikapu kwa kiasi fulani kama ifuatavyo: acha matokeo ya tukio yachukue moja ya maadili mawili 0 au 1 na uwezekano na mtawaliwa, basi usambazaji wa uwezekano wa kupata kila moja ya matokeo yaliyopendekezwa utaitwa usambazaji wa Bernoulli. :

Kwa mujibu wa mila iliyoanzishwa, matokeo yenye thamani ya 1 inaitwa "mafanikio", na matokeo yenye thamani ya 0 inaitwa "kushindwa". Ni wazi, kupata matokeo ya "mafanikio au kutofaulu" hutokea kwa uwezekano.

Matarajio na tofauti ya usambazaji wa Bernoulli:

Idadi ya mafanikio katika majaribio, matokeo ambayo yanasambazwa kulingana na uwezekano wa kufaulu (mfano wa kurudisha mipira kwenye kikapu), inaelezewa na usambazaji wa binomial:

Kwa maneno mengine, tunaweza kusema kwamba usambazaji wa binomial unaelezea jumla ya anuwai za nasibu huru ambazo zinaweza kusambazwa na uwezekano wa kufaulu.
Matarajio na tofauti:

Usambazaji wa binomial ni halali kwa sampuli iliyo na urejeshaji pekee, yaani, wakati uwezekano wa kufaulu unabaki thabiti katika mfululizo mzima wa majaribio.

Ikiwa idadi na ina usambazaji wa binomial na vigezo na , kwa mtiririko huo, basi jumla yao pia itasambazwa binomially na vigezo .

Hebu fikiria hali ambapo tunachota mipira kutoka kwenye kikapu na kuirudisha hadi mpira mweupe utolewe. Idadi ya shughuli hizo inaelezwa na usambazaji wa kijiometri. Kwa maneno mengine: usambazaji wa kijiometri unaelezea idadi ya majaribio hadi mafanikio ya kwanza na uwezekano wa kufaulu katika kila jaribio. Ikiwa idadi ya jaribio ambalo mafanikio yalifanyika inaonyeshwa, basi usambazaji wa kijiometri utaelezewa na fomula ifuatayo:

Matarajio na tofauti ya usambazaji wa kijiometri:

Usambazaji wa kijiometri unahusiana kijenetiki na usambaaji ambao unaelezea tofauti inayoendelea ya nasibu: muda kabla ya kutokea kwa tukio, na ukubwa wa matukio usiobadilika. Usambazaji wa kijiometri pia ni kesi maalum.

Usambazaji wa Pascal ni jumla ya usambazaji: inaelezea usambazaji wa idadi ya kushindwa katika majaribio ya kujitegemea, ambayo matokeo yake yanasambazwa juu ya uwezekano wa mafanikio kabla ya mafanikio ya jumla kutokea. Wakati , tunapata usambazaji kwa wingi .

iko wapi idadi ya michanganyiko kutoka kwa .

Matarajio na tofauti ya usambazaji hasi wa binomial:

Jumla ya anuwai za nasibu huru zilizosambazwa kulingana na Pascal pia husambazwa kulingana na Pascal: iwe na usambazaji , na - . Waache pia wawe huru, basi jumla yao itakuwa na usambazaji

Kufikia sasa tumezingatia mifano ya sampuli zilizo na urejeshaji, yaani, uwezekano wa matokeo haukubadilika kutoka kwa jaribio hadi jaribio.

Sasa fikiria hali hiyo bila kurudi na ueleze uwezekano wa idadi ya chaguzi zilizofanikiwa kutoka kwa idadi ya watu walio na idadi inayojulikana ya mafanikio na kushindwa (idadi inayojulikana ya mipira nyeupe na nyeusi kwenye kikapu, kadi za tarumbeta kwenye staha, sehemu zenye kasoro kwenye mchezo, nk).

Acha mkusanyiko wa jumla uwe na vitu, vingine vimewekwa alama kama "1", na "0". Tutazingatia uteuzi wa kitu kilicho na lebo "1" kama mafanikio, na kwa lebo "0" kama kutofaulu. Tutafanya majaribio n, na vitu vilivyochaguliwa havitashiriki tena katika majaribio zaidi. Uwezekano wa kufaulu utatii usambazaji wa kijiometri:

iko wapi idadi ya michanganyiko kutoka kwa .

Matarajio na tofauti:

Usambazaji wa poisson

(imechukuliwa kutoka hapa)

Usambazaji wa Poisson hutofautiana kwa kiasi kikubwa kutoka kwa usambazaji uliojadiliwa hapo juu katika eneo lake la "somo": sasa sio uwezekano wa kutokea kwa matokeo ya mtihani mmoja au mwingine unaozingatiwa, lakini ukubwa wa matukio, yaani, idadi ya wastani ya matukio. kwa kitengo cha wakati.

Usambazaji wa Poisson unaelezea uwezekano wa kutokea kwa matukio huru kwa wakati kwa ukubwa wa wastani wa matukio:

Matarajio na tofauti ya usambazaji wa Poisson:

Tofauti na matarajio ya usambazaji wa Poisson ni sawa sawa.

Usambazaji wa Poisson, pamoja na , ambayo inaelezea vipindi vya muda kati ya matukio ya matukio huru, hufanya msingi wa hisabati wa nadharia ya kuaminika.

Msongamano wa uwezekano wa bidhaa ya vigeu vya nasibu x na y () pamoja na usambazaji na unaweza kuhesabiwa kama ifuatavyo:

Baadhi ya usambazaji hapa chini ni kesi maalum za usambazaji wa Pearson, ambayo kwa upande wake ni suluhisho la equation:

wapi na ni vigezo vya usambazaji. Kuna aina 12 zinazojulikana za usambazaji wa Pearson, kulingana na maadili ya parameta.

Ugawaji ambao utajadiliwa katika sehemu hii una uhusiano wa karibu na kila mmoja. Viunganisho hivi vinaonyeshwa kwa ukweli kwamba ugawaji fulani ni kesi maalum za usambazaji mwingine, au huelezea mabadiliko ya vijiti vya nasibu ambavyo vina usambazaji mwingine.

Mchoro ulio hapa chini unaonyesha uhusiano kati ya baadhi ya usambazaji unaoendelea ambao utazingatiwa katika karatasi hii. Katika mchoro, mishale thabiti inaonyesha mabadiliko ya vijiti vya nasibu (mwanzo wa mshale unaonyesha usambazaji wa awali, mwisho wa mshale unaonyesha matokeo), na mishale yenye alama zinaonyesha uhusiano wa jumla (mwanzo wa mshale unaonyesha usambazaji, ambayo ni kesi maalum ya moja ambayo mwisho wa mshale unaonyesha). Kwa matukio maalum ya usambazaji wa Pearson, aina inayolingana ya usambazaji wa Pearson imeonyeshwa juu ya mishale yenye nukta.

Muhtasari wa usambazaji uliopendekezwa hapa chini unashughulikia kesi nyingi zinazotokea katika uchanganuzi wa data na uundaji wa mchakato, ingawa, bila shaka, haina usambazaji wote unaojulikana kwa sayansi.

Usambazaji wa kawaida (Usambazaji wa Gaussian)

(imechukuliwa kutoka hapa)

Msongamano wa uwezekano wa usambazaji wa kawaida na vigezo na unafafanuliwa na chaguo za kukokotoa za Gaussian:

Ikiwa na, basi usambazaji kama huo unaitwa kiwango.

Matarajio na tofauti ya usambazaji wa kawaida:

Kikoa cha ufafanuzi wa usambazaji wa kawaida ni seti ya nambari halisi.

Usambazaji wa kawaida ni usambazaji wa aina ya VI.

Jumla ya miraba ya kiasi huru cha kawaida ina , na uwiano wa kiasi huru cha Gaussian husambazwa juu ya .

Usambazaji wa kawaida hauwezi kugawanywa: jumla ya idadi ya kawaida iliyosambazwa na vigezo na, ipasavyo, pia ina usambazaji wa kawaida na vigezo , wapi na .

Kisima cha kawaida cha usambazaji huonyesha idadi inayoelezea matukio asilia, kelele ya hali ya joto na makosa ya kipimo.

Kwa kuongezea, kulingana na nadharia ya kikomo cha kati, jumla ya idadi kubwa ya masharti huru ya mpangilio sawa hubadilika kuwa usambazaji wa kawaida, bila kujali ugawaji wa masharti. Kutokana na mali hii, usambazaji wa kawaida ni maarufu katika uchambuzi wa takwimu;

Jaribio la z linatokana na mgawanyiko usio na kikomo wa usambazaji wa kawaida. Jaribio hili linatumika kuangalia kama thamani inayotarajiwa ya sampuli ya thamani zinazosambazwa kwa kawaida ni sawa na thamani fulani. Thamani ya tofauti inapaswa kuwa inayojulikana. Ikiwa thamani ya tofauti haijulikani na inakokotolewa kulingana na sampuli iliyochanganuliwa, basi mtihani wa t kulingana na .

Hebu tuchukulie kuwa tunayo sampuli ya n thamani huru zinazosambazwa kwa kawaida kutoka kwa idadi ya jumla yenye mkengeuko wa kawaida, hebu tufikirie kuwa . Kisha thamani itakuwa na usambazaji wa kawaida wa kawaida. Kwa kulinganisha thamani ya z iliyopatikana na quantiles ya usambazaji wa kawaida, unaweza kukubali au kukataa hypothesis na kiwango kinachohitajika cha umuhimu.

Kwa sababu ya kuenea kwa usambazaji wa Gaussian, watafiti wengi ambao hawajui sana takwimu husahau kuangalia data kwa hali ya kawaida, au kutathmini grafu ya msongamano wa usambazaji "kwa jicho", wakiamini kwa upofu kwamba wanashughulika na data ya Gaussian. Ipasavyo, unaweza kutumia kwa usalama vipimo vilivyoundwa kwa usambazaji wa kawaida na kupata matokeo yasiyo sahihi kabisa. Labda hapa ndipo uvumi kuhusu takwimu kama aina mbaya zaidi ya uwongo ulitoka.

Hebu fikiria mfano: tunahitaji kupima upinzani wa seti ya resistors ya thamani fulani. Upinzani una asili ya kimwili; Tunapima na kupata chaguo za kukokotoa za uwezekano wa umbo la kengele kwa thamani zilizopimwa kwa kutumia modi iliyo karibu na thamani ya kinzani. Je, huu ni usambazaji wa kawaida? Ikiwa ndio, basi tutatafuta vipingamizi vyenye kasoro kwa kutumia , au z-test, ikiwa tunajua mtawanyiko wa usambazaji mapema. Nadhani wengi watafanya hivyo.

Lakini hebu tuangalie kwa karibu teknolojia ya kipimo cha upinzani: Upinzani unafafanuliwa kama uwiano wa voltage inayotumika kwa mtiririko wa sasa. Tulipima sasa na voltage na vyombo, ambavyo, kwa upande wake, vina makosa ya kawaida ya kusambazwa. Hiyo ni, maadili yaliyopimwa ya sasa na voltage ni kawaida kusambazwa vigezo random na matarajio ya hisabati yanayolingana na maadili ya kweli ya kiasi kilichopimwa. Hii inamaanisha kuwa maadili ya upinzani yaliyopatikana yanasambazwa kulingana na , na sio kulingana na Gaussian.

Usambazaji unaelezea jumla ya miraba ya anuwai ya nasibu, ambayo kila moja inasambazwa kulingana na sheria ya kawaida ya kawaida:

Iko wapi idadi ya digrii za uhuru,.

Matarajio na usambazaji wa usambazaji:

Kikoa cha ufafanuzi ni seti ya nambari za asili zisizo hasi. ni usambazaji unaoweza kugawanywa kabisa. Ikiwa na kusambazwa juu na kuwa na digrii za uhuru, kwa mtiririko huo, basi jumla yao pia itagawanywa juu na kuwa na digrii za uhuru.

Ni kesi maalum (na kwa hivyo usambazaji wa Aina ya III) na jumla. Uwiano wa kiasi kilichosambazwa juu ya kusambazwa kwa .

Jaribio la wema wa Pearson linatokana na usambazaji. Kwa kutumia kigezo hiki, unaweza kuangalia uaminifu wa sampuli ya kigezo cha nasibu kinachomilikiwa na usambazaji fulani wa kinadharia.

Wacha tuchukue kuwa tunayo sampuli ya kutofautisha bila mpangilio. Kulingana na sampuli hii, tunahesabu uwezekano wa maadili kuanguka katika vipindi (). Wacha pia kuwe na dhana juu ya usemi wa uchambuzi wa usambazaji, kulingana na ambayo uwezekano wa kuanguka katika vipindi vilivyochaguliwa unapaswa kuwa . Kisha kiasi kitasambazwa kulingana na sheria ya kawaida.

Wacha tupunguze kwa usambazaji wa kawaida wa kawaida: ,
wapi na.

Thamani zinazosababishwa zina usambazaji wa kawaida na vigezo (0, 1), na kwa hivyo jumla ya miraba yao inasambazwa kwa kiwango cha uhuru. Kupungua kwa kiwango cha uhuru kunahusishwa na kizuizi cha ziada juu ya jumla ya uwezekano wa maadili kuanguka katika vipindi: lazima iwe sawa na 1.

Kwa kulinganisha thamani na quantiles ya usambazaji, unaweza kukubali au kukataa hypothesis kuhusu usambazaji wa kinadharia wa data na kiwango kinachohitajika cha umuhimu.

Usambazaji wa Wanafunzi hutumiwa kufanya jaribio la t: jaribio la usawa wa thamani inayotarajiwa ya sampuli ya vigeu vya nasibu vilivyosambazwa kwa thamani fulani, au usawa wa thamani inayotarajiwa ya sampuli mbili zenye tofauti sawa (usawa. ya tofauti lazima iangaliwe). Usambazaji wa Wanafunzi hufafanua uwiano wa kigezo cha nasibu kilichosambazwa kwa kigezo kilichosambazwa juu ya .

Wacha na tuwe vijitegemea bila mpangilio vyenye digrii za uhuru na mtawalia. Kisha wingi utakuwa na usambazaji wa Fisher na digrii za uhuru, na wingi utakuwa na usambazaji wa Fisher na digrii za uhuru.
Usambazaji wa Fisher unafafanuliwa kwa hoja halisi zisizo hasi na una msongamano wa uwezekano:


Matarajio na tofauti ya usambazaji wa Fisher:

Thamani inayotarajiwa imefafanuliwa kwa , na tofauti imefafanuliwa kwa .

Idadi ya majaribio ya takwimu yanatokana na usambazaji wa Fisher, kama vile kutathmini umuhimu wa vigezo vya urekebishaji, mtihani wa heteroscedasticity na mtihani wa usawa wa tofauti za sampuli (f-test, inapaswa kutofautishwa na sahihi Mtihani wa Fisher).

Jaribio la F: acha kuwe na sampuli mbili huru na kiasi cha data iliyosambazwa na mtawalia. Wacha tuweke dhana juu ya usawa wa tofauti za sampuli na tuijaribu kitakwimu.

Hebu tuhesabu thamani. Itakuwa na usambazaji wa Fisher na digrii za uhuru.

Kwa kulinganisha thamani na quantiles ya usambazaji sambamba wa Fisher, tunaweza kukubali au kukataa dhana ya usawa wa tofauti za sampuli na kiwango kinachohitajika cha umuhimu.

Usambazaji wa kielelezo (kielelezo) na usambazaji wa Laplace (ufafanuzi maradufu, udhihirisho maradufu)

(imechukuliwa kutoka hapa)

Usambazaji wa kielelezo huelezea vipindi vya muda kati ya matukio huru yanayotokea kwa kiwango cha wastani. Idadi ya matukio ya tukio kama hilo kwa muda fulani inaelezewa kuwa tofauti. Usambazaji wa kielelezo pamoja na kuunda msingi wa hisabati wa nadharia ya kutegemewa.

Mbali na nadharia ya kuegemea, usambazaji wa kielelezo hutumiwa katika maelezo ya matukio ya kijamii, katika uchumi, katika nadharia ya kupanga foleni, katika vifaa vya usafiri - popote ni muhimu kuiga mtiririko wa matukio.

Usambazaji wa kielelezo ni kesi maalum (kwa n=2), na kwa hivyo . Kwa kuwa wingi unaosambazwa kwa kasi kubwa ni wingi wa chi-mraba wenye digrii 2 za uhuru, inaweza kufasiriwa kama jumla ya miraba ya idadi mbili huru zinazosambazwa kwa kawaida.

Pia, usambazaji wa kielelezo ni kesi ya haki

Ufafanuzi wa vipimo vya kujitegemea vinavyorudiwa. Fomula za Bernoulli za kukokotoa uwezekano na nambari inayowezekana zaidi. Fomula zisizo na dalili za fomula ya Bernoulli (ya ndani na muhimu, nadharia za Laplace). Kwa kutumia nadharia muhimu. Njia ya Poisson ya matukio yasiyowezekana ya nasibu.

Vipimo huru vinavyorudiwa

Kwa mazoezi, tunapaswa kushughulika na kazi ambazo zinaweza kuwakilishwa kwa namna ya vipimo vinavyorudiwa mara kwa mara, kama matokeo ya kila moja ambayo tukio A linaweza kuonekana au lisionekane. Katika kesi hii, ni nini kinachovutia sio matokeo ya kila jaribio la mtu binafsi, lakini jumla ya matukio ya tukio A kama matokeo ya idadi fulani ya majaribio Katika matatizo hayo, unahitaji kuwa na uwezo wa kuamua uwezekano wa idadi yoyote m ya matukio ya tukio A kama matokeo ya majaribio ya n. hurudiwa huru.

Mfano wa majaribio ya kujitegemea ni kuangalia kufaa kwa bidhaa zilizochukuliwa kutoka kwa idadi ya batches. Ikiwa asilimia ya kasoro katika kura hizi ni sawa, basi uwezekano kwamba bidhaa iliyochaguliwa itakuwa na kasoro ni nambari ya mara kwa mara katika kila kesi.

Fomula ya Bernoulli

Hebu tumia dhana tukio tata, ambayo ina maana mchanganyiko wa matukio kadhaa ya kimsingi yanayojumuisha mwonekano au kutotokea kwa tukio A katika jaribio la i-th. Hebu n majaribio huru yafanyike, katika kila tukio ambalo A linaweza kutokea kwa uwezekano p au lisionekane kwa uwezekano q=1-p. Fikiria tukio B_m, ambalo ni tukio A litatokea mara m haswa katika majaribio haya ya n na, kwa hivyo, halitatokea mara (n-m) haswa. Hebu kuashiria A_i~(i=1,2,\ldots,(n)) kutokea kwa tukio A, \ overline(A)_i - kutotokea kwa tukio A katika jaribio la i-th. Kwa sababu ya uthabiti wa masharti ya mtihani, tunayo

Tukio A linaweza kuonekana mara m katika mfuatano au mchanganyiko tofauti, likipishana na tukio kinyume \overline(A) . Idadi ya michanganyiko inayowezekana ya aina hii ni sawa na idadi ya michanganyiko ya vipengele vya n kwa m, yaani C_n^m. Kwa hivyo, tukio B_m linaweza kuwakilishwa kama jumla ya matukio changamano ambayo hayawiani, na idadi ya maneno ni sawa na C_n^m:

B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( n-m)A_(n-m+1)\cdots(A_n),

ambapo kila bidhaa ina tukio mara A m, na \overline(A) - (n-m) mara.

Uwezekano wa kila tukio changamano lililojumuishwa katika fomula (3.1), kulingana na nadharia ya kuzidisha uwezekano wa matukio huru, ni sawa na p^(m)q^(n-m) . Kwa kuwa jumla ya idadi ya matukio kama haya ni sawa na C_n^m, basi, kwa kutumia nadharia ya kuongeza uwezekano wa matukio yasiyolingana, tunapata uwezekano wa tukio B_m (tunaashiria P_(m,n))

P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \maandishi(au)\quad P_(m,n)=\frac(n{m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}

Mfumo (3.2) unaitwa Fomula ya Bernoulli, na majaribio yanayorudiwa ambayo yanakidhi hali ya uhuru na uthabiti wa uwezekano wa kutokea kwa tukio A katika kila moja yao huitwa. vipimo vya Bernoulli, au mpango wa Bernoulli.

Mfano 1. Uwezekano wa kwenda zaidi ya eneo la uvumilivu wakati wa usindikaji wa sehemu kwenye lathe ni 0.07. Amua uwezekano kwamba kati ya sehemu tano zilizochaguliwa kwa nasibu wakati wa mabadiliko, moja ina vipimo vya kipenyo ambavyo haviendani na uvumilivu maalum.

Suluhisho. Hali ya tatizo inakidhi mahitaji ya mpango wa Bernoulli. Kwa hiyo, kudhani n=5,\,m=1,\,p=0,\!07, kwa kutumia fomula (3.2) tunapata

P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\takriban0,\!262.

Mfano 2. Uchunguzi umethibitisha kuwa katika eneo fulani kuna siku 12 za mvua mnamo Septemba. Je, kuna uwezekano gani kwamba kati ya siku 8 zilizochaguliwa bila mpangilio mwezi huu, siku 3 zitakuwa na mvua?

Suluhisho.

P_(3;8)=C_8^3(\kushoto(\frac(12)(30)\kulia)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}

Uwezekano mkubwa zaidi wa idadi ya matukio ya tukio

Uwezekano mkubwa zaidi wa tarehe ya kutokea tukio A katika majaribio huru huitwa nambari m_0 ambayo uwezekano unaolingana na nambari hii unazidi au, angalau, sio chini ya uwezekano wa kila moja ya nambari zingine zinazowezekana za kutokea kwa tukio A. Kuamua idadi inayowezekana zaidi, si lazima kuhesabu uwezekano wa idadi inayowezekana ya matukio ya tukio; inatosha kujua idadi ya majaribio n na uwezekano wa tukio A katika jaribio tofauti. Wacha tuonyeshe P_(m_0,n) uwezekano unaolingana na nambari inayowezekana zaidi m_0. Kwa kutumia formula (3.2), tunaandika

P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}

Kwa mujibu wa ufafanuzi wa idadi inayowezekana zaidi, uwezekano wa tukio la tukio A, kwa mtiririko huo m_0+1 na m_0-1 mara, lazima angalau usizidi uwezekano wa P_(m_0,n), i.e.

P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\quad P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))

Kubadilisha thamani P_(m_0,n) na usemi wa uwezekano P_(m_0+1,n) na P_(m_0-1,n) kuwa ukosefu wa usawa, tunapata.

Kutatua ukosefu huu wa usawa kwa m_0, tunapata

M_0\geqslant(np-q),\quad m_0\leqslant(np+p)

Kuchanganya usawa wa mwisho, tunapata usawa mara mbili, ambayo hutumiwa kuamua nambari inayowezekana zaidi:

Np-q\leqslant(m_0)\leqslant(np+p).

Kwa kuwa urefu wa muda ulioelezwa na kutofautiana (3.4) ni sawa na moja, i.e.

(np+p)-(np-q)=p+q=1,

na tukio linaweza kutokea katika majaribio n idadi kamili ya nyakati, basi inapaswa kukumbukwa kwamba:

1) ikiwa np-q ni nambari kamili, basi kuna maadili mawili ya nambari inayowezekana zaidi, ambayo ni: m_0=np-q na m"_0=np-q+1=np+p ;

2) ikiwa np-q ni nambari ya sehemu, basi kuna nambari moja inayowezekana zaidi, ambayo ni: nambari pekee iliyomo kati ya nambari za sehemu, iliyopatikana kutokana na usawa (3.4);

3) ikiwa np ni nambari kamili, basi kuna nambari moja inayowezekana zaidi, ambayo ni: m_0=np.

Kwa thamani kubwa za n, si rahisi kutumia fomula (3.3) kukokotoa uwezekano unaolingana na nambari inayowezekana zaidi. Ikiwa tutabadilisha fomula ya Stirling kuwa usawa (3.3)

N!\takriban(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))),

halali kwa n kubwa ya kutosha, na kuchukua nambari inayowezekana zaidi m_0=np, kisha tunapata fomula ya makadirio ya hesabu ya uwezekano unaolingana na nambari inayowezekana zaidi:

P_(m_0,n)\takriban\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq)))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq)).

Mfano 2. Inajulikana kuwa \frac(1)(15) sehemu ya bidhaa zinazotolewa na mtambo kwa msingi wa biashara haikidhi mahitaji yote ya kiwango. Kundi la bidhaa 250 lilitolewa kwa msingi. Tafuta idadi inayowezekana zaidi ya bidhaa zinazokidhi mahitaji ya kiwango na uhesabu uwezekano kwamba kundi hili litakuwa na idadi inayowezekana ya bidhaa.

Suluhisho. Kwa hali n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15). Kulingana na usawa (3.4) tunayo

250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)

wapi 233,\!26\leqslant(m_0)\leqslant234,\!26. Kwa hivyo, idadi inayowezekana ya bidhaa zinazokidhi mahitaji ya kiwango katika kundi la pcs 250. sawa na 234. Kubadilisha data katika fomula (3.5), tunakokotoa uwezekano wa kuwa na idadi inayowezekana zaidi ya bidhaa kwenye kundi:

P_(234,250)\takriban\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\approx0,\!101

Nadharia ya eneo la Laplace

Ni ngumu sana kutumia formula ya Bernoulli kwa maadili makubwa ya n. Kwa mfano, ikiwa n=50,\,m=30,\,p=0,\!1, kisha kupata uwezekano P_(30.50) ni muhimu kuhesabu thamani ya usemi.

P_(30.50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}

Kwa kawaida, swali linatokea: inawezekana kuhesabu uwezekano wa riba bila kutumia formula ya Bernoulli? Inageuka kuwa inawezekana. Nadharia ya ndani ya Laplace inatoa fomula isiyo na dalili inayoturuhusu kupata takriban uwezekano wa matukio kutokea mara m haswa katika majaribio n, ikiwa idadi ya majaribio ni kubwa vya kutosha.

Nadharia 3.1.

Ikiwa uwezekano p wa kutokea kwa tukio A katika kila jaribio ni thabiti na tofauti na sufuri na moja, basi uwezekano P_(m,n) tukio hilo A litatokea mara m haswa katika majaribio n ni takriban sawa (sahihi zaidi, kubwa n) kwa thamani ya chaguo za kukokotoa Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (npq))

katika . Kuna majedwali ambayo yana maadili ya utendakazi\varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2)) , inayolingana na maadili chanya ya hoja x. Kwa maadili hasi ya hoja, meza sawa hutumiwa, kwani kazi \varphi(x) ni sawa, i.e..

\varphi(-x)=\varphi(x)

Kwa hivyo, takriban uwezekano kwamba tukio A litaonekana mara m haswa katika majaribio n P_(m,n)\takriban\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x), Wapi.

x=\frac(m-np)(\sqrt(npq))

Suluhisho. Kwa hali Mfano 3. Tafuta uwezekano kwamba tukio A litatokea mara 80 haswa katika majaribio 400 ikiwa uwezekano wa tukio A kutokea katika kila jaribio ni 0.2.. Wacha tutumie formula ya Laplace isiyo na dalili:

P_(80,400)\takriban\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (x).

Wacha tuhesabu thamani x iliyoamuliwa na data ya kazi:

X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0.

Kulingana na jedwali adj 1 tunapata \varphi(0)=0,\!3989. Uwezekano unaohitajika

P_(80,100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.

Njia ya Bernoulli inaongoza kwa takriban matokeo sawa (mahesabu yameachwa kwa sababu ya ugumu wao):

P_(80,100)=0,\!0498.

Nadharia muhimu ya Laplace

Tuseme kwamba n majaribio ya kujitegemea yanafanywa, katika kila moja ambayo uwezekano wa kutokea kwa tukio A ni mara kwa mara na sawa na p. Ni muhimu kukokotoa uwezekano P_((m_1,m_2),n) kwamba tukio A litatokea katika majaribio n angalau m_1 na mara nyingi zaidi m_2 (kwa ufupi tutasema "kutoka m_1 hadi mara m_2"). Hii inaweza kufanywa kwa kutumia nadharia muhimu ya Laplace.

Nadharia 3.2.

Ikiwa uwezekano p wa kutokea kwa tukio A katika kila jaribio ni thabiti na tofauti na sufuri na moja, basi takriban uwezekano P_((m_1,m_2),n) tukio hilo A litaonekana katika majaribio kutoka mara m_1 hadi m_2, P_((m_1,m_2),n)\takriban\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \,dx,

Wapi. Wakati wa kutatua shida zinazohitaji utumiaji wa nadharia muhimu ya Laplace, meza maalum hutumiwa, kwani kiunga cha muda usiojulikana.\int(e^(-x^2/2)\,dx) hauonyeshwa kupitia kazi za kimsingi. Jedwali muhimu\Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dz<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>iliyotolewa katika kiambatisho. 2, ambapo maadili ya kazi \Phi(x) yametolewa kwa maadili chanya ya x, kwa x

5 tunaweza kuchukua \Phi(x)=0,\!5 .

Kwa hivyo, takriban uwezekano kwamba tukio A litatokea katika majaribio huru kutoka mara m_1 hadi m_2 ni P_(m,n)\takriban\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x), P_((m_1,m_2),n)\takriban\Phi(x"")-\Phi(x"),.

x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))

Suluhisho. Kwa hali Mfano 4. Uwezekano kwamba sehemu imetengenezwa kinyume na viwango ni p=0,\!2. Pata uwezekano kwamba kati ya sehemu 400 zilizochaguliwa kwa nasibu, kutakuwa na sehemu 70 hadi 100 zisizo za kawaida. p=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100

. Wacha tutumie nadharia muhimu ya Laplace:

P_((70,100),400)\takriban\Phi(x"")-\Phi(x").

Wacha tuhesabu mipaka ya ujumuishaji:

chini

X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1,\!25,

juu

X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,

P_((70,100),400)\takriban\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .

Kwa mujibu wa jedwali adj. 2 tunapata

\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944.

Uwezekano unaohitajika

P_((70,100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.

Utumiaji wa nadharia muhimu ya Laplace

Ikiwa nambari m (idadi ya matukio ya tukio A katika majaribio huru ya n) itabadilika kutoka m_1 hadi m_2, basi sehemu hiyo \frac(m-np)(\sqrt(npq)) zitatofautiana kutoka \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x" kabla \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"". Kwa hivyo, nadharia muhimu ya Laplace pia inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

P\kushoto\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\right\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.

Wacha tuweke kazi ya kutafuta uwezekano kwamba kupotoka kwa masafa ya jamaa \frac(m)(n) kutoka kwa uwezekano wa mara kwa mara p kwa thamani kamili haizidi nambari maalum \varepsilon>0 . Kwa maneno mengine, tunapata uwezekano wa ukosefu wa usawa \kushoto|\frac(m)(n)-p\kulia|\leqslant\varepsilon, ambayo ni sawa -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. Tutaashiria uwezekano huu kama ifuatavyo: P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\). Kwa kuzingatia fomula (3.6) ya uwezekano huu tunapata

P\left\(\left|\frac(m)(n)-p\right|\leqslant\varepsilon\right\)\approx2\Phi\left(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq) ))\haki).

Mfano 5. Uwezekano kwamba sehemu hiyo si ya kawaida ni p=0,\!1. Pata uwezekano kwamba kati ya sehemu 400 zilizochaguliwa kwa nasibu, marudio ya jamaa ya kutokea kwa sehemu zisizo za kawaida zitatoka kwenye uwezekano p=0,\!1 katika thamani kamili kwa si zaidi ya 0.03.

Suluhisho. Kwa hali n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. Tunahitaji kupata uwezekano P\kushoto\(\kushoto|\frac(m)(400)-0,\!1\kulia|\leqslant0,\!03\kulia\). Kwa kutumia formula (3.7), tunapata

P\kushoto\(\kushoto|\frac(m)(400)-0,\!1\kulia|\leqslant0,\!03\kulia\)\approx2\Phi\left(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\kulia)=2\Phi(2)

Kwa mujibu wa jedwali adj. 2 tunapata \Phi(2)=0,\!4772 , kwa hiyo, 2\Phi(2)=0,\!9544 . Kwa hivyo, uwezekano unaohitajika ni takriban 0.9544. Maana ya matokeo ni kama ifuatavyo: ikiwa unachukua idadi kubwa ya kutosha ya sampuli za sehemu 400 kila moja, basi katika takriban 95.44% ya sampuli hizi kupotoka kwa mzunguko wa jamaa kutoka kwa uwezekano wa mara kwa mara p=0.\!1 kabisa. thamani haitazidi 0.03.

Njia ya Poisson kwa matukio yasiyowezekana

Ikiwa uwezekano p wa tukio la tukio katika jaribio tofauti ni karibu na sifuri, basi hata na idadi kubwa tests n, lakini kwa thamani ndogo ya bidhaa np, thamani za uwezekano P_(m,n) zilizopatikana kutoka kwa fomula ya Laplace si sahihi vya kutosha na kuna haja ya fomula nyingine ya kukadiria.

Nadharia 3.3.

Ikiwa uwezekano p wa tukio la tukio A katika kila jaribio ni mara kwa mara lakini ndogo, idadi ya majaribio ya kujitegemea n ni kubwa ya kutosha, lakini thamani ya bidhaa np=\lambda inabakia ndogo (si zaidi ya kumi), basi uwezekano tukio hilo A litatokea mara m katika majaribio haya ni\,e^{-\lambda}. !}

P_(m,n)\takriban\frac(\lambda^m)(m Ili kurahisisha mahesabu kwa kutumia fomula ya Poisson, jedwali la maadili ya kazi ya Poisson limeundwa.\,e^{-\lambda} !}\frac(\lambda^m)(m

(tazama kiambatisho 3).

Mfano 6. Hebu uwezekano wa kuzalisha sehemu isiyo ya kawaida iwe 0.004. Pata uwezekano kwamba kati ya sehemu 1000 kutakuwa na 5 zisizo za kawaida. Suluhisho. Hapa n=1000,p=0.004,~\lambda=np=1000\cdot0,\!004=4 . Nambari zote tatu zinakidhi mahitaji ya Nadharia 3.3, kwa hivyo, kupata uwezekano wa tukio linalohitajika P_(5,1000), tunatumia fomula ya Poisson. Kutoka kwa jedwali la maadili ya kazi ya Poisson (Kiambatisho 3) na \lambda=4;m=5 tunapata.

P_(5,1000)\takriban0,\!1563

Wacha tupate uwezekano wa tukio moja kwa kutumia fomula ya Laplace. Ili kufanya hivyo, kwanza tunahesabu thamani ya x inayolingana na m=5:

X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\takriban\frac(1)(1,\!996)\approx0 ,\!501.

Kwa hiyo, kulingana na formula ya Laplace, uwezekano unaohitajika

P_(5,1000)\takriban\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\takriban\frac(0,\!3519)(1,\!996)\approx0,\ !1763

na kwa mujibu wa formula ya Bernoulli thamani yake halisi ni

P_(5,1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\approx0,\!1552. Hivyo, kosa la jamaa

kuhesabu uwezekano wa P_(5,1000) kwa kutumia takriban fomula ya Laplace ni\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\approx0,\!196

, au 13.\!6\%

na kulingana na fomula ya Poisson -\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\approx0,\!007

, au 0.\!7\%
Hiyo ni, mara nyingi chini.
Nenda kwenye sehemu inayofuata Vigezo vya nasibu vyenye mwelekeo mmoja
Javascript imezimwa kwenye kivinjari chako.

Ili kufanya hesabu, lazima uwashe vidhibiti vya ActiveX!

Majaribio huru yanayorudiwa huitwa majaribio ya Bernoulli ikiwa kila jaribio lina matokeo mawili tu yanayowezekana na uwezekano wa matokeo kubaki sawa katika majaribio yote. Kawaida matokeo haya mawili huitwa "mafanikio" (S) au "kutofaulu" (F) na uwezekano unaolingana huonyeshwa. uk Na q Kawaida matokeo haya mawili huitwa "mafanikio" (S) au "kutofaulu" (F) na uwezekano unaolingana huonyeshwa. 0, Na. Ni wazi kwamba Kawaida matokeo haya mawili huitwa "mafanikio" (S) au "kutofaulu" (F) na uwezekano unaolingana huonyeshwa.+Na=1.

³ 0 na

Nafasi ya matukio ya msingi n vipimo vya Bernoulli Ω ina 2 n matukio ya msingi, ambayo ni mfuatano (minyororo) ya n alama U na N. Kila tukio la msingi ni mojawapo ya matokeo yanayowezekana ya mlolongo n vipimo vya Bernoulli. Kwa kuwa vipimo vinajitegemea, basi, kulingana na nadharia ya kuzidisha, uwezekano unazidishwa, ambayo ni, uwezekano wa mlolongo wowote maalum ni bidhaa iliyopatikana kwa kuchukua nafasi ya alama U na H na. Kawaida matokeo haya mawili huitwa "mafanikio" (S) au "kutofaulu" (F) na uwezekano unaolingana huonyeshwa. uk Na ipasavyo, yaani, kwa mfano: R( )=(U U N U N... N U )= p p q p q ... q q p .

Kumbuka kwamba matokeo ya mtihani wa Bernoulli mara nyingi huonyeshwa na 1 na 0, na kisha tukio la msingi kwa mfuatano n Vipimo vya Bernoulli - kuna mlolongo unaojumuisha zero na zile. Kwa mfano:  =(1, 0, 0, ... , 1, 1, 0).

Vipimo vya Bernoulli vinawakilisha mpango muhimu zaidi unaozingatiwa katika nadharia ya uwezekano. Mpango huu unaitwa jina la mwanahisabati wa Uswizi J. Bernoulli (1654-1705), ambaye alisoma kwa kina mfano huu katika kazi zake.

Shida kuu ambayo itatuvutia hapa ni: kuna uwezekano gani wa tukio hilo n Vipimo vya Bernoulli vilifanyika m mafanikio?

Ikiwa masharti maalum yametimizwa, uwezekano kwamba wakati wa majaribio ya kujitegemea tukio hilo itazingatiwa haswa m nyakati (bila kujali ni majaribio gani), imedhamiriwa na Fomula ya Bernoulli:

(21.1)

Wapi - uwezekano wa kutokea katika kila mtihani, na
- uwezekano kwamba katika jaribio fulani tukio hilo Haikutokea.

Ikiwa tutazingatia P n (m) kama kipengele m, basi inabainisha usambazaji wa uwezekano, unaoitwa binomial. Wacha tuchunguze utegemezi huu P n (m) kutoka m, 0£ m£ n.

Matukio B m ( m = 0, 1, ..., n), inayojumuisha namba mbalimbali matukio ya tukio A V n vipimo haviendani na huunda kikundi kamili. Kwa hivyo,
.

Hebu fikiria uwiano:

=
=
=
.

Inafuata hiyo P n (m+1)>P n (m), Kama (n- m) p> (m+1)q, i.e. kazi P n (m) huongezeka ikiwa m< n.p- Na. Vile vile, P n (m+1)< P n (m), Kama (n- m) p< (m+1)q, i.e. P n (m) itapungua ikiwa m> n.p- Na.

Kwa hivyo kuna nambari m 0, ambapo P n (m) inafikia thamani yake kuu. Tutapata m 0 .

Kulingana na maana ya nambari m 0 tunayo P n (m 0)³ P n (m 0 -1) na P n (m 0) ³ P n (m 0 +1), kutoka hapa

, (21.2)

. (21.3)

Kutatua kukosekana kwa usawa (21.2) na (21.3) kuhusiana na m 0, tunapata:

Kawaida matokeo haya mawili huitwa "mafanikio" (S) au "kutofaulu" (F) na uwezekano unaolingana huonyeshwa./ m 0 ³ Na/(n- m 0 +1) Þ m 0 £ n.p+ Kawaida matokeo haya mawili huitwa "mafanikio" (S) au "kutofaulu" (F) na uwezekano unaolingana huonyeshwa.,

Na/(n- m 0 ) ³ Kawaida matokeo haya mawili huitwa "mafanikio" (S) au "kutofaulu" (F) na uwezekano unaolingana huonyeshwa./(m 0 +1) Þ m 0 ³ n.p- Na.

Kwa hivyo, nambari inayotakiwa m 0 inakidhi ukosefu wa usawa

n.p- Na£ m 0 £ np+p. (21.4)

Kwa sababu Kawaida matokeo haya mawili huitwa "mafanikio" (S) au "kutofaulu" (F) na uwezekano unaolingana huonyeshwa.+Na=1, basi urefu wa muda unaofafanuliwa na ukosefu wa usawa (21.4) ni sawa na moja na kuna angalau nambari moja kamili. m 0 kutosheleza usawa (21.4):

1) ikiwa n.p - Na ni nambari kamili, basi kuna maadili mawili m 0, yaani: m 0 = n.p - Na uk m 0 = n.p - Na + 1 = n.p + Kawaida matokeo haya mawili huitwa "mafanikio" (S) au "kutofaulu" (F) na uwezekano unaolingana huonyeshwa.;

2) ikiwa n.p - Na- sehemu, basi kuna nambari moja m 0, yaani nambari kamili iliyomo kati ya nambari za sehemu zilizopatikana kutokana na ukosefu wa usawa (21.4);

3) ikiwa n.p ni nambari kamili, kisha kuna nambari moja m 0, yaani m 0 = n.p.

Nambari m 0 inaitwa thamani inayowezekana zaidi au inayowezekana zaidi (idadi) ya tukio la tukio A katika mfululizo wa n vipimo vya kujitegemea.