Mfumo wa kuinua hadi nafasi ya 5. Shahada na sifa zake

Fomula za digrii kutumika katika mchakato wa kupunguza na kurahisisha misemo changamano, katika kutatua milinganyo na ukosefu wa usawa.

Nambari c ni n- nguvu ya nambari a Wakati:

Operesheni na digrii.

1. Kwa kuzidisha digrii na msingi sawa, viashiria vyao huongezwa:

m·a n = a m + n .

2. Wakati wa kugawanya digrii kwa msingi sawa, vielelezo vyao vinatolewa:

3. Kiwango cha bidhaa ya mambo 2 au zaidi ni sawa na bidhaa ya digrii za mambo haya:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Kiwango cha sehemu ni sawa na uwiano wa digrii za mgao na mgawanyiko:

(a/b) n = a n /b n.

5. Kuinua nguvu kwa mamlaka, vielelezo vinazidishwa:

(a m) n = a m n .

Kila fomula hapo juu ni kweli katika mwelekeo kutoka kushoto kwenda kulia na kinyume chake.

Kwa mfano. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operesheni na mizizi.

1. Mzizi wa bidhaa ya mambo kadhaa ni sawa na bidhaa ya mizizi ya mambo haya:

2. Mzizi wa uwiano ni sawa na uwiano wa mgawanyiko na mgawanyiko wa mizizi:

3. Wakati wa kuinua mzizi kwa nguvu, inatosha kuinua nambari kali kwa nguvu hii:

4. Ikiwa unaongeza kiwango cha mizizi ndani n mara moja na wakati huo huo kujenga ndani n th power ni nambari kali, basi thamani ya mzizi haitabadilika:

5. Ikiwa unapunguza kiwango cha mizizi ndani n toa mzizi kwa wakati mmoja n-th nguvu ya nambari kali, basi thamani ya mzizi haitabadilika:

Shahada yenye kipeo hasi. Nguvu ya nambari fulani iliyo na kipeo kisicho chanya (jumla) inafafanuliwa kama ile iliyogawanywa kwa nguvu ya nambari sawa na kipeo sawa na thamani kamili ya kipeo kisicho chanya:

Mfumo m:a n =a m - n inaweza kutumika sio tu kwa m> n, lakini pia na m< n.

Kwa mfano. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Kwa formula m:a n =a m - n ikawa haki wakati m=n, uwepo wa shahada ya sifuri inahitajika.

Shahada yenye faharasa ya sifuri. Nguvu ya nambari yoyote isiyo sawa na sifuri yenye kipeo sifuri ni sawa na moja.

Kwa mfano. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Shahada yenye kipeo cha sehemu. Ili kuongeza idadi halisi A kwa kiwango m/n, unahitaji kuchimba mzizi n shahada ya m- Nguvu ya nambari hii A.

inaweza kupatikana kwa kutumia kuzidisha. Kwa mfano: 5+5+5+5+5+5=5x6. Msemo kama huo unasemekana kuwa jumla ya maneno sawa yanakunjwa kuwa bidhaa. Na kinyume chake, ikiwa tunasoma usawa huu kutoka kulia kwenda kushoto, tunapata kwamba tumepanua jumla ya maneno sawa. Vile vile, unaweza kukunja bidhaa ya vipengele kadhaa sawa 5x5x5x5x5x5=5 6.

Hiyo ni, badala ya kuzidisha vipengele sita vinavyofanana 5x5x5x5x5x5, wanaandika 5 6 na kusema "tano kwa nguvu ya sita."

Usemi 5 6 ni nguvu ya nambari, ambapo:

5 - msingi wa shahada;

6 - kielelezo.

Vitendo ambavyo bidhaa ya mambo sawa hupunguzwa kuwa nguvu huitwa kuinua kwa nguvu.

Kwa ujumla, shahada yenye msingi "a" na kielelezo "n" imeandikwa kama ifuatavyo

Kuongeza nambari a hadi nguvu n inamaanisha kupata bidhaa ya sababu za n, ambazo kila moja ni sawa na a

Ikiwa msingi wa shahada "a" ni sawa na 1, basi thamani ya shahada kwa nambari yoyote ya asili n itakuwa sawa na 1. Kwa mfano, 1 5 = 1, 1 256 = 1.

Ikiwa utaongeza nambari "a" hadi shahada ya kwanza, basi tunapata nambari a yenyewe: a 1 = a

Ikiwa utaongeza nambari yoyote kwa shahada ya sifuri, basi kama matokeo ya mahesabu tunapata moja. a 0 = 1

Nguvu ya pili na ya tatu ya nambari inachukuliwa kuwa maalum. Walikuja na majina kwa ajili yao: shahada ya pili inaitwa mraba nambari, tatu - mchemraba nambari hii.

Nambari yoyote inaweza kuinuliwa kwa nguvu - chanya, hasi au sifuri. Katika kesi hii, sheria zifuatazo hazitumiki:

Wakati wa kupata nguvu ya nambari chanya, matokeo ni nambari chanya.

Wakati wa kuhesabu sifuri kwa nguvu ya asili, tunapata sifuri.

x m · x n = x m + n

kwa mfano: 7 1.7 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

Kwa kugawanya madaraka kwa misingi sawa Hatubadilishi msingi, lakini toa vielelezo:

x m x n = x m - n , wapi, m > n,

kwa mfano: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

Wakati wa kuhesabu kuinua nguvu kwa mamlaka Hatubadilishi msingi, lakini tunazidisha vielelezo kwa kila mmoja.

(katika m ) n = y m n

kwa mfano: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · y m ,

kwa mfano:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

Wakati wa kufanya mahesabu kulingana na kuinua sehemu kwa nguvu tunainua nambari na denominator ya sehemu kwa nguvu fulani

(x/y) n = x n /y n

kwa mfano: (2/5) 3 = (2/5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 2 3/5 3.

Mlolongo wa hesabu wakati wa kufanya kazi na misemo iliyo na digrii.

Wakati wa kufanya mahesabu ya maneno bila mabano, lakini yenye nguvu, kwanza kabisa, hufanya ufafanuzi, kisha kuzidisha na kugawanya, na kisha tu kuongeza na kutoa shughuli.

Ikiwa unahitaji kuhesabu usemi ulio na mabano, basi kwanza fanya mahesabu kwenye mabano kwa mpangilio ulioonyeshwa hapo juu, na kisha vitendo vilivyobaki kwa mpangilio sawa kutoka kushoto kwenda kulia.

Kwa upana sana katika mahesabu ya vitendo, meza za mamlaka zilizopangwa tayari hutumiwa kurahisisha mahesabu.

Ikiwa tutapuuza mamlaka ya nane, tunaona nini hapa? Wacha tukumbuke programu ya darasa la 7. Kwa hiyo, unakumbuka? Hii ndio fomula ya kuzidisha kwa kifupi, yaani tofauti ya miraba! Tunapata:

Hebu tuangalie kwa makini denominator. Inaonekana sana kama mojawapo ya vipengele vya nambari, lakini ni nini kibaya? Mpangilio wa masharti si sahihi. Ikiwa zingebadilishwa, sheria inaweza kutumika.

Lakini jinsi ya kufanya hivyo? Inageuka kuwa ni rahisi sana: kiwango cha hata cha denominator hutusaidia hapa.

Kwa uchawi maneno yalibadilisha mahali. "Jambo" hili linatumika kwa usemi wowote kwa kiwango sawa: tunaweza kubadilisha kwa urahisi ishara kwenye mabano.

Lakini ni muhimu kukumbuka: ishara zote hubadilika kwa wakati mmoja!

Hebu turudi kwenye mfano:

Na tena formula:

Nzima tunaita nambari za asili, kinyume chake (yaani, kuchukuliwa na ishara "") na nambari.

nambari chanya, na sio tofauti na asili, basi kila kitu kinaonekana sawa na katika sehemu iliyopita.

Sasa hebu tuangalie kesi mpya. Wacha tuanze na kiashiria sawa na.

Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja:

Kama kawaida, hebu tujiulize: kwa nini hii ni hivyo?

Wacha tuzingatie kiwango fulani na msingi. Chukua, kwa mfano, na uzidishe kwa:

Kwa hivyo, tulizidisha nambari kwa, na tukapata kitu sawa na ilivyokuwa - . Unapaswa kuzidisha nambari gani ili hakuna kitu kinachobadilika? Hiyo ni kweli, endelea. Maana.

Tunaweza kufanya vivyo hivyo na nambari ya kiholela:

Wacha turudie sheria:

Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja.

Lakini kuna tofauti kwa sheria nyingi. Na hapa pia iko - hii ni nambari (kama msingi).

Kwa upande mmoja, lazima iwe sawa na shahada yoyote - bila kujali ni kiasi gani unazidisha sifuri peke yake, bado utapata sifuri, hii ni wazi. Lakini kwa upande mwingine, kama nambari yoyote kwa nguvu ya sifuri, lazima iwe sawa. Kwa hivyo ni kweli kiasi gani? Wanahisabati waliamua kutojihusisha na kukataa kuongeza sifuri hadi nguvu ya sifuri. Hiyo ni, sasa hatuwezi tu kugawanya kwa sifuri, lakini pia kuinua kwa nguvu ya sifuri.

Hebu tuendelee. Mbali na nambari za asili na nambari, nambari kamili pia zinajumuisha nambari hasi. Ili kuelewa nguvu hasi ni nini, wacha tufanye kama mara ya mwisho: zidisha nambari ya kawaida kwa nambari ile ile hadi nguvu hasi:

Kuanzia hapa ni rahisi kuelezea kile unachotafuta:

Sasa wacha tuongeze sheria inayosababisha kwa kiwango cha kiholela:

Kwa hivyo, wacha tutengeneze sheria:

Nambari iliyo na nguvu hasi ni usawa wa nambari sawa na nguvu chanya. Lakini wakati huo huo Msingi hauwezi kuwa batili:(kwa sababu huwezi kugawanya).

Hebu tufanye muhtasari:

I. Usemi huo haujafafanuliwa katika kisa. Ikiwa, basi.

II. Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa na moja: .

III. Nambari isiyo sawa na sifuri kwa nguvu hasi ni kinyume cha nambari sawa hadi nguvu chanya: .

Kazi za suluhisho la kujitegemea:

Kweli, kama kawaida, mifano ya suluhisho huru:

Uchambuzi wa shida kwa suluhisho la kujitegemea:

Najua, najua, nambari zinatisha, lakini kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja lazima uwe tayari kwa chochote! Tatua mifano hii au chambua masuluhisho yake ikiwa hukuweza kuitatua na utajifunza kukabiliana nayo kwa urahisi kwenye mtihani!

Wacha tuendelee kupanua anuwai ya nambari "zinazofaa" kama kielelezo.

Sasa hebu tufikirie nambari za busara. Ni nambari gani zinazoitwa mantiki?

Jibu: kila kitu ambacho kinaweza kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari kamili, na.

Ili kuelewa ni nini "shahada ya sehemu", zingatia sehemu:

Wacha tuinue pande zote mbili za equation kwa nguvu:

Sasa hebu tukumbuke sheria kuhusu "shahada kwa digrii":

Ni nambari gani inapaswa kuongezwa ili kupata nguvu?

Uundaji huu ndio ufafanuzi wa mzizi wa digrii ya th.

Acha nikukumbushe: mzizi wa nguvu ya nambari () ni nambari ambayo, inapoinuliwa kwa nguvu, ni sawa nayo.

Hiyo ni, mzizi wa nguvu ya th ni uendeshaji kinyume cha kuongeza kwa nguvu: .

Inageuka kuwa. Kwa wazi, kesi hii maalum inaweza kupanuliwa:.

Sasa tunaongeza nambari: ni nini? Jibu ni rahisi kupata kwa kutumia sheria ya nguvu-kwa-nguvu:

Lakini msingi unaweza kuwa nambari yoyote? Baada ya yote, mzizi hauwezi kutolewa kutoka kwa nambari zote.

Hakuna!

Wacha tukumbuke sheria: nambari yoyote iliyoinuliwa hadi nguvu sawa ni nambari chanya. Hiyo ni, haiwezekani kutoa hata mizizi kutoka kwa nambari hasi!

Hii inamaanisha kuwa nambari kama hizo haziwezi kuinuliwa kwa nguvu ya sehemu na dhehebu hata, ambayo ni kusema, usemi hauna maana.

Vipi kuhusu usemi huo?

Lakini hapa tatizo linatokea.

Nambari inaweza kuwakilishwa kwa namna ya sehemu nyingine, zinazoweza kupunguzwa, kwa mfano, au.

Na inageuka kuwa ipo, lakini haipo, lakini hizi ni rekodi mbili tu tofauti za nambari sawa.

Au mfano mwingine: mara moja, basi unaweza kuandika. Lakini ikiwa tunaandika kiashiria tofauti, tutapata shida tena: (yaani, tulipata matokeo tofauti kabisa!).

Ili kuepuka utata kama huo, tunazingatia kipeo chanya cha msingi pekee chenye kipeo cha sehemu.

Kwa hivyo ikiwa:

- nambari ya asili;
- nambari kamili;

Mifano:

Vielelezo vya busara ni muhimu sana kwa kubadilisha misemo na mizizi, kwa mfano:

5 mifano ya kufanya mazoezi

Uchambuzi wa mifano 5 ya mafunzo

1. Usisahau kuhusu sifa za kawaida za digrii:

2.. Hapa tunakumbuka kwamba tulisahau kujifunza meza ya digrii:

baada ya yote - hii ni au. Suluhisho linapatikana kiatomati:.

Kweli, sasa inakuja sehemu ngumu zaidi. Sasa tutaelewa shahada yenye kipeo kisicho na mantiki.

Sheria zote na sifa za digrii hapa ni sawa kabisa na kwa digrii iliyo na kielelezo cha busara, isipokuwa

Baada ya yote, kwa ufafanuzi, nambari zisizo na mantiki ni nambari ambazo haziwezi kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari kamili (yaani, nambari zisizo na mantiki zote ni nambari halisi isipokuwa zile za busara).

Tunaposoma digrii kwa vielezi asilia, nambari kamili na busara, kila mara tulipounda "picha", "analojia" fulani au maelezo kwa maneno yanayofahamika zaidi.

Kwa mfano, shahada yenye kipeo asilia ni nambari iliyozidishwa yenyewe mara kadhaa;

...nambari hadi nguvu ya sifuri- hii ni, kana kwamba, nambari iliyozidishwa yenyewe mara moja, ambayo ni kwamba, bado hawajaanza kuizidisha, ambayo inamaanisha kuwa nambari yenyewe bado haijaonekana - kwa hivyo matokeo ni "nambari tupu" tu. , yaani nambari;

...shahada hasi kamili- ni kana kwamba "mchakato wa kurudi nyuma" umetokea, ambayo ni kwamba, nambari haikuzidishwa yenyewe, lakini imegawanywa.

Kwa njia, katika sayansi shahada iliyo na kielelezo tata hutumiwa mara nyingi, yaani, mtangazaji sio hata nambari halisi.

Lakini shuleni hatufikirii juu ya ugumu kama huo; utakuwa na fursa ya kuelewa dhana hizi mpya katika taasisi hiyo.

AMBAPO TUNA UHAKIKA UTAKWENDA! (ikiwa utajifunza kutatua mifano kama hii :))

Kwa mfano:

Amua mwenyewe:

Uchambuzi wa suluhisho:

1. Wacha tuanze na kanuni ya kawaida ya kuinua mamlaka kwa mamlaka:

Sasa angalia kiashiria. Je, hakukumbushi chochote? Wacha tukumbuke fomula ya kuzidisha kwa kifupi tofauti za mraba:

Katika kesi hii,

Inageuka kuwa:

Jibu: .

2. Tunapunguza sehemu katika vipeo kwa fomu sawa: ama desimali zote mbili au zote mbili za kawaida. Tunapata, kwa mfano:

Jibu: 16

3. Hakuna maalum, tunatumia sifa za kawaida za digrii:

NGAZI YA JUU

Uamuzi wa shahada

Shahada ni kielelezo cha fomu: , ambapo:

— msingi wa shahada;
- kielelezo.

Shahada yenye kiashirio asilia (n = 1, 2, 3,...)

Kuinua nambari hadi kwa nguvu asilia n inamaanisha kuzidisha nambari yenyewe mara:

Shahada yenye kipeo kamili (0, ±1, ±2,...)

Ikiwa kipeo ni nambari chanya nambari:

Ujenzi kwa kiwango cha sifuri:

Usemi huo hauna kikomo, kwa sababu, kwa upande mmoja, kwa kiwango chochote ni hiki, na kwa upande mwingine, nambari yoyote hadi digrii ya th ni hii.

Ikiwa kipeo ni nambari hasi nambari:

(kwa sababu huwezi kugawanya).

Kwa mara nyingine tena kuhusu zero: usemi haujafafanuliwa katika kesi hiyo. Ikiwa, basi.

Mifano:

Nguvu iliyo na kipeo cha busara

- nambari ya asili;
- nambari kamili;

Mifano:

Tabia za digrii

Ili iwe rahisi kutatua matatizo, hebu jaribu kuelewa: mali hizi zilitoka wapi? Hebu tuyathibitishe.

Wacha tuone: ni nini na?

Kwa ufafanuzi:

Kwa hivyo, upande wa kulia wa usemi huu tunapata bidhaa ifuatayo:

Lakini kwa ufafanuzi ni nguvu ya nambari iliyo na kielelezo, ambayo ni:

Q.E.D.

Mfano : Rahisisha usemi.

Suluhisho : .

Mfano : Rahisisha usemi.

Suluhisho : Ni muhimu kutambua kwamba katika utawala wetu Lazima lazima kuwe na sababu sawa. Kwa hivyo, tunachanganya nguvu na msingi, lakini inabaki kuwa sababu tofauti:

Ujumbe mwingine muhimu: sheria hii - tu kwa bidhaa ya mamlaka!

Kwa hali yoyote huwezi kuandika hivyo.

Kama tu na mali iliyotangulia, wacha tugeukie ufafanuzi wa digrii:

Wacha tupange upya kazi hii kama hii:

Inabadilika kuwa usemi huo unazidishwa mara yenyewe, ambayo ni, kulingana na ufafanuzi, hii ndio nguvu ya nambari:

Kwa asili, hii inaweza kuitwa "kuondoa kiashiria kwenye mabano." Lakini huwezi kamwe kufanya hivi kwa jumla:!

Hebu tukumbuke fomula zilizofupishwa za kuzidisha: tulitaka kuandika mara ngapi? Lakini hii si kweli, baada ya yote.

Nguvu yenye msingi hasi.

Hadi hapa tumejadili tu jinsi inavyopaswa kuwa kiashiria digrii. Lakini msingi unapaswa kuwa nini? Katika mamlaka ya asili kiashiria msingi unaweza kuwa nambari yoyote .

Hakika, tunaweza kuzidisha nambari zozote kwa kila mmoja, ziwe chanya, hasi, au hata. Wacha tufikirie ni ishara gani ("" au "") zitakuwa na digrii za nambari chanya na hasi?

Kwa mfano, nambari ni chanya au hasi? A? ?

Na ya kwanza, kila kitu ni wazi: haijalishi ni nambari ngapi chanya tunazidisha kwa kila mmoja, matokeo yatakuwa chanya.

Lakini zile hasi zinavutia zaidi. Tunakumbuka sheria rahisi kutoka daraja la 6: "minus kwa minus inatoa plus." Hiyo ni, au. Lakini ikiwa tunazidisha kwa (), tunapata -.

Na kadhalika ad infinitum: kwa kuzidisha kila baadae ishara itabadilika. Sheria zifuatazo rahisi zinaweza kutengenezwa:

hata shahada, - nambari chanya.
Nambari hasi imeongezwa hadi isiyo ya kawaida shahada, - nambari hasi.
Nambari chanya kwa digrii yoyote ni nambari chanya.
Sufuri kwa nguvu yoyote ni sawa na sifuri.

Amua mwenyewe ni ishara gani maneno yafuatayo yatakuwa nayo:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Je, uliweza? Hapa kuna majibu:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Katika mifano minne ya kwanza, natumaini kila kitu kiko wazi? Tunaangalia tu msingi na kielelezo na kutumia sheria inayofaa.

Katika mfano 5) kila kitu pia sio cha kutisha kama inavyoonekana: baada ya yote, haijalishi msingi ni sawa na - digrii ni sawa, ambayo inamaanisha kuwa matokeo yatakuwa mazuri kila wakati. Naam, isipokuwa wakati msingi ni sifuri. Msingi sio sawa, sivyo? Ni wazi sivyo, kwani (kwa sababu).

Mfano 6) sio rahisi tena. Hapa unahitaji kujua ambayo ni kidogo: au? Ikiwa tunakumbuka hilo, inakuwa wazi kwamba, ambayo ina maana ya msingi ni chini ya sifuri. Hiyo ni, tunatumia sheria ya 2: matokeo yatakuwa mabaya.

Na tena tunatumia ufafanuzi wa digrii:

Kila kitu ni kama kawaida - tunaandika ufafanuzi wa digrii na kuzigawanya kwa kila mmoja, kuzigawanya katika jozi na kupata:

Kabla ya kuangalia sheria ya mwisho, hebu tutatue mifano michache.

Kuhesabu maneno:

Ufumbuzi :

Ikiwa tutapuuza mamlaka ya nane, tunaona nini hapa? Wacha tukumbuke programu ya darasa la 7. Kwa hiyo, unakumbuka? Hii ndio fomula ya kuzidisha kwa kifupi, yaani tofauti ya miraba!

Tunapata:

Hebu tuangalie kwa makini denominator. Inaonekana sana kama mojawapo ya vipengele vya nambari, lakini ni nini kibaya? Mpangilio wa masharti si sahihi. Ikiwa zingebadilishwa, Sheria ya 3 inaweza kutumika. Inageuka kuwa ni rahisi sana: kiwango cha hata cha denominator hutusaidia hapa.

Ukizidisha kwa, hakuna kinachobadilika, sawa? Lakini sasa inaonekana kama hii:

Kwa uchawi maneno yalibadilisha mahali. "Jambo" hili linatumika kwa usemi wowote kwa kiwango sawa: tunaweza kubadilisha kwa urahisi ishara kwenye mabano. Lakini ni muhimu kukumbuka: Ishara zote zinabadilika kwa wakati mmoja! Huwezi kuibadilisha kwa kubadilisha hasara moja tu ambayo hatupendi!

Hebu turudi kwenye mfano:

Na tena formula:

Kwa hivyo sasa sheria ya mwisho:

Je, tutathibitishaje? Kwa kweli, kama kawaida: wacha tuongeze juu ya wazo la digrii na kurahisisha:

Naam, sasa hebu tufungue mabano. Kuna herufi ngapi kwa jumla? mara na vizidishi - hii inakukumbusha nini? Hili si chochote zaidi ya ufafanuzi wa operesheni kuzidisha: Kulikuwa na vizidishio tu hapo. Hiyo ni, hii, kwa ufafanuzi, ni nguvu ya nambari iliyo na kielelezo:

Mfano:

Shahada yenye kipeo kisicho na mantiki

Kando na maelezo kuhusu digrii kwa kiwango cha wastani, tutachanganua shahada kwa kutumia kipeo kisicho na mantiki. Sheria zote na mali ya digrii hapa ni sawa na kwa digrii iliyo na kielelezo cha busara, isipokuwa - baada ya yote, kwa ufafanuzi, nambari zisizo na maana ni nambari ambazo haziwezi kuwakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari (hiyo ni. , nambari zisizo na mantiki zote ni nambari halisi isipokuwa nambari za busara).

Tunaposoma digrii kwa vielezi asilia, nambari kamili na busara, kila mara tulipounda "picha", "analojia" fulani au maelezo kwa maneno yanayofahamika zaidi. Kwa mfano, shahada yenye kipeo asilia ni nambari iliyozidishwa yenyewe mara kadhaa; nambari hadi nguvu ya sifuri ni, kana kwamba, nambari iliyozidishwa na yenyewe mara, ambayo ni kwamba, bado hawajaanza kuizidisha, ambayo inamaanisha kuwa nambari yenyewe bado haijaonekana - kwa hivyo matokeo ni fulani tu. "nambari tupu", ambayo ni nambari; digrii iliyo na kipeo kamili cha hasi - ni kana kwamba "mchakato wa kurudi nyuma" umetokea, ambayo ni kwamba, nambari haikuzidishwa yenyewe, lakini imegawanywa.

Ni vigumu sana kufikiria shahada na kielelezo kisicho na mantiki (kama vile ni vigumu kufikiria nafasi ya 4-dimensional). Badala yake ni kitu cha kihisabati ambacho wanahisabati waliunda kupanua dhana ya digrii kwa nafasi nzima ya nambari.

Kwa njia, katika sayansi shahada iliyo na kielelezo tata hutumiwa mara nyingi, yaani, mtangazaji sio hata nambari halisi. Lakini shuleni hatufikirii juu ya ugumu kama huo; utakuwa na fursa ya kuelewa dhana hizi mpya katika taasisi hiyo.

Kwa hivyo tunafanya nini ikiwa tunaona kielezi kisicho na akili? Tunajaribu tuwezavyo kuiondoa! :)

Kwa mfano:

Amua mwenyewe:

Majibu:

Hebu tukumbuke tofauti ya fomula ya mraba. Jibu:.
Tunapunguza sehemu kwa fomu sawa: ama desimali zote mbili au zote mbili za kawaida. Tunapata, kwa mfano:.
Hakuna maalum, tunatumia mali ya kawaida ya digrii:

MUHTASARI WA SEHEMU NA FOMU ZA MSINGI

Shahada inayoitwa usemi wa fomu: , ambapo:

Shahada yenye kipeo kamili

shahada ambayo kipeo chake ni nambari asilia (yaani, kamili na chanya).

Nguvu iliyo na kipeo cha busara

shahada, kipeo chake ambacho ni nambari hasi na za sehemu.

Shahada yenye kipeo kisicho na mantiki

shahada ambayo kipeo chake ni sehemu ya desimali isiyo na kikomo au mzizi.

Tabia za digrii

Vipengele vya digrii.

Nambari hasi imeongezwa hadi hata shahada, - nambari chanya.
Nambari hasi imeongezwa hadi isiyo ya kawaida shahada, - nambari hasi.
Nambari chanya kwa digrii yoyote ni nambari chanya.
Sifuri ni sawa na nguvu yoyote.
Nambari yoyote hadi nguvu ya sifuri ni sawa.

SASA UNA NENO...

Unapendaje makala? Andika hapa chini kwenye maoni ikiwa umeipenda au la.

Tuambie kuhusu uzoefu wako wa kutumia sifa za digrii.

Labda una maswali. Au mapendekezo.

Andika kwenye maoni.

Na bahati nzuri kwenye mitihani yako!

Kikokotoo hukusaidia kuongeza nambari haraka ili kuongeza nguvu mtandaoni. Msingi wa digrii unaweza kuwa nambari yoyote (nambari kamili na halisi). Kipeo kinaweza pia kuwa nambari kamili au halisi, na pia kinaweza kuwa chanya au hasi. Kumbuka kwamba kwa nambari hasi, kuongeza kwa nguvu isiyo ya nambari kamili haijafafanuliwa, kwa hivyo kikokotoo kitaripoti hitilafu ikiwa utajaribu.

Kikokotoo cha shahada

Inua madarakani

Ufafanuzi: 94722

Nguvu ya asili ya nambari ni nini?

Nambari p inaitwa nguvu ya nth ya nambari ikiwa p ni sawa na nambari iliyozidishwa yenyewe n mara: p = a n = a·...·a
n - kuitwa kielelezo, na nambari a ni msingi wa shahada.

Jinsi ya kuongeza nambari kwa nguvu ya asili?

Ili kuelewa jinsi ya kuongeza idadi mbalimbali kwa nguvu za asili, fikiria mifano michache:

Mfano 1. Inua nambari tatu hadi nguvu ya nne. Hiyo ni, ni muhimu kuhesabu 3 4
Suluhisho: kama ilivyotajwa hapo juu, 3 4 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
Jibu: 3 4 = 81 .

Mfano 2. Inua nambari tano hadi nguvu ya tano. Hiyo ni, ni muhimu kuhesabu 5 5
Suluhisho: vile vile, 5 5 = 5 · 5 · 5 · 5 = 3125.
Jibu: 5 5 = 3125 .

Kwa hivyo, ili kuongeza nambari kwa nguvu ya asili, unahitaji tu kuizidisha yenyewe n mara.

Nguvu hasi ya nambari ni nini?

Nguvu hasi -n ya a ni moja iliyogawanywa na a kwa nguvu ya n: a -n = .

Katika kesi hii, nguvu hasi ipo tu kwa nambari zisizo za sifuri, kwani vinginevyo mgawanyiko na sifuri ungetokea.

Jinsi ya kuongeza nambari kwa nguvu hasi kamili?

Ili kuongeza nambari isiyo ya sifuri kwa nguvu hasi, unahitaji kuhesabu thamani ya nambari hii kwa nguvu sawa nzuri na ugawanye moja kwa matokeo.

Mfano 1. Inua nambari mbili hadi nguvu hasi ya nne. Hiyo ni, unahitaji kuhesabu 2 -4

Suluhisho: kama ilivyoelezwa hapo juu, 2 -4 = = = 0.0625.

Jibu: 2 -4 = 0.0625 .

Tuligundua nguvu ya nambari ni nini. Sasa tunahitaji kuelewa jinsi ya kuhesabu kwa usahihi, i.e. kuongeza idadi kwa mamlaka. Katika nyenzo hii tutachambua sheria za msingi za kuhesabu digrii katika kesi ya watoaji kamili, wa asili, wa sehemu, wa busara na wasio na maana. Ufafanuzi wote utaonyeshwa kwa mifano.

Dhana ya ufafanuzi

Wacha tuanze kwa kuunda ufafanuzi wa kimsingi.

Ufafanuzi 1

Ufafanuzi- hii ni hesabu ya thamani ya nguvu ya nambari fulani.

Hiyo ni, maneno "kuhesabu thamani ya nguvu" na "kuinua kwa nguvu" yanamaanisha kitu kimoja. Kwa hivyo, ikiwa shida inasema "Pandisha nambari 0, 5 hadi nguvu ya tano," hii inapaswa kueleweka kama "hesabu thamani ya nguvu (0, 5) 5.

Sasa tunawasilisha sheria za msingi ambazo zinapaswa kufuatiwa wakati wa kufanya mahesabu hayo.

Wacha tukumbuke nguvu ya nambari iliyo na kipeo asilia ni nini. Kwa nguvu iliyo na msingi a na kipeo n, hii itakuwa bidhaa ya nambari ya nth ya mambo, ambayo kila moja ni sawa na a. Hii inaweza kuandikwa kama hii:

Ili kuhesabu thamani ya digrii, unahitaji kufanya hatua ya kuzidisha, yaani, kuzidisha besi za digrii idadi maalum ya nyakati. Wazo lenyewe la digrii iliyo na kielelezo asilia inategemea uwezo wa kuzidisha haraka. Hebu tutoe mifano.

Mfano 1

Hali: kuinua - 2 kwa nguvu 4.

Suluhisho

Kwa kutumia ufafanuzi hapo juu, tunaandika: (− 2) 4 = (- 2) · (- 2) · (- 2) · (- 2) . Ifuatayo, tunahitaji tu kufuata hatua hizi na kupata 16.

Hebu tuchukue mfano mgumu zaidi.

Mfano 2

Kuhesabu thamani 3 2 7 2

Suluhisho

Ingizo hili linaweza kuandikwa upya kama 3 2 7 · 3 2 7 . Hapo awali, tuliangalia jinsi ya kuzidisha kwa usahihi nambari zilizochanganywa zilizotajwa katika hali hiyo.

Wacha tutekeleze hatua hizi na tupate jibu: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Ikiwa shida inaonyesha hitaji la kuongeza nambari zisizo na maana kwa nguvu ya asili, tutahitaji kwanza kuzunguka besi zao kwa nambari ambayo itaturuhusu kupata jibu la usahihi unaohitajika. Hebu tuangalie mfano.

Mfano 3

Tekeleza mraba wa π.

Suluhisho

Kwanza, wacha tuizungushe hadi karibu mia moja. Kisha π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Ikiwa π ≈ 3. 14159, basi tunapata matokeo sahihi zaidi: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Kumbuka kwamba hitaji la kuhesabu nguvu za nambari zisizo na mantiki hutokea mara chache katika mazoezi. Kisha tunaweza kuandika jibu kama nguvu (ln 6) 3 yenyewe, au kubadilisha ikiwezekana: 5 7 = 125 5 .

Kando, inapaswa kuonyeshwa nguvu ya kwanza ya nambari ni nini. Hapa unaweza kukumbuka tu kwamba nambari yoyote iliyoinuliwa kwa nguvu ya kwanza itabaki yenyewe:

Hii ni wazi kutoka kwa rekodi .

Haitegemei msingi wa digrii.

Mfano 4

Kwa hivyo, (− 9) 1 = − 9, na 7 3 iliyoinuliwa kwa nguvu ya kwanza itabaki sawa na 7 3.

Kwa urahisi, tutachunguza kesi tatu tofauti: ikiwa kipeo ni nambari chanya, ikiwa ni sifuri na ikiwa ni nambari hasi.

Katika kesi ya kwanza, hii ni sawa na kuinua kwa nguvu ya asili: baada ya yote, nambari chanya ni za seti ya nambari za asili. Tayari tumezungumza juu ya jinsi ya kufanya kazi na digrii kama hizo.

Sasa hebu tuone jinsi ya kuongeza kwa usahihi hadi nguvu ya sifuri. Kwa msingi mwingine zaidi ya sifuri, hesabu hii daima hutoa 1. Hapo awali tulielezea kuwa nguvu ya 0 ya a inaweza kufafanuliwa kwa nambari yoyote halisi isiyo sawa na 0, na 0 = 1.

Mfano 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - haijafafanuliwa.

Tumebakiwa na kesi ya shahada pekee yenye kipeo kamili cha hasi. Tayari tumejadili kwamba digrii kama hizo zinaweza kuandikwa kama sehemu 1 a z, ambapo a ni nambari yoyote, na z ni nambari hasi. Tunaona kwamba dhehebu la sehemu hii sio kitu zaidi ya nguvu ya kawaida na kielelezo chanya kamili, na tayari tumejifunza jinsi ya kuhesabu. Wacha tutoe mifano ya kazi.

Mfano 6

Inua 2 kwa nguvu - 3.

Suluhisho

Kwa kutumia ufafanuzi hapo juu, tunaandika: 2 - 3 = 1 2 3

Wacha tuhesabu denominator ya sehemu hii na tupate 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Kisha jibu ni: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Mfano 7

Ongeza 1.43 hadi -2 nguvu.

Suluhisho

Wacha tufanye upya: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Tunahesabu mraba katika denominator: 1.43 · 1.43. Desimali zinaweza kuzidishwa kwa njia hii:

Kama matokeo, tulipata (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Tunachotakiwa kufanya ni kuandika matokeo haya kwa namna ya sehemu ya kawaida, ambayo tunahitaji kuizidisha kwa elfu 10 (tazama nyenzo za kubadilisha sehemu).

Jibu: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Kesi maalum ni kuongeza nambari hadi toa nguvu ya kwanza. Thamani ya shahada hii ni sawa na uwiano wa thamani ya awali ya msingi: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Mfano 8

Mfano: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Jinsi ya kuongeza nambari kwa nguvu ya sehemu

Ili kufanya operesheni hiyo, tunahitaji kukumbuka ufafanuzi wa msingi wa shahada na kielelezo cha sehemu: a m n = a m n kwa chanya yoyote a, integer m na asili n.

Ufafanuzi 2

Kwa hivyo, hesabu ya nguvu ya sehemu lazima ifanyike kwa hatua mbili: kuinua kwa nguvu kamili na kutafuta mzizi wa nguvu ya nth.

Tuna usawa a m n = a m n , ambayo, kwa kuzingatia mali ya mizizi, kwa kawaida hutumiwa kutatua matatizo katika fomu m n = a n m . Hii inamaanisha kwamba ikiwa tutainua nambari a hadi nguvu ya sehemu m / n, basi kwanza tunachukua mzizi wa nth wa a, kisha tunainua matokeo kwa nguvu iliyo na kipeo kamili cha m.

Hebu tuonyeshe kwa mfano.

Mfano 9

Hesabu 8 - 2 3 .

Suluhisho

Njia ya 1: Kulingana na ufafanuzi wa kimsingi, tunaweza kuwakilisha hii kama: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Sasa hebu tuhesabu shahada chini ya mzizi na tuondoe mzizi wa tatu kutoka kwa matokeo: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Njia ya 2. Badilisha usawa wa kimsingi: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Baada ya hayo, tunatoa mzizi 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 na mraba matokeo: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Tunaona kwamba ufumbuzi ni sawa. Unaweza kuitumia kwa njia yoyote unayopenda.

Kuna matukio wakati shahada ina kiashirio kilichoonyeshwa kama nambari iliyochanganywa au sehemu ya desimali. Ili kurahisisha mahesabu, ni bora kuibadilisha na sehemu ya kawaida na kuhesabu kama ilivyoonyeshwa hapo juu.

Mfano 10

Inua 44, 89 kwa uwezo wa 2, 5.

Suluhisho

Wacha tubadilishe thamani ya kiashiria kuwa sehemu ya kawaida: 44, 89 2, 5 = 44, 89 5 2.

Sasa tunafanya kwa utaratibu vitendo vyote vilivyoonyeshwa hapo juu: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 100 = 130 = 130 = 130 13 501, 25107

Jibu: 13 501, 25107.

Ikiwa nambari na denominator ya kipeo cha sehemu ina idadi kubwa, basi kuhesabu vielelezo kama hivyo na vielelezo vya busara ni kazi ngumu sana. Kawaida inahitaji teknolojia ya kompyuta.

Wacha tukae kando juu ya nguvu zilizo na msingi wa sifuri na kielelezo cha sehemu. Usemi wa fomu 0 m n unaweza kupewa maana ifuatayo: ikiwa m n > 0, basi 0 m n = 0 m n = 0; ikiwa m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Jinsi ya kuongeza nambari kwa nguvu isiyo na maana

Haja ya kukokotoa thamani ya nguvu ambayo kipeo chake ni nambari isiyo na mantiki haitokei mara kwa mara. Katika mazoezi, kazi kawaida ni mdogo kwa kuhesabu thamani ya takriban (hadi idadi fulani ya maeneo ya decimal). Kawaida hii huhesabiwa kwenye kompyuta kutokana na utata wa mahesabu hayo, kwa hiyo hatuwezi kukaa juu ya hili kwa undani, tutaonyesha tu masharti makuu.

Ikiwa tunahitaji kukokotoa thamani ya nguvu a iliyo na kipeo kisicho na mantiki a, basi tunachukua ukadiriaji wa desimali wa kipeo na kuhesabu kutoka kwayo. Matokeo yake yatakuwa jibu la takriban. Kadiri ukadiriaji wa desimali unavyokuwa sahihi zaidi, ndivyo jibu lilivyo sahihi zaidi. Wacha tuonyeshe kwa mfano:

Mfano 11

Piga hesabu ya kukadiria 2 kwa nguvu ya 1.174367....

Suluhisho

Wacha tujiwekee kikomo kwa ukadiriaji wa desimali a n = 1, 17. Wacha tufanye mahesabu kwa kutumia nambari hii: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Ikiwa tutachukua, kwa mfano, makadirio ya n = 1, 1743, basi jibu litakuwa sahihi zaidi: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter