Mfumo wa kimsingi wa suluhisho kwa mfumo wa usawa wa milinganyo tofauti. Milinganyo ya tofauti ya mstari yenye coefficients isiyobadilika

LDE ya mpangilio wa nth - ur-e, mstari kwa heshima na kazi isiyojulikana na derivatives yake na ina fomu.

a 0 (x)y (n) +a 1 (x)y (n-1) +…+a n-1 (x)y'+a n (x)y=φ(x)|: a 0 (x) )

φ(x)≠0- LNOU

y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n -1 (x)y’+p n (x)y=g(x)- (1) ur-e katika fomu iliyotolewa

*ikiwa y 1 ni suluhu la LOU, basi C y 1, ambapo C ni ulinganifu wa kiholela pia ni suluhu kwa mlingano huu.

*Jumla ya y 1 + y 2 miyeyusho ya LOE ni suluhisho la kiwango sawa.

1 0 Mchanganyiko wa laini na viunga vya myeyusho holela y 1 , y 2 ,…, y m LOU ni suluhu ya mlinganyo sawa.

*ikiwa LOU (1) yenye viambajengo halisi p i (x)∈R inayo ufumbuzi wa kina y(x)=u(x)+iv(x), basi sehemu halisi ya suluhisho hili Rey=u(x) na sehemu yake ya kuwaziwa Imy=v(x) ni masuluhisho tofauti ya mlingano sawa.

Vitendaji y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) vinaitwa tegemezi kwa mstari kwa muda fulani (a,b), ikiwa zipo mara kwa mara a1,a2,…,an≠0 hivi kwamba kwa x zote za muda (a,b) kitambulisho 1 y 1 (x)+a 2 y 2 (x)+…+a n -1 (x)y' + ni kweli a n y n (x)=0. Ikiwa kazi zinategemea mstari, basi angalau moja yao ni mchanganyiko wa mstari wa wengine.

Ikiwa kitambulisho ni halali kwa a1=a2=…=an=0 pekee, basi vitendakazi y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) vinaitwa. kujitegemea linearly kwa muda (a,b).

*ikiwa fomula y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) tegemezi kwa mstari kwa muda (a,b), kisha kiashiria (Kisiwa cha Vronsky)

W(x)=W= =0 kwa muda huu.

Hali uhuru wa mstari suluhisho za kibinafsi:

* ikiwa vitendaji huru vya mstari y 1 (x), y 2 (x),…, y n (x) ni miyeyusho ya LOE (1) yenye viambajengo p i (x) vinavyoendelea kwenye kipindi (a,b), kisha vikitungwa kwa ajili yao. kiambishi cha Wronski si = 0 katika hatua yoyote ya muda (a,b).

Suluhisho la jumla la LOU (1) lenye viambajengo p i (x) vinavyoendelea kwenye (a,b) (i=1,2,...,n) ni mchanganyiko wa mstari y oo = n unaojitegemea kwa mstari kwenye muda sawa wa sehemu. suluhisho y i kwa kiholela mgawo wa mara kwa mara.

1 0 idadi ya juu ya suluhu zinazojitegemea kimstari za LOU ni sawa na mpangilio wake.

FSR- any n utatuzi huru wa sehemu LOU wa mpangilio wa nth.

*y kwenye =y oo +y chn

Muundo wa suluhisho la jumla la mlinganyo wa kutofautisha wa mstari usio sawa. Mbinu ya utofautishaji wa viambajengo vya kiholela kwa ajili ya kutafuta suluhu fulani kwa mlinganyo wa utofautishaji wa mstari wa mpangilio wa nth.

LPDE hutatuliwa kwa njia ya kutofautiana kwa viwango vya kiholela. Kwanza ni uamuzi wa pamoja mlinganyo wa homogeneous , kuwa na upande wa kushoto sawa na wa awali mlinganyo usio na usawa. Kisha suluhisho la equation linapatikana kwa fomu, i.e. Inachukuliwa kuwa viunga C ni f-mi ya kigezo huru cha x. Katika kesi hii, kazi C 1 (x) na C 2 (x) zinaweza kupatikana kama suluhisho la mfumo.

U he = u oo + u chn

idadi ya juu ya suluhisho kwa equation ni sawa na mpangilio wake.

uamuzi wa pamoja

44*. Linear homogeneous equation tofauti na coefficients mara kwa mara. Tabia ya polynomial na mlingano wa tabia. Ujenzi mfumo wa kimsingi ufumbuzi katika kesi mizizi rahisi tabia ya polynomial (halisi na ngumu).

Mlinganyo wa fomu y"+p(x)y=f(x), ambapo p(x), f(x) ni vitendaji endelevu kwenye kipindi a

Ikiwa f(x)= 0, basi equation inaitwa homogeneous.

Ikiwa katika LO ur-ii y (n) +p 1 (x)y (n -1) +…+p n-1 (x)y’+p n (x)y=0

Coefficients zote pi ni mara kwa mara, basi ufumbuzi wake wa sehemu unaweza kupatikana katika fomu y=e kx, ambapo k ni mara kwa mara. Kubadilisha katika ur

(k n +p 1 k n -1 +….+p n-1 k+ p n) e kx =0

Kupunguza kwa e kx tunapata kinachojulikana Kiwango cha tabia

k n +p 1 k n -1 +….+p n -1 k+ p n =0

Mlinganyo huu wa shahada ya nth huamua zile thamani za k ambapo y= e kx ni suluhu la mlinganyo wa asili wa utofautishaji na miraba isiyobadilika.

1.k 1 , k 2 ,…,k n - halisi na tofauti

FSR: e k 1 x , e k 2 x ,…, e knx

2. k 1 = k 2 =…=k m =k ~ ,

k ~ - m - mizizi mingi ya ur-i, na mizizi mingine yote ya n- m ni tofauti

FSR: e k ~ x ,x e k ~ x ,…, x m -1 e k ~ x , e km +1 x , e k n x

Milinganyo ya tofauti ya mstari ya mpangilio wa pili

Mlingano wa tofauti wa mpangilio wa pili una fomu.

Ufafanuzi. Suluhisho la jumla kwa mlinganyo wa mpangilio wa pili ni kazi ambayo, kwa thamani yoyote, ni suluhisho la mlinganyo huu.

Ufafanuzi. Equation ya mstari wa homogeneous ya utaratibu wa pili inaitwa equation. Ikiwa coefficients ni mara kwa mara, i.e. usitegemee , basi equation hii inaitwa equation na coefficients mara kwa mara na imeandikwa kama ifuatavyo: .

Mlinganyo tutaiita mlinganyo wa mstari usio sawa.

Ufafanuzi. Mlinganyo unaopatikana kutoka kwa mlingano wa homogeneous wa mstari kwa kubadilisha chaguo la kukokotoa kwa moja, na na kwa nguvu zinazolingana, inaitwa mlinganyo wa tabia.

Inajulikana kuwa equation ya quadratic ina suluhisho kulingana na kibaguzi: , i.e. ikiwa , basi mizizi na ni nambari halisi tofauti. Ikiwa, basi. Ikiwa, i.e. , basi itakuwa nambari ya kufikiria, na mizizi na itakuwa nambari changamano. Katika kesi hii, tunakubali kuashiria.

Mfano 4. Tatua mlinganyo.

Suluhisho. Kwa hivyo, kibaguzi cha mlingano huu wa quadratic ni .

Tutaonyesha jinsi ya kupata suluhisho la jumla la usawa wa mstari wa mpangilio wa pili wa homogeneous kwa kutumia fomu ya mizizi ya equation ya tabia.

Ikiwa ni mizizi halisi ya equation ya tabia, basi .

Ikiwa mizizi ya equation ya tabia ni sawa, i.e. , basi suluhu la jumla la mlinganyo wa kutofautisha hutafutwa kwa kutumia fomula au .

Ikiwa equation ya tabia ina mizizi ngumu, basi.

Mfano 5. Pata suluhisho la jumla la equation.

Suluhisho. Wacha tuunde mlingano wa tabia kwa mlingano huu wa kutofautisha: . Mizizi yake ni halali na tofauti. Kwa hivyo suluhisho la jumla .

Mfumo wa kimsingi wa suluhu kwa mlinganyo wa tofauti wenye usawa. Nadharia juu ya muundo wa suluhisho la jumla la suluhisho kwa usawa wa usawa wa usawa. Katika sehemu hii tutathibitisha kwamba msingi wa nafasi ya mstari wa ufumbuzi wa sehemu ya equation ya homogeneous inaweza kuwa seti yoyote ya n ufumbuzi wake linearly huru.
Def. 14.5.5.1. mfumo wa msingi wa suluhisho. Mfumo wa msingi wa suluhisho mlinganyo wa tofauti wenye usawa n -th ili ni mfumo wowote wa kujitegemea wa mstari y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) yake n suluhisho za kibinafsi.
Nadharia 14.5.5.1.1 juu ya muundo wa suluhisho la jumla la usawa wa usawa wa usawa.. Uamuzi wa pamoja y (x ) ya mlinganyo wa kutofautisha wenye usawa ni mseto wa utendakazi kutoka kwa mfumo msingi wa suluhu kwa mlinganyo huu:
y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ).
Hati. Hebu y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) ni mfumo wa kimsingi wa suluhu kwa mlinganyo wa tofauti wenye usawa. Inahitajika ili kudhibitisha kuwa suluhisho fulani y nini ( x ) ya mlingano huu imo katika fomula y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) kwa seti fulani ya viunga C 1 , C 2 , …, Cn . Wacha tuchukue hatua yoyote, tuhesabu nambari katika hatua hii na tupate viunga C 1 , C 2 , …, Cn kama suluhu kwa mfumo wa mstari usio sawa wa milinganyo ya aljebra

Suluhisho kama hilo lipo na ni la kipekee, kwani kiashiria cha mfumo huu ni sawa na . Fikiria mchanganyiko wa mstari y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) hufanya kazi kutoka kwa mfumo wa msingi wa suluhisho na maadili haya ya viunga C 1 , C 2 , …, Cn na kulinganisha na kazi y nini ( x ) Kazi y (x ) Na y nini ( x ) kukidhi mlingano sawa na masharti yale yale ya awali katika uhakika x 0, kwa hivyo, kwa sababu ya upekee wa suluhisho la shida ya Cauchy, zinalingana: y nini ( x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + … + C n y n (x ) Nadharia imethibitishwa.
Kutoka kwa nadharia hii inafuata kwamba mwelekeo wa nafasi ya mstari wa ufumbuzi wa sehemu ya equation ya homogeneous na coefficients inayoendelea hauzidi. n . Inabakia kuthibitisha kwamba mwelekeo huu sio chini ya n .
Nadharia 14.5.5.1.2 juu ya kuwepo kwa mfumo wa msingi wa ufumbuzi wa usawa wa usawa wa usawa. Mlinganyo wowote wa kutofautisha wenye usawa n utaratibu wa th na coefficients inayoendelea ina mfumo wa msingi wa ufumbuzi, i.e. mfumo kutoka n ufumbuzi wa kujitegemea linearly.
Hati. Wacha tuchukue kibainishi chochote cha nambari n -th mpangilio, sio sawa na sifuri

Unaweza kuagiza suluhisho la kina kwa shida yako !!!

Ili kuelewa ni nini mfumo wa maamuzi ya kimsingi unaweza kutazama mafunzo ya video kwa mfano sawa kwa kubofya. Sasa hebu tuendelee kwenye maelezo halisi ya kazi zote muhimu. Hii itakusaidia kuelewa kiini cha suala hili kwa undani zaidi.

Jinsi ya kupata mfumo wa msingi wa suluhisho kwa equation ya mstari?

Wacha tuchukue kwa mfano mfumo ufuatao wa milinganyo ya mstari:

Wacha tupate suluhisho la mfumo huu wa usawa wa milinganyo. Kuanza na, sisi unahitaji kuandika matrix ya mgawo wa mfumo.

Wacha tubadilishe matrix hii kuwa ya pembetatu. Tunaandika upya mstari wa kwanza bila mabadiliko. Na vipengele vyote vilivyo chini ya $a_(11)$ lazima vifanywe sufuri. Ili kufanya sifuri mahali pa kipengele $a_(21)$, unahitaji kuondoa kwanza kutoka mstari wa pili, na kuandika tofauti katika mstari wa pili. Ili kufanya sifuri mahali pa kipengele $a_(31)$, unahitaji kuondoa kwanza kutoka mstari wa tatu na kuandika tofauti katika mstari wa tatu. Ili kufanya sifuri badala ya kipengele $a_(41)$, unahitaji kuondoa kwanza iliyozidishwa na 2 kutoka mstari wa nne na kuandika tofauti katika mstari wa nne. Ili kufanya sifuri badala ya kipengele $a_(31)$, unahitaji kuondoa kwanza iliyozidishwa na 2 kutoka mstari wa tano na kuandika tofauti katika mstari wa tano.

Tunaandika upya mistari ya kwanza na ya pili bila mabadiliko. Na vipengele vyote vilivyo chini ya $a_(22)$ lazima vifanywe sufuri. Ili kufanya sifuri mahali pa kipengele $a_(32)$, unahitaji kuondoa ya pili iliyozidishwa na 2 kutoka mstari wa tatu na kuandika tofauti katika mstari wa tatu. Ili kufanya sifuri mahali pa kipengele $a_(42)$, unahitaji kuondoa pili iliyozidishwa na 2 kutoka mstari wa nne na kuandika tofauti katika mstari wa nne. Ili kufanya sifuri mahali pa kipengele $a_(52)$, unahitaji kuondoa pili iliyozidishwa na 3 kutoka mstari wa tano na kuandika tofauti katika mstari wa tano.

Tunaona hilo mistari mitatu ya mwisho ni sawa, kwa hivyo ukiondoa ya tatu kutoka ya nne na ya tano, zitakuwa sifuri.

Kulingana na matrix hii andika mfumo mpya wa milinganyo.

Tunaona kwamba tuna hesabu tatu tu zinazojitegemea kwa mstari, na tano zisizojulikana, kwa hivyo mfumo wa kimsingi wa suluhisho utajumuisha vekta mbili. Kwa hiyo sisi tunahitaji kuhamisha mbili za mwisho zisizojulikana kwenda kulia.

Sasa, tunaanza kueleza zile zisizojulikana ambazo ziko upande wa kushoto kupitia zile zilizo upande wa kulia. Tunaanza na mlingano wa mwisho, kwanza tunaeleza $x_3$, kisha tunabadilisha tokeo linalofuata katika mlinganyo wa pili na kueleza $x_2$, na kisha kwenye mlinganyo wa kwanza na hapa tunaeleza $x_1$. Kwa hivyo, tulielezea mambo yote yasiyojulikana ambayo yako upande wa kushoto kupitia haijulikani ambayo iko upande wa kulia.

Kisha badala ya $x_4$ na $x_5$, tunaweza kubadilisha nambari zozote na kupata $x_1$, $x_2$ na $x_3$. Kila tano ya nambari hizi zitakuwa chimbuko la mfumo wetu wa asili wa milinganyo. Ili kupata vekta ambazo zimejumuishwa ndani FSR tunahitaji kubadilisha 1 badala ya $x_4$, na kubadilisha 0 badala ya $x_5$, kupata $x_1$, $x_2$ na $x_3$, na kisha kinyume chake $x_4=0$ na $x_5=1$.

tazama pia Kusuluhisha milinganyo ya tofauti ya mstari mtandaoni
Kupata mfumo wa msingi wa suluhisho katika kesi ya jumla ni kazi ngumu sana. Walakini, kuna darasa la milinganyo ambayo shida hii inaweza kutatuliwa kwa urahisi kabisa. Tunaanza kusoma darasa hili.
(*)

Wacha tuite mlinganyo wa kutofautisha wa mstari (*) mlinganyo wenye coefficients ya mara kwa mara ikiwa coefficients katika mlinganyo huu ni thabiti, yaani, a i (x)=const. Kisha equation inayolingana ya homogeneous L(y)=0 itakuwa na fomu
. (6)
Tutatafuta suluhisho la equation (6) katika fomu y = erx. Kisha y" = r e rx , y"" = r 2 e rx ,…, y (n) = r n e rx . Kubadilisha na (6), tunapata

Kwa kuwa e rx haipotei popote, basi
. (7)
Mlingano (7) unaitwa mlingano bainifu wa mlinganyo wa tofauti wa homogeneous na coefficients zisizobadilika.
Kwa hivyo, tumethibitisha nadharia ifuatayo. Nadharia. Chaguo za kukokotoa y = e rx ni suluhu la mlinganyo wa tofauti wa homogeneous wenye vipatanishi vya mara kwa mara (6) ikiwa na tu ikiwa r ndio mzizi wa mlingano bainifu (7).
Kesi zifuatazo zinawezekana.
1. Mizizi yote ya sifa ya polynomial ni halisi na tofauti. Wacha tuwaashirie r 1 ,r 2 ,…,r n . Kisha tunapata n suluhu tofauti
y 1 = e r1x , y 2 = e r2x ,…, y n = e rnx (8)
mlinganyo (6). Wacha tuthibitishe kuwa mfumo unaotokana wa suluhisho ni huru kwa mstari. Wacha tuzingatie kiashiria chake cha Wronsky

.

Kipengele e (r 1+ r 2+..+ rn) x upande wa kulia wa W(e r 1 x, e r 2 x,…, e rnx) hakipotei popote. Kwa hiyo, inabakia kuonyesha kwamba kipengele cha pili (kiamua) si sawa na sifuri. Hebu tuchukulie hivyo

Halafu safu za kibainishi hiki hutegemea mstari, yaani, kuna nambari α 1, α 2, ..., α n hivi kwamba
Kwa hivyo, tuligundua kuwa r i, i = 1,2,.., n ni mizizi tofauti ya polynomial ya digrii (n-1), ambayo haiwezekani. Kwa hivyo, kiangazio cha upande wa kulia W(e r 1 x , e r 2 x ,…, e rnx) si sawa na sufuri na mfumo wa utendaji (8) huunda mfumo wa kimsingi wa suluhu za mlinganyo (6) katika kesi hiyo. wakati mizizi ya equation ya tabia ni tofauti.

Mfano. Kwa equation y""-3y" + 2y=0, mizizi ya equation ya tabia r 2 - 3r + 2 = 0 ni sawa na r 1 = 1, r 2 = 2 (mizizi ilipatikana kupitia huduma ya kutafuta. Kwa hivyo, mfumo wa kimsingi wa suluhisho unajumuisha kazi y 1 = e x, y 2 = e 2 x, na suluhisho la jumla limeandikwa kama y = C 1 e x + C 2 e 2 x.
2. Miongoni mwa mizizi ya equation ya tabia kuna nyingi. Tuseme kwamba r 1 ina msururu α, na zingine zote ni tofauti. Hebu kwanza tuzingatie kesi r 1 = 0. Kisha equation ya tabia ina fomu

kwani vinginevyo haingekuwa mzizi wa msururu α. Kwa hiyo, equation tofauti ina fomu
yaani, haina derivatives ya utaratibu chini ya α. Mlinganyo huu unaridhishwa na chaguo za kukokotoa zote ambazo viasili vyake vya mpangilio α na zaidi ni sawa na sifuri. Hasa, hizi zote ni polynomials za digrii isiyo ya juu kuliko α-1, kwa mfano,
1, x, x 2, …, x α-1. (9)
Wacha tuonyeshe kuwa mfumo huu unajitegemea kimkakati. Baada ya kukusanya kiambishi cha Wronski cha mfumo huu wa kazi, tunapata

.

Hiki ni kibainishi cha pembe tatu chenye vipengele visivyo na sifuri kwenye mlalo mkuu. Kwa hiyo, ni tofauti na sifuri, ambayo inathibitisha uhuru wa mstari wa mfumo wa kazi (9). Kumbuka kwamba katika mojawapo ya mifano katika aya iliyotangulia tulithibitisha uhuru wa mstari wa mfumo wa kazi (9) kwa njia tofauti. Wacha sasa mzizi wa mlingano wa tabia wa kuzidisha α uwe nambari r 1 ≠0. Wacha tufanye uingizwaji y = z r 1 x = z exp(r 1 x) katika mlinganyo (6) L(y) = 0. Kisha

Nakadhalika. Kubadilisha maadili yaliyopatikana ya derivatives kwenye equation ya asili, tunapata tena usawa wa usawa wa usawa na coefficients ya mara kwa mara.
(0)
na mlinganyo wa tabia
. (1)
Kumbuka kwamba ikiwa k ndio mzizi wa mlinganyo wa tabia (1), basi z = e kx ni suluhu la mlinganyo (0), na y = y r 1 x = e (k + r 1) x ni suluhisho la mlinganyo ( 6). Kisha r=k+r 1 ndio mzizi wa mlingano wa tabia (7). Kwa upande mwingine, mlinganyo (6) unaweza kupatikana kutoka kwa mlingano (0) kwa uwekaji wa kinyume z = ye - r 1 x na kwa hivyo kila mzizi wa mlingano wa tabia (7) unalingana na mzizi k = r - r 1 wa mlingano wa tabia (1). Kwa hivyo, mawasiliano ya moja kwa moja yameanzishwa kati ya mizizi ya equations ya tabia (7) na (1), na mizizi tofauti ya equation moja inafanana na mizizi tofauti ya nyingine. Kwa kuwa r = r 1 ndio mzizi wa msururu α wa mlinganyo (7), basi equation (1) ina k=0 kama mzizi wa msururu α. Kulingana na kile kilichothibitishwa hapo awali, equation (0) ina masuluhisho huru ya α
ambayo yanahusiana na suluhu huru za mstari
(2)
mlinganyo (7). Kwa kuongeza mfumo unaotokana wa suluhu (2) kwa suluhu za n-α zinazolingana na mizizi iliyobaki ya equation ya tabia, tunapata mfumo wa kimsingi wa suluhu kwa usawa wa usawa wa usawa na mgawo wa mara kwa mara katika kesi ya uwepo wa nyingi. mizizi.
Mfano. Kwa equation y"""-4y""+4y" = 0, mlingano wa tabia r 3 -4r 2 + 4r = 0 ina mizizi r=0 ya nyingi 1 na r=2 ya nyingi 2, tangu r 3 -4r 2 + 4r = r(r-2) 2, kwa hivyo mfumo wa kimsingi wa suluhisho kwa mlinganyo wa asili ni mfumo wa utendaji y 1 = 1, y 2 = e 2 x, y 3 = xe 2 x, na suluhisho la jumla. ina fomu y = C 1 + C 2 e 2 x + C 3 xe 2 x.
3. Miongoni mwa mizizi ya equation ya tabia kuna mizizi tata. Unaweza kuzingatia suluhisho ngumu, lakini kwa hesabu na coefficients halisi hii sio rahisi sana. Wacha tupate suluhisho halisi zinazolingana na mizizi ngumu. Kwa kuwa tunazingatia mlinganyo wenye coefficients halisi, basi kwa kila mzizi changamano r j = a+bi ya msururu α ya mlingano wa sifa, nambari yake changamano ya mlinganyo r k = a-bi pia ni mzizi wa msururu α wa mlingano huu. Jozi za suluhisho zinazolingana na mizizi hii ni kazi na , l=0,1,.., α-1. Badala ya suluhu hizi, zingatia michanganyiko yao ya mstari 3. Kwa equation y (4) + 8y"" + 16y =0, mlingano wa tabia r 4 +8r 2 +16=0 ina r 1 = 2i, r 2 = -2i ya msururu 2, tangu r 4 +8r 2 +16= (r 2 + 4) 2, kwa hiyo mfumo wa msingi wa ufumbuzi wa equation ya awali ni mfumo wa kazi y 1 = cos2x, y 2 = sin2x, y 3 = xcos2x , y 4 = xsin2x, na suluhisho la jumla lina fomu y = C 1 cos2x+ C 2 sin2x+ C 3 xcos2x+ C 4 xsin2x.

Tutaendelea kung'arisha teknolojia yetu mabadiliko ya msingi juu mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari.
Kulingana na aya za kwanza, nyenzo zinaweza kuonekana kuwa za kuchosha na za wastani, lakini maoni haya ni ya udanganyifu. Mbali na maendeleo zaidi ya mbinu, kutakuwa na habari nyingi mpya, kwa hiyo tafadhali jaribu kutopuuza mifano katika makala hii.

Je! ni mfumo gani wa usawa wa milinganyo ya mstari?

Jibu linapendekeza yenyewe. Mfumo wa milinganyo ya mstari ni sawa ikiwa ni neno huru kila mtu equation ya mfumo ni sifuri. Kwa mfano:

Ni wazi kabisa kwamba mfumo wa homogeneous daima ni thabiti, yaani, daima ina ufumbuzi. Na, kwanza kabisa, kinachoshika jicho lako ni kinachojulikana yasiyo na maana suluhisho . Trivial, kwa wale ambao hawaelewi maana ya kivumishi hata kidogo, ina maana bila show-off. Sio kielimu, bila shaka, lakini kwa kueleweka =) ...Kwa nini piga kuzunguka msituni, hebu tujue ikiwa mfumo huu una masuluhisho mengine yoyote:

Mfano 1

Suluhisho: kutatua mfumo wa homogeneous ni muhimu kuandika matrix ya mfumo na kwa msaada wa mabadiliko ya msingi kuleta kwa fomu iliyopigwa. Tafadhali kumbuka kuwa hapa hakuna haja ya kuandika bar ya wima na safu ya sifuri ya maneno ya bure - baada ya yote, bila kujali unafanya nini na zero, zitabaki zero:

(1) Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa pili, ukizidishwa na -2. Mstari wa kwanza uliongezwa kwenye mstari wa tatu, ukizidishwa na -3.

(2) Mstari wa pili uliongezwa kwenye mstari wa tatu, ukizidishwa na -1.

Kugawanya mstari wa tatu na 3 haina maana sana.

Kama matokeo ya mabadiliko ya kimsingi, mfumo sawa wa homogeneous hupatikana , na, kwa kutumia kinyume cha njia ya Gaussian, ni rahisi kuthibitisha kuwa suluhisho ni la kipekee.

Jibu:

Hebu tutengeneze kigezo kilicho wazi: mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari ina suluhisho dogo tu, Kama kiwango cha matrix ya mfumo(katika kesi hii 3) ni sawa na idadi ya vigezo (katika kesi hii - vipande 3).

Wacha tuchangamshe na kuelekeza redio yetu kwa wimbi la mabadiliko ya kimsingi:

Mfano 2

Tatua mfumo wa usawa wa milinganyo ya mstari

Ili hatimaye kuunganisha algorithm, hebu tuchambue kazi ya mwisho:

Mfano 7

Tatua mfumo wa homogeneous, andika jibu katika fomu ya vector.

Suluhisho: wacha tuandike matrix ya mfumo na, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, tulete kwa njia ya hatua:

(1) Alama ya mstari wa kwanza imebadilishwa. Kwa mara nyingine tena ninazingatia mbinu ambayo imekutana mara nyingi, ambayo inakuwezesha kurahisisha kwa kiasi kikubwa hatua inayofuata.

(1) Mstari wa kwanza uliongezwa kwa mstari wa 2 na wa 3. Mstari wa kwanza, uliozidishwa na 2, uliongezwa kwenye mstari wa 4.

(3) Mistari mitatu ya mwisho ni sawia, miwili kati yake imeondolewa.

Kama matokeo, matrix ya hatua ya kawaida hupatikana, na suluhisho linaendelea kwenye wimbo uliopigwa:

- vigezo vya msingi;
- Vigezo vya bure.

Hebu tueleze vigezo vya msingi kwa suala la vigezo vya bure. Kutoka kwa equation ya 2:

- badilisha katika equation ya 1:

Kwa hivyo suluhisho la jumla ni:

Kwa kuwa katika mfano unaozingatiwa kuna vigezo vitatu vya bure, mfumo wa msingi una vectors tatu.

Hebu tubadilishe thamani tatu kwenye suluhisho la jumla na upate vekta ambayo viwianishi vyake vinakidhi kila equation ya mfumo wa homogeneous. Na tena, narudia kwamba inashauriwa sana kuangalia kila vector iliyopokelewa - haitachukua muda mwingi, lakini itakulinda kabisa kutokana na makosa.

Kwa mara tatu ya maadili pata vekta

Na hatimaye kwa wale watatu tunapata vector ya tatu:

Jibu:, wapi

Wale wanaotaka kuzuia maadili ya sehemu wanaweza kuzingatia utatu na upate jibu kwa fomu sawa:

Akizungumza ya sehemu. Wacha tuangalie matrix iliyopatikana kwenye shida na tujiulize: je, inawezekana kurahisisha suluhisho zaidi? Baada ya yote, hapa tulielezea kwanza kutofautisha kwa msingi kupitia sehemu, kisha kupitia sehemu tofauti za kimsingi, na, lazima niseme, mchakato huu haukuwa rahisi zaidi na sio wa kupendeza zaidi.

Suluhisho la pili:

Wazo ni kujaribu chagua vigezo vingine vya msingi. Wacha tuangalie matrix na tuangalie mbili kwenye safu ya tatu. Kwa hivyo kwa nini usiwe na sifuri hapo juu? Wacha tufanye mabadiliko moja zaidi ya msingi: