Kikokotoo cha maendeleo ya kijiometri. Maendeleo ya kijiometri

Maendeleo ya kijiometri. Mwongozo wa kina na mifano (2019)

Mlolongo wa nambari

Kwa hivyo, hebu tukae chini na tuanze kuandika nambari kadhaa. Kwa mfano:

Unaweza kuandika nambari zozote, na kunaweza kuwa na nyingi kama unavyopenda (kwa upande wetu, zipo). Haijalishi ni nambari ngapi tunazoandika, tunaweza kusema kila wakati ni ipi ya kwanza, ni ipi ya pili, na kadhalika hadi ya mwisho, ambayo ni, tunaweza kuhesabu. Huu ni mfano wa mlolongo wa nambari:

Mlolongo wa nambari ni seti ya nambari, ambayo kila moja inaweza kupewa nambari ya kipekee.

Kwa mfano, kwa mlolongo wetu:

Nambari iliyopewa ni maalum kwa nambari moja tu katika mlolongo. Kwa maneno mengine, hakuna nambari tatu za pili katika mlolongo. Nambari ya pili (kama nambari ya th) ni sawa kila wakati.

Nambari iliyo na nambari inaitwa mwanachama wa nth wa mlolongo.

Kwa kawaida tunaita mfuatano mzima kwa herufi fulani (kwa mfano,), na kila mwanachama wa mfuatano huu ni herufi sawa na faharasa sawa na nambari ya mwanachama huyu: .

Kwa upande wetu:

Aina za kawaida za maendeleo ni hesabu na kijiometri. Katika mada hii tutazungumza juu ya aina ya pili - maendeleo ya kijiometri.

Kwa nini maendeleo ya kijiometri inahitajika na historia yake?

Hata katika nyakati za kale, mtawa Mitalia wa mwanahisabati Leonardo wa Pisa (aliyejulikana zaidi kuwa Fibonacci) alishughulikia mahitaji halisi ya biashara. Mtawa huyo alikabiliwa na kazi ya kuamua ni hesabu gani ndogo zaidi ya uzani inayoweza kutumiwa kupima bidhaa? Katika kazi zake, Fibonacci anathibitisha kuwa mfumo kama huo wa uzani ni bora: Hii ni moja ya hali ya kwanza ambayo watu walilazimika kushughulika na maendeleo ya kijiometri, ambayo labda tayari umesikia juu yake na unayo angalau. dhana ya jumla. Mara tu unapoelewa mada kikamilifu, fikiria kwa nini mfumo kama huo ni bora?

Hivi sasa, katika mazoezi ya maisha, maendeleo ya kijiometri inajidhihirisha wakati wa kuwekeza fedha katika benki, wakati kiasi cha riba kinakusanywa kwa kiasi kilichokusanywa katika akaunti kwa kipindi cha awali. Kwa maneno mengine, ikiwa utaweka pesa kwenye amana ya muda katika benki ya akiba, basi baada ya mwaka amana itaongezeka kwa kiasi cha awali, i.e. kiasi kipya kitakuwa sawa na mchango unaozidishwa na. Katika mwaka mwingine, kiasi hiki kitaongezeka kwa, i.e. kiasi kilichopatikana wakati huo kitazidishwa tena na kadhalika. Hali sawa ilivyoelezwa katika matatizo ya kuhesabu kinachojulikana maslahi ya kiwanja- asilimia inachukuliwa kila wakati kutoka kwa kiasi kilicho kwenye akaunti, kwa kuzingatia maslahi ya awali. Tutazungumza juu ya kazi hizi baadaye kidogo.

Kuna mengi zaidi kesi rahisi, ambapo maendeleo ya kijiometri hutumiwa. Kwa mfano, kuenea kwa mafua: mtu aliambukiza mtu mwingine, wao, kwa upande wake, waliambukiza mtu mwingine, na hivyo wimbi la pili la maambukizi ni mtu, na wao, kwa upande wake, waliambukiza mwingine ... na kadhalika. .

Kwa njia, piramidi ya kifedha, MMM sawa, ni hesabu rahisi na kavu kulingana na mali ya maendeleo ya kijiometri. Inavutia? Hebu tufikirie.

Maendeleo ya kijiometri.

Wacha tuseme tunayo mlolongo wa nambari:

Utajibu mara moja kuwa hii ni rahisi na jina la mlolongo kama huo ni maendeleo ya hesabu na tofauti ya masharti yake. Vipi kuhusu hii:

Ukiondoa ile iliyotangulia kutoka kwa nambari inayofuata, utaona kwamba kila wakati unapata tofauti mpya (na kadhalika), lakini mlolongo hakika upo na sio ngumu kugundua - kila moja. nambari inayofuata mara zaidi ya ile iliyopita!

Aina hii ya mlolongo wa nambari inaitwa maendeleo ya kijiometri na imeteuliwa.

Maendeleo ya kijiometri () ni mlolongo wa nambari, muda wa kwanza ambao ni tofauti na sifuri, na kila muda, kuanzia pili, ni sawa na uliopita, umeongezeka kwa idadi sawa. Nambari hii inaitwa denominator ya maendeleo ya kijiometri.

Vizuizi ambavyo muhula wa kwanza ( ) si sawa na sio nasibu. Wacha tufikirie kuwa hakuna, na neno la kwanza bado ni sawa, na q ni sawa na, hmm .. iwe hivyo, basi inageuka:

Kubali kuwa hii sio maendeleo tena.

Kama unavyoelewa, tutapata matokeo sawa ikiwa kuna nambari yoyote isipokuwa sifuri, a. Katika kesi hizi, hakutakuwa na maendeleo, kwani nzima mfululizo wa nambari kutakuwa na sufuri zote, au nambari moja na sufuri zingine zote.

Sasa hebu tuzungumze kwa undani zaidi juu ya denominator ya maendeleo ya kijiometri, yaani, o.

Wacha turudie: - hii ndio nambari kila neno linalofuata linabadilika mara ngapi? maendeleo ya kijiometri.

Unafikiri inaweza kuwa nini? Hiyo ni kweli, chanya na hasi, lakini sio sifuri (tulizungumza juu ya hii juu kidogo).

Wacha tuchukue kuwa yetu ni chanya. Hebu kwa upande wetu, a. Je, muhula wa pili una thamani gani na? Unaweza kujibu kwa urahisi kwamba:

Hiyo ni sawa. Ipasavyo, ikiwa, basi masharti yote yanayofuata ya mwendelezo yana ishara sawa- Wao ni chanya.

Je, ikiwa ni hasi? Kwa mfano, a. Je, muhula wa pili una thamani gani na?

Hii ni hadithi tofauti kabisa

Jaribu kuhesabu masharti ya maendeleo haya. Ulipata kiasi gani? Nimewahi. Kwa hivyo, ikiwa, basi ishara za masharti ya maendeleo ya kijiometri hubadilishana. Hiyo ni, ikiwa unaona maendeleo na ishara za kubadilishana kwa wanachama wake, basi denominator yake ni mbaya. Ujuzi huu unaweza kukusaidia kujijaribu wakati wa kutatua shida kwenye mada hii.

Sasa wacha tufanye mazoezi kidogo: jaribu kubaini ni mlolongo wa nambari gani ni mwendelezo wa kijiometri na ni nini maendeleo ya hesabu:

Nimeelewa? Wacha tulinganishe majibu yetu:

Maendeleo ya kijiometri - 3, 6.
Maendeleo ya hesabu - 2, 4.
Sio hesabu au maendeleo ya kijiometri - 1, 5, 7.

Hebu turudi kwenye mwendelezo wetu wa mwisho na tujaribu kutafuta mwanachama wake, kama tu kwenye hesabu. Kama unavyoweza kukisia, kuna njia mbili za kuipata.

Tunazidisha kila muhula kwa mfululizo.

Kwa hivyo, neno la th la maendeleo ya kijiometri iliyoelezewa ni sawa na.

Kama ulivyokisia tayari, sasa wewe mwenyewe utapata formula ambayo itakusaidia kupata mshiriki yeyote wa maendeleo ya kijiometri. Au tayari umejitengenezea mwenyewe, ukielezea jinsi ya kupata mwanachama wa hatua kwa hatua? Ikiwa ndivyo, basi angalia usahihi wa hoja yako.

Wacha tuonyeshe hili kwa mfano wa kupata muhula wa maendeleo haya:

Kwa maneno mengine:

Pata thamani ya muda wa maendeleo uliyopewa ya kijiometri mwenyewe.

Imetokea? Wacha tulinganishe majibu yetu:

Tafadhali kumbuka kuwa ulipata nambari sawa kabisa na katika njia ya awali, tulipozidisha mfululizo kwa kila neno la awali la maendeleo ya kijiometri.
Hebu jaribu "depersonalize" formula hii- Wacha tuiweke kwa fomu ya jumla na tupate:

Fomula inayotokana ni kweli kwa thamani zote - chanya na hasi. Angalia hili mwenyewe kwa kuhesabu masharti ya maendeleo ya kijiometri na masharti yafuatayo:, A.

Je, ulihesabu? Wacha tulinganishe matokeo:

Kubali kwamba itawezekana kupata muda wa kuendelea kwa njia sawa na neno, hata hivyo, kuna uwezekano wa kuhesabu vibaya. Na ikiwa tayari tumepata neno la th la maendeleo ya kijiometri, basi ni nini kinachoweza kuwa rahisi zaidi kuliko kutumia sehemu "iliyopunguzwa" ya formula.

Kupungua kwa maendeleo ya kijiometri.

Hivi majuzi, tulizungumza juu ya kile kinachoweza kuwa kikubwa au chini ya sifuri, hata hivyo, kuna maana maalum ambayo maendeleo ya kijiometri inaitwa kupungua kabisa.

Unafikiri kwa nini jina hili limepewa?
Kwanza, hebu tuandike maendeleo ya kijiometri inayojumuisha istilahi.
Hebu tuseme, basi:

Tunaona kwamba kila muhula unaofuata ni chini ya ule uliopita kwa sababu fulani, lakini kutakuwa na nambari yoyote? Utajibu mara moja - "hapana". Ndio maana inapungua sana - inapungua na inapungua, lakini kamwe inakuwa sifuri.

Ili kuelewa wazi jinsi hii inaonekana kuibua, hebu jaribu kuchora grafu ya maendeleo yetu. Kwa hivyo, kwa upande wetu, formula inachukua fomu ifuatayo:

Kwenye grafu tumezoea kupanga utegemezi, kwa hivyo:

Kiini cha usemi hakijabadilika: katika ingizo la kwanza tulionyesha utegemezi wa thamani ya mwanachama wa maendeleo ya kijiometri kwenye nambari yake ya kawaida, na katika ingizo la pili tulichukua tu thamani ya mshiriki wa maendeleo ya kijiometri kama. , na kuteua nambari ya ordinal sio kama, lakini kama. Kinachobaki kufanywa ni kutengeneza grafu.
Hebu tuone una nini. Hii ndio grafu niliyokuja nayo:

Je, unaona? Kazi hupungua, huwa na sifuri, lakini haivuki kamwe, kwa hiyo inapungua sana. Wacha tuweke alama kwenye grafu, na wakati huo huo kuratibu na kumaanisha nini:

Jaribu kuonyesha kimkakati grafu ya maendeleo ya kijiometri ikiwa muhula wake wa kwanza pia ni sawa. Chunguza ni tofauti gani na grafu yetu ya awali?

Je, uliweza? Hii ndio grafu niliyokuja nayo:

Sasa kwa kuwa umeelewa kikamilifu misingi ya mada ya maendeleo ya kijiometri: unajua ni nini, unajua jinsi ya kupata muda wake, na pia unajua ni nini maendeleo ya kijiometri ya kupungua kwa ukomo, hebu tuendelee kwenye mali yake kuu.

Mali ya maendeleo ya kijiometri.

Unakumbuka mali ya wanachama maendeleo ya hesabu? Ndio, ndio, jinsi ya kupata thamani ya idadi fulani ya maendeleo wakati kuna maadili ya hapo awali na ya baadaye ya masharti ya maendeleo haya. Unakumbuka? Hii:

Sasa tunakabiliwa na swali sawa kwa masharti ya maendeleo ya kijiometri. Ili kujiondoa formula sawa, wacha tuanze kuchora na kutoa hoja. Utaona, ni rahisi sana, na ukisahau, unaweza kujiondoa mwenyewe.

Hebu tuchukue maendeleo mengine rahisi ya kijiometri, ambayo tunajua na. Jinsi ya kupata? Kwa maendeleo ya hesabu ni rahisi na rahisi, lakini vipi kuhusu hapa? Kwa kweli, hakuna chochote ngumu katika jiometri - unahitaji tu kuandika kila thamani tuliyopewa kulingana na fomula.

Unaweza kuuliza, tufanye nini kuhusu hilo sasa? Ndiyo, rahisi sana. Kwanza, hebu tuonyeshe fomula hizi kwenye picha na tujaribu kufanya ghiliba kadhaa nazo ili kufikia thamani.

Wacha tuchukue kutoka kwa nambari ambazo tumepewa, wacha tuzingatie usemi wao kupitia fomula. Tunahitaji kupata thamani iliyoangaziwa machungwa, kujua wanachama walio karibu nayo. Hebu jaribu kuzalisha nao vitendo mbalimbali, kama matokeo ambayo tunaweza kupata.

Nyongeza.
Wacha tujaribu kuongeza misemo miwili na tupate:

Kutoka kwa usemi huu, kama unavyoona, hatuwezi kuielezea kwa njia yoyote, kwa hivyo, tutajaribu chaguo jingine - kutoa.

Kutoa.

Kama unavyoona, hatuwezi kuelezea hii pia, kwa hivyo, wacha tujaribu kuzidisha misemo hii kwa kila mmoja.

Kuzidisha.

Sasa angalia kwa uangalifu kile tulicho nacho kwa kuzidisha masharti ya maendeleo ya kijiometri tuliyopewa kwa kulinganisha na kile kinachohitajika kupatikana:

Nadhani ninazungumzia nini? Hiyo ni kweli, kupata tunahitaji kuchukua Kipeo kutoka kwa nambari za maendeleo ya kijiometri karibu na inayotaka iliyozidishwa kwa kila mmoja:

Haya basi. Wewe mwenyewe ulipata mali ya maendeleo ya kijiometri. Jaribu kuandika fomula hii ndani mtazamo wa jumla. Imetokea?

Umesahau hali ya? Fikiria kwa nini ni muhimu, kwa mfano, jaribu kuhesabu mwenyewe. Nini kitatokea katika kesi hii? Hiyo ni kweli, upuuzi kamili kwa sababu fomula inaonekana kama hii:

Ipasavyo, usisahau kizuizi hiki.

Sasa hebu tuhesabu ni nini sawa

Jibu sahihi - ! Ikiwa haukusahau thamani ya pili inayowezekana wakati wa hesabu, basi wewe ni mzuri na unaweza kuendelea na mafunzo mara moja, na ikiwa umesahau, soma kile kinachojadiliwa hapa chini na uangalie kwa nini ni muhimu kuandika mizizi yote miwili. katika jibu.

Hebu tuchore maendeleo yetu yote ya kijiometri - moja ikiwa na thamani na nyingine yenye thamani na tuangalie ikiwa zote mbili zina haki ya kuwepo:

Ili kuangalia ikiwa maendeleo kama haya ya kijiometri yapo au la, ni muhimu kuona ikiwa ni sawa kati ya yote. waliopewa wanachama? Piga hesabu q kwa kesi ya kwanza na ya pili.

Unaona kwa nini tunapaswa kuandika majibu mawili? Kwa sababu ishara ya neno unalotafuta inategemea ikiwa ni chanya au hasi! Na kwa kuwa hatujui ni nini, tunahitaji kuandika majibu yote kwa pamoja na minus.

Sasa kwa kuwa umefahamu mambo makuu na kupata fomula ya mali ya maendeleo ya kijiometri, pata, kujua na.

Linganisha majibu yako na yaliyo sahihi:

Unafikiria nini, ikiwa hatungepewa maadili ya masharti ya maendeleo ya kijiometri karibu na nambari inayotaka, lakini sawa na hiyo. Kwa mfano, tunahitaji kupata, na kupewa na. Je, tunaweza kutumia fomula tuliyopata katika kesi hii? Jaribu kuthibitisha au kukanusha uwezekano huu kwa njia ile ile, ukielezea kila thamani inajumuisha nini, kama ulivyofanya ulipopata fomula hapo awali.
Ulipata nini?

Sasa angalia tena kwa makini.
na sambamba:

Kutoka kwa hili tunaweza kuhitimisha kuwa fomula inafanya kazi sio tu na jirani na masharti yaliyohitajika ya maendeleo ya kijiometri, lakini pia na usawa kutoka kwa kile ambacho wanachama wanatafuta.

Kwa hivyo, formula yetu ya awali inachukua fomu:

Hiyo ni, ikiwa katika kesi ya kwanza tulisema hivyo, sasa tunasema kwamba inaweza kuwa sawa na yoyote nambari ya asili, ambayo ni ndogo. Jambo kuu ni kwamba ni sawa kwa nambari zote mbili zilizopewa.

Fanya mazoezi mifano maalum, tu kuwa makini sana!

, . Tafuta.
, . Tafuta.
, . Tafuta.

Aliamua? Natumai ulikuwa makini sana na umeona samaki mdogo.

Hebu tulinganishe matokeo.

Katika visa viwili vya kwanza, tunatumia fomula hapo juu kwa utulivu na kupata maadili yafuatayo:

Katika kesi ya tatu, juu ya uchunguzi wa karibu nambari za serial nambari tulizopewa, tunaelewa kuwa sio sawa kutoka kwa nambari tunayotafuta: ni tarehe iliyopita, lakini huondolewa kwenye nafasi, kwa hiyo haiwezekani kutumia formula.

Jinsi ya kutatua? Kwa kweli sio ngumu kama inavyoonekana! Wacha tuandike ni nini kila nambari tuliyopewa na nambari tunayotafuta inajumuisha.

Kwa hivyo tunayo na. Hebu tuone nini tunaweza kufanya nao? Ninapendekeza kugawanya kwa. Tunapata:

Tunabadilisha data yetu katika fomula:

Hatua inayofuata tunaweza kupata - kwa hili tunahitaji kuchukua mizizi ya mchemraba kutoka kwa nambari inayotokana.

Sasa tuangalie tena tulichonacho. Tunayo, lakini tunahitaji kuipata, nayo, kwa upande wake, ni sawa na:

Tulipata data zote muhimu kwa hesabu. Badilisha katika fomula:

Jibu letu: .

Jaribu kutatua shida nyingine kama hiyo mwenyewe:
Imetolewa:,
Tafuta:

Ulipata kiasi gani? Nina -.

Kama unaweza kuona, kimsingi unahitaji kumbuka formula moja tu-. Unaweza kuondoa wengine wote mwenyewe bila ugumu wowote wakati wowote. Ili kufanya hivyo, andika tu maendeleo rahisi ya kijiometri kwenye kipande cha karatasi na uandike ni nini kila nambari yake ni sawa, kulingana na fomula iliyoelezwa hapo juu.

Jumla ya masharti ya maendeleo ya kijiometri.

Sasa hebu tuangalie fomula zinazoturuhusu kuhesabu haraka jumla ya masharti ya maendeleo ya kijiometri katika muda fulani:

Ili kupata fomula ya jumla ya masharti ya maendeleo ya kijiometri yenye ukomo, tunazidisha sehemu zote za mlinganyo ulio hapo juu kwa. Tunapata:

Angalia kwa makini: fomula mbili za mwisho zinafanana nini? Hiyo ni kweli, wanachama wa kawaida, kwa mfano, na kadhalika, isipokuwa kwa mwanachama wa kwanza na wa mwisho. Wacha tujaribu kutoa 1 kutoka kwa mlinganyo wa 2. Ulipata nini?

Sasa eleza neno la maendeleo ya kijiometri kupitia fomula na ubadilishe usemi unaotokana na fomula yetu ya mwisho:

Panga usemi. Unapaswa kupata:

Kinachobaki kufanywa ni kueleza:

Ipasavyo, katika kesi hii.

Nini kama? Ni formula gani inafanya kazi basi? Hebu fikiria maendeleo ya kijiometri katika. Mwanamke huyo anafananaje? Msururu wa nambari zinazofanana ni sawa, kwa hivyo fomula itaonekana kama hii:

Kuna hadithi nyingi kuhusu maendeleo ya hesabu na kijiometri. Mmoja wao ni hadithi ya Set, muundaji wa chess.

Watu wengi wanajua kuwa mchezo wa chess ulizuliwa nchini India. Mfalme wa Kihindu alipokutana naye, alifurahishwa na akili yake na nyadhifa mbalimbali zinazowezekana ndani yake. Baada ya kujua kwamba ilivumbuliwa na mmoja wa raia wake, mfalme aliamua kumtuza kibinafsi. Alimwita mvumbuzi kwake na kumwamuru amuulize kila kitu anachotaka, akiahidi kutimiza hata hamu ya ustadi zaidi.

Seta aliomba muda wa kufikiria, na siku iliyofuata Seta alipotokea mbele ya mfalme, alimshangaza mfalme kwa unyenyekevu usio na kifani wa ombi lake. Aliuliza kutoa nafaka ya ngano kwa mraba wa kwanza wa chessboard, nafaka ya ngano kwa pili, nafaka ya ngano kwa tatu, nne, nk.

Mfalme alikasirika na kumfukuza Sethi, akisema kwamba ombi la mtumishi halistahili ukarimu wa mfalme, lakini aliahidi kwamba mtumishi angepokea nafaka zake kwa viwanja vyote vya bodi.

Na sasa swali: kwa kutumia formula kwa jumla ya masharti ya maendeleo ya kijiometri, uhesabu ni nafaka ngapi Seth inapaswa kupokea?

Hebu tuanze hoja. Kwa kuwa, kulingana na hali hiyo, Seth aliomba nafaka ya ngano kwa mraba wa kwanza wa chessboard, kwa pili, kwa tatu, kwa nne, nk, basi tunaona kwamba katika tatizo. tunazungumzia kuhusu maendeleo ya kijiometri. Je, ni sawa katika kesi hii?
Haki.

Jumla ya mraba wa chessboard. Kwa mtiririko huo,. Tuna data zote, kilichobaki ni kuziba kwenye fomula na kuhesabu.

Kufikiria angalau takriban "kiwango" nambari iliyopewa, badilisha kwa kutumia sifa za shahada:

Bila shaka, ikiwa unataka, unaweza kuchukua calculator na kuhesabu nambari gani unayomaliza, na ikiwa sio, itabidi kuchukua neno langu kwa hilo: thamani ya mwisho ya kujieleza itakuwa.
Hiyo ni:

trilioni quadrillion bilioni milioni elfu.

Phew) Ikiwa ungependa kufikiria ukubwa wa nambari hii, basi kadiria ni ghala kubwa kiasi gani lingehitajika kuchukua kiasi kizima cha nafaka.
Ikiwa ghalani ni m juu na m upana, urefu wake ungepaswa kupanua kwa km, i.e. mara mbili ya umbali kutoka kwa Dunia hadi Jua.

Ikiwa mfalme alikuwa na nguvu katika hisabati, angeweza kumwalika mwanasayansi mwenyewe kuhesabu nafaka, kwa sababu kuhesabu nafaka milioni, angehitaji angalau siku ya kuhesabu bila kuchoka, na kutokana na kwamba ni muhimu kuhesabu quintillions, nafaka. itabidi ihesabiwe katika maisha yake yote.

Sasa hebu tutatue tatizo rahisi linalohusisha jumla ya masharti ya maendeleo ya kijiometri.
Mwanafunzi wa darasa la 5A Vasya aliugua homa, lakini anaendelea kwenda shule. Kila siku Vasya huwaambukiza watu wawili, ambao, kwa upande wake, huwaambukiza watu wawili zaidi, na kadhalika. Kuna watu tu darasani. Je! ni siku ngapi darasa zima litakuwa wagonjwa na mafua?

Kwa hiyo, muda wa kwanza wa maendeleo ya kijiometri ni Vasya, yaani, mtu. Muda wa th wa maendeleo ya kijiometri ni watu wawili aliowaambukiza siku ya kwanza ya kuwasili kwake. Jumla wanachama wa maendeleo ni sawa na idadi ya wanafunzi katika 5A. Ipasavyo, tunazungumza juu ya maendeleo ambayo:

Wacha tubadilishe data yetu katika fomula ya jumla ya masharti ya maendeleo ya kijiometri:

Darasa zima litaugua ndani ya siku chache. Je, huamini kanuni na nambari? Jaribu kuonyesha "maambukizi" ya wanafunzi mwenyewe. Imetokea? Angalia jinsi inavyoonekana kwangu:

Jihesabu mwenyewe ni siku ngapi itachukua kwa wanafunzi kuugua homa ikiwa kila mmoja angemwambukiza mtu, na kulikuwa na mtu mmoja tu darasani.

Ulipata thamani gani? Ilibadilika kuwa kila mtu alianza kuugua baada ya siku.

Kama unaweza kuona, kazi kama hiyo na mchoro wake unafanana na piramidi, ambayo kila inayofuata "huleta" watu wapya. Hata hivyo, mapema au baadaye wakati unakuja wakati mwisho hauwezi kuvutia mtu yeyote. Kwa upande wetu, ikiwa tunafikiria kuwa darasa limetengwa, mtu kutoka hufunga mnyororo (). Kwa hivyo, ikiwa mtu alihusika katika piramidi ya kifedha ambayo pesa ilitolewa ikiwa ulileta washiriki wengine wawili, basi mtu huyo (au kesi ya jumla) haingeleta mtu yeyote, na kwa hivyo wangepoteza kila kitu walichowekeza katika kashfa hii ya kifedha.

Kila kitu kilichosemwa hapo juu kinarejelea kupungua au kuongezeka kwa maendeleo ya kijiometri, lakini, kama unavyokumbuka, tuna aina maalum - ukuaji wa kijiometri unaopungua sana. Jinsi ya kuhesabu jumla ya wanachama wake? Na kwa nini aina hii ya maendeleo ina sifa fulani? Hebu tufikirie pamoja.

Kwa hivyo, kwanza, hebu tuangalie tena mchoro huu wa ukuaji wa kijiometri unaopungua sana kutoka kwa mfano wetu:

Sasa hebu tuangalie fomula ya jumla ya maendeleo ya kijiometri, inayotokana mapema kidogo:
au

Je, tunajitahidi nini? Hiyo ni kweli, grafu inaonyesha kuwa inaelekea sifuri. Hiyo ni, saa, itakuwa karibu sawa, kwa mtiririko huo, wakati wa kuhesabu usemi tutapata karibu. Katika suala hili, tunaamini kwamba wakati wa kuhesabu jumla ya maendeleo ya kijiometri ya kupungua kwa kiasi kikubwa, bracket hii inaweza kupuuzwa, kwa kuwa itakuwa sawa.

- fomula ni jumla ya masharti ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana.

MUHIMU! Tunatumia fomula ya jumla ya masharti ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana ikiwa tu hali inatamka wazi kwamba tunahitaji kupata jumla. usio na mwisho idadi ya wanachama.

Ikiwa nambari maalum n imeainishwa, basi tunatumia fomula ya jumla ya maneno n, hata kama au.

Sasa tujizoeze.

Pata jumla ya masharti ya kwanza ya maendeleo ya kijiometri na.
Tafuta jumla ya masharti ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana na na.

Natumai ulikuwa makini sana. Wacha tulinganishe majibu yetu:

Sasa unajua kila kitu kuhusu maendeleo ya kijiometri, na ni wakati wa kuondoka kutoka kwa nadharia hadi mazoezi. Matatizo ya kawaida ya maendeleo ya kijiometri yaliyopatikana kwenye mtihani ni matatizo ya kuhesabu riba kiwanja. Hawa ndio tutazungumza.

Matatizo katika kukokotoa riba kiwanja.

Pengine umewahi kusikia kuhusu formula inayoitwa kiwanja cha riba. Unaelewa maana yake? Ikiwa sivyo, hebu tufikirie, kwa sababu mara tu unapoelewa mchakato yenyewe, utaelewa mara moja ni nini maendeleo ya kijiometri yanahusiana nayo.

Sote tunakwenda benki na tunajua kuwa wapo hali tofauti juu ya amana: hii ni muda, na huduma ya ziada, na riba na mbili njia tofauti mahesabu yake - rahisi na ngumu.

NA maslahi rahisi kila kitu kiko wazi zaidi au kidogo: riba hukusanywa mara moja mwishoni mwa muda wa kuweka akiba. Hiyo ni, ikiwa tunasema kwamba tunaweka rubles 100 kwa mwaka, basi watahesabiwa tu mwishoni mwa mwaka. Ipasavyo, mwisho wa amana tutapokea rubles.

Maslahi ya pamoja- hii ni chaguo ambalo hutokea mtaji wa riba, i.e. kuongeza kwao kwa kiasi cha amana na hesabu inayofuata ya mapato sio kutoka kwa awali, lakini kutoka kwa kiasi cha amana kilichokusanywa. Mtaji haufanyiki kila mara, lakini kwa masafa fulani. Kama sheria, vipindi kama hivyo ni sawa na mara nyingi benki hutumia mwezi, robo au mwaka.

Hebu tuchukue kwamba tunaweka rubles sawa kila mwaka, lakini kwa mtaji wa kila mwezi wa amana. Tunafanya nini?

Unaelewa kila kitu hapa? Ikiwa sivyo, hebu tufikirie hatua kwa hatua.

Tulileta rubles kwa benki. Kufikia mwisho wa mwezi, tunapaswa kuwa na kiasi katika akaunti yetu inayojumuisha rubles zetu pamoja na riba kwao, ambayo ni:

Kubali?

Tunaweza kuiondoa kwenye mabano kisha tukapata:

Kukubaliana, fomula hii tayari inafanana zaidi na ile tuliyoandika mwanzoni. Kilichobaki ni kujua asilimia

Katika taarifa ya tatizo tunaambiwa kuhusu viwango vya kila mwaka. Kama unavyojua, hatuzidishi kwa - tunabadilisha asilimia kuwa desimali, hiyo ni:

Haki? Sasa unaweza kuuliza, nambari ilitoka wapi? Rahisi sana!
Narudia: taarifa ya tatizo inasema kuhusu MWAKA maslahi yanayoongezeka MWEZI. Kama unavyojua, katika mwaka wa miezi, ipasavyo, benki itatutoza sehemu ya riba ya kila mwaka kwa mwezi:

Je, umeitambua? Sasa jaribu kuandika jinsi sehemu hii ya fomula ingeonekana kama ningesema kwamba riba inakokotolewa kila siku.
Je, uliweza? Wacha tulinganishe matokeo:

Umefanya vizuri! Wacha turudi kwenye kazi yetu: andika ni kiasi gani kitakachowekwa kwa akaunti yetu katika mwezi wa pili, kwa kuzingatia kwamba riba inakusanywa kwa kiasi cha amana kilichokusanywa.
Hivi ndivyo nilipata:

Au, kwa maneno mengine:

Nadhani tayari umeona muundo na kuona maendeleo ya kijiometri katika haya yote. Andika nini mwanachama wake atakuwa sawa na, au, kwa maneno mengine, ni kiasi gani cha fedha tutapokea mwishoni mwa mwezi.
Je! Hebu tuangalie!

Kama unaweza kuona, ikiwa utaweka pesa katika benki kwa mwaka kwa kiwango cha riba rahisi, utapokea rubles, na ikiwa kwa kiwango cha riba ya kiwanja, utapokea rubles. Faida ni ndogo, lakini hii hutokea tu katika mwaka wa th, lakini kwa muda mrefu mtaji ni faida zaidi:

Wacha tuangalie aina nyingine ya shida: maslahi ya kiwanja. Baada ya kile ulichogundua, itakuwa ya msingi kwako. Kwa hivyo, jukumu:

Kampuni ya Zvezda ilianza kuwekeza katika sekta hiyo mwaka 2000, ikiwa na mtaji wa dola. Kila mwaka tangu 2001, imepata faida, ambayo ni kutoka kwa mtaji mwaka uliopita. Je, kampuni ya Zvezda itapokea faida ngapi mwishoni mwa 2003 ikiwa faida haikutolewa kutoka kwa mzunguko?

Mji mkuu wa kampuni ya Zvezda mnamo 2000.
- mji mkuu wa kampuni ya Zvezda mnamo 2001.
- mji mkuu wa kampuni ya Zvezda mnamo 2002.
- mji mkuu wa kampuni ya Zvezda mnamo 2003.

Au tunaweza kuandika kwa ufupi:

Kwa kesi yetu:

2000, 2001, 2002 na 2003.

Mtawalia:
rubles
Tafadhali kumbuka kuwa katika tatizo hili hatuna mgawanyiko ama kwa au kwa, kwa kuwa asilimia hutolewa MWAKA na inakokotolewa MWAKA. Hiyo ni, wakati wa kusoma tatizo juu ya riba ya kiwanja, makini na asilimia gani iliyotolewa na katika kipindi gani imehesabiwa, na kisha tu kuendelea na mahesabu.
Sasa unajua kila kitu kuhusu maendeleo ya kijiometri.

Mafunzo.

Pata muda wa maendeleo ya kijiometri ikiwa inajulikana kuwa, na
Pata jumla ya masharti ya kwanza ya maendeleo ya kijiometri ikiwa inajulikana kuwa, na
Kampuni ya MDM Capital ilianza kuwekeza katika sekta hiyo mwaka wa 2003, ikiwa na mtaji wa dola. Kila mwaka tangu 2004, imepata faida ambayo ni sawa na mtaji wa mwaka uliopita. kampuni ya MSK Mtiririko wa pesa“alianza kuwekeza kwenye sekta hiyo mwaka 2005 kwa kiasi cha dola 10,000, na kuanza kupata faida mwaka 2006 kiasi cha. Je, ni kwa dola ngapi mtaji wa kampuni moja ni mkubwa kuliko nyingine mwishoni mwa 2007, ikiwa faida haikutolewa kutoka kwa mzunguko?

Majibu:

Kwa kuwa taarifa ya shida haisemi kuwa maendeleo hayana mwisho na unahitaji kupata jumla nambari maalum wanachama wake, basi hesabu hufanywa kulingana na formula:
Kampuni ya MDM Capital:
2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- huongezeka kwa 100%, yaani, mara 2.
Mtawalia:
rubles
Kampuni ya MSK Cash Flows:
2005, 2006, 2007.
- huongezeka kwa, yaani, kwa nyakati.
Mtawalia:
rubles
rubles

Hebu tufanye muhtasari.

1) Maendeleo ya kijiometri () ni mlolongo wa nambari, muda wa kwanza ambao ni tofauti na sifuri, na kila muda, kuanzia pili, ni sawa na uliopita, umeongezeka kwa idadi sawa. Nambari hii inaitwa denominator ya maendeleo ya kijiometri.

2) Mlinganyo wa masharti ya maendeleo ya kijiometri ni.

3) inaweza kuchukua maadili yoyote isipokuwa na.

ikiwa, basi masharti yote yanayofuata ya maendeleo yana ishara sawa - wao ni chanya;
ikiwa, basi masharti yote yanayofuata ya mwendelezo ishara mbadala;
wakati - maendeleo inaitwa kupungua kwa kiasi kikubwa.

4) , na - mali ya maendeleo ya kijiometri (maneno ya karibu)

au
, kwa (masharti ya usawa)

Unapoipata, usisahau hilo kuwe na majibu mawili.

Kwa mfano,

5) Jumla ya masharti ya maendeleo ya kijiometri huhesabiwa na formula:
au

Ikiwa maendeleo yanapungua sana, basi:
au

MUHIMU! Tunatumia fomula ya jumla ya masharti ya uendelezaji wa kijiometri unaopungua sana ikiwa tu hali inasema wazi kwamba tunahitaji kupata jumla ya idadi isiyo na kikomo ya maneno.

6) Shida kwenye riba ya kiwanja pia huhesabiwa kwa kutumia fomula ya muhula wa th ya maendeleo ya kijiometri, mradi pesa hazijatolewa kutoka kwa mzunguko:

MAENDELEO YA JIometri. KWA UFUPI KUHUSU MAMBO MAKUU

Maendeleo ya kijiometri( ) ni mlolongo wa nambari, neno la kwanza ambalo ni tofauti na sifuri, na kila neno, kuanzia la pili, ni sawa na la awali, lililozidishwa na nambari sawa. Nambari hii inaitwa denominator ya maendeleo ya kijiometri.

Denominator ya maendeleo ya kijiometri inaweza kuchukua thamani yoyote isipokuwa na.

Ikiwa, basi masharti yote yanayofuata ya maendeleo yana ishara sawa - ni chanya;
ikiwa, basi wanachama wote wanaofuata wa ishara za maendeleo hubadilishana;
wakati - maendeleo inaitwa kupungua kwa kiasi kikubwa.

Equation ya masharti ya maendeleo ya kijiometri - .

Jumla ya masharti ya maendeleo ya kijiometri imehesabiwa kwa formula:
au

Kuendelea kwa kijiometri ni mfuatano wa nambari usio na sufuri unaoundwa kutokana na kuzidisha kila neno linalofuata na mgawo fulani usio sawa na sifuri.

Kufuatana

Kabla ya kuelewa maendeleo, unapaswa kuelewa ufafanuzi wa mlolongo wa nambari na sheria inayoiongoza. Hebu tukumbuke mfululizo wa asili - wa kwanza mlolongo wa nambari, ambayo tunasoma nyuma shule ya chekechea. Hizi ni nambari kamili zinazotumiwa kuhesabu vitu. Mwanzo inaonekana kama hii:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10... n

Ikiwa kila nambari ya safu asili inahusishwa na nambari nyingine iliyoundwa kulingana na fomula fulani, tunapata mlolongo mpya:

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10 ... an

Nambari an ni mwanachama wa jumla wa mfuatano na sheria inayounda vipengele vya mfululizo. Ni wazi, fomula ya kubainisha mfululizo wa asili ni n. Kwa mlolongo wa nambari sawa, kila kipengele na neno la kawaida hutolewa na formula 2n, na kwa nambari zisizo za kawaida - 2n - 1.

Maendeleo ya hesabu na kijiometri

Mfano mwingine wa kazi ya maendeleo ya kijiometri ni kuenea kwa janga la mafua. Kwa mfano, mgonjwa mmoja anaweza kuambukiza watu 12 kwa siku, kila mmoja wa 12 pia ataambukiza watu 12 zaidi, hivyo siku ya pili kutakuwa na wagonjwa 144, siku ya tatu - 1,728, na ya nne - 20,736.

Mpango wetu hutoa maendeleo ya kijiometri ya thamani iliyochaguliwa. Ili kufanya hivyo, utahitaji kuingiza thamani ya muhula wa kwanza kwenye seli ya "Nambari ya Kwanza", dhehebu la maendeleo katika seli ya "Tofauti (Hatua)", na idadi ya vipengele vya mlolongo katika "Mwisho". Nambari" seli. Baada ya hayo, programu itatoa nambari zinazofanana na sheria ya maendeleo ya kijiometri.

Hebu tuangalie mfano

Mchezo wa pesa kwa barua

Wakati wa enzi ya Soviet, kulikuwa na kashfa kulingana na kanuni ya maendeleo ya kijiometri. Kiini cha kashfa ni kama ifuatavyo. Watu walipokea barua zinazoonyesha anwani 5 na maagizo:

tuma kwa anwani kwa ruble 1;
vuka anwani ya kwanza na uingize yako kama ya tano;
tuma barua za mwaliko zilizo na anwani maalum kwa marafiki na marafiki zako.

Wasafiri walitoa maelezo yenye mantiki kwa utaratibu wa uboreshaji. Hakika, ikiwa watu unaowaalika hutuma ruble 1 kila mmoja, basi utarudisha pesa iliyotumiwa. Washiriki watano walioalikwa kwenye mchezo watatuma barua kwa marafiki zao, ambayo anwani yako imeonyeshwa kama nambari 4. Idadi ya barua hizo tayari ni 25, na wimbi linalofuata la walioalikwa litakutumia jumla ya rubles 25. Baada ya hapo watu 25 watatumwa barua 5, ambapo anwani yako ni ya tatu na hii tayari ni bahasha 125 za ruble 1 kila moja.

Je, walaghai waliahidi pesa ngapi mwishoni mwa awamu ya mwaliko? Jibu liko katika maendeleo rahisi ya kijiometri. Kulingana na toleo lao, kutakuwa na mawimbi 5 ya mialiko na anwani yako. Kwa kuwa hatuzingatii kitengo, lakini kuanza na barua 5, nambari ya mwisho itakuwa sawa na 6. Ya kwanza, kwa kawaida, ni 1. Hatua ya maendeleo yetu ya kijiometri ni 5. Tunaingiza data hii kwenye seli za calculator na upate mlolongo:

1, 5, 25, 125, 625, 3125,

jumla ya vipengele vya mlolongo ni 3906. Ilikuwa ni faida ya rubles 3906 ambazo wadanganyifu waliahidi kwa wananchi wenye udanganyifu. Kwa kawaida, kwa mazoezi, pesa zote zilikwenda kwa waandaaji wa mchezo, kwani katika hatua ya kwanza wadanganyifu hawakutuma barua moja, lakini mamia, ambayo anwani zao wenyewe zilionyeshwa. Hata ikiwa katika hatua ya kwanza wadanganyifu hutuma barua 200 tu, basi kwa hatua ya tano watu 625,000 wanapaswa kujiunga na mchezo, na waandaaji watapata rubles zaidi ya 700,000 kutoka kwao. Hatua zaidi hazina maana tena.

Hitimisho

Maendeleo ya kijiometri mara nyingi hupatikana katika hali halisi. Tumia orodha yetu ya vikokotoo kutatua mafumbo ya kuvutia au kujaribu mifano ya mafunzo.

Maendeleo ya kijiometri sio muhimu sana katika hisabati ikilinganishwa na hesabu. Mwendelezo wa kijiometri ni mfuatano wa nambari b1, b2,..., b[n] kila muhula unaofuata unapatikana kwa kuzidisha ile iliyotangulia kwa nambari ya kudumu. Nambari hii, ambayo pia ina sifa ya kiwango cha ukuaji au kupungua kwa maendeleo, inaitwa denominator ya maendeleo ya kijiometri na kuashiria

Ili kutaja kabisa maendeleo ya kijiometri, pamoja na denominator, ni muhimu kujua au kuamua muda wake wa kwanza. Kwa thamani chanya maendeleo ya denominator ni mlolongo wa monotonous, na ikiwa mlolongo huu wa nambari unapungua kimonotoni na ikiwa inaongezeka kimonotoni. Kesi wakati denominator sawa na moja katika mazoezi haijazingatiwa, kwa kuwa tuna mlolongo wa nambari zinazofanana, na majumuisho yao sio ya manufaa ya vitendo

Muda wa jumla wa maendeleo ya kijiometri kuhesabiwa kwa formula

Jumla ya masharti n ya kwanza ya maendeleo ya kijiometri kuamuliwa na formula

Hebu tufikirie masuluhisho matatizo ya classical kwa maendeleo ya kijiometri. Wacha tuanze na zile rahisi kuelewa.

Mfano 1. Muda wa kwanza wa maendeleo ya kijiometri ni 27, na denominator yake ni 1/3. Pata masharti sita ya kwanza ya maendeleo ya kijiometri.

Suluhisho: Hebu tuandike hali ya tatizo katika fomu

Kwa mahesabu tunatumia fomula ya muhula wa nth wa maendeleo ya kijiometri

Kulingana na hilo, tunapata masharti yasiyojulikana ya maendeleo

Kama unaweza kuona, kuhesabu masharti ya maendeleo ya kijiometri sio ngumu. Maendeleo yenyewe yataonekana kama hii

Mfano 2. Maneno matatu ya kwanza ya maendeleo ya kijiometri yanatolewa: 6; -12; 24. Tafuta dhehebu na muhula wake wa saba.

Suluhisho: Tunahesabu denominator ya maendeleo ya kijiometri kulingana na ufafanuzi wake

Tumepata maendeleo mbadala ya kijiometri ambayo kiashiria chake ni sawa na -2. Muda wa saba unahesabiwa kwa kutumia fomula

Hili hutatua tatizo.

Mfano 3. Maendeleo ya kijiometri hutolewa na masharti yake mawili . Tafuta muhula wa kumi wa mwendelezo.

Suluhisho:

Wacha tuandike maadili uliyopewa kwa kutumia fomula

Kwa mujibu wa sheria, mtu angehitaji kupata dhehebu na kisha kutafuta thamani inayotakiwa, lakini kwa awamu ya kumi tunayo

Fomula hiyo hiyo inaweza kupatikana kulingana na udanganyifu rahisi na data ya pembejeo. Gawanya muhula wa sita wa safu na mwingine, na matokeo yake tunapata