Grafu ya chaguo za kukokotoa kwa 2x. Grafu ya kipengele

Mada: "Kaziy=x 2 na ratiba yake."

Malengo ya somo:

Kielimu: Tambulisha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa y=x 2 . Jifunze kuunda grafu ya kazi hii.

Ukuaji: Kufundisha jumla, utaratibu wa maarifa, fanya hitimisho, linganisha, uchanganue.

Kielimu: kukuza usahihi, uchunguzi, uhuru.

Maendeleo ya somo

1. Wakati wa shirika.

Habari za mchana Saa njema!

Nimefurahi sana kukuona.

Kengele tayari imelia

Somo linaanza.

Tulitabasamu. Tulijipanga.

Tulitazamana

Wakaketi pamoja kwa utulivu.

2. Motisha ya somo.

Mwanafalsafa na mwanasayansi mashuhuri Mfaransa Blaise Pascal alibishana hivi: “Ukuu wa mtu uko katika uwezo wake wa kufikiri.” Leo tutajaribu kujisikia kama watu wakuu kwa kugundua maarifa sisi wenyewe.

Kauli mbiu ya somo la leo itakuwa maneno ya mwanahisabati wa kale wa Uigiriki Thales:

Kuna nini zaidi ya kitu chochote ulimwenguni? - Nafasi.

Ni ipi ya haraka zaidi? - Akili.

Ni jambo gani la busara zaidi? - Wakati.

Ni sehemu gani bora zaidi? - Fikia kile unachotaka.

Ningependa kila mmoja wenu afanikiwe katika somo letu la leo matokeo yaliyotarajiwa.

3. Kusasisha maarifa.

Leo katika darasa tutakumbuka na kupitia nyenzo zilizofunikwa. Lakini ni mada gani utagundua kwa kufafanua jina lake, kubadilisha kila jozi ya nambari na herufi.

Kwa hivyo, leo tutazungumza juu ya kazi, au kwa usahihi zaidi juu ya kazi y = x 2. Fungua madaftari yako na uandike mada ya somo "Kazi y = x 2, sifa zake na grafu."

1. Ni aina gani ya utegemezi inaitwa kazi au kazi?

2. Hoja ni nini na kazi ni nini?

3. Kikoa cha ufafanuzi wa kitendakazi kinaitwaje?

Ni fomula gani inafafanua kitendakazi cha mstari?

Grafu ni nini kazi ya mstari?

Chora grafu ya chaguo za kukokotoa y=2x-1. Je, grafu ya chaguo la kukokotoa hupitia pointi A(30; 59), B(-15; -29)?

4. Wacha turudie ndege ya kuratibu:

Mfumo wa kuratibu wa mstatili ni nini?

Abscissa ya uhakika ni nini?

Mpangilio wa nukta ni nini?

Ambayo mhimili wa kuratibu inaitwa mhimili wa x?

Ni mhimili gani wa kuratibu unaoitwa mhimili wa kuratibu?

– Mfumo wa mstatili kuratibu mara nyingi huitwa Cartesian, kwa nini unafikiri? (Picha ya René Descartes (1596-1650)

"Ili kuboresha akili, mtu lazima afikiri zaidi kuliko kukariri," aliandika Descartes. Descartes, mwanasayansi maarufu wa Ufaransa, alijionyesha vizuri sana katika ustadi wa fasihi hivi kwamba alijumuishwa katika safu ya waanzilishi wa nathari ya Ufaransa ya nyakati za kisasa. Kweli, alianza yake maisha ya ubunifu na mashairi na ilifanya kazi sana katika aina hii. Alijifanya kutokufa katika nyanja za hisabati na falsafa, lakini kazi yake ya mwisho ilikuwa igizo katika aya.

4. Kujifunza nyenzo mpya.

Kama G. Galileo alivyosema, kitabu cha asili kimeandikwa katika lugha ya hisabati na herufi zake ziko ishara za hisabati Na maumbo ya kijiometri- haiwezekani kuelewa maneno yake. Na ni kazi ambayo ni njia lugha ya hisabati, ambayo inaruhusu sisi kuelezea taratibu za harakati na mabadiliko ya asili katika asili.

Wacha tuonyeshe kwa y eneo la mraba na upande x. Kisha y = x 2.

Ukibadilisha upande wa x wa mraba, basi eneo lake y litabadilika ipasavyo.

Ni wazi kwamba kila thamani ya variable x inalingana na ya kipekee

thamani ya mabadiliko y. Kwa hiyo, utegemezi wa kutofautiana y kwenye variable x ni kazi. Jedwali linaonyesha baadhi ya thamani za hoja na thamani zinazolingana za utendakazi.

Kumbuka juu kuratibu ndege pointi ambazo kuratibu zimetolewa kwenye jedwali.

Kwa kuunganisha pointi kwa mfululizo, tunapata grafu ya kazi - parabola.

Hatua (0;0) inagawanya parabola katika sehemu mbili sawa, ambayo kila moja inaitwa tawi la parabola, na hatua yenyewe inaitwa vertex ya parabola.

Sifa za Kaziy=x 2

Kikoa cha ufafanuzi	Nambari zote
Msururu wa maadili	Nambari zote zisizo hasi
	parabola
Utendakazi sifuri (thamani ya hoja ambayo thamani ya chaguo la kukokotoa ni 0)

Leo nitakuonyesha njia nyingine ya kutatua equation - graphically. Zoezi: Tatua kwa mchoro mlingano x 2 = ─ 2x + 3.

Kuamua kupewa equation, unahitaji kupata thamani ya x ambapo upande wa kushoto wa mlinganyo utakuwa sawa na kulia. Hebu tuanzishe vitendakazi viwili f(x), sawa na upande wa kushoto wa mlinganyo na g(x), sawa na upande wa kulia wa mlinganyo. Sasa unahitaji kupata thamani ya x ambayo f(x)=g(x), i.e. hatua ya kawaida, inayomilikiwa na grafu ya chaguo za kukokotoa f(x) na grafu ya chaguo za kukokotoa g(x). Hatua hii itakuwa sehemu ya makutano ya grafu za kazi f(x)=x2 na g(x)=-2x+3. Abscissa ya hatua ya makutano itakuwa suluhisho la equation ya asili.

Katika ndege ya kuratibu tutajenga grafu za kazi f (x) = x 2 na

g(x) = ─2x + 3.

Ili kufanya hivyo, tutakusanya meza za maadili yao.

f(x) = x 2 ─ parabola

g (x) = ─2х + 3 ─ mstari wa moja kwa moja

x = -3, x = 1.

5. Mazoezi ya kimwili.

Geuza macho yako kulia

Geuza macho yako upande wa kushoto

Nilitazama juu kwenye dari

Kila mtu alitazama mbele.

Mara moja - bend - nyoosha,

Mbili ─ bend - kunyoosha,

Makofi matatu hadi matatu ya mikono yako,

Tikisa tatu za kichwa.

Tano na sita kukaa chini kimya.

6. Kuunganishwa kwa nyenzo mpya.

Suluhisha nambari 350, 353(1), 355(1), 357.

7. Kazi ya kujitegemea.

Suluhisha nambari 355 (2).

8. Kufanya muhtasari wa somo.

Tafakari.

Umejifunza mambo gani mapya?

Uliona nini kigumu?

Umejifunza nini?

Ni tatizo gani lilitolewa darasani?

Je, tuliweza kulitatua?

Andika jinsi ulivyojifunza nyenzo za somo kwenye karatasi maoni.

Nimepata maarifa mazuri.

Nilifahamu nyenzo zote.

Nilielewa nyenzo kwa kiasi.

9. Kazi ya nyumbani.

Jifunze pointi 11. Suluhisha nambari 351, 354(1), 359.

Hapo awali, tulisoma kazi zingine, kwa mfano mstari, wacha tukumbuke fomu yake ya kawaida:

kwa hivyo tofauti dhahiri ya kimsingi - katika kazi ya mstari X anasimama katika daraja la kwanza, na katika hilo kipengele kipya, ambayo tunaanza kujifunza, X inasimama kwa nguvu ya pili.

Kumbuka kwamba grafu ya kazi ya mstari ni mstari wa moja kwa moja, na grafu ya kazi, kama tutakavyoona, ni curve inayoitwa parabola.

Wacha tuanze kwa kujua fomula ilitoka wapi. Maelezo ni haya: ikiwa tutapewa mraba na upande A, basi tunaweza kuhesabu eneo lake kama hii:

Ikiwa tunabadilisha urefu wa upande wa mraba, basi eneo lake litabadilika.

Kwa hiyo, hii ni moja ya sababu kwa nini kazi inasomwa

Kumbuka kwamba kutofautiana X- hii ni kutofautiana kwa kujitegemea, au hoja katika tafsiri ya kimwili, inaweza kuwa, kwa mfano, wakati. Umbali ni, kinyume chake, kutofautiana kwa kutegemeana na wakati. Tofauti tegemezi au chaguo za kukokotoa ni kigezo saa.

Hii ni sheria ya mawasiliano, kulingana na ambayo kila thamani X thamani moja imepewa saa.

Sheria yoyote ya mawasiliano lazima itimize hitaji la upekee kutoka kwa hoja hadi utendaji. Kwa tafsiri ya kimwili, hii inaonekana wazi kabisa kulingana na mfano wa utegemezi wa umbali kwa wakati: kwa kila wakati wa wakati tuko umbali fulani kutoka kwa hatua ya kuanzia, na haiwezekani wakati huo huo kwa wakati t kuwa. kilomita 10 na 20 kutoka mwanzo wa safari.

Wakati huo huo, kila thamani ya chaguo la kukokotoa inaweza kupatikana kwa maadili kadhaa ya hoja.

Kwa hiyo, tunahitaji kujenga grafu ya kazi, kwa hili tunahitaji kufanya meza. Kisha soma kazi na mali zake kwa kutumia grafu. Lakini hata kabla ya kuunda grafu kulingana na aina ya kazi, tunaweza kusema kitu juu ya mali yake: ni dhahiri kwamba. saa hawezi kukubali maadili hasi, kwa sababu

Kwa hivyo, wacha tutengeneze meza:

Mchele. 1

Kutoka kwa grafu ni rahisi kutambua sifa zifuatazo:

Mhimili saa- hii ni mhimili wa ulinganifu wa grafu;

Kipeo cha parabola ni uhakika (0; 0);

Tunaona kwamba chaguo za kukokotoa hukubali tu thamani zisizo hasi;

Katika muda ambapo kazi hupungua, na kwa muda ambapo kazi huongezeka;

Kitendaji hupata thamani yake ndogo kwenye kipeo, ;

Hakuna thamani kubwa zaidi ya chaguo la kukokotoa;

Mfano 1

Hali:

Suluhisho:

Kwa sababu X kwa mabadiliko ya hali kwa muda maalum, tunaweza kusema juu ya kazi ambayo inaongezeka na mabadiliko katika muda. Chaguo la kukokotoa lina thamani ya chini zaidi na thamani ya juu zaidi katika muda huu

Mchele. 2. Grafu ya kazi y = x 2, x ∈

Mfano 2

Hali: Tafuta kubwa zaidi na thamani ndogo Vipengele:

Suluhisho:

X mabadiliko kwa muda, ambayo ina maana saa hupungua kwa muda wakati na kuongezeka kwa muda wakati .

Kwa hivyo, mipaka ya mabadiliko X, na mipaka ya mabadiliko saa, na, kwa hiyo, kwa muda fulani kuna thamani ya chini ya kazi na upeo

Mchele. 3. Grafu ya kazi y = x 2, x ∈ [-3; 2]

Hebu tuonyeshe ukweli kwamba thamani sawa ya kazi inaweza kupatikana kwa maadili kadhaa ya hoja.

Fomu y = kx + m yenye vigezo viwili x, y. Kweli, vigezo x, y, vinavyoonekana katika mlingano huu (katika modeli hii ya hisabati) vilizingatiwa kuwa visivyo sawa: x ni kigezo huru (hoja) ambacho tunaweza kugawa maadili yoyote, bila kujali chochote; y ni kigezo tegemezi kwa sababu thamani yake ilitegemea ni thamani gani ya x ilichaguliwa. Lakini basi swali la asili linatokea: wanakutana? mifano ya hisabati ya mpango huo huo, lakini zile ambazo y inaonyeshwa kupitia x sio kulingana na formula y = kx + m, lakini kwa njia nyingine? Jibu ni wazi: bila shaka, wanafanya. Ikiwa, kwa mfano, x ni upande wa mraba na y ni wake
eneo, kisha y - x 2. Ikiwa x ni upande wa mchemraba, na y ni kiasi chake, basi y - x 3. Ikiwa x ni upande mmoja wa mstatili ambao eneo lake ni 100 cm 2, na y ni upande wake mwingine, basi. Kwa hiyo, ni kawaida kwamba katika hisabati hawana mdogo kwa kujifunza mfano y-kx + m wanapaswa kujifunza mfano y = x 2, na mfano y = x 3, na mfano, na mifano mingine mingi; kuwa na muundo sawa: upande wa kushoto wa usawa kuna variable y, na kulia kuna baadhi ya kujieleza na variable x. Kwa mifano kama hii, neno "kazi" huhifadhiwa, na kuacha kivumishi "linear".

Katika sehemu hii tutazingatia kazi y = x 2 na kuijenga ratiba.

Wacha tupe utofauti wa kujitegemea x maadili kadhaa maalum na tuhesabu maadili yanayolingana ya tofauti tegemezi y (kwa kutumia formula y = x 2):

ikiwa x = 0, basi y = O 2 = 0;
ikiwa x = 1, basi y = I 2 = 1;
ikiwa x = 2, basi y = 2 2 = 4;
ikiwa x = 3, basi y = 3 2 = 9;
ikiwa x = - 1, basi y = (- I 2) - 1;
ikiwa x = - 2, basi y = (- 2) 2 = 4;
ikiwa x = - 3, basi y = (- 3) 2 = 9;
Kwa kifupi, tumekusanya jedwali lifuatalo:

X	0	1	2	3	-1	-2	-3
U	0	1	4	9	1	4	9

Hebu tujenge pointi zilizopatikana (0; 0), (1; 1), (2; 4), 93; 9), (-1; 1), (- 2; 4), (- 3; 9), kwenye ndege ya kuratibu ya xOy (Mchoro 54, a).

Pointi hizi ziko kwenye mstari fulani, hebu tuchore (Mchoro 54, b). Mstari huu unaitwa parabola.

Kwa kweli, itakuwa muhimu kutoa hoja x maadili yote yanayowezekana, kuhesabu maadili yanayolingana ya kutofautisha y na kupanga alama zinazotokana (x; y). Kisha ratiba itakuwa sahihi kabisa, isiyofaa. Walakini, hii sio kweli, kwa sababu kuna alama nyingi kama hizo. Kwa hivyo, wataalam wa hesabu hufanya hivi: wanachukua seti ndogo ya alama, huijenga kuratibu ndege na angalia ni mstari gani umeainishwa na nukta hizi. Ikiwa mtaro wa mstari huu unaonekana wazi kabisa (kama ilivyokuwa kwetu, sema, kwa mfano 1 kutoka § 28), basi mstari huu hutolewa. Je, makosa yanawezekana? Si bila hiyo. Ndio maana tunahitaji kusoma hisabati kwa undani zaidi na zaidi ili tuwe na njia za kuzuia makosa.

Hebu tujaribu, tukiangalia Kielelezo 54, kuelezea mali ya kijiometri parabolas.

Kwanza, tunaona kwamba parabola inaonekana nzuri kabisa kwa sababu ina ulinganifu. Kwa kweli, ikiwa utachora mstari wowote ulionyooka juu ya mhimili wa x sambamba na mhimili wa x, basi mstari huu ulionyooka utaingiliana na parabola katika sehemu mbili ziko juu. umbali sawa kutoka kwa mhimili wa y, lakini pamoja pande tofauti kutoka kwake (Mchoro 55). Kwa njia, hiyo inaweza kusemwa juu ya alama zilizowekwa kwenye Mchoro 54, a:

(1; 1) na (- 1; 1); (2; 4) na (-2; 4); C; 9) na (-3; 9).

Wanasema kwamba mhimili y ni mhimili wa ulinganifu wa parabola y=x2 au kwamba parabola ni ulinganifu kuhusu mhimili y.

Pili, tunaona kwamba mhimili wa ulinganifu unaonekana kukata parabola katika sehemu mbili, ambazo kwa kawaida huitwa matawi ya parabola.

Tatu, tunaona kwamba parabola ina uhakika wa umoja, ambayo matawi yote mawili yanakutana na ambayo iko kwenye mhimili wa ulinganifu wa parabola - uhakika (0; 0). Kwa kuzingatia upekee wake, ilipewa jina maalum - juu ya parabola.

Nne wakati tawi moja la parabola linaunganisha kwenye vertex na tawi lingine, hii hutokea vizuri, bila mapumziko; parabola inaonekana "kushinikizwa" kwa mhimili wa x. Kawaida wanasema: parabola inagusa mhimili wa x.

Sasa hebu tujaribu, tukiangalia Mchoro 54, kuelezea baadhi ya sifa za chaguo la kukokotoa y = x 2.

Kwanza, tunaona kuwa y - 0 kwa x = 0, y > 0 kwa x > 0 na kwa x< 0.

Pili, tunaona hilo jina. = 0, lakini naib haipo.

Tatu, tunagundua kuwa kazi y = x 2 inapungua kwenye ray (- ° °, 0] - na maadili haya ya x, kusonga kando ya parabola kutoka kushoto kwenda kulia, "tunashuka kilima" (ona Mtini. 55). Kazi y = x 2 huongezeka kwenye ray;
b) kwenye sehemu [- 3, - 1.5];
c) kwenye sehemu [- 3, 2].

Suluhisho,

a) Wacha tujenge parabola y = x 2 na uchague sehemu hiyo ambayo inalingana na maadili ya kutofautisha x kutoka kwa sehemu (Mchoro 56). Kwa sehemu iliyochaguliwa ya grafu tunayopata kwa jina. = 1 (saa x = 1), y max. = 9 (saa x = 3).

b) Wacha tujenge parabola y = x 2 na uchague sehemu hiyo ambayo inalingana na maadili ya kutofautisha x kutoka kwa sehemu [-3, -1.5] (Mchoro 57). Kwa sehemu iliyochaguliwa ya grafu, tunapata y jina. = 2.25 (saa x = - 1.5), y max. = 9 (saa x = - 3).

c) Wacha tujenge parabola y = x 2 na uchague sehemu hiyo ambayo inalingana na maadili ya kutofautisha x kutoka kwa sehemu [-3, 2] (Mchoro 58). Kwa sehemu iliyochaguliwa ya grafu, tunapata y max = 0 (saa x = 0), y max. = 9 (saa x = - 3).

Ushauri. Ili kuepuka kupanga kazi y - x 2 hatua kwa hatua kila wakati, kata kiolezo cha parabola kutoka kwa karatasi nene. Kwa msaada wake utachora parabola haraka sana.

Maoni. Kwa kukualika kuandaa kiolezo cha parabola, inaonekana tunasawazisha haki za chaguo la kukokotoa y = x 2 na kazi ya mstari y = kx + m. Baada ya yote, grafu ya kazi ya mstari ni mstari wa moja kwa moja, na ili kuonyesha mstari wa moja kwa moja, mtawala wa kawaida hutumiwa - hii ni template ya grafu ya kazi y = kx + m. Kwa hivyo basi uwe na kiolezo cha grafu ya chaguo la kukokotoa y = x 2.

Mfano 2. Tafuta sehemu za makutano ya parabola y = x 2 na mstari wa moja kwa moja y - x + 2.

Suluhisho. Hebu tujenge katika mfumo mmoja wa kuratibu parabola y = x 2 na mstari wa moja kwa moja y = x + 2 (Mchoro 59). Wanaingiliana kwa pointi A na B, na kutoka kwa kuchora si vigumu kupata kuratibu za pointi hizi A na B: kwa uhakika A tunayo: x = - 1, y = 1, na kwa uhakika B tunayo: x - 2, y = 4.

Jibu: parabola y = x 2 na mstari wa moja kwa moja y = x + 2 huingiliana kwa pointi mbili: A (-1; 1) na B (2; 4).

Ujumbe muhimu. Hadi sasa, wewe na mimi tumekuwa na ujasiri katika kufikia hitimisho kwa kutumia mchoro. Walakini, wanahisabati hawaamini michoro sana. Baada ya kugundua katika Mchoro 59 nukta mbili za makutano ya parabola na mstari ulionyooka na kuamua kuratibu kwa alama hizi kwa kutumia mchoro, mwanahisabati kawaida hujiangalia mwenyewe: ikiwa uhakika (-1; 1) kweli uko kwenye mstari ulionyooka. na parabola; je uhakika (2; 4) kweli upo kwenye mstari ulionyooka na parabola?

Ili kufanya hivyo, unahitaji kubadilisha kuratibu za pointi A na B katika equation ya mstari wa moja kwa moja na katika equation ya parabola, na kisha uhakikishe kuwa katika hali zote mbili usawa sahihi unapatikana. Katika mfano wa 2, katika hali zote mbili usawa utakuwa wa kweli. Cheki hiki mara nyingi hufanywa wakati kuna shaka juu ya usahihi wa mchoro.

Kwa kumalizia, tunaona jambo moja mali ya kuvutia parabolas, iliyogunduliwa na kuthibitishwa kwa pamoja na wanafizikia na wanahisabati.

Ikiwa tunazingatia parabola y = x 2 kama skrini, kama uso wa kuakisi, na kuweka chanzo cha mwanga kwenye hatua, basi miale, inayoakisiwa kutoka kwa parabola ya skrini, huunda miale ya mwanga sambamba (Mchoro 60) . Hatua hiyo inaitwa lengo la parabola. Wazo hili hutumiwa katika magari: uso wa kutafakari wa taa ya kichwa ina sura ya kimfano, na balbu ya mwanga huwekwa kwenye eneo la msingi - basi mwanga kutoka kwa taa huenea kwa kutosha.

Upangaji wa mada ya kalenda katika hisabati, video katika hisabati mtandaoni, Hisabati shuleni pakua

A. V. Pogorelov, Jiometri kwa darasa la 7-11, Kitabu cha maandishi kwa taasisi za elimu

Maudhui ya somo maelezo ya somo kusaidia mbinu za kuongeza kasi za uwasilishaji wa somo la fremu teknolojia shirikishi Fanya mazoezi kazi na mazoezi warsha za kujipima, mafunzo, kesi, maswali ya majadiliano ya kazi ya nyumbani maswali ya balagha kutoka kwa wanafunzi Vielelezo sauti, klipu za video na multimedia picha, picha, michoro, majedwali, michoro, ucheshi, hadithi, vichekesho, vichekesho, mafumbo, misemo, maneno mtambuka, nukuu Viongezi muhtasari makala tricks for the curious cribs vitabu vya kiada msingi na ziada kamusi ya maneno mengine Kuboresha vitabu vya kiada na masomokurekebisha makosa katika kitabu kusasisha kipande katika kitabu cha maandishi, vitu vya uvumbuzi katika somo, kubadilisha maarifa ya zamani na mpya. Kwa walimu pekee masomo kamili mpango wa kalenda kwa mwaka mapendekezo ya mbinu programu za majadiliano Masomo Yaliyounganishwa

Chaguo za kukokotoa y=x^2 huitwa kitendakazi cha quadratic. Ratiba kazi ya quadratic ni parabola. Mtazamo wa jumla Parabola imeonyeshwa kwenye takwimu hapa chini.

Utendaji wa Quadratic

Mchoro 1. Mtazamo wa jumla wa parabola

Kama inavyoweza kuonekana kutoka kwa grafu, ina ulinganifu kuhusu mhimili wa Oy. Mhimili wa Oy unaitwa mhimili wa ulinganifu wa parabola. Hii ina maana kwamba ukichora mstari ulionyooka kwenye grafu sambamba na mhimili wa Ox juu ya mhimili huu. Kisha itaingilia parabola kwa pointi mbili. Umbali kutoka kwa pointi hizi hadi mhimili wa Oy utakuwa sawa.

Mhimili wa ulinganifu hugawanya grafu ya parabola katika sehemu mbili. Sehemu hizi huitwa matawi ya parabola. Na hatua ya parabola ambayo iko kwenye mhimili wa ulinganifu inaitwa vertex ya parabola. Hiyo ni, mhimili wa ulinganifu hupita kupitia vertex ya parabola. Viwianishi vya hatua hii ni (0;0).

Sifa za kimsingi za kazi ya quadratic

1. Kwa x =0, y=0, na y>0 kwa x0

2. Thamani ya chini kazi ya quadratic inafikia vertex yake. Ymin kwa x=0; Inapaswa pia kuzingatiwa kuwa kazi haina thamani ya juu.

3. Chaguo za kukokotoa hupungua kwa muda (-∞;0] na kuongezeka kwa muda)