Jinsi ya kugawanya sehemu na madhehebu tofauti. Kuchora mfumo wa milinganyo

Sasa kwa kuwa tumejifunza jinsi ya kuongeza na kuzidisha sehemu za kibinafsi, tunaweza kuangalia miundo ngumu zaidi. Kwa mfano, namna gani ikiwa tatizo lilelile linahusisha kuongeza, kupunguza, na kuzidisha visehemu?

Kwanza kabisa, unahitaji kubadilisha sehemu zote kuwa zisizofaa. Kisha tunafanya vitendo vinavyohitajika kwa sequentially - kwa utaratibu sawa na kwa namba za kawaida. Yaani:

Ufafanuzi unafanywa kwanza - ondoa misemo yote iliyo na vielelezo;
Kisha - mgawanyiko na kuzidisha;
Hatua ya mwisho ni kuongeza na kutoa.

Kwa kweli, ikiwa kuna mabano katika usemi, mpangilio wa operesheni hubadilika - kila kitu kilicho ndani ya mabano lazima kihesabiwe kwanza. Na kumbuka kuhusu sehemu zisizofaa: unahitaji kuonyesha sehemu nzima tu wakati vitendo vingine vyote tayari vimekamilika.

Wacha tubadilishe sehemu zote kutoka kwa usemi wa kwanza hadi zisizofaa, na kisha tufanye hatua zifuatazo:

Sasa hebu tupate thamani ya usemi wa pili. Hakuna sehemu zilizo na sehemu kamili, lakini kuna mabano, kwa hivyo kwanza tunafanya nyongeza, na kisha tu mgawanyiko. Kumbuka kuwa 14 = 7 · 2. Kisha:

Hatimaye, fikiria mfano wa tatu. Kuna mabano na digrii hapa - ni bora kuzihesabu kando. Kwa kuzingatia kwamba 9 = 3 3, tunayo:

Makini na mfano wa mwisho. Ili kuongeza sehemu kwa nguvu, lazima uinue nambari kwa nguvu hii kando, na kando, dhehebu.

Unaweza kuamua tofauti. Ikiwa tutakumbuka ufafanuzi wa digrii, shida itapunguzwa kwa kuzidisha kawaida kwa sehemu:

Sehemu za hadithi nyingi

Hadi sasa, tumezingatia sehemu "safi" tu, wakati nambari na denominator ni nambari za kawaida. Hii inalingana kabisa na ufafanuzi wa sehemu ya nambari iliyotolewa katika somo la kwanza kabisa.

Lakini vipi ikiwa utaweka kitu changamano zaidi katika nambari au denominator? Kwa mfano, sehemu nyingine ya nambari? Miundo kama hiyo huibuka mara nyingi, haswa wakati wa kufanya kazi na maneno marefu. Hapa kuna mifano michache:

Kuna sheria moja tu ya kufanya kazi na sehemu za viwango vingi: lazima uondoe mara moja. Kuondoa sakafu "za ziada" ni rahisi sana, ikiwa unakumbuka kuwa kufyeka kunamaanisha operesheni ya kawaida ya mgawanyiko. Kwa hivyo, sehemu yoyote inaweza kuandikwa tena kama ifuatavyo:

Kwa kutumia ukweli huu na kufuata utaratibu, tunaweza kupunguza kwa urahisi sehemu yoyote ya hadithi nyingi hadi ya kawaida. Angalia mifano:

Kazi. Badilisha sehemu za hadithi nyingi kuwa za kawaida:

Katika kila kesi, tunaandika tena sehemu kuu, tukibadilisha mstari wa kugawanya na ishara ya mgawanyiko. Pia kumbuka kwamba nambari yoyote kamili inaweza kuwakilishwa kama sehemu na denominator ya 1. Hiyo ni 12 = 12/1; 3 = 3/1. Tunapata:

Katika mfano wa mwisho, sehemu zilighairiwa kabla ya kuzidisha mwisho.

Maalum ya kufanya kazi na sehemu za ngazi nyingi

Kuna ujanja mmoja katika sehemu za viwango vingi ambazo lazima zikumbukwe kila wakati, vinginevyo unaweza kupata jibu lisilofaa, hata kama mahesabu yote yalikuwa sahihi. Angalia:

Nambari ina nambari moja 7, na denominator ina sehemu 12/5;
Nambari ina sehemu 7/12, na denominator ina nambari tofauti 5.

Kwa hivyo, kwa rekodi moja tulipata tafsiri mbili tofauti kabisa. Ukihesabu, majibu pia yatakuwa tofauti:

Ili kuhakikisha kwamba rekodi inasomwa daima bila utata, tumia sheria rahisi: mstari wa kugawanya wa sehemu kuu lazima iwe ndefu zaidi kuliko mstari wa sehemu ya kiota. Ikiwezekana mara kadhaa.

Ukifuata sheria hii, basi sehemu zilizo hapo juu zinapaswa kuandikwa kama ifuatavyo:

Ndiyo, inaweza kuwa isiyopendeza na inachukua nafasi nyingi sana. Lakini utahesabu kwa usahihi. Hatimaye, mifano michache ambapo sehemu za hadithi nyingi hutokea:

Kazi. Tafuta maana za misemo:

Kwa hivyo, wacha tufanye kazi na mfano wa kwanza. Wacha tubadilishe sehemu zote kuwa zisizofaa, na kisha tufanye shughuli za kuongeza na mgawanyiko:

Hebu tufanye vivyo hivyo na mfano wa pili. Wacha tubadilishe sehemu zote kuwa zisizofaa na tufanye shughuli zinazohitajika. Ili kutomchosha msomaji, nitaacha mahesabu kadhaa dhahiri. Tuna:

Kwa sababu ya ukweli kwamba nambari na denominator ya sehemu za msingi zina hesabu, sheria ya kuandika sehemu za hadithi nyingi huzingatiwa moja kwa moja. Pia, katika mfano wa mwisho, kwa makusudi tuliacha 46/1 katika umbo la sehemu ili kufanya mgawanyiko.

Pia nitagundua kuwa katika mifano yote miwili upau wa sehemu unachukua nafasi ya mabano: kwanza kabisa, tulipata jumla, na kisha tu mgawo.

Wengine watasema kwamba mpito kwa sehemu zisizofaa katika mfano wa pili ulikuwa wazi. Labda hii ni kweli. Lakini kwa kufanya hivyo tunajihakikishia dhidi ya makosa, kwa sababu wakati ujao mfano unaweza kugeuka kuwa ngumu zaidi. Chagua mwenyewe ni nini muhimu zaidi: kasi au kuegemea.

Mara ya mwisho tulijifunza jinsi ya kuongeza na kutoa sehemu (angalia somo "Kuongeza na kutoa sehemu"). Sehemu ngumu zaidi ya vitendo hivyo ilikuwa kuleta sehemu kwa dhehebu moja.

Sasa ni wakati wa kushughulikia kuzidisha na kugawanya. Habari njema ni kwamba shughuli hizi ni rahisi zaidi kuliko kuongeza na kutoa. Kwanza, hebu tuzingatie kesi rahisi zaidi, wakati kuna sehemu mbili chanya bila sehemu kamili iliyotengwa.

Ili kuzidisha sehemu mbili, lazima uzidishe nambari zao na denomineta tofauti. Nambari ya kwanza itakuwa nambari ya sehemu mpya, na ya pili itakuwa denominator.

Ili kugawanya sehemu mbili, unahitaji kuzidisha sehemu ya kwanza na sehemu ya pili "iliyopinduliwa".

Uteuzi:

Kutoka kwa ufafanuzi inafuata kwamba kugawanya sehemu kunapunguza kuzidisha. Ili "kugeuza" sehemu, badilisha tu nambari na denominator. Kwa hiyo, katika somo lote tutazingatia hasa kuzidisha.

Kama matokeo ya kuzidisha, sehemu inayoweza kupunguzwa inaweza kutokea (na mara nyingi hutokea) - ni, bila shaka, lazima ipunguzwe. Ikiwa baada ya kupunguzwa kwa sehemu zote zinageuka kuwa sio sahihi, sehemu nzima inapaswa kuonyeshwa. Lakini kile ambacho hakika hakitafanyika kwa kuzidisha ni kupunguzwa kwa dhehebu la kawaida: hakuna njia za mseto, sababu kuu na vizidishi vya kawaida sana.

Kwa ufafanuzi tunayo:

Kuzidisha sehemu na sehemu nzima na sehemu hasi

Ikiwa sehemu zina sehemu kamili, lazima zibadilishwe kuwa zisizofaa - na kisha tu kuzidishwa kulingana na mipango iliyoainishwa hapo juu.

Ikiwa kuna minus katika nambari ya sehemu, katika dhehebu au mbele yake, inaweza kutolewa nje ya kuzidisha au kuondolewa kabisa kulingana na sheria zifuatazo:

Plus kwa minus inatoa minus;
Hasi mbili hufanya uthibitisho.

Hadi sasa, sheria hizi zimekutana tu wakati wa kuongeza na kuondoa sehemu hasi, wakati ilikuwa ni lazima kuondokana na sehemu nzima. Kwa kazi, zinaweza kufanywa kwa ujumla ili "kuchoma" hasara kadhaa mara moja:

Tunavuka hasi kwa jozi hadi kutoweka kabisa. Katika hali mbaya, minus moja inaweza kuishi - ile ambayo hapakuwa na mwenzi;
Ikiwa hakuna minuses iliyobaki, operesheni imekamilika - unaweza kuanza kuzidisha. Ikiwa minus ya mwisho haijatolewa kwa sababu hapakuwa na jozi yake, tunaipeleka nje ya mipaka ya kuzidisha. Matokeo yake ni sehemu hasi.

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Tunabadilisha sehemu zote kuwa zisizofaa, na kisha kuchukua minuses kutoka kwa kuzidisha. Tunazidisha kile kilichobaki kulingana na sheria za kawaida. Tunapata:

Acha nikukumbushe tena kwamba minus inayoonekana mbele ya sehemu iliyo na sehemu nzima iliyoangaziwa inarejelea haswa sehemu nzima, na sio tu sehemu yake yote (hii inatumika kwa mifano miwili ya mwisho).

Pia makini na nambari hasi: wakati wa kuzidisha, zimefungwa kwenye mabano. Hii inafanywa ili kutenganisha minuses kutoka kwa ishara za kuzidisha na kufanya nukuu nzima kuwa sahihi zaidi.

Kupunguza sehemu kwenye kuruka

Kuzidisha ni operesheni inayohitaji nguvu kazi nyingi. Nambari hapa zinageuka kuwa kubwa kabisa, na ili kurahisisha shida, unaweza kujaribu kupunguza sehemu zaidi kabla ya kuzidisha. Kwa kweli, kwa asili, nambari na madhehebu ya sehemu ni sababu za kawaida, na, kwa hivyo, zinaweza kupunguzwa kwa kutumia mali ya msingi ya sehemu. Angalia mifano:

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kwa ufafanuzi tunayo:

Katika mifano yote, nambari ambazo zimepunguzwa na mabaki yao yamewekwa alama nyekundu.

Tafadhali kumbuka: katika kesi ya kwanza, multipliers ilipunguzwa kabisa. Katika nafasi zao kunabaki vitengo ambavyo, kwa ujumla, hazihitaji kuandikwa. Katika mfano wa pili, haikuwezekana kufikia kupunguzwa kamili, lakini jumla ya mahesabu bado yalipungua.

Walakini, usitumie mbinu hii wakati wa kuongeza na kupunguza sehemu! Ndio, wakati mwingine kuna nambari zinazofanana ambazo unataka tu kupunguza. Hapa, angalia:

Huwezi kufanya hivyo!

Hitilafu hutokea kwa sababu wakati wa kuongeza, nambari ya sehemu hutoa jumla, sio bidhaa ya nambari. Kwa hivyo, haiwezekani kutumia mali ya msingi ya sehemu, kwani mali hii inahusika haswa na kuzidisha nambari.

Hakuna sababu zingine za kupunguza sehemu, kwa hivyo suluhisho sahihi la shida iliyotangulia inaonekana kama hii:

Suluhisho sahihi:

Kama unaweza kuona, jibu sahihi liligeuka kuwa sio zuri sana. Kwa ujumla, kuwa makini.

Unaweza kufanya kila kitu na sehemu, pamoja na mgawanyiko. Nakala hii inaonyesha mgawanyiko wa sehemu za kawaida. Ufafanuzi utatolewa na mifano itajadiliwa. Wacha tukae kwa undani juu ya kugawa sehemu kwa nambari asilia na kinyume chake. Kugawanya sehemu ya kawaida kwa nambari iliyochanganywa itajadiliwa.

Kugawanya sehemu

Mgawanyiko ni kinyume cha kuzidisha. Wakati wa kugawanya, jambo lisilojulikana linapatikana na bidhaa inayojulikana ya sababu nyingine, ambapo maana yake iliyotolewa huhifadhiwa na sehemu za kawaida.

Ikiwa ni muhimu kugawanya sehemu ya kawaida a b na c d, kisha kuamua nambari kama hiyo unahitaji kuzidisha na mgawanyiko c d, hii hatimaye itatoa mgao b. Wacha tupate nambari na tuiandike a b · d c , ambapo d c ni kinyume cha nambari ya c d. Usawa unaweza kuandikwa kwa kutumia sifa za kuzidisha, yaani: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, ambapo usemi a b · d c ndio mgawo wa kugawanya b kwa c d.

Kuanzia hapa tunapata na kuunda sheria ya kugawa sehemu za kawaida:

Ufafanuzi 1

Ili kugawanya sehemu ya kawaida a b kwa c d, unahitaji kuzidisha gawio kwa upatanishi wa mgawanyiko.

Hebu tuandike kanuni kwa namna ya usemi: a b: c d = a b · d c

Kanuni za mgawanyiko zinakuja kwa kuzidisha. Ili kushikamana nayo, unahitaji kuwa na ufahamu mzuri wa kuzidisha sehemu.

Wacha tuendelee kuzingatia mgawanyiko wa sehemu za kawaida.

Mfano 1

Gawanya 9 7 kwa 5 3. Andika matokeo kama sehemu.

Suluhisho

Nambari 5 3 ni sehemu ya 35. Inahitajika kutumia sheria kwa kugawa sehemu za kawaida. Tunaandika usemi huu kama ifuatavyo: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

Jibu: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Wakati wa kupunguza sehemu, tenga sehemu nzima ikiwa nambari ni kubwa kuliko denominator.

Mfano 2

Gawanya 8 15: 24 65. Andika jibu kama sehemu.

Suluhisho

Ili kutatua, unahitaji kuhama kutoka kwa mgawanyiko hadi kuzidisha. Hebu tuandike katika fomu hii: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Ni muhimu kufanya kupunguza, na hii inafanywa kama ifuatavyo: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Chagua sehemu nzima na upate 13 9 = 1 4 9.

Jibu: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Kugawanya sehemu isiyo ya kawaida kwa nambari asilia

Tunatumia sheria ya kugawanya sehemu kwa nambari ya asili: kugawanya b kwa nambari ya asili n, unahitaji tu kuzidisha denominator na n. Kutoka hapa tunapata usemi: a b: n = a b · n.

Kanuni ya mgawanyiko ni matokeo ya kanuni ya kuzidisha. Kwa hivyo, kuwakilisha nambari asilia kama sehemu itatoa usawa wa aina hii: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Fikiria mgawanyiko huu wa sehemu kwa nambari.

Mfano 3

Gawanya sehemu 16 45 kwa nambari 12.

Suluhisho

Wacha tutumie sheria ya kugawa sehemu kwa nambari. Tunapata usemi wa fomu 16 45: 12 = 16 45 · 12.

Wacha tupunguze sehemu. Tunapata 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.

Jibu: 16 45: 12 = 4 135 .

Kugawanya nambari asilia kwa sehemu

Kanuni ya mgawanyiko ni sawa O kanuni ya kugawanya nambari ya asili kwa sehemu ya kawaida: ili kugawanya nambari ya asili n kwa sehemu ya kawaida a b, ni muhimu kuzidisha nambari n kwa usawa wa sehemu a b.

Kulingana na sheria, tunayo n: a b = n · b a, na shukrani kwa sheria ya kuzidisha nambari ya asili kwa sehemu ya kawaida, tunapata usemi wetu katika fomu n: a b = n · b a. Inahitajika kuzingatia mgawanyiko huu kwa mfano.

Mfano 4

Gawanya 25 kwa 15 28.

Suluhisho

Tunahitaji kuhama kutoka kwa mgawanyiko hadi kuzidisha. Wacha tuandike kwa njia ya usemi 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Wacha tupunguze sehemu na tupate matokeo katika mfumo wa sehemu 46 2 3.

Jibu: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Kugawanya sehemu kwa nambari iliyochanganywa

Wakati wa kugawanya sehemu ya kawaida na nambari iliyochanganywa, unaweza kuanza kwa urahisi kugawa sehemu za kawaida. Unahitaji kubadilisha nambari iliyochanganywa kuwa sehemu isiyofaa.

Mfano 5

Gawanya sehemu 35 16 kwa 3 1 8.

Suluhisho

Kwa kuwa 3 1 8 ni nambari mchanganyiko, hebu tuwakilishe kama sehemu isiyofaa. Kisha tunapata 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Sasa hebu tugawanye sehemu. Tunapata 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Jibu: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Kugawanya nambari iliyochanganywa hufanyika kwa njia sawa na nambari za kawaida.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

) na denominator kwa denominator (tunapata denominator ya bidhaa).

Mfumo wa kuzidisha sehemu:

Kwa mfano:

Kabla ya kuanza kuzidisha nambari na denomineta, unahitaji kuangalia ikiwa sehemu inaweza kupunguzwa. Ikiwa unaweza kupunguza sehemu, itakuwa rahisi kwako kufanya mahesabu zaidi.

Kugawanya sehemu ya kawaida kwa sehemu.

Kugawanya sehemu zinazojumuisha nambari asilia.

Sio ya kutisha kama inavyoonekana. Kama ilivyo kwa nyongeza, tunabadilisha nambari kamili kuwa sehemu na moja kwenye denominator. Kwa mfano:

Kuzidisha sehemu zilizochanganywa.

Sheria za kuzidisha sehemu (zilizochanganywa):

kubadilisha sehemu zilizochanganywa kwa sehemu zisizofaa;
kuzidisha nambari na madhehebu ya sehemu;
kupunguza sehemu;
Ikiwa unapata sehemu isiyofaa, basi tunabadilisha sehemu isiyofaa katika sehemu iliyochanganywa.

Kumbuka! Ili kuzidisha sehemu iliyochanganywa na sehemu nyingine iliyochanganywa, kwanza unahitaji kuibadilisha kuwa fomu ya sehemu zisizofaa, na kisha kuzidisha kulingana na sheria ya kuzidisha sehemu za kawaida.

Njia ya pili ya kuzidisha sehemu kwa nambari asilia.

Inaweza kuwa rahisi zaidi kutumia njia ya pili ya kuzidisha sehemu ya kawaida kwa nambari.

Kumbuka! Ili kuzidisha sehemu kwa nambari ya asili, lazima ugawanye denominator ya sehemu kwa nambari hii, na uache nambari bila kubadilika.

Kutoka kwa mfano uliotolewa hapo juu, ni wazi kwamba chaguo hili ni rahisi zaidi kutumia wakati denominator ya sehemu imegawanywa bila salio na nambari ya asili.

Sehemu za hadithi nyingi.

Katika shule ya upili, sehemu za hadithi tatu (au zaidi) mara nyingi hukutana. Mfano:

Ili kuleta sehemu kama hiyo kwa fomu yake ya kawaida, tumia mgawanyiko kupitia alama 2:

Kumbuka! Wakati wa kugawanya sehemu, utaratibu wa mgawanyiko ni muhimu sana. Kuwa mwangalifu, ni rahisi kuchanganyikiwa hapa.

Kumbuka, Kwa mfano:

Wakati wa kugawanya moja kwa sehemu yoyote, matokeo yatakuwa sehemu sawa, iliyogeuzwa tu:

Vidokezo vya vitendo vya kuzidisha na kugawanya sehemu:

1. Jambo muhimu zaidi wakati wa kufanya kazi na maneno ya sehemu ni usahihi na usikivu. Fanya mahesabu yote kwa uangalifu na kwa usahihi, kwa umakini na kwa uwazi. Ni bora kuandika mistari michache ya ziada katika rasimu yako kuliko kupotea katika hesabu za kiakili.

2. Katika kazi zilizo na aina tofauti za sehemu, nenda kwa aina ya sehemu za kawaida.

3. Tunapunguza sehemu zote mpaka haiwezekani tena kupunguza.

4. Tunabadilisha semi za sehemu za viwango vingi kuwa za kawaida kwa kutumia mgawanyiko kupitia alama 2.

5. Gawanya kitengo kwa sehemu katika kichwa chako, ukigeuza sehemu hiyo juu.

§ 87. Ongezeko la sehemu.

Kuongeza sehemu kuna mfanano mwingi wa kuongeza nambari nzima. Ongezeko la sehemu ni kitendo kinachojumuisha ukweli kwamba nambari kadhaa (masharti) kadhaa zimejumuishwa kuwa nambari moja (jumla), iliyo na vitengo na sehemu zote za vitengo vya maneno.

Tutazingatia kesi tatu kwa mlolongo:

1. Ongezeko la sehemu zenye dhehebu kama.
2. Ongezeko la sehemu zenye madhehebu tofauti.
3. Ongezeko la namba mchanganyiko.

1. Ongezeko la sehemu zenye dhehebu kama.

Fikiria mfano: 1/5 + 2/5.

Hebu tuchukue sehemu ya AB (Kielelezo 17), ichukue kama moja na kuigawanya katika sehemu 5 sawa, kisha sehemu ya AC ya sehemu hii itakuwa sawa na 1/5 ya sehemu ya AB, na sehemu ya sehemu sawa ya CD itakuwa sawa na 2/5 AB.

Kutoka kwa kuchora ni wazi kwamba ikiwa tunachukua sehemu ya AD, itakuwa sawa na 3/5 AB; lakini sehemu ya AD ni jumla ya sehemu za AC na CD. Kwa hivyo tunaweza kuandika:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Kwa kuzingatia masharti haya na jumla inayotokana, tunaona kwamba nambari ya jumla ilipatikana kwa kuongeza nambari za maneno, na denominator ilibakia bila kubadilika.

Kutoka kwa hii tunapata sheria ifuatayo: Ili kuongeza sehemu na dhehebu sawa, unahitaji kuongeza nambari zao na kuacha dhehebu sawa.

Hebu tuangalie mfano:

2. Ongezeko la sehemu zenye madhehebu tofauti.

Wacha tuongeze sehemu: 3/4 + 3/8 Kwanza zinahitaji kupunguzwa hadi dhehebu la chini kabisa la kawaida:

Kiungo cha kati 6/8 + 3/8 hakikuweza kuandikwa; tumeiandika hapa kwa uwazi.

Kwa hivyo, ili kuongeza sehemu zilizo na madhehebu tofauti, lazima kwanza uzipunguze kwa kiwango cha chini kabisa cha kawaida, ongeza nambari zao na uweke lebo ya kawaida.

Wacha tuchunguze mfano (tutaandika mambo ya ziada juu ya sehemu zinazolingana):

3. Ongezeko la namba mchanganyiko.

Wacha tuongeze nambari: 2 3/8 + 3 5/6.

Hebu kwanza tulete sehemu za sehemu za nambari zetu kwa dhehebu la kawaida na tuandike tena:

Sasa tunaongeza sehemu kamili na za sehemu kwa mlolongo:

§ 88. Utoaji wa sehemu.

Kutoa sehemu hufafanuliwa kwa njia sawa na kutoa nambari nzima. Hii ni hatua kwa msaada wa ambayo, kutokana na jumla ya maneno mawili na moja wao, muda mwingine hupatikana. Wacha tuzingatie kesi tatu mfululizo:

1. Kutoa sehemu na denomineta kama.
2. Kutoa sehemu na madhehebu tofauti.
3. Utoaji wa namba mchanganyiko.

1. Kutoa sehemu na denomineta kama.

Hebu tuangalie mfano:

13 / 15 - 4 / 15

Hebu tuchukue sehemu ya AB (Mchoro 18), tuchukue kama kitengo na tugawanye katika sehemu 15 sawa; kisha sehemu ya AC ya sehemu hii itawakilisha 1/15 ya AB, na sehemu ya AD ya sehemu hiyo hiyo italingana na 13/15 AB. Hebu tutenge sehemu nyingine ED sawa na 4/15 AB.

Tunahitaji kutoa sehemu 4/15 kutoka 13/15. Katika mchoro, hii inamaanisha kuwa sehemu ya ED lazima iondolewe kutoka kwa sehemu ya AD. Kwa hivyo, sehemu ya AE itabaki, ambayo ni 9/15 ya sehemu ya AB. Kwa hivyo tunaweza kuandika:

Mfano tuliofanya unaonyesha kuwa nambari ya tofauti ilipatikana kwa kutoa nambari, lakini kiashiria kilibaki vile vile.

Kwa hivyo, ili kutoa sehemu na denominators kama, unahitaji kutoa nambari ya subtrahend kutoka kwa nambari ya minuend na kuacha denominator sawa.

2. Kutoa sehemu na madhehebu tofauti.

Mfano. 3/4 - 5/8

Kwanza, wacha tupunguze sehemu hizi kwa dhehebu la chini kabisa:

6 / 8 - 5 / 8 ya kati imeandikwa hapa kwa uwazi, lakini inaweza kurukwa baadaye.

Kwa hivyo, ili kuondoa sehemu kutoka kwa sehemu, lazima kwanza uwapunguze hadi kiwango cha chini kabisa cha kawaida, kisha uondoe nambari ya minuend kutoka kwa nambari ya minuend na usaini denominator ya kawaida chini ya tofauti zao.

Hebu tuangalie mfano:

3. Utoaji wa namba mchanganyiko.

Mfano. 10 3/4 - 7 2/3.

Wacha tupunguze sehemu za sehemu ya minuend na subtrahend hadi denominator ya chini kabisa:

Tulitoa nzima kutoka kwa jumla na sehemu kutoka kwa sehemu. Lakini kuna matukio wakati sehemu ya sehemu ya kile kinachotolewa ni kubwa zaidi kuliko sehemu ya sehemu ya kile kinachopunguzwa. Katika hali kama hizi, unahitaji kuchukua kitengo kimoja kutoka kwa sehemu nzima ya minuend, ugawanye katika sehemu hizo ambazo sehemu ya sehemu imeonyeshwa, na kuiongeza kwa sehemu ya sehemu ya minuend. Na kisha kutoa kutafanywa kwa njia ile ile kama katika mfano uliopita:

§ 89. Kuzidisha kwa sehemu.

Tunaposoma kuzidisha sehemu, tutazingatia maswali yafuatayo:

1. Kuzidisha sehemu kwa nambari nzima.
2. Kupata sehemu ya nambari fulani.
3. Kuzidisha nambari nzima kwa sehemu.
4. Kuzidisha sehemu kwa sehemu.
5. Kuzidisha namba mchanganyiko.
6. Dhana ya riba.
7. Kupata asilimia ya nambari fulani. Hebu tuzingatie kwa mfuatano.

1. Kuzidisha sehemu kwa nambari nzima.

Kuzidisha sehemu kwa nambari nzima kuna maana sawa na kuzidisha nambari nzima kwa nambari kamili. Kuzidisha sehemu (multiplicand) kwa nambari kamili (sababu) inamaanisha kuunda jumla ya maneno yanayofanana, ambayo kila neno ni sawa na kuzidisha, na idadi ya istilahi ni sawa na kizidishi.

Hii inamaanisha kuwa ikiwa unahitaji kuzidisha 1/9 kwa 7, basi inaweza kufanywa kama hii:

Tulipata matokeo kwa urahisi, kwani hatua ilipunguzwa hadi kuongeza sehemu na denominators sawa. Kwa hivyo,

Uzingatiaji wa kitendo hiki unaonyesha kuwa kuzidisha sehemu kwa nambari nzima ni sawa na kuongeza sehemu hii mara nyingi kama kuna vitengo katika nambari nzima. Na kwa kuwa kuongeza sehemu kunapatikana ama kwa kuongeza nambari yake

au kwa kupunguza dhehebu lake , basi tunaweza ama kuzidisha nambari kwa nambari kamili au kugawanya dhehebu nayo, ikiwa mgawanyiko kama huo unawezekana.

Kuanzia hapa tunapata sheria:

Ili kuzidisha sehemu kwa nambari nzima, unazidisha nambari kwa nambari hiyo yote na kuacha nambari sawa, au, ikiwezekana, kugawanya kiashiria kwa nambari hiyo, na kuacha nambari bila kubadilika.

Wakati wa kuzidisha, vifupisho vinawezekana, kwa mfano:

2. Kupata sehemu ya nambari fulani. Kuna matatizo mengi ambayo unapaswa kupata, au kuhesabu, sehemu ya nambari fulani. Tofauti kati ya shida hizi na zingine ni kwamba wanatoa idadi ya vitu au vitengo vya kipimo na unahitaji kupata sehemu ya nambari hii, ambayo pia imeonyeshwa hapa na sehemu fulani. Ili kuwezesha kuelewa, kwanza tutatoa mifano ya shida kama hizo, na kisha tutaanzisha njia ya kuzitatua.

Jukumu la 1. Nilikuwa na rubles 60; Nilitumia 1/3 ya pesa hizi kununua vitabu. Vitabu viligharimu kiasi gani?

Jukumu la 2. Treni lazima isafiri umbali kati ya miji A na B sawa na kilomita 300. Tayari amefunika 2/3 ya umbali huu. Hii ni kilomita ngapi?

Jukumu la 3. Kuna nyumba 400 katika kijiji, 3/4 kati yao ni matofali, iliyobaki ni ya mbao. Je, kuna nyumba ngapi za matofali kwa jumla?

Haya ni baadhi ya matatizo mengi tunayokutana nayo kupata sehemu ya nambari fulani. Kawaida huitwa shida kupata sehemu ya nambari fulani.

Suluhisho la tatizo 1. Kutoka 60 kusugua. Nilitumia 1/3 kwenye vitabu; Hii inamaanisha kuwa ili kupata gharama ya vitabu unahitaji kugawanya nambari 60 na 3:

Kutatua tatizo 2. Suala la shida ni kwamba unahitaji kupata 2/3 ya 300 km. Hebu kwanza tuhesabu 1/3 ya 300; hii inafanikiwa kwa kugawanya kilomita 300 kwa 3:

300: 3 = 100 (hiyo ni 1/3 ya 300).

Ili kupata theluthi mbili ya 300, unahitaji kuongeza mgawo unaosababishwa, i.e., kuzidisha kwa 2:

100 x 2 = 200 (hiyo ni 2/3 ya 300).

Kutatua tatizo 3. Hapa unahitaji kuamua idadi ya nyumba za matofali ambazo hufanya 3/4 ya 400. Hebu kwanza tupate 1/4 ya 400,

400: 4 = 100 (hiyo ni 1/4 ya 400).

Ili kuhesabu robo tatu ya 400, mgawo unaopatikana lazima uongezwe mara tatu, i.e. kuzidishwa na 3:

100 x 3 = 300 (hiyo ni 3/4 ya 400).

Kulingana na suluhisho la shida hizi, tunaweza kupata sheria ifuatayo:

Ili kupata thamani ya sehemu kutoka kwa nambari fulani, unahitaji kugawanya nambari hii kwa denominator ya sehemu na kuzidisha mgawo unaosababishwa na nambari yake.

3. Kuzidisha nambari nzima kwa sehemu.

Hapo awali (§ 26) ilianzishwa kuwa kuzidisha nambari kamili kunapaswa kueleweka kama nyongeza ya maneno yanayofanana (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Katika aya hii (alama 1) ilithibitishwa kuwa kuzidisha sehemu kwa nambari kamili kunamaanisha kupata jumla ya maneno yanayofanana sawa na sehemu hii.

Katika visa vyote viwili, kuzidisha kulihusisha kupata jumla ya istilahi zinazofanana.

Sasa tunaendelea kuzidisha nambari nzima kwa sehemu. Hapa tutakutana, kwa mfano, kuzidisha: 9 2 / 3. Ni wazi kwamba ufafanuzi wa awali wa kuzidisha hautumiki kwa kesi hii. Hii ni dhahiri kutokana na ukweli kwamba hatuwezi kuchukua nafasi ya kuzidisha vile kwa kuongeza idadi sawa.

Kwa sababu ya hili, tutalazimika kutoa ufafanuzi mpya wa kuzidisha, yaani, kwa maneno mengine, jibu swali la kile kinachopaswa kueleweka kwa kuzidisha kwa sehemu, jinsi hatua hii inapaswa kueleweka.

Maana ya kuzidisha nambari nzima kwa sehemu ni wazi kutoka kwa ufafanuzi ufuatao: kuzidisha nambari kamili (kuzidisha) kwa sehemu (kuzidisha) kunamaanisha kupata sehemu hii ya vizidishi.

Yaani, kuzidisha 9 kwa 2/3 kunamaanisha kupata 2/3 ya vitengo tisa. Katika aya iliyotangulia, matatizo hayo yalitatuliwa; kwa hivyo ni rahisi kujua kuwa tutamaliza na 6.

Lakini sasa swali la kufurahisha na muhimu linatokea: kwa nini shughuli zinazoonekana kuwa tofauti, kama vile kupata jumla ya nambari sawa na kupata sehemu ya nambari, inayoitwa hesabu kwa neno moja "kuzidisha"?

Hii hutokea kwa sababu kitendo kilichotangulia (kurudia nambari na masharti mara kadhaa) na kitendo kipya (kupata sehemu ya nambari) hutoa majibu kwa maswali yanayofanana. Hii ina maana kwamba tunaendelea hapa kutokana na mazingatio kwamba maswali au kazi zenye usawaziko hutatuliwa kwa kitendo kile kile.

Ili kuelewa hili, fikiria shida ifuatayo: "M 1 ya kitambaa inagharimu rubles 50. Je, 4 m ya nguo hiyo itagharimu kiasi gani?

Tatizo hili linatatuliwa kwa kuzidisha idadi ya rubles (50) kwa idadi ya mita (4), yaani 50 x 4 = 200 (rubles).

Wacha tuchukue shida sawa, lakini ndani yake kiasi cha kitambaa kitaonyeshwa kama sehemu: "M 1 ya kitambaa inagharimu rubles 50. Je, 3/4 m ya nguo kama hiyo itagharimu kiasi gani?"

Tatizo hili pia linahitaji kutatuliwa kwa kuzidisha idadi ya rubles (50) kwa idadi ya mita (3/4).

Unaweza kubadilisha nambari ndani yake mara kadhaa zaidi, bila kubadilisha maana ya shida, kwa mfano, chukua 9/10 m au 2 3/10 m, nk.

Kwa kuwa matatizo haya yana maudhui sawa na yanatofautiana kwa idadi tu, tunaita vitendo vinavyotumiwa katika kutatua neno moja - kuzidisha.

Unawezaje kuzidisha nambari nzima kwa sehemu?

Wacha tuchukue nambari zilizokutana kwenye shida ya mwisho:

Kwa mujibu wa ufafanuzi, lazima tupate 3/4 ya 50. Hebu kwanza tupate 1/4 ya 50, na kisha 3/4.

1/4 ya 50 ni 50/4;

3/4 ya nambari 50 ni .

Kwa hiyo.

Hebu tuchunguze mfano mwingine: 12 5/8 =?

1/8 ya nambari 12 ni 12/8,

5/8 ya nambari 12 ni .

Kwa hivyo,

Kuanzia hapa tunapata sheria:

Ili kuzidisha nambari nzima kwa sehemu, unahitaji kuzidisha nambari nzima kwa nambari ya sehemu na kuifanya bidhaa hii kuwa nambari, na utie saini denominator ya sehemu hii kama denominator.

Wacha tuandike sheria hii kwa kutumia herufi:

Ili kufanya sheria hii iwe wazi kabisa, ikumbukwe kwamba sehemu inaweza kuzingatiwa kama mgawo. Kwa hivyo, ni muhimu kulinganisha sheria iliyopatikana na sheria ya kuzidisha nambari na mgawo, ambayo iliwekwa katika § 38.

Ni muhimu kukumbuka kuwa kabla ya kuzidisha, unapaswa kufanya (ikiwezekana) kupunguzwa, Kwa mfano:

4. Kuzidisha sehemu kwa sehemu. Kuzidisha sehemu kwa sehemu kuna maana sawa na kuzidisha nambari nzima kwa sehemu, i.e., wakati wa kuzidisha sehemu kwa sehemu, unahitaji kupata sehemu ambayo iko katika sababu kutoka kwa sehemu ya kwanza (multiplicand).

Yaani, kuzidisha 3/4 kwa 1/2 (nusu) inamaanisha kupata nusu ya 3/4.

Je, unawezaje kuzidisha sehemu kwa sehemu?

Hebu tuchukue mfano: 3/4 ikizidishwa na 5/7. Hii inamaanisha unahitaji kupata 5/7 ya 3/4. Hebu kwanza tupate 1/7 ya 3/4, na kisha 5/7

1/7 ya nambari 3/4 itaonyeshwa kama ifuatavyo:

Nambari 5/7 3/4 itaonyeshwa kama ifuatavyo:

Hivyo,

Mfano mwingine: 5/8 ikizidishwa na 4/9.

1/9 ya 5/8 ni,

4/9 ya nambari 5/8 ni .

Hivyo,

Kutoka kwa mifano hii sheria ifuatayo inaweza kuamuliwa:

Ili kuzidisha sehemu kwa sehemu, unahitaji kuzidisha nambari kwa nambari, na denominator na denominator, na kufanya bidhaa ya kwanza kuwa nambari, na bidhaa ya pili kuwa denominator ya bidhaa.

Sheria hii inaweza kuandikwa kwa fomu ya jumla kama ifuatavyo:

Wakati wa kuzidisha, ni muhimu kufanya (ikiwezekana) kupunguza. Hebu tuangalie mifano:

5. Kuzidisha namba mchanganyiko. Kwa kuwa nambari zilizochanganywa zinaweza kubadilishwa kwa urahisi na sehemu zisizofaa, hali hii kawaida hutumiwa wakati wa kuzidisha nambari zilizochanganywa. Hii ina maana kwamba katika hali ambapo kuzidisha, au kuzidisha, au sababu zote mbili zinaonyeshwa kama nambari zilizochanganywa, hubadilishwa na sehemu zisizofaa. Wacha tuzidishe, kwa mfano, nambari zilizochanganywa: 2 1/2 na 3 1/5. Wacha tugeuze kila moja yao kuwa sehemu isiyofaa na kisha kuzidisha sehemu zinazosababishwa kulingana na sheria ya kuzidisha sehemu kwa sehemu:

Kanuni. Ili kuzidisha nambari zilizochanganywa, lazima kwanza ubadilishe kuwa sehemu zisizofaa na kisha uzizidishe kulingana na sheria ya kuzidisha sehemu kwa sehemu.

Kumbuka. Ikiwa moja ya sababu ni nambari kamili, basi kuzidisha kunaweza kufanywa kulingana na sheria ya usambazaji kama ifuatavyo.

6. Dhana ya riba. Wakati wa kutatua matatizo na kufanya mahesabu mbalimbali ya vitendo, tunatumia kila aina ya sehemu. Lakini ni lazima ikumbukwe kwamba kiasi kikubwa huruhusu sio tu yoyote, lakini mgawanyiko wa asili kwao. Kwa mfano, unaweza kuchukua mia moja (1/100) ya ruble, itakuwa kopeck, mia mbili ni kopecks 2, mia tatu ni kopecks 3. Unaweza kuchukua 1/10 ya ruble, itakuwa "kopecks 10, au kipande cha kopeck kumi. Unaweza kuchukua robo ya ruble, yaani kopecks 25, nusu ya ruble, yaani kopecks 50 (kopecks hamsini). Lakini wao kivitendo hawachukui, kwa mfano, 2/7 ya ruble kwa sababu ruble haijagawanywa katika saba.

Sehemu ya uzani, i.e. kilo, kimsingi inaruhusu mgawanyiko wa decimal, kwa mfano 1/10 kg, au 100 g Na sehemu za kilo kama 1/6, 1/11, 1/13 sio kawaida.

Kwa ujumla, vipimo vyetu (metric) ni desimali na huruhusu mgawanyiko wa desimali.

Hata hivyo, ni lazima ieleweke kwamba ni muhimu sana na rahisi katika aina mbalimbali za matukio kutumia njia sawa (ya sare) ya kugawanya kiasi. Uzoefu wa miaka mingi umeonyesha kwamba mgawanyiko huo wenye haki ni mgawanyiko wa "mia". Wacha tuchunguze mifano kadhaa inayohusiana na maeneo tofauti zaidi ya mazoezi ya wanadamu.

1. Bei ya vitabu imepungua kwa 12/100 ya bei ya awali.

Mfano. Bei ya awali ya kitabu ilikuwa rubles 10. Ilipungua kwa ruble 1. 20 kopecks

2. Benki za akiba hulipa wenye amana 2/100 ya kiasi kilichowekwa kwa ajili ya akiba katika mwaka huo.

Mfano. Rubles 500 zimewekwa kwenye rejista ya pesa, mapato kutoka kwa kiasi hiki kwa mwaka ni rubles 10.

3. Idadi ya wahitimu kutoka shule moja ilikuwa 5/100 ya jumla ya wanafunzi.

MFANO Kulikuwa na wanafunzi 1,200 tu katika shule hiyo, ambapo 60 walihitimu.

Sehemu ya mia ya nambari inaitwa asilimia.

Neno "asilimia" limekopwa kutoka Kilatini na mzizi wake "senti" unamaanisha mia moja. Pamoja na kihusishi (pro centum), neno hili linamaanisha "kwa mia." Maana ya usemi huo yanatokana na uhakika wa kwamba hapo awali katika Roma ya kale riba ilikuwa jina lililopewa pesa ambazo mdaiwa alimlipa mkopeshaji “kwa kila mia.” Neno "senti" linasikika kwa maneno ya kawaida: katikati (kilo mia moja), sentimita (sema sentimita).

Kwa mfano, badala ya kusema kwamba zaidi ya mwezi uliopita mmea ulizalisha 1/100 ya bidhaa zote zinazozalishwa na hiyo ilikuwa na kasoro, tutasema hivi: zaidi ya mwezi uliopita mmea ulizalisha asilimia moja ya kasoro. Badala ya kusema: mmea ulizalisha bidhaa 4/100 zaidi kuliko mpango ulioanzishwa, tutasema: mmea ulizidi mpango kwa asilimia 4.

Mifano hapo juu inaweza kuonyeshwa kwa njia tofauti:

1. Bei ya vitabu imepungua kwa asilimia 12 ya bei ya awali.

2. Benki za akiba hulipa wenye amana asilimia 2 kwa mwaka kwa kiasi kilichowekwa kwenye akiba.

3. Idadi ya wahitimu kutoka shule moja ilikuwa asilimia 5 ya wanafunzi wote wa shule.

Ili kufupisha barua, ni kawaida kuandika alama% badala ya neno "asilimia".

Hata hivyo, unahitaji kukumbuka kuwa katika mahesabu ishara% kawaida haijaandikwa; Wakati wa kufanya mahesabu, unahitaji kuandika sehemu na denominator ya 100 badala ya nambari nzima na ishara hii.

Unahitaji kuweza kubadilisha nambari kamili na ikoni iliyoonyeshwa na sehemu na denominator ya 100:

Kinyume chake, unahitaji kuzoea kuandika nambari kamili na ishara iliyoonyeshwa badala ya sehemu iliyo na dhehebu la 100:

7. Kupata asilimia ya nambari fulani.

Jukumu la 1. Shule ilipokea mita za ujazo 200. m ya kuni, na kuni za birch zinachukua 30%. Je! kulikuwa na kuni ngapi za birch?

Maana ya shida hii ni kwamba kuni za birch ziliunda sehemu tu ya kuni ambazo zilipelekwa shuleni, na sehemu hii imeonyeshwa katika sehemu 30/100. Hii ina maana kwamba tuna kazi ya kutafuta sehemu ya nambari. Ili kuisuluhisha, lazima tuzidishe 200 kwa 30/100 (matatizo ya kupata sehemu ya nambari hutatuliwa kwa kuzidisha nambari kwa sehemu.).

Hii ina maana kwamba 30% ya 200 ni sawa na 60.

Sehemu ya 30/100 iliyokutana katika tatizo hili inaweza kupunguzwa kwa 10. Itawezekana kufanya upunguzaji huu tangu mwanzo; suluhisho la tatizo lisingebadilika.

Jukumu la 2. Kulikuwa na watoto 300 wa rika mbalimbali katika kambi hiyo. Watoto wenye umri wa miaka 11 ni 21%, watoto wenye umri wa miaka 12 ni 61% na hatimaye watoto wa miaka 13 ni 18%. Je! ni watoto wangapi wa kila rika walikuwepo kambini?

Katika shida hii unahitaji kufanya mahesabu matatu, i.e. kupata idadi ya watoto wa miaka 11, kisha miaka 12 na mwishowe miaka 13.

Hii inamaanisha kuwa hapa utahitaji kupata sehemu ya nambari mara tatu. Hebu tufanye:

1) Kulikuwa na watoto wangapi wenye umri wa miaka 11?

2) Kulikuwa na watoto wangapi wenye umri wa miaka 12?

3) Kulikuwa na watoto wangapi wenye umri wa miaka 13?

Baada ya kutatua tatizo, ni muhimu kuongeza nambari zilizopatikana; jumla yao inapaswa kuwa 300:

63 + 183 + 54 = 300

Ikumbukwe pia kuwa jumla ya asilimia iliyotolewa katika taarifa ya tatizo ni 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Hii inaonyesha kuwa jumla ya watoto katika kambi hiyo ilichukuliwa kama 100%.

3 a d a h a 3. Mfanyakazi alipokea rubles 1,200 kwa mwezi. Kati ya hizo, alitumia 65% kwa chakula, 6% kwa vyumba na joto, 4% kwa gesi, umeme na redio, 10% kwa mahitaji ya kitamaduni na 15% kuokolewa. Ni pesa ngapi zilitumika kwa mahitaji yaliyoonyeshwa kwenye shida?

Ili kutatua tatizo hili unahitaji kupata sehemu ya 1,200 mara 5.

1) Ni pesa ngapi zilitumika kununua chakula? Shida inasema kwamba gharama hii ni 65% ya mapato yote, i.e. 65/100 ya nambari 1,200.

2) Ulilipa pesa ngapi kwa ghorofa yenye joto? Kuzingatia sawa na ile iliyotangulia, tunafika kwenye hesabu ifuatayo:

3) Ulilipa pesa ngapi kwa gesi, umeme na redio?

4) Kiasi gani cha fedha kilitumika kwa mahitaji ya kitamaduni?

5) Je, mfanyakazi aliokoa pesa ngapi?

Ili kuangalia, ni muhimu kujumlisha nambari zinazopatikana katika maswali haya 5. Kiasi kinapaswa kuwa rubles 1,200. Mapato yote yanachukuliwa kama 100%, ambayo ni rahisi kuangalia kwa kujumlisha nambari za asilimia zilizotolewa katika taarifa ya tatizo.

Tulitatua shida tatu. Licha ya ukweli kwamba matatizo haya yalishughulikiwa na mambo tofauti (utoaji wa kuni kwa shule, idadi ya watoto wa umri tofauti, gharama za mfanyakazi), yalitatuliwa kwa njia ile ile. Hii ilitokea kwa sababu katika matatizo yote ilikuwa ni lazima kupata asilimia kadhaa ya idadi iliyotolewa.

§ 90. Mgawanyiko wa sehemu.

Tunaposoma mgawanyiko wa sehemu, tutazingatia maswali yafuatayo:

1. Gawanya nambari kamili kwa nambari kamili.
2. Kugawanya sehemu kwa nambari nzima
3. Kugawanya nambari nzima kwa sehemu.
4. Kugawanya sehemu kwa sehemu.
5. Mgawanyiko wa namba mchanganyiko.
6. Kupata nambari kutoka kwa sehemu yake iliyotolewa.
7. Kupata nambari kwa asilimia yake.

Hebu tuzingatie kwa mfuatano.

1. Gawanya nambari kamili kwa nambari kamili.

Kama ilivyoonyeshwa katika idara ya nambari, mgawanyiko ni hatua ambayo inajumuisha ukweli kwamba, kwa kuzingatia bidhaa ya mambo mawili (gawio) na moja ya mambo haya (kigawanyiko), sababu nyingine hupatikana.

Tuliangalia kugawanya nambari kamili kwa nambari kamili katika sehemu ya nambari kamili. Tulikumbana na visa viwili vya mgawanyiko huko: mgawanyiko bila salio, au "kabisa" (150: 10 = 15), na mgawanyiko na salio (100: 9 = 11 na 1 iliyobaki). Kwa hivyo tunaweza kusema kwamba katika uwanja wa nambari kamili, mgawanyiko halisi hauwezekani kila wakati, kwa sababu mgao sio kila wakati bidhaa ya mgawanyiko na nambari kamili. Baada ya kuanzisha kuzidisha kwa sehemu, tunaweza kuzingatia kesi yoyote ya mgawanyiko wa nambari kamili iwezekanavyo (mgawanyiko kwa sifuri pekee haujajumuishwa).

Kwa mfano, kugawanya 7 na 12 kunamaanisha kupata nambari ambayo bidhaa yake kwa 12 itakuwa sawa na 7. Nambari kama hiyo ni sehemu 7/12 kwa sababu 7/12 12 = 7. Mfano mwingine: 14: 25 = 14/25, kwa sababu 14/25 25 = 14.

Kwa hivyo, ili kugawanya nambari nzima kwa nambari nzima, unahitaji kuunda sehemu ambayo nambari yake ni sawa na gawio na denominator ni sawa na kigawanyiko.

2. Kugawanya sehemu kwa nambari nzima.

Gawanya sehemu ya 6/7 na 3. Kwa mujibu wa ufafanuzi wa mgawanyiko uliotolewa hapo juu, tuna hapa bidhaa (6/7) na moja ya mambo (3); inahitajika kupata sababu ya pili ambayo, ikizidishwa na 3, ingeipa bidhaa iliyotolewa 6/7. Kwa wazi, inapaswa kuwa ndogo mara tatu kuliko bidhaa hii. Hii ina maana kwamba kazi iliyowekwa mbele yetu ilikuwa kupunguza sehemu 6/7 kwa mara 3.

Tayari tunajua kuwa kupunguza sehemu kunaweza kufanywa ama kwa kupunguza nambari yake au kwa kuongeza dhehebu lake. Kwa hivyo unaweza kuandika:

Katika kesi hii, nambari 6 inaweza kugawanywa na 3, kwa hivyo nambari inapaswa kupunguzwa kwa mara 3.

Wacha tuchukue mfano mwingine: 5 / 8 ikigawanywa na 2. Hapa nambari 5 haigawanyiki na 2, ambayo inamaanisha kuwa kiashiria kitalazimika kuzidishwa na nambari hii:

Kulingana na hili, sheria inaweza kufanywa: Ili kugawanya sehemu kwa nambari nzima, unahitaji kugawanya nambari ya sehemu kwa nambari hiyo yote.(ikiwezekana), ukiacha dhehebu sawa, au zidisha dhehebu la sehemu kwa nambari hii, ukiacha nambari sawa.

3. Kugawanya nambari nzima kwa sehemu.

Hebu iwe ni muhimu kugawanya 5 kwa 1/2, yaani, kupata nambari ambayo, baada ya kuzidisha kwa 1/2, itatoa bidhaa 5. Kwa wazi, nambari hii lazima iwe kubwa kuliko 5, kwa kuwa 1/2 ni sehemu sahihi. , na wakati wa kuzidisha nambari bidhaa ya sehemu inayofaa lazima iwe chini ya bidhaa inayozidishwa. Ili kufanya hili wazi zaidi, hebu tuandike matendo yetu kama ifuatavyo: 5: 1 / 2 = X , ambayo ina maana x 1 / 2 = 5.

Lazima tupate nambari kama hiyo X , ambayo, ikizidishwa na 1/2, ingetoa 5. Kwa kuwa kuzidisha nambari fulani kwa 1/2 kunamaanisha kupata 1/2 ya nambari hii, basi, kwa hiyo, 1/2 ya nambari isiyojulikana. X ni sawa na 5, na nambari nzima X mara mbili zaidi, yaani 5 2 = 10.

Kwa hivyo 5: 1/2 = 5 2 = 10

Hebu tuangalie:

Hebu tuangalie mfano mwingine. Hebu tuseme unataka kugawanya 6 kwa 2/3. Hebu tujaribu kwanza kupata matokeo yaliyohitajika kwa kutumia kuchora (Mchoro 19).

Mtini.19

Wacha tuchore sehemu ya AB sawa na vitengo 6, na tugawanye kila kitengo katika sehemu 3 sawa. Katika kila kitengo, theluthi tatu (3/3) ya sehemu nzima ya AB ni kubwa mara 6, i.e. e. Kutumia mabano madogo, tunaunganisha sehemu 18 zinazosababisha 2; Kutakuwa na sehemu 9 tu. Hii inamaanisha kuwa sehemu 2/3 iko katika vitengo 6 mara 9, au, kwa maneno mengine, sehemu 2/3 ni mara 9 chini ya vitengo 6 nzima. Kwa hivyo,

Jinsi ya kupata matokeo haya bila kuchora kwa kutumia mahesabu peke yake? Wacha tufikirie kama hii: tunahitaji kugawanya 6 na 2/3, i.e. tunahitaji kujibu swali ni mara ngapi 2/3 iko katika 6. Hebu tujue kwanza: ni mara ngapi 1/3 iko katika 6? Katika kitengo kizima kuna theluthi 3, na katika vitengo 6 kuna mara 6 zaidi, yaani theluthi 18; ili kupata nambari hii tunapaswa kuzidisha 6 kwa 3. Hii ina maana kwamba 1/3 iko katika vitengo vya b mara 18, na 2/3 iko katika vitengo vya b si mara 18, lakini nusu mara nyingi, yaani 18: 2 = 9. Kwa hivyo, wakati wa kugawanya 6 kwa 2/3 tulifanya yafuatayo:

Kuanzia hapa tunapata sheria ya kugawanya nambari nzima kwa sehemu. Ili kugawanya nambari nzima kwa sehemu, unahitaji kuzidisha nambari hii yote kwa dhehebu la sehemu uliyopewa na, ukifanya bidhaa hii kuwa nambari, ugawanye na nambari ya sehemu uliyopewa.

Wacha tuandike sheria kwa kutumia herufi:

Ili kufanya sheria hii iwe wazi kabisa, ikumbukwe kwamba sehemu inaweza kuzingatiwa kama mgawo. Kwa hivyo, ni muhimu kulinganisha sheria iliyopatikana na sheria ya kugawa nambari na mgawo, ambayo iliwekwa katika § 38. Tafadhali kumbuka kuwa fomula sawa ilipatikana hapo.

Wakati wa kugawanya, vifupisho vinawezekana, kwa mfano:

4. Kugawanya sehemu kwa sehemu.

Wacha tuseme tunahitaji kugawanya 3/4 na 3/8. Nambari inayotokana na mgawanyiko itamaanisha nini? Itajibu swali ni mara ngapi sehemu ya 3/8 iko kwenye sehemu ya 3/4. Ili kuelewa suala hili, hebu tufanye kuchora (Mchoro 20).

Wacha tuchukue sehemu ya AB, tuichukue kama moja, tugawanye katika sehemu 4 sawa na alama sehemu 3 kama hizo. Sehemu ya AC itakuwa sawa na 3/4 ya sehemu ya AB. Wacha sasa tugawanye kila moja ya sehemu nne za asili kwa nusu, kisha sehemu ya AB itagawanywa katika sehemu 8 sawa na kila sehemu kama hiyo itakuwa sawa na 1/8 ya sehemu ya AB. Hebu tuunganishe sehemu 3 kama hizo na arcs, basi kila moja ya sehemu AD na DC itakuwa sawa na 3/8 ya sehemu ya AB. Mchoro unaonyesha kuwa sehemu sawa na 3/8 iko katika sehemu sawa na 3/4 haswa mara 2; Hii inamaanisha kuwa matokeo ya mgawanyiko yanaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Hebu tuangalie mfano mwingine. Wacha tuseme tunahitaji kugawanya 15/16 na 3/32:

Tunaweza kusababu kama hii: tunahitaji kupata nambari ambayo, baada ya kuzidisha kwa 3/32, itatoa bidhaa sawa na 15/16. Wacha tuandike mahesabu kama haya:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 nambari isiyojulikana X ni 15/16

1/32 ya nambari isiyojulikana X ni,

Nambari 32/32 X make up.

Kwa hivyo,

Kwa hivyo, ili kugawanya sehemu kwa sehemu, unahitaji kuzidisha nambari ya sehemu ya kwanza na dhehebu ya pili, na kuzidisha dhehebu la sehemu ya kwanza na nambari ya pili, na kufanya bidhaa ya kwanza kuwa nambari. na ya pili denominator.

Wacha tuandike sheria kwa kutumia herufi:

Wakati wa kugawanya, vifupisho vinawezekana, kwa mfano:

5. Mgawanyiko wa namba mchanganyiko.

Wakati wa kugawanya nambari zilizochanganywa, lazima kwanza zibadilishwe kuwa sehemu zisizofaa, na kisha sehemu zinazosababishwa lazima zigawanywe kulingana na sheria za kugawa sehemu. Hebu tuangalie mfano:

Wacha tubadilishe nambari zilizochanganywa kuwa sehemu zisizofaa:

Sasa hebu tugawanye:

Kwa hivyo, kugawanya nambari zilizochanganywa, unahitaji kuzibadilisha kuwa sehemu zisizofaa na kisha ugawanye kwa kutumia sheria ya kugawanya sehemu.

6. Kupata nambari kutoka kwa sehemu yake iliyotolewa.

Miongoni mwa matatizo mbalimbali ya sehemu, wakati mwingine kuna wale ambao thamani ya sehemu fulani ya nambari isiyojulikana hutolewa na unahitaji kupata nambari hii. Aina hii ya shida itakuwa kinyume cha shida ya kupata sehemu ya nambari fulani; kuna nambari ilitolewa na ilitakiwa kupata sehemu fulani ya nambari hii, hapa sehemu ya nambari ilitolewa na ilihitajika kupata nambari hii yenyewe. Wazo hili litakuwa wazi zaidi ikiwa tutageuka kutatua aina hii ya shida.

Jukumu la 1. Siku ya kwanza, glaziers ziliangazia madirisha 50, ambayo ni 1/3 ya madirisha yote ya nyumba iliyojengwa. Je, kuna madirisha mangapi katika nyumba hii?

Suluhisho. Tatizo linasema kuwa madirisha 50 ya glazed hufanya 1/3 ya madirisha yote ya nyumba, ambayo ina maana kuna madirisha mara 3 zaidi kwa jumla, i.e.

Nyumba hiyo ilikuwa na madirisha 150.

Jukumu la 2. Duka hilo liliuza kilo 1,500 za unga, ambayo ni 3/8 ya jumla ya unga ambao duka lilikuwa nao. Ugavi wa kwanza wa unga wa duka ulikuwa nini?

Suluhisho. Kutokana na hali ya tatizo ni wazi kwamba kilo 1,500 za unga unaouzwa ni 3/8 ya jumla ya hisa; Hii inamaanisha kuwa 1/8 ya hifadhi hii itakuwa chini mara 3, i.e. kuhesabu unahitaji kupunguza 1500 kwa mara 3:

1,500: 3 = 500 (hii ni 1/8 ya hifadhi).

Kwa wazi, usambazaji wote utakuwa mkubwa mara 8. Kwa hivyo,

500 8 = 4,000 (kg).

Hifadhi ya awali ya unga katika duka ilikuwa kilo 4,000.

Kwa kuzingatia shida hii, sheria ifuatayo inaweza kupatikana.

Ili kupata nambari kutoka kwa thamani fulani ya sehemu yake, inatosha kugawanya thamani hii na nambari ya sehemu na kuzidisha matokeo na denominator ya sehemu.

Tulitatua shida mbili za kupata nambari kutokana na sehemu yake. Shida kama hizo, kama inavyoonekana wazi kutoka kwa ile ya mwisho, hutatuliwa na vitendo viwili: mgawanyiko (wakati sehemu moja inapatikana) na kuzidisha (wakati nambari nzima inapatikana).

Walakini, baada ya kujifunza mgawanyiko wa sehemu, shida zilizo hapo juu zinaweza kutatuliwa kwa hatua moja, ambayo ni: mgawanyiko kwa sehemu.

Kwa mfano, kazi ya mwisho inaweza kutatuliwa kwa hatua moja kama hii:

Katika siku zijazo, tutasuluhisha shida za kupata nambari kutoka kwa sehemu yake na hatua moja - mgawanyiko.

7. Kupata nambari kwa asilimia yake.

Katika matatizo haya utahitaji kupata namba inayojua asilimia chache ya nambari hiyo.

Jukumu la 1. Mwanzoni mwa mwaka huu nilipokea rubles 60 kutoka benki ya akiba. mapato kutoka kwa kiasi nilichoweka akiba mwaka mmoja uliopita. Je, nimeweka pesa ngapi kwenye benki ya akiba? (Madawati ya pesa huwapa wenye amana faida ya 2% kwa mwaka.)

Suala la tatizo ni kwamba niliweka kiasi fulani cha fedha kwenye benki ya akiba na kukaa huko kwa mwaka mmoja. Baada ya mwaka mmoja, nilipokea rubles 60 kutoka kwake. mapato, ambayo ni 2/100 ya pesa nilizoweka. Nimeweka pesa ngapi?

Kwa hivyo, kujua sehemu ya pesa hii, iliyoonyeshwa kwa njia mbili (kwa rubles na sehemu), lazima tupate jumla, ambayo bado haijulikani, kiasi. Hili ni shida ya kawaida ya kupata nambari kutokana na sehemu yake. Shida zifuatazo zinatatuliwa kwa mgawanyiko:

Hii ina maana kwamba rubles 3,000 ziliwekwa katika benki ya akiba.

Jukumu la 2. Wavuvi walitimiza mpango wa kila mwezi kwa 64% katika wiki mbili, wakivuna tani 512 za samaki. Mpango wao ulikuwa nini?

Kutokana na hali ya tatizo inajulikana kuwa wavuvi walikamilisha sehemu ya mpango huo. Sehemu hii ni sawa na tani 512, ambayo ni 64% ya mpango. Hatujui ni tani ngapi za samaki zinahitajika kutayarishwa kulingana na mpango huo. Kupata nambari hii itakuwa suluhisho la shida.

Shida kama hizo hutatuliwa kwa mgawanyiko:

Hii ina maana kuwa kulingana na mpango huo, tani 800 za samaki zinahitajika kutayarishwa.

Jukumu la 3. Treni ilitoka Riga kwenda Moscow. Alipopita kilomita 276, mmoja wa abiria alimuuliza kondakta aliyepita kiasi cha safari ambayo tayari walikuwa wamesafiri. Kondakta alijibu hivi: “Tayari tumechukua asilimia 30 ya safari nzima.” Ni umbali gani kutoka Riga hadi Moscow?

Kutoka kwa hali ya shida ni wazi kuwa 30% ya njia kutoka Riga hadi Moscow ni 276 km. Tunahitaji kupata umbali mzima kati ya miji hii, i.e., kwa sehemu hii, pata nzima:

§ 91. Nambari za kubadilishana. Kubadilisha mgawanyiko na kuzidisha.

Hebu tuchukue sehemu ya 2/3 na kuchukua nafasi ya nambari badala ya denominator, tunapata 3/2. Tulipata kinyume cha sehemu hii.

Ili kupata kinyume cha sehemu fulani, unahitaji kuweka nambari yake badala ya denominator, na denominator badala ya nambari. Kwa njia hii tunaweza kupata usawa wa sehemu yoyote. Kwa mfano:

3/4, kinyume 4/3; 5/6, kinyume 6/5

Sehemu mbili ambazo zina mali ambayo nambari ya kwanza ni denominator ya pili, na denominator ya kwanza ni nambari ya pili, huitwa. kinyume.

Sasa hebu tufikirie juu ya sehemu gani itakuwa ya 1/2. Ni wazi, itakuwa 2/1, au 2 tu. Kwa kutafuta sehemu inverse ya ile iliyotolewa, tulipata nambari kamili. Na kesi hii haijatengwa; kinyume chake, kwa sehemu zote zilizo na nambari ya 1 (moja), reciprocals zitakuwa nambari kamili, kwa mfano:

1/3, kinyume cha 3; 1/5, kinyume 5

Kwa kuwa katika kutafuta sehemu za kuheshimiana pia tulikutana na nambari kamili, katika kile kinachofuata hatutazungumza juu ya sehemu zinazofanana, lakini juu ya nambari zinazofanana.

Wacha tujue jinsi ya kuandika inverse ya nambari kamili. Kwa sehemu, hii inaweza kutatuliwa kwa urahisi: unahitaji kuweka denominator badala ya nambari. Kwa njia hiyo hiyo, unaweza kupata inverse ya integer, kwa kuwa integer yoyote inaweza kuwa na denominator ya 1. Hii ina maana kwamba inverse ya 7 itakuwa 1/7, kwa sababu 7 = 7/1; kwa nambari 10 inverse itakuwa 1/10, kwani 10 = 10/1

Wazo hili linaweza kuonyeshwa kwa njia tofauti: mrejesho wa nambari fulani hupatikana kwa kugawanya moja kwa nambari fulani. Taarifa hii ni kweli sio tu kwa nambari nzima, lakini pia kwa sehemu. Kwa kweli, ikiwa tunahitaji kuandika kinyume cha sehemu ya 5/9, basi tunaweza kuchukua 1 na kuigawanya kwa 5/9, i.e.

Sasa hebu tuonyeshe jambo moja mali nambari za kubadilishana, ambazo zitakuwa na manufaa kwetu: bidhaa ya nambari za kubadilishana ni sawa na moja. Hakika:

Kutumia mali hii, tunaweza kupata nambari za kubadilishana kwa njia ifuatayo. Wacha tuseme tunahitaji kupata ubadilishaji wa 8.

Hebu tuashirie kwa barua X , kisha 8 X = 1, kwa hivyo X = 1/8. Wacha tutafute nambari nyingine ambayo ni kinyume cha 7/12 na tuiashiria kwa herufi X , kisha 7/12 X = 1, kwa hivyo X = 1: 7/12 au X = 12 / 7 .

Tulianzisha hapa dhana ya nambari za kubadilishana ili kuongeza kidogo habari kuhusu kugawanya sehemu.

Tunapogawanya nambari 6 na 3/5, tunafanya yafuatayo:

Zingatia sana usemi na ulinganishe na uliyopewa: .

Ikiwa tunachukua usemi kando, bila kuunganishwa na uliopita, basi haiwezekani kutatua swali la wapi lilitoka: kutoka kwa kugawanya 6 na 3/5 au kutoka kwa kuzidisha 6 kwa 5/3. Katika visa vyote viwili kitu kimoja kinatokea. Kwa hivyo tunaweza kusema kwamba kugawanya nambari moja na nyingine kunaweza kubadilishwa na kuzidisha mgao na kinyume cha kigawanyiko.

Mifano tunayotoa hapa chini inathibitisha kikamilifu hitimisho hili.