Jinsi ya kugawanya nambari za tarakimu nyingi kwa nambari za tarakimu mbili kwa kutumia safu wima. Siri ya mwalimu mwenye uzoefu: jinsi ya kuelezea mgawanyiko mrefu kwa mtoto

Mgawanyiko nambari za asili, haswa zile za polysemantic, zinafanywa kwa urahisi kwa kutumia njia maalum, inayoitwa mgawanyiko kwa safu (katika safu). Unaweza pia kupata jina mgawanyiko wa kona. Hebu tukumbuke mara moja kwamba safu inaweza kutumika kugawanya nambari za asili bila salio na kugawanya nambari za asili na salio.

Katika makala hii tutaangalia muda gani mgawanyiko unafanywa. Hapa tutazungumzia kuhusu sheria za kurekodi na mahesabu yote ya kati. Kwanza, hebu tuzingatie kugawanya nambari asilia yenye tarakimu nyingi na nambari ya tarakimu moja na safu wima. Baada ya hayo, tutazingatia kesi wakati gawio na mgawanyiko ni nambari za asili zenye thamani nyingi. Nadharia nzima ya makala hii hutolewa kwa mifano ya kawaida ya mgawanyiko na safu ya namba za asili na maelezo ya kina ya ufumbuzi na vielelezo.

Urambazaji wa ukurasa.

Sheria za kurekodi wakati wa kugawanya kwa safu

Wacha tuanze kwa kusoma sheria za kuandika mgawanyiko, mgawanyiko, mahesabu yote ya kati na matokeo wakati wa kugawanya nambari za asili kwa safu. Wacha tuseme mara moja kuwa ni rahisi zaidi kufanya mgawanyiko wa safu kwa maandishi kwenye karatasi na mstari wa checkered - kwa njia hii kuna nafasi ndogo ya kupotea kutoka kwa safu na safu inayotaka.

Kwanza, mgawanyiko na mgawanyiko umeandikwa kwa mstari mmoja kutoka kushoto kwenda kulia, baada ya hapo ishara ya fomu hutolewa kati ya nambari zilizoandikwa. Kwa mfano, ikiwa mgao ni nambari 6 105 na kigawanyaji ni 5 5, basi rekodi yao sahihi wakati wa kugawanya safu itakuwa kama ifuatavyo.

Angalia mchoro ufuatao ili kuonyesha mahali pa kuandika gawio, kigawanyaji, mgawo, salio, na hesabu za kati katika mgawanyo mrefu.

Kutoka kwenye mchoro hapo juu ni wazi kwamba mgawo unaohitajika (au mgawo usio kamili wakati wa kugawanya na salio) utaandikwa chini ya mgawanyiko chini ya mstari wa usawa. Na mahesabu ya kati yatafanyika chini ya gawio, na unahitaji kutunza mapema juu ya upatikanaji wa nafasi kwenye ukurasa. Katika kesi hiyo, mtu anapaswa kuongozwa na utawala: nini tofauti zaidi katika idadi ya tarakimu katika maingizo ya gawio na mgawanyiko, nafasi zaidi inahitajika. Kwa mfano, wakati wa kugawanya kwa safu nambari ya asili 614,808 na 51,234 (614,808 ni nambari ya tarakimu sita, 51,234 ni nambari ya tarakimu tano, tofauti katika idadi ya wahusika katika rekodi ni 6-5 = 1), kati. mahesabu yatahitaji nafasi ndogo kuliko wakati wa kugawanya nambari 8 058 na 4 (hapa tofauti katika idadi ya wahusika ni 4-1=3). Ili kudhibitisha maneno yetu, tunawasilisha rekodi kamili za mgawanyiko kwa safu ya nambari hizi asilia:

Sasa unaweza kuendelea moja kwa moja kwenye mchakato wa kugawanya nambari za asili kwa safu.

Mgawanyo wa safu wima ya nambari asilia kwa nambari asilia yenye tarakimu moja, algoriti ya mgawanyo wa safu wima

Ni wazi kwamba kugawanya nambari ya asili ya tarakimu moja na nyingine ni rahisi sana, na hakuna sababu ya kugawanya nambari hizi kwenye safu. Hata hivyo, itasaidia kufanya mazoezi ya ujuzi wako wa awali wa kugawanya kwa muda mrefu kwa mifano hii rahisi.

Mfano.

Wacha tugawanye na safu ya 8 na 2.

Suluhisho.

Bila shaka, tunaweza kufanya mgawanyiko kwa kutumia jedwali la kuzidisha, na mara moja tuandike jibu 8:2=4.

Lakini tunavutiwa na jinsi ya kugawanya nambari hizi na safu.

Kwanza, tunaandika mgawanyiko 8 na mgawanyiko 2 kama inavyotakiwa na njia:

Sasa tunaanza kujua ni mara ngapi kigawanyaji kiko kwenye gawio. Ili kufanya hivyo, tunazidisha mgawanyiko kwa nambari 0, 1, 2, 3 ... hadi matokeo yawe nambari sawa na gawio (au nambari kubwa kuliko gawio, ikiwa kuna mgawanyiko na salio. ) Ikiwa tunapata nambari sawa na gawio, basi tunaiandika mara moja chini ya mgawanyiko, na badala ya mgawo tunaandika nambari ambayo tulizidisha mgawanyiko. Ikiwa tunapata nambari kubwa kuliko gawio, basi chini ya mgawanyiko tunaandika nambari iliyohesabiwa kwa hatua ya mwisho, na badala ya mgawo usio kamili tunaandika nambari ambayo mgawanyiko ulizidishwa kwa hatua ya mwisho.

Twende: 2·0=0 ; 2 1=2 ; 2·2=4 ; 2·3=6 ; 2 · 4=8. Tumepokea nambari sawa na gawio, kwa hivyo tunaiandika chini ya mgawo, na badala ya mgawo tunaandika nambari 4. Katika kesi hii, kiingilio kitakubali mtazamo unaofuata:

Hatua ya mwisho ya kugawanya nambari za asili za nambari moja na safu inabaki. Chini ya nambari iliyoandikwa chini ya mgawanyiko, unahitaji kuteka mstari wa usawa, na uondoe nambari zilizo juu ya mstari huu kwa njia sawa na inafanywa wakati wa kuondoa nambari za asili kwenye safu. Nambari inayotokana na kutoa itakuwa salio la mgawanyiko. Ikiwa ni sawa na sifuri, basi nambari za asili zinagawanywa bila salio.

Katika mfano wetu tunapata

Sasa tunayo rekodi iliyokamilishwa ya mgawanyiko wa safu ya nambari 8 na 2. Tunaona kwamba nukuu ya 8:2 ni 4 (na iliyobaki ni 0).

Jibu:

8:2=4 .

Sasa hebu tuangalie jinsi safu wima inavyogawanya nambari asili za tarakimu moja na salio.

Mfano.

Gawanya na safu wima 7 kwa 3.

Suluhisho.

Washa hatua ya awali kiingilio kinaonekana kama hii:

Tunaanza kujua ni mara ngapi gawio lina mgawanyiko. Tutazidisha 3 kwa 0, 1, 2, 3, nk. hadi tupate nambari sawa na au kubwa kuliko gawio la 7. Tunapata 3·0=0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (ikiwa ni lazima, rejea kifungu kulinganisha nambari za asili). Chini ya mgawanyiko tunaandika nambari 6 (ilipatikana kwa hatua ya mwisho), na badala ya mgawo usio kamili tunaandika nambari 2 (kuzidisha kulifanyika nayo kwa hatua ya mwisho).

Inabakia kutekeleza uondoaji, na mgawanyiko kwa safu ya nambari za asili za tarakimu moja 7 na 3 zitakamilika.

Kwa hivyo, sehemu ya mgawo ni 2 na iliyobaki ni 1.

Jibu:

7:3=2 (pumziko. 1) .

Sasa unaweza kuendelea na kugawanya nambari asili za tarakimu nyingi kwa safu wima hadi nambari asilia zenye tarakimu moja.

Sasa tutaelewa algorithm ya mgawanyiko mrefu. Katika kila hatua, tutawasilisha matokeo yaliyopatikana kwa kugawanya nambari asilia yenye tarakimu nyingi 140,288 na nambari asilia yenye tarakimu moja 4. Mfano huu haukuchaguliwa kwa bahati, kwani wakati wa kutatua tutakutana na nuances zote zinazowezekana na tutaweza kuchambua kwa undani.

Kwanza tunaangalia tarakimu ya kwanza upande wa kushoto katika nukuu ya mgao. Ikiwa nambari iliyofafanuliwa na takwimu hii ni kubwa zaidi kuliko mgawanyiko, basi katika aya inayofuata tunapaswa kufanya kazi na nambari hii. Ikiwa nambari hii ni chini ya mgawanyiko, basi tunahitaji kuongeza kwa kuzingatia tarakimu inayofuata upande wa kushoto katika nukuu ya gawio, na kuendelea kufanya kazi na nambari iliyopangwa na tarakimu mbili zinazozingatiwa. Kwa urahisi, tunaangazia katika nukuu yetu nambari ambayo tutafanya kazi nayo.

Nambari ya kwanza kutoka kushoto katika nukuu ya gawio 140288 ni nambari 1. Nambari 1 ni chini ya kigawanyaji 4, kwa hivyo tunaangalia pia tarakimu inayofuata upande wa kushoto katika nukuu ya gawio. Wakati huo huo, tunaona nambari 14, ambayo tunapaswa kufanya kazi zaidi. Tunaangazia nambari hii katika nukuu ya mgao.

Hatua zifuatazo kutoka kwa pili hadi ya nne zinarudiwa kwa mzunguko hadi mgawanyiko wa nambari za asili na safu umekamilika.

Sasa tunahitaji kuamua ni mara ngapi kigawanyaji kiko katika nambari tunayofanya kazi nayo (kwa urahisi, wacha tuonyeshe nambari hii kama x). Ili kufanya hivyo, tunazidisha mgawanyiko kwa 0, 1, 2, 3, ... hadi tupate nambari x au nambari kubwa kuliko x. Wakati nambari ya x inapatikana, tunaiandika chini ya nambari iliyoangaziwa kulingana na sheria za kurekodi zinazotumiwa wakati wa kutoa nambari za asili kwenye safu. Nambari ambayo kuzidisha kulifanyika imeandikwa mahali pa mgawo wakati wa kupitisha kwanza kwa algorithm (katika kupita zifuatazo za pointi 2-4 za algorithm, nambari hii imeandikwa kwa haki ya nambari tayari huko). Wakati nambari inapopatikana ambayo ni kubwa kuliko nambari x, basi chini ya nambari iliyoangaziwa tunaandika nambari iliyopatikana kwa hatua ya mwisho, na badala ya mgawo (au kulia kwa nambari tayari hapo) tunaandika nambari kwa ambayo kuzidisha kulifanyika katika hatua ya mwisho. (Tulifanya vitendo sawa katika mifano miwili iliyojadiliwa hapo juu).

Zidisha kigawanya 4 kwa nambari 0, 1, 2, ... hadi tupate nambari ambayo ni sawa na 14 au kubwa kuliko 14. Tuna 4·0=0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>14 . Kwa kuwa katika hatua ya mwisho tulipokea nambari ya 16, ambayo ni kubwa kuliko 14, basi chini ya nambari iliyoangaziwa tunaandika nambari 12, ambayo ilipatikana kwa hatua ya mwisho, na badala ya mgawo tunaandika nambari 3, kwani katika hatua ya mwisho ya kuzidisha ilifanywa kwa usahihi nayo.

Katika hatua hii, kutoka kwa nambari iliyochaguliwa, toa nambari iliyo chini yake kwa kutumia safu. Matokeo ya kutoa yameandikwa chini ya mstari wa usawa. Hata hivyo, ikiwa matokeo ya kutoa ni sifuri, basi haina haja ya kuandikwa (isipokuwa kutoa katika hatua hiyo ni hatua ya mwisho kabisa ambayo inakamilisha kabisa mchakato wa mgawanyiko mrefu). Hapa, kwa udhibiti wako mwenyewe, haitakuwa mbaya kulinganisha matokeo ya kutoa na kigawanyaji na uhakikishe kuwa ni chini ya mgawanyiko. Vinginevyo, kosa lilifanywa mahali fulani.

Tunahitaji kuondoa nambari 12 kutoka kwa nambari 14 na safu (kwa usahihi wa kurekodi, lazima tukumbuke kuweka ishara ya minus upande wa kushoto wa nambari zinazotolewa). Baada ya kukamilisha hatua hii, nambari ya 2 ilionekana chini ya mstari wa usawa. Sasa tunaangalia mahesabu yetu kwa kulinganisha nambari inayosababisha na mgawanyiko. Kwa kuwa nambari ya 2 ni chini ya kigawanyaji 4, unaweza kuendelea kwa usalama hadi hatua inayofuata.

Sasa, chini ya mstari wa usawa wa kulia wa nambari ziko pale (au kwa haki ya mahali ambapo hatukuandika sifuri), tunaandika nambari iliyo kwenye safu sawa katika nukuu ya gawio. Ikiwa hakuna nambari katika rekodi ya gawio katika safu hii, basi mgawanyiko kwa safu unaishia hapo. Baada ya hayo, tunachagua nambari iliyoundwa chini ya mstari wa usawa, tuikubali kama nambari ya kufanya kazi, na kurudia alama 2 hadi 4 za algorithm nayo.

Chini ya mstari wa mlalo upande wa kulia wa nambari 2 tayari, tunaandika nambari 0, kwani ni nambari 0 ambayo iko kwenye rekodi ya mgawanyiko 140,288 kwenye safu hii. Kwa hivyo, nambari ya 20 huundwa chini ya mstari wa usawa.

Tunachagua nambari hii 20, ichukue kama nambari ya kufanya kazi, na kurudia nayo vitendo vya alama ya pili, ya tatu na ya nne ya algorithm.

Zidisha kigawanya 4 kwa 0, 1, 2, ... hadi tupate nambari 20 au nambari ambayo ni kubwa kuliko 20. Tuna 4·0=0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).

Tunafanya kutoa kwa safu. Kwa kuwa tunaondoa nambari za asili sawa, basi kwa sababu ya mali ya kutoa nambari za asili sawa, matokeo ni sifuri. Hatuna kuandika sifuri (kwa kuwa hii sio hatua ya mwisho ya mgawanyiko na safu), lakini tunakumbuka mahali ambapo tunaweza kuiandika (kwa urahisi, tutaweka mahali hapa na mstatili mweusi).

Chini ya mstari wa mlalo upande wa kulia wa mahali pa kukumbukwa tunaandika nambari 2, kwa kuwa ni hasa ambayo iko kwenye rekodi ya gawio 140,288 katika safu hii. Kwa hivyo, chini ya mstari wa usawa tunayo nambari 2.

Tunachukua nambari ya 2 kama nambari ya kufanya kazi, weka alama, na tutalazimika tena kufanya vitendo vya alama 2-4 za algorithm.

Tunazidisha kigawanyiko kwa 0, 1, 2, na kadhalika, na kulinganisha nambari zinazosababishwa na nambari iliyo alama 2. Tuna 4·0=0<2 , 4·1=4>2. Kwa hivyo, chini ya nambari iliyowekwa alama tunaandika nambari 0 (ilipatikana kwa hatua ya mwisho), na mahali pa mgawo wa kulia wa nambari tayari tunaandika nambari 0 (tulizidisha na 0 kwa hatua ya mwisho. )

Tunafanya uondoaji kwenye safu, tunapata nambari ya 2 chini ya mstari wa usawa. Tunajiangalia kwa kulinganisha nambari inayosababishwa na kigawanyaji 4. Tangu 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.

Chini ya mstari wa mlalo upande wa kulia wa nambari 2, ongeza nambari 8 (kwa kuwa iko kwenye safu hii kwenye kiingilio cha mgao 140 288). Kwa hivyo, nambari ya 28 inaonekana chini ya mstari wa usawa.

Tunachukua nambari hii kama nambari ya kufanya kazi, weka alama, na kurudia hatua 2-4.

Hakupaswi kuwa na matatizo yoyote hapa ikiwa umekuwa mwangalifu hadi sasa. Baada ya kukamilisha hatua zote muhimu, matokeo yafuatayo yanapatikana.

Kilichobaki ni kutekeleza hatua kutoka kwa alama 2, 3, 4 mara ya mwisho (tunakuachia hii), baada ya hapo utapata picha kamili ya kugawanya nambari za asili 140,288 na 4 kwenye safu:

Tafadhali kumbuka kuwa nambari 0 imeandikwa katika mstari wa chini kabisa. Ikiwa hii haikuwa hatua ya mwisho ya mgawanyiko kwa safu (ambayo ni, ikiwa katika rekodi ya mgawanyiko kulikuwa na nambari zilizoachwa kwenye safu upande wa kulia), basi hatungeandika sifuri hii.

Kwa hivyo, tukiangalia rekodi iliyokamilishwa ya kugawanya nambari ya asili ya nambari nyingi 140,288 na nambari ya asili ya nambari 4, tunaona kwamba mgawo ni nambari 35,072 (na sehemu iliyobaki ni sifuri, iko chini kabisa. mstari).

Kwa kweli, wakati wa kugawanya nambari za asili kwa safu, hautaelezea vitendo vyako vyote kwa undani kama huo. Suluhu zako zitaonekana kama mifano ifuatayo.

Mfano.

Tekeleza mgawanyiko mrefu ikiwa mgao ni 7 136 na kigawanyaji ni nambari asilia ya tarakimu moja 9.

Suluhisho.

Katika hatua ya kwanza ya algorithm ya kugawanya nambari za asili kwa nguzo, tunapata rekodi ya fomu

Baada ya kufanya vitendo kutoka kwa pointi ya pili, ya tatu na ya nne ya algorithm, rekodi ya mgawanyiko wa safu itachukua fomu

Kurudia mzunguko, tutakuwa na

Pasi moja zaidi itatupa picha kamili ya mgawanyiko wa safu ya nambari za asili 7,136 na 9

Kwa hivyo, sehemu ya mgawo ni 792, na iliyobaki ni 8.

Jibu:

7 136:9=792 (pumziko. 8) .

Na mfano huu unaonyesha jinsi mgawanyiko mrefu unapaswa kuonekana.

Mfano.

Gawanya nambari asilia 7,042,035 kwa nambari asilia ya tarakimu moja 7.

Suluhisho.

Njia rahisi zaidi ya kufanya mgawanyiko ni kwa safu.

Jibu:

7 042 035:7=1 006 005 .

Mgawanyiko wa safu wima wa nambari asilia zenye tarakimu nyingi

Tuna haraka kukufurahisha: ikiwa umefahamu vizuri algorithm ya mgawanyiko wa safu kutoka kwa aya iliyotangulia ya kifungu hiki, basi karibu tayari unajua jinsi ya kufanya. mgawanyiko wa safu ya nambari za asili za tarakimu nyingi. Hii ni kweli, kwa kuwa hatua ya 2 hadi 4 ya algorithm inabakia bila kubadilika, na mabadiliko madogo tu yanaonekana katika hatua ya kwanza.

Katika hatua ya kwanza ya kugawa nambari za asili za nambari nyingi kwenye safu, hauitaji kutazama nambari ya kwanza upande wa kushoto katika nukuu ya gawio, lakini kwa idadi yao sawa na idadi ya nambari zilizomo kwenye nukuu. ya mgawanyiko. Ikiwa nambari iliyofafanuliwa na nambari hizi ni kubwa zaidi kuliko mgawanyiko, basi katika aya inayofuata tunapaswa kufanya kazi na nambari hii. Ikiwa nambari hii ni chini ya mgawanyiko, basi tunahitaji kuongeza kwa kuzingatia tarakimu inayofuata upande wa kushoto katika nukuu ya gawio. Baada ya hayo, vitendo vilivyoainishwa katika aya ya 2, 3 na 4 ya algorithm hufanyika hadi matokeo ya mwisho yanapatikana.

Kilichobaki ni kuona utumiaji wa algoriti ya mgawanyiko wa safu wima kwa nambari asilia zenye thamani nyingi katika mazoezi wakati wa kutatua mifano.

Mfano.

Wacha tutekeleze mgawanyiko wa safu wima wa nambari asilia zenye tarakimu nyingi 5,562 na 206.

Suluhisho.

Kwa kuwa kigawanya 206 kina tarakimu 3, tunaangalia tarakimu 3 za kwanza upande wa kushoto katika mgao 5,562. Nambari hizi zinalingana na nambari 556. Kwa kuwa 556 ni kubwa kuliko kigawanyiko 206, tunachukua nambari 556 kama nambari ya kufanya kazi, chagua, na uende kwenye hatua inayofuata ya algorithm.

Sasa tunazidisha kigawanyiko 206 kwa nambari 0, 1, 2, 3, ... hadi tupate nambari ambayo ni sawa na 556 au kubwa kuliko 556. Tunayo (ikiwa kuzidisha ni ngumu, basi ni bora kuzidisha nambari za asili kwenye safu): 206 0 = 0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556. Kwa kuwa tulipokea nambari ambayo ni kubwa kuliko nambari 556, basi chini ya nambari iliyoangaziwa tunaandika nambari 412 (ilipatikana kwa hatua ya mwisho), na badala ya mgawo tunaandika nambari 2 (kwa kuwa tulizidisha nayo. katika hatua ya mwisho). Ingizo la mgawanyiko wa safu huchukua fomu ifuatayo:

Tunafanya uondoaji wa safu. Tunapata tofauti 144, nambari hii ni chini ya kigawanyaji, kwa hivyo unaweza kuendelea kufanya vitendo vinavyohitajika kwa usalama.

Chini ya mstari wa mlalo kulia wa nambari hapo tunaandika nambari 2, kwani iko kwenye rekodi ya gawio 5562 kwenye safu hii:

Sasa tunafanya kazi na nambari 1,442, chagua, na upitie hatua mbili hadi nne tena.

Zidisha kigawanyiko 206 kwa 0, 1, 2, 3, ... hadi upate nambari 1442 au nambari ambayo ni kubwa kuliko 1442. Twende: 206·0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Tunafanya uondoaji kwenye safu, tunapata sifuri, lakini hatuiandiki mara moja, tunakumbuka tu msimamo wake, kwa sababu hatujui ikiwa mgawanyiko unaishia hapa, au itabidi kurudia. hatua za algorithm tena:

Sasa tunaona kwamba hatuwezi kuandika nambari yoyote chini ya mstari wa usawa kwa haki ya nafasi iliyokumbukwa, kwa kuwa hakuna tarakimu katika rekodi ya gawio katika safu hii. Kwa hivyo, hii inakamilisha mgawanyiko kwa safu, na tunakamilisha kiingilio:

Hisabati. Vitabu vyovyote vya kiada vya darasa la 1, 2, 3, 4 taasisi za elimu.
Hisabati. Vitabu vyovyote vya darasa la 5 la taasisi za elimu ya jumla.

Safu wima? Unawezaje kujitegemea ujuzi wa mgawanyiko wa muda mrefu nyumbani ikiwa mtoto wako hakujifunza kitu shuleni? Kugawanya kwa nguzo hufundishwa katika darasa la 2-3; kwa wazazi, kwa kweli, hii ni hatua iliyopitishwa, lakini ikiwa unataka, unaweza kukumbuka nukuu sahihi na kuelezea kwa njia inayoeleweka kwa mwanafunzi wako kile atakachohitaji maishani.

xvatit.com

Mtoto wa darasa la 2-3 anapaswa kujua nini ili kujifunza kufanya mgawanyiko mrefu?

Jinsi ya kuelezea kwa usahihi mgawanyiko kwa mtoto wa daraja la 2-3 ili asiwe na matatizo katika siku zijazo? Kwanza, hebu tuangalie ikiwa kuna mapungufu katika ujuzi. Hakikisha kwamba:

mtoto anaweza kufanya shughuli za kuongeza na kutoa kwa uhuru;
anajua nambari za nambari;
anajua kwa moyo.

Jinsi ya kuelezea mtoto maana ya hatua "mgawanyiko"?

Kila kitu kinahitaji kuelezewa kwa mtoto kwa kutumia mfano wazi.

Uliza kushiriki kitu kati ya wanafamilia au marafiki. Kwa mfano, pipi, vipande vya keki, nk. Ni muhimu kwamba mtoto anaelewa kiini - unahitaji kugawanya kwa usawa, i.e. bila kuwaeleza. Fanya mazoezi na mifano tofauti.

Wacha tuseme vikundi 2 vya wanariadha lazima vichukue viti kwenye basi. Tunajua ni wanariadha wangapi katika kila kikundi na ni viti vingapi kwenye basi. Unahitaji kujua ni tikiti ngapi moja na kikundi cha pili zinahitaji kununua. Au madaftari 24 yagawiwe kwa wanafunzi 12, kadiri kila mmoja atapata.

Wakati mtoto anaelewa kiini cha kanuni ya mgawanyiko, onyesha maelezo ya hisabati ya operesheni hii na jina la vipengele.
Eleza hilo Mgawanyiko ni operesheni kinyume ya kuzidisha, kuzidisha ndani nje.

Ni rahisi kuonyesha uhusiano kati ya mgawanyiko na kuzidisha kwa kutumia meza kama mfano.

Kwa mfano, 3 mara 4 ni sawa na 12.
3 ndiye kizidishi cha kwanza;
4 - sababu ya pili;
12 ni bidhaa (matokeo ya kuzidisha).

Ikiwa 12 (bidhaa) imegawanywa na 3 (sababu ya kwanza), tunapata 4 (sababu ya pili).

Vipengele vinapogawanywa wanaitwa tofauti:

12 - gawio;
3 - mgawanyiko;
4 - quotient (matokeo ya mgawanyiko).

Jinsi ya kuelezea mtoto mgawanyiko wa nambari ya nambari mbili na nambari ya nambari moja sio kwenye safu?

Kwa sisi watu wazima, ni rahisi kuandika "kwenye kona" njia ya zamani - na hiyo ndiyo mwisho wake. LAKINI! Watoto bado hawajamaliza mgawanyiko mrefu, wanapaswa kufanya nini? Jinsi ya kufundisha mtoto kugawanya nambari ya tarakimu mbili na nambari ya tarakimu moja bila kutumia nukuu ya safu?

Hebu tuchukue 72:3 kama mfano.

Ni rahisi! Tunagawanya 72 kwa nambari ambazo zinaweza kugawanywa kwa maneno na 3 kwa urahisi:
72=30+30+12.

Kila kitu kilionekana wazi mara moja: tunaweza kugawanya 30 na 3, na mtoto anaweza kugawanya kwa urahisi 12 na 3.
Yote iliyobaki ni kuongeza matokeo, i.e. 72:3=10 (iliyopatikana wakati 30 iligawanywa na 3) + 10 (30 ikigawanywa na 3) + 4 (12 imegawanywa na 3).

72:3=24
Hatukutumia mgawanyiko mrefu, lakini mtoto alielewa hoja na akakamilisha mahesabu bila shida.

Baada ya mifano rahisi, unaweza kuendelea na kujifunza mgawanyiko mrefu na kumfundisha mtoto wako kuandika kwa usahihi mifano katika "kona". Kuanza, tumia mifano tu ya mgawanyiko bila salio.

Jinsi ya kuelezea mgawanyiko mrefu kwa mtoto: algorithm ya suluhisho

Nambari kubwa ni vigumu kugawanya katika kichwa chako; Ili kufundisha mtoto wako kufanya mahesabu kwa usahihi, fuata algorithm:

Amua wapi gawio na mgawanyiko wako kwenye mfano. Mwambie mtoto wako ataje nambari (tutagawanya nini).

213:3
213 - gawio
3 - mgawanyiko

Andika mgao - "kona" - mgawanyiko.

Amua ni sehemu gani ya mgao tunaweza kutumia kugawanya kwa nambari fulani.

Tunasababu kama hii: 2 haiwezi kugawanywa na 3, ambayo inamaanisha tunachukua 21.

Tambua mara ngapi kigawanyiko "kinafaa" katika sehemu iliyochaguliwa.

21 imegawanywa na 3 - kuchukua 7.

Zidisha kigawanyaji kwa nambari iliyochaguliwa, andika matokeo chini ya "kona".

7 ikizidishwa na 3 - tunapata 21. Andika.

Tafuta tofauti (iliyobaki).

Katika hatua hii ya hoja, fundisha mtoto wako kujiangalia mwenyewe. Ni muhimu kwamba aelewe kwamba matokeo ya kutoa lazima DAIMA yawe chini ya kigawanyaji. Ikiwa haifanyi kazi, unahitaji kuongeza nambari iliyochaguliwa na ufanye kitendo tena.

Rudia hatua hadi iliyobaki ni 0.

Jinsi ya kufikiria kwa usahihi kufundisha mtoto wa darasa la 2-3 kugawanya kwa safu

Jinsi ya kuelezea mgawanyiko kwa mtoto 204:12=?
1. Iandike katika safu.
204 ni mgao, 12 ni mgawanyiko.

2. 2 haiwezi kugawanywa na 12, kwa hivyo tunachukua 20.
3. Ili kugawanya 20 kwa 12, chukua 1. Andika 1 chini ya "kona".
4. 1 ikizidishwa na 12 inapata 12. Tunaiandika chini ya 20.
5. 20 kasoro 12 anapata 8.
Hebu tujichunguze. Je, 8 ni chini ya 12 (kigawanyaji)? Sawa, ni sawa, wacha tuendelee.

6. Karibu na 8 tunaandika 4. 84 ikigawanywa na 12. Je, tunapaswa kuzidisha 12 kiasi gani ili kupata 84?
Ni vigumu kusema mara moja, tutajaribu kutumia njia ya uteuzi.
Hebu tuchukue 8, kwa mfano, lakini usiandike bado. Tunahesabu kwa maneno: 8 ikizidishwa na 12 sawa na 96. Na tuna 84! Haifai.
Hebu tujaribu ndogo zaidi... Kwa mfano, hebu tuchukue 6. Tunajichunguza kwa maneno: 6 ikizidishwa na 12 ni sawa na 72. 84-72=12. Tulipata nambari sawa na kigawanyaji chetu, lakini inapaswa kuwa sifuri au chini ya 12. Kwa hivyo nambari kamili ni 7!

7. Tunaandika 7 chini ya "kona" na kufanya mahesabu. 7 ikizidishwa na 12 inatoa 84.
8. Tunaandika matokeo katika safu: 84 minus 84 ni sawa na sifuri. Hooray! Tuliamua kwa usahihi!

Kwa hiyo, umemfundisha mtoto wako kugawanya kwa safu, sasa kinachobakia ni kufanya ujuzi huu na kuleta kwa automatism.

Kwa nini ni vigumu kwa watoto kujifunza mgawanyiko wa muda mrefu?

Kumbuka kwamba matatizo na hisabati hutokea kutokana na kutokuwa na uwezo wa kufanya haraka shughuli rahisi za hesabu. Katika shule ya msingi, unahitaji kufanya mazoezi ya kujumlisha na kutoa na kuifanya kiotomatiki, na ujifunze jedwali la kuzidisha kutoka jalada hadi jalada. Wote! Mengine ni suala la mbinu, na inaendelezwa na mazoezi.

Kuwa na subira, usiwe wavivu, kwa mara nyingine tena kuelezea mtoto kile ambacho hakujifunza katika somo, kwa uchungu lakini kwa uangalifu kuelewa algorithm ya hoja na kuzungumza kupitia kila operesheni ya kati kabla ya kutoa jibu tayari. Toa mifano ya ziada ya kufanya mazoezi ya ustadi, kucheza michezo ya hesabu - hii itazaa matunda na utaona matokeo na kufurahiya mafanikio ya mtoto wako hivi karibuni. Hakikisha unaonyesha ni wapi na jinsi gani unaweza kutumia ujuzi uliopatikana katika maisha ya kila siku.

Wasomaji wapendwa! Tuambie jinsi unavyowafundisha watoto wako kufanya mgawanyiko mrefu, shida gani umekutana nazo na jinsi umezishinda.

Kwa bahati mbaya, watoto siku hizi kivitendo hawajui jinsi ya kufanya mahesabu ya akili. Hii ilitokea kwa sababu ya ukweli kwamba teknolojia za kisasa hutoa kila mtoto kutatua shida na kubofya kadhaa. Kwa watoto wengi, mtandao umebadilisha sio vitabu vya kiada tu, bali pia ujuzi fulani. Unaweza kuongezeka kusikia kutoka kwa kizazi kipya kwamba sio lazima kabisa kujua hisabati, kwani kila wakati una kihesabu au simu karibu. Lakini umuhimu wa kweli wa sayansi hii iko katika maendeleo ya kufikiri, na si katika kuondokana na hofu ya kudanganywa na mfanyabiashara katika soko.

Mgawanyiko wa muda mrefu husaidia wanafunzi wa shule ya msingi kufahamiana na shughuli za nambari. Shukrani kwake, jedwali la kuzidisha limewekwa kwenye kumbukumbu, na ustadi wa kufanya shughuli za kuongeza na kutoa huheshimiwa.

Ili kutekeleza operesheni hii ya hesabu, unahitaji kufahamiana na sehemu zake:

1. Gawio - nambari ambayo imegawanywa.

2. Divisor - nambari ambayo imegawanywa na.

3. Quotient - matokeo yaliyopatikana kwa mgawanyiko.

4. Salio ni sehemu ya mgao ambayo haiwezi kugawanywa.

Mifano ya mgawanyiko wa Marekani na Ulaya

Sheria za mgawanyiko mrefu ni sawa katika nchi zote. Kuna tofauti tu katika sehemu ya picha, ambayo ni, katika kurekodi kwake. Katika mfumo wa Ulaya, mstari wa kugawanya, au kinachojulikana kona, umewekwa upande wa kulia wa nambari iliyogawanywa. Mgawanyiko umeandikwa juu ya mstari wa kona, na quotient imeandikwa chini ya mstari wa usawa wa kona.

Kugawanyika kwa safu kulingana na mfano wa Marekani kunahusisha kuweka kona upande wa kushoto. Mgawo umeandikwa juu ya mstari wa usawa wa pembe, moja kwa moja juu ya nambari iliyogawanywa. Mgawanyiko umeandikwa chini ya mstari wa usawa, upande wa kushoto wa mstari wa wima. Mchakato wa kufanya hatua yenyewe hautofautiani na mfano wa Uropa.

Gawanya kwa nambari ya tarakimu mbili

Ili kutumia thamani ya tarakimu mbili, unahitaji kuiandika kulingana na mchoro, na kisha kutekeleza kitendo. Mgawanyiko wa safu wima huanza na tarakimu za juu zaidi za nambari zinazogawanywa. Nambari mbili za kwanza zinachukuliwa ikiwa nambari inayoundwa nao ni kubwa zaidi kuliko kigawanyaji. Vinginevyo, tarakimu tatu za kwanza zinatenganishwa. Nambari wanayounda imegawanywa na mgawanyiko, salio huenda chini, na matokeo yameandikwa kwenye kona ya kugawanya. Baada ya hayo, tarakimu kutoka kwa tarakimu inayofuata ya nambari inayogawanywa inahamishwa, na utaratibu unarudiwa. Hii inaendelea hadi nambari imegawanywa kabisa.

Ikiwa ni muhimu kugawanya nambari na salio, imeandikwa tofauti. Ikiwa unahitaji kugawanya nambari kabisa, basi baada ya mwisho wa nambari za nambari comma imewekwa kwenye jibu, ikionyesha mwanzo wa sehemu ya sehemu, na badala ya nambari, sifuri huhamishwa chini kila wakati.

§ Algorithm 1 ya kugawanya kwa nambari ya tarakimu mbili

Algorithm ya kugawanya kwa nambari mbili au nambari tatu sio tofauti na algorithm ya kugawanya nambari ya nambari moja.

Wacha tuchunguze algorithm ya kugawa kwa nambari ya nambari mbili kwa kutumia mfano wa kugawa nambari 965 na 27.

1. Wacha tukadirie mgawo wa nambari 965 na 27.

965: 27 ≈ 900: 30 = 30

Kadirio linaonyesha kuwa jibu linapaswa kuwa nambari karibu na 30.

Wacha tuchukue nambari ya kwanza 9 ya gawio 965. 9 haiwezi kugawanywa na 27, kwani 9< 27. Возьмем сразу две первые цифры 9 и 6 делимого 965. 96 можно разделить на 27. Значит, 96 первое неполное делимое.

Kuamua idadi ya tarakimu katika mgawo, unapaswa kukumbuka kwamba mgao wa kwanza usio kamili unalingana na tarakimu moja ya mgawo, na tarakimu nyingine zote za gawio zinahusiana na tarakimu moja zaidi ya mgawo.

Kwa gawio 965, tunachagua kiakili mgao wa kwanza usio kamili 96 - nambari ya kwanza ya mgawo na nambari 5 - nambari ya pili ya mgawo. Tunapata kwamba kutakuwa na tarakimu mbili kwa jumla katika mgawo.

Tunagawanya mgao wa kwanza ambao haujakamilika 96 kwa 27 kwa kutumia mbinu ya kukadiria.

96: 27 ≈ 90: 30 = 3

Tunaangalia: 3. 27 = 81.81< 96

4 . 27 = 108, 108 > 96 - haifai.

Tunaandika tarakimu ya kwanza 3 kwenye quotient.

Tunapata 96 - 3 iliyobaki. 27 = 15.

Kwa 15 iliyobaki tunaongeza nambari iliyobaki 5 ya gawio 965, tunapata mgao wa pili ambao haujakamilika 155.

Wacha tugawanye mgao wa pili wa sehemu ya 155 kwa 27 kwa kutumia mbinu ya kukadiria.

155: 27 ≈ 150: 30 = 5

Wacha tuangalie: 5. 27 = 135, 135< 155

6. 27 = 162, 162 > 155 - haifai.

Tunaandika nambari ya pili 5 kwenye quotient.

Tulipata sehemu ya sehemu ya 35.

5. Tafuta iliyobaki.

155 - 5 . 27 = 20

6. Tunatoa hitimisho.

Wakati wa kugawanya 965 kwa 27, sehemu ya mgawo ni 35 (ambayo haipingani na makadirio ya mgawo) na iliyobaki ni 20.

965: 27 = 35 (iliyobaki 20).

Mgawanyiko umeandikwa kama ifuatavyo:

§ Algorithm 2 ya kugawanya kwa nambari yoyote ya tarakimu nyingi

Vile vile, mgawanyiko kwa nambari yoyote ya tarakimu nyingi (tarakimu tatu, tarakimu nne, nk) hufanyika.

Wacha tuangalie mfano mwingine: gawanya nambari 13680 na 45.

1. Tunafanya makadirio ya mgawo.

13680: 45 ≈ 15000: 50 = 300

2. Tafuta mgao wa kwanza ambao haujakamilika.

1 haiwezi kugawanywa na 45. 13 haiwezi kugawanywa na 45. 136 inaweza kugawanywa na 45. Hii ina maana kwamba mgao wa kwanza ambao haujakamilika ni 136.

3. Tambua idadi ya tarakimu katika mgawo.

Kwa gawio la 13680, kiakili tunachagua mgao wa kwanza ambao haujakamilika 136 - nambari ya kwanza ya mgawo italingana nayo, kisha nambari 8 na 0 - zitalingana na nambari moja zaidi ya mgawo - nambari ya pili na ya tatu ya mgawo huo. mgawo. Tunapata kwamba kutakuwa na tarakimu tatu kwa jumla katika mgawo.

4. Tafuta nambari za kila tarakimu ya mgawo.

1) Tafuta tarakimu ya kwanza ya mgawo.

136: 45 ≈ 150: 50 = 3

3. 45 = 135 - inafaa.

Tunaandika tarakimu ya kwanza 3 kwenye quotient.

Tunapata iliyobaki 136 - 3. 45 = 1

2) Tafuta tarakimu ya pili ya mgawo.

Kwa 1 iliyobaki tunaongeza nambari inayofuata ya 8 ya gawio 13680, tunapata mgao wa pili ambao haujakamilika 18.

18 haiwezi kugawanywa na 45, ambayo ina maana kwamba tunaandika tarakimu ya pili - nambari 0 - kwenye mgawo.

3) Tafuta tarakimu ya tatu ya mgawo.

Kwa mgao wa pili ambao haujakamilika 18 tunagawa nambari iliyobaki 0 ya gawio 13680, tunapata mgao wa tatu ambao haujakamilika 180.

180: 45 ≈ 200: 50 = 4

Tunaandika tarakimu ya tatu 4 kwenye quotient.

5. Tunatoa hitimisho.

Wakati wa kugawanya 13680 na 45, mgawo ni 304 (ambayo haipingani na makadirio).

§ 3 Muhtasari mfupi wa mada ya somo

Ili kufanya mgawanyiko katika tarakimu mbili, tarakimu tatu, tarakimu nne, nk. nambari inayohitajika:

1. Kadiria mgawo;

2. Tafuta mgao wa kwanza ambao haujakamilika;

3. Kuamua idadi ya tarakimu katika mgawo;

4. Tafuta nambari za kila mgawo;

5. Tafuta salio (ikiwa kuna moja);

6. Hakikisha kwamba jibu halipingani na makadirio. Angalia ikiwa ni lazima.

Orodha ya fasihi iliyotumika:

Peterson L.G. Hisabati. darasa la 4. Sehemu ya 1. / L.G. Peterson. - M.: Yuventa, 2014. - 96 p.: mgonjwa.
Hisabati. darasa la 4. Mapendekezo ya kimbinu kwa kitabu cha hisabati "Kujifunza Kujifunza" kwa darasa la 4. / L.G. Peterson. - M.: Yuventa, 2014. - 280 pp.: mgonjwa.
Zach S.M. Kazi zote za kitabu cha hisabati cha darasa la 4 na L.G. Peterson na seti ya kazi za kujitegemea na za mtihani. Kiwango cha Elimu cha Jimbo la Shirikisho. – M.: UNWES, 2014.
CD-ROM. Hisabati. darasa la 4. Maandishi ya somo la kitabu cha kiada kwa sehemu ya 1 Peterson L.G. - M.: Yuvent, 2013.

Hebu tuangalie kwanza kesi rahisi za mgawanyiko, wakati mgawo unasababisha nambari ya tarakimu moja.

Wacha tupate thamani ya nambari za mgawo 265 na 53.

Ili iwe rahisi kuchagua nambari ya mgawo, hebu tugawanye 265 si kwa 53, lakini kwa 50. Ili kufanya hivyo, ugawanye 265 na 10, matokeo yatakuwa 26 (salio ni 5). Na ikiwa tunagawanya 26 kwa 5, itakuwa 5. Nambari ya 5 haiwezi kuandikwa mara moja katika mgawo, kwa kuwa ni nambari ya majaribio. Kwanza unahitaji kuangalia ikiwa inafaa. Hebu tuzidishe. Tunaona kwamba nambari ya 5 imekuja. Na sasa tunaweza kuiandika kwa faragha.

Thamani ya mgawo wa nambari 265 na 53 ni 5. Wakati mwingine, wakati wa kugawanya, tarakimu ya mtihani wa quotient haifai, na kisha inahitaji kubadilishwa.

Wacha tupate thamani ya nambari za mgawo 184 na 23.

Mgawo huo utakuwa nambari ya tarakimu moja.

Ili iwe rahisi kuchagua nambari ya mgawo, hebu tugawanye 184 si kwa 23, lakini kwa 20. Ili kufanya hivyo, ugawanye 184 na 10, matokeo yatakuwa 18 (salio 4). Na tunagawanya 18 kwa 2, inakuwa 9. 9 ni nambari ya mtihani, hatutaiandika katika mgawo mara moja, lakini tutaangalia ikiwa inafaa. Hebu tuzidishe. Na 207 ni kubwa kuliko 184. Tunaona kwamba nambari 9 haifai. Mgawo utakuwa chini ya 9. Hebu tujaribu kuona ikiwa nambari ya 8 inafaa. Tunaona kwamba nambari ya 8 inafaa. Tunaweza kuiandika kwa faragha.

Thamani ya mgawo wa 184 na 23 ni 8.

Hebu fikiria kesi ngumu zaidi za mgawanyiko. Wacha tupate thamani ya mgawo wa 768 na 24.

Mgao wa kwanza ambao haujakamilika ni 76 tens. Hii ina maana kwamba mgawo utakuwa na tarakimu 2.

Wacha tuamue nambari ya kwanza ya mgawo. Hebu tugawanye 76 na 24. Ili iwe rahisi kuchagua nambari ya mgawo, hebu tugawanye 76 si kwa 24, lakini kwa 20. Hiyo ni, unahitaji kugawanya 76 na 10, kutakuwa na 7 (salio ni 6). Na ugawanye 7 kwa 2, unapata 3 (salio 1). 3 ni tarakimu ya majaribio ya mgawo. Kwanza hebu tuangalie ikiwa inafaa. Hebu tuzidishe. . Salio ni chini ya kigawanyaji. Hii ina maana kwamba nambari ya 3 inafaa na sasa tunaweza kuiandika badala ya makumi ya mgawo.

Wacha tuendelee na mgawanyiko. Sehemu inayofuata ya mgao ni vitengo 48. Hebu tugawanye 48 kwa 24. Ili iwe rahisi kuchagua mgawo, hebu tugawanye 48 si kwa 24, lakini kwa 20. Hiyo ni, ikiwa tunagawanya 48 kwa 10, kutakuwa na 4 (salio ni 8). Na tunagawanya 4 kwa 2, inakuwa 2. Hii ni tarakimu ya mtihani wa mgawo. Lazima kwanza tuangalie ikiwa itafaa. Hebu tuzidishe. Tunaona kwamba nambari ya 2 inafaa na, kwa hiyo, tunaweza kuiandika mahali pa vitengo vya mgawo.

Maana ya mgawo wa 768 na 24 ni 32.

Wacha tupate thamani ya nambari za mgawo 15,344 na 56.

Mgao wa kwanza ambao haujakamilika ni mamia 153, ambayo ina maana kwamba mgawo utakuwa na tarakimu tatu.

Wacha tuamue nambari ya kwanza ya mgawo. Hebu tugawanye 153 na 56. Ili iwe rahisi kupata mgawo, hebu tugawanye 153 si kwa 56, lakini kwa 50. Ili kufanya hivyo, gawanya 153 na 10, matokeo yatakuwa 15 (salio 3). Na ugawanye 15 kwa 5, inakuwa 3. 3 ni tarakimu ya mtihani wa mgawo. Kumbuka: huwezi kuiandika mara moja kwa faragha, lakini lazima kwanza uangalie ikiwa inafaa. Hebu tuzidishe. Na 168 ni kubwa kuliko 153. Hii ina maana kwamba mgawo utakuwa chini ya 3. Hebu tuangalie ikiwa namba 2 inafaa. A . Salio ni chini ya mgawanyiko, ambayo ina maana kwamba nambari ya 2 inafaa, inaweza kuandikwa mahali pa mamia katika mgawo.

Wacha tutengeneze mgao ufuatao ambao haujakamilika. Hiyo ni 414 makumi. Hebu tugawanye 414 na 56. Ili iwe rahisi zaidi kuchagua nambari ya mgawo, hebu tugawanye 414 si kwa 56, lakini kwa 50. . Kumbuka: 8 ni nambari ya mtihani. Hebu tuangalie. . Na 448 ni kubwa kuliko 414, ambayo ina maana kwamba mgawo utakuwa chini ya 8. Hebu tuangalie ikiwa nambari ya 7 inafaa 56 kwa 7, tunapata 392. . Salio ni chini ya kigawanyaji. Hii ina maana kwamba nambari inafaa na katika mgawo tunaweza kuandika 7 badala ya makumi.

Wacha tuendelee na mgawanyiko. Sehemu inayofuata ya mgao ni vitengo 224. Hebu tugawanye 224 kwa 56. Ili iwe rahisi kupata nambari ya mgawo, gawanya 224 kwa 50. Hiyo ni, kwanza na 10, kutakuwa na 22 (salio ni 4). Na ugawanye 22 kwa 5, kutakuwa na 4 (salio 2). 4 ni nambari ya majaribio, wacha tuiangalie ili kuona ikiwa inafaa. . Na tunaona kwamba idadi imefika. Hebu tuandike 4 badala ya vitengo katika mgawo.

Thamani ya mgawo wa 15,344 na 56 ni 274.

Leo tumejifunza kugawanya kwa nambari za tarakimu mbili kwa maandishi.

Bibliografia

Hisabati. Kitabu cha maandishi kwa darasa la 4. mwanzo shule Saa 2:00/M.I. Moreau, M.A. Bantova - M.: Elimu, 2010.
Uzorova O.V., Nefedova E.A. Kitabu kikubwa cha tatizo la hisabati. darasa la 4. - M.: 2013. - 256 p.
Hisabati: kitabu cha maandishi. kwa daraja la 4. elimu ya jumla taasisi na Kirusi lugha mafunzo. Saa 2 usiku Sehemu ya 1 / T.M. Chebotarevskaya, V.L. Drozd, A.A. Seremala; njia na nyeupe lugha L.A. Bondareva. - Toleo la 3., limerekebishwa. - Minsk: Nar. Asveta, 2008. - 134 p.: mgonjwa.
Hisabati. darasa la 4. Kitabu cha kiada. Saa 2 kamili/Geidman B.P. na wengine - 2010. - 120 p., 128 p.

Ppt4web.ru ().
Myshared.ru ().
Viki.rdf.ru ().

Kazi ya nyumbani

Fanya mgawanyiko