Jinsi ya kupata makutano ya ndege. Kuunda mstari wa makutano ya ndege iliyofafanuliwa kwa njia mbalimbali

Tawi la Sterlitamak

JIMBO LA UFA

CHUO KIKUU CHA UFUNDI WA PETROLI"

Mwongozo wa kutatua kazi ya nyumbani Na. 3

kwa wanafunzi wa utaalam 240801, 240401, 280201

Miongozo inakusudiwa wanafunzi wa taaluma zote wakati wa kusoma mada "Mkutano wa kuheshimiana wa nyuso" na kukamilisha kazi za picha za nyumbani kwenye mada hii.

Kabla ya kufanya kazi na maelekezo ya mbinu, mwanafunzi anahitajika kujifunza nyenzo katika maandiko yaliyopendekezwa.

1.1 Madhumuni ya kazi ni kujifunza jinsi ya kujenga mstari wa makutano ya nyuso.

a) kujenga makadirio ya mistari ya makutano ya nyuso zilizopewa kwa kutumia njia ya ndege za kati (muundo wa A3);

b) kujenga makadirio ya mistari ya makutano ya nyuso kwa kutumia njia ya waamuzi wa spherical (muundo wa A3);

c) alama alama za tabia za mistari ya makutano.

Chaguzi za kazi za mtu binafsi hutolewa katika kiambatisho.

2 MBINU NA UTARATIBU WA KUKAMILISHA KAZI

2.1. Weka alama (mpangilio) umbizo, ukitoa matumizi ya busara ya uwanja wa kuchora.

2.2. Chora kwa mistari nyembamba na penseli data ya awali ya tatizo, mistari ya usaidizi wa ujenzi, na mstari uliopatikana wa makutano ya nyuso.

2.3. Jaza uandishi mkuu (yaliyomo na vipimo vinaonyeshwa kwenye Mchoro 1)

Mchele. I. Maandishi kuu

2.4. Kazi iliyofanywa kwa mistari laini lazima ipelekwe kwa mwalimu kwa ukaguzi.

2.5. Baada ya kuangalia, onyesha mchoro kulingana na mahitaji yafuatayo:

2.5.1 Vipengee hivi vinatengenezwa kwa penseli nyeusi, wino au kubandika kwa mstari kuu thabiti (S @ 1 mm).

2.5.2 Mistari ya uunganisho wa makadirio na shoka za makadirio huchorwa kwa rangi nyeusi na mstari mwembamba thabiti katika penseli, wino au kubandika (S @ 0.5 mm).

2.5.3 Mistari ya miundo ya msaidizi hufanywa kwa kijani au bluu na mstari mwembamba imara (S @ 0.5 mm) pia katika penseli, wino au kuweka.

2.5.4 Vipengee vinavyotakiwa vinafanywa kwa mstari mkuu imara wa rangi nyekundu (penseli, wino, kuweka, kalamu ya kujisikia, S @ 1 mm), S - unene wa mstari.

2.6. Peana kazi yako kwa ulinzi. Utetezi wa kazi hiyo umeandikwa na saini ya mwalimu kwenye safu ya "Iliyokubaliwa" na inaambatana na alama inayolingana, iliyotolewa kwa namna ya sehemu: nambari ni alama ya kina cha utafiti wa mada, denominator ni. alama ya ubora wa utekelezaji wa mchoro wa mchoro.

3 HABARI YA JUMLA

Mstari wa makutano ya nyuso ni curve inayojumuisha pointi za nyuso zote mbili. Kwa ujumla, ni curve ya anga ambayo inaweza kugawanywa katika sehemu mbili au zaidi. Sehemu hizi zinaweza, hasa, kuwa curves gorofa. Kawaida mstari wa makutano hujengwa kwa kutumia pointi zake za kibinafsi.

Njia ya kawaida ya kujenga pointi hizi ni njia ya nyuso za kati. Kwa kuingilia nyuso hizi na uso wa msaidizi na kuamua mistari ya makutano yake na nyuso hizi, kwenye makutano ya mistari hii tunapata pointi za mstari unaohitajika wa makutano.

Mara nyingi, ndege au nyanja hutumiwa kama nyuso za kati, kulingana na ambayo njia zifuatazo zinajulikana kwa ajili ya kujenga pointi kwenye mstari wa makutano ya nyuso mbili:

a) njia ya ndege msaidizi;

b) njia ya nyanja za msaidizi.

Matumizi ya njia moja au nyingine kwa ajili ya kujenga mstari wa makutano ya nyuso inategemea wote juu ya aina ya nyuso na juu ya nafasi yao ya jamaa.

NJIA 4 ZA NDEGE USAIDIZI

HALI YA BINAFSI

Wakati wa kupata pointi za mstari wa makutano ya uso, ni muhimu kufuata mlolongo fulani. Katika mstari wa makutano, kuna pointi za kumbukumbu (tabia) na za kati (nasibu). Awali ya yote, pointi za kumbukumbu zimeamua, kwa sababu wanakuwezesha kuona ndani ya mipaka gani makadirio ya mstari wa makutano iko na ambapo ni muhimu kubadilisha nafasi ya nyuso za msaidizi wa msaidizi.

Pointi za kumbukumbu ni pamoja na vidokezo vilivyo kwenye muhtasari wa nyuso, alama za juu na za chini kabisa, zile zilizo karibu na mwangalizi na mbali zaidi kutoka kwake, kushoto na kulia sana.

Njia ya ndege msaidizi inapaswa kutumika wakati nyuso zote zinazoingiliana zinaweza kuvuka kwa mistari rahisi ya kielelezo (miduara au mistari iliyonyooka) na seti fulani ya ndege zinazoonyesha (au, kwa hali fulani, na seti ya ndege za kiwango).

Katika Mtini. 2 inaonyesha ujenzi wa mstari wa makutano ya silinda inayojitokeza kwa usawa na koni ya mzunguko. Pointi za kumbukumbu 1 na 2 zimedhamiriwa kwenye makutano ya meridians kuu za nyuso zote mbili ziko kwenye ndege ya ulinganifu. Alama za nasibu 3,3 1 4, 4 1 zinapatikana kwa kutumia ndege za kiwango cha mlalo S 1 na S 2 zinazokatiza nyuso zote mbili kwenye duara. Makadirio ya mbele ya mstari wa makutano yanajengwa kulingana na sheria za mawasiliano ya makadirio.

Katika Mtini. 3, mstari wa makutano ya koni ya mzunguko na nyanja imepangwa. Pointi za kumbukumbu za mstari wa 1 na 2 wa makutano huamuliwa mara moja, kama katika kesi ya awali, kwenye makutano ya jenereta za muhtasari (meridians kuu). Alama za nasibu 5, 5 1 zinapatikana kwa kutumia ndege iliyo mlalo ya kiwango cha S 3. Vipengee vya mwonekano 4 na 4 1 vinaamuliwa na ndege S 1 inayokatiza tufe kwenye ikweta. Pointi 4 na 4 1 hugawanya makadirio ya usawa ya mstari wa makutano katika sehemu zinazoonekana na zisizoonekana. Ili kuunda alama mbili za kushoto kabisa 3 na 3 1 ni muhimu kutoka kwa nukta 0 (0 " , 0) kwenye makutano ya shoka za koni na mpira, punguza pembeni kwa jenereta ya koni na kupitia hatua K. " chora ndege S2. Katika makutano ya miduara inayolingana, alama 3 na 3 1 zinapatikana - zile za kushoto zaidi. Kwa kuchora mfululizo wa ndege za msaidizi, unaweza kupata idadi yoyote ya pointi za random zinazofafanua sura ya mstari wa makutano.

Mchele. 2. Kuunda mstari wa makutano ya silinda na koni

Mchele. 3. Ujenzi wa mstari wa makutano ya koni na nyanja

NJIA 5 ZA WAPATANISHI WA SPHERIKALI

Wapatanishi wa duara wamepata matumizi mapana katika kutatua matatizo yanayohusisha makutano ya pande zote za nyuso. Hii ni kutokana na ukweli kwamba:

a) makadirio ya tufe imeundwa kwa urahisi sana;

b) idadi isiyo na kikomo ya familia za miduara inaweza kuchukuliwa kwenye nyanja;

c) ndege yoyote inayopita katikati ya tufe ni ndege ya ulinganifu wake;

Njia ya wapatanishi wa duara inategemea nadharia ifuatayo: "Nyuso mbili za coaxial za mapinduzi huingiliana kwenye miduara, idadi ambayo ni sawa na idadi ya sehemu za makutano ya meridians zao kuu." Hebu nyuso mbili za coaxial za mapinduzi zipewe F na ψ tini, 4), meridians yao kuu A" Na b" Pointi za kawaida za meridians hizi 2. na fomu 1, juu ya mzunguko, miduara ambayo ni ya kawaida kwa nyuso hizi. Miduara hii inakadiriwa kwenye ndege ya mbele ya makadirio kwa namna ya mistari ya moja kwa moja, perpendicular kwa mhimili wa mzunguko, na kwenye ndege ya usawa - kwa ukubwa kamili. Sehemu nyingine yoyote ya kiuno, kwa mfano, kwa ndege S, itatoa miduara miwili ya kipenyo tofauti.

Kwa njia ya wapatanishi wa duara, nyanja huchukuliwa kama moja ya nyuso za coaxial, na uso wowote wa mapinduzi, kwa mfano, koni, silinda, mpira, ellipsoid na hyperboloid ya mapinduzi, nk, inachukuliwa kama ya pili.

Mchele. 4. Nyuso za coaxial

Katika kesi hii, theorem maalum inapokea uundaji wafuatayo: "Ikiwa katikati ya nyanja ya secant iko kwenye mhimili wa uso wa mapinduzi, basi nyanja hiyo inaingilia uso huu kwenye mduara" (Mchoro 5).

Mchele. 5. Sphere coaxial kwa nyuso za mapinduzi

Katika hali zote, nyanja huingiliana na uso wa mapinduzi pamoja na miduara ya kipenyo sawa au tofauti, ambayo inakadiriwa kuwa mistari ya moja kwa moja perpendicular kwa mhimili wa uso wa mapinduzi. Njia ya waamuzi wa spherical ina aina mbili:

a) njia ya nyanja za kuzingatia, wakati nyanja za kati zinajengwa kutoka kituo kimoja;

b) njia ya nyanja za eccentric, wakati waamuzi hujengwa kutoka vituo tofauti.

Ili kutatua shida kwa njia ya kwanza, hali zifuatazo ni muhimu:

l) nyuso zote mbili zilizoainishwa lazima ziwe nyuso za mapinduzi;

2) axes ya nyuso zote mbili lazima kuingiliana na kulala katika ndege ya kawaida ya ulinganifu.

Ili kutatua shida kwa njia ya pili (sehemu za eccentric), hali ni tofauti kidogo, ambayo ni:

1) moja ya nyuso za kuingiliana lazima iwe uso wa mapinduzi, na pili lazima iwe na familia ya sehemu za mviringo;

2) nyuso zote mbili lazima ziwe na ndege ya kawaida ya ulinganifu ambayo sehemu za mviringo zinapangwa kwa namna ya mistari ya moja kwa moja.

Mchoro wa 6 unaonyesha uamuzi wa mstari wa makutano ya nyuso mbili za mapinduzi (koni na silinda) kwa kutumia njia ya nyanja za kuzingatia. Mpango wa kutatua tatizo ni kama ifuatavyo:

1) chukua hatua ya makutano ya shoka za uso O (O " , O) nyuma ya kituo, nyanja za msaidizi wa kati hufanyika;

2) kuamua miduara ya makutano ya nyanja za kati na kila moja ya nyuso zilizopewa tofauti;

3) pata pointi za makutano ya miduara inayosababisha; pointi hizi ni za mstari unaohitajika wa makutano ya nyuso.

Ujenzi huanza kwa kuamua pointi za kumbukumbu - pointi za makutano ya jenereta za muhtasari 1 na 2. Kisha, thamani ya radius ya nyanja kubwa na ndogo ya mpatanishi imedhamiriwa; R max ni sawa na umbali kutoka katikati O hadi sehemu ya mbali zaidi ya makutano ya muhtasari Kuamua kipenyo cha nyanja ndogo zaidi ya kati, R min. kutoka kituo cha O " acha kanuni za O "KWA" Na

KUHUSU " T " kwenye muhtasari wa nyuso zote mbili. Thamani ya kubwa zaidi ya kanuni ni radius ya nyanja ndogo ya kati. Nyanja hii ndogo ya msaidizi hutoa sehemu nyingine ya marejeleo - nukta 5, ambayo ni sehemu ya mchepuko mkubwa, sehemu ya juu ya mstari wa makutano uliopinda. Pointi zilizobaki zinajengwa kwa kutumia nyanja za kati, radius ambayo inachukuliwa ndani ya R min

Mchele. 7. Kujenga mstari wa makutano kwa kutumia tufe eccentric

Mchoro wa 7 unaonyesha mstari wa makutano ya koni, mhimili ambao ni perpendicular kwa ndege ya usawa, na robo ya torus, mhimili wa mzunguko ambao ni perpendicular kwa ndege ya mbele ya makadirio. Kwa suluhisho, njia ya nyanja za kati za eccentric ilitumiwa. Suluhisho la tatizo huanza na kuamua pointi za makutano ya mistari ya contour ya nyuso zote mbili. Pointi 1,2,3 imedhamiriwa moja kwa moja kutoka kwa mchoro wa makadirio ya mbele, na hatua ya 4 ya makutano ya besi za nyuso hupatikana kwenye makadirio ya usawa. Ili kujenga pointi za kati, mistari ya makutano hutenganisha uso wa torus na ndege zinazopita kwenye mhimili wa torus. Miduara hupatikana kwa sehemu ya msalaba. Kwa mfano, ndege S 1 inaingilia torus pamoja na mzunguko wa kipenyo A" b ". Kutoka katikati ya sehemu hii ya duara K " kurejesha perpendicular mpaka inapoingiliana na mhimili wa koni kwenye hatua O " 1 . Kwa kuchukua hatua hii kama kitovu, jenga nyanja ya msaidizi ya radius O " 1 A"(KUHUSU " 1 b"). Tufe hii inakatiza torasi kando ya duara inayojulikana tayari A" b " , na koni iko kwenye mduara 8 " -9" . Makutano yao ya pande zote yanatoa hatua ya 5 ya mstari wa makutano. Vile vile, kwa kutumia ndege S 2 na S 3, pointi 6 na 7 zilipatikana.

FASIHI

1. Nartova L.G. Jiometri ya maelezo: Kitabu cha maandishi. - M.: Chuo, 2011.

2. Gordon V.O. Jiometri ya maelezo. - M.: Juu zaidi. shule, 2002.

3. Gordon V.O. Mkusanyiko wa matatizo kwa mwendo wa jiometri ya maelezo. - M.: Juu zaidi. shule, 2003.

4. Strizhakov A.V. na wengine jiometri ya maelezo: Kitabu cha kiada. kijiji kwa vyuo vikuu. - Rostov n/d: Phoenix, 2004.

MAOMBI

2. Mbinu na utaratibu wa kukamilisha kazi. . . . . . . . . . . . 1

3. Taarifa za jumla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4. Njia ya ndege za msaidizi wa nafasi fulani. . . . . 3

5. Njia ya waamuzi wa spherical. . . . . . . . . . . . . . . . 5

Fasihi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Maombi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kumi na moja

Kielelezo 1.3.25 - Makutano ya ndege mbili katika nafasi ya jumla

Mfano wa kujenga mstari wa makutano ya ndege mbili kwa kutumia njia ya kukata ndege za kati zinawasilishwa kwenye Mchoro 1.3.25. Ndege S kuamuliwa na mistari inayokatiza A Na b, na ndege Q- mistari sambamba Na Na d.

Ili kupata mstari l makutano ya ndege S Na Q Wacha tuchore ndege mbili zinazoonyesha mbele W(W 2) Na W¢(W¢ 2), ambao ni waamuzi. Ndege W hukatiza ndege hizi S Na Q katika mistari iliyonyooka 1-2 (1 2 -2 2 , 1 1 -2 1 ) Na 3-4 (3 2 -4 2 , 3 1 -4 1 ) Wacha tuonyeshe hatua ya makutano ya mistari hii kwa KWA(K 1, K 2) Nukta KWA ni ya ndege tatu kwa wakati mmoja S, Q, W. Kwa hiyo, uhakika KWA S Na Q. Ndege W¢ hukatiza ndege S Na Q katika mistari iliyonyooka 5-6 (5 1 -6 1 , 5 2 -6 2 ) Na 7-8 (7 1 -8 1 , 7 2 -8 2 ) Hatua ya makutano ya mistari hii ni uhakika K¢. Yeye ni kama kipindi KWA ni ya mstari wa makutano ya ndege S Na Q. Kwa hiyo, mstari wa moja kwa moja l, kupita kwa pointi KWA Na K¢, kuna mstari wa moja kwa moja unaohitajika wa makutano ya ndege hizi S Na Q.

Kielelezo 1.3.26 - Makutano ya ndege mbili katika nafasi ya jumla

Mchoro 1.3.26 unaonyesha mfano wa kujenga mstari wa makutano ya ndege mbili kwa kuingilia mstari wa moja kwa moja na ndege. Ndege hufafanuliwa na pembetatu ABC Na EGF. Ndege msaidizi wa kukata S(S 2) Na S¢(S 2) huchorwa kupitia pande E.G. Na Jua pembetatu. Ndege S(S 2) huvuka pembetatu ABC katika mstari ulionyooka 1-2 . Nukta KWA E.G. Na 1-2 . Ndege S¢(S¢ 2) huvuka pembetatu EGF katika mstari ulionyooka 3-4 . Nukta K¢ ni matokeo ya makutano ya mistari Jua Na 3-4 . Pointi KWA Na K¢ punguza sehemu ya mstari unaohitajika wa makutano ulio ndani ya pembetatu zote mbili.

Mwonekano wa jamaa wa pembetatu unaobainishwa kwenye mwonekano wa mbele kwa kutumia pointi zinazoshindana 2 Na 4 , ya hatua gani 4 pande E.G. inashughulikia uhakika 2 pande Jua. Kuonekana kwenye ndege ya usawa ya makadirio imedhamiriwa kwa kutumia pointi zinazoshindana 5 Na 6 , ya hatua gani 6 pande E.G. inashughulikia uhakika 5 pande AC.

Mistari iliyopinda

Mstari uliopinda unaweza kuzingatiwa kama alama ya sehemu inayosogea. Hatua hii inaweza kuwa nukta moja au sehemu inayomilikiwa na mstari au uso unaosogea angani.

Mistari iliyopotoka inaweza kuundwa kwa makutano ya uso uliopinda na ndege (kwa ujumla), kwa makutano ya nyuso mbili, angalau moja ambayo ni curve.

Sheria ya malezi ya mstari uliopindika ni seti ya masharti ambayo huamua mstari huu. Hatua, mstari, uso unasonga katika nafasi, chini ya hali tofauti. Ndege inaweza kukatiza nyuso mbalimbali zilizopinda katika pande mbalimbali. Aina mbalimbali za nyuso zinaweza kuingiliana katika nafasi tofauti zinazohusiana na kila mmoja. Inafuata kwamba uundaji wa mstari uliopindika unaweza kuwa chini ya idadi isiyo na kipimo ya hali na idadi isiyo na kikomo ya mistari iliyopindika inaweza kuunda. Kwa kuongeza, mstari huo wa curved unaweza kuundwa kwa njia tofauti.

Kwa mfano, duaradufu inaweza kuundwa na harakati ya hatua katika ndege, ambayo wakati wowote jumla ya umbali kutoka hatua hii hadi pointi nyingine mbili za kudumu - foci ya ellipse - ni mara kwa mara na sawa na mhimili mkuu wa duaradufu. Lakini ellipse pia inaweza kuundwa kwa makutano ya silinda ya mviringo na ndege iko kiholela kwa heshima na mhimili wake au kwa makutano kamili ya nyuso za mitungi miwili ya mviringo ya kipenyo sawa.

Mistari yote iliyopindika kulingana na nafasi ya alama zao kwenye nafasi imegawanywa katika aina mbili: curves gorofa- curves, pointi zote ambazo ziko kwenye ndege moja (kwa mfano, duara, duaradufu, parabola, nk) na curves anga– curves ambazo pointi zake haziko kwenye ndege moja, kwa mfano, helix

Kutumia kuratibu zilizopewa za pointi A, B, C, D, E, F (Jedwali 2), jenga makadirio ya usawa na ya mbele ya pembetatu ∆АBC na ∆DEF, pata mstari wa makutano yao na uamua mwonekano wa vipengele vya pembetatu..

2.2. Mfano wa kazi nambari 2

Kazi ya pili inatoa seti ya kazi kwenye mada zifuatazo:

1. Makadirio ya Orthogonal, mchoro wa Monge, uhakika, mstari wa moja kwa moja, ndege: kwa kuratibu zinazojulikana za pointi sita A, B, C, D, E, F jenga makadirio ya mlalo na ya mbele ya ndege 2 zilizotolewa na ∆ ABC na ∆ DEF;

2. Ndege za jumla na maalum, makutano ya mstari na ndege, makutano ya ndege, pointi zinazoshindana.: jenga mstari wa makutano ya ndege zilizopewa na kuamua kuonekana kwa vipengele vyao.

Tengeneza makadirio ya usawa na ya mbele ya ndege uliyopewa ∆ ABC na ∆ DEF(Mchoro 2.1).

Ili kuunda mstari unaotaka wa makutano ya ndege uliyopewa, lazima:

1. Chagua moja ya pande za pembetatu na ujenge hatua ya makutano ya upande huu na ndege ya pembetatu nyingine: hatua imejengwa kwenye Mchoro 2.1. M makutano ya mstari wa moja kwa moja EF na ndege ∆ ABC; kwa hili moja kwa moja EF iliyoambatanishwa katika ndege ya makadirio ya mlalo δ;

2. Tengeneza makadirio ya mbele 1 2 2 Mistari 2 ya makutano ya ndege δ yenye ndege ∆ ABC;

3. Pata makadirio ya mbele M 2 pointi za utafutaji M kwenye makadirio ya mbele ya makutano 1 2 2 2 na makadirio ya mbele E 2 F 2 moja kwa moja EF;

4. Pata makadirio ya usawa M pointi 1 M kutumia mstari wa mawasiliano ya makadirio;

5. Jenga hatua ya pili kwa njia ile ile N, mali ya mstari unaotaka wa makutano ya ndege uliyopewa: funga mstari ulionyooka kwenye ndege inayoonyesha mbele β. Jua; pata mstari wa makutano 34 ndege yenye ndege ∆ DEF; kwenye makutano ya mstari 34 na moja kwa moja Jua kupata uhakika N;

6. Kutumia pointi za kushindana, kwa kila ndege tofauti, tambua sehemu zinazoonekana za pembetatu.

Mchoro 2.1 - Ujenzi wa mstari wa makutano ya ndege mbili zilizoelezwa na pembetatu

Kielelezo 2.2 - Mfano wa kazi 2

Mfano wa video wa kukamilisha kazi No

2.3. Chaguzi za kazi 2

Jedwali 2 - Maadili ya kuratibu ya pointi

Chaguo	Huratibu (x, y, z) za vipeo vya pembetatu
Chaguo	A	KATIKA	NA	D	E	F
1	20; 65; 30	40; 15; 65	80; 30; 35	15; 35; 70	70; 75; 80	35; 0; 0
2	75; 75; 5	60; 20; 60	20; 10; 40	30; 55; 50	90; 50; 35	60; 5; 10
3	0; 30; 75	30; 65; 15	80; 25; 15	45; 65; 75	95; 40; 0	10; 0; 10
4	90; 5; 70	65; 60; 15	15; 15; 20	25; 45; 70	95; 60; 35	65; 10; 0
5	30; 0; 10	70; 15; 15	15; 55; 16	70; 55; 60	5; 30; 60	20; 0; 0
6	20; 25; 0	60; 5; 80	90; 75; 40	0; 60; 60	75; 80; 70	90; 10; 0
7	0; 60; 20	20; 10; 60	85; 10; 20	50; 70; 65	75; 35; 0	10; 0; 5
8	10; 20; 15	55; 70; 5	80; 20; 45	20; 60; 55	100; 35; 20	60; 10; 5
9	0; 50; 10	60; 70; 70	80; 10; 10	20; 10; 70	90; 50; 60	60; 85; 0
10	85; 70; 10	25; 20; 25	90; 10; 60	15; 70; 65	105; 10; 45	70; 0; 0
11	25; 5; 25	60; 60; 5	95; 20; 50	36; 45; 55	105; 45; 60	70; 0; 0
12	95; 30; 65	15; 15; 10	70; 80; 5	35; 70; 70	115; 80; 55	85; 20; 0
13	20; 5; 60	50; 60; 5	90; 15; 30	60; 60; 60	100; 5; 10	25; 10; 0
14	10; 5; 70	80; 20; 25	40; 65; 10	70; 70; 70	0; 35; 60	30; 5; 0
15	20; 45; 55	60; 70; 10	90; 10; 60	20; 0; 10	95; 20; 10	75; 60; 75
16	5; 10; 60	40; 65; 10	70; 5; 40	70; 50; 75	0; 70; 45	15; 0; 5
17	10; 45; 5	90; 5; 10	50; 70; 70	15; 5; 50	95; 15; 65	60; 70; 0
18	65; 20; 70	0; 20; 15	50; 70; 5	15; 60; 55	90; 60; 40	60; 5; 5
19	20; 20; 70	50; 50; 10	70; 10; 30	80; 60; 70	5; 40; 60	25; 0; 10
20	85; 10; 45	70; 50; 0	20; 20; 10	55; 60; 60	0; 0; 60	75; 0; 0
21	0; 70; 60	30; 10; 80	70; 15; 20	60; 50; 70	0; 0; 50	15; 70; 5
22	0; 70; 25	45; 10; 70	90; 30; 20	65; 60; 70	90; 10; 15	15; 0; 15
23	10; 20; 40	50; 60; 10	75; 10; 40	75; 60; 75	5; 70; 55	35; 0; 0
24	10; 10; 10	90; 80; 20	65;10;60	15; 70; 65	100; 70; 40	80; 10; 0
25	60; 65; 10	0; 10; 25	85; 5; 60	20; 65; 60	105; 35; 35	55; 0; 0
26	10; 70; 20	50; 10; 60	90; 25; 10	70; 65; 45	5; 35; 55	25; 0; 50
27	10; 5; 70	40; 70; 10	90; 5; 40	100; 55; 25	25; 65; 80	50; 0; 0
28	0; 50; 5	25; 0; 60	85; 10; 15	50; 50; 50	90; 0; 55	20; 0; 0
29	10; 70; 10	40; 10; 50	80; 20; 20	80; 55; 55	10; 50; 70	20; 0; 0
30	75; 70; 20	10; 35; 10	60; 20; 60	20; 70; 70	100; 60; 50	75; 5; 0

Ndege mbili zinaingiliana kwa mstari ulionyooka. Ili kuijenga, ni muhimu kuamua pointi mbili ambazo wakati huo huo ni za kila moja ya ndege zilizopewa. Wacha tuangalie jinsi hii inafanywa kwa kutumia mifano ifuatayo.

Wacha tupate mstari wa makutano ya ndege za kawaida α na β kwa kesi wakati pl. α inatolewa na makadirio ya pembetatu ABC, na pl. β - mistari sambamba d na e. Suluhisho la tatizo hili linafanywa kwa kujenga pointi L 1 na L 2 za mstari wa makutano.

Suluhisho

Tunatanguliza ndege kisaidizi ya mlalo γ 1. Inakatiza α na β kando ya mistari iliyonyooka. Makadirio ya mbele ya mistari hii, 1""C"" na 2""3"", sanjari na alama ya mbele ya mraba. γ 1. Imeteuliwa katika mchoro kama f 0 γ 1 na iko sambamba na mhimili wa x.
Tunaamua makadirio ya usawa 1 "C" na 2"3" kando ya mistari ya mawasiliano.
Tunapata makadirio ya usawa ya hatua L 1 kwenye makutano ya mistari 1 "C" na 2"3". Makadirio ya mbele ya hatua L 1 iko kwenye ufuatiliaji wa mbele wa ndege γ.
Tunatanguliza ndege kisaidizi ya mlalo γ 2. Kutumia miundo inayofanana na ile iliyoelezewa katika aya ya 1, 2, 3, tunapata makadirio ya nukta L 2.
Kupitia L 1 na L 2 tunachora mstari wa moja kwa moja unaotaka l.

Ni muhimu kuzingatia kwamba kama pl. γ ni rahisi kutumia ndege za kiwango na ndege za makadirio.

Hebu tupate mstari wa makutano ya ndege α na β, iliyofafanuliwa na athari. Kazi hii ni rahisi zaidi kuliko ya awali. Haihitaji kuanzishwa kwa ndege za msaidizi. Jukumu lao linachezwa na ndege za makadirio P 1 na P 2.

Algorithm ya ujenzi

Tunapata uhakika L" 1, iko kwenye makutano ya ufuatiliaji wa usawa h 0 α na h 0 β. Hatua L "" 1 iko kwenye mhimili wa x. Msimamo wake umeamua kwa kutumia mstari wa uunganisho unaotolewa kutoka L" 1. .
Tunapata uhakika L"" 2 kwenye makutano ya athari za mbele pl. α na β. Point L" 2 iko kwenye mhimili wa x. Nafasi yake imedhamiriwa kando ya mstari wa uunganisho unaotolewa kutoka L"" 2.
Tunachora mistari ya moja kwa moja l" na l"" kupitia makadirio yanayolingana ya alama L 1 na L 2, kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu.

Kwa hivyo, mstari wa moja kwa moja l kupita kwenye sehemu za makutano ya athari za ndege ndio unayotaka.

Makutano ya ndege za pembetatu

Wacha tufikirie kuunda mstari wa makutano ya ndege zilizofafanuliwa na pembetatu ABC na DEF, na kuamua mwonekano wao kwa kutumia njia ya alama zinazoshindana.

Algorithm ya ujenzi

Kupitia mstari wa moja kwa moja wa DE tunachora ndege inayojitokeza mbele σ: ufuatiliaji wake f 0σ umeonyeshwa kwenye mchoro. Ndege σ inakatiza pembetatu ya ABC pamoja na mstari ulionyooka 35. Baada ya kuweka alama 3""=A""B""∩f 0σ na 5""=A""С""∩f 0σ, tunaamua nafasi (∙) 3" na (∙) 5" kando ya njia za mawasiliano katika ΔA"B"C".
Tunapata makadirio ya mlalo N"=D"E"∩3"5" ya uhakika N ya makutano ya mistari iliyonyooka DE na 35, ambayo iko katika ndege ya usaidizi σ. Makadirio N"" iko kwenye ufuatiliaji wa mbele. f 0σ kwenye mstari huo wa unganisho na N".

Kupitia mstari wa moja kwa moja BC tunachora ndege inayoonyesha mbele τ: ufuatiliaji wake f 0τ umeonyeshwa kwenye mchoro. Kutumia miundo inayofanana na ile iliyoelezewa katika aya ya 1 na 2 ya algorithm, tunapata makadirio ya nukta K.

Kupitia N na K tunatoa mstari wa moja kwa moja unaohitajika NK - mstari wa makutano ya ΔABC na ΔDEF.

Ufafanuzi wa Kuonekana

Pointi 4 na 5 zinazoshindana mbele, za ΔDEF na ΔABC, kwa mtiririko huo, ziko kwenye mstari wa moja kwa moja unaoonyesha mbele, lakini ziko katika umbali tofauti kutoka kwa ndege ya makadirio π 2 . Kwa kuwa (∙)5" iko karibu na mwangalizi kuliko (∙)4", sehemu ya ΔABC yenye (∙)5 yake inaonekana katika makadirio kwenye mraba. π 2. Kwa upande wa kinyume cha mstari wa N""K"", mwonekano wa pembetatu hubadilika.

Pointi zinazoshindana kwa usawa 6 na 7, mali ya ΔABC na ΔDEF, kwa mtiririko huo, ziko kwenye mstari wa moja kwa moja unaojitokeza kwa usawa, lakini ziko katika umbali tofauti kutoka kwa ndege ya makadirio π 1 . Kwa kuwa (∙)6"" iko juu zaidi ya (∙)7"", basi sehemu ya ΔABC yenye (∙)6 yake inaonekana katika makadirio kwenye mraba. π 1. Kwa upande wa kinyume cha mstari wa N "K", mwonekano wa pembetatu hubadilika.

Mstari wa moja kwa moja wa makutano ya ndege mbili imedhamiriwa na pointi mbili, ambayo kila moja ni ya ndege zote mbili, au hatua moja ya ndege mbili, na mwelekeo unaojulikana wa mstari. Katika visa vyote viwili, kazi ni kupata uhakika wa kawaida kwa ndege hizo mbili.

Mbinu ya jumla ya kujenga mstari wa makutano ya ndege mbilini kama ifuatavyo.Ndege ya msaidizi imeanzishwa, mistari ya makutano ya ndege ya msaidizi na mbili zilizopewa hujengwa, na hatua ya kawaida ya ndege mbili hupatikana kwenye makutano ya mistari iliyojengwa.Ili kupata hatua ya pili ya kawaidaujenzi unarudiwakwa kutumia ndege nyingine msaidizi.

Mchoro 4.5 unaonyesha uwakilishi wa kuona wa mstari wa makutano K1K2 ndege mbili P na Q.

Kwa uwakilishi wa kuona wa ujenzi wa hatua ya kwanza ya kawaida ya mstari wa makutano ya ndege P na Q (Mchoro 4.6) ndege ya msaidizi imeanzishwa S. Inaingiliana na ndege P kando ya mstari 1-2, na ndege ya Q - pamoja na mstari wa 3-4. Katika makutano ya mistari 1-2 na 3-4 hatua ya kwanza ya kawaida kuamua K1 ndege mbili P na Q - hatua ya kwanza ya mstari wa makutano yao.

Vile vile, ndege mpya ya kukata huletwa na hatua ya pili ya mstari wa makutano hujengwa.

Kesi maalum ya kujenga mstari wa makutano ya ndege mbili wakati mmoja wao anajitokeza.Katika kesi hiyo, ujenzi wa mstari wa makutano hurahisishwa na ukweli kwamba moja ya makadirio yake yanafanana na makadirio ya ndege inayojitokeza kwenye ndege ya makadirio ambayo ni perpendicular.

Kwa mfano, Mchoro 4.7 unaonyesha ujenzi wa makadirio tp, tp mistari ya makutano MN ndege ya makadirio ya mbele R na ndege ya pembetatu ABC.

Kwenye makadirio ya mbele kwenye makutano ya makadirio a"b" na a"c" yenye alama za P v kupata makadirio ya mbele aina" pointi mbili za kawaida za ndege zilizopewa. Makadirio ya usawa yalijengwa kwa msingi wao aina kwenye makadirio ya mlalo ab na ac pande za pembetatu. Kupitia nukta aina Tunatoa makadirio ya usawa ya mstari wa makutano ya ndege. Wakati wa kuangalia kando ya mshale S kutoka kwa makadirio ya mbele ni dhahiri kwamba sehemu ya pembetatu iko upande wa kushoto wa mstari wa makutano MN (t"p") iko juu ya ndege R, yaani inayoonekana, iliyobaki iko chini ya ndege R, yaani asiyeonekana (sehemu mbcn iliyoonyeshwa kwa mstari wa mstari).

Mfano mwingine wa kujenga mstari wa makutano ya sahani mbili za triangular ABC na DEF, moja ambayo (DEF) iliyobainishwa kama ndege inayoonyesha mlalo, iliyoonyeshwa katika

Kielelezo 4.8. Kwenye makadirio ya usawa kwenye makutano ya makadirio ya usawa ab na b c pande za pembetatu ABC yenye makadirio ya dfe ya pembetatu ya pili tunapata makadirio ya usawa aina pointi za makutano yao. Kulingana na wao juu ya makadirio ya mbele ya pande a"b" na b"c" kujenga makadirio ya mbele aina" pointi za makutano MN. Kwenye makadirio ya mbele tunaona mwonekano wa sehemu za pembetatu, zinazoongozwa na zifuatazo: wakati wa kuangalia kando ya mshale. S kutoka kwa makadirio ya usawa ni dhahiri kwamba upande AC iko mbele ya ndege ya pembetatu DEF.

Kwa hiyo, upande AC na sehemu ya pembetatu iliyopunguzwa nayo ABC kwa mstari wa makutano MN inayoonekana (yaani makadirio ya mbele ya pembe nne yanaonekana a"s"p"t"). Sehemu inayoonekana ya makadirio ya mbele ya pembetatu DEF kivuli katika kuchora.

Ujenzi wa mstari wa makutano ya ndege katika nafasi ya jumla.Mchoro 4.9 unaonyesha ujenzi wa makadirio tp, tp mistari ya makutano ya ndege mbili, moja ambayo inafafanuliwa na makadirio a"b", b"c’, ab, bc mistari miwili inayoingiliana, nyingine - makadirio d'e', f"g", de, fg mistari miwili sambamba.

Ndege mbili za usawa, zilizofafanuliwa na athari za Rv na T v.

R ndege hukatiza ndege ya kwanza katika mstari ulionyooka 1-2, pili - kwa mstari wa moja kwa moja 3-4. Kulingana na makadirio ya mbele 1, 2" na 3", 4" tunapata makadirio ya usawa kwa kutumia mistari ya mawasiliano 1, 2 na 3, 4 juu makadirio ya usawa ab, bс, de, fg moja kwa moja Kupitia kwao tunachora makadirio ya usawa ya mistari 1-2 na 3-4 mistari ya makutano. Weka alama kwa uhakika T - makadirio ya usawa ya hatua ya kawaida M ndege tatu - mbili zilizopewa na msaidizi R. Kwa kuitumia tunaamua makadirio ya mbele T" kwenye wimbo wa mbele Rv ndege msaidizi.

Ndege msaidizi T na R sambamba. Mistari ya makutano yao na ndege zilizopewa pia ni sawa. Kwa hiyo, makadirio ya usawa ya mistari ya makutano ya ndege T na ndege zilizopewa hutolewa kupitia makadirio b sambamba na makadirio 1-2 na kupitia makadirio 5 sambamba na makadirio 3-4. Makadirio ya mlalo yalipatikana kwenye makutano yao P hatua ya pili ya kawaida ya ndege tatu, i.e. mstari wa makutano ya ndege mbili zilizopewa. Pamoja nayo kwenye njia ya mbele Tv makadirio ya mbele yanajengwa kwenye ndege ya msaidizi P". Kupitia makadirio yaliyojengwa t", p" na t, uk Tunafanya makadirio ya mbele na ya usawa ya mstari unaohitajika wa makutano MN.