Ni nini maana ya kosa la sampuli? Kuamua ukubwa wa sampuli

Dhana ya uchunguzi wa kuchagua.

Kwa njia ya takwimu ya uchunguzi, inawezekana kutumia njia mbili za uchunguzi: kuendelea, kufunika vitengo vyote vya idadi ya watu, na kuchagua (isiyo ya kuendelea).

Kwa sampuli tunamaanisha mbinu ya utafiti inayohusishwa na uanzishwaji wa viashirio vya jumla vya idadi ya watu kwa baadhi ya sehemu yake kulingana na mbinu ya uteuzi nasibu.

Wakati wa uchunguzi wa kuchagua, sehemu ndogo ya idadi ya watu wote (5-10%) inachunguzwa.

Idadi yote ya watu itakayochunguzwa inaitwa idadi ya watu kwa ujumla.

Sehemu ya vitengo vilivyochaguliwa kutoka kwa idadi ya watu ambayo iko chini ya uchunguzi inaitwa sampuli ya idadi ya watu au sampuli.

Viashiria vinavyobainisha idadi ya jumla na sampuli:

1) Sehemu ya tabia mbadala;

KATIKA idadi ya watu uwiano wa vitengo vyenye sifa yoyote mbadala inaonyeshwa na herufi "P".

KATIKA sampuli ya idadi ya watu uwiano wa vitengo vyenye sifa yoyote mbadala inaonyeshwa na herufi "w".

2) Ukubwa wa kipengele cha wastani;

KATIKA idadi ya watu Ukubwa wa wastani wa kipengele unaonyeshwa na barua (wastani wa jumla).

KATIKA sampuli ya idadi ya watu Ukubwa wa wastani wa kipengele unaonyeshwa kwa herufi (maana ya sampuli).

Ufafanuzi wa kosa la sampuli.

Uchunguzi wa sampuli unategemea kanuni ya fursa sawa kwa vitengo vya idadi ya watu kwa ujumla kuangukia sampuli. Hii inaepuka makosa ya uchunguzi wa kimfumo. Walakini, kwa sababu ya ukweli kwamba idadi ya watu wanaosoma ina vitengo vilivyo na sifa tofauti, muundo wa sampuli unaweza kutofautiana na muundo wa idadi ya watu kwa ujumla, na kusababisha tofauti kati ya sifa za jumla na sampuli.

Tofauti hizo huitwa makosa ya uwakilishi au makosa ya sampuli.

Kuamua kosa la sampuli ndio shida kuu iliyotatuliwa wakati wa uchunguzi wa sampuli.

Katika takwimu za hisabati, inathibitishwa kuwa kosa la wastani la sampuli limedhamiriwa na formula:

Ambapo m ni kosa la sampuli;

s 2 0 - utawanyiko wa idadi ya watu kwa ujumla;

n - idadi ya vitengo katika sampuli ya idadi ya watu.

Kiutendaji, sampuli ya tofauti ya idadi ya watu s 2 inatumika kuamua wastani wa kosa la sampuli.

Kuna usawa kati ya tofauti za jumla na sampuli:

(2).

Kutoka kwa fomula (2) ni wazi kuwa tofauti ya jumla ni kubwa kuliko tofauti ya sampuli kwa kiasi (). Walakini, kwa saizi kubwa ya kutosha ya sampuli, uwiano huu uko karibu na umoja, kwa hivyo tunaweza kuandika hivyo

Hata hivyo, fomula hii ya kuamua wastani wa hitilafu ya sampuli inatumika tu kwa sampuli zinazorudiwa.

Katika mazoezi ni kawaida kutumika kurudia uteuzi na wastani wa kosa la sampuli huhesabiwa kwa njia tofauti kidogo, kwani saizi ya sampuli hupunguzwa wakati wa utafiti:

(4)

ambapo n ni saizi ya sampuli ya idadi ya watu;

N - idadi ya watu;

s 2 - sampuli tofauti.

Kwa sehemu ya sifa mbadala, wastani wa hitilafu ya sampuli saa uteuzi unaorudiwa imedhamiriwa na formula:

(5), wapi

w (1-w) - hitilafu ya wastani ya uwiano wa sampuli ya kipengele mbadala;

w ni sehemu ya sifa mbadala katika sampuli ya idadi ya watu.

Katika uteuzi upya Hitilafu ya wastani katika sehemu ya sifa mbadala imedhamiriwa kwa kutumia fomula iliyorahisishwa:

(6)

Kama saizi ya sampuli haizidi 5%; kosa la wastani la sehemu ya sampuli na wastani wa sampuli hubainishwa kwa kutumia fomula zilizorahisishwa (3) na (6).

Kuamua kosa la wastani la wastani wa sampuli na uwiano wa sampuli ni muhimu ili kubainisha thamani zinazowezekana za wastani wa jumla (x) na uwiano wa jumla (P) kulingana na wastani wa sampuli (x) na uwiano wa sampuli (w) .

Moja ya maadili yanayowezekana ambayo wastani wa jumla iko imedhamiriwa na formula:

Kwa sehemu ya jumla, muda huu unaweza kuandikwa kama :

(8)

Sifa za hisa na wastani katika idadi ya watu waliopatikana kwa njia hii hutofautiana na thamani ya sehemu ya sampuli na wastani wa sampuli kwa kiasi. m. Walakini, hii haiwezi kuhakikishwa kwa uhakika kamili, lakini kwa kiwango fulani cha uwezekano.

Katika takwimu za hisabati, imethibitishwa kuwa mipaka ya sifa za wastani wa jumla na sampuli hutofautiana na kiasi. m tu na uwezekano wa 0.683. Kwa hivyo, ni katika kesi 683 tu kati ya 1000 ndio wastani wa jumla ndani x=x mx, katika hali nyingine itavuka mipaka hii.

Uwezekano wa hukumu unaweza kuongezeka ikiwa tutapanua vikomo vya mikengeuko kwa kuchukua kama kipimo wastani wa makosa ya sampuli kuongezeka kwa mara t.

Sababu ya t inaitwa mgawo wa kujiamini. Inaamuliwa kulingana na kiwango cha kujiamini ambacho matokeo ya utafiti lazima yahakikishwe.

Mtaalam wa hesabu A.M. Lyapushev alihesabu maadili anuwai ya t, ambayo kawaida hutolewa kwenye meza zilizotengenezwa tayari.

Faida kuu ya uchunguzi wa sampuli kati ya zingine ni uwezo wa kukokotoa makosa ya sampuli nasibu.

Makosa ya sampuli yanaweza kuwa ya kimfumo au ya nasibu.

Kitaratibu- katika kesi wakati kanuni ya msingi ya sampuli - randomness - inakiukwa. Nasibu- kawaida hutokea kwa sababu ya ukweli kwamba muundo wa idadi ya watu wa sampuli daima hutofautiana na muundo wa idadi ya watu kwa ujumla, bila kujali jinsi uteuzi unafanywa kwa usahihi, yaani, licha ya kanuni ya uteuzi wa random wa vitengo vya idadi ya watu, bado kuna tofauti. kati ya sifa za sampuli na idadi ya watu kwa ujumla. Utafiti na kipimo cha makosa ya nasibu ya uwakilishi ndio kazi kuu ya njia ya sampuli.

Kwa kawaida, kosa la maana na kosa la uwiano mara nyingi huhesabiwa. Kanuni zifuatazo hutumiwa kwa mahesabu:

Wastani uliohesabiwa ndani ya idadi ya watu;

Wastani uliokokotolewa ndani ya sampuli ya idadi ya watu;

R- sehemu ya kikundi hiki katika idadi ya watu;

w- sehemu ya kikundi hiki katika sampuli ya idadi ya watu.

Kwa kutumia kanuni, makosa ya sampuli ya wastani na kwa uwiano yanaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

Wastani wa sampuli na uwiano wa sampuli ni vigeu vya nasibu ambavyo vinaweza kuchukua thamani yoyote kulingana na vitengo vya idadi ya watu ambavyo vimejumuishwa kwenye sampuli. Kwa hivyo, makosa ya sampuli pia ni anuwai ya nasibu na inaweza kuchukua maadili tofauti. Kwa hiyo, wastani wa makosa iwezekanavyo μ imedhamiriwa .

Tofauti na makosa ya kimfumo, hitilafu ya nasibu inaweza kuamuliwa mapema, kabla ya sampuli, kulingana na nadharia za kikomo zinazozingatiwa katika takwimu za hisabati.

Hitilafu ya wastani imedhamiriwa na uwezekano wa 0.683. Katika kesi ya uwezekano tofauti, wanazungumza juu ya kosa la pembezoni.

Kosa la wastani la sampuli kwa wastani na kwa uwiano linafafanuliwa kama ifuatavyo:

Katika fomula hizi, tofauti ya tabia ni tabia ya idadi ya watu kwa ujumla, ambayo haijulikani wakati wa uchunguzi wa sampuli. Katika mazoezi, hubadilishwa na sifa zinazofanana za idadi ya sampuli kulingana na sheria ya idadi kubwa, kulingana na ambayo idadi ya sampuli huzalisha kwa usahihi sifa za idadi ya watu kwa kiasi kikubwa.

Njia za kuamua makosa ya wastani ya njia anuwai za uteuzi:

Mbinu ya uteuzi	Imerudiwa	Isiyorudiwa
makosa ya wastani	kosa la kushiriki	makosa ya wastani	kosa la kushiriki
Vizuri random na mitambo
Kawaida
Msururu

μ - kosa la wastani;

∆ - kosa la juu;

P - ukubwa wa sampuli;

N- ukubwa wa idadi ya watu;

Tofauti kamili;

w- sehemu ya kategoria hii katika saizi ya jumla ya sampuli:

Wastani wa tofauti za ndani ya kikundi;

Δ 2 - utawanyiko wa makundi;

r- idadi ya mfululizo katika sampuli;

R- jumla ya idadi ya vipindi.

Hitilafu ya pembeni kwa njia zote za sampuli zinahusiana na kosa la wastani la sampuli kama ifuatavyo:

Wapi t- mgawo wa kujiamini, unaohusiana kiutendaji na uwezekano ambao thamani ya juu ya hitilafu inahakikishwa. Kulingana na uwezekano, mgawo wa kujiamini t huchukua maadili yafuatayo:

t	P
	0,683
1,5	0,866
2,0	0,954
2,5	0,988
3,0	0,997
4,0	0,9999

Kwa mfano, uwezekano wa kosa ni 0.683. Hii ina maana kwamba wastani wa jumla hutofautiana na wastani wa sampuli katika thamani kamili kwa si zaidi ya μ na uwezekano wa 0.683, basi ikiwa ndio maana ya sampuli, ndio maana ya jumla, basi Na uwezekano 0.683.

Ikiwa tunataka kuhakikisha uwezekano mkubwa wa hitimisho, kwa hivyo tunaongeza ukingo wa makosa ya nasibu.

Kwa hivyo, ukubwa wa kosa kubwa inategemea idadi ifuatayo:

Kubadilika kwa tabia (uhusiano wa moja kwa moja), ambayo ina sifa ya kiasi cha utawanyiko;

Saizi ya sampuli (maoni);

Uwezekano wa kujiamini (uunganisho wa moja kwa moja);

Mbinu ya uteuzi.

Mfano wa kuhesabu kosa la wastani na kosa la uwiano.

Ili kubaini wastani wa idadi ya watoto katika familia, familia 100 zilichaguliwa kutoka kwa familia 1000 kwa kutumia mbinu ya sampuli isiyo na urudiaji nasibu. Matokeo yanaonyeshwa kwenye jedwali:

Bainisha:.

- na uwezekano wa 0.997, kosa la juu la sampuli na mipaka ambayo wastani wa idadi ya watoto katika familia iko;

- na uwezekano wa 0.954, mipaka ambayo idadi ya familia zilizo na watoto wawili iko.

1. Hebu tujue kosa la juu la wastani na uwezekano wa 0.977. Ili kurahisisha mahesabu, tunatumia njia ya wakati:

uk = 0,997 t= 3

kosa la wastani la wastani, 0.116 - kosa la pembeni

2,12 – 0,116 ≤ ≤ 2,12+ 0,116

2,004 ≤ ≤ 2,236

Kwa hiyo, kwa uwezekano wa 0.997, idadi ya wastani ya watoto katika familia katika idadi ya watu, yaani, kati ya familia 1000, iko katika aina mbalimbali 2.004 - 2.236.

Hitilafu ya pembeni- kiwango cha juu cha tofauti kinachowezekana cha wastani au makosa ya juu zaidi kwa uwezekano fulani wa kutokea kwake.

1. Hitilafu ya juu zaidi ya sampuli kwa wastani wakati wa sampuli inayorudiwa huhesabiwa kwa kutumia fomula:

ambapo t ni kupotoka kwa kawaida - "mgawo wa kujiamini", ambayo inategemea uwezekano ambao unahakikisha kosa la juu la sampuli;

mu x - wastani wa makosa ya sampuli.

2. Hitilafu ya sampuli ya pembeni kwa sehemu wakati wa uteuzi unaorudiwa imedhamiriwa na formula:

3. Hitilafu ya juu zaidi ya sampuli kwa wastani na sampuli zisizorudiwa:

Kikomo cha makosa ya jamaa sampuli hufafanuliwa kama uwiano wa asilimia ya makosa ya sampuli ya pambizo kwa sifa inayolingana ya idadi ya sampuli. Inafafanuliwa hivi:

Sampuli ndogo

Nadharia ndogo ya sampuli ilitengenezwa Mwanafunzi wa takwimu za Kiingereza mwanzoni mwa karne ya 20. Mnamo 1908, aligundua usambazaji maalum ambao unaruhusu mtu kuoanisha t na uwezekano wa kujiamini F (t) hata katika sampuli ndogo. Kwa n kubwa zaidi ya 100, wanatoa matokeo sawa na jedwali la kiungo cha uwezekano wa Laplace, kwa 30.< n < 100 различия получаются незначительные. Поэтому на практике к малым выборкам относятся выборки объемом менее 30 единиц.

Hitilafu ndogo ya sampuli sawa na t-fold idadi ya makosa ya wastani ya sampuli:

μ - kosa la wastani la sampuli, lililohesabiwa kwa kuzingatia marekebisho ambayo marekebisho yanafanywa katika kesi hiyo uteuzi usio na kurudia;

t ni mgawo wa kujiamini unaopatikana katika kiwango fulani cha uwezekano. Kwa hivyo kwa P=0.997 kulingana na jedwali la maadili la kazi muhimu ya Laplace t=3

Ukubwa hitilafu ya sampuli ndogo inaweza kusanikishwa na fulani uwezekano. Uwezekano wa kosa kama hilo kuwa sawa au zaidi ya mara tatu ya wastani wa kosa la sampuli ni mdogo sana na ni sawa na 0.003 (1–0.997). Matukio kama haya yasiyowezekana yanazingatiwa kuwa haiwezekani, na kwa hivyouwezekano kwamba tofauti hii itazidi mara tatu kosa la wastani huamua kiwango cha makosa na sio zaidi 0,3% .

Uamuzi wa kosa la juu zaidi la sampuli kwa hisa

Hali:

Kutoka kwa bidhaa za kumaliza, kwa utaratibu wa randomness halisi uteuzi usio na kurudia, quintals 200 zilichaguliwa, ambapo quintals 8 ziliharibiwa. Je, tunaweza kuchukulia kwa uwezekano 0.954 kuwa hasara za uzalishaji hazitazidi 5% ikiwa sampuli ni 1:20 ya ukubwa wake?

Imetolewa:

n =200ts - saizi ya sampuli (sampuli ya idadi ya watu)
m = 8ts - idadi ya bidhaa zilizoharibiwa
n:N = 1:20 - uwiano wa uteuzi, ambapo N ni kiasi cha idadi ya watu (idadi ya jumla)
P = 0.954 - uwezekano

Bainisha: ∆ ω < 5% (согласуется ли то, что потери продукции не превысят 5%)

Suluhisho:

1. Wacha tubainishe sehemu ya sampuli - hii ni sehemu ya bidhaa zilizoharibiwa katika sampuli ya idadi ya watu:

2. Bainisha idadi ya watu kwa ujumla:

N=n*20=200*20=4000(ts)- wingi wa bidhaa zote.

3. Hebu tutambue kosa la juu la sampuli kwa sehemu ya bidhaa ambazo zina sifa inayofanana, i.e. kwa sehemu ya bidhaa zilizoharibiwa: Δ = t*μ, Wapi µ - kosa la wastani la hisa iliyo na tabia mbadala, kwa kuzingatia marekebisho ambayo marekebisho yanafanywa katika kesi hiyo. inayoweza kurudiwa uteuzi; t - mgawo wa kujiamini, ambao hupatikana kwa kiwango fulani cha uwezekano P = 0.954 kutoka kwa jedwali la maadili la kazi muhimu ya Laplace: t = 2

4. Bainisha r mipaka ya muda wa kujiamini Kwa hisa za sifa mbadala katika idadi ya watu kwa ujumla, i.e. ni sehemu gani ya bidhaa zilizoharibiwa zitakuwa katika jumla ya kiasi: kwa kuwa sehemu ya bidhaa zilizoharibiwa katika kiasi cha sampuli ni ω = 0.04, kisha kuzingatia kosa la juu ∆ ω = 0.027 sehemu ya jumla ya sifa mbadala(p) itachukua maadili yafuatayo:

ω-∆ ω < p < ω+∆ ω

0.04-0.027< p < 0.04+0.027

0.013 < p < 0.067

Hitimisho: kwa uwezekano P=0.954 inaweza kutajwa , kwamba uwiano wa bidhaa zilizoharibikawakati wa sampuli ya kiasi kikubwa, haitapita zaidi ya muda uliopatikana (si chini ya 1.3% na si zaidi ya 6.7%). Lakini bado kuna uwezekano kwamba sehemu ya bidhaa zilizoharibiwa inaweza kuzidi 5% ndani ya anuwai ya hadi 6.7%, ambayo, kwa upande wake, haiendani na taarifa ∆ ω< 5%.

*******

Hali:

Msimamizi wa duka anajua kutokana na uzoefu kuwa 25% ya wateja wanaoingia dukani hununua. Wacha tuchukue kuwa wateja 200 wanaingia kwenye duka.

Bainisha:

sehemu ya wanunuzi waliofanya manunuzi
sampuli tofauti za sehemu
mkengeuko wa kawaida wa sehemu ya sampuli
uwezekano kwamba uwiano wa sampuli utakuwa kati ya 0.25 na 0.30

Suluhisho:

Kama hisa ya jumla (uk) kukubali hisa ya mfano (ω ) na kuamua kikomo cha juu cha muda wa kujiamini.
Kujua hatua muhimu (kulingana na hali: sehemu ya sampuli itakuwa katika safu ya 0.25-0.30), tunajenga kanda muhimu ya upande mmoja (upande wa kulia).
Kutumia jedwali la maadili la kazi muhimu ya Laplace tunapata Z
Chaguo sawa linaweza kuzingatiwa kama uteuzi upya mradi mnunuzi huyo huyo, bila kununua mara ya kwanza, anarudi na kufanya ununuzi.

Ikiwa sampuli inazingatiwa kama inayoweza kurudiwa, ni muhimu kurekebisha kosa la wastani kwa sababu ya kurekebisha. Halafu, kwa kubadilisha maadili yaliyosahihishwa ya kosa la juu kwa sehemu ya sampuli, wakati wa kuamua eneo muhimu, Z na P zitabadilika.

Uamuzi wa kosa la juu zaidi la sampuli kwa wastani

Kulingana na takwimu kutoka kwa wafanyakazi 17 wa kampuni inayoajiri watu 260, wastani wa mshahara wa kila mwezi ulikuwa 360 USD, na s = 76 USD. Ni kiasi gani cha chini kinachopaswa kuwekwa kwenye akaunti ya kampuni ili kuhakikisha malipo ya mishahara kwa wafanyakazi wote wenye uwezekano wa 0.98?

Imetolewa:

n=17 - saizi ya sampuli (sampuli ya idadi ya watu)
N=260 - kiasi cha idadi ya watu (idadi ya jumla)
X Jumatano =360 - wastani wa sampuli
S=76 - sampuli ya mkengeuko wa kawaida
P = 0.98 - uwezekano wa kujiamini

Bainisha: thamani ya chini inayokubalika ya wastani wa jumla (kikomo cha chini cha muda wa kuaminiwa).

Ili kuashiria uaminifu wa viashiria vya sampuli, tofauti hufanywa kati ya makosa ya wastani na ya juu ya sampuli, ambayo ni tabia tu ya uchunguzi wa sampuli. Viashiria hivi vinaonyesha tofauti kati ya sampuli na viashiria vya jumla vinavyolingana.

Hitilafu ya wastani ya sampuli imedhamiriwa kimsingi na saizi ya sampuli na inategemea muundo na kiwango cha utofauti wa sifa inayosomwa.

Maana ya wastani wa makosa ya sampuli ni kama ifuatavyo. Thamani zilizokokotwa za uwiano wa sampuli (w) na wastani wa sampuli () ni viasili asilia nasibu. Wanaweza kuchukua thamani tofauti kulingana na vitengo mahususi vya idadi ya watu vimejumuishwa kwenye sampuli. Kwa mfano, ikiwa, wakati wa kuamua umri wa wastani wa wafanyikazi wa biashara, vijana zaidi hujumuishwa katika sampuli moja na wafanyikazi wakubwa katika nyingine, basi njia za sampuli na makosa ya sampuli zitakuwa tofauti. Hitilafu ya wastani ya sampuli imedhamiriwa na formula:

(27) au - sampuli upya. (28)

Ambapo: μ - kosa la wastani la sampuli;

σ - kupotoka kwa kawaida kwa tabia katika idadi ya watu;

n - ukubwa wa sampuli.

Ukubwa wa hitilafu μ huonyesha ni kiasi gani thamani ya wastani ya sifa iliyoanzishwa katika sampuli inatofautiana na thamani halisi ya sifa katika idadi ya jumla.

Inafuata kutokana na fomula kwamba hitilafu ya sampuli inalingana moja kwa moja na mkengeuko wa kawaida na inawiana kinyume na mzizi wa mraba wa idadi ya vitengo vilivyojumuishwa kwenye sampuli. Hii ina maana, kwa mfano, kwamba kadri uenezaji wa thamani wa sifa katika idadi ya watu unavyoongezeka, yaani, jinsi mtawanyiko unavyoongezeka, ndivyo ukubwa wa sampuli unavyopaswa kuwa mkubwa ikiwa tunataka kuamini matokeo ya sampuli ya uchunguzi. Na, kinyume chake, kwa mtawanyiko mdogo, unaweza kujizuia kwa idadi ndogo ya sampuli ya idadi ya watu. Hitilafu ya sampuli itakuwa ndani ya mipaka inayokubalika.

Kwa kuwa kwa sampuli zisizorudiwa, saizi ya N inapunguzwa wakati wa sampuli, jambo la ziada linajumuishwa katika fomula ya kuhesabu makosa ya wastani ya sampuli.

(1-). Fomula ya kosa la wastani la sampuli inachukua fomu ifuatayo:

Hitilafu ya wastani ni ndogo kwa sampuli isiyo ya kurudia, ambayo huamua matumizi yake pana.

Kwa hitimisho la vitendo, tabia ya idadi ya watu kulingana na matokeo ya sampuli inahitajika. Wastani wa sampuli na hisa husambazwa kwa idadi ya watu kwa ujumla, kwa kuzingatia kikomo cha makosa yao iwezekanavyo, na kwa kiwango cha uwezekano kinachoihakikishia. Baada ya kubainisha kiwango maalum cha uwezekano, thamani ya mkengeuko wa kawaida huchaguliwa na hitilafu ya juu zaidi ya sampuli imebainishwa.

Kuegemea (uwezekano wa kujiamini) wa tathmini ya X kulingana na X* inayoitwa uwezekano γ , ambayo ukosefu wa usawa unapatikana

"Х-Х*"< δ, (30)

ambapo δ ni hitilafu ya juu zaidi ya sampuli, inayoonyesha upana wa muda ambao, kwa uwezekano γ, thamani ya kigezo cha idadi ya watu kilichosomwa iko.

Inaaminika inayoitwa muda (X* - δ; X* + δ), ambayo inashughulikia parameta X chini ya utafiti (yaani, thamani ya parameta X iko ndani ya muda huu) na kuegemea fulani γ.

Kwa kawaida, kuegemea kwa makadirio kunatajwa mapema, na nambari iliyo karibu na moja inachukuliwa kama γ: 0.95; 0.99 au 0.999.

Hitilafu ya juu zaidi δ inahusiana na kosa la wastani μ kwa uhusiano ufuatao: , (31)

ambapo: t ni mgawo wa kutegemewa kulingana na uwezekano wa P ambao inaweza kusemwa kuwa kosa la pambizo δ halitazidi t-kunja kosa la wastani μ (pia huitwa pointi muhimu au quantiles za usambazaji wa Mwanafunzi).

Kama ifuatavyo kutoka kwa uhusiano , hitilafu ya pambizo ni sawia moja kwa moja na kosa la wastani la sampuli na mgawo wa ujasiri, ambayo inategemea kiwango fulani cha kuaminika kwa makadirio.

Kutoka kwa fomula ya kosa la wastani la sampuli na uwiano wa makosa ya kando na wastani, tunapata:

Kwa kuzingatia uwezekano wa kujiamini, fomula hii itachukua fomu: