Jinsi ya kutatua logarithm kwa kiwango cha msingi cha mtihani. Kutatua milinganyo ya logarithmic

Katika somo hili la video tutaangalia kusuluhisha hesabu kubwa ya logarithmic, ambayo hauitaji tu kupata mizizi, lakini pia chagua zile ambazo ziko kwenye sehemu fulani.

Tatizo C1. Tatua mlinganyo. Tafuta mizizi yote ya mlingano huu ambayo ni ya muda.

Dokezo kuhusu milinganyo ya logarithmic

Walakini, mwaka hadi mwaka wanafunzi wanakuja kwangu ambao wanajaribu kusuluhisha vile, kusema ukweli, milinganyo ngumu, lakini wakati huo huo hawawezi kuelewa: wanapaswa kuanza wapi na jinsi ya kukabiliana na logarithms? Tatizo hili linaweza kutokea hata kati ya wanafunzi wenye nguvu, waliojitayarisha vizuri.

Matokeo yake, wengi huanza kuogopa mada hii, au hata kujiona kuwa wajinga. Kwa hivyo, kumbuka: ikiwa huwezi kutatua equation kama hiyo, hii haimaanishi kuwa wewe ni mjinga. Kwa sababu, kwa mfano, unaweza kushughulikia equation hii karibu kwa maneno:

logi 2 x = 4

Na ikiwa sivyo hivyo, haungekuwa unasoma maandishi haya sasa, kwa sababu ulikuwa na shughuli rahisi na za kawaida. Bila shaka, mtu sasa atapinga: "Mlinganyo huu rahisi una uhusiano gani na muundo wetu mzuri?" Ninajibu: equation yoyote ya logarithmic, haijalishi inaweza kuwa ngumu kiasi gani, hatimaye inakuja kwa miundo hii rahisi ambayo inaweza kutatuliwa kwa mdomo.

Kwa kweli, mtu lazima ahama kutoka kwa hesabu ngumu za logarithmic kwenda kwa rahisi zaidi sio kwa uteuzi au kucheza na tambourini, lakini kulingana na sheria zilizo wazi, zilizoainishwa kwa muda mrefu, ambazo huitwa - sheria za kubadilisha misemo ya logarithmic. Kuzijua, unaweza kukabiliana kwa urahisi na hata milinganyo ya kisasa zaidi katika Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati.

Na ni sheria hizi ambazo tutazungumzia katika somo la leo. Nenda!

Kutatua mlingano wa logarithmic katika tatizo C1

Kwa hivyo, tunatatua equation:

Kwanza kabisa, linapokuja suala la hesabu za logarithmic, tunakumbuka mbinu za kimsingi - kwa kusema, sheria ya msingi ya kutatua milinganyo ya logarithmic. Inajumuisha yafuatayo:

Nadharia kuhusu fomu ya kisheria. Mlinganyo wowote wa logarithmic, haijalishi unajumuisha nini, haijalishi ni logariti gani, haijalishi msingi gani, na haijalishi ina nini, lazima ipunguzwe hadi mlingano wa fomu:

logi a f (x) = logi a g (x)

Ikiwa tunaangalia equation yetu, mara moja tunagundua shida mbili:

Upande wa kushoto tuna jumla ya nambari mbili, moja ambayo sio logarithm hata kidogo.
Kwa upande wa kulia kuna logarithm kabisa, lakini kwa msingi wake kuna mzizi. Na logarithm upande wa kushoto ni 2 tu, i.e. Misingi ya logarithm upande wa kushoto na kulia ni tofauti.

Kwa hivyo, tumekusanya orodha hii ya matatizo ambayo hutenganisha mlingano wetu na hiyo mlinganyo wa kisheria , ambayo equation yoyote ya logarithmic lazima ipunguzwe wakati wa mchakato wa ufumbuzi. Kwa hivyo, suluhisho la equation yetu ni katika hatua hii inakuja kwa kuondoa matatizo mawili yaliyoelezwa hapo juu.

Mlinganyo wowote wa logarithmic unaweza kutatuliwa kwa haraka na kwa urahisi ikiwa utaipunguza hadi fomu yake ya kisheria.

Jumla ya logariti na logariti ya bidhaa

Wacha tuendelee kwa utaratibu. Kwanza, hebu tuangalie muundo upande wa kushoto. Tunaweza kusema nini kuhusu jumla ya logariti mbili? Hebu tukumbuke formula ya ajabu:

logi a f (x) + logi a g (x) = logi a f (x) g (x)

Lakini inafaa kuzingatia kuwa kwa upande wetu muhula wa kwanza sio logarithm hata kidogo. Hii inamaanisha kuwa tunahitaji kuwakilisha kitengo kama logariti kwa msingi wa 2 (haswa 2, kwa sababu logariti hadi msingi 2 iko upande wa kushoto). Jinsi ya kufanya hivyo? Wacha tukumbuke tena formula nzuri:

a = logi b b a

Hapa unahitaji kuelewa: tunaposema "Msingi wowote wa b", tunamaanisha kuwa b bado haiwezi kuwa nambari ya kiholela. Ikiwa tutaingiza nambari kwenye logariti, hakika vikwazo, yaani: msingi wa logariti lazima uwe mkubwa kuliko 0 na usiwe sawa na 1. Vinginevyo, logariti haina maana. Hebu tuandike hii:

0 < b ≠ 1

Wacha tuone kile kinachotokea katika kesi yetu:

1 = logi 2 2 1 = logi 2 2

Sasa hebu tuandike upya mlinganyo wetu wote kwa kuzingatia ukweli huu. Na mara moja tunatumia sheria nyingine: jumla ya logarithms ni sawa na logarithm ya bidhaa ya hoja. Kama matokeo, tunapata:

Tuna equation mpya. Kama tunavyoona, tayari iko karibu zaidi na mlinganyo wa kisheria ambao tunajitahidi. Lakini kuna shida moja, tuliiandika kama nukta ya pili: logarithms zetu, ambazo ziko upande wa kushoto na kulia, sababu tofauti. Hebu tuendelee kwenye hatua inayofuata.

Sheria za kutoa nguvu kutoka kwa logariti

Kwa hivyo logariti iliyo upande wa kushoto ina msingi wa 2 tu, na logariti iliyo upande wa kulia ina mzizi kwenye msingi. Lakini hili sio tatizo ikiwa tutakumbuka kwamba misingi ya hoja za logarithm inaweza kupandishwa kwa mamlaka. Wacha tuandike moja ya sheria hizi:

logi a b n = n logi a b

Imetafsiriwa kuwa lugha ya binadamu: Unaweza kuchukua nguvu kutoka kwa msingi wa logariti na kuiweka mbele kama kizidishi. Nambari n "ilihama" kutoka kwa logariti kwenda nje na kuwa mgawo wa mbele.

Tunaweza kupata nguvu kwa urahisi kutoka kwa msingi wa logarithm. Itakuwa kama hii:

Kwa maneno mengine, ukiondoa digrii kutoka kwa hoja ya logariti, shahada hii pia imeandikwa kama sababu kabla ya logariti, lakini sio kama nambari, lakini kama nambari ya 1/k.

Hata hivyo, si hivyo tu! Tunaweza kuchanganya fomula hizi mbili na kuja na fomula ifuatayo:

Nguvu inapoonekana katika msingi na hoja ya logariti, tunaweza kuokoa muda na kurahisisha hesabu kwa kuondoa mamlaka kutoka kwa msingi na hoja mara moja. Katika kesi hii, kile kilichokuwa kwenye hoja (kwa upande wetu, hii ni mgawo n) itaonekana kwenye nambari. Na ni digrii gani kwenye msingi, k, itaenda kwa dhehebu.

Na ni fomula hizi ambazo tutatumia sasa ili kupunguza logariti zetu kuwa msingi sawa.

Kwanza kabisa, hebu tuchague msingi mzuri zaidi au mdogo. Kwa wazi, ni ya kupendeza zaidi kufanya kazi na mbili kwenye msingi kuliko na mzizi. Kwa hivyo hebu tujaribu kupunguza logariti ya pili kuwa msingi wa 2. Hebu tuandike logariti hii kando:

Tunaweza kufanya nini hapa? Wacha tukumbuke formula ya nguvu na kiashiria cha busara. Kwa maneno mengine, tunaweza kuandika mizizi kama nguvu iliyo na kipeo cha busara. Na kisha tunachukua nguvu ya 1/2 kutoka kwa hoja na msingi wa logarithm. Tunapunguza mbili-mbili katika coefficients katika nambari na denominator inayoangalia logarithm:

Hatimaye, hebu tuandike upya mlinganyo wa asili kwa kuzingatia hesabu mpya:

logi 2 2(9x 2 + 5) = logi 2 (8x 4 + 14)

Tumepata mlinganyo wa kisheria wa logarithmic. Wote upande wa kushoto na wa kulia tuna logarithm kwa msingi sawa 2. Mbali na logariti hizi, hakuna coefficients, hakuna masharti ama upande wa kushoto au wa kulia.

Kwa hivyo, tunaweza kuondoa ishara ya logarithm. Bila shaka, kwa kuzingatia uwanja wa ufafanuzi. Lakini kabla hatujafanya hivyo, hebu turudi nyuma na tutoe ufafanuzi kidogo kuhusu sehemu.

Kugawanya Sehemu kwa Sehemu: Mazingatio ya Ziada

Sio wanafunzi wote wanaoelewa ni wapi sababu zilizo mbele ya logarithm sahihi hutoka na wapi wanaenda. Hebu tuandike tena:

Wacha tujue sehemu ni nini. Hebu tuandike:

Sasa hebu tukumbuke sheria ya kugawanya sehemu: kugawanya kwa 1/2 unahitaji kuzidisha kwa sehemu iliyogeuzwa:

Kwa kweli, kwa urahisi wa mahesabu zaidi, tunaweza kuandika mbili kama 2/1 - na hii ndio tunaona kama mgawo wa pili katika mchakato wa suluhisho.

Natumai sasa kila mtu anaelewa mgawo wa pili unatoka wapi, kwa hivyo hebu tuende moja kwa moja ili kutatua mlingano wetu wa kisheria wa logarithmic.

Kuondoa ishara ya logarithm

Acha nikukumbushe kuwa sasa tunaweza kuondoa logarithm na kuacha usemi ufuatao:

2(9x 2 + 5) = 8x 4 + 14

Hebu tufungue mabano upande wa kushoto. Tunapata:

18x 2 + 10 = 8x 4 + 14

Wacha tuondoe kila kitu kutoka upande wa kushoto kwenda kulia:

8x 4 + 14 − 18x 2 - 10 = 0

Wacha tulete zinazofanana na tupate:

8x 4 - 18x 2 + 4 = 0

Tunaweza kugawanya pande zote mbili za mlinganyo huu kwa 2 ili kurahisisha mgawo, na tukapata:

4x 4 − 9x 2 + 2 = 0

Mbele yetu ni kawaida mlinganyo wa pande mbili , na mizizi yake huhesabiwa kwa urahisi kwa njia ya kibaguzi. Kwa hivyo, wacha tuandike kibaguzi:

D = 81 - 4 4 2 = 81 - 32 = 49

Kubwa, ubaguzi ni "mzuri", mzizi wake ni 7. Hiyo ni, hebu tuhesabu X wenyewe. Lakini katika kwa kesi hii mizizi haitakuwa x, lakini x 2, kwa sababu tuna equation ya biquadratic. Kwa hivyo, chaguzi zetu:

Tafadhali kumbuka: tulichimba mizizi, kwa hivyo kutakuwa na majibu mawili, kwa sababu ... mraba - kazi hata. Na ikiwa tutaandika mzizi wa mbili tu, basi tutapoteza mzizi wa pili.

Sasa tunaandika mzizi wa pili wa equation yetu ya biquadratic:

Tena, tunatoa hesabu Kipeo kutoka pande zote mbili za equation yetu tunapata mizizi miwili. Walakini, kumbuka:

Haitoshi tu kusawazisha hoja za logariti katika mfumo wa kisheria. Kumbuka kikoa cha ufafanuzi!

Kwa jumla tulipata mizizi minne. Zote ni suluhu za mlingano wetu wa asili. Angalia: katika mlingano wetu wa asili wa logarithmic, logariti ndani ni 9x 2 + 5 (kitendaji hiki huwa chanya kila wakati) au 8x 4 + 14 - ambayo pia ni chanya kila wakati. Kwa hiyo, kikoa cha ufafanuzi wa logarithms kinaridhika kwa hali yoyote, bila kujali ni mizizi gani tunayopata, ambayo ina maana kwamba mizizi yote minne ni suluhisho kwa equation yetu.

Mkuu, sasa tuendelee na sehemu ya pili ya tatizo.

Uteuzi wa mizizi ya mlinganyo wa logarithmic kwenye sehemu

Kutoka kwa mizizi yetu minne tunachagua wale ambao wamelala kwenye sehemu [-1; 8/9]. Tunarudi kwenye mizizi yetu, na sasa tutafanya uteuzi wao. Kuanza, napendekeza kuchora mhimili wa kuratibu na uweke alama kwenye ncha za sehemu juu yake:

Pointi zote mbili zitatiwa kivuli. Wale. Kulingana na hali ya shida, tunavutiwa na sehemu ya kivuli. Sasa hebu tuangalie mizizi.

Mizizi isiyo na maana

Hebu tuanze na mizizi isiyo na mantiki. Kumbuka kwamba 8/9< 9/9 = 1. С другой стороны, корень из двух явно больше единицы. Следовательно, наши корни будут находиться на отрезке в таком положении:

Inafuata kutoka kwa hili kwamba mzizi wa mbili hauingii katika sehemu ya maslahi kwetu. Vile vile, tutapatana mizizi hasi: ni chini ya −1, yaani, iko upande wa kushoto wa sehemu inayotuvutia.

Mizizi ya busara

Kuna mizizi miwili iliyosalia: x = 1/2 na x = -1/2. Hebu tutambue kwamba mwisho wa kushoto wa sehemu (-1) ni hasi, na mwisho wa kulia (8/9) ni chanya. Kwa hiyo, mahali fulani kati ya mwisho huu iko nambari 0. Mzizi x = -1/2 itakuwa kati ya -1 na 0, i.e. itaishia kwenye jibu la mwisho. Tunafanya vivyo hivyo na mzizi x = 1/2. Mzizi huu pia upo kwenye sehemu inayozingatiwa.

Unaweza kuhakikisha kuwa 8/9 ni kubwa kuliko 1/2. Wacha tuondoe nambari hizi kutoka kwa kila mmoja:

Tulipata sehemu 7/18 > 0, ambayo kwa ufafanuzi ina maana kwamba 8/9 > 1/2.

Wacha tuweke alama kwenye mizizi inayofaa kwenye mhimili wa kuratibu:

Jibu la mwisho litakuwa mizizi miwili: 1/2 na -1/2.

Ulinganisho wa nambari zisizo na maana: algorithm ya ulimwengu wote

Kwa kumalizia, ningependa kurudi tena kwa nambari zisizo na maana. Kwa kutumia mfano wao, sasa tutaangalia jinsi ya kulinganisha idadi ya kimantiki na isiyo na mantiki katika hisabati. Kuanza, kuna tiki kama hiyo kati yao V - ishara "zaidi" au "chini", lakini bado hatujui inaelekezwa kwa mwelekeo gani. Hebu tuandike:

Kwa nini tunahitaji algorithms yoyote ya kulinganisha? Ukweli ni kwamba katika shida hii tulikuwa na bahati sana: katika mchakato wa kutatua nambari ya kugawanya 1 iliibuka, ambayo tunaweza kusema kwa hakika:

Walakini, hautaona nambari kama hiyo mara moja. Kwa hivyo wacha tujaribu kulinganisha nambari zetu moja kwa moja.

Inafanywaje? Tunafanya sawa na ukosefu wa usawa wa kawaida:

Kwanza, ikiwa tungekuwa na hesabu hasi mahali fulani, tungezidisha pande zote mbili za ukosefu wa usawa kwa -1. Bila shaka kubadilisha ishara. Alama hii ya kuteua V ingebadilika hadi hii - Λ.
Lakini kwa upande wetu, pande zote mbili tayari ni chanya, kwa hiyo hakuna haja ya kubadili chochote. Kinachohitajika ni kweli mraba pande zote mbili kuondokana na radical.

Ikiwa wakati wa kulinganisha nambari zisizo na mantiki Ikiwa huwezi kupata kipengee cha kutenganisha mara moja, ninapendekeza ufanye ulinganisho huu "kwa macho" - nikielezea kama ukosefu wa usawa wa kawaida.

Wakati wa kuisuluhisha, inarasimishwa kama hii:

Sasa ni rahisi kulinganisha. Jambo ni kwamba 64/81< 81/81 = 1 < 2. На основании той цепочки преобразований мы заключаем, что 64/81 < 2 и, следовательно, корень больше 8/9.

Hiyo ni, tumepokea uthibitisho mkali kwamba nambari zote zimewekwa alama kwenye mstari wa nambari x kwa usahihi na haswa katika mlolongo ambao zinapaswa kuwa. Hakuna mtu atakayepata kosa na suluhisho hili, kwa hivyo kumbuka: ikiwa hautaona nambari ya kugawa mara moja (kwa upande wetu ni 1), basi jisikie huru kuandika ujenzi hapo juu, kuzidisha, mraba - na mwishowe utafanya. pata usawa mzuri. Kutokana na kukosekana kwa usawa huu itakuwa wazi ni idadi gani kubwa na ambayo ni ndogo.

Tukirejea tatizo letu, ningependa kukukumbusha tena kile tulichofanya mwanzoni kabisa wakati wa kutatua mlingano wetu. Yaani: tuliangalia kwa karibu equation yetu ya asili ya logarithmic na tukajaribu kuipunguza kisheria mlinganyo wa logarithmic. Ambapo kuna logariti tu upande wa kushoto na kulia - bila masharti yoyote ya ziada, coefficients mbele, nk. Hatuhitaji logariti mbili kulingana na a au b, lakini logariti sawa na logarithm nyingine.

Kwa kuongeza, misingi ya logarithms lazima pia iwe sawa. Kwa kuongezea, ikiwa equation imeundwa kwa usahihi, basi kwa msaada wa msingi mabadiliko ya logarithmic(jumla ya logariti, ubadilishaji wa nambari hadi logariti, n.k.) tutapunguza mlingano huu hadi ule wa kisheria.

Kwa hivyo, kuanzia sasa na kuendelea, unapoona equation ya logarithmic ambayo haiwezi kutatuliwa mara moja, haifai kupotea au kujaribu kutafuta jibu. Unachohitaji kufanya ni kufuata hatua hizi:

Badilisha vipengele vyote vya bure kuwa logarithm;
Kisha ongeza logarithm hizi;
Katika ujenzi unaosababisha, punguza logarithms zote kwa msingi sawa.

Kama matokeo, utapata equation rahisi ambayo inaweza kutatuliwa kwa kutumia zana za msingi za algebra kutoka kwa vifaa vya daraja la 8-9. Kwa ujumla, nenda kwenye wavuti yangu, fanya mazoezi ya kusuluhisha logariti, suluhisha milinganyo ya logarithmic kama mimi, suluhisha bora kuliko mimi. Na hiyo ni kwa ajili yangu tu. Pavel Berdov alikuwa nawe. Tuonane tena!

Maneno ya logarithmic, mifano ya kutatua. Katika makala hii tutaangalia matatizo yanayohusiana na kutatua logarithms. Majukumu yanauliza swali la kupata maana ya usemi. Ikumbukwe kwamba dhana ya logarithm hutumiwa katika kazi nyingi na kuelewa maana yake ni muhimu sana. Kuhusu Mtihani wa Jimbo la Umoja, logarithm hutumiwa wakati wa kusuluhisha hesabu, katika shida zinazotumika, na pia katika kazi zinazohusiana na masomo ya kazi.

Wacha tutoe mifano ili kuelewa maana halisi ya logarithm:

Utambulisho wa msingi wa logarithmic:

Sifa za logarithm ambazo lazima zikumbukwe kila wakati:

* Logarithm ya bidhaa sawa na jumla logarithms ya sababu.

* * *

*Logariti ya nukuu (sehemu) ni sawa na tofauti kati ya logariti za vipengele.

* * *

*Logariti ya shahada sawa na bidhaa kielelezo kwa logariti ya msingi wake.

* * *

* Mpito kwa msingi mpya

* * *

Sifa zaidi:

* * *

Hesabu ya logarithms inahusiana kwa karibu na matumizi ya mali ya vielelezo.

Hebu tuorodhe baadhi yao:

kiini ya mali hii iko katika ukweli kwamba wakati wa kuhamisha nambari kwa denominator na kinyume chake, ishara ya kielelezo hubadilika kinyume chake. Kwa mfano:

Muhtasari kutoka kwa mali hii:

* * *

Wakati wa kuinua nguvu kwa nguvu, msingi unabaki sawa, lakini vielelezo vinazidishwa.

* * *

Kama umeona, wazo la logarithm yenyewe ni rahisi. Jambo kuu ni kwamba unahitaji mazoezi mazuri, ambayo inakupa ujuzi fulani. Bila shaka, ujuzi wa fomula unahitajika. Ikiwa ujuzi wa kubadilisha logarithms za msingi haujatengenezwa, basi wakati wa kutatua kazi rahisi Ni rahisi kufanya makosa.

Fanya mazoezi, suluhisha mifano rahisi zaidi kutoka kwa kozi ya hisabati kwanza, kisha uende kwa ile ngumu zaidi. Katika siku zijazo, hakika nitaonyesha jinsi logarithms "zinazotisha" zinavyotatuliwa;

Ni hayo tu! Bahati nzuri kwako!

Kwa dhati, Alexander Krutitskikh

P.S: Ningeshukuru ukiniambia kuhusu tovuti kwenye mitandao ya kijamii.

Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.

Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi

Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.

Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.

Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.

Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:

Unapotuma ombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, anwani Barua pepe na kadhalika.

Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:

Imekusanywa na sisi habari za kibinafsi huturuhusu kuwasiliana nawe na kukujulisha kuhusu matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani, kama vile kufanya ukaguzi, uchambuzi wa data na utafiti mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.

Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine

Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.

Vighairi:

Ikiwa ni lazima, kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, katika kesi za kisheria, na/au kulingana na maswali ya umma au maombi kutoka mashirika ya serikali kwenye eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.

Ulinzi wa habari za kibinafsi

Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.

Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni

Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.

Kama unavyojua, wakati wa kuzidisha misemo kwa nguvu, vielelezo vyao kila wakati huongeza (a b *a c = a b+c). Sheria hii ya hisabati ilitolewa na Archimedes, na baadaye, katika karne ya 8, mwanahisabati Virasen aliunda jedwali la wafadhili kamili. Ni wao ambao walihudumu kwa ugunduzi zaidi wa logarithms. Mifano ya kutumia kipengele hiki inaweza kupatikana karibu kila mahali ambapo unahitaji kurahisisha kuzidisha kwa shida kwa kuongeza rahisi. Ikiwa unatumia dakika 10 kusoma makala hii, tutakuelezea nini logarithms ni na jinsi ya kufanya kazi nao. Kwa lugha rahisi na inayoweza kufikiwa.

Ufafanuzi katika hisabati

Logariti ni usemi wa fomu ifuatayo: weka alama b=c, yaani, logariti ya nambari yoyote isiyo hasi (yaani, chanya yoyote) "b" kwa msingi wake "a" inachukuliwa kuwa nguvu "c." ” ambayo msingi wa “a” lazima uinzwe ili hatimaye kupata thamani ya "b". Hebu tuchambue logarithm kwa kutumia mifano, tuseme kuna logi ya kujieleza 2 8. Jinsi ya kupata jibu? Ni rahisi sana, unahitaji kupata nguvu kwamba kutoka 2 hadi nguvu zinazohitajika unapata 8. Baada ya kufanya mahesabu fulani katika kichwa chako, tunapata namba 3! Na hiyo ni kweli, kwa sababu 2 kwa nguvu ya 3 inatoa jibu kama 8.

Aina za logarithm

Kwa wanafunzi na wanafunzi wengi, mada hii inaonekana kuwa ngumu na isiyoeleweka, lakini kwa kweli logarithms sio ya kutisha sana, jambo kuu ni kuelewa maana yao ya jumla na kukumbuka mali zao na sheria kadhaa. Kuna tatu aina ya mtu binafsi maneno ya logarithmic:

Logarithm ya asili ln a, ambapo msingi ni nambari ya Euler (e = 2.7).
Desimali a, ambapo msingi ni 10.
Logariti ya nambari yoyote b hadi msingi a>1.

Kila mmoja wao ameamua kwa njia ya kawaida, ambayo inajumuisha kurahisisha, kupunguza na kupunguzwa kwa logariti moja kwa kutumia nadharia za logarithmic. Ili kupata maadili sahihi ya logarithms, unapaswa kukumbuka mali zao na mlolongo wa vitendo wakati wa kuzitatua.

Sheria na baadhi ya vikwazo

Katika hisabati, kuna sheria-vikwazo kadhaa ambazo zinakubaliwa kama axiom, yaani, hazijadiliwi na ni ukweli. Kwa mfano, nambari haziwezi kugawanywa na sifuri, na pia haiwezekani kuchimba mzizi hata shahada kutoka nambari hasi. Logarithms pia ina sheria zao wenyewe, kufuatia ambayo unaweza kujifunza kwa urahisi kufanya kazi hata kwa maneno marefu na yenye uwezo wa logarithmic:

msingi "a" lazima iwe daima Juu ya sifuri, na wakati huo huo usiwe sawa na 1, vinginevyo usemi utapoteza maana yake, kwa sababu "1" na "0" kwa kiwango chochote daima ni sawa na maadili yao;
ikiwa > 0, basi b > 0, inageuka kuwa "c" lazima pia iwe kubwa kuliko sifuri.

Jinsi ya kutatua logarithms?

Kwa mfano, kazi inapewa kupata jibu la equation 10 x = 100. Hii ni rahisi sana, unahitaji kuchagua nguvu kwa kuinua namba kumi ambayo tunapata 100. Hii, bila shaka, ni 10 2 = 100.

Sasa hebu tuwakilishe usemi huu katika muundo wa logarithmic. Tunapata logi 10 100 = 2. Wakati wa kutatua logarithms, vitendo vyote hukutana kivitendo ili kupata nguvu ambayo ni muhimu kuingiza msingi wa logarithm ili kupata nambari iliyotolewa.

Ili kuamua kwa usahihi thamani ya shahada isiyojulikana, unahitaji kujifunza jinsi ya kufanya kazi na meza ya digrii. Inaonekana kama hii:

Kama unavyoona, baadhi ya vielelezo vinaweza kubashiriwa kwa angavu ikiwa una akili ya kiufundi na ujuzi wa jedwali la kuzidisha. Hata hivyo kwa maadili makubwa utahitaji meza ya digrii. Inaweza kutumika hata na wale ambao hawajui chochote kuhusu ngumu mada za hisabati. Safu wima ya kushoto ina nambari (msingi a), safu ya juu ya nambari ni thamani ya nguvu c ambayo nambari a imeinuliwa. Katika makutano, seli zina nambari za nambari ambazo ni jibu (a c = b). Hebu tuchukue, kwa mfano, kiini cha kwanza kabisa na namba 10 na mraba, tunapata thamani 100, ambayo imeonyeshwa kwenye makutano ya seli zetu mbili. Kila kitu ni rahisi na rahisi kwamba hata mwanadamu wa kweli zaidi ataelewa!

Equations na kutofautiana

Inabadilika kuwa chini ya hali fulani kielelezo ni logarithm. Kwa hivyo, maneno yoyote ya kihesabu ya kihesabu yanaweza kuandikwa kama usawa wa logarithmic. Kwa mfano, 3 4 =81 inaweza kuandikwa kama logariti msingi 3 ya 81 sawa na nne (logi 3 81 = 4). Kwa nguvu hasi sheria ni sawa: 2 -5 = 1/32 tunaiandika kama logarithm, tunapata logi 2 (1/32) = -5. Moja ya sehemu ya kuvutia zaidi ya hisabati ni mada ya "logarithms". Tutaangalia mifano na ufumbuzi wa equations hapa chini, mara baada ya kujifunza mali zao. Sasa hebu tuangalie jinsi usawa unavyoonekana na jinsi ya kutofautisha kutoka kwa equations.

Kwa kuzingatia usemi wa fomu ifuatayo: logi 2 (x-1) > 3 - ni usawa wa logarithmic, kwa kuwa thamani isiyojulikana "x" iko chini ya ishara ya logariti. Na pia katika usemi idadi mbili zinalinganishwa: logarithm ya nambari inayotakiwa kwa msingi wa pili ni kubwa kuliko nambari tatu.

Tofauti muhimu zaidi kati ya milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa ni kwamba milinganyo yenye logariti (kwa mfano, logariti 2 x = √9) inaashiria jibu moja au zaidi mahususi. maadili ya nambari, wakati wa kutatua kukosekana kwa usawa hufafanuliwa kama kanda maadili yanayokubalika, na vizuizi vya chaguo hili la kukokotoa. Kama matokeo, jibu sio seti rahisi ya nambari za mtu binafsi, kama katika jibu la equation, lakini mfululizo unaoendelea au seti ya nambari.

Nadharia za msingi kuhusu logarithms

Wakati wa kusuluhisha kazi za zamani za kupata maadili ya logarithm, sifa zake haziwezi kujulikana. Walakini, linapokuja suala la hesabu za logarithmic au usawa, kwanza kabisa, ni muhimu kuelewa wazi na kutumia katika mazoezi yote. mali ya msingi logarithmu. Tutaangalia mifano ya milinganyo baadaye, hebu kwanza tuangalie kila mali kwa undani zaidi.

Kitambulisho kikuu kinaonekana kama hii: logiB =B. Inatumika tu wakati a ni kubwa kuliko 0, si sawa na moja, na B ni kubwa kuliko sifuri.
Logarithm ya bidhaa inaweza kuwakilishwa katika formula ifuatayo: logi d (s 1 * s 2) = logi d s 1 + logi d s 2. Katika kesi hii, hali ya lazima ni: d, s 1 na s 2 > 0; a≠1. Unaweza kutoa uthibitisho wa fomula hii ya logarithmic, kwa mifano na suluhisho. Hebu tuandikie s 1 = f 1 na uweke s 2 = f 2, kisha f1 = s 1, f2 = s 2. Tunapata kwamba s 1 * s 2 = a f1 * f2 = f1 + f2 (sifa za digrii ), na kisha kwa ufafanuzi: logi a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = weka s1 + logi a s 2, ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.
Logariti ya mgawo inaonekana kama hii: logi a (s 1/ s 2) = logi a s 1 - logi a s 2.
Nadharia katika mfumo wa fomula inachukua mtazamo unaofuata: logi a q b n = n/q logi a b.

Fomula hii inaitwa "mali ya kiwango cha logarithm." Inafanana na mali ya digrii za kawaida, na haishangazi, kwa sababu hisabati zote zinategemea postulates asili. Hebu tuangalie uthibitisho.

Hebu tuandikie b = t, inageuka t =b. Ikiwa tunainua sehemu zote mbili kwa nguvu m: a tn = b n;

lakini kwa kuwa tn = (a q) nt/q = b n, kwa hiyo weka q b n = (n*t)/t, kisha weka q b n = n/q logi a b. Nadharia imethibitishwa.

Mifano ya matatizo na ukosefu wa usawa

Aina za kawaida za matatizo kwenye logariti ni mifano ya milinganyo na usawa. Zinapatikana katika karibu vitabu vyote vya shida, na pia ni sehemu inayohitajika ya mitihani ya hisabati. Kwa ajili ya kujiunga na chuo kikuu au kupita mitihani ya kuingia katika hisabati unahitaji kujua jinsi ya kutatua matatizo hayo kwa usahihi.

Kwa bahati mbaya, hakuna mpango au mpango mmoja wa kutatua na kuamua thamani isiyojulikana Hakuna kitu kama logarithm, lakini sheria fulani zinaweza kutumika kwa kila usawa wa hisabati au mlinganyo wa logarithmic. Kwanza kabisa, unapaswa kujua ikiwa usemi unaweza kurahisishwa au kusababisha muonekano wa jumla. Unaweza kurahisisha misemo ndefu ya logarithmic ikiwa unatumia sifa zao kwa usahihi. Hebu tuwafahamu haraka.

Wakati wa kusuluhisha milinganyo ya logarithmic, lazima tubaini ni aina gani ya logariti tuliyo nayo: usemi wa mfano unaweza kuwa na logariti asilia au desimali.

Hapa kuna mifano ln100, ln1026. Suluhisho lao linapungua kwa ukweli kwamba wanahitaji kuamua nguvu ambayo msingi 10 itakuwa sawa na 100 na 1026, kwa mtiririko huo. Kwa ufumbuzi logarithms asili haja ya kuomba vitambulisho vya logarithmic au mali zao. Wacha tuangalie suluhisho kwa mifano matatizo ya logarithmic aina tofauti.

Jinsi ya Kutumia Fomula za Logarithm: Pamoja na Mifano na Suluhisho

Kwa hivyo, hebu tuangalie mifano ya kutumia nadharia za kimsingi kuhusu logarithms.

Mali ya logarithm ya bidhaa inaweza kutumika katika kazi ambapo ni muhimu kupanua umuhimu mkubwa nambari b kwa zaidi sababu kuu. Kwa mfano, logi 2 4 + logi 2 128 = logi 2 (4*128) = logi 2 512. Jibu ni 9.
logi 4 8 = logi 2 2 2 3 = 3/2 logi 2 2 = 1.5 - kama unaweza kuona, kwa kutumia mali ya nne ya nguvu ya logarithm, tuliweza kutatua usemi unaoonekana kuwa ngumu na usioweza kutatuliwa. Unahitaji tu kuangazia msingi na kisha kuchukua maadili ya kielelezo nje ya ishara ya logarithm.

Kazi kutoka kwa Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa

Logarithms mara nyingi hupatikana ndani mitihani ya kuingia, haswa shida nyingi za logarithmic katika Mtihani wa Jimbo la Umoja ( Mtihani wa serikali kwa wahitimu wote wa shule). Kawaida kazi hizi hazipo tu katika sehemu A (rahisi zaidi sehemu ya mtihani mtihani), lakini pia katika sehemu C (kazi ngumu zaidi na ngumu). Mtihani unahitaji maarifa sahihi na kamili ya mada "Logarithms asili".

Mifano na ufumbuzi wa matatizo huchukuliwa kutoka rasmi Chaguo za Mitihani ya Jimbo Iliyounganishwa. Wacha tuone jinsi kazi kama hizo zinatatuliwa.

Imepewa logi 2 (2x-1) = 4. Suluhisho:
hebu tuandike upya usemi huo, kurahisisha logi kidogo 2 (2x-1) = 2 2, kwa ufafanuzi wa logarithm tunapata kwamba 2x-1 = 2 4, kwa hiyo 2x = 17; x = 8.5.

Ni bora kupunguza logarithms zote kwa msingi sawa ili suluhisho sio mbaya na kuchanganya.
Semi zote zilizo chini ya alama ya logariti huonyeshwa kuwa chanya, kwa hivyo, wakati kipeo cha usemi kilicho chini ya ishara ya logariti na msingi wake unapotolewa kama kizidishi, usemi unaosalia chini ya logariti lazima kiwe chanya.

Logarithm ni nini?

Tahadhari!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")

Logarithm ni nini? Jinsi ya kutatua logarithms? Maswali haya yanawachanganya wahitimu wengi. Kijadi, mada ya logarithms inachukuliwa kuwa ngumu, isiyoeleweka na ya kutisha. Hasa milinganyo yenye logariti.

Hii si kweli kabisa. Kabisa! Usiniamini? Sawa. Sasa, katika dakika 10 - 20 tu wewe:

1. Elewa logarithm ni nini.

2. Jifunze kutatua darasa zima milinganyo ya kielelezo. Hata kama haujasikia chochote kuwahusu.

3. Jifunze kuhesabu logarithms rahisi.

Kwa kuongeza, kwa hili utahitaji tu kujua meza ya kuzidisha na jinsi ya kuongeza nambari kwa nguvu ...

Ninahisi kama una shaka ... Sawa, weka alama wakati! Nenda!

Kwanza, suluhisha equation hii kichwani mwako:

Ikiwa unapenda tovuti hii ...

Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)

Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)

Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.