Jinsi ya kutatua equations na denominator. Milinganyo ya busara - Hypermarket ya Maarifa

Smirnova Anastasia Yurievna

Aina ya somo: somo la kujifunza nyenzo mpya.

Fomu ya shirika shughuli za elimu : mbele, mtu binafsi.

Kusudi la somo: kuanzisha aina mpya ya hesabu - hesabu za busara za sehemu, kutoa wazo la algorithm ya kutatua hesabu za sehemu. milinganyo ya busara.

Malengo ya somo.

Kielimu:

malezi ya dhana ya equation ya busara ya sehemu;
fikiria algorithm ya kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu, pamoja na hali ya kuwa sehemu ni sawa na sifuri;
fundisha utatuzi wa milinganyo ya kimantiki kwa kutumia algoriti.

Maendeleo:

kuunda hali za kukuza ujuzi katika kutumia maarifa yaliyopatikana;
kukuza maendeleo nia ya utambuzi wanafunzi kwa somo;
kukuza uwezo wa wanafunzi kuchanganua, kulinganisha na kufikia hitimisho;
maendeleo ya ujuzi wa udhibiti wa pamoja na kujidhibiti, tahadhari, kumbukumbu, mdomo na kuandika, uhuru.

Kuelimisha:

kukuza hamu ya utambuzi katika somo;
kukuza uhuru katika kufanya maamuzi kazi za elimu;
kulea nia na uvumilivu ili kufikia matokeo ya mwisho.

Vifaa: kitabu cha kiada, ubao, kalamu za rangi.

Kitabu cha maandishi "Algebra 8". Yu.N. Makarychev, N.G Mindyuk, K.I. Suvorova, iliyohaririwa na S.A. Moscow "Mwangaza". 2010

Washa mada hii saa tano zimetengwa. Somo hili ni ya kwanza. Jambo kuu ni kusoma algorithm ya kutatua hesabu za busara za sehemu na kufanya mazoezi ya algorithm hii katika mazoezi.

Wakati wa madarasa

1. Wakati wa shirika.

Habari zenu! Leo ningependa kuanza somo letu na quatrain:
Ili kufanya maisha iwe rahisi kwa kila mtu,
Nini kitaamuliwa, nini kitawezekana,
Tabasamu, bahati nzuri kwa kila mtu,
Ili hakuna shida,
Tulitabasamu kwa kila mmoja na kuunda hali nzuri na kuanza kazi.

Kuna milinganyo imeandikwa kwenye ubao, waangalie kwa makini. Je, unaweza kutatua milinganyo hii yote? Ni zipi hazipo na kwa nini?

Milinganyo ambapo pande za kushoto na kulia ni misemo ya kimantiki ya sehemu huitwa milinganyo ya kimantiki ya kimantiki. Unafikiri tutasoma nini darasani leo? Tengeneza mada ya somo. Kwa hivyo, fungua daftari zako na uandike mada ya somo "Kutatua hesabu za busara za sehemu."

2. Kusasisha maarifa. Uchunguzi wa mbele, kazi ya mdomo na darasa.

Na sasa tutarudia nyenzo kuu za kinadharia ambazo tunahitaji kusoma mada mpya. Tafadhali jibu maswali yafuatayo:

Mlinganyo ni nini? ( Usawa na kigeu au vigeu.)
Jina la nambari ya equation 1 ni nini? ( Linear Njia ya kutatua milinganyo ya mstari. ( Sogeza kila kitu na kisichojulikana kwa upande wa kushoto wa equation, nambari zote kulia. Kuongoza masharti yanayofanana. Tafuta sababu isiyojulikana).
Jina la nambari ya equation 3 ni nini? ( Mraba.) Mbinu za kutatua milinganyo ya quadratic. (P kuhusu fomula)
Uwiano ni nini? ( Usawa wa uwiano mbili.) Mali kuu ya uwiano. ( Ikiwa uwiano ni sahihi, basi bidhaa ya masharti yake kali ni sawa na bidhaa ya maneno ya kati.)
Ni mali gani hutumika wakati wa kutatua equations? ( 1. Ikiwa utahamisha neno katika equation kutoka sehemu moja hadi nyingine, kubadilisha ishara yake, utapata equation sawa na moja iliyotolewa. 2. Ikiwa pande zote mbili za mlinganyo zimezidishwa au kugawanywa kwa nambari ile ile isiyo ya sifuri, unapata mlinganyo unaolingana na uliyopewa..)
Ni wakati gani sehemu inalingana na sifuri? ( Sehemu ni sawa na sifuri wakati nambari ni sifuri na denominator sio sifuri..)

3. Ufafanuzi wa nyenzo mpya.

Tatua mlingano wa 2 kwenye daftari zako na ubaoni.

Jibu: 10.

Ni mlinganyo gani wa kimantiki unaoweza kujaribu kutatua kwa kutumia mali ya msingi ya uwiano? (Na. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Tatua mlingano wa 4 kwenye daftari zako na ubaoni.

Jibu: 1,5.

Ni mlingano gani wa kimantiki unaoweza kujaribu kusuluhisha kwa kuzidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa kihesabu? (Na. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Jibu: 3;4.

Tutaangalia kusuluhisha milinganyo kama mlingano Na. 7 katika masomo yafuatayo.

Eleza kwa nini hii ilitokea? Kwa nini kuna mizizi mitatu katika kesi moja na mbili katika nyingine? Je, ni nambari zipi asili za mlingano huu wa kimantiki wa sehemu?

Wanafunzi bado wana dhana mzizi wa nje hawajakutana, ni ngumu sana kwao kuelewa kwa nini hii ilitokea. Ikiwa hakuna mtu katika darasa anayeweza kutoa maelezo ya wazi ya hali hii, basi mwalimu anauliza maswali ya kuongoza.

Je, milinganyo Nambari 2 na 4 inatofautiana vipi na milinganyo Na. 5 na 6? ( Katika equations No 2 na 4 kuna namba katika denominator, No. 5-6 - maneno yenye kutofautiana..)
Nini mzizi wa equation? ( Thamani ya kigezo ambapo mlinganyo huwa kweli.)
Jinsi ya kujua ikiwa nambari ndio mzizi wa equation? ( Fanya ukaguzi.)

Wakati wa kupima, baadhi ya wanafunzi wanaona kwamba wanapaswa kugawanya kwa sifuri. Wanahitimisha kuwa nambari 0 na 5 sio mizizi kupewa equation. Swali linatokea: je, kuna njia ya kutatua milinganyo ya kimantiki ambayo inaruhusu sisi kuondoa kosa hili? Ndiyo, njia hii inategemea hali ya kuwa sehemu ni sawa na sifuri.

Wacha tujaribu kuunda algorithm ya kutatua milinganyo ya kimantiki kwa njia hii. Watoto huunda algorithm wenyewe.

Algorithm ya kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu:

Hoja kila kitu kwa upande wa kushoto.
Badilisha sehemu kuwa dhehebu la kawaida.
Unda mfumo: sehemu ni sawa na sifuri wakati nambari ni sawa na sifuri na denominator si sawa na sifuri.
Tatua mlinganyo.
Angalia usawa ili kuwatenga mizizi ya nje.
Andika jibu.

4. Uelewa wa awali wa nyenzo mpya.

Fanya kazi kwa jozi. Wanafunzi huchagua jinsi ya kutatua mlingano wenyewe kulingana na aina ya mlingano. Kazi kutoka kwa kitabu cha maandishi "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600 (b,c); Nambari 601(a,e). Mwalimu anafuatilia kukamilika kwa kazi, anajibu maswali yoyote yanayotokea, na hutoa msaada kwa wanafunzi wa chini. Kujijaribu: majibu yameandikwa ubaoni.

b) 2 - mizizi ya nje. Jibu: 3.

c) 2 - mizizi ya nje. Jibu: 1.5.

a) Jibu: -12.5.

5. Kuweka kazi ya nyumbani.

Soma fungu la 25 kutoka kwenye kitabu, chunguza mifano 1-3.
Jifunze algoriti ya kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu.
Tatua katika daftari Nambari 600 (d, d); Nambari 601(g,h).

6. Kufanya muhtasari wa somo.

Kwa hivyo, leo katika somo tulifahamiana na hesabu za busara za sehemu, tulijifunza jinsi ya kutatua hesabu hizi. njia tofauti. Bila kujali jinsi ya kutatua milinganyo ya kimantiki, unapaswa kukumbuka nini? Ni nini "ujanja" wa milinganyo ya kimantiki ya sehemu?

Asante kila mtu, somo limekwisha.

Usemi kamili ni usemi wa kihisabati unaojumuisha nambari na viambishi halisi kwa kutumia shughuli za kujumlisha, kutoa na kuzidisha. Nambari kamili pia hujumuisha semi zinazohusisha mgawanyiko kwa nambari yoyote isipokuwa sifuri.

Dhana ya usemi wa kimantiki wa sehemu

Usemi wa sehemu ni usemi wa kihisabati ambao, pamoja na shughuli za kuongeza, kutoa na kuzidisha zinazofanywa na nambari na vigeu vya herufi, na pia mgawanyiko kwa nambari isiyo sawa na sifuri, pia ina mgawanyiko katika misemo na vigeu vya herufi.

Misemo yenye mantiki yote ni misemo nzima na ya sehemu. Milinganyo ya kimantiki ni milinganyo ambapo pande za kushoto na kulia ni semi za kimantiki. Ikiwa katika mlinganyo wa kimantiki pande za kushoto na kulia ni misemo kamili, basi mlinganyo huo wa kimantiki huitwa nambari kamili.

Ikiwa katika usawa wa busara pande za kushoto au za kulia ziko maneno ya sehemu, basi equation kama hiyo ya busara inaitwa sehemu.

Mifano ya misemo ya kimantiki ya sehemu

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Mpango wa kutatua mlinganyo wa kimantiki wa sehemu

1. Tafuta dhehebu la kawaida la sehemu zote ambazo zimejumuishwa kwenye mlinganyo.

2. Zidisha pande zote mbili za mlingano kwa kiashiria cha kawaida.

3. Tatua equation nzima inayosababisha.

4. Angalia mizizi na uondoe wale wanaofanya denominator ya kawaida kutoweka.

Kwa kuwa tunatatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu, kutakuwa na viambajengo katika madhehebu ya sehemu. Hii ina maana kwamba watakuwa dhehebu la kawaida. Na katika hatua ya pili ya algorithm tunazidisha kwa dhehebu la kawaida, kisha mizizi ya nje inaweza kuonekana. Ambapo dhehebu la kawaida litakuwa sawa na sifuri, ambayo ina maana ya kuzidisha nayo itakuwa haina maana. Kwa hiyo, mwishoni ni muhimu kuangalia mizizi iliyopatikana.

Hebu tuangalie mfano:

Tatua mlingano wa kimantiki wa sehemu: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))).

Tutashikamana na mpango wa jumla: Hebu kwanza tutafute dhehebu la kawaida la sehemu zote. Tunapata x*(x-5).

Zidisha kila sehemu kwa dhehebu moja na uandike mlinganyo mzima unaotokana.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5))) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Wacha turahisishe equation inayosababisha. Tunapata:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Tunapata equation rahisi iliyopunguzwa ya quadratic. Tunatatua na yoyote ya mbinu zinazojulikana, tunapata mizizi x=-2 na x=5.

Sasa tunaangalia suluhisho zilizopatikana:

Badilisha nambari -2 na 5 kwenye dhehebu la kawaida. Katika x=-2 kiashiria cha kawaida x*(x-5) hakitoweka, -2*(-2-5)=14. Hii ina maana kwamba nambari -2 itakuwa mzizi wa mlingano wa kimantiki wa awali.

Katika x=5 kiashiria cha kawaida x*(x-5) kinakuwa sifuri. Kwa hivyo, nambari hii sio mzizi wa equation ya kimantiki ya asili, kwani kutakuwa na mgawanyiko kwa sifuri.

Malengo ya somo:

Kielimu:

malezi ya dhana ya milinganyo ya kimantiki ya sehemu;
fikiria njia mbalimbali za kutatua equations za busara za sehemu;
fikiria algorithm ya kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu, pamoja na hali ya kuwa sehemu ni sawa na sifuri;
fundisha utatuzi wa milinganyo ya kimantiki kwa kutumia algorithm;
kuangalia kiwango cha umilisi wa mada kwa kufanya mtihani.

Maendeleo:

kukuza uwezo wa kufanya kazi kwa usahihi na maarifa yaliyopatikana na kufikiria kimantiki;
maendeleo ya ujuzi wa kiakili na shughuli za akili- uchambuzi, awali, kulinganisha na awali;
maendeleo ya mpango, uwezo wa kufanya maamuzi, na sio kuacha hapo;
maendeleo kufikiri kwa makini;
maendeleo ya ujuzi wa utafiti.

Kuelimisha:

kukuza hamu ya utambuzi katika somo;
kukuza uhuru katika kutatua matatizo ya elimu;
kulea nia na uvumilivu ili kufikia matokeo ya mwisho.

Aina ya somo: somo - maelezo ya nyenzo mpya.

Wakati wa madarasa

1. Wakati wa shirika.

Habari zenu! Kuna milinganyo imeandikwa kwenye ubao, waangalie kwa makini. Je, unaweza kutatua milinganyo hii yote? Ni zipi hazipo na kwa nini?

2. Kusasisha maarifa. Utafiti wa mbele, kazi ya mdomo na darasa.

Na sasa tutarudia nyenzo kuu za kinadharia ambazo tutahitaji kujifunza mada mpya. Tafadhali jibu maswali yafuatayo:

Mlinganyo ni nini? ( Usawa na kigeu au vigeu.)
Jina la nambari ya equation 1 ni nini? ( Linear Njia ya kutatua milinganyo ya mstari. ( Sogeza kila kitu na kisichojulikana kwa upande wa kushoto wa equation, nambari zote kulia. Toa masharti yanayofanana. Tafuta sababu isiyojulikana).
Jina la nambari ya equation 3 ni nini? ( Mraba.) Mbinu za kutatua milinganyo ya quadratic. ( Uteuzi mraba kamili, kwa fomula, kwa kutumia nadharia ya Vieta na matokeo yake.)
Uwiano ni nini? ( Usawa wa uwiano mbili.) Mali kuu ya uwiano. ( Ikiwa uwiano ni sahihi, basi bidhaa ya masharti yake kali ni sawa na bidhaa ya maneno ya kati.)
Ni mali gani hutumika wakati wa kutatua equations? ( 1. Ikiwa utahamisha neno katika equation kutoka sehemu moja hadi nyingine, kubadilisha ishara yake, utapata equation sawa na moja iliyotolewa. 2. Ikiwa pande zote mbili za mlinganyo zimezidishwa au kugawanywa kwa nambari ile ile isiyo ya sifuri, unapata mlinganyo unaolingana na uliyopewa..)
Ni wakati gani sehemu inalingana na sifuri? ( Sehemu ni sawa na sifuri wakati nambari ni sifuri na denominator sio sifuri..)

3. Ufafanuzi wa nyenzo mpya.

Tatua mlingano wa 2 kwenye daftari zako na ubaoni.

Jibu: 10.

Ni mlinganyo gani wa kimantiki unaoweza kujaribu kutatua kwa kutumia mali ya msingi ya uwiano? (Na. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Tatua mlingano wa 4 kwenye daftari zako na ubaoni.

Jibu: 1,5.

Ni mlingano gani wa kimantiki unaoweza kujaribu kusuluhisha kwa kuzidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa kihesabu? (Na. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Jibu: 3;4.

Sasa jaribu kutatua equation namba 7 kwa kutumia mojawapo ya njia zifuatazo.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
Jibu: 0;5;-2.			Jibu: 5;-2.

Eleza kwa nini hii ilitokea? Kwa nini kuna mizizi mitatu katika kesi moja na mbili katika nyingine? Je, ni nambari zipi asili za mlingano huu wa kimantiki wa sehemu?

Hadi sasa, wanafunzi hawajakumbana na dhana ya mzizi wa nje kwa kweli ni vigumu sana kwao kuelewa kwa nini hii ilitokea. Ikiwa hakuna mtu katika darasa anayeweza kutoa maelezo ya wazi ya hali hii, basi mwalimu anauliza maswali ya kuongoza.

Je, milinganyo Nambari 2 na 4 inatofautianaje na milinganyo Nambari 5,6,7? ( Katika milinganyo Nambari 2 na 4 kuna nambari katika dhehebu, Nambari 5-7 ni misemo yenye kutofautiana..)
Nini mzizi wa equation? ( Thamani ya kigezo ambapo mlinganyo huwa kweli.)
Jinsi ya kujua ikiwa nambari ndio mzizi wa equation? ( Fanya ukaguzi.)

Wakati wa kupima, baadhi ya wanafunzi wanaona kwamba wanapaswa kugawanya kwa sifuri. Wanahitimisha kuwa nambari 0 na 5 sio mizizi ya mlingano huu. Swali linatokea: je, kuna njia ya kutatua milinganyo ya kimantiki ambayo inaruhusu sisi kuondoa kosa hili? Ndiyo, njia hii inategemea hali ya kuwa sehemu ni sawa na sifuri.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Ikiwa x=5, basi x(x-5)=0, ambayo ina maana 5 ni mzizi wa nje.

Ikiwa x=-2, basi x(x-5)≠0.

Jibu: -2.

Wacha tujaribu kuunda algorithm ya kutatua milinganyo ya kimantiki kwa njia hii. Watoto huunda algorithm wenyewe.

Algorithm ya kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu:

Hoja kila kitu kwa upande wa kushoto.
Punguza sehemu kwa dhehebu la kawaida.
Unda mfumo: sehemu ni sawa na sifuri wakati nambari ni sawa na sifuri na denominator si sawa na sifuri.
Tatua mlinganyo.
Angalia usawa ili kuwatenga mizizi ya nje.
Andika jibu.

Majadiliano: jinsi ya kurasimisha suluhisho ikiwa unatumia mali ya msingi ya uwiano na kuzidisha pande zote mbili za equation na denominator ya kawaida. (Ongeza kwenye suluhisho: ondoa kutoka kwa mizizi yake wale wanaofanya denominator ya kawaida kutoweka).

4. Uelewa wa awali wa nyenzo mpya.

Fanya kazi kwa jozi. Wanafunzi huchagua jinsi ya kutatua mlingano wenyewe kulingana na aina ya mlingano. Kazi kutoka kwa kitabu cha maandishi "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600 (b,c,i); Nambari 601(a,e,g). Mwalimu anafuatilia kukamilika kwa kazi, anajibu maswali yoyote yanayotokea, na hutoa msaada kwa wanafunzi wa chini. Kujijaribu: majibu yameandikwa ubaoni.

b) 2 - mzizi wa nje. Jibu: 3.

c) 2 - mzizi wa nje. Jibu: 1.5.

a) Jibu: -12.5.

g) Jibu: 1;1.5.

5. Kuweka kazi ya nyumbani.

Soma fungu la 25 kutoka kwenye kitabu, chunguza mifano 1-3.
Jifunze algoriti ya kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu.
Tatua katika daftari No. 600 (a, d, e); Nambari 601(g,h).
Jaribu kutatua Nambari 696 (a) (hiari).

6. Kukamilisha kazi ya udhibiti kwenye mada iliyosomwa.

Kazi hiyo inafanywa kwenye vipande vya karatasi.

Kazi ya mfano:

A) Ni ipi kati ya milinganyo yenye mantiki ya sehemu?

B) Sehemu ni sawa na sifuri wakati nambari ni _______________________ na denomineta ni ___________________________________.

Q) Je, nambari -3 ndio mzizi wa nambari ya mlinganyo 6?

D) Tatua mlingano wa 7.

Vigezo vya tathmini ya kazi:

"5" inatolewa ikiwa mwanafunzi alikamilisha zaidi ya 90% ya kazi kwa usahihi.
"4" - 75% -89%
"3" - 50% -74%
"2" hutolewa kwa mwanafunzi ambaye amekamilisha chini ya 50% ya kazi.
Ukadiriaji wa 2 haujatolewa kwenye jarida, 3 ni hiari.

7. Tafakari.

Kwenye karatasi za kujitegemea, andika:

1 - ikiwa somo lilikuwa la kuvutia na linaeleweka kwako;
2 - kuvutia, lakini si wazi;
3 - sio ya kuvutia, lakini inaeleweka;
4 - sio ya kuvutia, sio wazi.

8. Kufanya muhtasari wa somo.

Kwa hivyo, leo katika somo tulifahamiana na hesabu za busara, tulijifunza kutatua hesabu hizi kwa njia tofauti, tulijaribu maarifa yetu kwa msaada wa mafunzo. kazi ya kujitegemea. Utajifunza matokeo ya kazi yako ya kujitegemea katika somo linalofuata, na nyumbani utakuwa na fursa ya kuunganisha ujuzi wako.

Ni njia gani ya kusuluhisha milinganyo ya kimantiki, kwa maoni yako, ni rahisi, inayofikika zaidi, na yenye mantiki zaidi? Bila kujali njia ya kutatua milinganyo ya kimantiki, unapaswa kukumbuka nini? Ni nini "ujanja" wa milinganyo ya kimantiki ya sehemu?

Asante kila mtu, somo limekwisha.

"Kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu"

Malengo ya somo:

Kielimu:

malezi ya dhana ya milinganyo ya kimantiki ya sehemu; fikiria njia mbalimbali za kutatua equations za busara za sehemu; fikiria algorithm ya kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu, pamoja na hali ya kuwa sehemu ni sawa na sifuri; fundisha utatuzi wa milinganyo ya kimantiki kwa kutumia algorithm; kuangalia kiwango cha umilisi wa mada kwa kufanya mtihani.

Maendeleo:

kukuza uwezo wa kufanya kazi kwa usahihi na maarifa yaliyopatikana na kufikiria kimantiki; maendeleo ya ujuzi wa kiakili na shughuli za akili - uchambuzi, awali, kulinganisha na jumla; maendeleo ya mpango, uwezo wa kufanya maamuzi, na sio kuacha hapo; maendeleo ya fikra muhimu; maendeleo ya ujuzi wa utafiti.

Kuelimisha:

kukuza hamu ya utambuzi katika somo; kukuza uhuru katika kutatua matatizo ya elimu; kulea nia na uvumilivu ili kufikia matokeo ya mwisho.

Aina ya somo: somo - maelezo ya nyenzo mpya.

Wakati wa madarasa

1. Wakati wa shirika.

Habari zenu! Kuna milinganyo imeandikwa kwenye ubao, waangalie kwa makini. Je, unaweza kutatua milinganyo hii yote? Ni zipi hazipo na kwa nini?

2. Kusasisha maarifa. Utafiti wa mbele, kazi ya mdomo na darasa.

Na sasa tutarudia nyenzo kuu za kinadharia ambazo tutahitaji kujifunza mada mpya. Tafadhali jibu maswali yafuatayo:

1. Mlinganyo ni nini? ( Usawa na kigeu au vigeu.)

2. Jina la mlinganyo namba 1 ni nini? ( Linear Njia ya kutatua milinganyo ya mstari. ( Sogeza kila kitu na kisichojulikana kwa upande wa kushoto wa equation, nambari zote kulia. Toa masharti yanayofanana. Tafuta sababu isiyojulikana).

3. Jina la mlinganyo namba 3 ni nini? ( Mraba.) Mbinu za kutatua milinganyo ya quadratic. ( Kutenga mraba kamili kwa kutumia fomula kwa kutumia nadharia ya Vieta na mifuatano yake.)

4. Uwiano ni nini? ( Usawa wa uwiano mbili.) Mali kuu ya uwiano. ( Ikiwa uwiano ni sahihi, basi bidhaa ya masharti yake kali ni sawa na bidhaa ya maneno ya kati.)

5. Ni sifa gani zinazotumiwa wakati wa kutatua equations? ( 1. Ikiwa utahamisha neno katika equation kutoka sehemu moja hadi nyingine, kubadilisha ishara yake, utapata equation sawa na moja iliyotolewa. 2. Ikiwa pande zote mbili za mlinganyo zimezidishwa au kugawanywa kwa nambari ile ile isiyo ya sifuri, unapata mlinganyo unaolingana na uliyopewa..)

6. Ni wakati gani sehemu inalingana na sifuri? ( Sehemu ni sawa na sifuri wakati nambari ni sifuri na denominator sio sifuri..)

3. Ufafanuzi wa nyenzo mpya.

Tatua mlingano wa 2 kwenye daftari zako na ubaoni.

Jibu: 10.

Ni mlinganyo gani wa kimantiki unaoweza kujaribu kutatua kwa kutumia mali ya msingi ya uwiano? (Na. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Tatua mlingano wa 4 kwenye daftari zako na ubaoni.

Jibu: 1,5.

Ni mlingano gani wa kimantiki unaoweza kujaribu kusuluhisha kwa kuzidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa kihesabu? (Na. 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Jibu: 3;4.

Sasa jaribu kutatua equation namba 7 kwa kutumia mojawapo ya njia zifuatazo.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Jibu: 0;5;-2.			Jibu: 5;-2.

Eleza kwa nini hii ilitokea? Kwa nini kuna mizizi mitatu katika kesi moja na mbili katika nyingine? Je, ni nambari zipi asili za mlingano huu wa kimantiki wa sehemu?

Katika milinganyo Nambari 2 na 4 kuna nambari katika dhehebu, Nambari 5-7 ni misemo yenye kutofautiana.

Thamani ya kigezo ambapo mlinganyo huwa kweli

Fanya ukaguzi

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Ikiwa x=5, basi x(x-5)=0, ambayo ina maana 5 ni mzizi wa nje.

Ikiwa x=-2, basi x(x-5)≠0.

Jibu: -2.

Wacha tujaribu kuunda algorithm ya kutatua milinganyo ya kimantiki kwa njia hii. Watoto huunda algorithm wenyewe.

Algorithm ya kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu:

1. Hoja kila kitu kwa upande wa kushoto.

2. Punguza sehemu kwa dhehebu la kawaida.

3. Unda mfumo: sehemu ni sawa na sifuri wakati nambari ni sawa na sifuri na denominator si sawa na sifuri.

4. Tatua mlinganyo.

5. Angalia usawa ili kuwatenga mizizi ya nje.

6. Andika jibu.

4. Uelewa wa awali wa nyenzo mpya.

Fanya kazi kwa jozi. Wanafunzi huchagua jinsi ya kutatua mlingano wenyewe kulingana na aina ya mlingano. Kazi kutoka kwa kitabu cha maandishi "Algebra 8", 2007: No. 000 (b, c, i); Nambari 000 (a, d, g). Mwalimu anafuatilia kukamilika kwa kazi, anajibu maswali yoyote yanayotokea, na hutoa msaada kwa wanafunzi wa chini. Kujijaribu: majibu yameandikwa ubaoni.

b) 2 - mzizi wa nje. Jibu: 3.

c) 2 - mzizi wa nje. Jibu: 1.5.

a) Jibu: -12.5.

g) Jibu: 1;1.5.

5. Kuweka kazi ya nyumbani.

2. Jifunze algoriti ya kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu.

3. Tatua katika daftari No. 000 (a, d, e); Nambari 000 (g, h).

4. Jaribu kutatua Nambari 000 (a) (hiari).

6. Kukamilisha kazi ya udhibiti kwenye mada iliyosomwa.

Kazi hiyo inafanywa kwenye vipande vya karatasi.

Kazi ya mfano:

A) Ni ipi kati ya milinganyo yenye mantiki ya sehemu?

B) Sehemu ni sawa na sifuri wakati nambari ni _______________________ na denomineta ni ___________________________________.

Q) Je, nambari -3 ndio mzizi wa nambari ya mlinganyo 6?

D) Tatua mlingano wa 7.

Vigezo vya tathmini ya kazi:

"5" inatolewa ikiwa mwanafunzi alikamilisha zaidi ya 90% ya kazi kwa usahihi. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" inatolewa kwa mwanafunzi ambaye amekamilisha chini ya 50% ya kazi. Ukadiriaji wa 2 haujatolewa kwenye jarida, 3 ni hiari.

7. Tafakari.

Kwenye karatasi za kujitegemea, andika:

1 - ikiwa somo lilikuwa la kuvutia na linaeleweka kwako; 2 - kuvutia, lakini si wazi; 3 - sio ya kuvutia, lakini inaeleweka; 4 - sio ya kuvutia, sio wazi.

8. Kufanya muhtasari wa somo.

Kwa hivyo, leo katika somo tulifahamiana na hesabu za busara za sehemu, tulijifunza kusuluhisha hesabu hizi kwa njia tofauti, na tukajaribu maarifa yetu kwa msaada wa kazi ya kujitegemea ya kielimu. Utajifunza matokeo ya kazi yako ya kujitegemea katika somo linalofuata, na nyumbani utakuwa na fursa ya kuunganisha ujuzi wako.

Asante kila mtu, somo limekwisha.

Wacha tufahamiane na hesabu za busara na za sehemu, toa ufafanuzi wao, toa mifano, na pia tuchambue aina za kawaida za shida.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Equation ya busara: ufafanuzi na mifano

Kufahamiana na maneno ya busara huanza katika darasa la 8 la shule. Kwa wakati huu, katika masomo ya aljebra, wanafunzi wanazidi kuanza kukutana na mgawo wenye milinganyo ambayo ina vielezi vya busara katika madokezo yao. Wacha turudishe kumbukumbu yetu juu ya ni nini.

Ufafanuzi 1

Mlinganyo wa kimantiki ni mlinganyo ambamo pande zote mbili zina vielezi vya kimantiki.

Katika miongozo mbalimbali unaweza kupata uundaji mwingine.

Ufafanuzi 2

Mlinganyo wa kimantiki ni mlinganyo ambao upande wake wa kushoto una kujieleza kwa busara, na moja sahihi ni sifuri.

Ufafanuzi ambao tulitoa kwa milinganyo ya busara ni sawa, kwani wanazungumza juu ya kitu kimoja. Usahihi wa maneno yetu unathibitishwa na ukweli kwamba kwa maneno yoyote ya busara P Na Q milinganyo P = Q Na P − Q = 0 itakuwa misemo sawa.

Sasa tuangalie mifano.

Mfano 1

Milinganyo ya busara:

x = 1, 2 x - 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3.

Milinganyo ya kimantiki, kama milinganyo ya aina zingine, inaweza kuwa na idadi yoyote ya vigeu kutoka 1 hadi kadhaa. Kwanza tutaangalia mifano rahisi, ambamo milinganyo itakuwa na kigezo kimoja tu. Na kisha tutaanza kufanya kazi hiyo hatua kwa hatua.

Milinganyo ya kimantiki imegawanywa katika mbili makundi makubwa: nambari kamili na sehemu. Wacha tuone ni milinganyo gani itatumika kwa kila kikundi.

Ufafanuzi 3

Mlinganyo wa kimantiki utakuwa kamili ikiwa pande zake za kushoto na kulia zina misemo yote ya kimantiki.

Ufafanuzi 4

Mlinganyo wa kimantiki utakuwa wa sehemu ikiwa sehemu yake moja au zote mbili zina sehemu.

Milinganyo ya kimantiki ya kimantiki lazima iwe na mgawanyo kwa kigezo au kigezo kipo katika kipunguzo. Hakuna mgawanyiko kama huo katika uandishi wa milinganyo nzima.

Mfano 2

3 x + 2 = 0 Na (x + y) · (3 · x 2 − 1) + x = − y + 0, 5- milinganyo yote ya busara. Hapa pande zote mbili za equation zinawakilishwa na maneno kamili.

1 x - 1 = x 3 na x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x - 1) : 5 ni milinganyo yenye mantiki kiasi.

Milinganyo yote ya kimantiki ni pamoja na milinganyo ya mstari na ya quadratic.

Kutatua milinganyo nzima

Utatuzi wa milinganyo kama hii kwa kawaida huja kwa kuzigeuza kuwa milinganyo sawa ya aljebra. Hii inaweza kupatikana kwa kufanya mabadiliko sawa ya equations kulingana na algorithm ifuatayo:

kwanza tunapata sifuri upande wa kulia wa equation;
kisha tunabadilisha usemi ulio upande wa kushoto wa equation kuwa polynomial mtazamo wa kawaida.

Ni lazima tupate mlingano wa aljebra. Mlinganyo huu utakuwa sawa na mlingano asilia. Matukio rahisi huturuhusu kupunguza mlingano mzima hadi wa mstari au wa quadratic ili kutatua tatizo. KATIKA kesi ya jumla tunatatua mlingano wa aljebra wa shahada n.

Mfano 3

Inahitajika kupata mizizi ya equation nzima 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Suluhisho

Hebu tubadilishe usemi asilia ili kupata mlinganyo sawa wa aljebra. Ili kufanya hivyo, tutahamisha usemi ulio kwenye upande wa kulia wa equation kwa upande wa kushoto na kuchukua nafasi ya ishara na kinyume chake. Kama matokeo, tunapata: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Sasa hebu tubadilishe usemi ulio upande wa kushoto kuwa aina ya kawaida ya polynomial na tufanye vitendo vinavyohitajika na polynomial hii:

3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) − 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x − 9 − 2 x 2 + x + 3 = x 2 − 5 x - 6

Tuliweza kupunguza suluhu kwa mlinganyo wa awali kwa suluhisho mlinganyo wa quadratic aina x 2 − 5 x − 6 = 0. Kibaguzi cha mlingano huu ni chanya: D = (- 5) 2 − 4 · 1 · (- 6) = 25 + 24 = 49 . Hii ina maana kutakuwa na mizizi miwili halisi. Wacha tuwapate kwa kutumia formula ya mizizi ya equation ya quadratic:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 au x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 au x 2 = - 1

Wacha tuangalie usahihi wa mizizi ya equation ambayo tulipata wakati wa suluhisho. Kwa hili, tunabadilisha nambari tulizopokea kwenye mlinganyo wa asili: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3 Na 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (- 1) · (2 · (− 1) − 1) − 3. Katika kesi ya kwanza 63 = 63 , katika pili 0 = 0 . Mizizi x = 6 Na x = - 1 kweli ni mizizi ya mlinganyo uliotolewa katika hali ya mfano.

Jibu: 6 , − 1 .

Wacha tuangalie maana ya "shahada ya equation nzima". Mara nyingi tutakumbana na neno hili katika hali ambapo tunahitaji kuwakilisha mlingano mzima katika umbo la aljebra. Hebu tufafanue dhana.

Ufafanuzi 5

Kiwango cha equation nzima- hii ni shahada mlinganyo wa algebra, sawa na mlinganyo kamili wa asili.

Ikiwa unatazama equations kutoka kwa mfano hapo juu, unaweza kuanzisha: kiwango cha equation hii yote ni ya pili.

Ikiwa kozi yetu ilikuwa na ukomo wa kutatua milinganyo ya shahada ya pili, basi mjadala wa mada unaweza kuishia hapo. Lakini si rahisi hivyo. Kutatua equations ya shahada ya tatu imejaa ugumu. Na kwa milinganyo ya juu kuliko shahada ya nne hakuna kanuni za jumla mizizi. Katika suala hili, kutatua equations nzima ya digrii ya tatu, ya nne na nyingine inahitaji sisi kutumia idadi ya mbinu na mbinu nyingine.

Mbinu inayotumika sana ya kutatua milinganyo yote ya kimantiki inategemea mbinu ya uainishaji. Algorithm ya vitendo katika kesi hii ni kama ifuatavyo.

tunahamisha usemi kutoka upande wa kulia kwenda kushoto ili sifuri ibaki upande wa kulia wa rekodi;
Tunawakilisha usemi ulio upande wa kushoto kama bidhaa ya vipengele, na kisha kwenda kwenye seti ya milinganyo kadhaa rahisi zaidi.

Mfano 4

Pata suluhisho la mlinganyo (x 2 - 1) · (x 2 - 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 - 10 · x + 13) .

Suluhisho

Tunahamisha usemi kutoka upande wa kulia wa rekodi hadi kushoto na ishara kinyume: (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) − 2 · x · (x 2 - 10 · x + 13) = 0. Kubadilisha upande wa kushoto hadi polynomial ya fomu ya kawaida siofaa kutokana na ukweli kwamba hii itatupa mlingano wa aljebra wa shahada ya nne: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 - 16 x - 13 = 0. Urahisi wa uongofu hauhalalishi matatizo yote katika kutatua mlingano huo.

Ni rahisi zaidi kwenda kwa njia nyingine: hebu tuchukue sababu ya kawaida kutoka kwa mabano x 2 − 10 x + 13 . Kwa hivyo tunafika kwenye equation ya fomu (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Sasa tunabadilisha equation inayosababishwa na seti ya hesabu mbili za quadratic x 2 − 10 x + 13 = 0 Na x 2 − 2 x − 1 = 0 na kupata mizizi yao kwa njia ya kibaguzi: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Jibu: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Kwa njia hiyo hiyo, tunaweza kutumia njia ya kuanzisha tofauti mpya. Mbinu hii huturuhusu kuhamia milinganyo sawa na digrii za chini kuliko digrii katika mlinganyo kamili wa asili.

Mfano 5

Je, equation ina mizizi? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = - 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Suluhisho

Ikiwa sasa tutajaribu kupunguza mlingano mzima wa kimantiki hadi aljebra, tutapata mlingano wa digrii 4 ambao hauna mizizi ya kimantiki. Kwa hivyo, itakuwa rahisi kwetu kwenda kwa njia nyingine: anzisha tofauti mpya y, ambayo itachukua nafasi ya usemi katika equation. x 2 + 3 x.

Sasa tutafanya kazi na equation nzima (y + 1) 2 + 10 = − 2 · (y − 4). Hebu tupange upya upande wa kulia equations upande wa kushoto na ishara kinyume na kufanya mabadiliko muhimu. Tunapata: y 2 + 4 y + 3 = 0. Wacha tupate mizizi ya equation ya quadratic: y = - 1 Na y = - 3.

Sasa wacha tufanye uingizwaji wa nyuma. Tunapata equations mbili x 2 + 3 x = - 1 Na x 2 + 3 · x = - 3 . Hebu tuyaandike upya kama x 2 + 3 x + 1 = 0 na x 2 + 3 x + 3 = 0. Tunatumia fomula ya mizizi ya equation ya quadratic ili kupata mizizi ya equation ya kwanza kutoka kwa zile zilizopatikana: - 3 ± 5 2. Ubaguzi wa equation ya pili ni hasi. Hii ina maana kwamba equation ya pili haina mizizi halisi.

Jibu:- 3 ± 5 2

Milinganyo nzima digrii za juu kutana na majukumu mara nyingi. Hakuna haja ya kuwaogopa. Unahitaji kuwa tayari kutuma ombi njia isiyo ya kawaida ufumbuzi wao, ikiwa ni pamoja na idadi ya mabadiliko ya bandia.

Kutatua milinganyo ya kimantiki ya sehemu

Tutaanza uzingatiaji wetu wa mada hii ndogo kwa algoriti ya kutatua milinganyo ya kimantiki ya fomu p (x) q (x) = 0, ambapo p(x) Na q(x)- maneno yote ya busara. Suluhisho la equations zingine za kimantiki zinaweza kupunguzwa kila wakati kwa suluhisho la milinganyo ya aina iliyoonyeshwa.

Njia inayotumika sana ya kutatua milinganyo p (x) q (x) = 0 inategemea taarifa ifuatayo: sehemu ya nambari wewe v, Wapi v- hii ni nambari ambayo ni tofauti na sifuri, sawa na sifuri tu katika matukio hayo wakati nambari ya sehemu ni sawa na sifuri. Kufuatia mantiki ya taarifa hiyo hapo juu, tunaweza kudai kwamba suluhu la mlinganyo p (x) q (x) = 0 linaweza kupunguzwa hadi kutimiza masharti mawili: p(x)=0 Na q(x) ≠ 0. Huu ndio msingi wa kuunda algoriti ya kutatua milinganyo ya kimantiki ya fomu p (x) q (x) = 0:

tafuta suluhisho la mlinganyo mzima wa kimantiki p(x)=0;
tunaangalia ikiwa hali imeridhika kwa mizizi iliyopatikana wakati wa suluhisho q(x) ≠ 0.

Ikiwa hali hii inakabiliwa, basi mzizi uliopatikana, basi mzizi sio suluhisho la tatizo.

Mfano 6

Hebu tupate mizizi ya equation 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Suluhisho

Tunashughulika na mlingano wa kimantiki wa sehemu ya fomu p (x) q (x) = 0, ambapo p (x) = 3 x - 2, q (x) = 5 x 2 - 2 = 0. Wacha tuanze kutatua equation ya mstari 3 x − 2 = 0. Mzizi wa equation hii itakuwa x = 2 3.

Wacha tuangalie mzizi uliopatikana ili kuona ikiwa inakidhi hali hiyo 5 x 2 − 2 ≠ 0. Ili kufanya hivyo, wacha tubadilishe thamani ya nambari katika kujieleza. Tunapata: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

Hali imetimizwa. Ina maana kwamba x = 2 3 ndio mzizi wa mlingano asilia.

Jibu: 2 3 .

Kuna chaguo jingine la kusuluhisha milinganyo ya kimantiki p (x) q (x) = 0. Kumbuka kwamba mlinganyo huu ni sawa na mlinganyo mzima p(x)=0 katika kanda maadili yanayokubalika kutofautiana x ya mlingano asilia. Hii inaruhusu sisi kutumia algoriti ifuatayo katika kutatua milinganyo p (x) q (x) = 0:

kutatua equation p(x)=0;
pata anuwai ya maadili yanayoruhusiwa ya kutofautisha x;
tunachukua mizizi ambayo iko katika anuwai ya maadili yanayoruhusiwa ya kutofautisha x kama mizizi inayotaka ya mlingano wa asili wa kimantiki.

Mfano 7

Tatua mlingano x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.

Suluhisho

Kwanza, hebu tutatue equation ya quadratic x 2 − 2 x − 11 = 0. Ili kuhesabu mizizi yake, tunatumia formula ya mizizi kwa mgawo wa pili. Tunapata D 1 = (- 1) 2 − 1 · (- 11) = 12, na x = 1 ± 2 3 .

Sasa tunaweza kupata ODZ ya kutofautisha x kwa mlingano asilia. Hizi ndizo nambari zote ambazo x 2 + 3 x ≠ 0. Ni sawa na x (x + 3) ≠ 0, kutoka wapi x ≠ 0, x ≠ − 3.

Sasa hebu tuangalie ikiwa mizizi x = 1 ± 2 3 iliyopatikana katika hatua ya kwanza ya suluhisho iko ndani ya anuwai ya maadili yanayoruhusiwa ya kutofautisha x. Tunawaona wakiingia. Hii ina maana kwamba mlingano wa awali wa kimantiki una mizizi miwili x = 1 ± 2 3.

Jibu: x = 1 ± 2 3

Njia ya pili ya suluhisho imeelezewa rahisi kuliko ya kwanza katika hali ambapo anuwai ya maadili yanayoruhusiwa ya kutofautisha x hupatikana kwa urahisi, na mizizi ya equation. p(x)=0 isiyo na mantiki. Kwa mfano, 7 ± 4 · 26 9. Mizizi inaweza kuwa ya busara, lakini kwa nambari kubwa au denominator. Kwa mfano, 127 1101 Na − 31 59 . Hii inaokoa wakati wa kuangalia hali hiyo q(x) ≠ 0: Ni rahisi zaidi kuwatenga mizizi ambayo haifai kulingana na ODZ.

Katika hali ambapo mizizi ya equation p(x)=0 ni nambari kamili, inafaa zaidi kutumia ya kwanza kati ya algoriti zilizofafanuliwa kutatua milinganyo ya fomu p (x) q (x) = 0. Pata mizizi ya equation nzima haraka p(x)=0, na kisha angalia ikiwa hali imeridhika kwao q(x) ≠ 0, badala ya kutafuta ODZ, na kisha kutatua equation p(x)=0 kwenye ODZ hii. Hii ni kutokana na ukweli kwamba katika hali hiyo ni rahisi kuangalia kuliko kupata DZ.

Mfano 8

Pata mizizi ya equation (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0.

Suluhisho

Wacha tuanze kwa kuangalia equation nzima (2 x − 1) (x − 6) (x 2 − 5 x + 14) (x + 1) = 0 na kutafuta mizizi yake. Ili kufanya hivyo, tunatumia njia ya kutatua equations kupitia factorization. Inabadilika kuwa equation ya awali ni sawa na seti ya equations nne 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, ambayo tatu ni ya mstari na. moja ni quadratic. Kutafuta mizizi: kutoka kwa equation ya kwanza x = 1 2, kutoka kwa pili - x = 6, kutoka ya tatu – x = 7 , x = − 2 , kutoka ya nne – x = - 1.

Hebu tuangalie mizizi iliyopatikana. Amua ADL ndani kwa kesi hii Ni ngumu kwetu, kwani kwa hili tutalazimika kutatua equation ya algebra ya digrii ya tano. Itakuwa rahisi kuangalia hali kulingana na ambayo denominator ya sehemu, ambayo iko upande wa kushoto wa equation, haipaswi kwenda kwa sifuri.

Wacha tubadilishane kubadilisha mizizi kwa herufi x katika usemi x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 na kuhesabu thamani yake:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 2 2 ∉ = 13 + 12 − 13 4 + 13 + 2 2 - 12

6 5 - 15 · 6 4 + 57 · 6 3 - 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0;

7 5 - 15 · 7 4 + 57 · 7 3 - 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0;

(− 2) 5 - 15 · (- 2) 4 + 57 · (- 2) 3 - 13 · (- 2) 2 + 26 · (- 2) + 112 = - 720 ≠ 0;

(− 1) 5 − 15 · (- 1) 4 + 57 · (- 1) 3 - 13 · (- 1) 2 + 26 · (- 1) + 112 = 0.

Uthibitishaji uliofanywa unaturuhusu kubaini kuwa mizizi ya mlingano wa kimantiki wa awali ni 1 2, 6 na − 2 .

Jibu: 1 2 , 6 , - 2

Mfano 9

Pata mizizi ya mlingano wa kimantiki wa sehemu 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0.

Suluhisho

Wacha tuanze kufanya kazi na equation (5 x 2 − 7 x − 1) (x - 2) = 0. Wacha tupate mizizi yake. Ni rahisi kwetu kufikiria mlinganyo huu kama mchanganyiko wa quadratic na milinganyo ya mstari 5 x 2 − 7 x − 1 = 0 Na x − 2 = 0.

Tunatumia fomula ya mizizi ya equation ya quadratic kupata mizizi. Tunapata kutoka kwa equation ya kwanza mizizi miwili x = 7 ± 69 10, na kutoka kwa pili. x = 2.

Itakuwa vigumu sana kwetu kubadilisha thamani ya mizizi kwenye mlinganyo wa asili ili kuangalia hali. Itakuwa rahisi kuamua ODZ ya mabadiliko ya x. Katika kesi hii, ODZ ya mabadiliko x ni nambari zote isipokuwa zile ambazo hali hiyo inafikiwa x 2 + 5 x − 14 = 0. Tunapata: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

Sasa hebu tuangalie ikiwa mizizi tuliyopata ni ya anuwai ya maadili yanayokubalika ya mabadiliko x.

Mizizi x = 7 ± 69 10 ni ya, kwa hiyo, ni mizizi ya equation ya awali, na x = 2- sio mali, kwa hivyo, ni mzizi wa nje.

Jibu: x = 7 ± 69 10 .

Wacha tuchunguze kando kesi wakati nambari ya mlinganyo wa kimantiki wa fomu p (x) q (x) = 0 ina nambari. Katika hali kama hizi, ikiwa nambari ina nambari tofauti na sifuri, basi equation haitakuwa na mizizi. Ikiwa nambari hii ni sawa na sifuri, basi mzizi wa equation itakuwa nambari yoyote kutoka kwa ODZ.

Mfano 10

Tatua mlingano wa kimantiki wa sehemu - 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Suluhisho

Mlinganyo huu hautakuwa na mizizi, kwani nambari ya sehemu iliyo upande wa kushoto wa equation ina nambari isiyo ya sifuri. Hii inamaanisha kuwa bila thamani ya x thamani ya sehemu iliyotolewa katika taarifa ya tatizo itakuwa sawa na sifuri.

Jibu: hakuna mizizi.

Mfano 11

Tatua mlingano 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Suluhisho

Kwa kuwa nambari ya sehemu ina sifuri, suluhisho la equation litakuwa thamani yoyote x kutoka kwa ODZ ya mabadiliko ya x.

Sasa hebu tufafanue ODZ. Itajumuisha maadili yote ya x ambayo x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Suluhisho kwa equation x 4 + 5 x 3 = 0 ni 0 Na − 5 , kwa kuwa mlingano huu ni sawa na mlinganyo x 3 (x + 5) = 0, na hii kwa upande wake ni sawa na mchanganyiko wa milinganyo miwili x 3 = 0 na x + 5 = 0, ambapo mizizi hii inaonekana. Tunafikia hitimisho kwamba anuwai inayokubalika ya maadili yanayokubalika ni x yoyote isipokuwa x = 0 Na x = - 5.

Inabadilika kuwa equation ya kimantiki ya sehemu 0 x 4 + 5 x 3 = 0 ina seti isiyo na mwisho suluhisho, ambazo ni nambari yoyote isipokuwa sifuri na - 5.

Jibu: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Sasa hebu tuzungumze juu ya usawa wa usawa wa fomu ya kiholela na njia za kuzitatua. Wanaweza kuandikwa kama r(x) = s(x), Wapi r(x) Na s(x)- maneno ya busara, na angalau moja yao ni ya sehemu. Kutatua milinganyo kama hii kunapunguza utatuzi wa milinganyo ya fomu p (x) q (x) = 0.

Tayari tunajua tunachoweza kupata equation sawa wakati wa kuhamisha usemi kutoka upande wa kulia wa equation kwenda kushoto na ishara kinyume. Hii ina maana kwamba equation r(x) = s(x) ni sawa na mlinganyo r (x) − s (x) = 0. Pia tayari tumejadili njia za kubadilisha usemi wa busara kuwa sehemu ya busara. Shukrani kwa hili, tunaweza kubadilisha equation kwa urahisi r (x) − s (x) = 0 katika sehemu inayofanana ya kimantiki ya fomu p (x) q (x) .

Kwa hivyo tunahama kutoka kwa mlinganyo wa awali wa kimantiki r(x) = s(x) kwa equation ya fomu p (x) q (x) = 0, ambayo tayari tumejifunza kutatua.

Inapaswa kuzingatiwa kwamba wakati wa kufanya mabadiliko kutoka r (x) − s (x) = 0 kwa p(x)q(x) = 0 na kisha kwenda p(x)=0 hatuwezi kuzingatia upanuzi wa anuwai ya maadili yanayokubalika ya mabadiliko x.

Inawezekana kabisa kwamba equation ya awali r(x) = s(x) na mlinganyo p(x)=0 kama matokeo ya mabadiliko yatakoma kuwa sawa. Kisha suluhisho la equation p(x)=0 inaweza kutupa mizizi ambayo itakuwa ngeni r(x) = s(x). Katika suala hili, katika kila kesi ni muhimu kufanya uthibitishaji kwa kutumia njia yoyote iliyoelezwa hapo juu.

Ili iwe rahisi kwako kusoma mada, tumefupisha habari yote katika algoriti ya kutatua mlinganyo wa kimantiki wa fomu. r(x) = s(x):

sisi kuhamisha kujieleza kutoka upande wa kulia na ishara kinyume na kupata sifuri upande wa kulia;
kubadilisha usemi asilia kuwa sehemu ya kimantiki p (x) q (x) , inayofanya shughuli kwa kufuatana na sehemu na polimanomia;
kutatua equation p(x)=0;
Tunatambua mizizi ya nje kwa kuangalia mali yao ya ODZ au kwa kubadilisha katika equation ya awali.

Kwa kuibua, mlolongo wa vitendo utaonekana kama hii:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → kuondoa MIZIZI YA NJE

Mfano 12

Tatua mlingano wa kimantiki wa sehemu x x + 1 = 1 x + 1 .

Suluhisho

Wacha tuendelee kwenye mlinganyo x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Wacha tubadilishe usemi wa kimantiki wa sehemu kwenye upande wa kushoto wa mlinganyo kuwa umbo p (x) q (x) .

Ili kufanya hivyo itabidi kuleta sehemu za mantiki kwa dhehebu la kawaida na kurahisisha usemi:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

Ili kupata mizizi ya equation - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, tunahitaji kutatua equation. − 2 x − 1 = 0. Tunapata mzizi mmoja x = - 1 2.

Tunachotakiwa kufanya ni kuangalia kwa kutumia mbinu zozote. Hebu tuangalie wote wawili.

Wacha tubadilishe thamani inayotokana na mlinganyo wa asili. Tunapata - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Tumefika kwenye usawa sahihi wa nambari − 1 = − 1 . Ina maana kwamba x = − 1 2 ndio mzizi wa mlingano asilia.

Sasa hebu tuangalie kupitia ODZ. Wacha tuamue anuwai ya maadili yanayoruhusiwa ya kutofautisha x. Hii itakuwa seti nzima ya nambari, isipokuwa - 1 na 0 (saa x = - 1 na x = 0, madhehebu ya sehemu hupotea). Mzizi tulioupata x = − 1 2 ni mali ya ODZ. Hii ina maana kwamba ni mzizi wa equation ya awali.

Jibu: − 1 2 .

Mfano 13

Pata mizizi ya equation x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x.

Suluhisho

Tunashughulika na mlingano wa kimantiki wa sehemu. Kwa hiyo, tutafanya kulingana na algorithm.

Wacha tusogeze usemi kutoka upande wa kulia kwenda kushoto na ishara iliyo kinyume: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Hebu tufanye mabadiliko muhimu: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

Tunafika kwenye equation x = 0. Mzizi wa equation hii ni sifuri.

Wacha tuangalie ikiwa mzizi huu ni wa nje kwa mlinganyo wa asili. Wacha tubadilishe thamani katika mlinganyo wa asili: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Kama unaweza kuona, equation inayosababishwa haina maana. Hii inamaanisha kuwa 0 ni mzizi wa nje, na mlinganyo wa awali wa kimantiki hauna mizizi.

Jibu: hakuna mizizi.

Ikiwa hatujajumuisha wengine kwenye algoriti mabadiliko sawa, hii haimaanishi kuwa haziwezi kutumika. Algorithm ni ya ulimwengu wote, lakini imeundwa kusaidia, sio kikomo.

Mfano 14

Tatua mlingano 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Suluhisho

Njia rahisi ni kutatua equation ya kimantiki iliyopewa kulingana na algorithm. Lakini kuna njia nyingine. Hebu tuzingatie.

Ondoa 7 kutoka pande za kulia na kushoto, tunapata: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

Kutokana na hili tunaweza kuhitimisha kuwa usemi katika dhehebu upande wa kushoto lazima uwe sawa na ulinganifu wa nambari upande wa kulia, yaani, 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

Ondoa 3 kutoka pande zote mbili: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Kwa mlinganisho, 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, kutoka ambapo 1 5 - x 2 = 1 3, na kisha 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

Wacha tufanye ukaguzi ili kubaini ikiwa mizizi iliyopatikana ni mizizi ya mlingano wa asili.

Jibu: x = ± 2

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter