Tayari ndani Shule ya msingi wanafunzi hukutana na sehemu. Na kisha wanaonekana katika kila mada. Huwezi kusahau vitendo na nambari hizi. Kwa hivyo, unahitaji kujua habari zote kuhusu sehemu za kawaida na za decimal. Dhana hizi sio ngumu, jambo kuu ni kuelewa kila kitu kwa utaratibu.

Kwa nini sehemu zinahitajika?

Ulimwengu unaotuzunguka una vitu vizima. Kwa hiyo, hakuna haja ya hisa. Lakini maisha ya kila siku mara kwa mara huwasukuma watu kufanya kazi na sehemu za vitu na vitu.

Kwa mfano, chokoleti ina vipande kadhaa. Fikiria hali ambapo tile yake huundwa na rectangles kumi na mbili. Ikiwa utaigawanya katika sehemu mbili, utapata sehemu 6. Inaweza kugawanywa kwa urahisi katika tatu. Lakini haitawezekana kuwapa watu watano idadi nzima ya vipande vya chokoleti.

Kwa njia, vipande hivi tayari ni sehemu. Na mgawanyiko wao zaidi husababisha kuonekana kwa nambari ngumu zaidi.

"Sehemu" ni nini?

Hii ni nambari inayoundwa na sehemu za kitengo. Kwa nje, inaonekana kama nambari mbili zilizotenganishwa na mlalo au kufyeka. Kipengele hiki kinaitwa sehemu. Nambari iliyoandikwa juu (kushoto) inaitwa nambari. Kilicho chini (kulia) ni dhehebu.

Kimsingi, kufyeka hugeuka kuwa ishara ya mgawanyiko. Hiyo ni, nambari inaweza kuitwa mgawanyiko, na denominator inaweza kuitwa mgawanyiko.

Je, kuna sehemu gani?

Katika hisabati kuna aina mbili tu: sehemu za kawaida na za decimal. Wanafunzi wa shule hukutana kwa mara ya kwanza Shule ya msingi, kuwaita "vipande". Mwisho utajifunza katika daraja la 5. Hapo ndipo majina haya yanapotokea.

Sehemu za kawaida ni zile zote ambazo zimeandikwa kama nambari mbili zilizotenganishwa na mstari. Kwa mfano, 4/7. Desimali ni nambari ambayo sehemu ya sehemu ina nukuu ya nafasi na inatenganishwa na nambari nzima kwa koma. Kwa mfano, 4.7. Wanafunzi wanapaswa kuelewa wazi kwamba mifano miwili iliyotolewa ni nambari tofauti kabisa.

Kila sehemu rahisi inaweza kuandikwa kwa fomu ya decimal. Taarifa hii ni karibu kila wakati kweli katika mwelekeo wa nyuma. Kuna sheria zinazokuruhusu kuandika sehemu ya desimali kama sehemu ya kawaida.

Je, aina hizi za sehemu zina aina gani ndogo?

Ni bora kuanza ndani mpangilio wa mpangilio, zinavyosomwa. Kwanza kwenda sehemu za kawaida. Kati yao, spishi ndogo 5 zinaweza kutofautishwa.

Sahihi. Nambari yake daima ni chini ya denominator yake.

Si sahihi. Nambari yake ni kubwa kuliko au sawa na denominator yake.

Inayoweza kupunguzwa/isiyopunguzwa. Inaweza kugeuka kuwa sawa au mbaya. Jambo lingine muhimu ni ikiwa nambari na denominator zina mambo ya kawaida. Ikiwa kuna, basi ni muhimu kugawanya sehemu zote mbili za sehemu nao, yaani, kupunguza.

Imechanganywa. Nambari kamili imepewa sehemu yake ya kawaida ya kawaida (isiyo ya kawaida). Aidha, daima ni upande wa kushoto.

Mchanganyiko. Inaundwa kutoka kwa sehemu mbili zilizogawanywa na kila mmoja. Hiyo ni, ina mistari mitatu ya sehemu mara moja.

Sehemu ndogo za decimal zina aina mbili tu:

finite, yaani, ile ambayo sehemu yake ya sehemu ni ndogo (ina mwisho);

usio na mwisho - nambari ambayo tarakimu zake baada ya uhakika wa decimal haziishi (zinaweza kuandikwa bila mwisho).

Jinsi ya kubadilisha sehemu ya decimal kuwa sehemu ya kawaida?

Kama hii nambari ya mwisho, basi chama kulingana na sheria kinatumika - kama ninavyosikia, kwa hivyo ninaandika. Hiyo ni, unahitaji kuisoma kwa usahihi na kuiandika, lakini bila comma, lakini kwa bar ya sehemu.

Kama kidokezo juu ya dhehebu inayohitajika, unahitaji kukumbuka kuwa kila wakati ni sifuri moja na kadhaa. Unahitaji kuandika nyingi za mwisho kama vile kuna nambari katika sehemu ya nambari inayohusika.

Jinsi ya kubadilisha sehemu za decimal kuwa sehemu za kawaida ikiwa sehemu nzima haipo, yaani, sawa na sifuri? Kwa mfano, 0.9 au 0.05. Baada ya kutumia sheria maalum, inageuka kuwa unahitaji kuandika nambari za sifuri. Lakini haijaonyeshwa. Kinachobaki ni kuandika sehemu za sehemu. Nambari ya kwanza itakuwa na denominator ya 10, ya pili itakuwa na denominator ya 100. Hiyo ni, mifano iliyotolewa itakuwa na nambari zifuatazo kama majibu: 9/10, 5/100. Aidha, zinageuka kuwa mwisho unaweza kupunguzwa na 5. Kwa hiyo, matokeo yake yanahitaji kuandikwa kama 1/20.

Jinsi kutoka Nukta kuifanya iwe ya kawaida ikiwa sehemu yake kamili ni tofauti na sifuri? Kwa mfano, 5.23 au 13.00108. Katika mifano yote miwili, sehemu nzima inasomwa na thamani yake imeandikwa. Katika kesi ya kwanza ni 5, kwa pili ni 13. Kisha unahitaji kuendelea na sehemu ya sehemu. Operesheni sawa inapaswa kufanywa nao. Nambari ya kwanza inaonekana 23/100, ya pili - 108/100000. Thamani ya pili inahitaji kupunguzwa tena. Jibu linatoa sehemu zifuatazo zilizochanganywa: 5 23/100 na 13 27/25000.

Jinsi ya kubadilisha sehemu ya decimal isiyo na kikomo kuwa sehemu ya kawaida?

Ikiwa sio mara kwa mara, basi operesheni kama hiyo haitawezekana. Ukweli huu ni kwa sababu ya ukweli kwamba kila sehemu ya desimali hubadilishwa kila wakati kuwa sehemu ya mwisho au ya muda.

Kitu pekee unachoweza kufanya na sehemu kama hiyo ni kuizunguka. Lakini basi desimali itakuwa takriban sawa na hiyo isiyo na mwisho. Tayari inaweza kubadilishwa kuwa ya kawaida. Lakini mchakato wa kurudi nyuma: kubadilisha kuwa decimal hautatoa kamwe thamani ya awali. Hiyo ni, kutokuwa na mwisho sehemu zisizo za mara kwa mara hazijabadilishwa kuwa za kawaida. Hili linahitaji kukumbukwa.

Jinsi ya kuandika sehemu isiyo na kipimo ya upimaji kama sehemu ya kawaida?

Katika nambari hizi, daima kuna tarakimu moja au zaidi baada ya uhakika wa decimal ambao unarudiwa. Wanaitwa kipindi. Kwa mfano, 0.3 (3). Hapa "3" ni katika kipindi. Zimeainishwa kuwa za kimantiki kwa sababu zinaweza kubadilishwa kuwa sehemu za kawaida.

Wale ambao wamekutana na sehemu za mara kwa mara wanajua kuwa zinaweza kuwa safi au mchanganyiko. Katika kesi ya kwanza, kipindi huanza mara moja kutoka kwa comma. Katika pili, sehemu ya sehemu huanza na nambari fulani, na kisha marudio huanza.

Sheria ambayo unahitaji kuandika desimali isiyo na kikomo kama sehemu ya kawaida itakuwa tofauti kwa aina mbili za nambari zilizoonyeshwa. Ni rahisi sana kuandika sehemu za mara kwa mara kama sehemu za kawaida. Kama ilivyo kwa zile zenye kikomo, zinahitaji kubadilishwa: andika kipindi katika nambari, na kiashiria kitakuwa nambari 9, kinachorudiwa mara nyingi kama idadi ya nambari za kipindi.

Kwa mfano, 0, (5). Nambari haina sehemu kamili, kwa hivyo unahitaji kuanza mara moja na sehemu ya sehemu. Andika 5 kama nambari na 9 kama kipunguzo. Hiyo ni, jibu litakuwa sehemu 5/9.

Sheria ya jinsi ya kuandika sehemu ya kawaida ya decimal ambayo imechanganywa.

Angalia urefu wa kipindi. Hiyo ni 9 ngapi denominator itakuwa nayo.

Andika dhehebu: tisa za kwanza, kisha sufuri.

Kuamua nambari, unahitaji kuandika tofauti ya nambari mbili. Nambari zote baada ya nukta ya desimali zitapunguzwa, pamoja na kipindi. Inapunguzwa - ni bila hedhi.

Kwa mfano, 0.5(8) - andika sehemu ya decimal ya mara kwa mara kama sehemu ya kawaida. Sehemu ya sehemu kabla ya kipindi ina tarakimu moja. Kwa hivyo kutakuwa na sifuri moja. Pia kuna nambari moja tu katika kipindi - 8. Hiyo ni, kuna tisa tu. Hiyo ni, unahitaji kuandika 90 katika denominator.

Kuamua nambari, unahitaji kutoa 5 kutoka 58. Inageuka 53. Kwa mfano, itabidi uandike jibu kama 53/90.

Je, sehemu hubadilishwaje kuwa desimali?

wengi zaidi chaguo rahisi inageuka kuwa nambari ambayo denominator ina nambari 10, 100, nk. Kisha denominator inatupwa tu, na koma huwekwa kati ya sehemu za sehemu na kamili.

Kuna hali wakati denominator inageuka kwa urahisi 10, 100, nk Kwa mfano, namba 5, 20, 25. Inatosha kuzizidisha kwa 2, 5 na 4, kwa mtiririko huo. Unahitaji tu kuzidisha sio denominator tu, lakini pia nambari kwa nambari sawa.

Kwa matukio mengine yote, sheria rahisi ni muhimu: kugawanya nambari na denominator. Katika kesi hii, unaweza kupata majibu mawili iwezekanavyo: sehemu ya mwisho au ya muda ya decimal.

Uendeshaji na sehemu za kawaida

Kuongeza na kutoa

Wanafunzi wanafahamiana nao mapema kuliko wengine. Na kwanza kwa sehemu madhehebu sawa, na kisha tofauti. Sheria za jumla zinaweza kupunguzwa kwa mpango huu.

Pata kizidishio kidogo cha kawaida cha madhehebu.

Andika vipengele vya ziada kwa sehemu zote za kawaida.

Zidisha nambari na denomineta kwa vipengele vilivyobainishwa kwao.

Ongeza (ondoa) nambari za sehemu na uache denominator ya kawaida bila kubadilika.

Ikiwa nambari ya minuend ni chini ya subtrahend, basi tunahitaji kujua ikiwa tunayo nambari iliyochanganywa au sehemu inayofaa.

Katika kesi ya kwanza, unahitaji kukopa moja kutoka sehemu nzima. Ongeza dhehebu kwa nambari ya sehemu. Na kisha fanya kutoa.

Katika pili, ni muhimu kutumia utawala wa kutoa kutoka idadi ndogo zaidi. Hiyo ni, kutoka kwa moduli ya subtrahend, toa moduli ya minuend, na kwa kujibu weka ishara "-".

Angalia kwa uangalifu matokeo ya kuongeza (kutoa). Ikiwa inafanya kazi sehemu isiyofaa, basi ni muhimu kuchagua sehemu nzima. Hiyo ni, kugawanya nambari na denominator.

Kuzidisha na kugawanya

Ili kuzifanya, sehemu hazihitaji kupunguzwa dhehebu la kawaida. Hii inafanya iwe rahisi kufanya vitendo. Lakini bado wanahitaji kufuata sheria.

Wakati wa kuzidisha sehemu, unahitaji kuangalia nambari katika nambari na denominators. Ikiwa nambari na denominator yoyote ina sababu ya kawaida, basi inaweza kupunguzwa.

Zidisha nambari.

Zidisha madhehebu.

Ikiwa matokeo ni sehemu inayoweza kupunguzwa, basi lazima iwe rahisi tena.

Wakati wa kugawanya, lazima kwanza ubadilishe mgawanyiko na kuzidisha, na kigawanyaji (sehemu ya pili) na sehemu ya kubadilishana (badilisha nambari na denominator).

Kisha endelea kama vile kuzidisha (kuanzia nukta 1).

Katika kazi ambapo unahitaji kuzidisha (kugawanya) kwa nambari nzima, ya mwisho inapaswa kuandikwa kama sehemu isiyofaa. Hiyo ni, na dhehebu la 1. Kisha tenda kama ilivyoelezwa hapo juu.



Uendeshaji na desimali

Kuongeza na kutoa

Kwa kweli, unaweza kubadilisha desimali kila wakati kuwa sehemu. Na tenda kulingana na mpango ulioelezewa tayari. Lakini wakati mwingine ni rahisi zaidi kutenda bila tafsiri hii. Kisha sheria za kuongeza na kutoa kwao zitakuwa sawa kabisa.

Sawazisha idadi ya tarakimu katika sehemu ya sehemu ya nambari, yaani, baada ya nukta ya desimali. Ongeza nambari inayokosekana ya sufuri kwake.

Andika sehemu ili koma iwe chini ya koma.

Ongeza (ondoa) kama nambari asili.

Ondoa koma.

Kuzidisha na kugawanya

Ni muhimu kwamba huna haja ya kuongeza zero hapa. Sehemu zinapaswa kuachwa kama zinavyoonyeshwa kwenye mfano. Na kisha kwenda kulingana na mpango.

Ili kuzidisha, unahitaji kuandika sehemu moja chini ya nyingine, ukipuuza koma.

Zidisha kama nambari za asili.

Weka koma katika jibu, ukihesabu kutoka mwisho wa kulia wa jibu tarakimu nyingi kama zilivyo katika sehemu za sehemu za vipengele vyote viwili.

Ili kugawanya, lazima kwanza ubadilishe kigawanyaji: uifanye nambari ya asili. Hiyo ni, kuzidisha kwa 10, 100, nk, kulingana na nambari ngapi ziko katika sehemu ya sehemu ya kigawanyiko.

Zidisha mgao kwa nambari sawa.

Gawanya sehemu ya desimali kwa nambari asilia.

Weka koma katika jibu lako wakati ambapo mgawanyo wa sehemu nzima unaisha.



Je, ikiwa mfano mmoja una aina zote mbili za sehemu?

Ndio, katika hisabati mara nyingi kuna mifano ambayo unahitaji kufanya shughuli kwenye sehemu za kawaida na za decimal. Katika kazi kama hizo kuna suluhisho mbili zinazowezekana. Unahitaji kupima nambari kwa usawa na uchague ile bora.

Njia ya kwanza: kuwakilisha desimali za kawaida

Inafaa ikiwa, wakati wa kugawanya au kutafsiri, unapata sehemu za mwisho. Ikiwa angalau nambari moja inatoa sehemu ya mara kwa mara, basi mbinu hii ni marufuku. Kwa hivyo, hata ikiwa haupendi kufanya kazi na sehemu za kawaida, italazimika kuzihesabu.

Njia ya pili: andika sehemu za desimali kama kawaida

Mbinu hii inageuka kuwa rahisi ikiwa sehemu baada ya hatua ya decimal ina tarakimu 1-2. Ikiwa kuna zaidi yao, unaweza kuishia na sehemu kubwa sana ya kawaida na nukuu ya desimali itafanya kazi kuwa haraka na rahisi kuhesabu. Kwa hivyo, kila wakati unahitaji kutathmini kazi hiyo kwa uangalifu na uchague njia rahisi zaidi ya suluhisho.

§ 102. Ufafanuzi wa awali.

Katika sehemu iliyotangulia, tuliangalia sehemu zilizo na kila aina ya madhehebu na kuziita sehemu za kawaida. Tulivutiwa na sehemu yoyote iliyotokea katika mchakato wa kipimo au mgawanyiko, bila kujali ni madhehebu gani tuliishia nayo.

Sasa, kutoka kwa seti nzima ya sehemu, tutatenga sehemu zilizo na denomineta: 10, 100, 1,000, 10,000, nk. ) Sehemu kama hizo huitwa Nukta.

Hapa kuna mifano ya sehemu za decimal:

Tumekumbana na sehemu za desimali hapo awali, lakini hatujaonyesha sifa zozote maalum zinazohusika nazo. Sasa tutaonyesha kuwa wana sifa za kushangaza ambazo hufanya hesabu zote na sehemu kuwa rahisi.

§ 103. Picha ya sehemu ya desimali bila denominata.

Sehemu za decimal kawaida huandikwa sio kwa njia sawa na sehemu za kawaida, lakini kulingana na sheria ambazo nambari zote zimeandikwa.

Ili kuelewa jinsi ya kuandika sehemu ya decimal bila denominator, unahitaji kukumbuka jinsi ya kuandika mfumo wa desimali nambari yoyote. Ikiwa, kwa mfano, tunaandika nambari ya tarakimu tatu kwa kutumia nambari ya 2 tu, i.e. nambari 222, basi kila moja ya hizi mbili itakuwa nayo maana maalum kulingana na nafasi inachukuwa katika idadi. Mbili za kwanza upande wa kulia zinasimama kwa vitengo, pili kwa makumi, na tatu kwa mamia. Kwa hivyo, tarakimu yoyote iliyo upande wa kushoto wa tarakimu nyingine yoyote inaashiria vitengo mara kumi zaidi ya zile zilizoashiriwa na tarakimu iliyotangulia. Ikiwa tarakimu yoyote haipo, basi sifuri imeandikwa mahali pake.

Kwa hivyo, kwa idadi nzima, vitengo viko katika nafasi ya kwanza kulia, makumi iko katika nafasi ya pili, nk.

Sasa hebu tuulize swali la nambari gani ya vitengo tutapata ikiwa, kwa mfano, tuko katika nambari 222. haki Wacha tuongeze nambari moja kwa upande. Ili kujibu swali hili, unahitaji kuzingatia kwamba mbili za mwisho (ya kwanza kutoka kulia) inawakilisha wale.

Kwa hivyo, ikiwa baada ya hizo mbili, ambazo zinaashiria vitengo, sisi, tunarudi nyuma kidogo, tunaandika nambari nyingine, kwa mfano 3, basi itaonyesha vitengo, ndogo mara kumi kuliko ya awali, kwa maneno mengine, itakuwa na maana kumi vitengo; matokeo yake ni nambari iliyo na vitengo vizima 222 na sehemu ya kumi 3 ya kitengo.

Ni kawaida kuweka koma kati ya sehemu kamili na sehemu ya nambari, i.e. andika kama hii:

Ikiwa tutaongeza nambari nyingine kwa nambari hii baada ya hizo tatu, kwa mfano 4, basi itamaanisha 4 mia sehemu za kitengo; nambari itaonekana kama hii:

na hutamkwa: mia mbili ishirini na mbili nukta thelathini na nne.

Nambari mpya, kwa mfano 5, inapopewa nambari hii, inatupa elfu: 222.345 (mia mbili ishirini na mbili nukta mia tatu arobaini na tano elfu).

Kwa uwazi zaidi, mpangilio katika idadi ya nambari kamili na ya sehemu inaweza kuwasilishwa kwa namna ya jedwali:

Kwa hivyo, tumeelezea jinsi sehemu za desimali bila denominator zimeandikwa. Hebu tuandike baadhi ya sehemu hizi.

Ili kuandika sehemu 5/10 bila denominator, unahitaji kuzingatia kwamba haina integers na, kwa hiyo, mahali pa integers lazima kuchukuliwa na sifuri, yaani 5/10 = 0.5.

Sehemu ya 2 9/100 bila dhehebu itaandikwa kama hii: 2.09, ambayo ni, badala ya kumi unahitaji kuweka sifuri. Ikiwa tungeacha hii 0, tungepokea sehemu tofauti kabisa, yaani 2.9, yaani sehemu mbili nzima na tisa.

Hii inamaanisha kuwa wakati wa kuandika sehemu za desimali, unahitaji kuashiria nambari kamili inayokosekana na sifuri:

0.325 - hakuna nambari kamili,
0.012 - hakuna nambari kamili na hakuna sehemu ya kumi,
1.208 - hakuna mia,
0.20406 - hakuna nambari nzima, hakuna mia na hakuna elfu kumi.

Nambari zilizo upande wa kulia wa nukta ya desimali huitwa desimali.

Ili kuzuia makosa wakati wa kuandika sehemu za desimali, unahitaji kukumbuka kuwa baada ya nukta ya decimal kwenye picha ya sehemu ya desimali kunapaswa kuwa na nambari nyingi kama vile kungekuwa na sifuri kwenye dhehebu ikiwa tutaandika sehemu hii na denominator, i.e.

0.1 = 1/10 (kuna sifuri moja katika denominator na tarakimu moja baada ya uhakika decimal);

§ 104. Kuambatanisha sufuri kwa sehemu za desimali.

Aya iliyotangulia ilielezea jinsi sehemu za desimali bila denomineta zinawakilishwa. Umuhimu mkubwa ina sifuri wakati wa kuandika desimali. Kila sehemu ya desimali ifaayo ina sifuri badala ya nambari kamili ili kuonyesha kuwa sehemu haina nambari kamili. Sasa tutaandika sehemu tofauti za desimali kwa kutumia nambari: 0, 3 na 5.

0.35 - 0 nzima, mia 35,
0.035 - 0 nzima, elfu 35,
0.305 - 0 nzima, elfu 305,
0.0035 - 0 nzima, 35 elfu kumi.

Wacha sasa tujue ni nini maana ya sufuri zilizowekwa mwishoni mwa sehemu ya desimali, i.e. upande wa kulia, zina.

Ikiwa tunachukua nambari kamili, kwa mfano 5, kuweka comma baada yake, na kisha kuandika sifuri baada ya comma, basi sifuri hii itamaanisha sifuri ya kumi. Kwa hiyo, sifuri hii iliyotolewa kwa haki haitaathiri thamani ya nambari, i.e.

Sasa hebu tuchukue nambari 6.1 na kuongeza sifuri kwa haki yake, tunapata 6.10, yaani tulikuwa na 1/10 baada ya uhakika wa decimal, lakini ikawa 10/100, lakini 10/100 ni sawa na 1/10. Hii ina maana kwamba ukubwa wa nambari haujabadilika, na kutoka kwa kuongeza sifuri kwenda kulia, tu kuonekana kwa nambari na matamshi yamebadilika (6.1 - pointi sita moja ya kumi; 6.10 - sita hatua moja mia kumi).

Kwa hoja sawa, tunaweza kuhakikisha kuwa kuongeza sufuri upande wa kulia wa sehemu ya desimali hakubadilishi thamani yake. Kwa hivyo, tunaweza kuandika usawa ufuatao:

1 = 1,0,
2,3 = 2,300,
6.7 = 6.70000, nk.

Ikiwa tunaongeza zero upande wa kushoto wa sehemu ya decimal, basi hazitakuwa na maana yoyote. Kwa kweli, ikiwa tunaandika sifuri upande wa kushoto wa nambari 4.6, basi nambari itachukua fomu 04.6. Ziro iko wapi? Inasimama mahali pa makumi, i.e. inaonyesha kuwa hakuna makumi katika nambari hii, lakini hii ni wazi hata bila sifuri.

Walakini, ikumbukwe kwamba wakati mwingine zero huongezwa kwa haki ya sehemu za decimal. Kwa mfano, kuna sehemu nne: 0.32; 2.5; 13.1023; 5.238. Tunatoa sufuri juu ya haki kwa sehemu hizo ambazo zina maeneo machache decimal baada ya uhakika decimal: 0.3200; 2.5000; 13.1023; 5.2380.

Kwa nini hili linafanywa? Kwa kuongeza sifuri kulia, tulipata nambari nne baada ya nukta ya desimali kwa kila nambari, ambayo inamaanisha kuwa kila sehemu itakuwa na dhehebu la 10,000, na kabla ya kuongeza sifuri, sehemu ya kwanza ilikuwa na dhehebu ya 100, ya pili 10, ya tatu 10,000 na ya nne 1,000. Kwa hiyo, kwa kuongeza sifuri, tulisawazisha idadi ya maeneo ya decimal ya sehemu zetu, yaani, tuliwaleta kwa denominator ya kawaida. Kwa hivyo, kuleta sehemu za desimali kwa dhehebu la kawaida hufanywa kwa kuongeza sifuri kwa sehemu hizi.

Kwa upande mwingine, ikiwa sehemu yoyote ya decimal ina sifuri upande wa kulia, basi tunaweza kukataa bila kubadilisha thamani yake, kwa mfano: 2.60 = 2.6; 3.150 = 3.15; 4,200 = 4.2.

Je, tunapaswa kuelewa vipi kushuka huku kwa sufuri upande wa kulia wa sehemu ya desimali? Ni sawa na kupunguzwa kwake, na hii inaweza kuonekana ikiwa tutaandika sehemu hizi za decimal na denominator:

§ 105. Ulinganisho wa sehemu za desimali kwa ukubwa.

Wakati wa kutumia sehemu za decimal, ni muhimu sana kuweza kulinganisha sehemu na kila mmoja na kujibu swali la ni zipi sawa, zipi ni kubwa na zipi ni ndogo. Kulinganisha desimali hufanya kazi tofauti kuliko kulinganisha nambari nzima. Kwa mfano, nzima nambari ya tarakimu mbili daima ni kubwa kuliko tarakimu moja, bila kujali ni vitengo ngapi katika nambari ya tarakimu moja; Nambari ya tarakimu tatu ni kubwa kuliko nambari ya tarakimu mbili, na hata zaidi nambari ya tarakimu moja. Lakini wakati wa kulinganisha decimals, itakuwa kosa kuhesabu ishara zote ambazo sehemu zimeandikwa.

Hebu tuchukue sehemu mbili: 3.5 na 2.5, na ulinganishe kwa ukubwa. Wana maeneo sawa ya decimal, lakini sehemu ya kwanza ina integers 3, na ya pili ina 2. Sehemu ya kwanza ni kubwa kuliko ya pili, i.e.

Wacha tuchukue sehemu zingine: 0.4 na 0.38. Ili kulinganisha sehemu hizi, ni muhimu kuongeza sifuri kwa haki ya sehemu ya kwanza. Kisha tutalinganisha sehemu 0.40 na 0.38. Kila moja ina nambari mbili baada ya nukta ya decimal: hii inamaanisha kuwa sehemu hizi zina dhehebu sawa 100.

Tunahitaji tu kulinganisha nambari zao, lakini nambari ya 40 ni kubwa kuliko 38. Hii ina maana kwamba sehemu ya kwanza ni kubwa kuliko ya pili, i.e.

Sehemu ya kwanza ina sehemu ya kumi zaidi ya ya pili, ingawa sehemu ya pili ina 8 zaidi ya mia, lakini ni chini ya moja ya kumi, kwa sababu 1/10 = 10/100.

Hebu sasa tulinganishe sehemu zifuatazo: 1.347 na 1.35. Hebu tuongeze sifuri upande wa kulia wa sehemu ya pili na kulinganisha sehemu za decimal: 1.347 na 1.350. Sehemu zao zote ni sawa, ambayo ina maana kwamba sehemu za sehemu tu zinahitajika kulinganishwa: 0.347 na 0.350. Sehemu hizi zina sehemu ya kawaida, lakini nambari ya sehemu ya pili ni kubwa zaidi kuliko nambari ya kwanza, ambayo ina maana kwamba sehemu ya pili ni kubwa kuliko ya kwanza, yaani 1.35> 1.347.

Hatimaye, hebu tulinganishe sehemu mbili zaidi: 0.625 na 0.62473. Hebu tuongeze zero mbili kwa sehemu ya kwanza ili kusawazisha tarakimu, na kulinganisha sehemu zinazosababisha: 0.62500 na 0.62473. Madhehebu yao ni sawa, lakini nambari ya sehemu ya kwanza 62,500 ni kubwa zaidi kuliko nambari ya sehemu ya pili 62,473. Kwa hiyo, sehemu ya kwanza ni kubwa kuliko ya pili, yaani 0.625> 0.62473.

Kulingana na hapo juu, tunaweza kuteka hitimisho lifuatalo: ya sehemu mbili za decimal, moja yenye idadi kubwa ya integers ni kubwa; wakati idadi nzima ni sawa, sehemu ambayo ina idadi kubwa ya kumi ni kubwa zaidi; wakati nambari nzima na kumi ni sawa, sehemu iliyo na idadi kubwa ya mia ni kubwa, nk.

§ 106. Kuongeza na kupunguza sehemu ya desimali kwa mara 10, 100, 1,000, nk.

Tayari tunajua kuwa kuongeza sufuri kwenye desimali hakuathiri thamani yake. Tuliposoma nambari kamili, tuliona kwamba kila sifuri iliyoongezwa kulia iliongeza nambari kwa mara 10. Si vigumu kuelewa kwa nini hii ilitokea. Ikiwa tunachukua integer, kwa mfano 25, na kuongeza sifuri kwa haki yake, basi nambari itaongezeka mara 10, namba 250 ni mara 10 zaidi ya 25. Wakati sifuri ilionekana upande wa kulia, namba 5, ambayo hapo awali vitengo vilivyoashiria, sasa vilianza kuashiria makumi, na nambari 2, iliyokuwa ikisimama kwa makumi, sasa ilikuja kusimama kwa mamia. Hii ina maana, kutokana na kuonekana kwa sifuri, tarakimu za awali zilibadilishwa na mpya, zikawa kubwa zaidi, zilihamia sehemu moja upande wa kushoto. Tunapohitaji kuongeza sehemu ya decimal, kwa mfano, kwa mara 10, lazima pia tuhamishe tarakimu sehemu moja kwenda kushoto, lakini harakati hiyo haiwezi kupatikana kwa kutumia sifuri. Sehemu ya desimali ina nambari kamili na sehemu ya sehemu, na mpaka kati yao ni koma. Upande wa kushoto wa nukta ya desimali ndio nambari kamili ya chini kabisa, kulia ni nambari ya sehemu ya juu zaidi. Fikiria sehemu:

Tunawezaje kusonga tarakimu ndani yake, angalau sehemu moja, yaani, kwa maneno mengine, tunawezaje kuongeza mara 10? Ikiwa tutahamisha koma sehemu moja kwenda kulia, basi kwanza kabisa hii itaathiri hatima ya wale watano: ni kutoka mkoa. nambari za sehemu huanguka katika eneo la nambari kamili. Nambari hiyo itaonekana kama: 12345.678. Mabadiliko yalitokea na nambari zingine zote, sio tano tu. Nambari zote zilizojumuishwa kwenye nambari zilianza kucheza jukumu jipya, yafuatayo yalifanyika (tazama jedwali):

Vyeo vyote vilibadilisha majina yao, na vitengo vyote vya daraja, kwa kusema, vilihamia sehemu moja. Kutokana na hili, idadi nzima iliongezeka mara 10. Kwa hivyo, kusonga sehemu ya desimali sehemu moja kwenda kulia huongeza nambari kwa mara 10.

Hebu tuangalie mifano mingine zaidi:

1) Chukua sehemu 0.5 na usonge sehemu ya decimal sehemu moja kwenda kulia; tunapata nambari 5, ambayo ni mara 10 zaidi ya 0.5, kwa sababu hapo awali tano ziliashiria sehemu ya kumi ya kitengo, lakini sasa inaashiria vitengo vizima.

2) Sogeza nukta ya desimali katika nambari 1.234 sehemu mbili kulia; nambari itakuwa 123.4. Nambari hii ni kubwa mara 100 kuliko ile iliyotangulia kwa sababu ndani yake nambari 3 ilianza kuashiria vitengo, nambari 2 - makumi, na nambari 1 - mamia.

Kwa hivyo, ili kuongeza sehemu ya decimal kwa mara 10, unahitaji kusonga sehemu ya decimal sehemu moja kwenda kulia; ili kuongeza mara 100, unahitaji kusonga sehemu ya decimal sehemu mbili kwenda kulia; kuongezeka kwa mara 1,000 - tarakimu tatu kwenda kulia, nk.

Ikiwa nambari haina ishara za kutosha, basi zero huongezwa kwa hiyo upande wa kulia. Kwa mfano, hebu tuongeze sehemu 1.5 kwa mara 100 kwa kuhamisha uhakika wa decimal hadi sehemu mbili; tunapata 150. Hebu tuongeze sehemu 0.6 kwa mara 1,000; tunapata 600.

Rudi ikiwa inahitajika kupungua sehemu ya desimali kwa mara 10, 100, 1,000, n.k., basi unahitaji kusogeza nukta ya desimali kushoto na tarakimu moja, mbili, tatu, nk. Hebu sehemu 20.5 itolewe; Wacha tuipunguze kwa mara 10; Ili kufanya hivyo, songa sehemu ya decimal sehemu moja kwenda kushoto, sehemu itachukua fomu 2.05. Wacha tupunguze sehemu 0.015 kwa mara 100; tunapata 0.00015. Wacha tupunguze nambari 334 kwa mara 10; tunapata 33.4.

Katika makala hii tutaangalia jinsi gani kubadilisha sehemu kuwa desimali, na pia fikiria mchakato wa nyuma - kubadilisha sehemu za decimal kuwa sehemu za kawaida. Hapa tutaelezea sheria za kubadilisha sehemu na kutoa ufumbuzi wa kina mifano ya kawaida.

Urambazaji wa ukurasa.

Kubadilisha sehemu kuwa desimali

Hebu tuonyeshe mlolongo ambao tutashughulika nao kubadilisha sehemu kuwa desimali.

Kwanza, tutaangalia jinsi ya kuwakilisha sehemu na denomineta 10, 100, 1,000, ... kama desimali. Hii inafafanuliwa na ukweli kwamba sehemu za decimal kimsingi ni fomu ngumu ya kuandika sehemu za kawaida na denominators 10, 100, ....

Baada ya hayo, tutaenda mbali zaidi na kuonyesha jinsi ya kuandika sehemu yoyote ya kawaida (sio tu zile zilizo na madhehebu 10, 100, ...) kama sehemu ya desimali. Wakati sehemu za kawaida zinatibiwa kwa njia hii, sehemu zote mbili za desimali na sehemu zisizo na kikomo za decimal hupatikana.

Sasa hebu tuzungumze juu ya kila kitu kwa utaratibu.

Kubadilisha sehemu za kawaida na denominators 10, 100, ... kuwa desimali

Baadhi ya sehemu zinazofaa zinahitaji "matayarisho ya awali" kabla ya kubadilishwa kuwa desimali. Hii inatumika kwa sehemu za kawaida, idadi ya tarakimu katika nambari ambayo ni chini ya idadi ya zero katika denominator. Kwa mfano, sehemu ya kawaida 2/100 lazima iandaliwe kwanza kwa ubadilishaji kuwa sehemu ya desimali, lakini sehemu ya 9/10 haihitaji maandalizi yoyote.

"Maandalizi ya awali" ya sehemu sahihi za kawaida za kugeuzwa kuwa sehemu za desimali ni pamoja na kuongeza sufuri nyingi upande wa kushoto wa nambari hivi kwamba. jumla tarakimu zikawa sawa na idadi ya sufuri katika denominator. Kwa mfano, sehemu baada ya kuongeza sifuri itaonekana kama .

Mara tu unapotayarisha sehemu inayofaa, unaweza kuanza kuibadilisha kuwa desimali.

Hebu tupe sheria ya kubadilisha sehemu inayofaa ya kawaida na denominator ya 10, au 100, au 1,000, ... kuwa sehemu ya desimali.. Inajumuisha hatua tatu:

• kuandika 0;
• baada yake sisi kuweka uhakika decimal;
• Tunaandika nambari kutoka kwa nambari (pamoja na zero zilizoongezwa, ikiwa tumeziongeza).

Hebu fikiria matumizi ya sheria hii wakati wa kutatua mifano.

Mfano.

Badilisha sehemu inayofaa 37/100 kuwa desimali.

Suluhisho.

Denominator ina nambari 100, ambayo ina zero mbili. Nambari ina nambari 37, nukuu yake ina nambari mbili, kwa hivyo, sehemu hii haihitaji kutayarishwa kwa ubadilishaji kuwa sehemu ya decimal.

Sasa tunaandika 0, kuweka uhakika wa decimal, na kuandika nambari 37 kutoka kwa nambari, na tunapata sehemu ya decimal 0.37.

Jibu:

0,37 .

Ili kuimarisha ustadi wa kubadilisha sehemu sahihi za kawaida na nambari 10, 100, ... kuwa sehemu za decimal, tutachambua suluhisho kwa mfano mwingine.

Mfano.

Iandike sehemu sahihi 107/10,000,000 kama desimali.

Suluhisho.

Nambari ya tarakimu katika nambari ni 3, na idadi ya sufuri katika denominator ni 7, hivyo sehemu hii ya kawaida inahitaji kutayarishwa kwa ajili ya kugeuzwa kuwa desimali. Tunahitaji kuongeza 7-3=4 zero upande wa kushoto katika nambari ili jumla ya nambari huko iwe sawa na idadi ya sufuri katika denominator. Tunapata.

Kinachobaki ni kuunda sehemu ya decimal inayohitajika. Ili kufanya hivyo, kwanza, tunaandika 0, pili, tunaweka comma, tatu, tunaandika nambari kutoka kwa nambari pamoja na zero 0000107, kwa sababu hiyo tunayo sehemu ya decimal 0.0000107.

Jibu:

0,0000107 .

Sehemu zisizofaa hazihitaji maandalizi yoyote wakati wa kubadilisha desimali. Ifuatayo inapaswa kuzingatiwa sheria za kubadilisha sehemu zisizofaa na denominators 10, 100, ... kuwa desimali:

• andika nambari kutoka kwa nambari;
• Tunatumia nukta ya desimali kutenganisha tarakimu nyingi upande wa kulia kama vile kuna sufuri katika kipunguzo cha sehemu asili.

Hebu tuangalie matumizi ya sheria hii wakati wa kutatua mfano.

Mfano.

Badilisha sehemu isiyofaa 56,888,038,009/100,000 kuwa desimali.

Suluhisho.

Kwanza, tunaandika nambari kutoka kwa nambari 56888038009, na pili, tunatenganisha nambari 5 upande wa kulia na nukta ya decimal, kwani dhehebu la sehemu ya asili ina zero 5. Kama matokeo, tunayo sehemu ya decimal 568880.38009.

Jibu:

568 880,38009 .

Ili kubadilisha nambari iliyochanganywa kuwa sehemu ya desimali, dhehebu la sehemu ambayo ni nambari 10, au 100, au 1,000, ..., unaweza kubadilisha nambari iliyochanganywa kuwa sehemu isiyofaa ya kawaida, na kisha kubadilisha matokeo. sehemu katika sehemu ya desimali. Lakini pia unaweza kutumia zifuatazo sheria ya kubadilisha nambari zilizochanganywa na denominator ya sehemu ya 10, au 100, au 1,000, ... kuwa sehemu za desimali.:

• ikiwa ni lazima, tunafanya "maandalizi ya awali" ya sehemu ya sehemu ya nambari ya awali iliyochanganywa kwa kuongeza kiasi kinachohitajika zero upande wa kushoto katika nambari;
• andika sehemu kamili ya nambari iliyochanganywa asili;
• weka uhakika wa decimal;
• Tunaandika nambari kutoka kwa nambari pamoja na sifuri zilizoongezwa.

Hebu tuangalie mfano ambao tunakamilisha hatua zote muhimu ili kuwakilisha nambari iliyochanganywa kama sehemu ya desimali.

Mfano.

Badilisha nambari iliyochanganywa kuwa desimali.

Suluhisho.

Denominator ya sehemu ya sehemu ina zero 4, lakini nambari ina nambari 17, inayojumuisha nambari 2, kwa hivyo, tunahitaji kuongeza zero mbili upande wa kushoto kwenye nambari ili nambari ya nambari hapo iwe sawa na nambari ya nambari. zero katika dhehebu. Baada ya kufanya hivi, nambari itakuwa 0017.

Sasa tunaandika sehemu kamili ya nambari ya asili, ambayo ni, nambari 23, weka nukta ya decimal, baada ya hapo tunaandika nambari kutoka kwa nambari pamoja na zero zilizoongezwa, ambayo ni, 0017, na tunapata nambari inayotaka. Sehemu ya 23.0017.

Wacha tuandike suluhisho lote kwa ufupi: .

Bila shaka, iliwezekana kwanza kuwakilisha nambari iliyochanganywa kama sehemu isiyofaa na kisha kuibadilisha kuwa sehemu ya desimali. Kwa mbinu hii, suluhisho linaonekana kama hii: .

Jibu:

23,0017 .

Kubadilisha sehemu kuwa desimali za muda na zisizo na mwisho

Unaweza kubadilisha sio tu sehemu za kawaida na denominators 10, 100, ... kuwa sehemu ya decimal, lakini pia sehemu za kawaida na denominators zingine. Sasa tutajua jinsi hii inafanywa.

Katika baadhi ya matukio, sehemu ya awali ya kawaida hupunguzwa kwa urahisi kuwa moja ya denominator 10, au 100, au 1,000, ... (tazama kuleta sehemu ya kawaida kwa denominator mpya), baada ya hapo si vigumu kuwakilisha sehemu inayotokana. kama sehemu ya desimali. Kwa mfano, ni dhahiri kwamba sehemu ya 2/5 inaweza kupunguzwa kwa sehemu na dhehebu 10, kwa hili unahitaji kuzidisha nambari na dhehebu na 2, ambayo itatoa sehemu 4/10, ambayo, kulingana na sheria zilizojadiliwa katika aya iliyotangulia, inabadilishwa kwa urahisi kuwa sehemu ya decimal 0, 4.

Katika hali zingine, itabidi utumie njia nyingine ya kubadilisha sehemu ya kawaida kuwa desimali, ambayo sasa tunaendelea kuzingatia.

Ili kubadilisha sehemu ya kawaida kuwa sehemu ya desimali, nambari ya sehemu imegawanywa na dhehebu, nambari hubadilishwa kwanza na sehemu sawa ya decimal na nambari yoyote ya sifuri baada ya nukta ya decimal (tulizungumza juu ya hii katika sehemu sawa na nambari ya nambari. sehemu za decimal zisizo sawa). Katika kesi hii, mgawanyiko unafanywa kwa njia sawa na mgawanyiko kwa safu ya nambari za asili, na katika quotient uhakika wa decimal huwekwa wakati mgawanyiko wa sehemu nzima ya mgawanyiko unaisha. Yote hii itakuwa wazi kutoka kwa suluhisho kwa mifano iliyotolewa hapa chini.

Mfano.

Badilisha sehemu 621/4 kuwa desimali.

Suluhisho.

Wacha tuwakilishe nambari katika nambari 621 kama sehemu ya desimali, tukiongeza nukta ya desimali na sufuri kadhaa baada yake. Kwanza, hebu tuongeze tarakimu 2 0, baadaye, ikiwa ni lazima, tunaweza kuongeza zero zaidi kila wakati. Kwa hivyo, tunayo 621.00.

Sasa hebu tugawanye nambari 621,000 kwa 4 na safu. Hatua tatu za kwanza sio tofauti na mgawanyiko mrefu nambari za asili, baada yao tunakuja kwenye picha ifuatayo:

Hivi ndivyo tunavyofikia hatua ya desimali katika mgao, na salio ni tofauti na sifuri. Katika kesi hii, tunaweka nukta ya decimal katika mgawo na kuendelea kugawanya kwenye safu, bila kuzingatia koma:

Hii inakamilisha mgawanyiko, na matokeo yake tunapata sehemu ya decimal 155.25, ambayo inalingana na sehemu ya asili ya kawaida.

Jibu:

155,25 .

Ili kuunganisha nyenzo, fikiria suluhisho la mfano mwingine.

Mfano.

Badilisha sehemu 21/800 kuwa desimali.

Suluhisho.

Ili kubadilisha sehemu hii ya kawaida kuwa desimali, tunagawanya kwa safu wima ya sehemu ya desimali 21,000... na 800. Baada ya hatua ya kwanza, tutalazimika kuweka nukta ya decimal kwenye mgawo, na kisha kuendelea na mgawanyiko:

Hatimaye, tulipata salio 0, hii inakamilisha ubadilishaji wa sehemu ya kawaida 21/400 hadi sehemu ya desimali, na tulifika kwenye sehemu ya desimali 0.02625.

Jibu:

0,02625 .

Inaweza kutokea kwamba wakati wa kugawanya nambari na denominator ya sehemu ya kawaida, bado hatupati salio la 0. Katika kesi hizi, mgawanyiko unaweza kuendelea kwa muda usiojulikana. Walakini, kuanzia hatua fulani, mabaki huanza kurudia mara kwa mara, na nambari kwenye mgawo pia hurudia. Hii inamaanisha kuwa sehemu asili inabadilishwa kuwa sehemu isiyo na kikomo ya desimali ya muda. Hebu tuonyeshe hili kwa mfano.

Mfano.

Andika sehemu 19/44 kama desimali.

Suluhisho.

Ili kubadilisha sehemu ya kawaida kuwa decimal, gawanya safu kwa safu:

Tayari ni wazi kwamba wakati wa mgawanyiko mabaki 8 na 36 yalianza kurudiwa, wakati katika mgawo nambari 1 na 8 zinarudiwa. Kwa hivyo, sehemu ya asili ya kawaida 19/44 inabadilishwa kuwa sehemu ya decimal ya 0.43181818...=0.43(18).

Jibu:

0,43(18) .

Kuhitimisha hatua hii, tutagundua ni sehemu gani za kawaida zinaweza kubadilishwa kuwa sehemu ndogo za desimali, na ni zipi zinaweza kubadilishwa kuwa za mara kwa mara.

Wacha tuwe na sehemu ya kawaida isiyoweza kupunguzwa mbele yetu (ikiwa sehemu inaweza kupunguzwa, basi kwanza tunapunguza sehemu hiyo), na tunahitaji kujua ni sehemu gani ya decimal inaweza kubadilishwa kuwa - ya mwisho au ya mara kwa mara.

Ni wazi kwamba ikiwa sehemu ya kawaida inaweza kupunguzwa kwa moja ya madhehebu 10, 100, 1,000, ..., basi sehemu inayosababishwa inaweza kubadilishwa kwa urahisi kuwa sehemu ya mwisho ya decimal kulingana na sheria zilizojadiliwa katika aya iliyotangulia. Lakini kwa madhehebu 10, 100, 1,000, nk. Sio sehemu zote za kawaida zinazotolewa. Sehemu tu ambazo madhehebu yake ni angalau moja ya nambari 10, 100, ... zinaweza kupunguzwa kwa madhehebu kama hayo. Na ni nambari gani zinaweza kuwa vigawanyiko vya 10, 100, ...? Nambari 10, 100, ... zitaturuhusu kujibu swali hili, na ni kama ifuatavyo: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1,000 = 2 2 2 5 5 5, .... Inafuata kwamba wagawanyaji ni 10, 100, 1,000, nk. kunaweza tu kuwa na nambari ambazo mtengano wake unaingia sababu kuu vyenye nambari 2 na (au) 5 pekee.

Sasa tunaweza kufanya hitimisho la jumla juu ya kubadilisha sehemu za kawaida kuwa desimali:

• ikiwa katika mtengano wa denominator katika mambo makuu tu namba 2 na (au) 5 zipo, basi sehemu hii inaweza kubadilishwa kuwa sehemu ya mwisho ya decimal;
• ikiwa, pamoja na mbili na tano, kuna wengine katika upanuzi wa denominator nambari kuu, kisha sehemu hii inabadilishwa kuwa sehemu ya upimaji ya desimali isiyo na kikomo.

Mfano.

Bila kubadilisha sehemu za kawaida kuwa desimali, niambie ni sehemu gani kati ya 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 inaweza kubadilishwa kuwa sehemu ya mwisho ya desimali, na ni ipi inaweza tu kubadilishwa kuwa sehemu ya muda.

Suluhisho.

Kipunguzo cha sehemu 47/20 kimeainishwa katika vipengele vikuu kama 20=2·2·5. Katika upanuzi huu kuna mbili na tano tu, hivyo sehemu hii inaweza kupunguzwa kwa moja ya denominators 10, 100, 1,000, ... (katika mfano huu, kwa denominator 100), kwa hiyo, inaweza kubadilishwa kuwa decimal ya mwisho. sehemu.

Mtengano wa denominator ya sehemu 7/12 katika mambo kuu ina fomu 12 = 2 · 2 · 3. Kwa kuwa ina kipengele kikuu cha 3, tofauti na 2 na 5, sehemu hii haiwezi kuwakilishwa kama desimali yenye ukomo, lakini inaweza kubadilishwa kuwa desimali ya muda.

Sehemu 21/56 - contractile, baada ya contraction inachukua fomu 3/8. Kuweka dhehebu katika mambo makuu kuna mambo matatu sawa na 2, kwa hiyo, sehemu ya kawaida 3/8, na kwa hiyo sehemu sawa 21/56, inaweza kubadilishwa kuwa sehemu ya mwisho ya decimal.

Hatimaye, upanuzi wa denominator ya sehemu ya 31/17 ni 17 yenyewe, kwa hiyo sehemu hii haiwezi kubadilishwa kuwa sehemu ya mwisho ya decimal, lakini inaweza kubadilishwa kuwa sehemu isiyo na kipimo ya mara kwa mara.

Jibu:

47/20 na 21/56 inaweza kubadilishwa kuwa sehemu ya desimali yenye ukomo, lakini 7/12 na 31/17 inaweza tu kubadilishwa kuwa sehemu ya muda.

Sehemu za kawaida hazibadilishi hadi desimali zisizo za muda zisizo na kikomo

Habari katika aya iliyotangulia inatokeza swali: "Je, kugawanya nambari ya sehemu na denominator kunaweza kusababisha sehemu isiyo ya muda isiyo na kikomo?"

Jibu: hapana. Wakati wa kubadilisha sehemu ya kawaida, matokeo yanaweza kuwa sehemu ya desimali yenye ukomo au sehemu isiyo na kikomo ya desimali ya upimaji. Hebu tueleze kwa nini hii ni hivyo.

Kutoka kwa nadharia ya mgawanyiko na salio ni wazi kuwa salio ni daima chini ya mgawanyiko, yaani, ikiwa tutagawanya nambari kamili kwa nambari q, basi salio linaweza kuwa moja tu ya nambari 0, 1, 2, ..., q-1. Inafuata kwamba baada ya safu wima kukamilisha kugawanya sehemu kamili ya nambari ya sehemu ya kawaida na denominator q, katika si zaidi ya hatua q moja ya hali mbili zifuatazo itatokea:

• au tutapata salio la 0, hii itamaliza mgawanyiko, na tutapata sehemu ya mwisho ya desimali;
• au tutapata salio ambalo tayari limeonekana hapo awali, baada ya hapo mabaki yataanza kurudia kama katika mfano uliopita (tangu wakati wa kugawanya. idadi sawa masalio sawa yanapatikana kwenye q, ambayo inafuata kutoka kwa nadharia ya mgawanyiko iliyotajwa tayari), hii itasababisha sehemu isiyo na kikomo ya desimali ya muda.

Hakuwezi kuwa na chaguzi zingine zozote, kwa hivyo, wakati wa kubadilisha sehemu ya kawaida kuwa sehemu ya desimali, sehemu isiyo na kikomo ya decimal haiwezi kupatikana.

Kutoka kwa hoja iliyotolewa katika aya hii inafuata pia kwamba urefu wa kipindi cha sehemu ya desimali daima ni chini ya thamani ya denominator ya sehemu ya kawaida inayolingana.

Kubadilisha desimali kuwa sehemu

Sasa hebu tuone jinsi ya kubadilisha sehemu ya decimal kuwa sehemu ya kawaida. Wacha tuanze kwa kubadilisha sehemu za mwisho za desimali kuwa sehemu za kawaida. Baada ya hayo, tutazingatia njia ya kugeuza sehemu za desimali zisizo na kipimo. Kwa kumalizia, wacha tuseme juu ya kutowezekana kwa kubadilisha sehemu za decimal zisizo za muda kuwa sehemu za kawaida.

Kubadilisha desimali zinazofuata kuwa sehemu

Kupata sehemu ambayo imeandikwa kama desimali ya mwisho ni rahisi sana. Sheria ya kubadilisha sehemu ya mwisho ya desimali kuwa sehemu ya kawaida lina hatua tatu:

• kwanza, andika sehemu ya desimali uliyopewa kwenye nambari, baada ya kutupilia mbali nukta ya desimali na sufuri zote upande wa kushoto, ikiwa zipo;
• pili, andika moja kwenye denominator na uongeze sufuri nyingi kwake kama vile kuna tarakimu baada ya nukta ya desimali katika sehemu asilia ya desimali;
• tatu, ikiwa ni lazima, kupunguza sehemu inayosababisha.

Wacha tuangalie suluhisho kwa mifano.

Mfano.

Badilisha desimali 3.025 kuwa sehemu.

Suluhisho.

Ikiwa tunaondoa uhakika wa decimal kutoka kwa sehemu ya awali ya decimal, tunapata nambari 3,025. Hakuna sufuri upande wa kushoto ambazo tungetupa. Kwa hivyo, tunaandika 3,025 katika nambari ya sehemu inayotaka.

Tunaandika nambari 1 kwenye dhehebu na kuongeza zero 3 kwa haki yake, kwani katika sehemu ya asili ya decimal kuna tarakimu 3 baada ya uhakika wa decimal.

Kwa hivyo tulipata sehemu ya kawaida 3,025/1,000. Sehemu hii inaweza kupunguzwa na 25, tunapata .

Jibu:

.

Mfano.

Badilisha sehemu ya desimali 0.0017 iwe sehemu.

Suluhisho.

Bila nukta ya desimali, sehemu ya asili ya desimali inaonekana kama 00017, tukitupa sifuri upande wa kushoto tunapata nambari 17, ambayo ni nambari ya sehemu ya kawaida inayotaka.

Tunaandika moja na sifuri nne katika denominator, kwa kuwa sehemu ya awali ya decimal ina tarakimu 4 baada ya uhakika wa decimal.

Kama matokeo, tunayo sehemu ya kawaida 17/10,000. Sehemu hii haiwezi kupunguzwa, na ubadilishaji wa sehemu ya desimali hadi sehemu ya kawaida umekamilika.

Jibu:

.

Wakati sehemu kamili ya sehemu ya mwisho ya desimali si sifuri, inaweza kubadilishwa mara moja hadi nambari mchanganyiko, kwa kupita sehemu ya kawaida. Hebu tupe sheria ya kubadilisha sehemu ya mwisho ya desimali kuwa nambari mchanganyiko:

• nambari kabla ya nukta ya desimali lazima iandikwe kama sehemu kamili ya nambari iliyochanganywa inayotaka;
• katika nambari ya sehemu ya sehemu unahitaji kuandika nambari iliyopatikana kutoka kwa sehemu ya sehemu ya sehemu ya asili ya decimal baada ya kutupa zero zote upande wa kushoto;
• katika dhehebu la sehemu ya sehemu unahitaji kuandika nambari 1, ambayo ongeza zero nyingi kulia kama kuna tarakimu baada ya uhakika wa decimal katika sehemu ya asili ya decimal;
• ikiwa ni lazima, punguza sehemu ya sehemu ya nambari iliyochanganywa.

Hebu tuangalie mfano wa kubadilisha sehemu ya desimali kuwa nambari mchanganyiko.

Mfano.

Eleza sehemu ya desimali 152.06005 kama nambari iliyochanganywa

Sehemu

Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")

Sehemu ndogo sio kero sana katika shule ya upili. Kwa wakati huu. Mpaka kukutana na digrii na viashiria vya busara ndio logarithm. Na kuna... Unabonyeza na kubofya kikokotoo, na kinaonyesha onyesho kamili la baadhi ya nambari. Inabidi ufikirie kwa kichwa kama katika daraja la tatu.

Wacha tujue sehemu ndogo! Naam, ni kiasi gani unaweza kuchanganyikiwa ndani yao!? Aidha, yote ni rahisi na mantiki. Kwa hiyo, ni aina gani za sehemu?

Aina za sehemu. Mabadiliko.

Kuna sehemu aina tatu.

1. Sehemu za kawaida , Kwa mfano:

Wakati mwingine badala ya mstari wa usawa huweka slash: 1/2, 3/4, 19/5, vizuri, na kadhalika. Hapa tutatumia tahajia hii mara nyingi. Nambari ya juu inaitwa namba, chini - dhehebu. Ikiwa unachanganya majina haya kila wakati (inatokea ...), jiambie maneno haya: " Zzzzz kumbuka! Zzzzz denominator - angalia zzzz uh!" Angalia, kila kitu kitakumbukwa zzzz.)

Dashi, ama ya usawa au ya kutega, inamaanisha mgawanyiko nambari ya juu (nambari) hadi chini (denominator). Ni hayo tu! Badala ya dashi, inawezekana kabisa kuweka ishara ya mgawanyiko - dots mbili.

Wakati mgawanyiko kamili unawezekana, hii lazima ifanyike. Kwa hivyo, badala ya sehemu "32/8" ni ya kupendeza zaidi kuandika nambari "4". Wale. 32 imegawanywa tu na 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Sizungumzii hata sehemu "4/1". Ambayo pia ni "4". Na ikiwa haijagawanywa kabisa, tunaiacha kama sehemu. Wakati mwingine unapaswa kufanya operesheni kinyume. Badilisha nambari nzima kuwa sehemu. Lakini zaidi juu ya hilo baadaye.

2. Desimali , Kwa mfano:

Ni katika fomu hii kwamba utahitaji kuandika majibu ya kazi "B".

3. Nambari zilizochanganywa , Kwa mfano:

Nambari zilizochanganywa hazitumiwi katika shule ya upili. Ili kufanya kazi nao, lazima zibadilishwe kuwa sehemu za kawaida. Lakini hakika unahitaji kuwa na uwezo wa kufanya hivyo! Vinginevyo utakutana na nambari kama hiyo kwenye shida na kufungia ... nje ya mahali. Lakini tutakumbuka utaratibu huu! Chini kidogo.

Zaidi hodari sehemu za kawaida. Hebu tuanze nao. Kwa njia, ikiwa sehemu ina kila aina ya logarithms, sines na barua nyingine, hii haibadilishi chochote. Kwa maana kwamba kila kitu vitendo vilivyo na misemo ya sehemu sio tofauti na vitendo vilivyo na sehemu za kawaida!

Mali kuu ya sehemu.

Kwa hiyo, twende! Kuanza, nitakushangaza. Aina nzima ya mabadiliko ya sehemu hutolewa na mali moja! Hiyo ndiyo inaitwa mali kuu ya sehemu. Kumbuka: Ikiwa nambari na denominator ya sehemu inazidishwa (imegawanywa) na nambari sawa, sehemu hiyo haibadilika. Wale:

Ni wazi kwamba unaweza kuendelea kuandika hadi uwe bluu usoni. Usiruhusu sines na logarithm zikuchanganye, tutashughulika nazo zaidi. Jambo kuu ni kuelewa kwamba maneno haya yote ni sehemu sawa . 2/3.

Je, tunahitaji, mabadiliko haya yote? Na jinsi gani! Sasa utajionea mwenyewe. Kuanza, hebu tumia mali ya msingi ya sehemu kwa kupunguza sehemu. Inaweza kuonekana kama jambo la msingi. Gawa nambari na denominator kwa nambari sawa na ndivyo hivyo! Haiwezekani kufanya makosa! Lakini ... mwanadamu ni kiumbe mbunifu. Unaweza kufanya makosa popote! Hasa ikiwa lazima upunguze sio sehemu kama 5/10, lakini usemi wa sehemu na kila aina ya barua.

Jinsi ya kupunguza kwa usahihi na kwa haraka sehemu bila kufanya kazi ya ziada inaweza kusomwa katika Sehemu maalum ya 555.

Mwanafunzi wa kawaida hajisumbui kugawanya nambari na denomineta kwa nambari sawa (au usemi)! Yeye huvuka tu kila kitu ambacho ni sawa juu na chini! Hapa ndipo inaponyemelea kosa la kawaida, blooper, kama wewe.

Kwa mfano, unahitaji kurahisisha usemi:

Hakuna kitu cha kufikiria hapa, vuka barua "a" juu na "2" chini! Tunapata:

Kila kitu ni sahihi. Lakini kweli umegawanyika zote namba na zote denominator ni "a". Ikiwa umezoea kuvuka tu, basi kwa haraka unaweza kuvuka "a" katika usemi

na kuipata tena

Ambayo itakuwa sio kweli kabisa. Kwa sababu hapa zote nambari kwenye "a" tayari iko haijashirikiwa! Sehemu hii haiwezi kupunguzwa. Kwa njia, kupunguza vile ni, um ... changamoto kubwa kwa mwalimu. Hii haijasamehewa! Unakumbuka? Wakati wa kupunguza, unahitaji kugawanya zote namba na zote denominator!

Kupunguza sehemu hurahisisha maisha. Utapata sehemu mahali fulani, kwa mfano 375/1000. Ninawezaje kuendelea kufanya kazi naye sasa? Bila calculator? Zidisha, sema, ongeza, mraba!? Na ikiwa wewe si wavivu sana, na uikate kwa makini na tano, na kwa tano nyingine, na hata ... wakati inafupishwa, kwa kifupi. Wacha tupate 3/8! Nzuri zaidi, sawa?

Sifa kuu ya sehemu hukuruhusu kubadilisha sehemu za kawaida kuwa decimals na kinyume chake bila calculator! Hili ni muhimu kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja, sivyo?

Jinsi ya kubadilisha sehemu kutoka aina moja hadi nyingine.

Na sehemu za decimal kila kitu ni rahisi. Kama inavyosikika, ndivyo ilivyoandikwa! Wacha tuseme 0.25. Hii ni sifuri nukta ishirini na mia tano. Kwa hivyo tunaandika: 25/100. Tunapunguza (tunagawanya nambari na denominator kwa 25), tunapata sehemu ya kawaida: 1/4. Wote. Inatokea, na hakuna kitu kinachopunguzwa. Kama 0.3. Hii ni sehemu ya kumi tatu, i.e. 3/10.

Je, ikiwa nambari kamili si sifuri? Ni sawa. Tunaandika sehemu nzima bila koma yoyote katika nambari, na katika denominator - kile kinachosikika. Kwa mfano: 3.17. Hii ni nukta tatu ya mia na saba. Tunaandika 317 kwa nambari na 100 kwa denominator. Tunapata 317/100. Hakuna kinachopunguzwa, hiyo inamaanisha kila kitu. Hili ndilo jibu. Watson wa Msingi! Kutoka kwa yote ambayo yamesemwa, hitimisho muhimu: sehemu yoyote ya desimali inaweza kubadilishwa kuwa sehemu ya kawaida .

Na hapa ubadilishaji kinyume, kawaida kwa decimal, baadhi ya watu hawawezi kufanya hivyo bila calculator. Na ni lazima! Utaandikaje jibu kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja!? Soma kwa uangalifu na ujue mchakato huu.

Ni nini sifa ya sehemu ya desimali? Denominator yake ni Kila mara gharama 10, au 100, au 1000, au 10000 na kadhalika. Ikiwa sehemu yako ya kawaida ina dhehebu kama hii, hakuna shida. Kwa mfano, 4/10 = 0.4. Au 7/100 = 0.07. Au 12/10 = 1.2. Je, ikiwa jibu la kazi katika sehemu ya "B" liligeuka kuwa 1/2? Tutaandika nini kujibu? Desimali zinahitajika...

Hebu tukumbuke mali kuu ya sehemu ! Hisabati inakuwezesha kuzidisha nambari na denominator kwa nambari sawa. Chochote, kwa njia! Isipokuwa sifuri, bila shaka. Kwa hivyo wacha tuitumie mali hii kwa faida yetu! Je, denominator inaweza kuzidishwa na nini, i.e. 2 ili iwe 10, au 100, au 1000 (ndogo ni bora, bila shaka ...)? Saa 5, ni wazi. Jisikie huru kuzidisha dhehebu (hii ni sisi muhimu) kwa 5. Lakini basi nambari lazima pia izidishwe na 5. Hii tayari hisabati madai! Tunapata 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0.5. Ni hayo tu.

Walakini, kila aina ya madhehebu huja. Utapata, kwa mfano, sehemu ya 3/16. Jaribu na ujue ni nini cha kuzidisha 16 na kufanya 100, au 1000 ... Je, haifanyi kazi? Basi unaweza kugawanya 3 na 16 kwa urahisi. Kwa kukosekana kwa kihesabu, itabidi ugawanye na kona, kwenye kipande cha karatasi, kama ilivyo. madarasa ya vijana kufundishwa. Tunapata 0.1875.

Na pia kuna madhehebu mabaya sana. Kwa mfano, hakuna njia ya kugeuza sehemu 1/3 kuwa decimal nzuri. Kwenye kikokotoo na kwenye karatasi, tunapata 0.3333333... Hii ina maana kwamba 1/3 ni sehemu kamili ya desimali. haitafsiri. Sawa na 1/7, 5/6 na kadhalika. Kuna mengi yao, hayawezi kutafsiriwa. Hii inatuleta kwenye hitimisho lingine muhimu. Sio kila sehemu inaweza kubadilishwa kuwa desimali !

Kwa njia, hii habari muhimu kwa ajili ya kujipima. Katika sehemu "B" lazima uandike sehemu ya desimali katika jibu lako. Na ulipata, kwa mfano, 4/3. Sehemu hii haibadilishi kuwa desimali. Hii inamaanisha kuwa ulifanya makosa mahali fulani njiani! Rudi nyuma na uangalie suluhisho.

Kwa hivyo, tuligundua sehemu za kawaida na za decimal. Kinachobaki ni kushughulika na nambari mchanganyiko. Ili kufanya kazi nao, lazima zibadilishwe kuwa sehemu za kawaida. Jinsi ya kufanya hivyo? Unaweza kumkamata mwanafunzi wa darasa la sita na kumuuliza. Lakini mwanafunzi wa darasa la sita hatakuwa karibu kila wakati ... Itabidi uifanye mwenyewe. Sio ngumu. Unahitaji kuzidisha dhehebu la sehemu ya sehemu kwa sehemu nzima na kuongeza nambari ya sehemu ya sehemu. Hii itakuwa nambari sehemu ya kawaida. Vipi kuhusu dhehebu? Denominator itabaki sawa. Inaonekana kuwa ngumu, lakini kwa kweli kila kitu ni rahisi. Hebu tuangalie mfano.

Tuseme uliogopa kuona nambari kwenye shida:

Kwa utulivu, bila hofu, tunafikiri. Sehemu nzima ni 1. Kitengo. Sehemu ya sehemu ni 3/7. Kwa hiyo, denominator ya sehemu ya sehemu ni 7. Denominator hii itakuwa denominator ya sehemu ya kawaida. Tunahesabu nambari. Tunazidisha 7 kwa 1 (sehemu kamili) na kuongeza 3 (nambari ya sehemu ya sehemu). Tunapata 10. Hii itakuwa nambari ya sehemu ya kawaida. Ni hayo tu. Inaonekana rahisi zaidi katika nukuu ya hisabati:

Je, ni wazi? Kisha salama mafanikio yako! Badilisha kuwa sehemu za kawaida. Unapaswa kupata 10/7, 7/2, 23/10 na 21/4.

Operesheni ya kurudi nyuma - kubadilisha sehemu isiyofaa kuwa nambari iliyochanganywa - haihitajiki sana katika shule ya upili. Naam, ikiwa ni hivyo... Na kama hujasoma shule ya upili, unaweza kuangalia Sehemu maalum ya 555. Kwa njia, pia utajifunza juu ya sehemu zisizofaa huko.

Kweli, hiyo ndiyo yote. Ulikumbuka aina za sehemu na kuelewa Vipi kuhamisha kutoka aina moja hadi nyingine. Swali linabaki: Kwa nini fanya? Wapi na wakati gani wa kutumia ujuzi huu wa kina?

najibu. Mfano wowote yenyewe unapendekeza vitendo muhimu. Ikiwa katika mfano sehemu za kawaida, decimals, na hata nambari mchanganyiko, tunabadilisha kila kitu kuwa sehemu za kawaida. Inaweza kufanywa kila wakati. Kweli, ikiwa inasema kitu kama 0.8 + 0.3, basi tunahesabu hivyo, bila tafsiri yoyote. Kwa nini tunahitaji kazi ya ziada? Tunachagua suluhisho ambalo linafaa sisi !

Ikiwa kazi ni sehemu zote za desimali, lakini um... aina fulani ya mabaya, nenda kwa zile za kawaida na ujaribu! Angalia, kila kitu kitafanya kazi. Kwa mfano, itabidi mraba nambari 0.125. Sio rahisi sana ikiwa haujazoea kutumia kikokotoo! Sio lazima tu kuzidisha nambari kwenye safu, lazima pia ufikirie juu ya mahali pa kuingiza koma! Hakika haitafanya kazi katika kichwa chako! Je, ikiwa tutahamia sehemu ya kawaida?

0.125 = 125/1000. Tunapunguza kwa 5 (hii ni kwa wanaoanza). Tunapata 25/200. Mara nyingine tena kwa 5. Tunapata 5/40. Lo, bado inapungua! Rudi kwa 5! Tunapata 1/8. Tunaweza mraba kwa urahisi (katika akili zetu!) na kupata 1/64. Wote!

Hebu tufanye muhtasari wa somo hili.

1. Kuna aina tatu za sehemu. Nambari za kawaida, decimal na mchanganyiko.

2. Desimali na nambari mchanganyiko Kila mara inaweza kubadilishwa kuwa sehemu za kawaida. Uhamisho wa kinyume si mara zote inapatikana.

3. Uchaguzi wa aina ya sehemu za kufanya kazi na kazi inategemea kazi yenyewe. Mbele ya aina tofauti sehemu katika kazi moja, jambo la kuaminika zaidi ni kuendelea na sehemu za kawaida.

Sasa unaweza kufanya mazoezi. Kwanza, badilisha sehemu hizi za desimali kuwa sehemu za kawaida:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Unapaswa kupata majibu kama haya (kwa fujo!):

Hebu tumalizie hili. Katika somo hili tuliburudisha kumbukumbu zetu juu ya mambo muhimu kuhusu sehemu. Inatokea, hata hivyo, kwamba hakuna kitu maalum cha kuburudisha ...) Ikiwa mtu amesahau kabisa, au bado hajaijua ... Kisha unaweza kwenda kwa Sehemu maalum ya 555. Mambo yote ya msingi yamefunikwa kwa kina hapo. Wengi ghafla kuelewa kila kitu zinaanza. Na wanasuluhisha sehemu kwenye kuruka).

Ikiwa unapenda tovuti hii ...

Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)

Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)

Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.

Sehemu za decimal ni sawa na sehemu za kawaida, lakini katika kinachojulikana kama nukuu ya desimali. Nukuu ya decimal kutumika kwa sehemu na denominators 10, 100, 1000, nk Badala ya sehemu, 1/10; 1/100; 1/1000; ... kuandika 0.1; 0.01; 0.001;... .

Kwa mfano, 0.7 ( pointi sifuri saba) ni sehemu 7/10; 5.43 ( tano nukta arobaini na tatu) ni sehemu iliyochanganywa 5 43/100 (au, ambayo ni sawa, sehemu isiyofaa 543/100).

Inaweza kutokea kwamba kuna sufuri moja au zaidi mara baada ya uhakika decimal: 1.03 ni sehemu 1 3/100; 17.0087 ni sehemu 17 87/10000. Kanuni ya jumla Ni hii: kipunguzo cha sehemu ya kawaida lazima iwe na sufuri nyingi kama kuna tarakimu baada ya uhakika wa desimali katika sehemu ya desimali.

Sehemu ya desimali inaweza kuishia kwa sufuri moja au zaidi. Inabadilika kuwa zero hizi ni "ziada" - zinaweza kuondolewa tu: 1.30 = 1.3; 5.4600 = 5.46; 3,000 = 3. Tambua kwa nini hii ni hivyo?

Desimali kawaida hutokea wakati wa kugawanya kwa nambari za "duru" - 10, 100, 1000, ... Hakikisha kuelewa mifano ifuatayo:

27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;

579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;

33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;

34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;

6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.

Je, unaona muundo hapa? Jaribu kuitengeneza. Nini kitatokea ikiwa utazidisha sehemu ya desimali na 10, 100, 1000?

Ili kubadilisha sehemu ya kawaida kuwa desimali, unahitaji kuipunguza kuwa dhehebu "pande zote":

2/5 = 4/10 = 0.4; 11/20 = 55/100 = 0.55; 9/2 = 45/10 = 4.5, nk.

Kuongeza desimali ni rahisi zaidi kuliko kuongeza sehemu. Nyongeza inafanywa kwa njia sawa na nambari za kawaida - kulingana na nambari zinazolingana. Wakati wa kuongeza kwenye safu, maneno lazima yaandikwe ili koma zao ziwe kwenye wima sawa. Koma ya jumla pia itakuwa kwenye wima sawa. Utoaji wa sehemu za decimal unafanywa kwa njia sawa.

Ikiwa, wakati wa kuongeza au kupunguza katika moja ya sehemu, idadi ya tarakimu baada ya uhakika wa decimal ni chini ya nyingine, basi nambari inayotakiwa ya zero inapaswa kuongezwa hadi mwisho wa sehemu hii. Huwezi kuongeza zero hizi, lakini waziwazie tu akilini mwako.

Wakati wa kuzidisha sehemu za desimali, zinapaswa kuzidishwa tena kama nambari za kawaida (sio lazima tena kuandika koma chini ya nukta ya desimali). Katika matokeo, unahitaji kutenganisha kwa koma idadi ya tarakimu sawa na jumla ya idadi ya maeneo ya desimali katika vipengele vyote viwili.

Wakati wa kugawanya sehemu za desimali, unaweza kusonga wakati huo huo nukta ya desimali kwenye gawio na kigawanyaji kulia kwa idadi sawa ya maeneo: hii haitabadilisha mgawo:

2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;

4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;

6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.

Eleza kwa nini hii ni hivyo?

1. Chora mraba 10x10. Rangi juu ya sehemu yake sawa na: a) 0.02; b) 0.7; c) 0.57; d) 0.91; e) eneo la 0.135 la mraba mzima.
2. Mraba 2.43 ni nini? Chora kwenye picha.
3. Gawanya nambari 37 kwa 10; 795; 4; 2.3; 65.27; 0.48 na uandike matokeo kama sehemu ya desimali. Gawanya nambari sawa na 100 na 1000.
4. Zidisha nambari 4.6 kwa 10; 6.52; 23.095; 0.01999. Zidisha nambari zinazofanana kwa 100 na 1000.
5. Wakilisha desimali kama sehemu na uipunguze:
   a) 0.5; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8;
   b) 0.25; 0.75; 0.05; 0.35; 0.025;
   c) 0.125; 0.375; 0.625; 0.875;
   d) 0.44; 0.26; 0.92; 0.78; 0.666; 0.848.
6. Fikiria katika fomu sehemu iliyochanganywa: 1,5; 3,2; 6,6; 2,25; 10,75; 4,125; 23,005; 7,0125.
7. Eleza sehemu kama desimali:
   a) 1/2; 3/2; 7/2; 15/2; 1/5; 3/5; 4/5; 18/5;
   b) 1/4; 3/4; 5/4; 19/4; 1/20; 7/20; 49/20; 1/25; 13/25; 77/25; 1/50; 17/50; 137/50;
   c) 1/8; 3/8; 5/8; 7/8; 11/8; 125/8; 1/16; 5/16; 9/16; 23/16;
   d) 1/500; 3/250; 71/200; 9/125; 27/2500; 1999/2000.
8. Pata jumla: a) 7.3+12.8; b) 65.14+49.76; c) 3.762+12.85; d) 85.4+129.756; e) 1.44+2.56.
9. Fikiria moja kama jumla ya desimali mbili. Tafuta njia ishirini zaidi za kuiwasilisha kwa njia hii.
10. Tafuta tofauti: a) 13.4–8.7; b) 74.52–27.04; c) 49.736–43.45; d) 127.24–93.883; e) 67–52.07; e) 35.24–34.9975.
11. Pata bidhaa: a) 7.6 · 3.8; b) 4.8 · 12.5; c) 2.39 · 7.4; d) 3.74 · 9.65.