Ni mlinganyo upi unaoitwa logarithmic? Milinganyo ya logarithmic

mali kuu.

logax + logay = logi(x y);
logi − logi = logi (x: y).

misingi inayofanana

Log6 4 + log6 9.

Sasa hebu tufanye kazi ngumu kidogo.

Mifano ya kutatua logarithms

Je, ikiwa msingi au hoja ya logariti ni nguvu? Kisha kielelezo cha digrii hii kinaweza kutolewa nje ya ishara ya logarithm kulingana na sheria zifuatazo:

Kwa kweli, sheria hizi zote zina mantiki ikiwa ODZ ya logarithm inazingatiwa: a > 0, a ≠ 1, x >

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Mpito kwa msingi mpya

Acha logarithm logi itolewe. Halafu kwa nambari yoyote c kama vile c > 0 na c ≠ 1, usawa ni kweli:

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Tazama pia:

Tabia za kimsingi za logarithm

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Kipeo ni 2.718281828…. Ili kukumbuka kielelezo, unaweza kusoma sheria: kielelezo ni sawa na 2.7 na mara mbili mwaka wa kuzaliwa kwa Leo Nikolaevich Tolstoy.

Mali ya msingi ya logarithms

Kujua sheria hii, utajua thamani halisi ya mtangazaji na tarehe ya kuzaliwa kwa Leo Tolstoy.

Mifano ya logarithm

Maneno ya logarithm

Mfano 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Kutumia mali 3.5 tunahesabu

Mfano 2. Tafuta x kama

Mfano 3. Hebu thamani ya logarithms itolewe

Kokotoa logi(x) ikiwa

Mali ya msingi ya logarithms

Logarithm, kama nambari yoyote, inaweza kuongezwa, kupunguzwa na kubadilishwa kwa kila njia. Lakini kwa kuwa logarithms sio nambari za kawaida, kuna sheria hapa, ambazo huitwa mali kuu.

Hakika unahitaji kujua sheria hizi - hakuna shida moja kubwa ya logarithmic inaweza kutatuliwa bila wao. Kwa kuongeza, kuna wachache sana - unaweza kujifunza kila kitu kwa siku moja. Basi hebu tuanze.

Kuongeza na kupunguza logariti

Fikiria logarithmu mbili zilizo na besi sawa: logi na logay. Kisha wanaweza kuongezwa na kupunguzwa, na:

logax + logay = logi(x y);
logi − logi = logi (x: y).

Kwa hivyo, jumla ya logariti ni sawa na logariti ya bidhaa, na tofauti ni sawa na logarithm ya mgawo. Tafadhali kumbuka: jambo kuu hapa ni misingi inayofanana. Ikiwa sababu ni tofauti, sheria hizi hazifanyi kazi!

Fomula hizi zitakusaidia kukokotoa usemi wa logarithmic hata wakati sehemu zake binafsi hazizingatiwi (tazama somo "Logarithmu ni nini"). Angalia mifano na uone:

Kwa kuwa logariti zina misingi sawa, tunatumia fomula ya jumla:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log2 48 − log2 3.

Misingi ni sawa, tunatumia formula tofauti:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log3 135 − log3 5.

Tena besi ni sawa, kwa hivyo tunayo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kama unavyoona, misemo ya asili imeundwa na logarithm "mbaya", ambazo hazijahesabiwa tofauti. Lakini baada ya mabadiliko, nambari za kawaida kabisa zinapatikana. Vipimo vingi vinatokana na ukweli huu. Ndiyo, usemi unaofanana na mtihani hutolewa kwa uzito wote (wakati mwingine bila mabadiliko yoyote) kwenye Mtihani wa Jimbo Pamoja.

Kuchomoa kipeo kutoka kwa logariti

Ni rahisi kuona kwamba sheria ya mwisho inafuata mbili za kwanza. Lakini ni bora kukumbuka hata hivyo - katika hali nyingine itapunguza sana mahesabu.

Bila shaka, sheria hizi zote zina maana ikiwa ODZ ya logarithm inazingatiwa: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Na jambo moja zaidi: jifunze kutumia formula zote sio tu kutoka kushoto kwenda kulia, lakini pia kinyume chake. , i.e. Unaweza kuingiza nambari kabla ya logarithm kuingia kwenye logariti yenyewe. Hii ndiyo inayohitajika mara nyingi.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log7 496.

Wacha tuondoe digrii katika hoja kwa kutumia fomula ya kwanza:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kumbuka kwamba denominator ina logarithm, msingi na hoja ambayo ni nguvu kamili: 16 = 24; 49 = 72. Tuna:

Nadhani mfano wa mwisho unahitaji ufafanuzi. Logarithm zimeenda wapi? Hadi dakika ya mwisho tunafanya kazi tu na dhehebu.

Fomula za Logarithm. Logarithms mifano ya ufumbuzi.

Tuliwasilisha msingi na hoja ya logariti iliyosimama hapo katika mfumo wa nguvu na tukatoa wawakilishi - tulipata sehemu ya "hadithi tatu".

Sasa hebu tuangalie sehemu kuu. Nambari na denominator zina idadi sawa: log2 7. Tangu log2 7 ≠ 0, tunaweza kupunguza sehemu - 2/4 itabaki katika denominator. Kulingana na sheria za hesabu, nne zinaweza kuhamishiwa kwa nambari, ambayo ndiyo iliyofanywa. Matokeo yalikuwa jibu: 2.

Mpito kwa msingi mpya

Kuzungumza juu ya sheria za kuongeza na kupunguza logarithm, nilisisitiza haswa kuwa zinafanya kazi tu na misingi sawa. Nini ikiwa sababu ni tofauti? Je, ikiwa sio nguvu kamili za idadi sawa?

Mifumo ya mpito hadi msingi mpya huja msaada. Wacha tuyaunda kwa namna ya nadharia:

Acha logarithm logi itolewe. Halafu kwa nambari yoyote c kama vile c > 0 na c ≠ 1, usawa ni kweli:

Hasa, ikiwa tutaweka c = x, tunapata:

Kutoka kwa formula ya pili inafuata kwamba msingi na hoja ya logarithm inaweza kubadilishwa, lakini katika kesi hii usemi wote "umegeuzwa", i.e. logarithm inaonekana katika denominator.

Fomula hizi hazipatikani kwa maneno ya kawaida ya nambari. Inawezekana kutathmini jinsi zinavyofaa tu wakati wa kutatua milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa.

Hata hivyo, kuna matatizo ambayo hayawezi kutatuliwa kabisa isipokuwa kwa kuhamia msingi mpya. Hebu tuangalie michache kati ya hizi:

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log5 16 log2 25.

Kumbuka kuwa hoja za logariti zote mbili zina nguvu kamili. Hebu tuchukue viashiria: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sasa hebu "tubadilishe" logarithm ya pili:

Kwa kuwa bidhaa haibadilika wakati wa kupanga upya mambo, tulizidisha kwa utulivu nne na mbili, na kisha tukashughulika na logarithms.

Kazi. Pata thamani ya usemi: log9 100 lg 3.

Msingi na hoja ya logarithm ya kwanza ni nguvu kamili. Wacha tuandike hii na tuondoe viashiria:

Sasa hebu tuondoe logarithm ya desimali kwa kuhamia msingi mpya:

Utambulisho wa msingi wa logarithmic

Mara nyingi katika mchakato wa suluhisho ni muhimu kuwakilisha nambari kama logarithm kwa msingi fulani. Katika kesi hii, fomula zifuatazo zitatusaidia:

Katika kesi ya kwanza, nambari n inakuwa kielelezo katika hoja. Nambari n inaweza kuwa chochote kabisa, kwa sababu ni thamani ya logarithm.

Fomula ya pili kwa kweli ni ufafanuzi uliofafanuliwa. Hiyo ndiyo inaitwa:.

Kwa kweli, nini kitatokea ikiwa nambari b itainuliwa kwa nguvu ambayo nambari b kwa nguvu hii inatoa nambari a? Hiyo ni kweli: matokeo ni nambari sawa a. Soma kifungu hiki kwa uangalifu tena - watu wengi wanakwama juu yake.

Kama fomula za kuhamia msingi mpya, kitambulisho cha msingi cha logarithmic wakati mwingine ndio suluhisho pekee linalowezekana.

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kumbuka kwamba log25 64 = log5 8 - ilichukua tu mraba kutoka kwa msingi na hoja ya logarithm. Kwa kuzingatia sheria za kuzidisha nguvu na msingi sawa, tunapata:

Ikiwa mtu yeyote hajui, hii ilikuwa kazi halisi kutoka kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja :)

Logarithmic kitengo na logarithmic sifuri

Kwa kumalizia, nitatoa vitambulisho viwili ambavyo haziwezi kuitwa mali - badala yake, ni matokeo ya ufafanuzi wa logarithm. Wanaonekana kila wakati katika shida na, kwa kushangaza, huunda shida hata kwa wanafunzi "wa hali ya juu".

loga = 1 ni. Kumbuka mara moja na kwa wote: logariti kwa msingi wowote wa msingi yenyewe ni sawa na moja.
logi 1 = 0 ni. Msingi a unaweza kuwa chochote, lakini ikiwa hoja ina moja, logariti ni sawa na sifuri! Kwa sababu a0 = 1 ni tokeo la moja kwa moja la ufafanuzi.

Hiyo ndiyo mali yote. Hakikisha unajizoeza kuziweka katika vitendo! Pakua karatasi ya kudanganya mwanzoni mwa somo, ichapishe, na kutatua matatizo.

Tazama pia:

Logariti ya b kuweka msingi a inaashiria usemi. Kukokotoa logariti inamaanisha kupata nguvu x () ambapo usawa unaridhika

Tabia za kimsingi za logarithm

Inahitajika kujua mali hapo juu, kwani karibu shida zote na mifano zinazohusiana na logarithms zinatatuliwa kwa msingi wao. Sifa zingine za kigeni zinaweza kupatikana kupitia upotoshaji wa hisabati na fomula hizi

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Wakati wa kuhesabu fomula ya jumla na tofauti ya logarithm (3.4) unakutana mara nyingi. Zingine ni ngumu kiasi fulani, lakini katika kazi kadhaa zinahitajika sana kwa kurahisisha misemo changamano na kukokotoa thamani zake.

Kesi za kawaida za logarithms

Baadhi ya logariti za kawaida ni zile ambazo msingi ni sawa na kumi, kielelezo au mbili.
Logariti hadi msingi kumi kwa kawaida huitwa logariti ya desimali na inaashiriwa kwa urahisi na lg(x).

Ni wazi kutokana na kurekodi kwamba mambo ya msingi hayajaandikwa kwenye rekodi. Kwa mfano

Logariti asilia ni logariti ambayo msingi wake ni kielelezo (kilichoonyeshwa na ln(x)).

Kipeo ni 2.718281828…. Ili kukumbuka kielelezo, unaweza kusoma sheria: kielelezo ni sawa na 2.7 na mara mbili mwaka wa kuzaliwa kwa Leo Nikolaevich Tolstoy. Kujua sheria hii, utajua thamani halisi ya mtangazaji na tarehe ya kuzaliwa kwa Leo Tolstoy.

Na logarithm nyingine muhimu kwa msingi wa mbili inaonyeshwa na

Nyingine ya logariti ya chaguo za kukokotoa ni sawa na ile iliyogawanywa na kutofautisha

Logarithm muhimu au kizuia derivative imedhamiriwa na uhusiano

Nyenzo uliyopewa inatosha kwako kutatua darasa pana la shida zinazohusiana na logarithms na logarithms. Ili kukusaidia kuelewa nyenzo, nitatoa mifano michache tu ya kawaida kutoka kwa mtaala wa shule na vyuo vikuu.

Mifano ya logarithm

Maneno ya logarithm

Mfano 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Kutumia mali 3.5 tunahesabu

2.
Kwa mali ya tofauti ya logarithm tunayo

3.
Kwa kutumia mali 3.5 tunapata

Usemi unaoonekana kuwa changamano hurahisishwa kuunda kwa kutumia sheria kadhaa

Kupata thamani za logarithm

Mfano 2. Tafuta x kama

Suluhisho. Kwa hesabu, tunaomba kwa muhula wa mwisho wa 5 na 13 mali

Tunaiweka kwenye rekodi na kuomboleza

Kwa kuwa misingi ni sawa, tunalinganisha misemo

Logarithms. Kiwango cha kuingia.

Acha thamani ya logariti itolewe

Kokotoa logi(x) ikiwa

Suluhisho: Wacha tuchukue logariti ya kutofautisha ili kuandika logariti kupitia jumla ya masharti yake.

Huu ni mwanzo tu wa kufahamiana kwetu na logarithms na mali zao. Fanya mazoezi ya kuhesabu, boresha ujuzi wako wa vitendo - hivi karibuni utahitaji maarifa unayopata ili kutatua milinganyo ya logarithmic. Baada ya kusoma njia za kimsingi za kutatua hesabu kama hizo, tutapanua maarifa yako kwa mada nyingine muhimu - usawa wa logarithmic ...

Mali ya msingi ya logarithms

Logarithm, kama nambari yoyote, inaweza kuongezwa, kupunguzwa na kubadilishwa kwa kila njia. Lakini kwa kuwa logarithms sio nambari za kawaida, kuna sheria hapa, ambazo huitwa mali kuu.

Kuongeza na kupunguza logariti

Fikiria logarithmu mbili zilizo na besi sawa: logi na logay. Kisha wanaweza kuongezwa na kupunguzwa, na:

logax + logay = logi(x y);
logi − logi = logi (x: y).

Fomula hizi zitakusaidia kukokotoa usemi wa logarithmic hata wakati sehemu zake binafsi hazizingatiwi (tazama somo "Logarithmu ni nini"). Angalia mifano na uone:

Kazi. Pata thamani ya usemi: log6 4 + log6 9.

Kwa kuwa logariti zina misingi sawa, tunatumia fomula ya jumla:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log2 48 − log2 3.

Misingi ni sawa, tunatumia formula tofauti:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log3 135 − log3 5.

Tena besi ni sawa, kwa hivyo tunayo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kuchomoa kipeo kutoka kwa logariti

Sasa hebu tufanye kazi ngumu kidogo. Je, ikiwa msingi au hoja ya logariti ni nguvu? Kisha kielelezo cha digrii hii kinaweza kutolewa nje ya ishara ya logarithm kulingana na sheria zifuatazo:

Ni rahisi kuona kwamba sheria ya mwisho inafuata mbili za kwanza. Lakini ni bora kukumbuka hata hivyo - katika hali nyingine itapunguza sana mahesabu.

Jinsi ya kutatua logarithm

Hii ndiyo inayohitajika mara nyingi.

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log7 496.

Wacha tuondoe digrii katika hoja kwa kutumia fomula ya kwanza:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kumbuka kwamba denominator ina logarithm, msingi na hoja ambayo ni nguvu kamili: 16 = 24; 49 = 72. Tuna:

Nadhani mfano wa mwisho unahitaji ufafanuzi. Logarithm zimeenda wapi? Hadi dakika ya mwisho tunafanya kazi tu na dhehebu. Tuliwasilisha msingi na hoja ya logariti iliyosimama hapo katika mfumo wa nguvu na tukatoa wawakilishi - tulipata sehemu ya "hadithi tatu".

Mpito kwa msingi mpya

Kuzungumza juu ya sheria za kuongeza na kupunguza logarithm, nilisisitiza haswa kuwa zinafanya kazi tu na misingi sawa. Nini ikiwa sababu ni tofauti? Je, ikiwa sio nguvu kamili za idadi sawa?

Mifumo ya mpito hadi msingi mpya huja msaada. Wacha tuyaunda kwa namna ya nadharia:

Acha logarithm logi itolewe. Halafu kwa nambari yoyote c kama vile c > 0 na c ≠ 1, usawa ni kweli:

Hasa, ikiwa tutaweka c = x, tunapata:

Kutoka kwa formula ya pili inafuata kwamba msingi na hoja ya logarithm inaweza kubadilishwa, lakini katika kesi hii usemi wote "umegeuzwa", i.e. logarithm inaonekana katika denominator.

Fomula hizi hazipatikani kwa maneno ya kawaida ya nambari. Inawezekana kutathmini jinsi zinavyofaa tu wakati wa kutatua milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa.

Hata hivyo, kuna matatizo ambayo hayawezi kutatuliwa kabisa isipokuwa kwa kuhamia msingi mpya. Hebu tuangalie michache kati ya hizi:

Kazi. Tafuta thamani ya usemi: log5 16 log2 25.

Kumbuka kuwa hoja za logariti zote mbili zina nguvu kamili. Hebu tuchukue viashiria: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sasa hebu "tubadilishe" logarithm ya pili:

Kwa kuwa bidhaa haibadilika wakati wa kupanga upya mambo, tulizidisha kwa utulivu nne na mbili, na kisha tukashughulika na logarithms.

Kazi. Pata thamani ya usemi: log9 100 lg 3.

Msingi na hoja ya logarithm ya kwanza ni nguvu kamili. Wacha tuandike hii na tuondoe viashiria:

Sasa hebu tuondoe logarithm ya desimali kwa kuhamia msingi mpya:

Utambulisho wa msingi wa logarithmic

Mara nyingi katika mchakato wa suluhisho ni muhimu kuwakilisha nambari kama logarithm kwa msingi fulani. Katika kesi hii, fomula zifuatazo zitatusaidia:

Katika kesi ya kwanza, nambari n inakuwa kielelezo katika hoja. Nambari n inaweza kuwa chochote kabisa, kwa sababu ni thamani ya logarithm.

Fomula ya pili kwa kweli ni ufafanuzi uliofafanuliwa. Hiyo ndiyo inaitwa:.

Kama fomula za kuhamia msingi mpya, kitambulisho cha msingi cha logarithmic wakati mwingine ndio suluhisho pekee linalowezekana.

Kazi. Tafuta maana ya usemi:

Kumbuka kwamba log25 64 = log5 8 - ilichukua tu mraba kutoka kwa msingi na hoja ya logarithm. Kwa kuzingatia sheria za kuzidisha nguvu na msingi sawa, tunapata:

Ikiwa mtu yeyote hajui, hii ilikuwa kazi halisi kutoka kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja :)

Logarithmic kitengo na logarithmic sifuri

loga = 1 ni. Kumbuka mara moja na kwa wote: logariti kwa msingi wowote wa msingi yenyewe ni sawa na moja.
logi 1 = 0 ni. Msingi a unaweza kuwa chochote, lakini ikiwa hoja ina moja, logariti ni sawa na sifuri! Kwa sababu a0 = 1 ni tokeo la moja kwa moja la ufafanuzi.

Hiyo ndiyo mali yote. Hakikisha unajizoeza kuziweka katika vitendo! Pakua karatasi ya kudanganya mwanzoni mwa somo, ichapishe, na kutatua matatizo.

Jina kamili	Plotnikova Tatyana Vladimirovna
Mahali pa kazi	MBOU "Shule ya Sekondari Nambari 1 ya Suzdal"
Jina la kazi	Mwalimu wa hisabati
Kipengee	Algebra na kanuni za uchambuzi wa hisabati
Darasa
Mada ya somo	"Njia za kutatua hesabu za logarithmic", masaa 2
Mafunzo ya msingi	Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin na wengine / M. Elimu 2014

Lengo la somo: kurudia maarifa ya wanafunzi kuhusu logariti ya nambari na sifa zake; soma njia za kutatua milinganyo ya logarithmic na uziunganishe wakati wa kufanya mazoezi.

Kazi:

Kielimu: kurudia ufafanuzi na mali ya msingi ya logarithms, kuwa na uwezo wa kuzitumia katika kuhesabu logarithms, katika kutatua equations logarithmic;

Maendeleo: kukuza uwezo wa kutatua milinganyo ya logarithmic;

Elimu: kukuza uvumilivu, uhuru; kusisitiza shauku katika somo

Aina ya somo: somo la kujifunza nyenzo mpya.

Vifaa vya kiufundi vinavyohitajika:kompyuta, projekta, skrini.

Muundo na mtiririko wa somo:

Wakati wa shirika.

Mwalimu.

Habari, kaa chini! Leo mada ya somo letu ni "Kutatua equations za logarithmic", ambayo tutajifunza jinsi ya kuzitatua kwa kutumia ufafanuzi na mali ya logarithms.(slaidi nambari 1)

Kazi ya mdomo.

Kuimarisha wazo la logarithm, kurudia mali yake ya msingi na mali ya kazi ya logarithmic:

1. Kuongeza joto kulingana na nadharia:

1. Bainisha logarithm.(slaidi nambari 2)

2. Je, unaweza kupata logariti kutoka nambari yoyote?

3. Ni nambari gani inayoweza kusimama kwenye msingi wa logariti?

4. Kazi y=logi 0.8 Je, x inaongezeka au inapungua kwa nini?

5. Je, kazi ya logarithmic inaweza kuchukua maadili gani?

6. Ni logariti gani zinazoitwa decimal, asili?

7. Taja sifa za msingi za logarithms.(slaidi nambari 3)

8. Je, inawezekana kuhama kutoka msingi mmoja wa logariti hadi mwingine? Jinsi ya kufanya hili?(slaidi namba 4)

2. Fanya kazi kwa kutumia kadi (wanafunzi 3-4):

Kadi namba 1: Hesabu: a) logi 6 4 + logi 6 9 =

B) logi 1/3 36 - logi 1/3 12 =

Tatua mlinganyo: logi 5 x = 4 kumbukumbu 5 3 - 1/3 kumbukumbu 5 27

Kadi #2:

Hesabu: a) log211 - log244 =

B) logi1/64 + logi1/69 =

Tatua mlinganyo: logi 7 x = 2 logi 7 5 + 1/2 logi 7 36 – 1/3 logi 7 125.

Utafiti wa darasa la mbele (mazoezi ya mdomo)

Hesabu: (nambari ya slaidi 5)

kumbukumbu ya 216
kumbukumbu 3 √3
kumbukumbu 7 1
kumbukumbu 5 (1/625)
kumbukumbu 2 11 - kumbukumbu 2 44

logi 8 14 + logi 8 32/7
kumbukumbu 3 5 ∙ kumbukumbu 5 3
5 kumbukumbu 5 49
8 kumbukumbu 8 5 - 1
25 -logi 5 10

Linganisha nambari: (nambari ya slaidi 6)

logi ½ e na logi ½ π;
log 2 √5/2 na log 2 √3/2.

Tafuta ishara ya usemi gogo 0.8 3 · logi 6 2/3.

(slaidi nambari 7)

Kuangalia kazi ya nyumbani:

Mazoezi yafuatayo yalitolewa nyumbani: No. 327 (non-ch.), 331 (non-ch.), 333 (2) na 390 (6). Angalia majibu ya kazi hizi na ujibu maswali ya wanafunzi.

Kujifunza nyenzo mpya: Ufafanuzi:

Mlinganyo ulio na kigezo chini ya ishara ya logariti huitwa logarithmic.
Mfano rahisi zaidi wa mlinganyo wa logarithmic ni mlinganyo logi
a x =c (a > 0, a≠ 1) Njia za kutatua hesabu za logarithmic:

(slaidi nambari 8) Kutatua milinganyo kulingana na ufafanuzi wa logariti.

(slaidi nambari 9) logi a x = c (a > 0, a≠ 1) ina suluhisho x = a

Pamoja na .

Kulingana na ufafanuzi wa logarithm, milinganyo hutatuliwa ambayo:
kwa kutumia besi na nambari uliyopewa, logarithm imedhamiriwa,
kwa kutumia logarithm na msingi uliopewa, nambari imedhamiriwa

Msingi huamuliwa kutoka kwa nambari na logarithm iliyotolewa.

Mifano:

kumbukumbu 2 128= x, kumbukumbu 16 x = ¾, kumbukumbu x 27= 3,

2 x = 128, x =16 ¾, x 3 =27,

2 x = 2 7, x = 2 3, x 3 = 3 3,

x =7. x = 8. x =3. a) logi 7

(3x-1)=2 (jibu: x=3 1/3) b) logi 2

(7-8x)=2 (jibu: x=3/8). Mbinu ya uwezo.

(slaidi nambari 10)

Kwa uwezekano tunamaanisha mpito kutoka kwa usawa ulio na logariti hadi usawa ambao haujumuishi, i.e. Ingia f(x) = logi a

g(x), kisha f(x) = g(x), mradi f(x)>0, g(x)>0, a> 0, a≠ 1.

Mfano: =

Tatua mlinganyo

ODZ:

3x-1>0; x>1/3

6x+8>0.

3x-1=6x+8

3x=9

x=-3

3 > 1/3 - sio sahihi

Jibu: hakuna suluhu. lg (x 2

-2) = logi x (jibu: x=2) Milinganyo hutatuliwa kwa kutumia kitambulisho msingi cha logarithmic.

g(x), kisha f(x) = g(x), mradi f(x)>0, g(x)>0, a> 0, a≠ 1.

Mfano:(slaidi Na. 11)

Tatua mlinganyo

=logi 2 (6)

6x>0;

x>0;

x≠1;

logi 2 x 2 >0;

x 2 >0.

Suluhisho la mfumo: (0;1)Ụ (1;6).

Nambari ya 2 (6)

x 2 = 6

x 2 + x-6 = 0

x=-3 si mali ya ODZ.

x=2 ni mali ya ODZ.

Jibu: x=2:

Kama darasa, suluhisha equation ifuatayo

= (jibu: x=1) Njia ya kupunguza logariti hadi msingi sawa.

g(x), kisha f(x) = g(x), mradi f(x)>0, g(x)>0, a> 0, a≠ 1.

(slaidi nambari 12) Tatua mlinganyo wa logi

16 x+ logi 4 x+ logi 2 x=7

ODZ: x>0

¼ logi 2 x+½ logi 2 x+ logi 2 x=7

7/4 kumbukumbu 2 x=7

kumbukumbu 2 x=4

x=16 - ni mali ya ODZ.

Kama darasa, suluhisha equation ifuatayo:

3 (jibu: x=5/3)

Milinganyo hutatuliwa kwa kutumia sifa za logariti.(slaidi nambari 13)

g(x), kisha f(x) = g(x), mradi f(x)>0, g(x)>0, a> 0, a≠ 1.

(slaidi nambari 12) 2 (x +1) - logi 2 (x -2) = 2.

Tatua mlinganyo

x+1>0;

x-2>0. x>1.

Wacha tutumie fomula ya kubadilisha tofauti kati ya logarithm na logarithm ya mgawo, na tunapata logi. 2 = 2, ambayo inafuata= 4.

Baada ya kusuluhisha equation ya mwisho, tunapata x = 3, 3>1 - sahihi

Jibu: x = 3.

Kama darasa, suluhisha hesabu zifuatazo:

a) logi 5 (x +1) + logi 5 (x +5) = 1 (jibu: x=0).

b) logi 9 (37-12x) logi 7-2x 3 = 1,

37-12x >0, x

7-2x >0, x

7-2х≠ 1; x≠ 3; x≠ 3;

Nambari 9 (37-12x) / logi 3 (7-2x) = 1,

½ kumbukumbu 3 (37-12x) = logi 3 (7-2x) ,

Nambari ya 3 (37-12x) = logi 3 (7-2x) 2,

37-12x= 49 -28x +4x 2,

4x 2 -16x +12 =0,

X 2 -4x +3 =0, D=19, x 1 =1, x 2 =3, 3 ni mzizi wa nje.

Jibu: x=mzizi 1 wa mlinganyo.

B) logi(x 2 -6x+9) - 2logi(x - 7) = log9.

(x 2 -6x+9) >0, x≠ 3,

X-7 >0; x >7; x>7.

Lg ((x-3)/(x-7)) 2 = lg9

((x-3)/(x-7)) 2 = 9,

(x-3)/(x-7) = 3, (x-3)/(x-7)= - 3,

x- 3 = 3x -21, x -3 = - 3x +21,

x =9. x=6 ni mzizi wa nje.

Kuangalia kunaonyesha mzizi wa 9 wa mlinganyo.

Jibu: 9

Milinganyo imetatuliwa kwa kuanzisha kigezo kipya.(slaidi nambari 14)

g(x), kisha f(x) = g(x), mradi f(x)>0, g(x)>0, a> 0, a≠ 1.

Tatua mlinganyo wa lg 2 x - 6lgх+5 = 0.

ODZ: x>0.

Acha logx = p, kisha uk 2 -6р+5=0.

p 1 =1, p 2 =5.

Rudi kwa uingizwaji:

lgх = 1, lgх =5

x=10, 10>0 – kweli x=100000, 100000>0 – kweli

Jibu: 10, 100000

Kama darasa, suluhisha equation ifuatayo:

Logi 6 2 x + logi 6 x +14 = (√16 – x 2 ) 2 + x 2 ,

16 - x 2 ≥0; - 4≤ x ≤ 4;

X >0, x >0, O.D.Z. [0.4].

Logi 6 2 x + logi 6 x +14 = 16 – x 2 + x 2,

Nambari 6 2 x + logi 6 x -2 = 0

Badilisha logi 6 x = t

T 2 + t -2 =0; D = 9; t 1 =1, t 2 = -2.

Nambari ya 6 x = 1, x = 6 ni mzizi wa nje.

Nambari ya 6 x = -2, x = 1/36, kuangalia inaonyesha 1/36 ni mzizi.

Jibu: 1/36.

Equations kutatuliwa kwa factorization.(slaidi nambari 15)

g(x), kisha f(x) = g(x), mradi f(x)>0, g(x)>0, a> 0, a≠ 1.

(slaidi nambari 12) 4 (2x-1)∙ kumbukumbu 4 x=2 kumbukumbu 4 (2x-1)

Tatua mlinganyo

2x-1>0;

X >0. x> ½.

logi 4 (2x-1)∙ kumbukumbu 4 x - 2 kumbukumbu 4 (2x-1)=0

logi 4 (2x-1)∙(logi 4 x-2)=0

logi 4 (2x-1)=0 au logi 4 x-2=0

2x-1=logi 1 4 x = 2

x=1 x=16

1;16 - ni mali ya ODZ

Jibu: 1;16

Kama darasa, suluhisha equation ifuatayo:

kumbukumbu 3 x ∙logi 3 (3x-2)= logi 3 (3x-2) (jibu: x=1)

Mbinu ya kuchukua logariti za pande zote mbili za mlingano.(slaidi nambari 16)

g(x), kisha f(x) = g(x), mradi f(x)>0, g(x)>0, a> 0, a≠ 1.

Tatua milinganyo

Wacha tuchukue logariti ya pande zote mbili za equation hadi msingi wa 3.

Tunapata logi 3 = logi 3 (3x)

tunapata: logi 3 x 2 logi 3 x = logi 3 (3x),

2logi 3 x logi 3 x = logi 3 3+ logi 3 x,

logi 2 3 2 x = logi 3 x +1,

logi 2 3 2 x - kumbukumbu 3 x -1=0,

badilisha kumbukumbu 3 x = p, x >0

2 р 2 + р -2 =0; D = 9; p 1 =1, p 2 = -1/2

Nambari 3 x = 1, x=3,

logi 3 x = -1/ 2, x = 1/√3.

Jibu: 3; 1/√3

Kama darasa, suluhisha equation ifuatayo:

Nambari ya 2 x - 1

x = 64 (jibu: x=8; x=1/4)

Inayofanya kazi - njia ya picha.(slaidi nambari 17)

g(x), kisha f(x) = g(x), mradi f(x)>0, g(x)>0, a> 0, a≠ 1.

Tatua milinganyo: logi 3 x = 12 ya.

Kwa kuwa kazi y = logi 3 x inaongezeka, na chaguo la kukokotoa y = 12 inapungua kwa (0; + ∞), kisha mlinganyo uliotolewa kwenye muda huu una mzizi mmoja.

Wacha tutengeneze grafu za kazi mbili katika mfumo mmoja wa kuratibu: y= logi 3 x na y = 12's.

Wakati x=10, mlinganyo uliotolewa unageuka kuwa usawa sahihi wa nambari 1=1. Jibu ni x=10.

Kama darasa, suluhisha equation ifuatayo:

1-√х =ln x (jibu: x=1).

Kwa muhtasari, kutafakari (sambaza miduara ambayo watoto huweka alama ya hisia zao na mchoro).(slaidi nambari 18,19)

Amua njia ya kutatua equation:

Kazi ya nyumbani: 340(1), 393(1), 395(1,3), 1357(1,2), 337(1), 338(1), 339(1)

Fasihi

Ryazanovsky, A.R. Hisabati. Daraja la 5 - 11: Nyenzo za ziada za somo la hisabati / A. Ryazanovsky, E.A. - Toleo la 2., aina potofu. - M.: Bustard, 2002
Hisabati. Nyongeza kwa gazeti "Kwanza ya Septemba". 1997. Nambari 1, 10, 46, 48; 1998. Nambari 8, 16, 17, 20, 21, 47.
Skorkina, N.M. Aina zisizo za kawaida za shughuli za ziada. Kwa shule ya kati na ya upili / N.M. Skorkina. - Volgograd: Mwalimu, 2004
Ziv, B.G., Goldich, V.A. Nyenzo za didactic kwenye aljebra na kanuni za uchanganuzi za daraja la 10./B.G Ziv, V.A. - Toleo la 3, lililorekebishwa. - St. Petersburg: "CheRo-on-Neva", 2004
Algebra na mwanzo wa uchambuzi: hisabati kwa shule za ufundi / ed. G.N.Yakovleva.-M.: Nauka, 1987

Hakiki:

Ili kutumia onyesho la kukagua wasilisho, fungua akaunti ya Google na uingie ndani yake: https://accounts.google.com

Manukuu ya slaidi:

Mbinu za kutatua hesabu za logarithmic Mwalimu wa Hisabati: Plotnikova T.V. MBOU "Shule ya Sekondari Nambari 1 ya Suzdal"

Ufafanuzi Logariti ya nambari chanya b hadi msingi a, ambapo a >0, a≠1, ni kipeo c ambacho lazima kiinulie ili kupata b.

Sifa za logariti huweka logi 1 = 0 logi a a = logi 1 a (x y)= logi a x + logi a y 3

Mifumo ya kuhamia msingi mwingine 4

Hesabu: 5

Linganisha 6

7 Tambua ishara ya nambari:

Njia za msingi za kutatua milinganyo ya logarithmic

1. Kwa kutumia ufafanuzi wa logarithm l og 2 128= x logi x 27= 3 Tatua milinganyo ifuatayo: a) logi 7 (3x-1)=2 b) logi 2 (7-8x)=2 9

2. Njia ya uwezo Wacha tutatue mlingano ufuatao: logi (x 2 -2) = logi x 10 2

11 3. Milinganyo kutatuliwa kwa kutumia kitambulisho cha msingi cha logarithmic Hebu tutatue mlingano ufuatao: 1

12 4. Njia ya kupunguza logariti hadi logi sawa ya msingi 16 x + logi 4 x + logi 2 x = 7 Tatua mlinganyo ufuatao:

13 5. Milinganyo hutatuliwa kwa kutumia sifa za logariti 2 (x +1) - logi 2 (x -2) = 2 Hebu tutatue milinganyo ifuatayo: a) l og 5 (x +1) + logi 5 ( x +5) = 1 b)logi 9 (37-12x) gogo 7-2x 3 = 1 c) gogo(x 2 -6x+9) - 2logi(x - 7) = log9 0 1 9

6. Milinganyo kutatuliwa kwa kuanzisha kigezo kipya l g 2 x - 6lgх +5 = 0 Hebu tutatue milinganyo ifuatayo: logi 6 2 x + logi 6 x +14 = (√16 – x 2) 2 + x 2 14

15 7. Milinganyo imetatuliwa kwa kutumia kumbukumbu ya 4 (2x-1)∙ kumbukumbu 4 x =2 logi 4 (2x-1) Hebu tusuluhishe milinganyo ifuatayo: logi 3 x ∙ logi 3 (3x-2)= logi 3 ( 3x- 2) 1

8. Mbinu ya logarithm Wacha tusuluhishe mlingano ufuatao: 16

9. Inayofanya kazi - logi ya njia ya mchoro 3 x = 12 Wacha tusuluhishe mlingano ufuatao: 17 1

Amua mbinu ya kusuluhisha mlingano: Mlingano: Mbinu ya suluhu ya kubainisha mpito wa logariti hadi uwezekano mwingine wa uanzishaji wa msingi utangulizi wa mpito mpya wa kutofautisha hadi msingi mwingine kwa kutumia sifa za mchoro wa logarithmization 18.

Ndiyo! Na ni nani aliyekuja na milinganyo hii ya logarithmic! Kila kitu kinanifanyia kazi !!! Je! tunahitaji kutatua mifano michache zaidi?! Tafakari 19

Milinganyo ya logarithmic. Kutoka rahisi hadi ngumu.

Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")

Mlinganyo wa logarithmic ni nini?

Huu ni mlinganyo wenye logariti. Ninashangaa, sawa?) Kisha nitafafanua. Huu ni mlinganyo ambao haijulikani (x's) na misemo pamoja nao hupatikana ndani logarithms. Na hapo tu! Hii ni muhimu.

Hapa kuna baadhi ya mifano milinganyo ya logarithmic:

kumbukumbu 3 x = kumbukumbu 3 9

logi 3 (x 2 -3) = logi 3 (2x)

logi x+1 (x 2 +3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Kweli, unaelewa ... )

Makini! Semi tofauti zaidi zilizo na X zinapatikana ndani ya logariti pekee. Ikiwa, ghafla, X inaonekana mahali fulani katika equation nje, Kwa mfano:

kumbukumbu 2 x = 3+x,

hii tayari itakuwa equation ya aina mchanganyiko. Equations kama hizo hazina sheria wazi za kuzitatua. Hatutazingatia kwa sasa. Kwa njia, kuna equations ambapo ndani ya logarithms nambari pekee. Kwa mfano:

Naweza kusema nini? Una bahati ikiwa utapata hii! Logarithm yenye nambari ni nambari fulani. Ni hayo tu. Inatosha kujua mali ya logarithms kutatua equation kama hiyo. Ujuzi wa sheria maalum, mbinu zilizobadilishwa mahsusi za kutatua milinganyo ya logarithmic, haihitajiki hapa.

Kwa hiyo, mlinganyo wa logarithmic ni nini- nilifikiria.

Jinsi ya kutatua equations za logarithmic?

Suluhisho milinganyo ya logarithmic- jambo hilo kwa kweli si rahisi sana. Kwa hivyo sehemu yetu ni nne ... Kiasi cha maarifa cha kutosha juu ya kila aina ya mada zinazohusiana inahitajika. Kwa kuongeza, kuna kipengele maalum katika equations hizi. Na kipengele hiki ni muhimu sana kwamba inaweza kuitwa salama tatizo kuu katika kutatua equations logarithmic. Tutashughulikia tatizo hili kwa undani katika somo linalofuata.

Kwa sasa, usijali. Tutaenda njia sahihi kutoka rahisi hadi ngumu. Kwa kutumia mifano maalum. Jambo kuu ni kujishughulisha na mambo rahisi na usiwe wavivu kufuata viungo, ninawaweka huko kwa sababu ... Na kila kitu kitafanya kazi kwako. Lazima.

Wacha tuanze na hesabu za msingi, rahisi zaidi. Ili kuzitatua, inashauriwa kuwa na wazo la logarithm, lakini hakuna zaidi. Hakuna wazo tu logariti, kuchukua uamuzi logarithmic equations - kwa namna fulani hata awkward ... Ujasiri sana, napenda kusema).

Milinganyo rahisi zaidi ya logarithmic.

Hizi ni equations za fomu:

1. logi 3 x = logi 3 9

2. logi 7 (2x-3) = logi 7 x

3. logi 7 (50x-1) = 2

Mchakato wa suluhisho mlinganyo wowote wa logarithmic inajumuisha mageuzi kutoka kwa mlinganyo wenye logariti hadi mlinganyo bila wao. Katika milinganyo rahisi zaidi mpito huu unafanywa kwa hatua moja. Ndio maana wao ndio rahisi zaidi.)

Na milinganyo kama hii ya logarithmic ni rahisi kusuluhisha kwa kushangaza. Jionee mwenyewe.

Wacha tusuluhishe mfano wa kwanza:

kumbukumbu 3 x = kumbukumbu 3 9

Ili kutatua mfano huu, huna haja ya kujua karibu chochote, ndiyo ... Purely intuition!) Tunahitaji nini? hasa haupendi mfano huu? Nini-nini... Sipendi logariti! Sawa. Basi tuachane nazo. Tunaangalia kwa karibu mfano huo, na tamaa ya asili hutokea ndani yetu ... Haiwezekani kabisa! Chukua na utupe logariti kabisa. Na jema ni hilo Je! fanya! Hisabati inaruhusu. Logarithms hupotea jibu ni:

Kubwa, sawa? Hii inaweza (na inapaswa) kufanywa kila wakati. Kuondoa logariti kwa njia hii ni mojawapo ya njia kuu za kutatua milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa. Katika hisabati operesheni hii inaitwa uwezo. Kwa kweli, kuna sheria za kufilisi kama hizo, lakini ni chache. Kumbuka:

Unaweza kuondoa logarithm bila hofu yoyote ikiwa wana:

a) misingi sawa ya nambari

c) logariti kutoka kushoto kwenda kulia ni safi (bila coefficients yoyote) na ziko katika kutengwa kwa uzuri.

Hebu nifafanue hoja ya mwisho. Katika equation, tuseme

logi 3 x = 2logi 3 (3x-1)

Logarithm haiwezi kuondolewa. Mbili upande wa kulia hairuhusu. Mgawo, unajua ... Katika mfano

logi 3 x+logi 3 (x+1) = logi 3 (3+x)

Pia haiwezekani kuimarisha equation. Hakuna logarithm pekee upande wa kushoto. Kuna wawili kati yao.

Kwa kifupi, unaweza kuondoa logarithm ikiwa equation inaonekana kama hii na tu kama hii:

logi a (.....) = logi a (.....)

Katika mabano, ambapo kuna ellipsis, kunaweza kuwa maneno yoyote. Rahisi, ngumu sana, kila aina. Vyovyote vile. Jambo muhimu ni kwamba baada ya kuondoa logarithms tunaachwa equation rahisi zaidi. Inachukuliwa, kwa kweli, kwamba tayari unajua jinsi ya kutatua milinganyo ya mstari, ya quadratic, ya sehemu, ya kielelezo na zingine bila logarithms.)

Sasa unaweza kutatua kwa urahisi mfano wa pili:

logi 7 (2x-3) = gogo 7 x

Kwa kweli, imeamua katika akili. Tunaweza, tunapata:

Kweli, ni ngumu sana?) Kama unavyoona, logarithmic sehemu ya suluhisho la equation ni tu katika kuondoa logarithm ... Na kisha inakuja suluhisho la equation iliyobaki bila wao. Jambo dogo.

Wacha tusuluhishe mfano wa tatu:

logi 7 (50x-1) = 2

Tunaona kuwa kuna logarithm upande wa kushoto:

Tukumbuke kwamba logariti hii ni nambari ambayo msingi lazima uinulie (yaani saba) ili kupata usemi wa sublogarithmic, i.e. (50x-1).

Lakini nambari hii ni mbili! Kulingana na Eq. Kwa hivyo:

Hiyo ni kimsingi yote. Logarithm kutoweka, Kinachobaki ni equation isiyo na madhara:

Tulitatua mlingano huu wa logarithmic kulingana na maana ya logariti pekee. Je, bado ni rahisi kuondoa logarithm?) Ninakubali. Kwa njia, ukitengeneza logarithm kutoka kwa mbili, unaweza kutatua mfano huu kwa kuondoa. Nambari yoyote inaweza kufanywa kuwa logarithm. Aidha, njia tunayohitaji. Mbinu muhimu sana katika kutatua milinganyo ya logarithmic na (hasa!) kutofautiana.

Sijui jinsi ya kutengeneza logariti kutoka kwa nambari!? Ni sawa. Sehemu ya 555 inaelezea mbinu hii kwa undani. Unaweza kuijua vizuri na kuitumia kikamilifu! Inapunguza sana idadi ya makosa.

Equation ya nne inatatuliwa kwa njia inayofanana kabisa (kwa ufafanuzi):

Ni hayo tu.

Hebu tufanye muhtasari wa somo hili. Tuliangalia suluhisho la milinganyo rahisi zaidi ya logarithmic kwa kutumia mifano. Hii ni muhimu sana. Na si tu kwa sababu equations vile kuonekana katika vipimo na mitihani. Ukweli ni kwamba hata equations mbaya zaidi na ngumu ni lazima kupunguzwa kwa rahisi zaidi!

Kwa kweli, milinganyo rahisi zaidi ni sehemu ya mwisho ya suluhisho yoyote milinganyo. Na sehemu hii ya mwisho lazima ieleweke madhubuti! Na jambo moja zaidi. Hakikisha umesoma ukurasa huu hadi mwisho. Kuna mshangao ...)

Sasa tunaamua wenyewe. Wacha tuwe bora, kwa kusema ...)

Tafuta mzizi (au jumla ya mizizi, ikiwa kuna kadhaa) ya hesabu:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

logi 2 (x 2 +32) = logi 2 (12x)

logi 16 (0.5x-1.5) = 0.25

logi 0.2 (3x-1) = -3

ln(e 2 +2x-3) = 2

logi 2 (14x) = logi 2 7 + 2

Majibu (katika hali mbaya, bila shaka): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.

Nini, si kila kitu kinafanya kazi? Hutokea. Usijali! Sehemu ya 555 inaelezea suluhisho la mifano hii yote kwa njia iliyo wazi na ya kina. Hakika utaijua hapo. Pia utajifunza mbinu muhimu za vitendo.

Kila kitu kilifanyika!? Mifano yote ya "mmoja aliyesalia"?) Hongera!

Ni wakati wa kukufunulia ukweli mchungu. Kusuluhisha kwa ufanisi mifano hii hakuhakikishii mafanikio katika kutatua milinganyo mingine yote ya logarithmic. Hata zile rahisi zaidi kama hizi. Ole!

Ukweli ni kwamba suluhisho la equation yoyote ya logarithmic (hata ya msingi zaidi!) inajumuisha sehemu mbili sawa. Kutatua equation na kufanya kazi na ODZ. Tumefahamu sehemu moja - kutatua equation yenyewe. Sio ngumu hivyo sawa?

Kwa somo hili, nilichagua mifano maalum ambayo DL haiathiri jibu kwa njia yoyote. Lakini sio kila mtu ni mkarimu kama mimi, sivyo?...)

Kwa hivyo, ni muhimu kusimamia sehemu nyingine. ODZ. Hili ndilo tatizo kuu katika kutatua milinganyo ya logarithmic. Na sio kwa sababu ni ngumu - sehemu hii ni rahisi zaidi kuliko ya kwanza. Lakini kwa sababu wanasahau tu kuhusu ODZ. Au hawajui. Au zote mbili). Na wanaanguka nje ya bluu ...

Katika somo linalofuata tutashughulikia tatizo hili. Kisha unaweza kuamua kwa ujasiri yoyote milinganyo rahisi ya logarithmic na inakaribia kazi ngumu kabisa.

Ikiwa unapenda tovuti hii ...

Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)

Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)

Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.

Algebra daraja la 11

Mada: "Njia za kutatua milinganyo ya logarithmic"

Malengo ya somo:

kielimu: malezi ya maarifa juu ya njia tofauti za kutatua hesabu za logarithmic, uwezo wa kuzitumia katika kila hali maalum na kuchagua njia yoyote ya kutatua;

kuendeleza: kuendeleza ujuzi wa kuchunguza, kulinganisha, kutumia ujuzi katika hali mpya, kutambua mifumo, jumla; kuendeleza ujuzi wa udhibiti wa pamoja na kujidhibiti;

kielimu: kukuza mtazamo wa kuwajibika kwa kazi ya kielimu, mtazamo wa uangalifu wa nyenzo kwenye somo, na kuchukua kumbukumbu kwa uangalifu.

Aina ya somo: somo la kutambulisha nyenzo mpya.

"Uvumbuzi wa logarithms, wakati unapunguza kazi ya mwanaastronomia, uliongeza maisha yake."
Mwanahisabati wa Ufaransa na mwanaastronomia P.S. Laplace

Maendeleo ya somo

I. Kuweka lengo la somo

Ufafanuzi uliosomwa wa logariti, sifa za logariti na utendakazi wa logarithmic utaturuhusu kutatua milinganyo ya logarithmic. Milinganyo yote ya logarithmic, haijalishi ni ngumu kiasi gani, hutatuliwa kwa kutumia algoriti zinazofanana. Tutaangalia algoriti hizi katika somo la leo. Hakuna wengi wao. Ikiwa utazijua vizuri, basi usawa wowote wenye logariti utawezekana kwa kila mmoja wenu.

Andika mada ya somo katika daftari lako: "Njia za kutatua milinganyo ya logarithmic." Ninawaalika kila mtu kushirikiana.

II. Usasishaji wa maarifa ya kumbukumbu

Hebu tujiandae kujifunza mada ya somo. Unasuluhisha kila kazi na kuandika jibu sio lazima uandike hali hiyo. Fanya kazi kwa jozi.

1) Ni kwa maadili gani ya x kazi hiyo ina maana:

(Majibu yanakaguliwa kwa kila slaidi na hitilafu hupangwa)

2) Je, grafu za kazi zinapatana?

3) Andika upya usawa kama usawa wa logarithmic:

4) Andika nambari kama logarithms na msingi 2:

5) Kuhesabu:

6) Jaribu kurejesha au kuongeza vipengele vilivyokosekana katika usawa huu.

III. Utangulizi wa nyenzo mpya

Taarifa ifuatayo inaonyeshwa kwenye skrini:

"Equation ndio ufunguo wa dhahabu ambao hufungua ufuta wote wa kihesabu."
Mwanahisabati wa kisasa wa Kipolishi S. Kowal

Jaribu kuunda ufafanuzi wa mlinganyo wa logarithmic. (Mlinganyo ulio na kisichojulikana chini ya ishara ya logariti).

Hebu tuzingatie equation rahisi zaidi ya logarithmic:Mfano rahisi zaidi wa mlinganyo wa logarithmic ni mlinganyoAx = b(ambapo a>0, a ≠ 1). Kwa kuwa kazi ya logarithmic inaongezeka (au inapungua) kwenye seti ya nambari nzuri na inachukua maadili yote halisi, basi kwa nadharia ya mizizi inafuata kwamba kwa b yoyote equation hii ina, na moja tu, suluhisho, na chanya.

Kumbuka ufafanuzi wa logarithm. (Logariti ya nambari x hadi msingi a ni kiashirio cha nguvu ambayo msingi a lazima uinulishwe ili kupata nambari x). Kutoka kwa ufafanuzi wa logarithm mara moja hufuata hiyo AV ni suluhisho kama hilo.

Andika kichwa: Mbinu za kutatua milinganyo ya logarithmic

1. Kwa ufafanuzi wa logarithm.

Hivi ndivyo milinganyo rahisi zaidi ya fomu inavyotatuliwa.

Hebu tuzingatie Nambari 514(a)): Tatua mlingano

Je, unapendekeza kutatuaje? (Kwa ufafanuzi wa logarithm)

Suluhisho. , Kwa hiyo 2x - 4 = 4; x = 4.

Katika kazi hii, 2x - 4> 0, tangu> 0, hivyo hakuna mizizi ya nje inaweza kuonekana, na hakuna haja ya kuangalia. Hali 2x - 4 > 0 haihitaji kuandikwa katika kazi hii.

2. Uwezo(mpito kutoka kwa logariti ya usemi uliopeanwa hadi usemi huu wenyewe).

Hebu tuzingatie Nambari 519(g): log5(x2+8)-logi5(x+1)=3logi5 2

Umeona kipengele gani? (Misingi ni sawa na logariti za misemo miwili ni sawa.) Je, nini kifanyike? (Potenize).

Inapaswa kuzingatiwa kuwa suluhisho lolote liko kati ya yote x ambayo maneno ya logarithmic ni chanya.

Suluhisho: ODZ:

X2+8>0 ni ukosefu wa usawa usiohitajika

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

Wacha tuimarishe equation asili

tunapata equation x2+8= 8x+8

Wacha tuitatue: x2-8x=0

Jibu: 0; 8

Kwa ujumla mpito kwa mfumo sawa:

Mlingano

(Mfumo una hali isiyohitajika - moja ya ukosefu wa usawa haifai kuzingatiwa).

Swali kwa darasa: Ni suluhu gani kati ya hizi tatu ulipenda zaidi? (Majadiliano ya mbinu).

Una haki ya kuamua kwa njia yoyote.

3. Utangulizi wa kigezo kipya.

Hebu tuzingatie Nambari 520(g). .

Umeona nini? (Hii ni equation ya quadratic kwa heshima na log3x) Mapendekezo yoyote? (Tambulisha kigezo kipya)

Suluhisho. ODZ: x > 0.

Hebu , basi equation inachukua fomu:. Kibaguzi D > 0. Mizizi kulingana na nadharia ya Vieta:.

Hebu turudi kwenye uingizwaji: au.

Baada ya kusuluhisha hesabu rahisi zaidi za logarithmic, tunapata:

Jibu: 27;

4. Logarithm pande zote mbili za mlingano.

Tatua mlinganyo:.

Suluhisho: ODZ: x>0, chukua logariti ya pande zote mbili za equation katika msingi wa 10:

Wacha tutumie mali ya logarithm ya nguvu:

(logx + 3) logx = 4

Acha logx = y, kisha (y + 3)y = 4

, (D > 0) mizizi kulingana na nadharia ya Vieta: y1 = -4 na y2 = 1.

Hebu turudi kwenye uingizwaji, tunapata: lgx = -4,; logx = 1, .

Jibu: 0.0001; 10.

5. Kupunguza kwa msingi mmoja.

Nambari 523(c). Tatua mlinganyo:

Suluhisho: ODZ: x>0. Wacha tuendelee kwenye msingi wa 3.

6. Mbinu ya kazi-graphic.

№ 509(d). Tatua mlinganyo kwa michoro: = 3 - x.

Je, unapendekeza kutatua vipi? (Jenga grafu za kazi mbili y = log2x na y = 3 - x kwa kutumia pointi na utafute abscissa ya pointi za makutano ya grafu).

Angalia suluhisho lako kwenye slaidi.

Kuna njia ya kuzuia kutengeneza grafu . Ni kama ifuatavyo : ikiwa ni moja ya kazi y = f(x) huongezeka, na nyingine y = g(x) hupungua kwa muda wa X, kisha equation f(x)= g(x) ina mzizi mmoja kwenye muda wa X.

Ikiwa kuna mizizi, basi inaweza kudhaniwa.

Kwa upande wetu, kazi huongezeka kwa x> 0, na kazi y = 3 - x inapungua kwa maadili yote ya x, ikiwa ni pamoja na kwa x> 0, ambayo ina maana kwamba equation haina mizizi zaidi ya moja. Kumbuka kuwa kwa x = 2 equation inabadilika kuwa usawa wa kweli, kwani .

"Matumizi sahihi ya mbinu yanaweza kujifunza kwa
tu kwa kuzitumia kwa mifano mbalimbali.”
Mwanahistoria wa Denmark wa hisabati G. G. Zeiten

IV. Kazi ya nyumbani

Uk. 39 fikiria mfano wa 3, suluhisha Na. 514(b), Na. 529(b), Na. 520(b), Na. 523(b)

V. Kwa muhtasari wa somo

Je, ni njia gani za kutatua milinganyo ya logarithmic tulizoziangalia darasani?

Katika masomo yanayofuata tutaangalia milinganyo changamano zaidi. Ili kuzitatua, njia zilizosomwa zitakuwa muhimu.

Slaidi ya mwisho iliyoonyeshwa:

"Ni nini zaidi ya kitu chochote ulimwenguni?
Nafasi.
Ni jambo gani la busara zaidi?
Wakati.
Ni sehemu gani bora zaidi?
Fanya kile unachotaka."
Thales

Natamani kila mtu afikie kile anachotaka. Asante kwa ushirikiano wako na kuelewa.

Algebra daraja la 11

Mada: "Njia za kutatua milinganyo ya logarithmic"

Malengo ya somo:

kielimu: kukuza ujuzi juu ya njia tofauti za kutatua equations za logarithmic, uwezo wa kuzitumia katika kila hali maalum na kuchagua njia yoyote ya kutatua;

kuendeleza: maendeleo ya ujuzi wa kuchunguza, kulinganisha, kutumia ujuzi katika hali mpya, kutambua mifumo, jumla; kukuza ujuzi wa kudhibiti pamoja na kujidhibiti;

kielimu: kukuza mtazamo wa kuwajibika kwa kazi ya kielimu, mtazamo wa uangalifu wa nyenzo kwenye somo, na utunzaji wa kumbukumbu kwa uangalifu.

Aina ya somo : somo la kutambulisha nyenzo mpya.

"Uvumbuzi wa logarithms, wakati unapunguza kazi ya mwanaastronomia, uliongeza maisha yake."
Mwanahisabati wa Ufaransa na mwanaastronomia P.S. Laplace

Maendeleo ya somo

I. Kuweka lengo la somo

Ufafanuzi uliosomwa wa logariti, sifa za logarithmu na utendakazi wa logarithmic utaturuhusu kutatua milinganyo ya logarithmic. Milinganyo yote ya logarithmic, haijalishi ni ngumu kiasi gani, hutatuliwa kwa kutumia algoriti zinazofanana. Tutaangalia algoriti hizi katika somo la leo. Hakuna wengi wao. Ikiwa utazijua vizuri, basi usawa wowote wenye logariti utawezekana kwa kila mmoja wenu.

Andika mada ya somo katika daftari lako: "Njia za kutatua milinganyo ya logarithmic." Ninawaalika kila mtu kushirikiana.

II. Usasishaji wa maarifa ya kumbukumbu

Hebu tujiandae kujifunza mada ya somo. Unasuluhisha kila kazi na kuandika jibu sio lazima uandike hali hiyo. Fanya kazi kwa jozi.

1) Ni kwa maadili gani ya x kazi hiyo ina maana:

(Majibu yanakaguliwa kwa kila slaidi na hitilafu hupangwa)

2) Je, grafu za kazi zinapatana?

a) y = x na

b)Na

3) Andika upya usawa kama usawa wa logarithmic:

4) Andika nambari kama logarithms na msingi 2:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Hesabu :

6) Jaribu kurejesha au kuongeza vipengele vilivyokosekana katika usawa huu.

III. Utangulizi wa nyenzo mpya

Taarifa ifuatayo inaonyeshwa kwenye skrini:

"Mlinganyo ndio ufunguo wa dhahabu unaofungua ufuta wote wa kihesabu."
Mwanahisabati wa kisasa wa Kipolishi S. Kowal

Jaribu kuunda ufafanuzi wa mlinganyo wa logarithmic. (Mlinganyo ulio na kisichojulikana chini ya ishara ya logariti ).

Hebu tuzingatieequation rahisi zaidi ya logarithmic: Mfano rahisi zaidi wa mlinganyo wa logarithmic ni mlinganyo A x = b (ambapo a>0, a ≠ 1). Kwa kuwa kazi ya logarithmic inaongezeka (au inapungua) kwenye seti ya nambari nzuri na inachukua maadili yote halisi, basi kwa nadharia ya mizizi inafuata kwamba kwa b yoyote equation hii ina, na moja tu, suluhisho, na chanya.

Kumbuka ufafanuzi wa logarithm. (Logariti ya nambari x hadi msingi a ni kiashirio cha nguvu ambayo msingi a lazima uinulishwe ili kupata nambari x. ) Kutoka kwa ufafanuzi wa logarithm mara moja hufuata hiyoA V ni suluhisho kama hilo.

Andika kichwa:Mbinu za kutatua milinganyo ya logarithmic

1. Kwa ufafanuzi wa logarithm .

Hivi ndivyo milinganyo rahisi zaidi ya fomu inavyotatuliwa.

Hebu tuzingatieNambari 514(a) ): Tatua mlingano

Je, unapendekeza kutatuaje? (Kwa ufafanuzi wa logarithm )

Suluhisho . , Kwa hiyo 2x - 4 = 4; x = 4.

Jibu: 4.

Katika kazi hii 2x - 4 > 0, tangu> 0, kwa hivyo hakuna mizizi ya nje inaweza kuonekana, nahakuna haja ya kuangalia . Hakuna haja ya kuandika hali 2x - 4 > 0 katika kazi hii.

2. Uwezo (mpito kutoka kwa logariti ya usemi uliopeanwa hadi usemi huu wenyewe).

Hebu tuzingatieNambari 519(g): logi 5 ( x 2 +8)- logi 5 ( x+1)=3 logi 5 2

Umeona kipengele gani?(Misingi ni sawa na logariti za misemo miwili ni sawa) . Je, nini kifanyike?(Potenize).

Inapaswa kuzingatiwa kuwa suluhisho lolote liko kati ya yote x ambayo maneno ya logarithmic ni chanya.

Suluhisho: ODZ:

X 2 +8>0 ukosefu wa usawa usiohitajika

logi 5 ( x 2 +8) = logi 5 2 3 + logi 5 ( x+1)

logi 5 ( x 2 +8)= logi 5 (8 x+8)

Wacha tuimarishe equation asili

x 2 +8= 8 x+8

tunapata equationx 2 +8= 8 x+8

Wacha tuitatue:x 2 -8 x=0

x=0, x=8

Jibu: 0; 8

Kwa ujumlampito kwa mfumo sawa :

Mlingano

(Mfumo una hali isiyohitajika - moja ya ukosefu wa usawa haifai kuzingatiwa).

Swali kwa darasa : Ni suluhu gani kati ya hizi tatu ulipenda zaidi? (Majadiliano ya mbinu).

Una haki ya kuamua kwa njia yoyote.

3. Utangulizi wa kigezo kipya .

Hebu tuzingatieNambari 520(g) . .

Umeona nini? (Huu ni mlinganyo wa quadratic kwa heshima na log3x) Mapendekezo yako ni yapi? (Tambulisha kigezo kipya)

Suluhisho . ODZ: x > 0.

Hebu, basi equation itachukua fomu:. Kibaguzi D > 0. Mizizi kulingana na nadharia ya Vieta:.

Wacha turudi kwenye uingizwaji:au.

Baada ya kusuluhisha hesabu rahisi zaidi za logarithmic, tunapata:

; .

Jibu : 27;

4. Logarithm pande zote mbili za mlingano.

Tatua mlinganyo:.

Suluhisho : ODZ: x>0, hebu tuchukue logariti ya pande zote mbili za mlinganyo katika msingi wa 10:

. Wacha tutumie mali ya logarithm ya nguvu:

(lgx + 3) lgx =

(logx + 3) logx = 4

Acha logx = y, kisha (y + 3)y = 4

, (D > 0) mizizi kulingana na nadharia ya Vieta: y1 = -4 na y2 = 1.

Wacha turudi kwenye uingizwaji, tunapata: lgx = -4,; logx = 1,. . Ni kama ifuatavyo: ikiwa ni moja ya kazi y = f(x) huongezeka, na nyingine y = g(x) hupungua kwa muda wa X, kisha equation f(x)= g(x) ina mzizi mmoja kwenye muda wa X .

Ikiwa kuna mizizi, basi inaweza kukisiwa. .

Jibu : 2

"Matumizi sahihi ya mbinu yanaweza kujifunza kwa
tu kwa kuzitumia kwa mifano mbalimbali.”
Mwanahistoria wa Denmark wa hisabati G. G. Zeiten

I V. Kazi ya nyumbani

Uk. 39 fikiria mfano wa 3, suluhisha Na. 514(b), Na. 529(b), Na. 520(b), Na. 523(b)

V. Kwa muhtasari wa somo

Je, ni njia gani za kutatua milinganyo ya logarithmic tulizoziangalia darasani?

Katika masomo yanayofuata tutaangalia milinganyo changamano zaidi. Ili kuzitatua, njia zilizosomwa zitakuwa muhimu.

Slaidi ya mwisho iliyoonyeshwa:

"Ni nini zaidi ya kitu chochote ulimwenguni?
Nafasi.
Ni jambo gani la busara zaidi?
Wakati.
Ni sehemu gani bora zaidi?
Fanya kile unachotaka."
Thales

Natamani kila mtu afikie kile anachotaka. Asante kwa ushirikiano wako na kuelewa.