Hapo awali, ikiwa ni mkusanyiko tu wa habari na uchunguzi wa kijaribio kuhusu mchezo wa kete, nadharia ya uwezekano ikawa sayansi kamili. Wa kwanza kuipa mfumo wa hisabati walikuwa Fermat na Pascal.

Kutoka kwa kufikiria juu ya milele hadi nadharia ya uwezekano

Watu wawili ambao nadharia ya uwezekano inadaiwa na kanuni zake nyingi za kimsingi, Blaise Pascal na Thomas Bayes, wanajulikana kama watu wa kidini sana, wa pili wakiwa mhudumu wa Presbyterian. Inavyoonekana, hamu ya wanasayansi hawa wawili kuthibitisha uwongo wa maoni juu ya Bahati fulani kutoa bahati nzuri kwa vipendwa vyake ilitoa msukumo wa utafiti katika eneo hili. Baada ya yote, kwa kweli, yoyote kamari pamoja na ushindi na hasara zake, ni symphony tu ya kanuni za hisabati.

Shukrani kwa shauku ya bwana de Mere, ambaye kwa usawa kwa kuwa mcheza kamari na mtu asiyejali sayansi, Pascal alilazimika kutafuta njia ya kuhesabu uwezekano. De Mere alipendezwa na swali lifuatalo: "Je, ni mara ngapi unahitaji kurusha kete mbili kwa jozi ili uwezekano wa kupata pointi 12 uzidi 50%?" Swali la pili, ambalo lilikuwa la kupendeza sana kwa muungwana: "Jinsi ya kugawa bet kati ya washiriki kwenye mchezo ambao haujakamilika?" Kwa kweli, Pascal alijibu kwa mafanikio maswali yote mawili ya de Mere, ambaye alikua mwanzilishi asiyejua wa ukuzaji wa nadharia ya uwezekano. Inafurahisha kwamba mtu wa de Mere alibaki anajulikana katika eneo hili, na sio katika fasihi.

Hapo awali, hakuna mwanahisabati aliyewahi kujaribu kuhesabu uwezekano wa matukio, kwani iliaminika kuwa hii ilikuwa suluhisho la kubahatisha tu. Blaise Pascal alitoa ufafanuzi wa kwanza wa uwezekano wa tukio na alionyesha kuwa ni takwimu maalum ambayo inaweza kuhesabiwa haki. kimahesabu. Nadharia ya uwezekano imekuwa msingi wa takwimu na inatumika sana katika sayansi ya kisasa.

Nasibu ni nini

Ikiwa tunazingatia mtihani ambao unaweza kurudiwa bila nambari ya mwisho nyakati, basi tunaweza kufafanua tukio la nasibu. Hii ni moja ya matokeo yanayowezekana ya jaribio.

Uzoefu ni utekelezaji wa vitendo maalum chini ya hali ya mara kwa mara.

Ili kuweza kufanya kazi na matokeo ya jaribio, matukio kawaida huteuliwa na herufi A, B, C, D, E...

Uwezekano wa tukio la nasibu

Ili kuanza sehemu ya hisabati ya uwezekano, ni muhimu kufafanua vipengele vyake vyote.

Uwezekano wa tukio ni kipimo cha nambari cha uwezekano wa tukio fulani (A au B) kutokea kama matokeo ya uzoefu. Uwezekano huo unaonyeshwa kama P (A) au P (B).

Katika nadharia ya uwezekano wanatofautisha:

• kuaminika tukio limehakikishiwa kutokea kama matokeo ya uzoefu P (Ω) = 1;
• haiwezekani tukio haliwezi kutokea P(Ø) = 0;
• nasibu tukio liko kati ya fulani na haliwezekani, ambayo ni, uwezekano wa kutokea kwake unawezekana, lakini hauhakikishiwa (uwezekano tukio la nasibu daima ndani ya 0≤Р(А)≤ 1).

Uhusiano kati ya matukio

Zote moja na jumla ya matukio A+B huzingatiwa, tukio linapohesabiwa wakati angalau moja ya vipengele, A au B, au vyote viwili, A na B, vinatimizwa.

Kuhusiana na kila mmoja, matukio yanaweza kuwa:

• Sawa inawezekana.
• Sambamba.
• Haioani.
• Kinyume (kipekee).
• Mtegemezi.

Ikiwa matukio mawili yanaweza kutokea kwa uwezekano sawa, basi wao kwa usawa iwezekanavyo.

Ikiwa tukio la tukio A halipunguzi hadi sifuri uwezekano wa kutokea kwa tukio B, basi wao. sambamba.

Ikiwa matukio A na B hayatokea wakati huo huo katika uzoefu sawa, basi huitwa zisizopatana. Kutupa sarafu - mfano mzuri: kuonekana kwa vichwa ni moja kwa moja kutoonekana kwa vichwa.

Uwezekano wa jumla ya vile matukio yasiyolingana inajumuisha jumla ya uwezekano wa kila tukio:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Ikiwa tukio la tukio moja hufanya tukio la mwingine kuwa haiwezekani, basi wanaitwa kinyume. Kisha mmoja wao ameteuliwa kama A, na mwingine - Ā (soma kama "sio A"). Kutokea kwa tukio A kunamaanisha kuwa Ā haikutokea. Matukio haya mawili huunda kundi kamili lenye jumla ya uwezekano sawa na 1.

Matukio tegemezi yana ushawishi wa pande zote, kupunguza au kuongeza uwezekano wa kila mmoja.

Uhusiano kati ya matukio. Mifano

Kwa kutumia mifano ni rahisi zaidi kuelewa kanuni za nadharia ya uwezekano na mchanganyiko wa matukio.

Jaribio litakalofanywa linajumuisha kuchukua mipira nje ya kisanduku, na matokeo ya kila jaribio ni matokeo ya kimsingi.

Tukio ni mojawapo ya matokeo yanayowezekana ya jaribio - mpira nyekundu, mpira wa bluu, mpira na namba sita, nk.

Mtihani nambari 1. Kuna mipira 6 inayohusika, mitatu kati yao ni ya buluu na nambari zisizo za kawaida juu yake, na nyingine tatu ni nyekundu na nambari sawa.

Mtihani nambari 2. Mipira 6 iliyohusika ya rangi ya bluu na nambari kutoka moja hadi sita.

Kulingana na mfano huu, tunaweza kutaja mchanganyiko:

• Tukio la kuaminika. Kwa Kihispania Nambari ya 2 tukio la "kupata mpira wa bluu" linaaminika, kwani uwezekano wa tukio lake ni sawa na 1, kwani mipira yote ni ya bluu na haiwezi kukosa. Ambapo tukio la "pata mpira na nambari 1" ni la nasibu.
• Tukio lisilowezekana. Kwa Kihispania Nambari 1 na mipira ya bluu na nyekundu, tukio la "kupata mpira wa zambarau" haliwezekani, kwani uwezekano wa kutokea kwake ni 0.
• Matukio yanayowezekana sawa. Kwa Kihispania Nambari ya 1, matukio "pata mpira na nambari 2" na "pata mpira na nambari 3" yanawezekana kwa usawa, na matukio "pata mpira na nambari sawa" na "pata mpira na nambari 2." ” kuwa na uwezekano tofauti.
• Matukio Sambamba. Kupata sita mara mbili mfululizo wakati wa kutupa kufa ni tukio linalolingana.
• Matukio yasiyolingana. Kwa Kihispania sawa Nambari ya 1, matukio "kupata mpira nyekundu" na "kupata mpira na nambari isiyo ya kawaida" haiwezi kuunganishwa katika uzoefu sawa.
• Matukio kinyume. Wengi mfano wa kuangaza Hii ni sarafu ya sarafu, ambapo vichwa vya kuchora ni sawa na si kuchora mikia, na jumla ya uwezekano wao daima ni 1 (kikundi kamili).
• Matukio Tegemezi. Kwa hivyo, kwa Kihispania Nambari 1, unaweza kuweka lengo la kuchora mpira nyekundu mara mbili mfululizo. Iwapo itarejeshwa au la mara ya kwanza huathiri uwezekano wa kurejeshwa mara ya pili.

Inaweza kuonekana kuwa tukio la kwanza linaathiri sana uwezekano wa pili (40% na 60%).

Fomula ya uwezekano wa tukio

Mpito kutoka kwa bahati nzuri hadi data sahihi hutokea kupitia tafsiri ya mada kwenye ndege ya hisabati. Hiyo ni, hukumu kuhusu tukio la nasibu kama vile "uwezekano mkubwa" au "uwezekano mdogo" zinaweza kutafsiriwa katika data maalum ya nambari. Tayari inaruhusiwa kutathmini, kulinganisha na kuingiza nyenzo hizo katika hesabu ngumu zaidi.

Kwa mtazamo wa hesabu, kubainisha uwezekano wa tukio ni uwiano wa idadi ya matokeo chanya ya kimsingi kwa idadi ya matokeo yote yanayowezekana ya uzoefu kuhusu tukio fulani. Uwezekano unaonyeshwa na P(A), ambapo P inasimamia neno "uwezekano", ambalo limetafsiriwa kutoka Kifaransa kama "uwezekano".

Kwa hivyo, formula ya uwezekano wa tukio ni:

Ambapo m ni idadi ya matokeo yanayofaa kwa tukio A, n ni jumla ya matokeo yote yanayowezekana kwa tukio hili. Katika kesi hii, uwezekano wa tukio huwa kati ya 0 na 1:

0 ≤ P(A)≤ 1.

Uhesabuji wa uwezekano wa tukio. Mfano

Hebu tuchukue Kihispania. Nambari 1 na mipira, ambayo ilielezwa hapo awali: mipira 3 ya bluu yenye namba 1/3/5 na mipira 3 nyekundu yenye namba 2/4/6.

Kulingana na mtihani huu, shida kadhaa zinaweza kuzingatiwa:

• A - mpira nyekundu kuanguka nje. Kuna mipira 3 nyekundu, na kuna chaguzi 6 kwa jumla mfano rahisi zaidi, ambapo uwezekano wa tukio ni sawa na P(A)=3/6=0.5.
• B - kusonga nambari sawa. Kuna nambari 3 sawa (2,4,6), na idadi ya jumla ya chaguzi za nambari zinazowezekana ni 6. Uwezekano wa tukio hili ni P (B) = 3/6 = 0.5.
• C - kusambaza nambari kubwa kuliko 2. Kuna chaguzi 4 kama hizo (3,4,5,6) kati ya jumla ya nambari matokeo yanayowezekana 6. Uwezekano wa tukio C ni sawa na P(C)=4/6=0.67.

Kama inavyoonekana kutoka kwa hesabu, tukio C lina uwezekano mkubwa zaidi, kwani idadi ya matokeo chanya ni kubwa kuliko A na B.

Matukio yasiyolingana

Matukio kama haya hayawezi kuonekana wakati huo huo katika uzoefu sawa. Kama kwa Kihispania Nambari 1 haiwezekani kupata mpira wa bluu na nyekundu kwa wakati mmoja. Hiyo ni, unaweza kupata mpira wa bluu au nyekundu. Kwa njia hiyo hiyo, nambari ya usawa na isiyo ya kawaida haiwezi kuonekana kwenye kete kwa wakati mmoja.

Uwezekano wa matukio mawili unazingatiwa kama uwezekano wa jumla au bidhaa zao. Jumla ya matukio kama haya A+B inachukuliwa kuwa ni tukio linalojumuisha utokeaji wa tukio A au B, na matokeo yake AB ni kutokea kwa yote mawili. Kwa mfano, kuonekana kwa sita mbili mara moja kwenye nyuso za kete mbili katika kutupa moja.

Jumla ya matukio kadhaa ni tukio ambalo linaonyesha kutokea kwa angalau moja yao. Uzalishaji wa matukio kadhaa ni tukio la pamoja la yote.

Katika nadharia ya uwezekano, kama sheria, matumizi ya kiunganishi "na" inaashiria jumla, na kiunganishi "au" - kuzidisha. Fomula zilizo na mifano zitakusaidia kuelewa mantiki ya kujumlisha na kuzidisha katika nadharia ya uwezekano.

Uwezekano wa jumla ya matukio yasiyolingana

Ikiwa uwezekano unazingatiwa matukio ya pamoja, basi uwezekano wa jumla ya matukio ni sawa na nyongeza ya uwezekano wao:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Kwa mfano: hebu tuhesabu uwezekano huo kwa Kihispania. Nambari 1 yenye mipira ya bluu na nyekundu, nambari kati ya 1 na 4 itaonekana si kwa hatua moja, lakini kwa jumla ya uwezekano wa vipengele vya msingi. Kwa hivyo, katika jaribio kama hilo kuna mipira 6 tu au 6 ya matokeo yote yanayowezekana. Nambari zinazokidhi hali hiyo ni 2 na 3. Uwezekano wa kupata namba 2 ni 1/6, uwezekano wa kupata namba 3 pia ni 1/6. Uwezekano wa kupata nambari kati ya 1 na 4 ni:

Uwezekano wa jumla ya matukio yasiyolingana ya kikundi kamili ni 1.

Kwa hivyo, ikiwa katika jaribio la mchemraba tunaongeza uwezekano wa nambari zote zinazoonekana, matokeo yatakuwa moja.

Hii pia ni kweli kwa matukio tofauti, kwa mfano katika jaribio la sarafu, ambapo upande mmoja ni tukio A, na pili ni tukio kinyume Ā, kama inavyojulikana,

P(A) + P(Ā) = 1

Uwezekano wa matukio yasiokubaliana kutokea

Kuzidisha kwa uwezekano hutumiwa wakati wa kuzingatia tukio la matukio mawili au zaidi yasiokubaliana katika uchunguzi mmoja. Uwezekano kwamba matukio A na B yatatokea ndani yake wakati huo huo ni sawa na bidhaa ya uwezekano wao, au:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Kwa mfano, uwezekano kwamba katika Kihispania Nambari 1, kama matokeo ya majaribio mawili, mpira wa bluu utaonekana mara mbili, sawa na

Hiyo ni, uwezekano wa tukio kutokea wakati, kama matokeo ya majaribio mawili ya kutoa mipira, mipira ya bluu tu hutolewa ni 25%. Ni rahisi sana kufanya majaribio ya vitendo juu ya tatizo hili na kuona kama hii ni kweli kesi.

Matukio ya pamoja

Matukio yanazingatiwa wakati tukio la mmoja wao linaweza sanjari na tukio la mwingine. Licha ya ukweli kwamba wao ni pamoja, uwezekano hauzingatiwi matukio tegemezi. Kwa mfano, kurusha kete mbili kunaweza kutoa matokeo wakati nambari 6 inaonekana kwa wote wawili, ingawa matukio yaliendana na yalionekana kwa wakati mmoja, yanajitegemea - sita tu inaweza kuanguka, kufa kwa pili hakuna. ushawishi juu yake.

Uwezekano wa matukio ya pamoja huzingatiwa kama uwezekano wa jumla yao.

Uwezekano wa jumla ya matukio ya pamoja. Mfano

Uwezekano wa jumla ya matukio A na B, ambayo yameunganishwa kwa uhusiano wa kila mmoja, ni sawa na jumla ya uwezekano wa tukio hilo ukiondoa uwezekano wa kutokea kwao (ambayo ni, tukio lao la pamoja):

R pamoja (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Wacha tufikirie kuwa uwezekano wa kugonga lengo kwa risasi moja ni 0.4. Halafu tukio A linagonga lengo katika jaribio la kwanza, B - kwa pili. Matukio haya ni ya pamoja, kwani inawezekana kwamba unaweza kugonga lengo kwa risasi za kwanza na za pili. Lakini matukio hayategemei. Kuna uwezekano gani wa tukio la kugonga shabaha kwa risasi mbili (angalau na moja)? Kulingana na formula:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Jibu la swali ni: "Uwezekano wa kugonga shabaha kwa risasi mbili ni 64%.

Fomula hii ya uwezekano wa tukio pia inaweza kutumika kwa matukio yasiyolingana, ambapo uwezekano wa tukio la pamoja la tukio P(AB) = 0. Hii ina maana kwamba uwezekano wa jumla ya matukio yasiokubaliana unaweza kuchukuliwa kuwa kesi maalum. ya fomula iliyopendekezwa.

Jiometri ya uwezekano wa uwazi

Kwa kupendeza, uwezekano wa jumla wa matukio ya pamoja unaweza kuwakilishwa kama maeneo mawili A na B, ambayo yanaingiliana. Kama inavyoonekana kutoka kwenye picha, eneo la umoja wao ni sawa na eneo la jumla la eneo la makutano yao. Maelezo haya ya kijiometri hufanya fomula inayoonekana kutokuwa na mantiki kueleweka zaidi. Kumbuka hilo ufumbuzi wa kijiometri- sio kawaida katika nadharia ya uwezekano.

Kuamua uwezekano wa jumla ya matukio mengi (zaidi ya mawili) ya pamoja ni ngumu sana. Ili kuhesabu, unahitaji kutumia fomula ambazo hutolewa kwa kesi hizi.

Matukio Tegemezi

Matukio huitwa tegemezi ikiwa tukio la moja (A) kati yao huathiri uwezekano wa tukio la mwingine (B). Aidha, ushawishi wa matukio yote mawili ya tukio A na kutotokea kwake huzingatiwa. Ingawa matukio huitwa tegemezi kwa ufafanuzi, ni moja tu kati yao tegemezi (B). Uwezekano wa kawaida ulibainishwa kama P(B) au uwezekano matukio ya kujitegemea. Katika kesi ya matukio tegemezi, dhana mpya inaletwa - uwezekano wa masharti P A (B), ambayo ni uwezekano wa tukio tegemezi B, kulingana na tukio la tukio A (hypothesis), ambayo inategemea.

Lakini tukio A pia ni la nasibu, kwa hivyo pia lina uwezekano ambao unahitaji na unaweza kuzingatiwa katika mahesabu yaliyofanywa. Mfano ufuatao utaonyesha jinsi ya kufanya kazi na matukio tegemezi na hypothesis.

Mfano wa kuhesabu uwezekano wa matukio tegemezi

Mfano mzuri wa kuhesabu matukio tegemezi itakuwa staha ya kawaida ya kadi.

Kwa kutumia staha ya kadi 36 kama mfano, hebu tuangalie matukio tegemezi. Tunahitaji kuamua uwezekano kwamba kadi ya pili inayotolewa kutoka kwa staha itakuwa ya almasi ikiwa kadi ya kwanza inayotolewa ni:

1. Bubnovaya.
2. Rangi tofauti.

Kwa wazi, uwezekano wa tukio la pili B inategemea A. Kwa hivyo, ikiwa chaguo la kwanza ni kweli, kuna kadi 1 (35) na almasi 1 (8) chini kwenye sitaha, uwezekano wa tukio B:

R A (B) =8/35=0.23

Ikiwa chaguo la pili ni kweli, basi staha sasa ina kadi 35, na nambari kamili tambourini (9), kisha uwezekano wa tukio linalofuata B:

R A (B) =9/35=0.26.

Inaweza kuonekana kuwa ikiwa tukio A limewekwa kwa ukweli kwamba kadi ya kwanza ni almasi, basi uwezekano wa tukio B hupungua, na kinyume chake.

Kuzidisha matukio tegemezi

Tukiongozwa na sura iliyotangulia, tunakubali tukio la kwanza (A) kama ukweli, lakini kimsingi, limetokea asili ya nasibu. Uwezekano wa tukio hili, ambalo ni kuchora almasi kutoka kwa staha ya kadi, ni sawa na:

P(A) = 9/36=1/4

Kwa kuwa nadharia haipo peke yake, lakini imekusudiwa kutumika ndani madhumuni ya vitendo, basi ni sawa kutambua kwamba kile kinachohitajika mara nyingi ni uwezekano wa kuzalisha matukio tegemezi.

Kulingana na nadharia juu ya bidhaa ya uwezekano wa matukio tegemezi, uwezekano wa kutokea kwa matukio tegemezi ya pamoja A na B ni sawa na uwezekano wa tukio moja A, lililozidishwa na uwezekano wa masharti wa tukio B (inategemea A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Halafu, katika mfano wa staha, uwezekano wa kuchora kadi mbili na suti ya almasi ni:

9/36*8/35=0.0571, au 5.7%

Na uwezekano wa kuchimba sio almasi kwanza, na kisha almasi, ni sawa na:

27/36*9/35=0.19, au 19%

Inaweza kuonekana kuwa uwezekano wa tukio B kutokea ni mkubwa mradi kadi ya kwanza inayochorwa ni ya suti tofauti na almasi. Matokeo haya ni ya kimantiki na yanaeleweka.

Jumla ya uwezekano wa tukio

Wakati kazi na uwezekano wa masharti inakuwa multifaceted, haiwezi kuhesabiwa kwa kutumia njia za kawaida. Wakati kuna dhana zaidi ya mbili, ambazo ni A1, A2,…, A n, ..huunda kundi kamili la matukio yaliyotolewa:

• P(A i)>0, i=1,2,...
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Kwa hivyo formula uwezekano kamili kwa tukio B na kundi kamili la matukio nasibu A1, A2,..., Na n ni sawa na:

Kuangalia katika siku zijazo

Uwezekano wa tukio la nasibu ni muhimu sana katika maeneo mengi ya sayansi: uchumi, takwimu, fizikia, n.k. Kwa kuwa baadhi ya michakato haiwezi kuelezewa kwa uamuzi, kwa kuwa yenyewe ni ya uwezekano wa asili, mbinu maalum za kufanya kazi zinahitajika. Nadharia ya uwezekano wa tukio inaweza kutumika katika uwanja wowote wa kiteknolojia kama njia ya kuamua uwezekano wa hitilafu au utendakazi.

Tunaweza kusema kwamba kwa kutambua uwezekano, sisi kwa namna fulani tunachukua hatua ya kinadharia katika siku zijazo, tukiiangalia kupitia prism ya fomula.

Classic na ufafanuzi wa takwimu uwezekano

Kwa shughuli za vitendo ni muhimu kuweza kulinganisha matukio kulingana na kiwango cha uwezekano wa kutokea kwao. Hebu tuzingatie kesi ya classic. Kuna mipira 10 kwenye urn, 8 kati yao nyeupe, 2 nyeusi. Ni wazi, tukio "mpira mweupe utatolewa kutoka kwenye mkojo" na tukio "mpira mweusi utatolewa kutoka kwenye mkojo" kwa viwango tofauti uwezekano wa kutokea kwao. Kwa hiyo, ili kulinganisha matukio, kipimo fulani cha kiasi kinahitajika.

Kipimo cha kiasi uwezekano wa tukio kutokea ni uwezekano . Wengi matumizi mapana ilipokea fasili mbili za uwezekano wa tukio: classical na takwimu.

Ufafanuzi wa kawaida uwezekano unahusishwa na dhana ya matokeo mazuri. Hebu tuangalie hili kwa undani zaidi.

Hebu matokeo ya mtihani fulani kuunda kikundi kamili cha matukio na yanawezekana kwa usawa, i.e. ya kipekee iwezekanavyo, haiendani na inawezekana kwa usawa. Matokeo kama haya yanaitwa matokeo ya msingi, au kesi. Inasemekana kuwa mtihani unapungua hadi mpango wa kesi au" mpango wa urn", kwa sababu Tatizo lolote la uwezekano wa mtihani huo linaweza kubadilishwa na tatizo sawa na urns na mipira ya rangi tofauti.

Matokeo inaitwa nzuri tukio A, ikiwa kutokea kwa kesi hii kunahusisha tukio la tukio A.

Kulingana na ufafanuzi wa classical uwezekano wa tukio A ni sawa na uwiano wa idadi ya matokeo yanayofaa kwa tukio hili jumla ya nambari matokeo, i.e.

,

(1.1)

Wapi P(A)- uwezekano wa tukio A; m- idadi ya kesi zinazofaa kwa tukio hilo A; n- jumla ya idadi ya kesi.

Mfano 1.1. Wakati wa kutupa kete, kuna matokeo sita yanayowezekana: 1, 2, 3, 4, 5, 6 pointi. Kuna uwezekano gani wa kupata idadi sawa ya alama?

Suluhisho. Wote n= Matokeo 6 huunda kundi kamili la matukio na yanawezekana kwa usawa, i.e. ya kipekee iwezekanavyo, haiendani na inawezekana kwa usawa. Tukio A - "kuonekana kwa idadi sawa ya alama" - inapendekezwa na matokeo 3 (kesi) - upotezaji wa alama 2, 4 au 6. Kwa kutumia fomula ya kitamaduni ya uwezekano wa tukio, tunapata

P(A) = = . ◄

Kulingana na ufafanuzi wa kitamaduni wa uwezekano wa tukio, tunaona sifa zake:

1. Uwezekano wa tukio lolote liko kati ya sifuri na moja, i.e.

0 ≤ R(A) ≤ 1.

2. Uwezekano wa tukio la kuaminika ni sawa na moja.

3. Uwezekano wa tukio lisilowezekana ni sifuri.

Kama ilivyoelezwa hapo awali, ufafanuzi wa classic uwezekano unatumika tu kwa matukio hayo ambayo yanaweza kutokea kutokana na vipimo ambavyo vina ulinganifu wa matokeo iwezekanavyo, i.e. inayoweza kupunguzwa kwa muundo wa kesi. Hata hivyo, kuna darasa kubwa la matukio ambayo uwezekano hauwezi kuhesabiwa kwa kutumia ufafanuzi wa classical.

Kwa mfano, ikiwa tunadhania kwamba sarafu imefungwa, basi ni dhahiri kwamba matukio "kuonekana kwa kanzu ya silaha" na "kuonekana kwa vichwa" haiwezi kuchukuliwa kuwa sawa. Kwa hiyo, formula ya kuamua uwezekano kulingana na mpango wa classical haitumiki katika kesi hii.

Hata hivyo, kuna mbinu nyingine ya kukadiria uwezekano wa matukio, kulingana na mara ngapi tukio fulani litatokea katika majaribio yaliyofanywa. Katika kesi hii, ufafanuzi wa takwimu wa uwezekano hutumiwa.

Uwezekano wa takwimutukio A ni mzunguko wa jamaa (frequency) ya kutokea kwa tukio hili katika majaribio yaliyofanywa, i.e.

,

(1.2)

Wapi P*(A)- uwezekano wa takwimu wa tukio A; w(A)- mzunguko wa jamaa wa tukio A; m- idadi ya majaribio ambayo tukio hilo lilitokea A; n- jumla ya idadi ya majaribio.

Tofauti uwezekano wa hisabati P(A), inazingatiwa katika ufafanuzi wa classical, uwezekano wa takwimu P*(A) ni sifa uzoefu, majaribio. Kwa maneno mengine, uwezekano wa takwimu matukio A ni nambari ambayo masafa ya jamaa yameimarishwa (kuwekwa) w(A) na ongezeko lisilo na kikomo la idadi ya majaribio yaliyofanywa chini ya seti sawa ya masharti.

Kwa mfano, wanaposema kuhusu mpiga risasi kwamba anapiga lengo kwa uwezekano wa 0.95, hii ina maana kwamba kati ya mamia ya risasi zilizopigwa na yeye chini ya hali fulani (lengo sawa kwa umbali sawa, bunduki sawa, nk. ), kwa wastani kuna takriban 95 waliofaulu. Kwa kawaida, si kila mia itakuwa na risasi 95 zilizofanikiwa, wakati mwingine kutakuwa na wachache, wakati mwingine zaidi, lakini kwa wastani, na marudio mengi ya risasi chini ya hali sawa, asilimia hii ya hits itabaki bila kubadilika. Takwimu ya 0.95, ambayo hutumika kama kiashiria cha ustadi wa mpiga risasi, kawaida huwa sana imara, i.e. asilimia ya vibao katika upigaji mwingi itakuwa karibu sawa kwa mpiga risasi fulani, katika hali nadra tu atapotoka kwa kiasi kikubwa kutoka kwa thamani yake ya wastani.

Hasara nyingine ya ufafanuzi wa classical wa uwezekano ( 1.1 ) kupunguza matumizi yake ni kwamba inachukua idadi maalum ya matokeo ya mtihani iwezekanavyo. Katika baadhi ya matukio, hasara hii inaweza kushinda kwa kutumia ufafanuzi wa kijiometri uwezekano, i.e. kutafuta uwezekano wa hatua kuanguka katika eneo fulani (sehemu, sehemu ya ndege, nk).

Hebu takwimu ya gorofa g inaunda sehemu sura ya gorofa G(Mchoro 1.1). Inafaa G nukta hutupwa bila mpangilio. Hii ina maana kwamba pointi zote katika kanda G"haki sawa" kuhusiana na ikiwa hatua iliyotupwa itaigusa. Kwa kuchukulia kwamba uwezekano wa tukio A- hatua iliyotupwa inapiga takwimu g- ni sawia na eneo la takwimu hii na haitegemei eneo lake kuhusiana na G, wala kutoka kwa fomu g, tutapata

Misingi ya nadharia ya uwezekano

Mpango:

1. Matukio ya nasibu

2. Ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano

3. Uhesabuji wa uwezekano wa tukio na combinatorics

4. Uwezekano wa kijiometri

Taarifa za kinadharia

Matukio ya nasibu.

Tukio la nasibu- jambo ambalo matokeo yake hayajafafanuliwa wazi. Dhana hii inaweza kufasiriwa kabisa kwa maana pana. Yaani: kila kitu katika maumbile ni nasibu kabisa, kuonekana na kuzaliwa kwa mtu yeyote ni jambo la bahati nasibu, kuchagua bidhaa kwenye duka pia ni jambo la bahati nasibu, kupata alama kwenye mtihani ni jambo la bahati nasibu, ugonjwa na kupona ni matukio ya bahati nasibu. , na kadhalika.

Mifano ya matukio ya nasibu:

~ Kufyatua risasi hufanywa kutoka kwa bunduki iliyowekwa chini pembe iliyopewa kwa upeo wa macho. Kupiga lengo ni ajali, lakini projectile kupiga "uma" fulani ni mfano. Unaweza kutaja umbali karibu na ambayo na zaidi kuliko ambayo projectile haitaruka. Utapata aina fulani ya "uma wa utawanyiko wa mradi"

~ Mwili uleule hupimwa mara kadhaa. Kwa kusema, kila wakati utapata matokeo tofauti, hata ikiwa yanatofautiana kwa kiasi kidogo, lakini yatakuwa tofauti.

~Ndege inayoruka kwa njia ile ile, ina korido fulani ya kuruka ndani ambayo ndege inaweza kujiendesha, lakini haitakuwa na njia inayofanana kabisa.

~ Mwanariadha hataweza kukimbia umbali sawa kwa wakati mmoja. Matokeo yake pia yatakuwa ndani ya safu fulani ya nambari.

Uzoefu, majaribio, uchunguzi ni vipimo

Jaribio- uchunguzi au utimilifu wa seti fulani ya masharti ambayo hufanywa mara kwa mara, na kurudiwa mara kwa mara katika mlolongo sawa, muda, na kwa kufuata vigezo vingine vinavyofanana.

Wacha tufikirie mwanariadha anayefyatua shabaha. Ili ifanyike, ni muhimu kutimiza masharti kama vile kuandaa mwanariadha, kupakia silaha, kulenga, nk. "Piga" na "kukosa" - matukio kama matokeo ya risasi.

Tukio- matokeo ya mtihani wa hali ya juu.

Tukio linaweza kutokea au haliwezi kutokea. na herufi za Kilatini. Kwa mfano: D = "Mpiga risasi aligonga lengo." S="Kutolewa nje mpira mweupe K="Imechukuliwa bila mpangilio tikiti ya bahati nasibu hakuna ushindi."

Kutupa sarafu ni mtihani. Kuanguka kwa "kanzu ya silaha" yake ni tukio moja, kuanguka kwa "tarakimu" yake ni tukio la pili.

Mtihani wowote unahusisha tukio la matukio kadhaa. Baadhi yao wanaweza kuhitajika ndani wakati huu wakati kwa mtafiti, wengine sio lazima.

Tukio hilo linaitwa nasibu, ikiwa, wakati seti fulani ya masharti inafikiwa S inaweza kutokea au isitokee. Katika kile kinachofuata, badala ya kusema "seti ya masharti S imetimizwa," tutasema kwa ufupi: "jaribio limefanywa." Kwa hivyo, tukio litazingatiwa kama matokeo ya mtihani.

~ Mpiga risasi analenga shabaha iliyogawanywa katika maeneo manne. Risasi ni mtihani. Kugonga eneo fulani la lengo ni tukio.

~ Kuna mipira ya rangi kwenye mkojo. Mpira mmoja unachukuliwa bila mpangilio kutoka kwa urn. Kurejesha mpira kutoka kwa urn ni mtihani. Muonekano wa mpira rangi fulani- tukio.

Aina za matukio ya nasibu

1. Matukio yanaitwa yasiokubaliana ikiwa tukio la mmoja wao halijumuishi kutokea kwa matukio mengine katika jaribio moja.

~ Sehemu hutolewa kwa nasibu kutoka kwa sanduku la sehemu. Kuonekana kwa sehemu ya kawaida huondoa kuonekana kwa sehemu isiyo ya kawaida. Matukio € sehemu ya kawaida ilionekana" na sehemu isiyo ya kawaida ilionekana" - haiendani.

~ Sarafu inatupwa. Kuonekana kwa "kanzu ya silaha" haijumuishi kuonekana kwa uandishi. Matukio "kanzu ya mikono ilionekana" na "maandishi yalionekana" hayaendani.

Fomu za matukio kadhaa kundi kamili, ikiwa angalau mmoja wao anaonekana kama matokeo ya mtihani. Kwa maneno mengine, tukio la angalau moja ya matukio ya kikundi kamili ni tukio la kuaminika.

Hasa, ikiwa matukio ambayo huunda kikundi kamili hayaendani kwa njia mbili, basi matokeo ya jaribio yatakuwa moja tu ya matukio haya kesi maalum inawakilisha kwa ajili yetu maslahi makubwa zaidi, kwani inatumika zaidi.

~ Tikiti za bahati nasibu ya pesa taslimu na nguo zilinunuliwa. Tukio moja tu kati ya yafuatayo ni hakika kutokea:

1. "zawadi zilianguka kwenye tikiti ya kwanza na hazikuangukia ya pili,"

2. "mashindi hayakuanguka kwenye tikiti ya kwanza na ikaanguka ya pili,"

3. "ushindi ulianguka kwenye tikiti zote mbili",

4. "tiketi zote mbili hazikushinda."

Matukio haya huunda kundi kamili la matukio yasiokubaliana kwa pande mbili,

~ Mpiga risasi alifyatua shabaha. Moja ya matukio mawili yafuatayo hakika yatatokea: hit, miss. Matukio haya mawili yasiyolingana pia huunda kundi kamili.

2. Matukio yanaitwa inawezekana sawa, ikiwa kuna sababu ya kuamini kwamba hakuna hata mmoja wao anayewezekana zaidi kuliko mwingine.

~ Kuonekana kwa "kanzu ya silaha" na kuonekana kwa maandishi wakati wa kutupa sarafu ni matukio yanayowezekana sawa. Hakika, inachukuliwa kuwa sarafu imetengenezwa kwa nyenzo zenye homogeneous, ina sura ya kawaida ya silinda, na uwepo wa minting hauathiri upotezaji wa upande mmoja au mwingine wa sarafu.

~ Kuonekana kwa nambari moja au nyingine ya alama kwenye kete iliyotupwa ni matukio yanayowezekana sawa. Kwa kweli, inachukuliwa kuwa kete iliyofanywa kwa nyenzo zenye homogeneous, umbo polyhedron ya kawaida, na uwepo wa pointi hauathiri kupoteza kwa upande wowote.

3. Tukio hilo linaitwa kuaminika, ikiwa haiwezi kusaidia lakini kutokea

4. Tukio hilo linaitwa asiyetegemewa, ikiwa haiwezi kutokea.

5. Tukio hilo linaitwa kinyume kwa tukio fulani ikiwa ni pamoja na kutotokea kwa tukio hili. Matukio yanayopingana hayaendani, lakini moja wapo lazima yatokee. Matukio yanayopingana kwa kawaida huteuliwa kama makanusho, i.e. Dashi imeandikwa juu ya barua. Matukio yanayopingana: A na Ā; U na Ū, nk. .

Ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano

Uwezekano ni mojawapo ya dhana za msingi za nadharia ya uwezekano.

Kuna ufafanuzi kadhaa wa dhana hii. Wacha tutoe ufafanuzi unaoitwa classical. Ifuatayo tunaonyesha pande dhaifu ufafanuzi huu na kutoa ufafanuzi mwingine unaotuwezesha kuondokana na mapungufu ya ufafanuzi wa classical.

Fikiria hali hiyo: Sanduku lina mipira 6 inayofanana, 2 ni nyekundu, 3 ni ya bluu na 1 ni nyeupe. Kwa wazi, uwezekano wa kuchora mpira wa rangi (yaani, nyekundu au bluu) kutoka kwa urn kwa random ni kubwa zaidi kuliko uwezekano wa kuchora mpira nyeupe. Uwezekano huu unaweza kuwa na sifa ya nambari, ambayo inaitwa uwezekano wa tukio (kuonekana kwa mpira wa rangi).

Uwezekano- nambari inayoonyesha kiwango cha uwezekano wa tukio kutokea.

Katika hali inayozingatiwa, tunaashiria:

Tukio A = "Kutoa mpira wa rangi."

Kila moja ya matokeo ya uwezekano wa mtihani (jaribio linajumuisha kuondoa mpira kutoka kwa urn) itaitwa matokeo ya msingi (inawezekana) na tukio. Matokeo ya kimsingi yanaweza kuonyeshwa kwa herufi zilizo na fahirisi hapa chini, kwa mfano: k 1, k 2.

Katika mfano wetu kuna mipira 6, kwa hiyo kuna matokeo 6 iwezekanavyo: mpira mweupe unaonekana; mpira nyekundu ulionekana; mpira wa bluu ulionekana, nk. Ni rahisi kuona kwamba matokeo haya yanaunda kundi kamili la matukio yasiokubaliana kwa jozi (mpira mmoja tu utatokea) na yanawezekana kwa usawa (mpira hutolewa bila mpangilio, mipira inafanana na imechanganywa kabisa).

Wacha tuite matokeo ya kimsingi ambayo tukio la kupendeza kwetu linatokea matokeo mazuri tukio hili. Katika mfano wetu, tukio linapendelewa A(kuonekana kwa mpira wa rangi) matokeo 5 yafuatayo:

Hivyo tukio A inazingatiwa ikiwa mojawapo ya matokeo ya msingi yanafaa A. Hii ni kuonekana kwa mpira wowote wa rangi, ambayo kuna 5 kwenye sanduku

Katika mfano unaozingatiwa matokeo ya msingi 6; 5 kati yao wanapendelea tukio hilo A. Kwa hivyo, P(A)= 5/6. Nambari hii inatoa tathmini ya kiasi cha kiwango cha uwezekano wa kuonekana kwa mpira wa rangi.

Ufafanuzi wa uwezekano:

Uwezekano wa tukio A inaitwa uwiano wa idadi ya matokeo yanayofaa kwa tukio hili kwa jumla ya idadi ya matokeo yote ya kimsingi yasiyolingana ambayo yanaunda kikundi kamili.

P(A)=m/n au P(A)=m: n, ambapo:

m ni idadi ya matokeo ya msingi yanayofaa A;

P- idadi ya matokeo yote ya mtihani wa msingi.

Hapa inadhaniwa kuwa matokeo ya kimsingi hayakubaliani, yanawezekana kwa usawa na kuunda kikundi kamili.

Vipengele vifuatavyo vinafuata kutoka kwa ufafanuzi wa uwezekano:

1. Uwezekano wa tukio la kuaminika ni sawa na moja.

Hakika, ikiwa tukio ni la kuaminika, basi kila matokeo ya msingi ya mtihani yanapendelea tukio hilo. Kwa kesi hii m = n kwa hivyo p=1

2. Uwezekano wa tukio lisilowezekana ni sifuri.

Hakika, ikiwa tukio haliwezekani, basi hakuna matokeo yoyote ya msingi ya jaribio yanapendelea tukio hilo. Katika kesi hii m=0, kwa hivyo p=0.

3.Kuna uwezekano wa tukio la nasibu nambari chanya, iliyofungwa kati ya sifuri na moja. 0T< n.

Katika mada zinazofuata, nadharia zitatolewa ambazo huruhusu mtu kupata uwezekano wa matukio mengine kwa kutumia uwezekano unaojulikana wa matukio fulani.

Kipimo. Kuna wasichana 6 na wavulana 4 katika kundi la wanafunzi. Je, kuna uwezekano gani kwamba mwanafunzi aliyechaguliwa kwa nasibu atakuwa msichana? kutakuwa na kijana?

p dev = 6 / 10 =0.6 p yun = 4 / 10 = 0.4

Dhana ya "uwezekano" katika kozi za kisasa za nadharia ya uwezekano imejengwa kwa msingi wa kinadharia. Hebu tuangalie baadhi ya vipengele vya mbinu hii.

Acha tukio moja na moja tu litokee kama matokeo ya jaribio: w i(i=1, 2, .... p). Matukio w i- kuitwa matukio ya msingi (matokeo ya msingi). KUHUSU inafuata kwamba matukio ya kimsingi hayapatani kwa jozi. Seti ya matukio yote ya msingi ambayo yanaweza kutokea katika mtihani inaitwa nafasi ya matukio ya msingiΩ (herufi kubwa ya Kigiriki omega), na matukio ya kimsingi yenyewe ni pointi za nafasi hii..

Tukio A kutambuliwa na kitengo kidogo (cha nafasi Ω), vipengele vyake ni matokeo ya msingi yanayofaa A; tukio KATIKA ni kitengo kidogo Ω ambacho vipengele vyake ni matokeo yanayofaa NDANI, n.k. Kwa hivyo, seti ya matukio yote ambayo yanaweza kutokea katika jaribio ni seti ya vikundi vidogo vya Ω yenyewe hutokea kwa matokeo yoyote ya mtihani, kwa hiyo Ω ni tukio la kuaminika; sehemu ndogo ya nafasi Ω - ni tukio lisilowezekana (haitokei chini ya matokeo yoyote ya mtihani).

Matukio ya msingi yanatofautishwa kati ya matukio yote ya mada, "kila moja ina kipengele kimoja tu Ω

Kila matokeo ya msingi w i linganisha nambari chanya p i- uwezekano wa matokeo haya, na jumla ya yote p i sawa na 1 au kwa ishara ya jumla, ukweli huu utaandikwa kwa namna ya usemi:

Kwa ufafanuzi, uwezekano P(A) matukio A sawa na jumla ya uwezekano wa matokeo ya msingi yanayofaa A. Kwa hiyo, uwezekano wa tukio la kuaminika ni sawa na moja, tukio lisilowezekana ni sifuri, na tukio la kiholela ni kati ya sifuri na moja.

Hebu tuzingatie kesi maalum wakati matokeo yote yanawezekana kwa usawa Idadi ya matokeo ni n, jumla ya uwezekano wa matokeo yote ni sawa na moja; kwa hiyo, uwezekano wa kila matokeo ni 1/p. Acha tukio A inapendelea matokeo ya m.

Uwezekano wa tukio A sawa na jumla ya uwezekano wa matokeo mazuri A:

P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1

Ufafanuzi wa classical wa uwezekano unapatikana.

Kuna pia axiomatic mbinu ya dhana ya "uwezekano". Katika mfumo wa axioms iliyopendekezwa. Kolmogorov A.N., dhana zisizofafanuliwa ni tukio la msingi na uwezekano. Uundaji wa nadharia kamili ya kimantiki ya uwezekano unatokana na ufafanuzi wa axiomatic wa tukio la nasibu na uwezekano wake.

Hapa kuna axioms zinazofafanua uwezekano:

1. Kila tukio A imepewa nambari halisi isiyo hasi R (A). Nambari hii inaitwa uwezekano wa tukio A.

2. Uwezekano wa tukio la kuaminika ni sawa na moja:

3. Uwezekano wa kutokea kwa angalau moja ya matukio yasiooani kwa jozi ni sawa na jumla ya uwezekano wa matukio haya.

Kulingana na axioms hizi, sifa za uwezekano na utegemezi kati yao huchukuliwa kama nadharia.

Uwezekano tukio ni uwiano wa idadi ya matokeo ya kimsingi yanayofaa tukio fulani kwa idadi ya matokeo yote yanayowezekana ya uzoefu ambayo tukio hili linaweza kuonekana. Uwezekano wa tukio A unaonyeshwa na P (A) (hapa P ni barua ya kwanza ya neno la Kifaransa la uwezekano - uwezekano). Kulingana na ufafanuzi
(1.2.1)
iko wapi idadi ya matokeo ya msingi yanayofaa kwa tukio A; - idadi ya matokeo yote ya kimsingi yanayowezekana ya jaribio, na kutengeneza kundi kamili la matukio.
Ufafanuzi huu wa uwezekano unaitwa classical. Iliibuka katika hatua ya awali ya maendeleo ya nadharia ya uwezekano.

Uwezekano wa tukio una sifa zifuatazo:
1. Uwezekano wa tukio la kuaminika ni sawa na moja. Wacha tuonyeshe tukio la kuaminika kwa barua. Kwa tukio fulani, kwa hiyo
(1.2.2)
2. Uwezekano wa tukio lisilowezekana ni sifuri. Wacha tuonyeshe tukio lisilowezekana kwa barua. Kwa tukio lisilowezekana, kwa hiyo
(1.2.3)
3. Uwezekano wa tukio la nasibu unaonyeshwa kama nambari chanya chini ya moja. Kwa kuwa kwa tukio la nasibu kukosekana kwa usawa , au , kumeridhika, basi
(1.2.4)
4. Uwezekano wa tukio lolote unakidhi ukosefu wa usawa
(1.2.5)
Hii inafuatia kutoka kwa mahusiano (1.2.2) - (1.2.4).

Mfano 1. Urn ina mipira 10 ya ukubwa sawa na uzito, ambayo 4 ni nyekundu na 6 ni ya bluu. Mpira mmoja hutolewa kutoka kwa urn. Kuna uwezekano gani kwamba mpira uliotolewa utakuwa bluu?

Suluhisho. Tunaashiria tukio "mpira uliotolewa uligeuka kuwa bluu" kwa herufi A. Jaribio hili lina matokeo 10 ya msingi yanayowezekana, ambayo 6 yanapendelea tukio A. Kwa mujibu wa fomula (1.2.1), tunapata

Mfano 2. Nambari zote za asili kutoka 1 hadi 30 zimeandikwa kwenye kadi zinazofanana na kuwekwa kwenye urn. Baada ya kuchanganya vizuri kadi, kadi moja huondolewa kwenye mkojo. Je, kuna uwezekano gani kwamba nambari kwenye kadi iliyochukuliwa ni nyingi ya 5?

Suluhisho. Wacha tuonyeshe kwa A tukio "nambari kwenye kadi iliyochukuliwa ni nyingi ya 5." Katika jaribio hili kuna matokeo 30 ya msingi yanayowezekana, ambayo tukio A linapendekezwa na matokeo 6 (nambari 5, 10, 15, 20, 25, 30). Kwa hivyo,

Mfano 3. Kete mbili hutupwa na jumla ya pointi huhesabiwa. nyuso za juu. Tafuta uwezekano wa tukio B hivi kwamba nyuso za juu za kete ziwe na jumla ya alama 9.

Suluhisho. Katika jaribio hili kuna 6 2 = 36 tu matokeo ya msingi yanayowezekana. Tukio B linapendelewa na matokeo 4: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), kwa hivyo.

Mfano 4. Imechaguliwa kwa nasibu nambari ya asili, isiyozidi 10. Kuna uwezekano gani kwamba nambari hii ni kuu?

Suluhisho. Wacha tuonyeshe kwa herufi C tukio "nambari iliyochaguliwa ni kuu". Katika kesi hii, n = 10, m = 4 (nambari kuu 2, 3, 5, 7). Kwa hiyo, uwezekano unaohitajika

Mfano 5. Sarafu mbili za ulinganifu zinatupwa. Kuna uwezekano gani kwamba kuna nambari kwenye pande za juu za sarafu zote mbili?

Suluhisho. Wacha tuonyeshe kwa herufi D tukio "kuna nambari upande wa juu wa kila sarafu." Katika jaribio hili kuna matokeo 4 ya msingi yanayowezekana: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Alama (G, C) inamaanisha kuwa sarafu ya kwanza ina kanzu ya mikono, ya pili ina nambari). Tukio D linapendelewa na matokeo moja ya msingi (C, C). Kwa kuwa m = 1, n = 4, basi

Mfano 6. Kuna uwezekano gani kwamba nambari ya tarakimu mbili iliyochaguliwa bila mpangilio ina tarakimu sawa?

Suluhisho. Nambari za tarakimu mbili ni nambari kutoka 10 hadi 99; Kuna nambari 90 kama hizo kwa jumla 9 zina nambari zinazofanana (hizi ni nambari 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Kwa kuwa katika kesi hii m = 9, n = 90, basi
,
ambapo A ni "nambari yenye tarakimu zinazofanana" tukio.

Mfano 7. Kutoka kwa herufi za neno tofauti Barua moja huchaguliwa kwa nasibu. Kuna uwezekano gani kwamba barua hii itakuwa: a) vokali, b) konsonanti, c) herufi h?

Suluhisho. Neno tofauti lina herufi 12, ambapo 5 ni vokali na 7 ni konsonanti. Barua h hakuna katika neno hili. Wacha tuonyeshe matukio: A - "barua ya vokali", B - "herufi ya konsonanti", C - "barua h". Idadi ya matokeo mazuri ya msingi: - kwa tukio A, - kwa tukio B, - kwa tukio C. Kwa kuwa n = 12, basi
, Na.

Mfano 8. Kete mbili hutupwa na idadi ya alama juu ya kila kete imebainishwa. Tafuta uwezekano kwamba kete zote zinaonyesha idadi sawa ya alama.

Suluhisho. Hebu tuangazie tukio hili kwa herufi A. Tukio A linapendelewa na matokeo 6 ya msingi: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6) ;6). Jumla ya idadi ya matokeo ya kimsingi yanayowezekana kwa usawa ambayo huunda kundi kamili la matukio, katika kesi hii n=6 2 =36. Hii ina maana kwamba uwezekano unaohitajika

Mfano 9. Kitabu kina kurasa 300. Kuna uwezekano gani kwamba ukurasa uliofunguliwa kwa nasibu utakuwa na nambari ya serial inayoweza kugawanywa na 5?

Suluhisho. Kutoka kwa hali ya tatizo inafuata kwamba matokeo yote ya msingi yanayowezekana ambayo yanaunda kundi kamili la matukio yatakuwa n = 300. Kati ya hizi, m = 60 hupendelea tukio la tukio maalum. Kwa hakika, nambari ambayo ni kizidishio cha 5 ina umbo 5k, ambapo k ni nambari asilia, na , inatoka wapi. . Kwa hivyo,
, ambapo A - tukio la "ukurasa" lina nambari ya mlolongo ambayo ni nyingi ya 5".

Mfano 10. Kete mbili hutupwa na jumla ya pointi kwenye nyuso za juu huhesabiwa. Kuna uwezekano gani zaidi - kupata jumla ya 7 au 8?

Suluhisho. Wacha tuonyeshe matukio: A - "Pointi 7 zimevingirishwa", B - "Pointi 8 zimevingirishwa". Tukio A linapendelewa na matokeo 6 ya msingi: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), na tukio B linapendelewa. kwa matokeo 5: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Matokeo yote ya kimsingi yanayowezekana ni n = 6 2 = 36. Kwa hivyo, Na.

Kwa hivyo, P(A)>P(B), yaani, kupata jumla ya pointi 7 ni tukio linalowezekana zaidi kuliko kupata jumla ya pointi 8.

Kazi

1. Nambari asilia isiyozidi 30 inachaguliwa bila mpangilio Je, kuna uwezekano gani kwamba nambari hii ni kizidishio cha 3?
2. Katika urn a nyekundu na b mipira ya bluu, sawa kwa ukubwa na uzito. Je, kuna uwezekano gani kwamba mpira unaotolewa bila mpangilio kutoka kwenye kinyesi hiki utakuwa wa bluu?
3. Nambari isiyozidi 30 huchaguliwa bila mpangilio Je, kuna uwezekano gani kwamba nambari hii ni kigawanyaji cha 30?
4. Katika urn A bluu na b mipira nyekundu, sawa kwa ukubwa na uzito. Mpira mmoja unachukuliwa kutoka kwenye mkojo huu na kuwekwa kando. Mpira huu uligeuka kuwa nyekundu. Baada ya hayo, mpira mwingine hutolewa kutoka kwa urn. Pata uwezekano kwamba mpira wa pili pia ni nyekundu.
5. Nambari ya kitaifa isiyozidi 50 inachaguliwa kwa nasibu Je, kuna uwezekano gani kwamba nambari hii ni kuu?
6. Kete tatu hutupwa na jumla ya pointi kwenye nyuso za juu huhesabiwa. Kuna uwezekano gani zaidi - kupata jumla ya alama 9 au 10?
7. Kete tatu hutupwa na jumla ya pointi zilizovingirishwa huhesabiwa. Kuna uwezekano gani zaidi - kupata jumla ya 11 (tukio A) au alama 12 (tukio B)?

Majibu

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - uwezekano wa kupata pointi 9 kwa jumla; p 2 = 27/216 - uwezekano wa kupata pointi 10 kwa jumla; uk 2 > uk 1 7 . P (A) = 27/216, P (B) = 25/216, P (A) > P (B).

Maswali

1. Je, uwezekano wa tukio unaitwaje?
2. Kuna uwezekano gani wa tukio la kuaminika?
3. Kuna uwezekano gani wa tukio lisilowezekana?
4. Je, kuna mipaka gani ya uwezekano wa tukio la nasibu?
5. Je, ni mipaka gani ya uwezekano wa tukio lolote?
6. Ni ufafanuzi gani wa uwezekano unaoitwa classical?