Mzizi wa 25 katika nambari changamano.

nambari katika fomu ya trigonometric.

Fomula ya Moivre

Hebu z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) na z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

Njia ya trigonometric ya kuandika nambari changamano ni rahisi kutumia kufanya shughuli za kuzidisha, kugawanya, kuinua hadi nguvu kamili, na kutoa mzizi wa digrii n.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i dhambi( 1 +  2)).

Wakati wa kuzidisha nambari mbili ngumu kwa fomu ya trigonometric, moduli zao zinazidishwa na hoja zao zinaongezwa. Wakati wa kugawa moduli zao zimegawanywa na hoja zao zimetolewa.

Ufuataji wa sheria ya kuzidisha nambari changamano ni sheria ya kuongeza nambari changamano hadi nguvu.

z = r(cos  + i sin ).

z n = r n (cos n + isin n).

Uwiano huu unaitwa Fomula ya Moivre.

Mfano 8.1 Pata bidhaa na mgawo wa nambari:

Na

Suluhisho

z 1 ∙z 2
∙

=

;

Mfano 8.2 Andika nambari katika fomu ya trigonometric

∙
-i) 7.

Suluhisho

Hebu kuashiria
na z 2 =
-i.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = arg z 1 = arctan ;

z 1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arctan
;

z 2 = 2
;

z 1 5 = (
) 5
; z 2 7 = 2 7

z = (
) 5 ·2 7
=

2 9

§ 9 Inachimbua mzizi wa nambari changamano

Ufafanuzi. Mzizinnguvu ya nambari changamano z (ashiria
) ni nambari changamano w kiasi kwamba w n = z. Ikiwa z = 0, basi
= 0.

Acha z  0, z = r(cos + isin). Wacha tuonyeshe w = (cos + sin), kisha tuandike mlinganyo w n = z katika fomu ifuatayo.

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).

Kwa hivyo  n = r,

 =

Kwa hivyo wk =
·
.

Kati ya maadili haya kuna tofauti kabisa.

Kwa hivyo k = 0, 1, 2, ..., n - 1.

Kwenye ndege changamano, pointi hizi ni wima za n-gon ya kawaida iliyoandikwa kwenye mduara wa radius.
na kituo katika hatua O (Kielelezo 12).

Kielelezo cha 12

Mfano 9.1 Tafuta maadili yote
.

Suluhisho.

Wacha tuwakilishe nambari hii katika fomu ya trigonometric. Wacha tupate moduli na hoja yake.

w k =
, ambapo k = 0, 1, 2, 3.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
.

w 3 =
.

Kwenye ndege changamano, pointi hizi ni wima za mraba zilizoandikwa kwenye mduara wa radius
na kituo katika asili (Kielelezo 13).

Kielelezo 13 Kielelezo 14

Mfano 9.2 Tafuta maadili yote
.

Suluhisho.

z = – 64 = 64(cos +isin);

w k =
, ambapo k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w 0 =
; w 1 =
;

w 2 =
w 3 =

w 4 =
; w 5 =
.

Kwenye ndege changamano, pointi hizi ni wima za hexagoni ya kawaida iliyoandikwa kwenye mduara wa radius 2 na kituo katika hatua O (0; 0) - Kielelezo 14.

§ 10 Aina ya kielelezo cha nambari changamano.

Muundo wa Euler

Hebu kuashiria
= cos  + isin  na
= cos  - isin  . Mahusiano haya yanaitwa Njia za Euler .

Kazi
ina sifa za kawaida za utendaji wa kielelezo:

Acha nambari changamano z iandikwe katika umbo la trigonometric z = r(cos + isin).

Kwa kutumia formula ya Euler, tunaweza kuandika:

z = r
.

Ingizo hili linaitwa fomu ya kielelezo nambari changamano. Kwa kuitumia, tunapata sheria za kuzidisha, mgawanyiko, ufafanuzi na uchimbaji wa mizizi.

Ikiwa z 1 = r 1 ·
na z 2 = r 2 ·
?Hiyo

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 ·
;

·

z n = r n ·

, ambapo k = 0, 1, ... , n – 1.

Mfano 10.1 Andika nambari katika muundo wa aljebra

z =
.

Suluhisho.

Mfano 10.2 Tatua mlingano z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0.

Suluhisho.

Kwa mgawo wowote changamano, mlinganyo huu una mizizi miwili z 1 na z 1 (ikiwezekana sanjari). Mizizi hii inaweza kupatikana kwa kutumia fomula sawa na katika hali halisi. Kwa sababu
inachukua maadili mawili ambayo hutofautiana kwa ishara tu, basi fomula hii inaonekana kama:

Tangu -9 = 9 e  i, basi maadili
kutakuwa na nambari:

Kisha
Na
.

Suluhisho.

Mizizi inayohitajika ya equation itakuwa maadili
.

Kwa z = -1 tuna r = 1, arg(–1) = .

w k =
, k = 0, 1, 2.

Mazoezi

9 Wasilisha nambari katika fomu ya kielelezo:

10 Andika nambari katika fomu za kielelezo na aljebra:

11 Andika nambari katika muundo wa aljebra na kijiometri:

12 Hesabu zimetolewa

Ukiziwasilisha katika fomu ya kielelezo, tafuta
.

13 Kwa kutumia fomu ya kielelezo cha nambari changamano, tekeleza hatua zifuatazo:

A)
b)

V)
G)

Na na nambari ya asili n 2 .

Nambari tata Z kuitwa mzizin– c, Kama Z n = c.

Wacha tupate maadili yote ya mzizi n– oh nguvu ya nambari changamano Na. Hebu c=| c|·(cos Arg c+ i· dhambi Argna), A Z = | Z|·(pamoja naos Arg Z + i· dhambi Arg Z) , Wapi Z mzizi n- oh nguvu ya nambari changamano Na. Basi ni lazima iwe = c = | c|·(cos Arg c+ i· dhambi Argna). Inafuata hiyo
Na n· Arg Z = ArgNa
Arg Z =
(k=0,1,…) . Kwa hivyo, Z =
(cos
+ i· dhambi
), (k=0,1,…) . Ni rahisi kuona kwamba yoyote ya maadili
, (k=0,1,…) hutofautiana na mojawapo ya maadili yanayolingana
,(k = 0,1,…, n-1) kwa nyingi 2p. Ndiyo maana , (k = 0,1,…, n-1) .

Mfano.

Hebu tuhesabu mzizi wa (-1).

, ni wazi |-1| = 1, arg (-1) = π

-1 = 1·(cos π + i· dhambi π )

, (k = 0, 1).

= i

Nguvu iliyo na kipeo cha busara cha kiholela

Wacha tuchukue nambari changamano kiholela Na. Kama n nambari ya asili, basi Na n = | c| n ·(Pamoja naos nArgs +i· dhambi nArgna)(6). Fomula hii pia ni kweli katika kesi hiyo n = 0 (s≠0)
. Hebu n < 0 Na n Z Na s ≠ 0, Kisha

Na n =
(cos nArgNa+i·sin nArgNa) = (cos nArgNa+ i·sin nArgNa) . Kwa hivyo, formula (6) ni halali kwa yoyote n.

Wacha tuchukue nambari ya busara , Wapi q nambari ya asili, na R ni mzima.

Kisha chini shahada c r tutaelewa idadi
.

Tunapata hilo ,

(k = 0, 1, …, q-1). Maadili haya q vipande, ikiwa sehemu haiwezi kupunguzwa.

Mhadhara Na. 3 Kikomo cha mlolongo wa nambari changamano

Kazi yenye thamani changamano ya hoja ya asili inaitwa mlolongo wa nambari changamano na imeteuliwa (Pamoja na n ) au Na 1 , Na 2 , ..., Pamoja na n . Na n = a n + b n · i (n = 1,2, ...) nambari ngumu.

Na 1 , Na 2 , ... - wanachama wa mlolongo; Na n - mwanachama wa kawaida

Nambari tata Na = a+ b· i kuitwa kikomo cha mlolongo wa nambari changamano (c n ) , Wapi Na n = a n + b n · i (n = 1, 2, …) , wapi kwa yoyote

hiyo mbele ya kila mtu n > N ukosefu wa usawa unashikilia
. Mlolongo wenye kikomo cha mwisho huitwa kuungana mlolongo.

Nadharia.

Ili mlolongo wa nambari changamano (na n ) (Pamoja na n = a n + b n · i) kuunganishwa hadi nambari na = a+ b· i, ni muhimu na inatosha kwa usawa kushikilialim a n = a, lim b n = b.

Ushahidi.

Tutathibitisha nadharia kulingana na usawa mara mbili wa dhahiri

, Wapi Z = x + y· i (2)

Umuhimu. Hebu lim(Pamoja na n ) = s. Hebu tuonyeshe kwamba usawa ni kweli lim a n = a Na lim b n = b (3).

Bila shaka (4)

Kwa sababu
, Lini n → ∞ , kisha kutoka upande wa kushoto wa usawa (4) inafuata hiyo
Na
, Lini n → ∞ . kwa hivyo usawa (3) unaridhika. Haja imethibitishwa.

Utoshelevu. Hebu sasa usawa (3) utosheke. Kutoka kwa usawa (3) inafuata hiyo
Na
, Lini n → ∞ , kwa hiyo, kutokana na upande wa kulia wa usawa (4), itakuwa
, Lini n→∞ , Maana lim(Pamoja na n )=c. Utoshelevu umethibitishwa.

Kwa hivyo, suala la muunganisho wa mfuatano wa nambari changamano ni sawa na muunganiko wa mfuatano wa nambari mbili halisi, kwa hiyo sifa zote za msingi za mipaka ya mfuatano wa nambari halisi hutumika kwa mfuatano wa nambari changamano.

Kwa mfano, kwa mlolongo wa nambari changamano kigezo cha Cauchy ni halali: ili mlolongo wa nambari changamano (na n ) huungana, ni muhimu na inatosha kwa yoyote

, hiyo kwa yoyoten, m > Nukosefu wa usawa unashikilia
.

Nadharia.

Acha mlolongo wa nambari changamano (na n ) Na (z n ) kuungana kwa c na mtawaliaz, basi usawa ni kwelilim(Pamoja na n z n ) = c z, lim(Pamoja na n · z n ) = c· z. Ikiwa inajulikana kwa hakikazsi sawa na 0, basi usawa ni kweli
.