Mzizi wa equation ya kibaguzi. Kutatua equations za quadratic, formula ya mizizi, mifano

Fomula za mizizi ya equation ya quadratic. Kesi za mizizi halisi, nyingi na ngumu zinazingatiwa. Factorization quadratic trinomial. Tafsiri ya kijiometri. Mifano ya kuamua mizizi na factoring.

Fomula za kimsingi

Fikiria equation ya quadratic:
(1) .
Mizizi ya equation ya quadratic(1) imedhamiriwa na fomula:
; .
Fomula hizi zinaweza kuunganishwa kama hii:
.
Wakati mizizi ya equation ya quadratic inajulikana, basi polynomial ya shahada ya pili inaweza kuwakilishwa kama bidhaa ya mambo (factored):
.

Tunadhania zaidi kwamba - nambari za kweli.
Hebu tuzingatie kibaguzi wa mlinganyo wa quadratic:
.
Ikiwa kibaguzi ni chanya, basi equation ya quadratic (1) ina mizizi miwili tofauti:
; .
Kisha factorization ya quadratic trinomial ina fomu:
.
Ikiwa kibaguzi ni sawa na sifuri, basi equation ya quadratic (1) ina mizizi miwili mingi (sawa) halisi:
.
Factorization:
.
Ikiwa kibaguzi ni hasi, basi equation ya quadratic (1) ina mizizi miwili changamano ya kuunganisha:
;
.
Hiki hapa kitengo cha kufikirika,;
na ni sehemu halisi na za kufikiria za mizizi:
; .
Kisha

.

Tafsiri ya picha

Ukijenga grafu ya kipengele
,
ambayo ni parabola, basi pointi za makutano ya grafu na mhimili zitakuwa mizizi ya equation.
.
Saa , grafu inakatiza mhimili wa x (mhimili) kwa nukta mbili.
Wakati , grafu inagusa mhimili wa x kwa hatua moja.
Wakati , grafu haivuki mhimili wa x.

Chini ni mifano ya grafu kama hizo.

Fomula muhimu zinazohusiana na mlinganyo wa quadratic

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Utoaji wa fomula ya mizizi ya equation ya quadratic

Tunafanya mabadiliko na kutumia fomula (f.1) na (f.3):

,
Wapi
; .

Kwa hivyo, tulipata fomula ya polynomial ya shahada ya pili katika fomu:
.
Hii inaonyesha kwamba equation

kutekelezwa saa
Na.
Hiyo ni, na ni mizizi ya equation ya quadratic
.

Mifano ya kuamua mizizi ya equation ya quadratic

Mfano 1

(1.1) .

Suluhisho

.
Kulinganisha na equation yetu (1.1), tunapata maadili ya coefficients:
.
Tunapata ubaguzi:
.
Kwa kuwa kibaguzi ni chanya, equation ina mizizi miwili halisi:
;
;
.

Kutoka kwa hili tunapata uainishaji wa trinomial ya quadratic:

.

Grafu ya kazi y = 2 x 2 + 7 x + 3 hukatiza mhimili wa x kwa nukta mbili.

Hebu tupange kazi
.
Grafu ya kazi hii ni parabola. Inavuka mhimili wa abscissa (mhimili) kwa nukta mbili:
Na.
Pointi hizi ni mizizi ya mlinganyo wa asili (1.1).

Jibu

;
;
.

Mfano 2

Tafuta mizizi ya equation ya quadratic:
(2.1) .

Suluhisho

Hebu tuandike equation ya quadratic ndani mtazamo wa jumla:
.
Kwa kulinganisha na equation asili (2.1), tunapata maadili ya coefficients:
.
Tunapata ubaguzi:
.
Kwa kuwa kibaguzi ni sifuri, equation ina mizizi miwili mingi (sawa):
;
.

Kisha factorization ya trinomial ina fomu:
.

Grafu ya chaguo za kukokotoa y = x 2 - 4 x + 4 hugusa mhimili wa x wakati mmoja.

Hebu tupange kazi
.
Grafu ya kazi hii ni parabola. Inagusa mhimili wa x (mhimili) wakati mmoja:
.
Hatua hii ndiyo mzizi wa mlinganyo wa awali (2.1). Kwa sababu mzizi huu umewekwa mara mbili:
,
basi mzizi kama huo kawaida huitwa nyingi. Hiyo ni, wanaamini kuwa kuna mizizi miwili sawa:
.

Jibu

;
.

Mfano 3

Tafuta mizizi ya equation ya quadratic:
(3.1) .

Suluhisho

Wacha tuandike equation ya quadratic kwa fomu ya jumla:
(1) .
Wacha tuandike tena mlinganyo wa asili (3.1):
.
Kulinganisha na (1), tunapata maadili ya coefficients:
.
Tunapata ubaguzi:
.
Mbaguzi ni hasi,. Kwa hivyo hakuna mizizi halisi.

Unaweza kupata mizizi ngumu:
;
;
.

Kisha

.

Grafu ya chaguo za kukokotoa haivuka mhimili wa x. Hakuna mizizi halisi.

Hebu tupange kazi
.
Grafu ya kazi hii ni parabola. Haiingiliani na mhimili wa x (mhimili). Kwa hivyo hakuna mizizi halisi.

Jibu

Hakuna mizizi halisi. Mizizi tata:
;
;
.

Mada hii inaweza kuonekana kuwa ngumu mwanzoni kwa sababu ya wengi sio hivyo fomula rahisi. Sio tu kwamba equations za quadratic zenyewe zina maelezo marefu, lakini mizizi pia hupatikana kwa njia ya kibaguzi. Kwa jumla, fomula tatu mpya hupatikana. Si rahisi sana kukumbuka. Hii inawezekana tu baada ya kutatua equations mara kwa mara. Kisha fomula zote zitakumbukwa na wao wenyewe.

Mtazamo wa jumla wa equation ya quadratic

Hapa tunapendekeza kurekodi kwao kwa uwazi, wakati zaidi shahada ya juu imeandikwa kwanza, na kisha kwa utaratibu wa kushuka. Mara nyingi kuna hali wakati masharti hayafanani. Kisha ni bora kuandika tena equation katika utaratibu wa kushuka wa kiwango cha kutofautiana.

Hebu tuanzishe nukuu fulani. Zinawasilishwa kwenye jedwali hapa chini.

Ikiwa tutakubali nukuu hizi, milinganyo yote ya quadratic itapunguzwa hadi nukuu ifuatayo.

Zaidi ya hayo, mgawo ni ≠ 0. Acha fomula hii iteuliwe nambari moja.

Wakati equation inatolewa, haijulikani wazi ni mizizi ngapi kutakuwa na jibu. Kwa sababu moja ya chaguzi tatu inawezekana kila wakati:

suluhisho litakuwa na mizizi miwili;
jibu litakuwa namba moja;
mlinganyo hautakuwa na mizizi hata kidogo.

Na mpaka uamuzi ukamilika, ni vigumu kuelewa ni chaguo gani kitatokea katika kesi fulani.

Aina za rekodi za milinganyo ya quadratic

Kunaweza kuwa na maingizo tofauti katika kazi. Si mara zote hazitafanana na fomula ya jumla ya milinganyo ya quadratic. Wakati mwingine itakuwa inakosa masharti fulani. Kilichoandikwa hapo juu ni mlinganyo kamili. Ukiondoa muda wa pili au wa tatu ndani yake, unapata kitu kingine. Rekodi hizi pia huitwa milinganyo ya quadratic, haijakamilika tu.

Zaidi ya hayo, maneno tu na coefficients "b" na "c" yanaweza kutoweka. Nambari "a" haiwezi kuwa sawa na sifuri kwa hali yoyote. Kwa sababu katika kesi hii formula inageuka kuwa equation ya mstari. Fomula za fomu isiyokamilika ya milinganyo itakuwa kama ifuatavyo:

Kwa hivyo, kuna aina mbili tu, pamoja na zile kamili, pia kuna milinganyo ya quadratic isiyo kamili. Hebu formula ya kwanza iwe namba mbili, na ya pili - tatu.

Ubaguzi na utegemezi wa idadi ya mizizi kwenye thamani yake

Unahitaji kujua nambari hii ili kuhesabu mizizi ya equation. Inaweza kuhesabiwa kila wakati, bila kujali fomula ya equation ya quadratic ni nini. Ili kuhesabu kibaguzi, unahitaji kutumia usawa ulioandikwa hapa chini, ambao utakuwa na namba nne.

Baada ya kubadilisha maadili ya mgawo kwenye fomula hii, unaweza kupata nambari na ishara tofauti. Ikiwa jibu ni ndiyo, basi jibu la equation ni mbili mizizi mbalimbali. Ikiwa nambari ni hasi, hakutakuwa na mizizi ya equation ya quadratic. Ikiwa ni sawa na sifuri, kutakuwa na jibu moja tu.

Jinsi ya kutatua equation kamili ya quadratic?

Kwa kweli, kuzingatia suala hili tayari imeanza. Kwa sababu kwanza unahitaji kupata kibaguzi. Baada ya kuamua kuwa kuna mizizi ya equation ya quadratic, na idadi yao inajulikana, unahitaji kutumia formula kwa vigezo. Ikiwa kuna mizizi miwili, basi unahitaji kutumia formula ifuatayo.

Kwa kuwa ina ishara "±", kutakuwa na maadili mawili. Usemi ulio chini ya alama ya mzizi wa mraba ndio kibaguzi. Kwa hiyo, formula inaweza kuandikwa tena tofauti.

Mfumo namba tano. Kutoka kwa rekodi sawa ni wazi kwamba ikiwa kibaguzi ni sawa na sifuri, basi mizizi yote itachukua maadili sawa.

Ikiwa utatuzi wa hesabu za quadratic bado haujafanywa, basi ni bora kuandika maadili ya coefficients zote kabla ya kutumia fomula za kibaguzi na tofauti. Baadaye wakati huu hautasababisha shida. Lakini mwanzoni kabisa kuna mkanganyiko.

Jinsi ya kutatua equation ya quadratic isiyo kamili?

Kila kitu ni rahisi zaidi hapa. Hakuna hata haja ya fomula za ziada. Na wale ambao tayari wameandikwa kwa ajili ya ubaguzi na wasiojulikana hawatahitajika.

Hebu kwanza tufikirie mlinganyo usio kamili kwenye namba mbili. Katika usawa huu, inahitajika kuchukua idadi isiyojulikana kutoka kwa mabano na kutatua equation ya mstari, ambayo itabaki kwenye mabano. Jibu litakuwa na mizizi miwili. Ya kwanza ni lazima sawa na sifuri, kwa sababu kuna multiplier inayojumuisha kutofautiana yenyewe. Ya pili itapatikana kwa kutatua equation ya mstari.

Nambari ya tatu ya equation isiyokamilika inatatuliwa kwa kuhamisha nambari kutoka upande wa kushoto wa usawa hadi kulia. Kisha unahitaji kugawanya kwa mgawo unaoelekea haijulikani. Kilichobaki ni kutoa mzizi wa mraba na ukumbuke kuuandika mara mbili kwa ishara tofauti.

Zifuatazo ni baadhi ya hatua ambazo zitakusaidia kujifunza jinsi ya kutatua aina zote za usawa ambazo hubadilika kuwa milinganyo ya quadratic. Watamsaidia mwanafunzi kuepuka makosa kutokana na kutokuwa makini. Mapungufu haya yanaweza kusababisha alama duni wakati wa kusoma mada ya kina "Quadratic Equations (Daraja la 8)." Baadaye, vitendo hivi havitahitaji kufanywa kila wakati. Kwa sababu ujuzi thabiti utaonekana.

Kwanza unahitaji kuandika equation katika fomu ya kawaida. Hiyo ni, kwanza neno na shahada kubwa zaidi ya kutofautiana, na kisha - bila shahada, na mwisho - nambari tu.

Ikiwa minus itaonekana kabla ya mgawo "a", inaweza kutatiza kazi kwa anayeanza kusoma milinganyo ya quadratic. Ni bora kuiondoa. Kwa kusudi hili, usawa wote lazima uzidishwe na "-1". Hii ina maana kwamba masharti yote yatabadilisha ishara kuwa kinyume.

Inashauriwa kuondoa sehemu kwa njia ile ile. Zidisha equation kwa kipengele kinachofaa ili madhehebu yaghairi.

Mifano

Inahitajika kutatua milinganyo ifuatayo ya quadratic:

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Mlingano wa kwanza: x 2 − 7x = 0. Haijakamilika, kwa hivyo inatatuliwa jinsi ilivyofafanuliwa kwa fomula namba mbili.

Baada ya kuiondoa kwenye mabano, inageuka: x (x - 7) = 0.

Mzizi wa kwanza unachukua thamani: x 1 = 0. Ya pili itapatikana kutoka mlinganyo wa mstari: x - 7 = 0. Ni rahisi kuona kwamba x 2 = 7.

Equation ya pili: 5x 2 + 30 = 0. Tena haijakamilika. Inatatuliwa tu kama ilivyoelezewa kwa fomula ya tatu.

Baada ya kuhamisha 30 kwa upande wa kulia usawa: 5x 2 = 30. Sasa unahitaji kugawanya na 5. Inageuka: x 2 = 6. Majibu yatakuwa namba: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Mlinganyo wa tatu: 15 − 2x - x 2 = 0. Hapa na zaidi, kutatua milinganyo ya quadratic itaanza kwa kuandika upya katika fomu ya kawaida: - x 2 - 2x + 15 = 0. Sasa ni wakati wa kutumia ya pili. ushauri muhimu na zidisha kila kitu kwa minus moja. Inageuka x 2 + 2x - 15 = 0. Kutumia formula ya nne, unahitaji kuhesabu kibaguzi: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Ni nambari chanya. Kutoka kwa kile kilichosemwa hapo juu, zinageuka kuwa equation ina mizizi miwili. Wanahitaji kuhesabiwa kwa kutumia fomula ya tano. Inatokea kwamba x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Kisha x 1 = 3, x 2 = - 5.

Equation ya nne x 2 + 8 + 3x = 0 inabadilishwa kuwa hii: x 2 + 3x + 8 = 0. Ubaguzi wake ni sawa na thamani hii: -23. Kwa kuwa nambari hii ni hasi, jibu la kazi hii litakuwa ingizo lifuatalo: "Hakuna mizizi."

Equation ya tano 12x + x 2 + 36 = 0 inapaswa kuandikwa upya kama ifuatavyo: x 2 + 12x + 36 = 0. Baada ya kutumia formula kwa kibaguzi, nambari ya sifuri inapatikana. Hii ina maana kwamba itakuwa na mzizi mmoja, yaani: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Mlinganyo wa sita (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) unahitaji mabadiliko, ambayo yanajumuisha kuleta. masharti yanayofanana, kabla ya kufungua mabano. Katika nafasi ya kwanza kutakuwa na maneno yafuatayo: x 2 + 2x + 1. Baada ya usawa, kuingia hii itaonekana: x 2 + 3x + 2. Baada ya maneno sawa kuhesabiwa, equation itachukua fomu: x 2 - x = 0. Imekuwa haijakamilika . Kitu sawa na hiki tayari kimejadiliwa juu kidogo. Mizizi ya hii itakuwa nambari 0 na 1.

Shule ya sekondari ya vijijini ya Kopyevskaya

Njia 10 za Kutatua Milinganyo ya Quadratic

Mkuu: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

mwalimu wa hisabati

kijiji cha Kopevo, 2007

1. Historia ya maendeleo ya milinganyo ya quadratic

1.1 Milinganyo ya quadratic katika Babeli ya Kale

1.2 Jinsi Diophantus alivyotunga na kutatua milinganyo ya quadratic

1.3 Milinganyo ya quadratic nchini India

1.4 Milinganyo ya quadratic na al-Khorezmi

1.5 Milinganyo ya quadratic katika Ulaya XIII- karne za XVII

1.6 Kuhusu nadharia ya Vieta

2. Mbinu za kutatua milinganyo ya quadratic

Hitimisho

Fasihi

1. Historia ya maendeleo ya milinganyo ya quadratic

1.1 Milinganyo ya quadratic katika Babeli ya Kale

Haja ya kutatua equations sio tu ya kwanza, lakini pia ya shahada ya pili katika nyakati za zamani ilisababishwa na hitaji la kutatua shida zinazohusiana na kutafuta maeneo. viwanja vya ardhi na kazi za ardhini za asili ya kijeshi, na vile vile na ukuzaji wa unajimu na hisabati yenyewe. Milinganyo ya quadratic inaweza kutatuliwa karibu 2000 BC. e. Wababeli.

Kutumia nukuu ya kisasa ya algebra, tunaweza kusema kwamba katika maandishi yao ya kikabari kuna, pamoja na zisizo kamili, kama vile, kwa mfano, hesabu kamili za quadratic:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Kanuni ya kusuluhisha milinganyo hii, iliyowekwa katika maandishi ya Babeli, kimsingi inalingana na ile ya kisasa, lakini haijulikani jinsi Wababeli walifika katika kanuni hii. Karibu maandishi yote ya kikabari yaliyopatikana hadi sasa yanatoa matatizo tu na masuluhisho yaliyowekwa katika mfumo wa mapishi, bila dalili ya jinsi yalivyopatikana.

Licha ya ngazi ya juu maendeleo ya algebra huko Babeli, maandishi ya kikabari hayana dhana ya nambari hasi na mbinu za jumla kutatua milinganyo ya quadratic.

1.2 Jinsi Diophantus alivyotunga na kutatua milinganyo ya quadratic.

Hesabu ya Diophantus haina uwasilishaji wa utaratibu wa aljebra, lakini ina mfululizo wa matatizo, yanayoambatana na maelezo na kutatuliwa kwa kuunda milinganyo ya digrii mbalimbali.

Wakati wa kutunga milinganyo, Diophantus huchagua kwa ustadi zisizojulikana ili kurahisisha suluhu.

Hapa, kwa mfano, ni moja ya kazi zake.

Tatizo 11."Tafuta nambari mbili, ukijua kuwa jumla yao ni 20 na bidhaa zao ni 96"

Sababu za Diophantus kama ifuatavyo: kutoka kwa hali ya shida inafuata kwamba nambari zinazohitajika si sawa, kwani ikiwa zingekuwa sawa, basi bidhaa zao hazitakuwa sawa na 96, lakini kwa 100. Hivyo, mmoja wao atakuwa zaidi ya. nusu ya jumla yao, i.e. 10 + x, nyingine ni kidogo, i.e. ya 10. Tofauti kati yao 2x .

Kwa hivyo equation:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Kutoka hapa x = 2. Moja ya nambari zinazohitajika ni sawa na 12 , nyingine 8 . Suluhisho x = -2 kwa Diophantus haipo, kwani hisabati ya Kigiriki ilijua nambari chanya tu.

Ikiwa tutatatua shida hii kwa kuchagua nambari moja inayohitajika kama isiyojulikana, basi tutakuja kwenye suluhisho la equation.

y(20 -y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Ni wazi kwamba kwa kuchagua nusu ya tofauti ya nambari zinazohitajika kama zisizojulikana, Diophantus hurahisisha suluhisho; anafanikiwa kupunguza tatizo hadi kutatua equation ya quadratic isiyokamilika (1).

1.3 Milinganyo ya Quadratic nchini India

Matatizo juu ya hesabu za quadratic hupatikana tayari katika mkataba wa unajimu "Aryabhattiam", ulioandaliwa mnamo 499 na mtaalam wa hesabu wa India na mtaalam wa nyota Aryabhatta. Mwanasayansi mwingine wa Kihindi, Brahmagupta (karne ya 7), alielezea kanuni ya jumla kutatua milinganyo ya quadratic iliyopunguzwa hadi umoja fomu ya kisheria:

ah 2 + b x = c, a > 0. (1)

Katika equation (1), coefficients, isipokuwa A, pia inaweza kuwa hasi. Utawala wa Brahmagupta kimsingi ni sawa na wetu.

KATIKA India ya Kale Mashindano ya umma katika kutatua matatizo magumu yalikuwa ya kawaida. Kitabu kimojawapo cha zamani cha Wahindi kinasema yafuatayo kuhusu mashindano hayo: “Jinsi jua linavyozifunika nyota kwa mng’ao wake, ndivyo. mtu aliyejifunza itafunika utukufu wa mwingine makusanyiko ya watu, kupendekeza na kutatua matatizo ya aljebra.” Matatizo mara nyingi yaliwasilishwa kwa njia ya kishairi.

Hili ni moja wapo ya shida za mwanahisabati maarufu wa India wa karne ya 12. Bhaskars.

Tatizo 13.

"Kundi la nyani, na kumi na wawili karibu na mizabibu ...

Wakuu, baada ya kula, walifurahiya. Walianza kuruka, kunyongwa ...

Wapo kwenye mraba, sehemu ya nane walikuwa na nyani wangapi?

Nilikuwa na furaha katika kusafisha. Niambie, katika pakiti hii?

Suluhisho la Bhaskara linaonyesha kwamba alijua kwamba mizizi ya equations ya quadratic ni ya thamani mbili (Mchoro 3).

Equation inayolingana na shida 13 ni:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara anaandika chini ya kivuli:

x 2 - 64x = -768

na, ili kukamilisha upande wa kushoto wa mlinganyo huu hadi mraba, huongeza kwa pande zote mbili 32 2 , kisha kupata:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Milinganyo ya quadratic katika al - Khorezmi

Katika maandishi ya aljebra ya al-Khorezmi, uainishaji wa milinganyo ya mstari na ya quadratic imetolewa. Mwandishi anahesabu aina 6 za equations, akizielezea kama ifuatavyo:

1) "Mraba ni sawa na mizizi," i.e. shoka 2 + c = b X.

2) "Mraba ni sawa na nambari", i.e. shoka 2 = c.

3) "Mizizi ni sawa na nambari," i.e. ah = s.

4) "Mraba na nambari ni sawa na mizizi," i.e. shoka 2 + c = b X.

5) "Mraba na mizizi ni sawa na nambari," i.e. ah 2 + bx = s.

6) "Mizizi na nambari ni sawa na mraba," i.e. bx + c = shoka 2 .

Kwa al-Khorezmi, ambaye aliepuka matumizi ya nambari hasi, masharti ya kila hesabu hizi ni nyongeza na sio kupunguzwa. Katika kesi hii, equations ambazo hazina suluhisho chanya ni wazi hazizingatiwi. Mwandishi anaelezea suluhisho milinganyo hapo juu, kwa kutumia mbinu za al-jabr na al-muqabala. Maamuzi yake, bila shaka, hayapatani kabisa na yetu. Bila kutaja kuwa ni kejeli tu, inapaswa kuzingatiwa, kwa mfano, kwamba wakati wa kutatua equation ya quadratic isiyo kamili ya aina ya kwanza.

al-Khorezmi, kama wanahisabati wote kabla ya karne ya 17, haizingatii suluhisho la sifuri, labda kwa sababu katika shida maalum za vitendo haijalishi. Wakati wa kutatua milinganyo kamili ya quadratic al-Khorezmi kwa sehemu mifano ya nambari huweka sheria za suluhisho na kisha vithibitisho vya kijiometri.

Tatizo 14."Mraba na nambari 21 ni sawa na mizizi 10. Tafuta mizizi" (ikimaanisha mzizi wa equation x 2 + 21 = 10x).

Suluhisho la mwandishi huenda kama hii: kugawanya idadi ya mizizi kwa nusu, kupata 5, kuzidisha 5 yenyewe, toa 21 kutoka kwa bidhaa, kilichobaki ni 4. Chukua mizizi kutoka 4, unapata 2. Ondoa 2 kutoka 5 , unapata 3, hii itakuwa mzizi unaohitajika. Au ongeza 2 hadi 5, ambayo inatoa 7, hii pia ni mzizi.

Risala ya al-Khorezmi ni kitabu cha kwanza ambacho kimetujia, ambacho kinaweka utaratibu wa uainishaji wa milinganyo ya quadratic na kutoa fomula kwa suluhisho lao.

1.5 Milinganyo ya quadratic katika Ulaya XIII - XVII bb

Mifumo ya kutatua milinganyo ya quadratic kwenye mistari ya al-Khwarizmi huko Uropa ilionyeshwa kwa mara ya kwanza katika Kitabu cha Abacus, kilichoandikwa mnamo 1202 na mwanahisabati wa Italia Leonardo Fibonacci. Kazi hii kubwa, ambayo inaonyesha ushawishi wa hisabati, nchi zote za Kiislamu na Ugiriki ya Kale, hutofautishwa kwa ukamilifu na uwazi wa uwasilishaji. Mwandishi kwa kujitegemea aliendeleza mpya mifano ya algebra kutatua matatizo na alikuwa wa kwanza katika Ulaya kuanzisha idadi hasi. Kitabu chake kilichangia kuenea kwa ujuzi wa algebra sio tu nchini Italia, bali pia Ujerumani, Ufaransa na nchi nyingine za Ulaya. Shida nyingi kutoka kwa Kitabu cha Abacus zilitumika katika karibu vitabu vyote vya Uropa vya karne ya 16 - 17. na sehemu ya XVIII.

Kanuni ya jumla ya kusuluhisha milinganyo ya quadratic imepunguzwa hadi fomu moja ya kisheria:

x 2 + bx = c,

kwa mchanganyiko wote unaowezekana wa ishara za mgawo b , Na iliundwa katika Ulaya tu mwaka 1544 na M. Stiefel.

Utoaji wa fomula ya kusuluhisha equation ya quadratic kwa fomu ya jumla inapatikana kutoka Vieta, lakini Vieta inatambuliwa tu. mizizi chanya. Wanahisabati wa Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli walikuwa kati ya wa kwanza katika karne ya 16. Wanazingatia, pamoja na chanya, na mizizi hasi. Tu katika karne ya 17. Shukrani kwa kazi ya Girard, Descartes, Newton na wengine njia ya wanasayansi kutatua equations za quadratic inachukua fomu ya kisasa.

1.6 Kuhusu nadharia ya Vieta

Nadharia inayoelezea uhusiano kati ya coefficients ya equation ya quadratic na mizizi yake, iliyopewa jina la Vieta, iliundwa na yeye kwa mara ya kwanza mnamo 1591 kama ifuatavyo: B + D, ikizidishwa na A - A 2 , sawa BD, Hiyo A sawa KATIKA na sawa D ».

Ili kuelewa Vieta, tunapaswa kukumbuka hilo A, kama herufi yoyote ya vokali, ilimaanisha kisichojulikana (yetu X), vokali NDANI, D- coefficients kwa haijulikani. Katika lugha ya algebra ya kisasa, uundaji wa Vieta hapo juu unamaanisha: ikiwa kuna

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Kuonyesha uhusiano kati ya mizizi na coefficients ya equations kanuni za jumla iliyoandikwa kwa kutumia alama, Viet ilianzisha usawa katika njia za kutatua milinganyo. Walakini, ishara ya Viet bado iko mbali muonekano wa kisasa. Hakutambua namba hasi na kwa hiyo, wakati wa kutatua equations, alizingatia kesi tu ambapo mizizi yote ilikuwa chanya.

2. Mbinu za kutatua milinganyo ya quadratic

Milinganyo ya quadratic ndio msingi ambao muundo wa aljebra unategemea. Milinganyo ya quadratic hutumiwa sana katika kutatua milinganyo ya trigonometric, kielelezo, logarithmic, isiyo na mantiki na ya kupita maumbile na usawa. Sote tunajua jinsi ya kutatua milinganyo ya nne kutoka shuleni (darasa la 8) hadi kuhitimu.

Tu. Kulingana na fomula na wazi sheria rahisi. Katika hatua ya kwanza

haja kwa kupewa mlinganyo kuongoza kwa mtazamo wa kawaida, i.e. kwa fomu:

Ikiwa equation tayari imepewa kwako katika fomu hii, huna haja ya kufanya hatua ya kwanza. Jambo kuu ni kuifanya kwa usahihi

kuamua coefficients zote, A, b Na c.

Mfumo wa kutafuta mizizi ya mlingano wa quadratic.

Usemi chini ya ishara ya mizizi inaitwa kibaguzi . Kama unaweza kuona, kupata X, sisi

tunatumia tu a, b na c. Wale. coefficients kutoka mlinganyo wa quadratic. Weka kwa uangalifu tu

maadili a, b na c Tunahesabu katika fomula hii. Tunabadilisha na zao ishara!

Kwa mfano, katika mlinganyo:

A =1; b = 3; c = -4.

Tunabadilisha maadili na kuandika:

Mfano unakaribia kutatuliwa:

Hili ndilo jibu.

Makosa ya kawaida ni kuchanganyikiwa na maadili ya ishara a, b Na Na. Au tuseme, kwa uingizwaji

maadili hasi katika fomula ya kuhesabu mizizi. Rekodi ya kina ya fomula itakusaidia hapa

Na nambari maalum. Ikiwa una shida na mahesabu, fanya hivyo!

Tuseme tunahitaji kutatua mfano ufuatao:

Hapa a = -6; b = -5; c = -1

Tunaelezea kila kitu kwa undani, kwa uangalifu, bila kukosa chochote na ishara na mabano yote:

Milinganyo ya quadratic mara nyingi huonekana tofauti kidogo. Kwa mfano, kama hii:

Sasa zingatia mbinu za vitendo, ambayo hupunguza kwa kiasi kikubwa idadi ya makosa.

Uteuzi wa kwanza. Usiwe mvivu hapo awali kutatua equation ya quadratic kuleta kwa fomu ya kawaida.

Hii ina maana gani?

Wacha tuseme kwamba baada ya mabadiliko yote unapata equation ifuatayo:

Usikimbilie kuandika formula ya mizizi! Kwa hakika utapata odds zilizochanganyika a, b na c.

Tengeneza mfano kwa usahihi. Kwanza, X mraba, kisha bila mraba, kisha neno bure. Kama hii:

Ondoa minus. Vipi? Tunahitaji kuzidisha mlinganyo mzima kwa -1. Tunapata:

Lakini sasa unaweza kuandika kwa usalama formula ya mizizi, kuhesabu kibaguzi na kumaliza kutatua mfano.

Amua mwenyewe. Unapaswa sasa kuwa na mizizi 2 na -1.

Mapokezi ya pili. Angalia mizizi! Na Nadharia ya Vieta.

Ili kutatua milinganyo ya quadratic iliyotolewa, i.e. ikiwa mgawo

x 2 +bx+c=0,

Kishax 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =-b

Kwa equation kamili ya quadratic ambayo a≠1:

x 2 +bx+c=0,

gawanya mlinganyo mzima kwa A:

→ →

Wapi x 1 Na x 2 - mizizi ya equation.

Mapokezi ya tatu. Ikiwa equation yako ina tabia mbaya za sehemu, - ondoa sehemu! Zidisha

equation na denominator ya kawaida.

Hitimisho. Ushauri wa vitendo:

1. Kabla ya kutatua, tunaleta equation ya quadratic kwa fomu ya kawaida na kuijenga Haki.

2. Ikiwa kuna mgawo hasi mbele ya X ya mraba, tunaiondoa kwa kuzidisha kila kitu

milinganyo kwa -1.

3. Ikiwa mgawo ni wa sehemu, tunaondoa sehemu kwa kuzidisha equation nzima na inayolingana.

sababu.

4. Ikiwa x mraba ni safi, mgawo wake sawa na moja, suluhisho linaweza kuthibitishwa kwa urahisi na

Kiwango cha kwanza

Milinganyo ya quadratic. Mwongozo wa kina (2019)

Katika neno "quadratic equation," neno kuu ni "quadratic." Hii ina maana kwamba equation lazima lazima iwe na variable (sawa x) mraba, na kusiwe na xes kwa nguvu ya tatu (au zaidi).

Suluhisho la milinganyo mingi linakuja kwenye kusuluhisha milinganyo ya quadratic.

Hebu tujifunze kubaini kuwa huu ni mlinganyo wa quadratic na sio mlinganyo mwingine.

Mfano 1.

Wacha tuondoe dhehebu na kuzidisha kila neno la equation kwa

Wacha tuhamishe kila kitu upande wa kushoto na kupanga masharti katika mpangilio wa kushuka wa nguvu za X

Sasa tunaweza kusema kwa ujasiri kwamba equation hii ni quadratic!

Mfano 2.

Zidisha pande za kushoto na kulia kwa:

Mlinganyo huu, ingawa awali ulikuwa ndani yake, sio wa quadratic!

Mfano 3.

Wacha tuzidishe kila kitu kwa:

Inatisha? Daraja la nne na la pili ... Hata hivyo, ikiwa tutafanya uingizwaji, tutaona kwamba tuna equation rahisi ya quadratic:

Mfano 4.

Inaonekana kuwa huko, lakini hebu tuangalie kwa karibu. Wacha tuhamishe kila kitu kwa upande wa kushoto:

Tazama, imepunguzwa - na sasa ni equation rahisi ya mstari!

Sasa jaribu kujiamulia ni ipi kati ya milinganyo ifuatayo ni ya quadratic na ambayo sio:

Mifano:

Majibu:

mraba;
mraba;
si mraba;
si mraba;
si mraba;
mraba;
si mraba;
mraba.

Wanahisabati kawaida hugawanya hesabu zote za quadratic katika aina zifuatazo:

Kamilisha milinganyo ya quadratic- equations ambayo coefficients na, pamoja na neno la bure c, si sawa na sifuri (kama katika mfano). Kwa kuongeza, kati ya equations kamili za quadratic kuna kupewa- hizi ni equations ambazo mgawo (equation kutoka kwa mfano moja sio kamili tu, lakini pia imepunguzwa!)

Milinganyo ya quadratic isiyo kamili- milinganyo ambapo mgawo na au neno huru c ni sawa na sifuri:
Hazijakamilika kwa sababu zinakosa kipengele fulani. Lakini equation lazima iwe na x mraba kila wakati !!! Vinginevyo, haitakuwa tena equation ya quadratic, lakini equation nyingine.

Kwa nini walikuja na mgawanyiko huo? Inaweza kuonekana kuwa kuna X yenye mraba, na sawa. Mgawanyiko huu umedhamiriwa na njia za suluhisho. Hebu tuangalie kila mmoja wao kwa undani zaidi.

Kutatua milinganyo ya quadratic isiyokamilika

Kwanza, hebu tuzingatie kutatua milinganyo ya quadratic isiyokamilika - ni rahisi zaidi!

Kuna aina za milinganyo ya quadratic isiyokamilika:

, katika mlinganyo huu mgawo ni sawa.
, katika mlingano huu neno huru ni sawa na.
, katika mlinganyo huu mgawo na neno huria ni sawa.

1. i. Kwa sababu tunajua jinsi ya kuchimba Kipeo, basi hebu tueleze kutoka kwa mlinganyo huu

Usemi huo unaweza kuwa hasi au chanya. Nambari ya mraba haiwezi kuwa mbaya, kwa sababu wakati wa kuzidisha nambari mbili hasi au mbili chanya, matokeo yatakuwa nambari chanya kila wakati, kwa hivyo: ikiwa, basi equation haina suluhisho.

Na ikiwa, basi tunapata mizizi miwili. Hakuna haja ya kukariri fomula hizi. Jambo kuu ni kwamba lazima ujue na kukumbuka daima kwamba haiwezi kuwa chini.

Hebu jaribu kutatua baadhi ya mifano.

Mfano 5:

Tatua mlinganyo

Sasa kinachobakia ni kutoa mzizi kutoka pande za kushoto na kulia. Baada ya yote, unakumbuka jinsi ya kuchimba mizizi?

Jibu:

Usisahau kamwe kuhusu mizizi yenye ishara hasi !!!

Mfano 6:

Tatua mlinganyo

Jibu:

Mfano 7:

Tatua mlinganyo

Lo! Mraba wa nambari hauwezi kuwa hasi, ambayo ina maana kwamba equation

hakuna mizizi!

Kwa hesabu kama hizo ambazo hazina mizizi, wanahisabati walikuja na ikoni maalum - (seti tupu). Na jibu linaweza kuandikwa kama hii:

Jibu:

Kwa hivyo, equation hii ya quadratic ina mizizi miwili. Hakuna vikwazo hapa, kwani hatukuondoa mzizi.
Mfano 8:

Tatua mlinganyo

Wacha tutoe sababu ya kawaida kutoka kwa mabano:

Hivyo,

Equation hii ina mizizi miwili.

Jibu:

Aina rahisi zaidi ya milinganyo ya quadratic isiyokamilika (ingawa zote ni rahisi, sivyo?). Ni wazi, equation hii kila wakati ina mzizi mmoja tu:

Tutatoa mifano hapa.

Kutatua milinganyo kamili ya quadratic

Tunakukumbusha kwamba equation kamili ya quadratic ni equation ya fomu ya equation ambapo

Kutatua milinganyo kamili ya quadratic ni ngumu zaidi (kidogo tu) kuliko hizi.

Kumbuka, Equation yoyote ya quadratic inaweza kutatuliwa kwa kutumia kibaguzi! Hata haijakamilika.

Njia zingine zitakusaidia kuifanya haraka, lakini ikiwa una shida na hesabu za quadratic, kwanza bwana suluhisho kwa kutumia kibaguzi.

1. Kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia kibaguzi.

Kutatua hesabu za quadratic kwa kutumia njia hii ni rahisi sana;

Ikiwa, basi equation ina mizizi. Tahadhari maalum chukua hatua. Kibaguzi () hutuambia idadi ya mizizi ya mlinganyo.

Ikiwa, basi formula katika hatua itapunguzwa. Kwa hivyo, equation itakuwa na mzizi tu.
Ikiwa, basi hatutaweza kutoa mzizi wa kibaguzi katika hatua hiyo. Hii inaonyesha kuwa equation haina mizizi.

Wacha turudi kwenye milinganyo yetu na tuangalie mifano kadhaa.

Mfano 9:

Tatua mlinganyo

Hatua ya 1 tunaruka.

Hatua ya 2.

Tunapata ubaguzi:

Hii ina maana kwamba equation ina mizizi miwili.

Hatua ya 3.

Jibu:

Mfano 10:

Tatua mlinganyo

Equation imewasilishwa kwa fomu ya kawaida, hivyo Hatua ya 1 tunaruka.

Hatua ya 2.

Tunapata ubaguzi:

Hii ina maana kwamba equation ina mizizi moja.

Jibu:

Mfano 11:

Tatua mlinganyo

Equation imewasilishwa kwa fomu ya kawaida, hivyo Hatua ya 1 tunaruka.

Hatua ya 2.

Tunapata ubaguzi:

Hii ina maana hatutaweza kung'oa mzizi wa kibaguzi. Hakuna mizizi ya equation.

Sasa tunajua jinsi ya kuandika majibu kama haya kwa usahihi.

Jibu: hakuna mizizi

2. Kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia nadharia ya Vieta.

Ikiwa unakumbuka, kuna aina ya equation inayoitwa kupunguzwa (wakati mgawo a ni sawa na):

Milinganyo kama hii ni rahisi sana kusuluhisha kwa kutumia nadharia ya Vieta:

Jumla ya mizizi kupewa equation ya quadratic ni sawa, na bidhaa ya mizizi ni sawa.

Mfano 12:

Tatua mlinganyo

Mlinganyo huu unaweza kutatuliwa kwa kutumia nadharia ya Vieta kwa sababu .

Jumla ya mizizi ya equation ni sawa, i.e. tunapata equation ya kwanza:

Na bidhaa ni sawa na:

Wacha tuunde na tusuluhishe mfumo:

Na. Kiasi ni sawa na;
Na. Kiasi ni sawa na;
Na. Kiasi ni sawa.

na ndio suluhisho la mfumo:

Jibu: ; .

Mfano 13:

Tatua mlinganyo

Jibu:

Mfano 14:

Tatua mlinganyo

Equation imetolewa, ambayo inamaanisha:

Jibu:

QUADRATIC EQUATIONS. KIWANGO CHA WASTANI

Mlinganyo wa quadratic ni nini?

Kwa maneno mengine, equation ya quadratic ni equation ya fomu, ambapo - haijulikani, - idadi fulani, na.

Nambari inaitwa ya juu zaidi au mgawo wa kwanza mlinganyo wa quadratic, - mgawo wa pili, A - mwanachama huru.

Kwa nini? Kwa sababu ikiwa equation mara moja inakuwa ya mstari, kwa sababu itatoweka.

Katika kesi hii, na inaweza kuwa sawa na sifuri. Katika kiti hiki equation inaitwa haijakamilika. Ikiwa masharti yote yamewekwa, yaani, equation imekamilika.

Ufumbuzi wa aina mbalimbali za milinganyo ya quadratic

Njia za kutatua milinganyo isiyokamilika ya quadratic:

Kwanza, hebu tuangalie njia za kutatua equations zisizo kamili za quadratic - ni rahisi zaidi.

Tunaweza kutofautisha aina zifuatazo za equations:

I., katika mlinganyo huu mgawo na neno huru ni sawa.

II. , katika mlinganyo huu mgawo ni sawa.

III. , katika mlingano huu neno huru ni sawa na.

Sasa hebu tuangalie suluhisho kwa kila aina ndogo hizi.

Ni wazi, equation hii kila wakati ina mzizi mmoja tu:

Nambari ya mraba haiwezi kuwa hasi, kwa sababu unapozidisha nambari mbili hasi au mbili, matokeo yatakuwa nambari chanya kila wakati. Ndiyo maana:

ikiwa, basi equation haina ufumbuzi;

ikiwa tuna mizizi miwili

Hakuna haja ya kukariri fomula hizi. Jambo kuu la kukumbuka ni kwamba haiwezi kuwa chini.

Mifano:

Ufumbuzi:

Jibu:

Usisahau kamwe kuhusu mizizi yenye ishara hasi!

Mraba wa nambari hauwezi kuwa hasi, ambayo ina maana kwamba equation

hakuna mizizi.

Ili kuandika kwa ufupi kuwa tatizo halina suluhu, tunatumia ikoni ya kuweka tupu.

Jibu:

Kwa hivyo, equation hii ina mizizi miwili: na.

Jibu:

Wacha tutoe sababu ya kawaida kutoka kwa mabano:

Bidhaa ni sawa na sifuri ikiwa angalau moja ya sababu ni sawa na sifuri. Hii inamaanisha kuwa equation ina suluhisho wakati:

Kwa hivyo, equation hii ya quadratic ina mizizi miwili: na.

Mfano:

Tatua mlinganyo.

Suluhisho:

Wacha tuangalie upande wa kushoto wa equation na tupate mizizi:

Jibu:

Njia za kutatua hesabu kamili za quadratic:

1. Mbaguzi

Kutatua hesabu za quadratic kwa njia hii ni rahisi, jambo kuu ni kukumbuka mlolongo wa vitendo na fomula kadhaa. Kumbuka, mlinganyo wowote wa quadratic unaweza kutatuliwa kwa kutumia kibaguzi! Hata haijakamilika.

Umeona mzizi kutoka kwa kibaguzi katika fomula ya mizizi? Lakini ubaguzi unaweza kuwa mbaya. Nini cha kufanya? Tunahitaji kulipa kipaumbele maalum kwa hatua ya 2. Mbaguzi anatuambia idadi ya mizizi ya equation.

Ikiwa, basi equation ina mizizi:
Ikiwa, basi equation ina mizizi sawa, na kwa kweli, mzizi mmoja:
Mizizi hiyo inaitwa mizizi mara mbili.
Ikiwa, basi mzizi wa kibaguzi haujatolewa. Hii inaonyesha kuwa equation haina mizizi.

Kwa nini inawezekana kiasi tofauti mizizi? Hebu tugeukie maana ya kijiometri mlinganyo wa quadratic. Grafu ya kazi ni parabola:

Katika kesi maalum, ambayo ni equation ya quadratic,. Hii ina maana kwamba mizizi ya equation ya quadratic ni pointi za makutano na mhimili wa abscissa (mhimili). Parabola inaweza isiingiliane na mhimili hata kidogo, au inaweza kuikata kwa moja (wakati kipeo cha parabola kiko kwenye mhimili) au pointi mbili.

Kwa kuongeza, mgawo ni wajibu wa mwelekeo wa matawi ya parabola. Ikiwa, basi matawi ya parabola yanaelekezwa juu, na ikiwa, basi chini.

Mifano:

Ufumbuzi:

Jibu:

Jibu:.

Jibu:

Hii inamaanisha kuwa hakuna suluhisho.

Jibu:.

2. Nadharia ya Vieta

Ni rahisi sana kutumia theorem ya Vieta: unahitaji tu kuchagua jozi ya nambari ambazo bidhaa ni sawa na muda wa bure wa equation, na jumla ni sawa na mgawo wa pili uliochukuliwa na ishara kinyume.

Ni muhimu kukumbuka kuwa nadharia ya Vieta inaweza kutumika tu ndani milinganyo ya quadratic iliyopunguzwa ().

Hebu tuangalie mifano michache:

Mfano #1:

Tatua mlinganyo.

Suluhisho:

Mlinganyo huu unaweza kutatuliwa kwa kutumia nadharia ya Vieta kwa sababu . Coefficients nyingine:; .

Jumla ya mizizi ya equation ni:

Na bidhaa ni sawa na:

Wacha tuchague jozi za nambari ambazo bidhaa yake ni sawa na tuangalie ikiwa jumla yao ni sawa:

Na. Kiasi ni sawa na;
Na. Kiasi ni sawa na;
Na. Kiasi ni sawa.

na ndio suluhisho la mfumo:

Hivyo, na ni mizizi ya equation yetu.

Jibu:; .

Mfano #2:

Suluhisho:

Wacha tuchague jozi za nambari zinazotolewa kwenye bidhaa, kisha angalia ikiwa jumla yao ni sawa:

na: wanatoa kwa jumla.

na: wanatoa kwa jumla. Ili kupata, inatosha kubadilisha tu ishara za mizizi inayodhaniwa: na, baada ya yote, bidhaa.

Jibu:

Mfano #3:

Suluhisho:

Neno la bure la equation ni hasi, na kwa hiyo bidhaa ya mizizi ni nambari hasi. Hii inawezekana tu ikiwa moja ya mizizi ni hasi na nyingine ni chanya. Kwa hivyo jumla ya mizizi ni sawa na tofauti za moduli zao.

Wacha tuchague jozi za nambari zinazotoa katika bidhaa, na ambazo tofauti zake ni sawa na:

na: tofauti yao ni sawa - haifai;

na: - haifai;

na: - yanafaa. Yote iliyobaki ni kukumbuka kuwa moja ya mizizi ni hasi. Kwa kuwa jumla yao lazima iwe sawa, mzizi ulio na moduli ndogo lazima uwe hasi: . Tunaangalia:

Jibu:

Mfano #4:

Tatua mlinganyo.

Suluhisho:

Equation imetolewa, ambayo inamaanisha:

Neno la bure ni hasi, na kwa hiyo bidhaa ya mizizi ni hasi. Na hii inawezekana tu wakati mzizi mmoja wa equation ni hasi na mwingine ni chanya.

Wacha tuchague jozi za nambari ambazo bidhaa ni sawa, na kisha tuamue ni mizizi gani inapaswa kuwa na ishara mbaya:

Ni wazi, mizizi tu na inafaa kwa hali ya kwanza:

Jibu:

Mfano #5:

Tatua mlinganyo.

Suluhisho:

Equation imetolewa, ambayo inamaanisha:

Jumla ya mizizi ni hasi, ambayo ina maana kwamba angalau moja ya mizizi ni hasi. Lakini kwa kuwa bidhaa zao ni chanya, inamaanisha kuwa mizizi yote miwili ina alama ya minus.

Wacha tuchague jozi za nambari ambazo bidhaa yake ni sawa na:

Kwa wazi, mizizi ni nambari na.

Jibu:

Kukubaliana, ni rahisi sana kuja na mizizi kwa mdomo, badala ya kuhesabu ubaguzi huu mbaya. Jaribu kutumia nadharia ya Vieta mara nyingi iwezekanavyo.

Lakini nadharia ya Vieta inahitajika ili kuwezesha na kuharakisha kupata mizizi. Ili uweze kufaidika kwa kuitumia, lazima ulete vitendo kwa otomatiki. Na kwa hili, suluhisha mifano mitano zaidi. Lakini usidanganye: huwezi kutumia kibaguzi! Nadharia ya Vieta pekee:

Suluhisho la kazi kwa kazi ya kujitegemea:

Kazi ya 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Kulingana na nadharia ya Vieta:

Kama kawaida, tunaanza uteuzi na kipande:

Haifai kwa sababu kiasi;

: kiasi ni kile unachohitaji.

Jibu:; .

Jukumu la 2.

Na tena nadharia yetu tunayopenda ya Vieta: jumla lazima iwe sawa, na bidhaa lazima iwe sawa.

Lakini kwa kuwa ni lazima sio, lakini, tunabadilisha ishara za mizizi: na (kwa jumla).

Jibu:; .

Jukumu la 3.

Hmm... Hiyo iko wapi?

Unahitaji kuhamisha masharti yote katika sehemu moja:

Jumla ya mizizi ni sawa na bidhaa.

Sawa, acha! Equation haijatolewa. Lakini nadharia ya Vieta inatumika tu katika milinganyo uliyopewa. Kwa hivyo, kwanza unahitaji kutoa equation. Ikiwa huwezi kuongoza, toa wazo hili na uitatue kwa njia nyingine (kwa mfano, kwa njia ya kibaguzi). Acha nikukumbushe kwamba kutoa mlinganyo wa quadratic inamaanisha kufanya mgawo unaoongoza kuwa sawa:

Kubwa. Kisha jumla ya mizizi ni sawa na bidhaa.

Hapa ni rahisi kuchagua pears kama makombora: baada ya yote, ni nambari kuu (samahani kwa tautology).

Jibu:; .

Jukumu la 4.

Mwanachama huru ni hasi. Nini maalum kuhusu hili? Na ukweli ni kwamba mizizi itakuwa na ishara tofauti. Na sasa, wakati wa uteuzi, hatuangalie jumla ya mizizi, lakini tofauti katika modules zao: tofauti hii ni sawa, lakini bidhaa.

Kwa hivyo, mizizi ni sawa na, lakini moja yao ni minus. Nadharia ya Vieta inatuambia kwamba jumla ya mizizi ni sawa na mgawo wa pili na ishara kinyume, yaani. Hii ina maana kwamba mzizi mdogo utakuwa na minus: na, tangu.

Jibu:; .

Jukumu la 5.

Unapaswa kufanya nini kwanza? Hiyo ni kweli, toa equation:

Tena: tunachagua sababu za nambari, na tofauti zao zinapaswa kuwa sawa na:

Mizizi ni sawa na, lakini mmoja wao ni minus. Ambayo? Jumla yao inapaswa kuwa sawa, ambayo inamaanisha kuwa minus itakuwa na mzizi mkubwa.

Jibu:; .

Acha nifanye muhtasari:

Nadharia ya Vieta inatumika tu katika milinganyo ya quadratic iliyotolewa.
Kwa kutumia nadharia ya Vieta, unaweza kupata mizizi kwa uteuzi, kwa mdomo.
Ikiwa equation haijatolewa au hakuna jozi inayofaa ya mambo ya muda wa bure hupatikana, basi hakuna mizizi nzima, na unahitaji kutatua kwa njia nyingine (kwa mfano, kwa njia ya kibaguzi).

3. Njia ya kuchagua mraba kamili

Ikiwa maneno yote yaliyo na yasiyojulikana yanawakilishwa katika mfumo wa maneno kutoka kwa fomula zilizofupishwa za kuzidisha - mraba wa jumla au tofauti - kisha baada ya kuchukua nafasi ya vigeu, equation inaweza kuwasilishwa kwa namna ya equation ya quadratic isiyo kamili ya aina.

Kwa mfano:

Mfano 1:

Tatua mlingano:.

Suluhisho:

Jibu:

Mfano 2:

Tatua mlingano:.

Suluhisho:

Jibu:

Kwa ujumla, mabadiliko yataonekana kama hii:

Hii ina maana:.

Je, hukukumbusha chochote? Hili ni jambo la ubaguzi! Ndivyo tulivyopata fomula ya kibaguzi.

QUADRATIC EQUATIONS. KWA UFUPI KUHUSU MAMBO MAKUU

Mlinganyo wa Quadratic- hii ni equation ya fomu, ambapo - haijulikani, - coefficients ya equation quadratic, - muda wa bure.

Mlinganyo kamili wa quadratic- equation ambayo coefficients si sawa na sifuri.

Ilipunguza equation ya quadratic- equation ambayo mgawo, yaani:.

Mlinganyo wa quadratic usio kamili- mlinganyo ambapo mgawo na au neno huru c ni sawa na sifuri:

ikiwa mgawo, equation inaonekana kama:,
ikiwa kuna neno huru, equation ina fomu: ,
ikiwa na, equation inaonekana kama: .

1. Algorithm ya kutatua milinganyo ya quadratic isiyokamilika

1.1. Mlinganyo wa quadratic usio kamili wa fomu, ambapo,:

1) Wacha tueleze haijulikani:,

2) Angalia ishara ya usemi:

ikiwa, basi equation haina suluhu,
ikiwa, basi equation ina mizizi miwili.

1.2. Mlinganyo wa quadratic usio kamili wa fomu, ambapo,:

1) Wacha tutoe sababu ya kawaida kutoka kwa mabano:,

2) Bidhaa ni sawa na sifuri ikiwa angalau moja ya sababu ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, equation ina mizizi miwili:

1.3. Mlinganyo usio kamili wa fomu ya quadratic, ambapo:

Mlinganyo huu daima huwa na mzizi mmoja tu:.

2. Algorithm ya kutatua milinganyo kamili ya quadratic ya fomu ambapo

2.1. Suluhisho kwa kutumia ubaguzi

1) Wacha tulete equation kwa fomu ya kawaida: ,

2) Wacha tuhesabu kibaguzi kwa kutumia formula: , ambayo inaonyesha idadi ya mizizi ya equation:

3) Tafuta mizizi ya equation:

ikiwa, basi equation ina mizizi, ambayo hupatikana na formula:
ikiwa, basi equation ina mzizi, ambayo hupatikana na formula:
ikiwa, basi equation haina mizizi.

2.2. Suluhisho kwa kutumia nadharia ya Vieta

Jumla ya mizizi ya equation iliyopunguzwa ya quadratic (equation ya fomu ambapo) ni sawa, na bidhaa za mizizi ni sawa, i.e. , A.

2.3. Suluhisho kwa njia ya kuchagua mraba kamili