Kiunga cha curvilinear cha aina ya 1 kando ya kontua iliyofungwa. MA

Tatizo la uzito wa Curve. Acha katika kila sehemu ya mkunjo laini wa nyenzo L: (AB) ubainishwe msongamano wake. Kuamua wingi wa curve.

Wacha tuendelee kwa njia ile ile kama tulivyofanya wakati wa kuamua wingi wa eneo la gorofa ( mara mbili muhimu) na mwili wa anga (muhimu wa tatu).

1. Tunapanga ugawaji wa eneo-arc L katika vipengele - arcs za msingi ili vipengele hivi visiwe na kawaida pointi za ndani Na
(hali A )

2. Wacha tuweke alama "alama zilizowekwa" M i kwenye vitu vya kizigeu na tuhesabu maadili ya kazi ndani yao.

3. Hebu tutengeneze jumla ya jumla
, Wapi - urefu wa arc (kawaida vidokezo sawa vinaletwa kwa arc na urefu wake). Hii ni thamani ya takriban kwa wingi wa curve. Urahisishaji ni kwamba tulidhani msongamano wa arc kuwa thabiti katika kila kipengele na tukachukua idadi maalum ya vipengele.

Kusonga hadi kikomo kilichotolewa
(hali B ), tunapata kiunganishi cha curvilinear cha aina ya kwanza kama kikomo cha hesabu muhimu:

.

Nadharia ya kuwepo 10 .

Hebu kazi
inaendelea kwenye safu laini ya L 11. Kisha mstari muhimu wa aina ya kwanza upo kama kikomo cha hesabu muhimu.

Maoni. Kikomo hiki hakitegemei

njia ya kuchagua kizigeu, mradi tu hali A imeridhika

kuchagua "pointi zilizowekwa alama" kwenye vipengele vya kizigeu,

njia ya kusafisha kizigeu, mradi tu hali B imeridhika

Mali ya kiunga cha curvilinear ya aina ya kwanza.

1. Linearity a) mali ya juu

b) mali ya homogeneity
.

Ushahidi. Wacha tuandike hesabu kamili za viambatanisho kwenye pande za kushoto za usawa. Kwa kuwa jumla ya jumla ina idadi maalum ya masharti, tunaendelea na jumla ya jumla ya pande za kulia za usawa. Kisha tunapita hadi kikomo, kwa nadharia juu ya kifungu hadi kikomo katika usawa tunapata matokeo yaliyotarajiwa.

2. Kuongeza. Kama
, Hiyo
=
+

Ushahidi. Wacha tuchague kizigeu cha mkoa L ili hakuna hata moja ya vitu vya kizigeu (hapo awali na wakati wa kusafisha kizigeu) ina vitu vyote viwili L 1 na vitu L 2 kwa wakati mmoja. Hii inaweza kufanywa kwa kutumia nadharia ya uwepo (maoni kwa nadharia). Ifuatayo, uthibitisho unafanywa kupitia hesabu kamili, kama katika aya ya 1.

3.
.Hapa - urefu wa arc .

4. Ikiwa kwenye arc kukosekana kwa usawa ni kuridhika, basi

Ushahidi. Wacha tuandike ukosefu wa usawa kwa hesabu muhimu na tuendelee hadi kikomo.

Kumbuka kwamba, hasa, inawezekana

5. Nadharia ya makadirio.

Ikiwa thabiti zipo
, kitu

Ushahidi. Kuunganisha usawa
(mali 4), tunapata
. Kwa mali 1 ya mara kwa mara
inaweza kuchukuliwa kutoka chini ya viungo. Kutumia mali 3, tunapata matokeo yaliyohitajika.

6. Nadharia ya maana ya thamani(thamani ya kiungo).

Kuna uhakika
, Nini

Ushahidi. Tangu utendaji
inayoendelea kwenye iliyofungwa seti ndogo, basi infimum yake ipo
na makali ya juu
. Ukosefu wa usawa umeridhika. Kugawanya pande zote mbili na L, tunapata
. Lakini idadi
iliyofungwa kati ya chini na makali ya juu kazi. Tangu utendaji
inaendelea kwenye seti iliyofungwa ya L, kisha kwa wakati fulani
kazi lazima ikubali thamani hii. Kwa hivyo,
.

Muhadhara wa 5 Viunga vya curvilinear vya aina ya 1 na ya 2, mali zao.

Tatizo la uzito wa Curve. Mchanganyiko wa Curvilinear wa aina ya 1.

Tatizo la uzito wa Curve. Acha katika kila sehemu ya mkunjo laini wa nyenzo L: (AB) ubainishwe msongamano wake. Kuamua wingi wa curve.

Wacha tuendelee kwa njia ile ile kama tulivyofanya wakati wa kuamua wingi wa eneo la gorofa (muhimu mara mbili) na mwili wa anga (muhimu wa tatu).

1. Tunapanga kizigeu cha eneo la arc L kuwa vitu - safu za msingi ili vitu hivi visiwe na alama za kawaida za ndani na( hali A )

3. Tengeneza jumla ya jumla , ambapo urefu wa arc (kawaida nukuu sawa huletwa kwa arc na urefu wake). Hii ni thamani ya takriban kwa wingi wa curve. Urahisishaji ni kwamba tulidhani msongamano wa arc kuwa thabiti katika kila kipengele na tukachukua idadi maalum ya vipengele.

Kusonga hadi kikomo kilichotolewa (hali B ), tunapata kiunganishi cha curvilinear cha aina ya kwanza kama kikomo cha hesabu muhimu:

.

Nadharia ya kuwepo.

Wacha kitendakazi kiendelee kwenye safu laini ya kipande L. Kisha mstari muunganisho wa aina ya kwanza upo kama kikomo cha hesabu kamili.

Maoni. Kikomo hiki hakitegemei

Mali ya kiunga cha curvilinear ya aina ya kwanza.

1. Linearity
a) mali ya juu

b) mali ya homogeneity .

Ushahidi. Wacha tuandike hesabu kamili za viambatanisho kwenye pande za kushoto za usawa. Kwa kuwa jumla ya jumla ina idadi maalum ya masharti, tunaendelea na jumla ya jumla ya pande za kulia za usawa. Kisha tunapita hadi kikomo, kwa kutumia theorem juu ya kifungu hadi kikomo katika usawa, tunapata matokeo yaliyohitajika.

2. Kuongeza.
Kama , Hiyo = +

3. Hapa ni urefu wa arc.

4. Ikiwa usawa ni kuridhika kwenye arc, basi

Ushahidi. Hebu tuandike ukosefu wa usawa kwa hesabu muhimu na tuendelee hadi kikomo.

Kumbuka kwamba, hasa, inawezekana

5. Nadharia ya makadirio.

Ikiwa kuna mara kwa mara hiyo, basi

Ushahidi. Kuunganisha usawa (mali 4), tunapata . Kwa mali 1, viunga vinaweza kuondolewa kutoka kwa viunga. Kutumia mali 3, tunapata matokeo yaliyohitajika.

6. Nadharia ya maana ya thamani(thamani ya kiungo).

Kuna uhakika , Nini

Ushahidi. Kwa kuwa kazi inaendelea kwenye seti iliyofungwa iliyofungwa, basi infimum yake ipo na makali ya juu . Ukosefu wa usawa umeridhika. Kugawanya pande zote mbili na L, tunapata . Lakini idadi iliyofungwa kati ya mipaka ya chini na ya juu ya chaguo la kukokotoa. Kwa kuwa kazi inaendelea kwenye seti iliyofungwa iliyofungwa L, basi wakati fulani kazi lazima ichukue thamani hii. Kwa hivyo, .

Uhesabuji wa kiunganishi cha curvilinear cha aina ya kwanza.

Hebu tufanye parameter ya arc L: AB x = x (t), y = y (t), z =z (t). Acha t 0 ilingane na nukta A, na t 1 iendane na nukta B. Kisha mstari muhimu wa aina ya kwanza unapunguza hadi uhakika muhimu (- formula inayojulikana kutoka muhula wa 1 kwa kuhesabu tofauti ya urefu wa arc):

Mfano. Kuhesabu wingi wa zamu moja ya homogeneous (wiani sawa na k) helix: .

Mchanganyiko wa Curvilinear wa aina ya 2.

Tatizo la kazi ya nguvu.

Nguvu inazalisha kazi ngapi?F(M) wakati wa kusonga hatuaMkando ya arcAB? Ikiwa arc AB ilikuwa sehemu ya mstari wa moja kwa moja, na nguvu ilikuwa mara kwa mara katika ukubwa na mwelekeo wakati wa kusonga hatua M pamoja na arc AB, basi kazi inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula , ambapo ni angle kati ya vectors. KATIKA kesi ya jumla fomula hii inaweza kutumika kuunda jumla muhimu, ikichukua nguvu ya mara kwa mara kwenye kipengele cha safu ya urefu mdogo wa kutosha. Badala ya urefu wa kipengele kidogo cha arc, unaweza kuchukua urefu wa chord kuipunguza, kwa kuwa kiasi hiki ni sawa na kiasi cha chini chini ya hali (muhula wa kwanza).

1. Tunapanga mgawanyiko wa kanda-arc AB katika vipengele - safu za msingi ili vipengele hivi visiwe na pointi za kawaida za ndani na( hali A )

2. Wacha tuweke alama "alama zilizowekwa" M i kwenye vitu vya kizigeu na tuhesabu maadili ya kazi ndani yao.

3. Hebu tutengeneze jumla ya jumla , vekta inaelekezwa wapi kando ya gumzo inayopunguza -arc .

4. Kwenda kwa kikomo kilichotolewa (hali B ), tunapata kiunganishi cha curvilinear cha aina ya pili kama kikomo cha hesabu muhimu (na kazi ya nguvu):

. Mara nyingi huashiria

Nadharia ya kuwepo.

Wacha kitendaji cha vekta kiendelee kwenye safu laini ya kipande L. Kisha kiunganishi cha curvilinear cha aina ya pili kinakuwepo kama kikomo cha hesabu kamili.

.

Maoni. Kikomo hiki hakitegemei

Njia ya kuchagua kizigeu, mradi tu hali A imeridhika

Kuchagua "pointi zilizowekwa alama" kwenye vipengele vya kizigeu,

Njia ya kusafisha kizigeu, mradi tu hali B imeridhika

Sifa za kiunganishi cha curvilinear cha aina ya 2.

1. Linearity
a) mali ya juu

b) mali ya homogeneity .

Ushahidi. Wacha tuandike hesabu kamili za viambatanisho kwenye pande za kushoto za usawa. Kwa kuwa katika jumla ya jumla idadi ya masharti ni ya mwisho, kwa kutumia mali bidhaa ya nukta, wacha tuendelee kwenye hesabu muhimu za pande za kulia za usawa. Kisha tunapita hadi kikomo, kwa kutumia theorem juu ya kifungu hadi kikomo katika usawa, tunapata matokeo yaliyohitajika.

2. Kuongeza.
Kama , Hiyo = + .

Ushahidi. Hebu tuchague kizigeu cha kanda L ili hakuna vipengele vya kizigeu (hapo awali na wakati wa kusafisha kizigeu) wakati huo huo kina vitu vyote viwili L 1 na vitu L 2. Hii inaweza kufanywa kwa kutumia nadharia ya uwepo (maoni kwa nadharia). Ifuatayo, uthibitisho unafanywa kupitia hesabu kamili, kama katika aya ya 1.

3. Mwelekeo.

= -

Ushahidi. Muhimu juu ya arc -L, i.e. katika mwelekeo mbaya wa kuvuka arc kuna kikomo cha hesabu muhimu katika masharti ambayo kuna () badala yake. Kuchukua "minus" kutoka kwa bidhaa ya scalar na kutoka kwa jumla nambari ya mwisho masharti, kupita kwa kikomo, tunapata matokeo yanayohitajika.

Kima cha chini cha kinadharia

Viungo vya curvilinear na uso mara nyingi hupatikana katika fizikia. Wanakuja katika aina mbili, ya kwanza ambayo inajadiliwa hapa. Hii
aina ya viambatanisho hujengwa kulingana na mpango wa jumla, ambayo viungo vya uhakika, mara mbili na tatu vinaletwa. Wacha tukumbuke mpango huu kwa ufupi.
Kuna kitu ambacho ujumuishaji unafanywa (mwenye-dimensional, mbili-dimensional au tatu-dimensional). Kitu hiki kimegawanywa katika sehemu ndogo,
hatua imechaguliwa katika kila sehemu. Katika kila moja ya pointi hizi, thamani ya integrand huhesabiwa na kuzidishwa na kipimo cha sehemu hiyo
ni mali kupewa point(urefu wa sehemu, eneo au ujazo wa eneo la sehemu). Kisha bidhaa zote kama hizo zinafupishwa na kikomo kinaridhika
mpito hadi kuvunja kitu katika sehemu zisizo na kikomo. Kikomo kinachosababishwa kinaitwa muhimu.

1. Ufafanuzi wa kiungo cha curvilinear cha aina ya kwanza

Wacha tuzingatie kazi iliyofafanuliwa kwenye curve. Curve inachukuliwa kuwa inaweza kurekebishwa. Wacha tukumbuke hii inamaanisha nini, kwa kusema,
kwamba mstari uliovunjika na viungo vidogo vya kiholela unaweza kuandikwa kwenye curve, na katika kikomo hauna kikomo. idadi kubwa viungo, urefu wa mstari uliovunjika unapaswa kubaki
mwisho. Curve imegawanywa katika safu za urefu wa sehemu na hatua huchaguliwa kwenye kila safu. Kazi inaandaliwa
muhtasari unafanywa juu ya safu zote za sehemu . Kisha kifungu hadi kikomo kinafanywa kwa mwelekeo wa urefu wa mkubwa zaidi
kutoka arcs sehemu hadi sifuri. Kikomo ni kiungo cha curvilinear cha aina ya kwanza
.
Kipengele muhimu cha kiungo hiki, ambacho kinafuata moja kwa moja kutoka kwa ufafanuzi wake, ni uhuru wake kutoka kwa mwelekeo wa ushirikiano, i.e.
.

2. Ufafanuzi wa kiunga cha uso wa aina ya kwanza

Zingatia chaguo la kukokotoa lililofafanuliwa kwenye uso laini au laini. Uso huo umegawanywa katika maeneo ya sehemu
na maeneo, hatua huchaguliwa katika kila eneo kama hilo. Kazi inaandaliwa , majumuisho yanafanywa
katika maeneo yote ya sehemu . Kisha kifungu hadi kikomo kinafanywa na tabia ya kipenyo cha kubwa zaidi ya sehemu zote
maeneo hadi sifuri. Kikomo ni kiungo cha uso cha aina ya kwanza
.

3. Uhesabuji wa kiunganishi cha curvilinear cha aina ya kwanza

Njia ya kuhesabu kiunga cha curvilinear ya aina ya kwanza inaweza kuonekana tayari kutoka kwa nukuu yake rasmi, lakini kwa kweli hufuata moja kwa moja kutoka.
ufafanuzi. Muhimu hupunguzwa hadi moja ya uhakika; unahitaji tu kuandika tofauti ya arc ya curve ambayo ushirikiano unafanywa.
Hebu tuanze na kesi rahisi ujumuishaji kando ya curve ya ndege iliyotolewa mlinganyo wa wazi. Katika kesi hii, tofauti ya arc
.
Kisha mabadiliko ya kutofautiana yanafanywa katika integrand, na muhimu inachukua fomu
,
ambapo sehemu inalingana na mabadiliko ya kigezo pamoja na sehemu hiyo ya curve ambayo ujumuishaji unafanywa.

Mara nyingi sana curve inatajwa parametrically, i.e. milinganyo ya fomu Kisha tofauti ya arc
.
Fomula hii inahesabiwa haki kwa urahisi sana. Kimsingi, hii ni nadharia ya Pythagorean. Tofauti ya arc kwa kweli ni urefu wa sehemu isiyo na kikomo ya curve.
Ikiwa curve ni laini, basi sehemu yake isiyo na kikomo inaweza kuchukuliwa kuwa ya mstatili. Kwa mstari wa moja kwa moja tuna uhusiano
.
Ili ifanyike kwa safu ndogo ya curve, mtu anapaswa kuhama kutoka kwa nyongeza ndogo hadi kwa tofauti:
.
Ikiwa Curve imeainishwa kwa usawa, basi tofauti zinahesabiwa tu:
na kadhalika.
Ipasavyo, baada ya kubadilisha vigeu kwenye kiunganishi, kiunganishi cha curve kinahesabiwa kama ifuatavyo:
,
ambapo sehemu ya curve ambayo ushirikiano unafanywa inafanana na sehemu ya mabadiliko ya parameter.

Hali ni ngumu zaidi katika kesi wakati curve imeainishwa katika kuratibu za curvilinear. Suala hili kawaida hujadiliwa ndani ya mfumo wa tofauti
jiometri. Wacha tupe fomula ya kuhesabu kiunga kando ya curve iliyotolewa kuratibu za polar mlingano:
.
Tutatoa pia mantiki ya tofauti ya arc katika kuratibu za polar. Majadiliano ya kina ya ujenzi wa gridi ya taifa mfumo wa polar kuratibu
sentimita. . Wacha tuchague safu ndogo ya curve inayohusiana na mistari ya kuratibu kama inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 1. Kutokana na udogo wa wote walioangaziwa
arc tena tunaweza kutumia nadharia ya Pythagorean na kuandika:
.
Kuanzia hapa hufuata usemi unaotaka wa kutofautisha kwa arc.

Na safi uhakika wa kinadharia Kwa mtazamo wa kuona, inatosha kuelewa tu kwamba kiunga cha curvilinear cha aina ya kwanza lazima kipunguzwe kwa kesi yake maalum -
kwa kiungo dhahiri. Kwa kweli, kwa kufanya mabadiliko yaliyoagizwa na parameterization ya curve ambayo kiunganishi kinahesabiwa, tunaanzisha
ramani ya moja hadi moja kati ya sehemu ya curve iliyotolewa na sehemu ya mabadiliko ya kigezo. Na hii ni kupunguzwa kwa muhimu
pamoja na mstari wa moja kwa moja unaoendana na mhimili wa kuratibu- kiungo cha uhakika.

4. Uhesabuji wa kiunga cha uso wa aina ya kwanza

Baada ya nukta iliyotangulia, inapaswa kuwa wazi kuwa moja ya sehemu kuu za kuhesabu kiunga cha uso wa aina ya kwanza ni kuandika kitu cha uso,
ambayo ujumuishaji unafanywa. Tena, wacha tuanze na kisa rahisi cha uso unaofafanuliwa na mlinganyo wa wazi. Kisha
.
Uingizwaji hufanywa kwenye kiunganishi, na kiunga cha uso kinapunguzwa hadi mara mbili:
,
ni wapi eneo la ndege ambalo sehemu ya uso ambayo ushirikiano unafanywa inakadiriwa.

Hata hivyo, mara nyingi haiwezekani kufafanua uso kwa equation ya wazi, na kisha inaelezwa parametrically, i.e. milinganyo ya fomu
.
Sehemu ya uso katika kesi hii imeandikwa ngumu zaidi:
.
Mchanganyiko wa uso unaweza kuandikwa ipasavyo:
,
ambapo ni mbalimbali ya mabadiliko ya parameter sambamba na sehemu ya uso ambayo ushirikiano unafanywa.

5. Maana ya kimwili ya curvilinear na viungo vya uso vya aina ya kwanza

Viunga vilivyojadiliwa vina rahisi sana na wazi maana ya kimwili. Acha kuwe na mkunjo ambao msongamano wa mstari sio
mara kwa mara, na ni kazi ya uhakika . Wacha tupate wingi wa curve hii. Wacha tuvunje Curve katika vitu vingi vidogo,
ndani ambayo wiani wake unaweza kuzingatiwa takriban mara kwa mara. Ikiwa urefu wa kipande kidogo cha curve ni sawa na , basi wingi wake
, iko wapi sehemu yoyote ya kipande kilichochaguliwa cha curve (yoyote, kwani msongamano uko ndani
kipande hiki ni takriban kudhaniwa kuwa mara kwa mara). Ipasavyo, wingi wa curve nzima hupatikana kwa muhtasari wa misa ya sehemu zake za kibinafsi:
.
Ili usawa uwe sahihi, mtu lazima aende kwenye kikomo cha kugawanya curve katika sehemu zisizo na kikomo, lakini hii ni kiungo cha curvilinear cha aina ya kwanza.

Swali la jumla ya malipo ya curve hutatuliwa vile vile ikiwa wiani wa malipo ya mstari unajulikana .

Hoja hizi zinaweza kuhamishiwa kwa urahisi kwenye kesi ya uso uliochajiwa kwa njia isiyo ya kawaida msongamano wa uso malipo . Kisha
malipo ya uso ni sehemu muhimu ya uso wa aina ya kwanza
.

Kumbuka. Fomula ngumu ya kipengee cha uso iliyofafanuliwa kigezo sio rahisi kukumbuka. Usemi mwingine unapatikana katika jiometri tofauti,
inatumia kinachojulikana kwanza fomu ya quadratic nyuso.

Mifano ya hesabu viungo vya curvilinear aina ya kwanza

Mfano 1. Jumuishi kwenye mstari.
Kuhesabu muhimu

pamoja na sehemu ya mstari inayopitia pointi na .

Kwanza, tunaandika equation ya mstari wa moja kwa moja ambao ujumuishaji unafanywa: . Wacha tupate usemi wa:
.
Tunahesabu sehemu muhimu:

Mfano 2. Jumuisha kwenye curve katika ndege.
Kuhesabu muhimu

kando ya safu ya parabola kutoka hatua hadi hatua.

Mipangilio na kukuruhusu kueleza kigezo kutoka kwa mlinganyo wa parabola: .

Tunahesabu sehemu muhimu:
.

Hata hivyo, iliwezekana kufanya mahesabu kwa njia nyingine, kuchukua faida ya ukweli kwamba curve inatolewa na equation kutatuliwa kwa heshima na kutofautiana.
Ikiwa tutachukua kutofautisha kama parameta, hii itasababisha mabadiliko madogo misemo ya tofauti ya arc:
.
Ipasavyo, kiunga kitabadilika kidogo:
.
Kiunga hiki kinahesabiwa kwa urahisi kwa kubadilisha kutofautisha chini ya tofauti. Matokeo yake ni muhimu sawa na katika njia ya kwanza ya hesabu.

Mfano 3. Unganisha kando ya curve kwenye ndege (kwa kutumia parametrization).
Kuhesabu muhimu

kando ya nusu ya juu ya duara .

Unaweza, kwa kweli, kuelezea moja ya vigeu kutoka kwa equation ya duara, na kisha kutekeleza mahesabu mengine kwa njia ya kawaida. Lakini pia unaweza kutumia
vipimo vya curve ya parametric. Kama unavyojua, mduara unaweza kufafanuliwa na equations. Nusu duara ya juu
inalingana na mabadiliko katika parameta ndani . Wacha tuhesabu tofauti ya arc:
.
Hivyo,

Mfano 4. Jumuisha kwenye curve kwenye ndege iliyoainishwa katika kuratibu za polar.
Kuhesabu muhimu

kando ya tundu la kulia la lemniscate .

Mchoro hapo juu unaonyesha lemniscate. Ujumuishaji lazima ufanyike kando ya lobe yake ya kulia. Wacha tupate tofauti ya arc kwa curve :
.
Hatua inayofuata ni kuamua mipaka ya ushirikiano juu ya pembe ya polar. Ni wazi kwamba ukosefu wa usawa lazima utimizwe, na kwa hiyo
.
Tunahesabu sehemu muhimu:

Mfano 5. Unganisha pamoja na curve katika nafasi.
Kuhesabu muhimu

pamoja na zamu ya helix sambamba na mipaka ya mabadiliko ya parameter