Utegemezi wa mstari na uhuru wa mstari wa mfumo wa vekta. Vekta zinazotegemea kimstari na zinazojitegemea kimstari. Jua kama vekta zinajitegemea kimstari

Ufafanuzi. Mchanganyiko wa mstari wa vekta a 1 , ..., n yenye mgawo x 1 , ..., x n inaitwa vekta

x 1 a 1 + ... + x n a n .

yasiyo na maana, ikiwa migawo yote x 1 , ..., x n ni sawa na sifuri.

Ufafanuzi. Mchanganyiko wa mstari x 1 a 1 + ... + x n a n inaitwa yasiyo ya maana, ikiwa angalau moja ya mgawo x 1, ..., x n si sawa na sifuri.

kujitegemea linearly, ikiwa hakuna mchanganyiko usio wa kawaida wa vekta hizi sawa na vector sifuri.

Hiyo ni, vekta 1, ..., n zinajitegemea kimstari ikiwa x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 ikiwa na ikiwa tu x 1 = 0, ..., x n = 0.

Ufafanuzi. Vekta 1, ..., n huitwa tegemezi kwa mstari, ikiwa kuna mchanganyiko usio na maana wa vekta hizi sawa na vector sifuri.

Sifa za vekta zinazotegemea mstari:

Kwa vekta 2 na 3 za dimensional.

Vekta mbili zinazotegemea mstari ni collinear. (Vekta za Collinear zinategemea mstari.)

Kwa vekta 3-dimensional.

Vekta tatu zinazotegemea mstari ni coplanar. (Vekta tatu za coplanar zinategemea mstari.)

Kwa vekta za n-dimensional.
n + 1 vekta daima hutegemea mstari.

Mifano ya shida kwenye utegemezi wa mstari na uhuru wa mstari wa vekta:

Mfano 1. Angalia ikiwa vekta a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) zinajitegemea kimstari .

Suluhisho:

Vekta zitakuwa tegemezi kwa mstari, kwa kuwa mwelekeo wa vekta ni chini ya idadi ya vekta.

Mfano 2. Angalia ikiwa vekta a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) zinajitegemea kimstari.

Suluhisho:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

1	1	0	~
1	2	-1
1	0	1

~	1	1	0	0	~	1	1	0	~
	1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0		0	1	-1
	1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0		0	-1	1

toa ya pili kutoka mstari wa kwanza; ongeza mstari wa pili kwenye mstari wa tatu:

~	1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0	~	1	0	1
	0	1	-1	0		0	1	-1
	0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0		0	0	0

Suluhisho hili linaonyesha kuwa mfumo una suluhisho nyingi, ambayo ni, kuna mchanganyiko usio na sifuri wa maadili ya nambari x 1, x 2, x 3 ili mchanganyiko wa mstari wa vekta a, b, c ni sawa na vekta sifuri, kwa mfano:

A + b + c = 0

na hii inamaanisha kuwa vekta a, b, c zinategemeana.

Jibu: vekta a, b, c hutegemea mstari.

Mfano 3. Angalia ikiwa vekta a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) zinajitegemea kimstari.

Suluhisho: Wacha tupate maadili ya coefficients ambayo mchanganyiko wa mstari wa veta hizi utakuwa sawa na vekta ya sifuri.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Mlinganyo huu wa vekta unaweza kuandikwa kama mfumo wa milinganyo ya mstari

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

Wacha tusuluhishe mfumo huu kwa kutumia njia ya Gauss

1	1	0	~
1	2	-1
1	0	2

toa kwanza kutoka mstari wa pili; toa ya kwanza kutoka kwa mstari wa tatu:

~	1	1	0	0	~	1	1	0	~
	1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0		0	1	-1
	1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0		0	-1	2

toa ya pili kutoka kwa mstari wa kwanza; ongeza sekunde kwa mstari wa tatu.

Katika makala hii tutashughulikia:

ni nini vekta za collinear;
ni masharti gani ya collinearity ya vekta;
ni mali gani ya veta za collinear zipo;
ni nini utegemezi wa mstari wa vekta za collinear.

Ufafanuzi 1

Vekta za Collinear ni vekta ambazo ziko sambamba na mstari mmoja au kulala kwenye mstari mmoja.

Mfano 1

Masharti ya collinearity ya vekta

Vekta mbili ni collinear ikiwa mojawapo ya masharti yafuatayo ni kweli:

hali 1 . Vekta a na b ni collinear ikiwa kuna nambari λ kiasi kwamba a = λ b;
hali 2 . Vekta a na b ni collinear na uwiano sawa wa kuratibu:

a = (a 1; a 2) , b = (b 1; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

hali 3 . Vekta a na b ni collinear mradi bidhaa msalaba na vekta sifuri ni sawa:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Kumbuka 1

Hali 2 haitumiki ikiwa moja ya viwianishi vya vekta ni sifuri.

Kumbuka 2

Hali ya 3 inatumika tu kwa vekta ambazo zimeainishwa kwenye nafasi.

Mifano ya matatizo ya kusoma collinearity ya vekta

Mfano 1

Tunachunguza vekta a = (1; 3) na b = (2; 1) kwa collinearity.

Jinsi ya kutatua?

Katika kesi hii, ni muhimu kutumia hali ya 2 ya collinearity. Kwa vekta zilizopewa inaonekana kama hii:

Usawa ni uongo. Kutoka kwa hili tunaweza kuhitimisha kuwa vekta a na b sio za collinear.

Jibu :a | | b

Mfano 2

Ni thamani gani ya m ya vekta a = (1; 2) na b = (- 1; m) inahitajika ili vekta ziwe collinear?

Jinsi ya kutatua?

Kwa kutumia hali ya pili ya collinearity, vekta zitakuwa collinear ikiwa kuratibu zao ni sawia:

Hii inaonyesha kuwa m = - 2.

Jibu: m = - 2 .

Vigezo vya utegemezi wa mstari na uhuru wa mstari wa mifumo ya vekta

Nadharia

Mfumo wa vekta katika nafasi ya vekta hutegemea tu ikiwa moja ya vekta ya mfumo inaweza kuonyeshwa kwa suala la vekta zilizobaki za mfumo huu.

Ushahidi

Hebu mfumo e 1 , e 2 , . . . , e n inategemea mstari. Wacha tuandike mchanganyiko wa mstari wa mfumo huu sawa na vekta ya sifuri:

a 1 e 1 + a 2 e 2 +. . . + a n e n = 0

ambayo angalau moja ya mgawo wa mchanganyiko si sawa na sifuri.

Acha k ≠ 0 k ∈ 1, 2, . . . , n.

Tunagawanya pande zote mbili za usawa kwa mgawo usio na sifuri:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Hebu tuashiria:

A k - 1 a m , ambapo m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

Katika kesi hii:

β 1 na 1 +. . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 +. . . + β n e n = 0

au e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Inafuata kwamba moja ya vectors ya mfumo inaonyeshwa kupitia vectors nyingine zote za mfumo. Ambayo ndio inahitajika kuthibitishwa (n.k.).

Utoshelevu

Acha moja ya vekta ionyeshwa kwa mstari kupitia veta zingine zote za mfumo:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Tunasogeza vekta e k upande wa kulia wa usawa huu:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Kwa kuwa mgawo wa vector e k ni sawa na - 1 ≠ 0, tunapata uwakilishi usio na maana wa sifuri na mfumo wa vectors e 1, e 2, . . . , e n , na hii, kwa upande wake, ina maana kwamba mfumo huu wa vectors unategemea linearly. Ambayo ndio inahitajika kuthibitishwa (n.k.).

Matokeo:

Mfumo wa vekta unajitegemea kimstari wakati hakuna vekta yake inayoweza kuonyeshwa kulingana na vekta nyingine zote za mfumo.
Mfumo wa vekta ambao una vekta sifuri au vekta mbili sawa hutegemea mstari.

Sifa za vekta zinazotegemea mstari

Kwa vekta 2 na 3-dimensional, hali ifuatayo inafikiwa: vekta mbili zinazotegemea mstari ni collinear. Vekta mbili za collinear zinategemea mstari.
Kwa vekta 3-dimensional, hali ifuatayo inafikiwa: vekta tatu zinazotegemea mstari ni coplanar. (Vekta 3 za coplanar zinategemea mstari).
Kwa vekta za n-dimensional, hali ifuatayo imeridhika: n + 1 vectors daima hutegemea mstari.

Mifano ya kutatua matatizo yanayohusisha utegemezi wa mstari au uhuru wa mstari wa vekta

Mfano 3

Hebu tuangalie vectors a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 kwa uhuru wa mstari.

Suluhisho. Vekta hutegemea kwa mstari kwa sababu kipimo cha vekta ni chini ya idadi ya vekta.

Mfano 4

Hebu tuangalie vekta a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 kwa uhuru wa mstari.

Suluhisho. Tunapata maadili ya coefficients ambayo mchanganyiko wa mstari utakuwa sawa na vekta ya sifuri:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Tunaandika equation ya vekta kwa fomu ya mstari:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Tunatatua mfumo huu kwa kutumia njia ya Gaussian:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Kutoka kwa mstari wa 2 tunatoa ya 1, kutoka ya 3 - ya 1:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Kutoka kwa mstari wa 1 tunatoa ya 2, hadi ya 3 tunaongeza ya 2:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Kutoka kwa suluhisho inafuata kwamba mfumo una suluhisho nyingi. Hii inamaanisha kuwa kuna mchanganyiko usio na sifuri wa maadili ya nambari kama hizo x 1, x 2, x 3 ambayo mchanganyiko wa mstari wa a, b, c ni sawa na vekta ya sifuri. Kwa hiyo, vectors a, b, c ni tegemezi kwa mstari.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Utegemezi wa mstari na uhuru wa vekta

Ufafanuzi wa mifumo ya vekta inayotegemea mstari na inayojitegemea

Ufafanuzi 22

Wacha tuwe na mfumo wa n-veta na seti ya nambari
, Kisha

(11)

inaitwa mchanganyiko wa mstari wa mfumo fulani wa vekta na seti fulani ya coefficients.

Ufafanuzi 23

Mfumo wa Vector
inaitwa tegemezi kwa mstari ikiwa kuna seti kama hiyo ya coefficients
, ambayo angalau moja si sawa na sifuri, kwamba mchanganyiko wa mstari wa mfumo fulani wa vekta na seti hii ya coefficients ni sawa na vector sifuri:

Hebu
, Kisha

Ufafanuzi 24 ( kupitia uwakilishi wa vekta moja ya mfumo kama mchanganyiko wa mstari wa wengine)

Mfumo wa Vector
inaitwa tegemezi kimstari ikiwa angalau moja ya vekta za mfumo huu inaweza kuwakilishwa kama mseto wa mstari wa vekta zilizosalia za mfumo huu.

Taarifa ya 3

Ufafanuzi wa 23 na 24 ni sawa.

Ufafanuzi wa 25(kupitia mchanganyiko wa mstari sifuri)

Mfumo wa Vector
inaitwa kujitegemea kwa mstari ikiwa mchanganyiko wa mstari wa sifuri wa mfumo huu unawezekana kwa wote pekee
sawa na sifuri.

Ufafanuzi wa 26(kwa sababu ya kutowezekana kwa kuwakilisha vekta moja ya mfumo kama mchanganyiko wa mstari wa zingine)

Mfumo wa Vector
inaitwa huru kimstari ikiwa hakuna vekta moja ya mfumo huu haiwezi kuwakilishwa kama mseto wa mstari wa vekta nyingine za mfumo huu.

Sifa za mifumo ya vekta inayotegemea mstari na inayojitegemea

Nadharia 2 (vekta sifuri katika mfumo wa vekta)

Ikiwa mfumo wa vekta una vekta ya sifuri, basi mfumo unategemea mstari.

◻ Acha
, Kisha.

Tunapata
, kwa hivyo, kwa ufafanuzi wa mfumo tegemezi wa mstari wa vekta kupitia mchanganyiko wa mstari wa sifuri (12) mfumo unategemea linearly. ◻

Nadharia 3 (mfumo mdogo tegemezi katika mfumo wa vekta)

Ikiwa mfumo wa vekta una mfumo mdogo unaotegemea mstari, basi mfumo mzima unategemea mstari.

◻ Acha
- mfumo mdogo unaotegemea mstari
, kati ya ambayo angalau moja si sawa na sifuri:

Hii inamaanisha, kwa ufafanuzi 23, mfumo unategemea mstari. ◻

Nadharia 4

Mfumo wowote mdogo wa mfumo huru wa mstari unajitegemea kimstari.

 Kutoka kinyume. Wacha mfumo uwe huru kimstari na uwe na mfumo mdogo unaotegemea mstari. Lakini basi, kulingana na Theorem 3, mfumo mzima pia utategemea mstari. Ukinzani. Kwa hivyo, mfumo mdogo wa mfumo huru wa kimstari hauwezi kutegemea kimstari. ◻

Maana ya kijiometri ya utegemezi wa mstari na uhuru wa mfumo wa vekta

Nadharia 5

Vekta mbili Na zinategemeana ikiwa na tu ikiwa
.

 Umuhimu.

Na - tegemezi kwa mstari
kwamba hali imeridhika
. Kisha
, i.e.
.

Utoshelevu.

Mtegemezi wa mstari. ◻

Muhimu 5.1

Vekta ya sifuri ni collinear kwa vekta yoyote

Muhimu 5.2

Ili vekta mbili ziwe huru kwa mstari, ni muhimu na ya kutosha hiyo haikuwa colinear .

Nadharia 6

Ili mfumo wa vekta tatu kuwa tegemezi kwa mstari, ni muhimu na ya kutosha kwamba vekta hizi ziwe coplanar. .

 Umuhimu.

- zinategemea mstari, kwa hivyo, vekta moja inaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa zingine mbili.

, (13)

Wapi
Na
. Kulingana na kanuni ya parallelogram kuna diagonal ya parallelogram na pande
, lakini parallelogram ni takwimu ya gorofa
coplanar
- pia ni coplanar.

Utoshelevu.

- coplanar. Wacha tutumie vekta tatu kuashiria O:

– tegemezi kimstari 

Muhimu 6.1

Vekta ya sifuri ni coplanar kwa jozi yoyote ya vekta.

Muhimu 6.2

Ili kwa vekta
walikuwa huru linearly, ni muhimu na kutosha kwamba wao si coplanar.

Muhimu 6.3

Vekta yoyote ya ndege inaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa vekta zozote mbili zisizo za kolina za ndege moja.

Nadharia 7

Vekta zozote nne kwenye nafasi zinategemeana .

 Hebu tuzingatie kesi 4:

Hebu tuchore ndege kwa njia ya vectors, kisha ndege kupitia vectors na ndege kupitia vectors. Kisha tunachora ndege zinazopitia hatua D, sambamba na jozi za vectors; ; kwa mtiririko huo. Tunajenga parallelepiped kando ya mistari ya makutano ya ndege 1 O.B. 1 C 1 D.

ABDC ; kwa mtiririko huo. Tunajenga parallelepiped kando ya mistari ya makutano ya ndege 1 O.B. 1 C 1 Hebu tuzingatie
.

- parallelogram kwa ujenzi kulingana na kanuni ya parallelogram
Fikiria OADD 1 - parallelogram (kutoka mali ya parallelepiped)

, Kisha

Mlinganyo wa EMBED.3.
Kwa nadharia 1
vile vile. Kisha

, na kwa ufafanuzi 24 mfumo wa vekta unategemea mstari. ◻

Muhimu 7.1

Jumla ya vekta tatu zisizo za coplanar katika nafasi ni vekta ambayo inafanana na diagonal ya parallelepiped iliyojengwa kwenye vekta hizi tatu zinazotumiwa kwa asili ya kawaida, na asili ya vector ya jumla inafanana na asili ya kawaida ya vekta hizi tatu.

Muhimu 7.2

Ikiwa tutachukua vekta 3 zisizo za coplanar kwenye nafasi, basi vekta yoyote katika nafasi hii inaweza kuharibiwa katika mchanganyiko wa mstari wa vekta hizi tatu.. Mchanganyiko wa mstari wa vekta ni jumla ya bidhaa za vekta hizi na scalars
:

Ufafanuzi 2. Mfumo wa Vector
inaitwa mfumo tegemezi wa mstari ikiwa mchanganyiko wao wa mstari (2.8) utatoweka:

na kati ya nambari
kuna angalau moja ambayo ni tofauti na sifuri.

Ufafanuzi 3. Vekta
huitwa huru kwa mstari ikiwa mchanganyiko wao wa mstari (2.8) hutoweka tu katika kesi wakati nambari zote.

Kutoka kwa ufafanuzi huu unaweza kupata nakala zifuatazo.

Muhimu 1. Katika mfumo tegemezi wa mstari wa vekta, angalau vekta moja inaweza kuonyeshwa kama mchanganyiko wa mstari wa zingine.

Ushahidi. Hebu (2.9) itosheke na, kwa uhakika, acha mgawo
. Kisha tuna:
. Kumbuka kwamba mazungumzo pia ni kweli.

Muhimu 2. Ikiwa mfumo wa vekta
ina vekta ya sifuri, basi mfumo huu (lazima) unategemea mstari - uthibitisho ni dhahiri.

Muhimu 3. Ikiwa kati ya n vekta
yoyote k(
) vekta zinategemea mstari, basi ndivyo tu n vekta zinategemea mstari (tutaacha uthibitisho).

2 0 . Mchanganyiko wa mstari wa vekta mbili, tatu na nne. Hebu fikiria masuala ya utegemezi wa mstari na uhuru wa vectors kwenye mstari wa moja kwa moja, ndege na katika nafasi. Wacha tuwasilishe nadharia zinazolingana.

Nadharia 1. Ili vekta mbili ziwe tegemezi kwa mstari, ni muhimu na ya kutosha kuwa collinear.

Umuhimu. Wacha veta Na tegemezi kwa mstari. Hii ina maana kwamba mchanganyiko wao linear
=0 na (kwa ajili ya uhakika)
. Hii ina maana ya usawa
, na (kwa ufafanuzi wa kuzidisha vekta kwa nambari) vekta Na colinear.

Utoshelevu. Wacha veta Na colinear ( ║) (tunadhania kuwa ni tofauti na vekta ya sifuri; vinginevyo utegemezi wao wa mstari ni dhahiri).

Kwa Theorem (2.7) (tazama §2.1, kipengele 2 0) basi
vile vile
, au
- mchanganyiko wa mstari ni sawa na sifuri, na mgawo saa sawa na 1 - vectors Na tegemezi kwa mstari.

Mfuatano ufuatao unafuata kutoka kwa nadharia hii.

Matokeo. Ikiwa vekta Na si collinear, basi wao ni linearly kujitegemea.

Nadharia 2. Ili vekta tatu kuwa tegemezi linearly, ni muhimu na ya kutosha kwamba wao kuwa coplanar.

Umuhimu. Wacha veta ,Na tegemezi kwa mstari. Hebu tuonyeshe kwamba wao ni coplanar.

Kutoka kwa ufafanuzi wa utegemezi wa mstari wa vekta hufuata kuwepo kwa nambari
Na hivi kwamba mchanganyiko wa mstari
, na wakati huo huo (kuwa maalum)
. Kisha kutoka kwa usawa huu tunaweza kuelezea vector :=
, yaani, vector sawa na diagonal ya parallelogram iliyojengwa kwenye vectors upande wa kulia wa usawa huu (Mchoro 2.6). Hii ina maana kwamba vectors ,Na lala kwenye ndege moja.

Utoshelevu. Wacha veta ,Na coplanar. Wacha tuonyeshe kuwa wanategemea mstari.

Hebu tuondoe kesi ya collinearity ya jozi yoyote ya vekta (kwa sababu basi jozi hii inategemea mstari na kwa Corollary 3 (ona aya ya 1 0) vekta zote tatu zinategemea mstari). Kumbuka kwamba dhana hii pia haijumuishi kuwepo kwa vekta sifuri kati ya hizi tatu.

Wacha tuhamishe vekta tatu za coplanar kwenye ndege moja na kuzileta kwa asili moja. Kupitia mwisho wa vector chora mistari sambamba na vekta Na ; tunapata vekta Na (Mchoro 2.7) - kuwepo kwao kunahakikishwa na ukweli kwamba vectors Na vekta ambazo si collinear kwa kudhaniwa. Inafuata kwamba vector =+. Kuandika upya usawa huu katika fomu (-1) ++=0, tunahitimisha kuwa vekta ,Na tegemezi kwa mstari.

Vifungu viwili vinafuata kutoka kwa nadharia iliyothibitishwa.

Muhimu 1. Hebu Na vectors zisizo za collinear, vector - kiholela, amelala kwenye ndege iliyoainishwa na vekta Na , vekta. Kisha kuna nambari Na vile vile

=+. (2.10)

Muhimu 2. Ikiwa vekta ,Na si coplanar, basi wao ni linearly kujitegemea.

Nadharia 3. Vekta zozote nne zinategemea mstari.

Tutaacha uthibitisho; pamoja na marekebisho kadhaa inakili uthibitisho wa Nadharia 2. Wacha tutoe muhtasari kutoka kwa nadharia hii.

Matokeo. Kwa vekta zozote zisizo za coplanar ,,na vector yoyote
Na vile vile

. (2.11)

Maoni. Kwa vekta katika nafasi (ya pande tatu), dhana za utegemezi wa mstari na kujitegemea zina, kama ifuatavyo kutoka kwa Nadharia 1-3 hapo juu, maana rahisi ya kijiometri.

Wacha kuwe na vekta mbili zinazotegemea mstari Na . Katika kesi hii, mmoja wao ni mchanganyiko wa mstari wa pili, ambayo ni, inatofautiana nayo kwa sababu ya nambari (kwa mfano,
) Kijiometri, hii ina maana kwamba vekta zote mbili ziko kwenye mstari wa kawaida; wanaweza kuwa na mwelekeo sawa au kinyume (Mchoro 2.8 xx).

Ikiwa vectors mbili ziko kwa pembe kwa kila mmoja (Mchoro 2.9 xx), basi katika kesi hii mmoja wao hawezi kupatikana kwa kuzidisha nyingine kwa idadi - vectors vile ni linearly kujitegemea. Kwa hiyo, uhuru wa mstari wa vectors mbili Na inamaanisha kuwa vekta hizi haziwezi kuwekwa kwenye mstari mmoja ulionyooka.

Wacha tujue maana ya kijiometri ya utegemezi wa mstari na uhuru wa vekta tatu.

Wacha veta ,Na zinategemea mstari na acha (kuwa maalum) vekta ni mchanganyiko wa mstari wa vekta Na , yaani, iko katika ndege iliyo na vectors Na . Hii ina maana kwamba vectors ,Na lala kwenye ndege moja. Kinyume chake pia ni kweli: ikiwa veta ,Na uongo katika ndege moja, basi wao ni tegemezi linearly.

Hivyo, vectors ,Na zinajitegemea kama na tu ikiwa hazilala kwenye ndege moja.

3 0 . Dhana ya msingi. Mojawapo ya dhana muhimu zaidi katika aljebra ya mstari na vekta ni dhana ya msingi. Hebu tujulishe baadhi ya ufafanuzi.

Ikiwa tutachukua vekta 3 zisizo za coplanar kwenye nafasi, basi vekta yoyote katika nafasi hii inaweza kuharibiwa katika mchanganyiko wa mstari wa vekta hizi tatu.. Jozi ya vekta inaitwa kuamuru ikiwa imeelezwa ambayo vector ya jozi hii inachukuliwa kuwa ya kwanza na ambayo ya pili.

Ufafanuzi 2. Jozi iliyoagizwa ,vectors noncollinear inaitwa msingi juu ya ndege inavyoelezwa na vectors kupewa.

Nadharia 1. Vekta yoyote kwenye ndege inaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa mfumo wa msingi wa vekta ,:

(2.12)

na uwakilishi huu ndio pekee.

Ushahidi. Wacha veta Na kuunda msingi. Kisha vector yoyote inaweza kuwakilishwa katika fomu
.

Ili kuthibitisha upekee, chukulia kwamba kuna mtengano mmoja zaidi
. Kisha tuna = 0, na angalau moja ya tofauti ni tofauti na sifuri. mwisho ina maana kwamba vectors Na tegemezi linearly, yaani, collinear; hii inapingana na kauli kwamba zinaunda msingi.

Lakini basi kuna mtengano tu.

Ufafanuzi 3. Mara tatu ya vectors inaitwa kuamuru ikiwa imeelezwa ambayo vector inachukuliwa kuwa ya kwanza, ambayo ni ya pili, na ambayo ni ya tatu.

Ufafanuzi 4. Mara tatu iliyoagizwa ya vekta zisizo za coplanar inaitwa msingi katika nafasi.

Nadharia ya mtengano na upekee pia inashikilia hapa.

Nadharia 2. Vekta yoyote inaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa mfumo wa vekta ya msingi ,,:

(2.13)

na uwakilishi huu ni wa kipekee (tutaacha uthibitisho wa nadharia).

Katika upanuzi (2.12) na (2.13) kiasi huitwa kuratibu za vekta kwa msingi fulani (kwa usahihi zaidi, kwa kuratibu za ushirika).

Kwa msingi uliowekwa
Na
unaweza kuandika
.

Kwa mfano, ikiwa msingi umetolewa
na imepewa hivyo
, basi hii inamaanisha kuwa kuna uwakilishi (mtengano)
.

4 0 . Uendeshaji wa mstari kwenye vekta katika fomu ya kuratibu. Kuanzishwa kwa msingi huruhusu shughuli za mstari kwenye vekta kubadilishwa na shughuli za kawaida za mstari kwenye nambari - kuratibu za vekta hizi.

Wacha msingi fulani upewe
. Kwa wazi, kutaja kuratibu za vector katika msingi huu huamua kabisa vector yenyewe. Mapendekezo yafuatayo yanatumika:

a) vekta mbili
Na
ni sawa ikiwa na tu ikiwa kuratibu zao zinazolingana ni sawa:

b) wakati wa kuzidisha vector
kwa nambari kuratibu zake zinazidishwa na nambari hii:

; (2.15)

c) wakati wa kuongeza veta, kuratibu zao zinazolingana huongezwa:

Tutaacha dalili za sifa hizi; Wacha tuthibitishe mali b) kama mfano tu. Tumepata

Maoni. Katika nafasi (kwenye ndege) unaweza kuchagua besi nyingi nyingi.

Wacha tutoe mfano wa mpito kutoka msingi mmoja hadi mwingine, na tuanzishe uhusiano kati ya kuratibu za vekta katika besi tofauti.

Mfano 1. Katika mfumo wa msingi
vekta tatu hutolewa:
,
Na
. Katika msingi ,,vekta ina mtengano. Pata kuratibu za vekta katika msingi
.

Suluhisho. Tuna upanuzi:
,
,
; hivyo,
=
+2
+
= =
, yaani
katika msingi
.

Mfano 2. Wacha iwe kwa msingi fulani
vekta nne hupewa na kuratibu zao:
,
,
Na
.

Jua ikiwa vekta huunda
msingi; ikiwa jibu ni chanya, pata mtengano wa vector katika msingi huu.

Suluhisho. 1) vekta huunda msingi ikiwa wanajitegemea kwa mstari. Wacha tufanye mchanganyiko wa mstari wa vekta
(
) na ujue ni nini
Na inakwenda kwa sifuri:
=0. Tunayo:

=
+
+
=

Kwa kufafanua usawa wa vekta katika umbo la kuratibu, tunapata mfumo ufuatao wa (linear homogeneous algebraic) milinganyo:
;
;
, ambayo kibainishi chake
=1
, yaani, mfumo una (tu) ufumbuzi usio na maana
. Hii inamaanisha uhuru wa mstari wa vekta
na kwa hivyo zinaunda msingi.

2) kupanua vector katika msingi huu. Tunayo: =
au kwa namna ya kuratibu.

Kuendelea na usawa wa vekta katika umbo la kuratibu, tunapata mfumo wa milinganyo ya aljebra isiyo na usawa:
;
;
. Kuisuluhisha (kwa mfano, kwa kutumia sheria ya Cramer), tunapata:
,
,
Na (
)
. Tuna mtengano wa vekta katika msingi
:=.

5 0 . Makadirio ya vekta kwenye mhimili. Tabia za makadirio. Hebu kuwe na mhimili fulani l, yaani, mstari wa moja kwa moja na mwelekeo uliochaguliwa juu yake na kuruhusu vector fulani itolewe Hebu tufafanue dhana ya makadirio ya vector kwa mhimili l.

Ufafanuzi. Makadirio ya Vector kwa mhimili l bidhaa ya moduli ya vector hii na cosine ya pembe kati ya mhimili inaitwa l na vekta (Mchoro 2.10):

. (2.17)

Muhtasari wa ufafanuzi huu ni taarifa kwamba vekta sawa zina makadirio sawa (kwenye mhimili mmoja).

Wacha tuangalie sifa za makadirio.

1) makadirio ya jumla ya vekta kwenye mhimili fulani l sawa na jumla ya makadirio ya masharti ya vekta kwenye mhimili sawa:

2) makadirio ya bidhaa ya scalar na vekta ni sawa na bidhaa ya kozi hii kwa makadirio ya vekta kwenye mhimili sawa:

=
. (2.19)

Matokeo. Makadirio ya mchanganyiko wa mstari wa vekta kwenye mhimili ni sawa na mchanganyiko wa mstari wa makadirio yao:

Tutaacha uthibitisho wa sifa.

6 0 . Mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili katika nafasi.Mtengano wa vekta katika vekta za kitengo cha shoka. Acha vekta tatu za kitengo cha pande zote zichaguliwe kama msingi; tunatanguliza nukuu maalum kwa ajili yao
. Kwa kuweka mwanzo wao kwa uhakika O, tutaelekeza pamoja nao (kulingana na orts
) kuratibu shoka Ng'ombe,Oy naO z(mhimili ulio na mwelekeo mzuri, asili na kitengo cha urefu uliochaguliwa juu yake huitwa mhimili wa kuratibu).

Ufafanuzi. Mfumo uliopangwa wa shoka tatu za kuratibu za perpendicular zenye asili ya kawaida na kitengo cha urefu cha kawaida huitwa mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili katika nafasi.

Mhimili Ng'ombe inayoitwa mhimili wa abscissa, Oy- mhimili wa kuratibu uO z – mwombaji wa mhimili.

Wacha tushughulike na upanuzi wa vekta ya kiholela kwa msingi
. Kutoka kwa nadharia (tazama §2.2, aya ya 3 0, (2.13)) inafuata kwamba
inaweza kupanuliwa kipekee juu ya msingi
(hapa badala ya kuteua kuratibu
kutumia
):

. (2.21)

B (2.21)
kuratibu za vekta za kiini (Cartesian rectangular). . Maana ya kuratibu za Cartesian imeanzishwa na nadharia ifuatayo.

Nadharia. Viwianishi vya mstatili wa Cartesian
vekta ni makadirio ya vekta hii kwa mtiririko huo kwenye mhimili Ng'ombe,Oy naO z.

Ushahidi. Wacha tuweke vector kwa asili ya mfumo wa kuratibu - uhakika O. Kisha mwisho wake utaambatana na hatua fulani
.

Hebu kuchora kwa uhakika
ndege tatu sambamba na kuratibu ndege Oyz,Oxz Na Oksi(Mchoro 2.11 xx). Kisha tunapata:

. (2.22)

Katika (2.22) vekta
Na
huitwa vipengele vya vector
pamoja na shoka Ng'ombe,Oy naO z.

Hebu kupitia
Na pembe zinazoundwa na vector zinaonyeshwa kwa mtiririko huo na orts
. Kisha kwa vipengele tunapata fomula zifuatazo:

=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)

Kutoka (2.21), (2.22) (2.23) tunapata:

=
=
;=
=
;=
=
(2.23)

- kuratibu
vekta kuna makadirio ya vekta hii kwenye shoka za kuratibu Ng'ombe,Oy naO z kwa mtiririko huo.

Maoni. Nambari
huitwa cosine za mwelekeo wa vector .

Moduli ya Vector (diagonal ya parallelepiped ya mstatili) huhesabiwa na formula:

. (2.24)

Kutoka kwa fomula (2.23) na (2.24) inafuata kwamba mwelekeo wa cosines unaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula:

=
;
=
;
=
. (2.25)

Kuinua pande zote mbili za kila usawa katika (2.25) na kuongeza pande za kushoto na kulia za usawa unaosababishwa muda baada ya muda, tunafika kwenye fomula:

- sio pembe tatu zinazounda mwelekeo fulani katika nafasi, lakini ni wale tu ambao cosines zao zinahusiana na uhusiano (2.26).

7 0 . Vekta ya radius na kuratibu za uhakika.Kuamua vector kwa mwanzo na mwisho wake. Hebu tuanzishe ufafanuzi.

Ufafanuzi. Vekta ya radius (iliyoashiria ) ni vekta inayounganisha asili O na hatua hii (Mchoro 2.12 xx):

. (2.27)

Hatua yoyote katika nafasi inalingana na vector fulani ya radius (na kinyume chake). Kwa hivyo, pointi katika nafasi zinawakilishwa katika algebra ya vekta na vekta zao za radius.

Ni wazi kuratibu
pointi M ni makadirio ya vekta yake ya radius
kwenye shoka za kuratibu:

(2.28’)

na hivyo

(2.28)

- vector ya radius ya uhakika ni vector ambayo makadirio kwenye axes ya kuratibu ni sawa na kuratibu za hatua hii. Hii inasababisha maingizo mawili:
Na
.

Tunapata fomula za kuhesabu makadirio ya vekta
kulingana na kuratibu za asili yake - uhakika
na mwisho - uhakika
.

Wacha tuchore veta za radius
na vekta
(Mchoro 2.13). Tunapata hilo

=
=(2.29)

- makadirio ya vector kwenye vekta za kitengo cha kuratibu ni sawa na tofauti kati ya kuratibu zinazofanana za mwisho na mwanzo wa vector.

8 0 . Baadhi ya matatizo yanayohusisha kuratibu za Cartesian.

1) masharti ya collinearity ya vekta . Kutoka kwa nadharia (ona §2.1, aya ya 2 0, fomula (2.7)) inafuata kwamba kwa collinearity ya vekta. Na ni muhimu na inatosha kwa uhusiano ufuatao kushikilia: =. Kutoka kwa usawa huu wa vekta tunapata usawa tatu katika fomu ya kuratibu:, ambayo ina maana ya hali ya collinearity ya vekta katika fomu ya kuratibu:

(2.30)

- kwa collinearity ya vekta Na ni muhimu na ya kutosha kwamba kuratibu zao sambamba ziwe sawia.

2) umbali kati ya pointi . Kutoka kwa uwakilishi (2.29) inafuata kwamba umbali
kati ya pointi
Na
imedhamiriwa na formula

=
=. (2.31)

3) mgawanyiko wa sehemu katika uwiano fulani . Wacha pointi zitolewe
Na
na mtazamo
. Haja ya kupata
- kuratibu za uhakika M (Mchoro 2.14).

Kutoka kwa hali ya collinearity ya vekta tunayo:
, wapi
Na

. (2.32)

Kutoka (2.32) tunapata katika fomu ya kuratibu:

Kutoka kwa fomula (2.32’) tunaweza kupata fomula za kukokotoa viwianishi vya katikati ya sehemu.
, kudhani
:

Maoni. Tutahesabu sehemu
Na
chanya au hasi kutegemea ikiwa mwelekeo wao unalingana na mwelekeo kutoka mwanzo
sehemu hadi mwisho
, au hailingani. Kisha, kwa kutumia fomula (2.32) - (2.32"), unaweza kupata kuratibu za hatua inayogawanya sehemu.
nje, yaani, kwa njia ambayo hatua ya kugawanya M iko kwenye muendelezo wa sehemu
, na sio ndani yake. Wakati huo huo, bila shaka,
.

4) mlinganyo wa uso wa spherical . Hebu tuunda equation kwa uso wa spherical - locus ya kijiometri ya pointi
, usawa kwa mbali kutoka kwa kituo fulani cha kudumu - uhakika
. Ni dhahiri kwamba katika kesi hii
na kwa kuzingatia fomula (2.31)

Mlinganyo (2.33) ni mlingano wa uso wa duara unaohitajika.

Udhihirisho wa fomu kuitwa mchanganyiko wa mstari wa vekta A 1 , A 2 ,...,A n na tabia mbaya λ 1, λ 2 ,..., λ n.

Uamuzi wa utegemezi wa mstari wa mfumo wa vekta

Mfumo wa Vector A 1 , A 2 ,...,A n kuitwa tegemezi kwa mstari, ikiwa kuna seti isiyo ya sifuri ya nambari λ 1, λ 2 ,..., λ n, ambayo mchanganyiko wa mstari wa vekta λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n sawa na vector sifuri, yaani, mfumo wa milinganyo: ina suluhisho isiyo ya sifuri.
Seti ya nambari λ 1, λ 2 ,..., λ n ni nonzero ikiwa angalau nambari moja λ 1, λ 2 ,..., λ n tofauti na sifuri.

Uamuzi wa uhuru wa mstari wa mfumo wa vekta

Mfumo wa Vector A 1 , A 2 ,...,A n kuitwa kujitegemea linearly, ikiwa ni mchanganyiko wa mstari wa vekta hizi λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n sawa na vekta ya sifuri tu kwa seti ya sifuri ya nambari λ 1, λ 2 ,..., λ n , yaani, mfumo wa milinganyo: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ ina suluhisho la sifuri la kipekee.

Mfano 29.1

Angalia ikiwa mfumo wa vekta unategemea mstari

Suluhisho:

1. Tunaunda mfumo wa milinganyo:

2. Tunatatua kwa kutumia njia ya Gauss. Mabadiliko ya Jordanano ya mfumo yametolewa katika Jedwali 29.1. Wakati wa kuhesabu, pande za kulia za mfumo hazijaandikwa kwa kuwa ni sawa na sifuri na hazibadiliki wakati wa mabadiliko ya Yordani.

3. Kutoka safu tatu za mwisho za meza andika mfumo uliotatuliwa sawa na ule wa asili mfumo:

4. Tunapata suluhisho la jumla la mfumo:

5. Baada ya kuweka thamani ya kigezo cha bure x 3 =1 kwa hiari yako, tunapata suluhisho fulani lisilo la sifuri X=(-3,2,1).

Jibu: Kwa hiyo, kwa seti isiyo ya sifuri ya nambari (-3,2,1), mchanganyiko wa mstari wa vectors sawa na vector sifuri -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Kwa hivyo, mfumo wa vekta hutegemea mstari.

Tabia za mifumo ya vector

Mali (1)
Ikiwa mfumo wa vekta unategemea mstari, basi angalau moja ya vekta hupanuliwa kwa suala la wengine na, kinyume chake, ikiwa angalau moja ya vectors ya mfumo imepanuliwa kwa suala la wengine, basi mfumo wa vectors. inategemea mstari.

Mali (2)
Ikiwa mfumo wowote wa vekta unategemea mstari, basi mfumo mzima unategemea mstari.

Mali (3)
Ikiwa mfumo wa vekta ni huru kwa mstari, basi mfumo wake wowote mdogo ni huru.

Mali (4)
Mfumo wowote wa vekta zilizo na vekta ya sifuri hutegemea mstari.

Mali (5)
Mfumo wa vekta za m-dimensional hutegemea mstari kila wakati ikiwa idadi ya vekta n ni kubwa kuliko kipimo chao (n>m)

Msingi wa mfumo wa vector

Msingi wa mfumo wa vector A 1 , A 2 ,..., A n mfumo mdogo kama huu B 1 , B 2 ,...,B r unaitwa(kila vekta B 1,B 2,...,B r ni mojawapo ya vivekta A 1, A 2,..., A n), ambayo inakidhi masharti yafuatayo:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r mfumo wa kujitegemea wa mstari wa vekta;
2. vekta yoyote A j mfumo A 1 , A 2 ,..., A n inaonyeshwa kwa mstari kupitia vekta B 1 , B 2 ,..., B r

r- idadi ya vekta zilizojumuishwa kwenye msingi.

Nadharia 29.1 Kwa msingi wa kitengo cha mfumo wa vekta.
Ikiwa mfumo wa vectors m-dimensional una m vectors kitengo tofauti E 1 E 2 ,..., E m , basi huunda msingi wa mfumo.

Algorithm ya kutafuta msingi wa mfumo wa vekta

Ili kupata msingi wa mfumo wa vekta A 1, A 2,..., A n ni muhimu:

Unda mfumo wa homogeneous wa equations sambamba na mfumo wa vectors A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
Lete mfumo huu