Maandishi ya kazi yanatumwa bila picha na fomula.
Toleo kamili work inapatikana katika kichupo cha "Faili za Kazi" katika umbizo la PDF

1 Utangulizi

Kwa mbali nyakati za kihistoria mwanadamu alipaswa kuelewa hatua kwa hatua sio tu sanaa ya kuhesabu, lakini pia kipimo. Wakati wa kufanya zana rahisi zaidi, kujenga nyumba, kupata chakula, kuna haja ya kupima umbali, na kisha maeneo, vyombo, wingi, wakati. Babu yetu alikuwa na urefu wake tu, urefu wa mikono na miguu yake. Ikiwa mtu anahesabu

Ikiwa alitumia vidole na vidole vyake, basi mikono na miguu yake ilitumiwa kupima umbali.

Siku hizi, bila kufikiria, tunafanya mahesabu kwa mita, sentimita, kilomita, nk. Ni rahisi, mfumo wa umoja vipimo vinafaa karibu kila mtu. Lakini, bila shaka, hii haikuwa hivyo kila wakati. Kuanzia nyakati za zamani za upagani, hadi karne ya 19, babu zetu walitumia hatua na vitengo vingine. Mara nyingi tunasikia maneno: inchi, fathom, lakini hatujui ni kiasi gani hiki kinatafsiriwa katika vitengo vya kawaida vya urefu.

Umuhimu wa mada iliyochaguliwa: Nilipendezwa na hatua "zisizo za kawaida" za urefu, ambazo zilitajwa mara kwa mara kazi za fasihi(inchi katika kazi ya H.H. Andersen, fathom kwa Kirusi hadithi za watu nk). Na niliamua kujifunza zaidi kuhusu hatua hizi na kuanzisha uhusiano kati ya mifumo ya kupima ya zamani na mpya.

Madhumuni ya utafiti: kusoma hatua za kale urefu, kulinganisha na mfumo mpya wa kupimia

Nadharia: Je, inawezekana kutumia vipimo vya kale vya urefu kwa wakati huu, ni sahihi na kamilifu jinsi gani?

Mada ya utafiti: Vipimo vya zamani vya Kirusi vya urefu.

Kazi:

Jijulishe na mfumo wa kupimia uliokuwepo hapo awali - kuanzisha uhusiano kati ya mfumo wa kupimia wa zamani na mpya;

Fuatilia tafakari ya hatua za zamani katika ngano za Kirusi.

Mbinu za utafiti:

Uchambuzi wa fasihi iliyotumika;- kazi ya vitendo(kipimo cha umbali, urefu, urefu, urefu, katika vitengo vya kale);

Kutafuta habari kwenye mtandao wa kimataifa;

Mashauriano na mtaalamu katika uwanja wa hisabati.

2. Sehemu kuu

Tangu nyakati za kale, kipimo cha urefu na uzito daima imekuwa mtu: ni mbali gani anaweza kunyoosha mkono wake, ni kiasi gani anaweza kuinua juu ya mabega yake, nk.

Mfumo wa vipimo vya urefu wa Kirusi wa Kale ulijumuisha hatua za msingi zifuatazo: verst, fathom, arshin, elbow, span na vershok.

2.1Arshin

Arshin ni kipimo cha kale cha Kirusi cha urefu (kutoka kwa neno la Kiajemi "arsh" - "elbow"), ambayo ilikuwa sawa na 71 cm iliyopimwa kutoka kwa kidole cha kati hadi bega. Kwa hivyo msemo "Pima kwa kijiti chako mwenyewe." Arshin iligawanywa katika vershoks 16. Walipozungumza juu ya urefu wa mtu, walionyesha tu ni vershoks ngapi alizidi arshins 2. Kwa hivyo, maneno "mtu mwenye urefu wa inchi 12" yalimaanisha kuwa urefu wake ulikuwa 2 arshins inchi 12, ambayo ni, 196 cm ilikuwa fathom. Arshin pia lilikuwa jina lililopewa mtawala wa kupimia, ambayo mgawanyiko katika vershoks kawaida ilitumika.

Kula matoleo tofauti asili ya kipimo cha arshin cha urefu. Labda, mwanzoni, "arshin" iliashiria urefu wa hatua ya mwanadamu (karibu sentimita sabini, wakati wa kutembea kwenye tambarare, kwa kasi ya wastani) na ilikuwa thamani ya msingi kwa hatua nyingine kubwa za kuamua urefu, umbali (fathom, verst). Mzizi "AR" katika neno a r sh i n - in Lugha ya zamani ya Kirusi(na kwa wengine, jirani) maana yake ni “NCHI”, “uso wa dunia”, na inaonyesha kwamba kipimo hiki kinaweza kutumika katika kubainisha urefu wa njia iliyosafirishwa kwa miguu. Kulikuwa na jina lingine la hatua hii ya STEP.

Wafanyabiashara, wakati wa kuuza bidhaa, kama sheria, waliipima na arshin (mtawala) wao au haraka kuipima "kutoka kwa bega." Ili kuzuia kuzidisha,

Mamlaka ilianzisha, kama kiwango, "arshin rasmi", ambayo ni mtawala wa mbao na vidokezo vya chuma na alama ya serikali iliyopigwa mwishoni. HATUA - urefu wa wastani wa hatua ya mwanadamu = 71 cm Moja ya hatua za zamani zaidi za urefu.

"Kila mfanyabiashara hupima kwa arshin yake mwenyewe" - juu ya mtu anayehukumu kila kitu peke yake, kwa kuzingatia masilahi yake mwenyewe, kila mfanyabiashara hupima kwa cm 71.

2.2. Verst

Versta - kutoka kwa neno vert, kipimo cha zamani cha kusafiri cha Urusi (yake jina la mapema- ""shamba"). Neno hili awali lilirejelea umbali unaosafirishwa kutoka sehemu moja ya jembe hadi nyingine wakati wa kulima. Majina haya mawili yametumika kwa muda mrefu sambamba, kama visawe. Marejeleo yanayojulikana katika vyanzo vilivyoandikwa Karne ya 11. Katika maandishi ya karne ya 15. kuna rekodi: "shamba ni fathomu mia 7 na fathomu 50" (urefu wa fathomu 750). Kabla ya Tsar Alexei Mikhailovich, 1 vest ilizingatiwa fathoms 1000. Chini ya Peter Mkuu, mstari mmoja ulikuwa sawa na fathom 500, kwa maneno ya kisasa - 213.36 X 500 = 1066.8 m "Verstoy" pia iliitwa milepost kwenye barabara.

Maili ya mpaka- (kutoka kwa neno mpaka - mpaka umiliki wa ardhi kwa namna ya kamba nyembamba) ni kitengo cha zamani cha Kirusi cha kipimo sawa na versts mbili. Kiwango cha fathomu 1000 (km 2.16) kilitumiwa sana kama kipimo cha mpaka, kwa kawaida wakati wa kufafanua malisho karibu na miji mikubwa, na nje kidogo ya Urusi, hasa katika Siberia - na kupima umbali kati ya maeneo ya watu.

Kolomenskaya dhidi yake- "mtu mkubwa" - jina la ucheshi sana mtu mrefu. Ilianza wakati wa Tsar Alexei Mikhailovich, ambaye alitawala kutoka 1545 hadi 1576. Aliamuru kwamba nguzo zilizo na vikosi juu ziwekwe kando ya barabara inayotoka kituo cha Kaluga cha Moscow hadi jumba la majira ya joto katika kijiji cha Kolomenskoye, kwa umbali wa fathoms 700 kutoka kwa kila mmoja. Urefu wa kila mmoja wao ulikuwa takriban fathom mbili (mita 4).

"Kutoka kwa neno hadi tendo ni maili nzima" - ndivyo wanasema ili kumfanya mtu ajisifu

kufanyika kwa tendo, si kwa maneno, kutoka kwa neno hadi tendo - 1.067 km.

2.3. Kiwiko cha mkono

Kiwiko cha mkono- awali Kipimo cha zamani cha Kirusi urefu, unaojulikana tayari katika karne ya 11, ulikuwa sawa na urefu wa mkono kutoka kwa vidole hadi kwenye kiwiko kwa mstari wa moja kwa moja. Ukubwa wa hii kipimo cha zamani zaidi urefu, kwa vyanzo mbalimbali, ilianzia 38 hadi 47 cm Tangu karne ya 16, ilibadilishwa hatua kwa hatua na arshin na katika karne ya 19 ilikuwa karibu haitumiki. Thamani ya dhiraa ya Kale ya Kirusi ya 10.25-10.5 vershoks (kwa wastani takriban 46-47 cm) ilipatikana kutokana na ulinganisho wa vipimo katika Hekalu la Yerusalemu lililofanywa na Abate Danieli, na baadaye vipimo vya vipimo sawa katika nakala halisi ya hii. hekalu katika hekalu kuu la Monasteri Mpya ya Yerusalemu kwenye Mto Istra (karne ya XVII). Ilitumika katika kilimo cha wakulima wakati ilihitajika kupima urefu wa uzi wa pamba uliotengenezwa nyumbani au kamba ya katani (bidhaa kama hizo zilijeruhiwa kwenye kiwiko). Dhiraa hiyo ilitumiwa sana katika biashara kama kipimo rahisi sana. Katika biashara ya rejareja ya turubai, nguo, na kitani, dhiraa ndiyo kipimo kikuu. Katika biashara kubwa ya jumla, kitani, nguo, nk, zilikuja kwa namna ya vipande vikubwa vya "postavy", ambayo urefu wake ni. nyakati tofauti na katika sehemu mbalimbali ilianzia dhiraa 30 hadi 60 (katika maeneo ya biashara hatua hizi zilikuwa na maana hususa, iliyofafanuliwa vizuri).

"Kiwiko kiko karibu, lakini hautauma" - juu ya kazi rahisi, lakini ambayo haijatimizwa.

2.4. Vershok

Vershok- Kitengo cha kale cha Kirusi cha kipimo, awali sawa na urefu wa phalanx kuu ya kidole cha index. Neno linatokana na "juu", ambayo ni, chipukizi, shina - bua inayoibuka kutoka ardhini. Kipimo cha inchi kwa maneno ya kisasa ni takriban 4.45 cm.

Vershok ilikuwa sawa na 1/16 ya arshin, 1/4 ya robo. KATIKA fasihi XVII V. Pia kuna sehemu za inchi - nusu inchi na robo ya inchi.

Neno "VERSHOK" linajulikana kwa kila mtu - kitu kifupi, kisicho na maana.

Wakati wa kuamua urefu wa mtu au mnyama, kuhesabu kulifanyika baada ya arshins mbili (lazima kwa mtu mzima wa kawaida): ikiwa ilisemekana kuwa mtu anayepimwa alikuwa na urefu wa vershoks 10, basi hii ilimaanisha kuwa alikuwa 2 arshins 10 vershoks. , yaani, sm 187 Kuna msemo kuhusu mtu Mtoto ambaye hajakomaa bado anaambiwa: “Sufuria iko umbali wa inchi mbili. Inchi mbili ni karibu 9 cm, hakuna watu wa urefu huo, ambayo ina maana 2 arshins na 2 inchi. Inchi mbili kutoka kwenye sufuria ni 151.14 cm, yaani, mtu wa kimo kifupi.

2.5. Fathom

Fathom- moja ya hatua za urefu wa kawaida katika Rus '. Kulikuwa na zaidi ya fathom kumi za madhumuni tofauti (na, ipasavyo, saizi).

Kipimo hiki cha zamani cha urefu kilitajwa na Nestor mnamo 1017. Jina fathom linatokana na kitenzi kufikia (kufikia) - ni umbali gani mtu angeweza kufika kwa mkono wake. Kuamua maana ya fathom ya zamani ya Kirusi, jukumu kubwa lilichezwa na ugunduzi wa jiwe ambalo lilichongwa. Barua za Slavic maandishi: "Katika majira ya joto ya 6576 (1068) shtaka la siku 6, Prince Gleb alipima... fathom 10,000 na 4,000." Kutoka kwa kulinganisha kwa matokeo haya na vipimo vya waandishi wa juu, thamani ya fathom ya 151.4 cm ilipatikana Matokeo ya vipimo vya mahekalu na thamani ya hatua za watu wa Kirusi sanjari na thamani hii. Kulikuwa na kamba za kupimia zilizopimwa na "mikunjo" ya mbao ambayo ilitumiwa kupima umbali na katika ujenzi.

Mtazamo rahisi- umbali kati vidole gumba iliyonyoshwa ndani pande tofauti mikono ya binadamu (sawa na takriban 152 cm).

Machaya fathom- umbali kati ya ncha za vidole vya kati vya mikono iliyonyoshwa ya mtu wa urefu wa wastani ilikuwa takriban 1.76 m.

Ufafanuzi wa oblique- (awali "oblique") umbali kutoka kwa vidole vya mguu wa kulia (kushoto). mtu aliyesimama hadi mwisho wa vidole kupanuliwa diagonally

mkono wa kushoto (kulia) (sawa na takriban 216 cm) Inatumika katika maneno: "ana fathoms oblique katika mabega yake" (maana - shujaa, jitu).

Aina za fathom

polisi - 284.8 cm,

kanisa - 186.4 cm,

watu - 176.0 cm,

uashi - 159.7 cm,

rahisi - 150.8 cm,

kubwa - 244.0 cm,

Kigiriki - 230.4 cm,

kitako - 217.6 cm,

kifalme - 197.4 cm,

Fathoms zilitumika kabla ya kuanzishwa kwa mfumo wa kipimo wa hatua.

2.6. Muda

Muda- moja ya hatua za zamani zaidi za urefu. Ni rahisi kwa sababu, kama kiwiko na kiganja, kila mtu hubeba pamoja nao. Muda ni umbali kati ya ncha za kidole gumba na index (au katikati) ya vidole. Ilikuwa 17.78 cm. Walitofautisha: span ndogo, span kubwa na span na mapindu.

"Usikate tamaa" - usikate tamaa hata kitu kidogo, usikate tamaa hata cm 27.

"Mipaka saba kwenye paji la uso" - karibu sana mtu mwenye akili, 189 cm kwenye paji la uso.

Kipindi kikubwa- umbali kati ya ncha kidole gumba na kidole kidogo (22-23 cm).

Muda wa mapigo - na kuongeza ya viungo viwili vya kidole cha index 27-31 cm.

Kipindi kidogo - umbali kati ya ncha za kidole gumba kilichopanuliwa na vidole vya index.

2.7 Kiganja

Kiganja - kupima umbali mdogo, mitende ilitumiwa - hii ni upana wa mkono. Mtende ni 1/6 ya dhiraa (dhiraa sita ya mitende).

Inchi 2.8

Inchi - kitengo kisicho cha kipimo cha umbali na urefu katika baadhi ya mifumo ya kipimo. Inaaminika kwa ujumla kuwa inchi hapo awali ilifafanuliwa kama upana wa kidole gumba. Nyongeza nyingine inaunganisha inchi na urefu wa tatu nafaka za shayiri kavu, zilizochukuliwa kutoka sehemu ya kati ya sikio na kuwekwa moja dhidi ya nyingine na mwisho wao. Neno inchi lilianzishwa katika lugha ya Kirusi na Peter wa kwanza mwanzoni mwa karne ya kumi na nane. Urefu wa inchi ni takriban 25.3mm. Baada ya USSR kubadili mfumo wa metri, inchi zilitumiwa kwa kiwango kidogo: baadhi ya silaha za silaha za "inchi tatu" zilikuwa bunduki za caliber 76.2 mm, na silaha ndogo 2 za "mstari-tatu" zilikuwa 7.62 mm; urefu wa msumari, unene wa bodi; kipenyo cha thread ya bomba, nk.

2.9 Mfumo wa kimataifa vitengo

Mnamo 1960, XI CGPM ilipitisha kiwango, ambacho kwa mara ya kwanza kilipokea jina "Mfumo wa Kimataifa wa Vitengo", na kuanzisha kifupi cha kimataifa cha mfumo huu "SI". Vitengo vya msingi ndani yake vilikuwa mita, kilo, pili, ampere, digrii Kelvin na candela.

Mnamo Januari 1, 1963, GOST 9867-61 "Mfumo wa Kimataifa wa Vitengo" SI ilianzishwa katika USSR kama iliyopendekezwa katika nyanja zote za sayansi, teknolojia na. uchumi wa taifa, pamoja na wakati wa kufundisha

Hitimisho: Ninaamini kwamba vitengo vyote vya kipimo ambavyo nimesoma vinapaswa kuondolewa kutoka kwa mzunguko haraka iwezekanavyo, ambapo vinatumika sasa, kwa sababu " mfumo huu vipimo" sio kamili. Kwa kuwa kila mtu ana urefu wake na vipimo vyake, ikawa wazi jinsi mfumo kama huo wa hatua ulivyokuwa haufai. Kwa hivyo, baada ya muda, watu walibadilisha mfumo wa metri: baada ya yote, mita, decimeter, sentimita hazitegemei.

kutoka kwa urefu wa mtu.

2.10.Sehemu ya vitendo

Verst

Nilihesabu umbali kutoka nyumbani hadi shule kwa maili.

Vershok

Niliamua kupima urefu wa kitabu kwa wastani jina lililokubaliwa inchi, na matokeo yake ya kipimo

Arshin

Nilipima arshin ya wanafamilia yangu.

Nilipima urefu wa wanafamilia yangu kwa kijiti.

Fathom

Nilipima fathom rahisi na oblique ya wanafamilia yangu

Nilipima urefu wa chumba changu kwa kipimo.

Kiwiko cha mkono

Nilipima urefu wa kiwiko cha wanafamilia wangu wote.

Nilipima urefu wa wanafamilia kwenye viwiko vya mkono

Muda

Nilipima urefu wa piano kwa alama ya wastani inayokubalika na muda wangu

Kiganja

Nilipima urefu wa piano kwa kiganja changu kwa kutumia nukuu ya wastani, na kwa kiganja changu

Inchi

Nilipima urefu wa glasi kwa inchi, pamoja na upana wa kidole gumba

3.Hitimisho

Katika kipindi cha kazi yangu, niligundua ni vipimo gani vya kale vya urefu vilivyokuwepo katika nyakati za kale na kuzilinganisha na mfumo mpya wa kupima. Wakati wa utafiti, niligundua ni maili ngapi kutoka nyumbani hadi shule, urefu wa hatua, kiganja, kiwiko, kiwiko ni kwa wanafamilia wangu wote. Urefu ni moja ya kwanza dhana za kijiometri, aliingia na mtu. Vipimo vya kwanza vya urefu vilikuwa vya asili na rahisi zaidi. Elbow, arshin, span, hatua - hatua hizi huwa na wewe kila wakati, lakini sio sahihi, kwani watu tofauti vitengo hivi ni tofauti. Na hata ikiwa hatua hizi hazitumiki sasa kama hapo awali, zinaonyeshwa katika ngano na bado zinatumiwa leo, zinaonyesha hekima ya watu.

Mwishoni mwa kazi hiyo, nilipata furaha kubwa kutokana na kazi iliyofanywa kwa mara ya kwanza chini ya mwongozo wa mwalimu na wazazi, na ninatumaini kwamba ilinifanyia kazi.

4.Fasihi

Dal V.I. Mithali ya watu wa Urusi, M., "Astrel", 2008

Vipengele vya kimbinu vya kusoma hisabati. Hatua za kale za Kirusi. Subbotina A.A., daraja la 7, MBOU "Shule ya Sekondari ya Ilyinskaya No. 1", wilaya ya Ilyinsky, Elena Borisovna Putilova, mwalimu wa hisabati wa jamii ya kwanza. Perm, 2015.

3. http:// rusprawda.info Hatua za kale za Kirusi za urefu

4. http://philolog.petrusu.ru/dahl/html/texst.hlm.- Maandishi ya kazi na Vladimir Ivanovich Dahl.

5. http://ru.wikipedia.org mfumo wa vitengo vya kipimo - Wikipedia

Imewekwa katikati A.
α - pembe iliyoonyeshwa kwa radians.

Ufafanuzi
Sine (dhambi α) ni kazi ya trigonometriki kutegemeana na pembe α kati ya hypotenuse na mguu wa pembetatu ya kulia, sawa na uwiano wa urefu wa mguu wa kinyume |BC| kwa urefu wa hypotenuse |AC|.

Kosine (cos α) ni utendaji wa trigonometriki kutegemeana na pembe α kati ya hypotenuse na mguu wa pembetatu ya kulia, sawa na uwiano wa urefu wa mguu wa karibu |AB| kwa urefu wa hypotenuse |AC|.

Maandishi yaliyokubaliwa

;
;
.

;
;
.

Grafu ya kazi ya sine, y = dhambi x

Grafu ya kazi ya kosine, y = cos x

Tabia za sine na cosine

Muda

Kazi y = dhambi x na y = kwani x mara kwa mara na kipindi 2p.

Usawa

Kitendaji cha sine si cha kawaida. Kazi ya cosine ni sawa.

Domain ya ufafanuzi na maadili, extrema, ongezeko, kupungua

Kazi za sine na kosine zinaendelea katika kikoa chao cha ufafanuzi, yaani, kwa zote x (angalia uthibitisho wa mwendelezo). Yao mali ya msingi iliyotolewa katika meza (n - integer).

	y = dhambi x	y = kwani x
Upeo na mwendelezo	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Msururu wa maadili	-1 ≤y ≤ 1	-1 ≤y ≤ 1
Kuongezeka
Kushuka
Maxima, y ​​= 1
Minima, y ​​= - 1
Sufuri, y = 0
Kata pointi na mhimili wa kuratibu, x = 0	y = 0	y = 1

Kanuni za msingi

Jumla ya miraba ya sine na kosine

Fomula za sine na kosine kutoka kwa jumla na tofauti

;
;

Fomula za bidhaa za sines na cosines

Muhtasari na fomula tofauti

Kuonyesha sine kupitia kosine

;
;
;
.

Kuonyesha cosine kupitia sine

;
;
;
.

Kujieleza kupitia tangent

; .

Wakati, tuna:
; .

Saa:
; .

Jedwali la sines na cosines, tangents na cotangents

Jedwali hili linaonyesha maadili ya sines na cosines kwa maadili fulani ya hoja.

Vielezi kupitia viambishi changamano

;

Muundo wa Euler

Vielezi kupitia vitendaji vya hyperbolic

;
;

Viingilio

;

.
{ -∞ < x < +∞ }

Kuunda fomula >>>

Mitindo ya agizo la nth:

Secant, cosecant Vitendaji kinyume

Vitendaji kinyume

kwa sine na kosine ni arcsine na arccosine, mtawalia.

Arcsine, arcsin
Arccosine, arccos

Maandishi yaliyotumika: I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Kitabu cha hesabu cha wahandisi na wanafunzi wa vyuo vikuu, "Lan", 2009. Kuratibu x pointi zilizo kwenye duara ni sawa na cos(θ), na kuratibu

• y
• inalingana na dhambi(θ), ambapo θ ni ukubwa wa pembe. Ikiwa unaona ni vigumu kukumbuka sheria hii, kumbuka tu kwamba katika jozi (cos; sin) "sine huja mwisho." Sheria hii inaweza kupatikana kwa kuzingatia pembetatu za kulia na ufafanuzi wa data

kazi za trigonometric "(sine ya pembe ni sawa na uwiano wa urefu wa upande wa kinyume, na cosine ni sawa na uwiano wa upande wa karibu na hypotenuse). Andika viwianishi vya pointi nne kwenye duara. Mzunguko wa kitengo" ni mduara ambao radius yake I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Kitabu cha hesabu cha wahandisi na wanafunzi wa vyuo vikuu, "Lan", 2009. sawa na moja x. Tumia hii kuamua kuratibu

• Na (1; 0) .
• katika pointi nne za makutano ya shoka za kuratibu na mduara. Hapo juu, kwa uwazi, tuliteua nukta hizi kama "mashariki", "kaskazini", "magharibi" na "kusini", ingawa hazina majina yaliyothibitishwa. (0; 1) .
• "Mashariki" inalingana na hatua na kuratibu (-1; 0) .
• "Kaskazini" inalingana na hatua na kuratibu (0; -1) .
• Hii ni sawa na grafu ya kawaida, kwa hiyo hakuna haja ya kukariri maadili haya, kumbuka tu kanuni ya msingi.

Kumbuka kuratibu za pointi katika roboduara ya kwanza. Roboduara ya kwanza iko katika sehemu ya juu ya kulia ya duara, ambapo kuratibu I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Kitabu cha hesabu cha wahandisi na wanafunzi wa vyuo vikuu, "Lan", 2009. sawa na moja x kukubali maadili chanya. Hivi ndivyo viwianishi pekee unavyohitaji kukumbuka:

• hatua π / 6 ina kuratibu () ;
• hatua π/4 ina viwianishi () ;
• hatua π/3 ina viwianishi () ;
• Kumbuka kwamba nambari inachukua tu maadili matatu. Ikiwa unasonga kwa mwelekeo mzuri (kutoka kushoto kwenda kulia kwenye mhimili I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Kitabu cha hesabu cha wahandisi na wanafunzi wa vyuo vikuu, "Lan", 2009. na kutoka chini kwenda juu pamoja na mhimili x), nambari huchukua maadili 1 → √2 → √3.

Chora mistari ya moja kwa moja na uamua kuratibu za pointi za makutano yao na mduara. Ikiwa utachora mistari ya moja kwa moja ya usawa na wima kutoka kwa alama za roboduara moja, sehemu za pili za makutano ya mistari hii na duara zitakuwa na kuratibu. I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Kitabu cha hesabu cha wahandisi na wanafunzi wa vyuo vikuu, "Lan", 2009. sawa na moja x na maadili sawa kabisa, lakini ishara tofauti. Kwa maneno mengine, unaweza kuchora mistari ya usawa na wima kutoka kwa pointi za roboduara ya kwanza na kuweka alama za makutano na mduara na kuratibu sawa, lakini wakati huo huo kuondoka nafasi upande wa kushoto kwa ishara sahihi ("+" au "-").

• Kwa mfano, mtu anaweza kuchora mstari wa usawa kati ya pointi π/3 na 2π/3. Kwa kuwa hatua ya kwanza ina kuratibu ( 1 2 , 3 2 (\mtindo wa kuonyesha (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))), kuratibu za hatua ya pili itakuwa (? 1 2,? 3 2 (\mtindo wa kuonyesha (\frac (1)(2)),?(\frac (\sqrt (3)))(2)))), ambapo badala ya ishara "+" au "-" kuna alama ya kuuliza.
• Tumia njia rahisi zaidi: makini na madhehebu ya kuratibu za uhakika katika radians. Pointi zote zilizo na dhehebu 3 zina sawa maadili kamili kuratibu Vile vile hutumika kwa pointi zilizo na denominators 4 na 6.

Kuamua ishara ya kuratibu, tumia sheria za ulinganifu. Kuna njia kadhaa za kuamua mahali pa kuweka ishara "-":

• Kumbuka sheria za msingi za chati za kawaida. Mhimili I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Kitabu cha hesabu cha wahandisi na wanafunzi wa vyuo vikuu, "Lan", 2009. hasi upande wa kushoto na chanya upande wa kulia. Mhimili x hasi chini na chanya hapo juu;
• anza na roboduara ya kwanza na chora mistari kwa pointi nyingine. Ikiwa mstari unavuka mhimili x, kuratibu I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Kitabu cha hesabu cha wahandisi na wanafunzi wa vyuo vikuu, "Lan", 2009. itabadilisha ishara yake. Ikiwa mstari unavuka mhimili I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Kitabu cha hesabu cha wahandisi na wanafunzi wa vyuo vikuu, "Lan", 2009., ishara ya kuratibu itabadilika x;
• kumbuka kwamba katika roboduara ya kwanza kazi zote ni chanya, katika roboduara ya pili tu sine ni chanya, katika roboduara ya tatu tu tangent ni chanya, na katika roboduara ya nne tu cosine ni chanya;
• Njia yoyote unayotumia, unapaswa kupata (++) katika roboduara ya kwanza, (-+) ya pili, (-,-) ya tatu, na (+,-) ya nne.

Angalia ikiwa ulifanya makosa. Chini ni orodha kamili kuratibu za alama "maalum" (isipokuwa kwa alama nne kwenye kuratibu shoka), ikiwa unasonga kwenye mduara wa kitengo kinyume cha saa. Kumbuka kwamba ili kuamua maadili haya yote, inatosha kukumbuka kuratibu za pointi tu katika roboduara ya kwanza:

• robo ya kwanza: ( 3 2 , 1 2 (\mtindo wa kuonyesha (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\mtindo wa kuonyesha (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\mtindo wa kuonyesha (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
• robo ya pili: ( − 1 2 , 3 2 (\mtindo wa kuonyesha -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
• robo ya tatu: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3)))(2))));
• robo ya nne: ( 1 2 , − 3 2 (\mtindo wa kuonyesha (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\mtindo wa kuonyesha (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\mtindo wa kuonyesha (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).

Jedwali la maadili ya kazi za trigonometric

Kumbuka. Jedwali hili la thamani za utendakazi za trigonometric hutumia ishara √ kuashiria mzizi wa mraba. Ili kuonyesha sehemu, tumia ishara "/".

Tazama pia nyenzo muhimu:

Kwa kuamua thamani ya chaguo za kukokotoa za trigonometriki, pata kwenye makutano ya mstari unaoonyesha kazi ya trigonometric. Kwa mfano, sine digrii 30 - tunatafuta safu iliyo na kichwa dhambi (sine) na kupata makutano ya safu hii ya jedwali na safu "digrii 30", kwenye makutano yao tunasoma matokeo - nusu moja. Vile vile tunapata koni 60 digrii, sine 60 digrii (kwa mara nyingine tena, kwenye makutano ya dhambi ya safu (sine) na safu ya digrii 60 tunapata. thamani ya dhambi 60 = √3/2), nk. Maadili ya sines, cosines na tangents ya pembe zingine "maarufu" hupatikana kwa njia ile ile.

Sine pi, cosine pi, tangent pi na pembe nyingine katika radiani

Jedwali lililo hapa chini la kosini, sines na tanjiti pia linafaa kwa kupata thamani ya vitendaji vya trigonometri ambayo hoja yake ni. iliyotolewa kwa radians. Ili kufanya hivyo, tumia safu ya pili ya maadili ya pembe. Shukrani kwa hili, unaweza kubadilisha thamani ya pembe maarufu kutoka digrii hadi radians. Kwa mfano, hebu tupate angle ya digrii 60 kwenye mstari wa kwanza na tusome thamani yake katika radians chini yake. Digrii 60 ni sawa na radiani π/3.

Nambari pi inaonyesha bila utata utegemezi wa mduara kipimo cha shahada kona. Kwa hivyo, pi radiani ni sawa na digrii 180.

Nambari yoyote iliyoonyeshwa kulingana na pi (radians) inaweza kubadilishwa kwa urahisi kuwa digrii kwa kubadilisha pi (π) na 180..

Mifano:
1. Sine pi.
dhambi π = dhambi 180 = 0
hivyo, sine ya pi ni sawa na sine ya nyuzi 180 na ni sawa na sifuri.

2. Cosine pi.
cos π = cos 180 = -1
kwa hivyo, kosine ya pi ni sawa na kosine ya digrii 180 na ni sawa na minus moja.

3. Tangent pi
tg π = tg 180 = 0
kwa hivyo, tangent pi ni sawa na tangent digrii 180 na ni sawa na sifuri.

Jedwali la sine, cosine, thamani za tangent kwa pembe 0 - 360 digrii (thamani za kawaida)

thamani ya pembe α (digrii)	thamani ya pembe α katika radiani (kupitia pi)	dhambi (sinus)	cos (cosine)	tg (tangent)	ctg (cotangent)	sekunde (secant)	cosec (cosecant)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2p	0	1	0	-	1	-

Ikiwa kwenye jedwali la maadili ya kazi za trigonometric dashi imeonyeshwa badala ya thamani ya kazi (tangent (tg) digrii 90, cotangent (ctg) digrii 180), inamaanisha kwamba wakati thamani iliyopewa kipengele cha kukokotoa hakina kipimo cha digrii cha pembe thamani fulani. Ikiwa hakuna dashi, kisanduku hakina kitu, kumaanisha kuwa bado hatujaingia thamani inayotakiwa. Tunavutiwa na maswali ambayo watumiaji huja kwetu na kuongeza jedwali na maadili mapya, licha ya ukweli kwamba data ya sasa juu ya maadili ya cosines, sines na tangents ya maadili ya kawaida ya pembe inatosha kutatua zaidi. matatizo.

Jedwali la maadili ya kazi za trigonometric sin, cos, tg kwa pembe maarufu zaidi
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... digrii 360
(thamani za nambari "kulingana na jedwali la Bradis")

thamani ya pembe α (digrii)	thamani ya pembe α katika radiani	dhambi (sine)	cos (cosine)	tg (tangent)	ctg (cotangent)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Makala hii ina meza za sines, cosines, tangents na cotangents. Kwanza, tutatoa jedwali la maadili ya msingi ya kazi za trigonometric, ambayo ni, meza ya sines, cosines, tangents na cotangents ya pembe za 0, 30, 45, 60, 90, ..., digrii 360 ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radian). Baada ya hayo, tutatoa meza ya sines na cosines, pamoja na meza ya tangents na cotangents na V. M. Bradis, na kuonyesha jinsi ya kutumia meza hizi wakati wa kupata maadili ya kazi za trigonometric.

Urambazaji wa ukurasa.

Jedwali la sines, cosines, tangents na cotangents kwa pembe za 0, 30, 45, 60, 90, ... digrii

Marejeleo.

• Aljebra: Kitabu cha kiada kwa daraja la 9. wastani. shule/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Mh. S. A. Telyakovsky - M.: Elimu, 1990. - 272 pp.: mgonjwa - ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra na mwanzo wa uchambuzi: Kitabu cha maandishi. kwa darasa la 10-11. wastani. shule - Toleo la 3. - M.: Elimu, 1993. - 351 p.: mgonjwa. - ISBN 5-09-004617-4.
• Aljebra na mwanzo wa uchambuzi: Proc. kwa darasa la 10-11. elimu ya jumla taasisi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn na wengine; Mh. A. N. Kolmogorov - 14 ed - M.: Elimu, 2004. - 384 pp. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Hisabati (mwongozo kwa wale wanaoingia shule za ufundi): Proc. posho.- M.; Juu zaidi shule, 1984.-351 p., mgonjwa.
• Bradis V.M. Jedwali za hesabu za tarakimu nne: Kwa elimu ya jumla. kitabu cha kiada taasisi. - Toleo la 2. - M.: Bustard, 1999.- 96 p.: mgonjwa. ISBN 5-7107-2667-2