Upeo wa karibu wa chaguo za kukokotoa. Uamuzi wa pointi za ndani za extrema za kazi ya vigezo kadhaa

Ufafanuzi: Pointi x0 inaitwa nukta ya upeo wa ndani (au kiwango cha chini) cha chaguo za kukokotoa ikiwa katika kitongoji fulani cha nukta x0 chaguo la kukokotoa linachukua thamani kubwa zaidi (au ndogo zaidi), i.e. kwa yote x kutoka kwa baadhi ya kitongoji cha uhakika x0 hali f(x) f(x0) (au f(x) f(x0)) imeridhika.

Upeo wa juu au alama za chini zimeunganishwa jina la kawaida- pointi za upeo wa ndani wa kazi.

Kumbuka kuwa katika sehemu za juu za ndani, chaguo za kukokotoa hufikia thamani yake ya juu au ya chini katika eneo fulani la ndani pekee. Kunaweza kuwa na matukio wakati kulingana na thamani уmaxуmin.

Ishara ya lazima ya kuwepo kwa upeo wa ndani wa kazi

Nadharia . Kama kazi inayoendelea y = f(x) ina upeo wa ndani katika hatua x0, basi katika hatua hii derivative ya kwanza ni sifuri au haipo, i.e. kali za mitaa hutokea katika maeneo muhimu ya aina ya kwanza.

Katika sehemu kali za ndani, ama tanjiti ni sambamba na mhimili wa 0x, au kuna tanjiti mbili (tazama mchoro). Kumbuka hilo pointi muhimu ni hali ya lazima lakini haitoshi kwa wenye msimamo mkali wa ndani. Msimamo mkali wa ndani hutokea tu katika maeneo muhimu ya aina ya kwanza, lakini sio katika maeneo muhimu kabisa ya mitaa kali hutokea.

Kwa mfano: parabola ya ujazo y = x3 ina hatua muhimu x0 = 0, ambapo derivative. y/(0)=0, lakini nukta muhimu x0=0 sio sehemu ya kupindukia, lakini ni sehemu ya inflection ndani yake (tazama hapa chini).

Ishara ya kutosha ya kuwepo kwa upeo wa ndani wa kazi

Nadharia . Ikiwa, wakati hoja inapitia hatua muhimu ya aina ya kwanza kutoka kushoto kwenda kulia, derivative ya kwanza y / (x)

hubadilisha ishara kutoka "+" hadi "-", basi kazi inayoendelea y (x) katika hatua hii muhimu ina upeo wa ndani;

hubadilisha ishara kutoka "-" hadi "+", kisha chaguo la kukokotoa y(x) lina kiwango cha chini cha ndani katika hatua hii muhimu.

haibadilishi ishara, basi katika hatua hii muhimu hakuna extremum ya ndani, kuna hatua ya inflection hapa.

Kwa upeo wa ndani, eneo la kazi inayoongezeka (y/0) inabadilishwa na eneo la kazi inayopungua (y/0). Kwa kiwango cha chini cha ndani, eneo la kazi ya kupungua (y/0) inabadilishwa na eneo la kazi inayoongezeka (y/0).

Mfano: Chunguza kazi y = x3 + 9x2 + 15x - 9 kwa monotonicity, extremum na uunda grafu ya chaguo la kukokotoa.

Wacha tupate alama muhimu za aina ya kwanza kwa kufafanua derivative (y/) na kuilinganisha na sifuri: y/ = 3x2 + 18x + 15 = 3(x2 + 6x + 5) = 0

Hebu tuamue quadratic trinomial kwa kutumia ubaguzi:

x2 + 6x + 5 = 0 (a=1, b=6, c=5) D=, x1k = -5, x2k = -1.

2) Tunagawanya mhimili wa nambari katika mikoa 3 na pointi muhimu na kuamua ishara za derivative (y /) ndani yao. Kutumia ishara hizi tutapata maeneo ya monotonicity (kuongezeka na kupungua) ya kazi, na kwa kubadilisha ishara tutaamua pointi za upeo wa ndani (kiwango cha juu na cha chini).

Tunawasilisha matokeo ya utafiti katika mfumo wa jedwali, ambayo hitimisho zifuatazo zinaweza kutolewa:

1. Katika muda y /(-10) 0 kazi huongezeka monotonically (ishara ya derivative y ilikadiriwa kutumia hatua ya kudhibiti x = -10 kuchukuliwa katika muda huu);
2. Katika muda (-5 ; -1) y /(-2) 0 kazi hupungua monotonically (ishara ya derivative y ilikadiriwa kutumia hatua ya kudhibiti x = -2, iliyochukuliwa katika muda huu);
3. Katika muda y / (0) 0, kazi huongezeka monotonically (ishara ya derivative y ilikadiriwa kutumia hatua ya kudhibiti x = 0, iliyochukuliwa katika muda huu);
4. Wakati wa kupitia hatua muhimu x1k = -5, derivative hubadilisha ishara kutoka "+" hadi "-", kwa hiyo hatua hii ni kiwango cha juu cha ndani.
(ymax(-5) = (-5)3+9(-5)2 +15(-5)-9=-125 + 225 - 75 - 9 =16);
5. Wakati wa kupitia hatua muhimu x2k = -1, derivative hubadilisha ishara kutoka "-" hadi "+", kwa hiyo hatua hii ni kiwango cha chini cha ndani.
(ymin(-1) = -1 + 9 - 15 - 9 = - 16).

x -5 (-5 ; -1) -1

3) Tutaunda grafu kulingana na matokeo ya utafiti kwa kutumia mahesabu ya ziada ya maadili ya kazi katika pointi za udhibiti:

tunajenga mfumo wa mstatili Kuratibu za Oxy;

Tunaonyesha kwa kuratibu alama za kiwango cha juu (-5; 16) na cha chini (-1;-16);

ili kufafanua grafu, tunahesabu thamani ya kazi katika pointi za udhibiti, tukiwachagua kushoto na kulia kwa pointi za juu na za chini na ndani ya muda wa wastani, kwa mfano: y(-6)=(-6)3 + 9(-6)2+15(-6)-9=9; y(-3)=(-3)3+9(-3)2+15(-3)-9=0;

y(0)= -9 (-6;9); (-3;0) na (0;-9) - pointi za udhibiti zilizohesabiwa ambazo tunapanga kujenga grafu;

Tunaonyesha grafu katika mfumo wa curve convex kuelekea juu katika hatua ya juu na convex kuelekea chini katika hatua ya chini na kupita katika pointi mahesabu ya udhibiti.

$E \seti ndogo \mathbb(R)^(n)$. Wanasema $f$ ina upeo wa ndani kwa uhakika $x_(0) \katika E$, ikiwa kuna kitongoji $U$ cha uhakika $x_(0)$ kiasi kwamba kwa $x zote \katika U$ ukosefu wa usawa $f\left(x\kulia ) \leqslant f imeridhika \left(x_(0)\right)$.

Upeo wa ndani unaitwa kali , ikiwa kitongoji $U$ kinaweza kuchaguliwa ili kwa $x yote \katika U$ tofauti na $x_(0)$ kuna $f\left(x\kulia)< f\left(x_{0}\right)$.

Ufafanuzi
Acha $f$ iwe kazi halisi kwenye seti iliyofunguliwa $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Wanasema $f$ ina kima cha chini cha ndani kwa uhakika $x_(0) \katika E$, ikiwa kuna kitongoji $U$ cha uhakika $x_(0)$ kiasi kwamba kwa $x zote \katika U$ ukosefu wa usawa $f\left(x\kulia ) \geqslant f imeridhika \left(x_(0)\right)$.

Kiwango cha chini cha ndani kinaitwa kigumu ikiwa kitongoji $U$ kinaweza kuchaguliwa ili kwa $x zote \katika U$ tofauti na $x_(0)$ kuna $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\kulia)$.

Ukali wa ndani unachanganya dhana za kiwango cha chini cha ndani na kiwango cha juu cha ndani.

Nadharia ( hali ya lazima upeo wa kazi inayoweza kutofautishwa)
Acha $f$ iwe kazi halisi kwenye seti wazi $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Ikiwa kwa uhakika $x_(0) \katika E$ chaguo la kukokotoa $f$ lina kali ya ndani katika hatua hii, basi $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Sawa na tofauti ya sifuri ni sawa na ukweli kwamba wote ni sawa na sifuri, i.e. $$\mtindo wa maonyesho\frac(\sehemu f)(\sehemu x_(i))\kushoto(x_(0)\kulia)=0.$$

Katika kesi ya mwelekeo mmoja hii ni -. Wacha tuashiria $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, ambapo $h$ iko vekta ya kiholela. Chaguo za kukokotoa $\phi$ hufafanuliwa kwa thamani za $t$ ambazo ni ndogo vya kutosha katika thamani kamili. Kwa kuongezea, inaweza kutofautishwa kuhusiana na , na $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Acha $f$ iwe na kiwango cha juu cha ndani kwa uhakika x $0$. Hii inamaanisha kuwa chaguo za kukokotoa $\phi$ at $t = 0$ ina upeo wa ndani na, kwa nadharia ya Fermat, $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Kwa hivyo, tulipata hiyo $df \left(x_(0)\right) = 0$, i.e. function $f$ kwa uhakika $x_(0)$ ni sawa na sufuri kwenye vekta yoyote $h$.

Ufafanuzi
Pointi ambazo tofauti ni sifuri, i.e. zile ambazo sehemu zote za derivatives ni sawa na sifuri huitwa stationary. Pointi muhimu function $f$ ni zile pointi ambazo $f$ haiwezi kutofautishwa au ni sawa na sifuri. Ikiwa hatua hiyo imesimama, basi haifuati kutoka kwa hili kwamba kazi ina uliokithiri katika hatua hii.

Mfano 1.
Acha $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Kisha $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, kwa hivyo $\left(0,0\right)$ ni mahali pa kusimama, lakini chaguo la kukokotoa halina makali kwa wakati huu. Hakika, $f \left(0,0\right) = 0$, lakini ni rahisi kuona kwamba katika kitongoji chochote cha uhakika $\left(0,0\right)$ kazi inachukua maadili chanya na hasi.

Mfano 2.
Chaguo za kukokotoa $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ ina hatua ya kusimama katika asili yake, lakini ni wazi kwamba hakuna kali katika hatua hii.

Nadharia ( hali ya kutosha uliokithiri).
Acha kazi $f$ iweze kutofautishwa mara mbili mfululizo kwenye seti iliyofunguliwa $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Acha $x_(0) \katika E$ iwe sehemu ya kusimama na $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\kulia) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\sehemu^(2) f)(\sehemu x_(i) \sehemu x_(j)) \kushoto(x_(0)\kulia)h^(i)h^(j).$ $ Kisha

ikiwa $Q_(x_(0))$ - , basi chaguo la kukokotoa $f$ katika hatua $x_(0)$ ina upeo wa ndani, yaani, kiwango cha chini ikiwa fomu ni chanya uhakika, na kiwango cha juu ikiwa fomu ni hasi ya uhakika;
Kama fomu ya quadratic$Q_(x_(0))$ haijafafanuliwa, kisha chaguo za kukokotoa $f$ katika hatua $x_(0)$ haina upeo.

Wacha tutumie upanuzi kulingana na fomula ya Taylor (12.7 p. 292). Kwa kuzingatia kwamba agizo la kwanza sehemu ya sehemu ya derivatives katika uhakika $x_(0)$ ni sawa na sufuri, tunapata $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ kulia) = \ frac(1)(2) \jumla_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\sehemu^(2) f)(\sehemu x_(i) \sehemu x_ (j)) \kushoto(x_(0)+\theta h\kulia)h^(i)h^(j),$$ ambapo $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, na $\epsilon \left(h\kulia) \mshale wa kulia 0$ kwa $h \mshale wa kulia 0$, kisha sehemu ya kulia itakuwa chanya kwa vekta yoyote $h$ ya urefu mdogo vya kutosha.
Kwa hivyo, tumefikia hitimisho kwamba katika kitongoji fulani cha uhakika $x_(0)$ ukosefu wa usawa $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ unashikilia ikiwa tu $ x \neq x_ (0)$ (tunaweka $x=x_(0)+h$\kulia). Hii inamaanisha kuwa kwa uhakika $x_(0)$ chaguo la kukokotoa lina kiwango cha chini kabisa cha ndani, na kwa hivyo sehemu ya kwanza ya nadharia yetu imethibitishwa.
Tuseme sasa hiyo $Q_(x_(0))$ - fomu isiyo na ukomo. Kisha kuna vekta $h_(1)$, $h_(2)$ kiasi kwamba $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \kushoto(h_(2)\kulia)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0. Kisha tunapata $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \kushoto(th_(1)\kulia) \kulia] = \frac(1)(2) t^(2) \ kushoto[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \kushoto(th_(1)\kulia) \kulia].$$ Kwa $t>0$ ndogo ya kutosha, mkono wa kulia upande ni chanya. Hii ina maana kwamba katika kitongoji chochote cha uhakika $x_(0)$ chaguo za kukokotoa $f$ huchukua thamani$f \left(x\right)$ kubwa kuliko $f \left(x_(0)\right)$.
Vile vile, tunapata kwamba katika kitongoji chochote cha uhakika $x_(0)$ chaguo za kukokotoa $f$ huchukua thamani chini ya $f \left(x_(0)\right)$. Hii, pamoja na ile iliyotangulia, ina maana kwamba kwa uhakika $x_(0)$ chaguo la kukokotoa $f$ halina kikomo.

Hebu tuzingatie kesi maalum ya nadharia hii kwa kazi $f \left(x,y\kulia)$ ya vigeu viwili vilivyofafanuliwa katika kitongoji fulani cha nukta $\left(x_(0),y_(0)\right)$ na kuwa na sehemu inayoendelea. derivatives ya kwanza katika mtaa huu na amri ya pili. Chukulia kuwa $\left(x_(0),y_(0)\kulia)$ ni sehemu ya kusimama na inaashiria $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \kushoto(x_(0) ,y_(0)\kulia), a_(12)=\frac(\sehemu^(2) f)(\sehemu x \sehemu y) \kushoto(x_( 0) ), y_(0)\kulia), a_(22)=\frac(\sehemu^(2) f)(\sehemu y^(2)) \kushoto(x_(0), y_(0)\kulia ) .$$ Kisha nadharia iliyotangulia inachukua fomu ifuatayo.

Nadharia
Acha $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Kisha:

ikiwa $\Delta>0$, basi chaguo la kukokotoa $f$ lina upeo wa ndani kwa uhakika $\left(x_(0),y_(0)\kulia)$, yaani, kiwango cha chini ikiwa $a_(11)> 0$ , na kiwango cha juu zaidi ikiwa $a_(11)<0$;
ikiwa $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Mifano ya kutatua matatizo

Algorithm ya kupata mwisho wa kazi ya anuwai nyingi:

Kutafuta vituo vya stationary;
Pata tofauti ya mpangilio wa 2 katika sehemu zote za stationary
Kutumia hali ya kutosha kwa mwisho wa kazi ya anuwai kadhaa, tunazingatia tofauti ya mpangilio wa 2 katika kila moja. hatua ya stationary

Chunguza chaguo za kukokotoa za $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
Suluhisho
Hebu tutafute viasili vya sehemu ya agizo la 1: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\ partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Hebu tuunge na kutatua mfumo: $$\displaystyle \anza(kesi)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\sehemu f)(\sehemu y)= 0\mwisho(kesi) \Mshale wa kulia \anza(kesi)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdoti y^(2) — 6 \cdoti x = 0\mwisho(kesi) \Mshale wa kulia \anza(kesi)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \mwisho(kesi)$$ Kutoka kwa mlinganyo wa 2 tunaeleza $x=4 \cdot y^(2)$ - ibadilishe katika mlinganyo wa 1: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \kulia )^(2)-2 \cdot y=0$$$$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Kwa hivyo, pointi 2 zisizosimama zimepatikana:
1) $y=0 \Mshale wa kulia x = 0, M_(1) = \kushoto(0, 0\kulia)$;
2) $\mtindo wa kuonyesha 8 \cdot y^(3) -1=0 \Mshale wa kulia y^(3)=\frac(1)(8) \Mshale wa kulia y = \frac(1)(2) \Mshale wa kulia x=1 , M_(2) = \kushoto(\frac(1)(2), 1\kulia)$
Wacha tuangalie ikiwa hali ya kutosha ya mtu aliyekithiri imeridhika:
$$\mtindo wa maonyesho \frac(\sehemu^(2) f)(\sehemu x^(2))=6 \cdot x; \frac(\sehemu^(2) f)(\sehemu x \sehemu y)=-6; \frac(\sehemu^(2) f)(\sehemu y^(2))=48 \cdot y$$
1) Kwa uhakika $M_(1)= \left(0,0\kulia)$:
$$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\sehemu x^(2)) \kushoto(0,0\kulia)=0; B_(1)=\frac(\sehemu^(2) f)(\sehemu x \sehemu y) \kushoto(0,0\kulia)=-6; C_(1)=\frac(\sehemu^(2) f)(\sehemu y^(2)) \kushoto(0,0\kulia)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) Kwa pointi $M_(2)$:
$$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\sehemu x^(2)) \kushoto(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\sehemu^(2) f)(\sehemu x \sehemu y) \kushoto(1,\frac(1)(2)\kulia)=-6; C_(2)=\frac(\sehemu^(2) f)(\sehemu y^(2)) \kushoto(1,\frac(1)(2)\kulia)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, ambayo ina maana kwamba kwa uhakika $M_(2)$ kuna extremum, na tangu $A_(2)> 0$, basi hiki ndicho cha chini zaidi.
Jibu: Pointi $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ ndio kiwango cha chini zaidi cha chaguo za kukokotoa $f$.
Chunguza chaguo za kukokotoa kwa zilizokithiri $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
Suluhisho
Hebu tutafute pointi za kusimama: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$$$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x - 2.$$
Wacha tuunge na tusuluhishe mfumo: $$\displaystyle \anza(kesi)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(kesi ) \ Mshale wa kulia \anza(kesi)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\mwisho(kesi) \Mshale wa kulia \anza(kesi) y = 2\\y + x = 1\mwisho(kesi) \Mshale wa kulia x = -1$$
$M_(0) \kushoto(-1, 2\kulia)$ ni mahali pa kusimama.
Wacha tuangalie ikiwa hali ya kutosha ya hali ya juu imefikiwa: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\sehemu x^(2)) \kushoto(-1,2\kulia)=0 ; B=\frac(\sehemu^(2) f)(\sehemu x \sehemu y) \kushoto(-1,2\kulia)=2; C=\frac(\sehemu^(2) f)(\sehemu y^(2)) \kushoto(-1,2\kulia)=2;$$
$A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
Jibu: hakuna uliokithiri.

Kikomo cha muda: 0

Urambazaji (nambari za kazi pekee)

Kazi 0 kati ya 4 zimekamilika

Habari

Jaribio hili ili kujaribu ujuzi wako wa mada ambayo umesoma hivi punde: Utendaji wa Karibuni wa Vigezo vingi.

Tayari umeshafanya mtihani hapo awali. Huwezi kuianzisha tena.

Jaribu kupakia...

Lazima uingie au ujiandikishe ili kuanza jaribio.

Lazima ukamilishe majaribio yafuatayo ili kuanza hili:

matokeo

Majibu sahihi: 0 kati ya 4

Wakati wako:

Muda umekwisha

Umepata pointi 0 kati ya 0 (0)

Matokeo yako yamerekodiwa kwenye ubao wa wanaoongoza

Pamoja na jibu
Na alama ya kutazama

Jukumu la 1 kati ya 4

1 .

Idadi ya pointi: 1

Chunguza chaguo za kukokotoa $f$ kwa extrema: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Haki

Si sahihi

Jukumu la 2 kati ya 4

2 .
Idadi ya pointi: 1
Je, kazi $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2)))^(2))$ ina upeo

Shughuli inasemekana kuwa katika sehemu ya ndani
mkoa D upeo wa ndani(kiwango cha chini), ikiwa kuna kitongoji kama hicho cha uhakika
, kwa kila nukta
ambayo inashikilia usawa

Ikiwa kipengele cha kukokotoa kina wakati fulani
kiwango cha juu cha ndani au kiwango cha chini cha ndani, basi tunasema kuwa ina katika hatua hii wenye msimamo mkali wa ndani(au uliokithiri tu).

Nadharia (hali ya lazima kwa kuwepo kwa uliokithiri) Ikiwa kitendakazi kinachoweza kutofautishwa kinafikia upeo katika hatua
, kisha kila aina ya derivative ya mpangilio wa kwanza wa chaguo za kukokotoa kwa wakati huu inakuwa sifuri.

Sehemu ambazo derivatives zote za mpangilio wa kwanza hupotea huitwa vituo vya stationary vya kazi
. Kuratibu za pointi hizi zinaweza kupatikana kwa kutatua mfumo wa milinganyo

Hali ya lazima ya kuwepo kwa extremum katika kesi ya kazi inayoweza kutofautishwa inaweza kuundwa kwa ufupi kama ifuatavyo:

Kuna matukio wakati sehemu za kibinafsi baadhi ya derivatives za sehemu zina thamani zisizo na kipimo au hazipo (wakati zingine ni sawa na sifuri). Pointi kama hizo zinaitwa pointi muhimu za kazi. Pointi hizi pia zinapaswa kuzingatiwa kama "zinazotiliwa shaka" kwa watu wenye msimamo mkali, kama vile zisizosimama.

Katika kesi ya kazi ya vigezo viwili, hali ya lazima kwa ajili ya mwisho, yaani usawa na sifuri ya derivatives ya sehemu (tofauti) katika hatua ya mwisho, ina tafsiri ya kijiometri: ndege ya tangent kwa uso
katika hatua ya mwisho lazima iwe sambamba na ndege
.

20. Masharti ya kutosha kwa kuwepo kwa msimamo mkali

Utimilifu wa hali ya lazima ya uwepo wa hali ya juu wakati fulani haitoi dhamana kabisa ya uwepo wa uliokithiri huko. Kama mfano, tunaweza kuchukua kazi ya kutofautisha kila mahali
. Viini vyake vyote viwili na chaguo la kukokotoa lenyewe hutoweka mahali hapo
. Walakini, katika kitongoji chochote cha hatua hii kuna zote chanya (kubwa
), na hasi (ndogo
) maadili ya kipengele hiki. Kwa hiyo, katika hatua hii, kwa ufafanuzi, hakuna extremum ni kuzingatiwa. Kwa hivyo, ni muhimu kujua hali za kutosha ambazo chini yake hatua inayoshukiwa kuwa kali ni sehemu ya juu zaidi ya kazi inayochunguzwa.

Hebu fikiria kesi ya kazi ya vigezo viwili. Hebu tuchukue kwamba kazi
imefafanuliwa, inaendelea na ina viasili vya sehemu vinavyoendelea hadi mpangilio wa pili unaojumuisha katika ujirani wa sehemu fulani.
, ambayo ni sehemu ya kusimama ya kazi
, yaani inakidhi masharti

,
.

Wacha tuanzishe nukuu ifuatayo:

Nadharia (hali ya kutosha kwa kuwepo kwa extremum) Hebu kazi
inakidhi masharti ya hapo juu, yaani: inaweza kutofautishwa katika baadhi ya kitongoji cha sehemu ya kusimama
na inaweza kutofautishwa mara mbili katika hatua yenyewe
. Kisha ikiwa

Kama
kisha kazi
kwa uhakika
hufikia

upeo wa ndani katika
Na

kima cha chini cha ndani katika
.

Kwa ujumla, kwa kazi
hali ya kutosha ya kuwepo kwa uhakika
mtaakiwango cha chini(upeo) ni chanya(hasi) uhakika wa tofauti ya pili.

Kwa maneno mengine, taarifa ifuatayo ni kweli.

Nadharia . Ikiwa katika hatua
kwa utendaji

kwa yoyote isiyo sawa na sifuri kwa wakati mmoja
, basi katika hatua hii kazi ina kiwango cha chini(sawa na upeo, Kama
).

Mfano 18.Pata alama za karibu za chaguo za kukokotoa

Suluhisho. Wacha tupate derivatives ya sehemu ya kazi na tulinganishe na sifuri:

Kutatua mfumo huu, tunapata pointi mbili zinazowezekana:

Wacha tupate agizo la pili derivatives ya sehemu ya kazi hii:

Katika hatua ya kwanza ya stationary, kwa hiyo, na
Kwa hiyo, utafiti wa ziada unahitajika katika hatua hii. Thamani ya kazi
katika hatua hii ni sifuri:
Zaidi,

katika

A

katika

Kwa hiyo, katika kitongoji chochote cha uhakika
kazi
inachukua maadili kama kubwa
, na ndogo
, na, kwa hiyo, kwa uhakika
kazi
, kwa ufafanuzi, haina makali ya ndani.

Katika hatua ya pili ya stationary

kwa hiyo, kwa hiyo, tangu
basi kwa uhakika
kazi ina upeo wa ndani.

Upeo wa ndani unaitwa kali , ikiwa kitongoji $U$ kinaweza kuchaguliwa ili kwa $x yote \katika U$ tofauti na $x_(0)$ kuna $f\left(x\kulia)< f\left(x_{0}\right)$.

Ufafanuzi
Acha $f$ iwe kazi halisi kwenye seti wazi $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Wanasema $f$ ina kima cha chini cha ndani kwa uhakika $x_(0) \katika E$, ikiwa kuna kitongoji $U$ cha uhakika $x_(0)$ kiasi kwamba kwa $x zote \katika U$ ukosefu wa usawa $f\left(x\kulia ) \geqslant f imeridhika \left(x_(0)\right)$.

Kiwango cha chini cha ndani kinaitwa kigumu ikiwa kitongoji $U$ kinaweza kuchaguliwa ili kwa $x zote \katika U$ tofauti na $x_(0)$ kuna $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\kulia)$.

Ukali wa ndani unachanganya dhana za kiwango cha chini cha ndani na kiwango cha juu cha ndani.

Nadharia (hali ya lazima kwa mwisho wa kazi inayoweza kutofautishwa)
Acha $f$ iwe kazi halisi kwenye seti wazi $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Ikiwa kwa uhakika $x_(0) \katika E$ chaguo la kukokotoa $f$ lina kali ya ndani katika hatua hii, basi $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Sawa na tofauti ya sifuri ni sawa na ukweli kwamba wote ni sawa na sifuri, i.e. $$\mtindo wa maonyesho\frac(\sehemu f)(\sehemu x_(i))\kushoto(x_(0)\kulia)=0.$$

Katika kesi ya mwelekeo mmoja hii ni -. Wacha tuonyeshe $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, ambapo $h$ ni vekta ya kiholela. Chaguo za kukokotoa $\phi$ hufafanuliwa kwa thamani za $t$ ambazo ni ndogo vya kutosha katika thamani kamili. Kwa kuongezea, inaweza kutofautishwa kuhusiana na , na $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Acha $f$ iwe na kiwango cha juu cha ndani kwa uhakika x $0$. Hii inamaanisha kuwa chaguo za kukokotoa $\phi$ at $t = 0$ ina upeo wa ndani na, kwa nadharia ya Fermat, $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Kwa hivyo, tulipata hiyo $df \left(x_(0)\right) = 0$, i.e. function $f$ kwa uhakika $x_(0)$ ni sawa na sufuri kwenye vekta yoyote $h$.

Mfano 2.
Chaguo za kukokotoa $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ ina hatua ya kusimama katika asili yake, lakini ni wazi kwamba hakuna kali katika hatua hii.

Theorem (hali ya kutosha kwa extremum).
Acha kazi $f$ iweze kutofautishwa mara mbili mfululizo kwenye seti iliyofunguliwa $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Acha $x_(0) \katika E$ iwe sehemu ya kusimama na $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\kulia) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\sehemu^(2) f)(\sehemu x_(i) \sehemu x_(j)) \kushoto(x_(0)\kulia)h^(i)h^(j).$ $ Kisha

ikiwa $Q_(x_(0))$ - , basi chaguo la kukokotoa $f$ katika hatua $x_(0)$ ina upeo wa ndani, yaani, kiwango cha chini ikiwa fomu ni chanya uhakika, na kiwango cha juu ikiwa fomu ni hasi ya uhakika;
ikiwa fomu ya quadratic $Q_(x_(0))$ haijafafanuliwa, basi chaguo la kukokotoa $f$ katika hatua $x_(0)$ haina upeo.

Wacha tutumie upanuzi kulingana na fomula ya Taylor (12.7 p. 292). Kwa kuzingatia kwamba agizo la kwanza sehemu ya sehemu ya derivatives katika uhakika $x_(0)$ ni sawa na sufuri, tunapata $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ kulia) = \ frac(1)(2) \jumla_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\sehemu^(2) f)(\sehemu x_(i) \sehemu x_ (j)) \kushoto(x_(0)+\theta h\kulia)h^(i)h^(j),$$ ambapo $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, na $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ for $h \rightarrow 0$, kisha upande wa kulia utakuwa chanya kwa vekta yoyote $h$ ya urefu mdogo vya kutosha.
Kwa hivyo, tumefikia hitimisho kwamba katika kitongoji fulani cha uhakika $x_(0)$ ukosefu wa usawa $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ unashikilia ikiwa tu $ x \neq x_ (0)$ (tunaweka $x=x_(0)+h$\kulia). Hii inamaanisha kuwa kwa uhakika $x_(0)$ chaguo la kukokotoa lina kiwango cha chini kabisa cha ndani, na kwa hivyo sehemu ya kwanza ya nadharia yetu imethibitishwa.
Hebu sasa tuchukulie kuwa $Q_(x_(0))$ ni fomu isiyojulikana. Kisha kuna vekta $h_(1)$, $h_(2)$ kiasi kwamba $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \kushoto(h_(2)\kulia)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0. Kisha tunapata $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \kushoto(th_(1)\kulia) \kulia] = \frac(1)(2) t^(2) \ kushoto[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \kushoto(th_(1)\kulia) \kulia].$$ Kwa $t>0$ ndogo ya kutosha, mkono wa kulia upande ni chanya. Hii ina maana kwamba katika kitongoji chochote cha uhakika $x_(0)$ chaguo za kukokotoa $f$ huchukua thamani$f \left(x\right)$ kubwa kuliko $f \left(x_(0)\right)$.
Vile vile, tunapata kwamba katika kitongoji chochote cha uhakika $x_(0)$ chaguo za kukokotoa $f$ huchukua thamani chini ya $f \left(x_(0)\right)$. Hii, pamoja na ile iliyotangulia, ina maana kwamba kwa uhakika $x_(0)$ chaguo la kukokotoa $f$ halina kikomo.

Wacha tuzingatie kisa maalum cha nadharia hii kwa kazi $f \left(x,y\right)$ ya vijiti viwili, vilivyofafanuliwa katika kitongoji fulani cha nukta $\left(x_(0),y_(0)\kulia. )$ na kuwa na viasili vya sehemu vinavyoendelea vya agizo la kwanza na la pili. Chukulia kuwa $\left(x_(0),y_(0)\kulia)$ ni sehemu ya kusimama na inaashiria $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \kushoto(x_(0) ,y_(0)\kulia), a_(12)=\frac(\sehemu^(2) f)(\sehemu x \sehemu y) \kushoto(x_( 0) ), y_(0)\kulia), a_(22)=\frac(\sehemu^(2) f)(\sehemu y^(2)) \kushoto(x_(0), y_(0)\kulia ) .$$ Kisha nadharia iliyotangulia inachukua fomu ifuatayo.

Nadharia
Acha $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Kisha:

ikiwa $\Delta>0$, basi chaguo la kukokotoa $f$ lina upeo wa ndani kwa uhakika $\left(x_(0),y_(0)\kulia)$, yaani, kiwango cha chini ikiwa $a_(11)> 0$ , na kiwango cha juu zaidi ikiwa $a_(11)<0$;
ikiwa $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Mifano ya kutatua matatizo

Algorithm ya kupata mwisho wa kazi ya anuwai nyingi:

Kutafuta vituo vya stationary;
Pata tofauti ya mpangilio wa 2 katika sehemu zote za stationary
Kutumia hali ya kutosha kwa upeo wa kazi ya anuwai nyingi, tunazingatia tofauti ya mpangilio wa 2 katika kila sehemu ya stationary.

Chunguza chaguo za kukokotoa za $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
Suluhisho
Hebu tutafute viasili vya sehemu ya agizo la 1: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\ partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Hebu tuunge na kutatua mfumo: $$\displaystyle \anza(kesi)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\sehemu f)(\sehemu y)= 0\mwisho(kesi) \Mshale wa kulia \anza(kesi)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdoti y^(2) — 6 \cdoti x = 0\mwisho(kesi) \Mshale wa kulia \anza(kesi)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \mwisho(kesi)$$ Kutoka kwa mlinganyo wa 2 tunaeleza $x=4 \cdot y^(2)$ - ibadilishe katika mlinganyo wa 1: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \kulia )^(2)-2 \cdot y=0$$$$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Kwa hivyo, pointi 2 zisizosimama zimepatikana:
1) $y=0 \Mshale wa kulia x = 0, M_(1) = \kushoto(0, 0\kulia)$;
2) $\mtindo wa kuonyesha 8 \cdot y^(3) -1=0 \Mshale wa kulia y^(3)=\frac(1)(8) \Mshale wa kulia y = \frac(1)(2) \Mshale wa kulia x=1 , M_(2) = \kushoto(\frac(1)(2), 1\kulia)$
Wacha tuangalie ikiwa hali ya kutosha ya mtu aliyekithiri imeridhika:
$$\mtindo wa maonyesho \frac(\sehemu^(2) f)(\sehemu x^(2))=6 \cdot x; \frac(\sehemu^(2) f)(\sehemu x \sehemu y)=-6; \frac(\sehemu^(2) f)(\sehemu y^(2))=48 \cdot y$$
1) Kwa uhakika $M_(1)= \left(0,0\kulia)$:
$$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\sehemu x^(2)) \kushoto(0,0\kulia)=0; B_(1)=\frac(\sehemu^(2) f)(\sehemu x \sehemu y) \kushoto(0,0\kulia)=-6; C_(1)=\frac(\sehemu^(2) f)(\sehemu y^(2)) \kushoto(0,0\kulia)=0;$$
$A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
2) Kwa pointi $M_(2)$:
$$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\sehemu x^(2)) \kushoto(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\sehemu^(2) f)(\sehemu x \sehemu y) \kushoto(1,\frac(1)(2)\kulia)=-6; C_(2)=\frac(\sehemu^(2) f)(\sehemu y^(2)) \kushoto(1,\frac(1)(2)\kulia)=24;$$
$A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, ambayo ina maana kwamba kwa uhakika $M_(2)$ kuna extremum, na tangu $A_(2)> 0$, basi hiki ndicho cha chini zaidi.
Jibu: Pointi $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ ndio kiwango cha chini zaidi cha chaguo za kukokotoa $f$.
Chunguza chaguo za kukokotoa kwa zilizokithiri $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
Suluhisho
Hebu tutafute pointi za kusimama: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$$$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x - 2.$$
Wacha tuunge na tusuluhishe mfumo: $$\displaystyle \anza(kesi)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(kesi ) \ Mshale wa kulia \anza(kesi)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\mwisho(kesi) \Mshale wa kulia \anza(kesi) y = 2\\y + x = 1\mwisho(kesi) \Mshale wa kulia x = -1$$
$M_(0) \kushoto(-1, 2\kulia)$ ni mahali pa kusimama.
Wacha tuangalie ikiwa hali ya kutosha ya hali ya juu imefikiwa: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\sehemu x^(2)) \kushoto(-1,2\kulia)=0 ; B=\frac(\sehemu^(2) f)(\sehemu x \sehemu y) \kushoto(-1,2\kulia)=2; C=\frac(\sehemu^(2) f)(\sehemu y^(2)) \kushoto(-1,2\kulia)=2;$$
$A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
Jibu: hakuna uliokithiri.

Kikomo cha muda: 0

Urambazaji (nambari za kazi pekee)

Kazi 0 kati ya 4 zimekamilika

Habari

Jaribio hili ili kujaribu ujuzi wako wa mada ambayo umesoma hivi punde: Utendaji wa Karibuni wa Vigezo vingi.

Tayari umeshafanya mtihani hapo awali. Huwezi kuianzisha tena.

Jaribu kupakia...

Lazima uingie au ujiandikishe ili kuanza jaribio.

Lazima ukamilishe majaribio yafuatayo ili kuanza hili:

matokeo

Majibu sahihi: 0 kati ya 4

Wakati wako:

Muda umekwisha

Umepata pointi 0 kati ya 0 (0)

Matokeo yako yamerekodiwa kwenye ubao wa wanaoongoza

Pamoja na jibu
Na alama ya kutazama

Jukumu la 1 kati ya 4

1 .

Idadi ya pointi: 1

Chunguza chaguo za kukokotoa $f$ kwa extrema: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Haki

Si sahihi

Jukumu la 2 kati ya 4

2 .
Idadi ya pointi: 1
Je, kazi $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2)))^(2))$ ina upeo

Sehemu ya juu zaidi ya chaguo za kukokotoa ni sehemu katika kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa ambapo thamani ya chaguo za kukokotoa huchukua thamani ya chini au ya juu zaidi. Thamani za chaguo za kukokotoa katika sehemu hizi huitwa extrema (kiwango cha chini na cha juu) cha chaguo la kukokotoa.

Ufafanuzi. Nukta x1 kikoa cha kazi f(x) inaitwa kiwango cha juu cha chaguo za kukokotoa , ikiwa thamani ya kazi katika hatua hii ni kubwa kuliko maadili ya kazi katika pointi za kutosha karibu nayo, ziko kulia na kushoto kwake (hiyo ni, usawa unashikilia. f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 upeo.

Ufafanuzi. Nukta x2 kikoa cha kazi f(x) inaitwa kiwango cha chini cha kipengele cha kukokotoa, ikiwa thamani ya kazi katika hatua hii ni chini ya maadili ya kazi katika pointi za kutosha karibu nayo, ziko kulia na kushoto kwake (hiyo ni, usawa unashikilia. f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ) Katika kesi hii tunasema kwamba kazi ina katika hatua x2 kiwango cha chini.

Hebu tuseme uhakika x1 - hatua ya juu ya kazi f(x). Kisha katika muda hadi x1 kazi huongezeka, kwa hivyo derivative ya kazi Juu ya sifuri (f "(x) > 0 ), na katika muda baada ya x1 kazi inapungua, kwa hivyo, derivative ya kipengele cha kukokotoa chini ya sifuri ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Wacha pia tuchukue kwamba hatua hiyo x2 - hatua ya chini ya kazi f(x). Kisha katika muda hadi x2 kazi inapungua, na derivative ya kazi ni chini ya sifuri ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 kazi inaongezeka, na derivative ya kazi ni kubwa kuliko sifuri ( f "(x) > 0). Katika kesi hii pia katika hatua x2 derivative ya kazi ni sifuri au haipo.

Nadharia ya Fermat (ishara ya lazima ya kuwepo kwa upeo wa kazi). Ikiwa uhakika x0 - hatua ya mwisho ya kazi f(x) basi katika hatua hii derivative ya kazi ni sawa na sifuri ( f "(x) = 0 ) au haipo.

Ufafanuzi. Pointi ambazo derivative ya chaguo za kukokotoa ni sifuri au haipo zinaitwa pointi muhimu .

Mfano 1. Hebu fikiria kazi.

Kwa uhakika x= 0 derivative ya kazi ni sifuri, kwa hiyo uhakika x= 0 ni hatua muhimu. Walakini, kama inavyoweza kuonekana kwenye grafu ya chaguo la kukokotoa, inaongezeka katika kikoa kizima cha ufafanuzi, kwa hivyo uhakika x= 0 sio sehemu ya mwisho ya chaguo hili la kukokotoa.

Kwa hivyo, masharti kwamba derivative ya kazi katika hatua ni sawa na sifuri au haipo ni hali muhimu kwa uliokithiri, lakini haitoshi, kwa kuwa mifano mingine ya kazi inaweza kutolewa ambayo masharti haya yametimizwa, lakini kazi. haina uliokithiri katika hatua inayolingana. Ndiyo maana lazima kuwe na ushahidi wa kutosha, kuruhusu mtu kuhukumu ikiwa kuna msimamo mkali katika hatua fulani muhimu na ni aina gani ya kali - ya juu au ya chini.

Theorem (ishara ya kwanza ya kutosha ya kuwepo kwa upeo wa kazi). Jambo muhimu x0 f(x) ikiwa, wakati wa kupitia hatua hii, derivative ya kazi inabadilisha ishara, na ikiwa ishara inabadilika kutoka "plus" hadi "minus", basi ni hatua ya juu, na ikiwa kutoka "minus" hadi "plus", basi ni kiwango cha chini zaidi.

Ikiwa karibu na uhakika x0 , kushoto na kulia kwake, derivative huhifadhi ishara yake, hii ina maana kwamba kazi inapungua tu au inaongezeka tu katika kitongoji fulani cha uhakika. x0 . Katika kesi hii, katika hatua x0 hakuna uliokithiri.

Kwa hiyo, ili kuamua pointi za mwisho za kazi, unahitaji kufanya zifuatazo :

Pata derivative ya chaguo za kukokotoa.
Sawazisha derivative kwa sifuri na ubaini pointi muhimu.
Kwa akili au kwenye karatasi, alama pointi muhimu kwenye mstari wa nambari na uamua ishara za derivative ya kazi katika vipindi vinavyotokana. Ikiwa ishara ya mabadiliko ya derivative kutoka "plus" hadi "minus", basi hatua muhimu ni hatua ya juu, na ikiwa kutoka "minus" hadi "plus", basi hatua ya chini.
Hesabu thamani ya chaguo za kukokotoa katika sehemu za juu zaidi.

Mfano 2. Pata mwisho wa chaguo la kukokotoa .

Suluhisho. Wacha tupate derivative ya kazi:

Wacha tulinganishe derivative na sifuri ili kupata alama muhimu:

Kwa kuwa kwa maadili yoyote ya "x" denominator sio sawa na sifuri, tunalinganisha nambari na sifuri:

Nimepata hoja moja muhimu x= 3 . Wacha tuamue ishara ya derivative katika vipindi vilivyowekwa na nukta hii:

katika masafa kutoka minus infinity hadi 3 - ishara minus, ambayo ni, kazi inapungua,

katika muda kutoka 3 hadi pamoja na infinity kuna ishara ya pamoja, yaani, kazi huongezeka.

Hiyo ni, kipindi x= 3 ni hatua ya chini.

Wacha tupate thamani ya chaguo la kukokotoa kwa kiwango cha chini:

Kwa hivyo, hatua ya mwisho ya kazi inapatikana: (3; 0), na ni hatua ya chini.

Theorem (ishara ya pili ya kutosha ya kuwepo kwa upeo wa kazi). Jambo muhimu x0 ndio sehemu ya juu zaidi ya chaguo la kukokotoa f(x) ikiwa derivative ya pili ya chaguo la kukokotoa katika hatua hii si sawa na sifuri ( f ""(x) ≠ 0 ), na ikiwa kiingilio cha pili ni kikubwa kuliko sifuri ( f ""(x) > 0 ), basi kiwango cha juu, na ikiwa derivative ya pili ni chini ya sifuri ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Kumbuka 1. Ikiwa kwa uhakika x0 Ikiwa derivatives zote za kwanza na za pili zinatoweka, basi katika hatua hii haiwezekani kuhukumu uwepo wa uliokithiri kulingana na kigezo cha pili cha kutosha. Katika kesi hii, unahitaji kutumia kigezo cha kwanza cha kutosha kwa upeo wa kazi.

Kumbuka 2. Kigezo cha pili cha kutosha cha upeo wa mwisho wa chaguo za kukokotoa hakitumiki hata wakati derivati ya kwanza haipo katika hatua ya kusimama (basi derivatiti ya pili haipo pia). Katika kesi hii, unahitaji pia kutumia ishara ya kwanza ya kutosha ya mwisho wa kazi.

Asili ya eneo la mwisho wa chaguo la kukokotoa

Kutoka kwa ufafanuzi hapo juu inafuata kwamba upeo wa kazi ni wa ndani kwa asili - ni kubwa zaidi na thamani ndogo kazi ikilinganishwa na thamani zilizo karibu.

Tuseme unaangalia mapato yako kwa muda wa mwaka mmoja. Ikiwa mnamo Mei ulipata rubles 45,000, na Aprili 42,000 rubles na Juni 39,000 rubles, basi mapato ya Mei ni upeo wa kazi ya mapato ikilinganishwa na maadili ya karibu. Lakini mnamo Oktoba ulipata rubles 71,000, mnamo Septemba 75,000 rubles, na mnamo Novemba rubles 74,000, kwa hivyo mapato ya Oktoba ni kiwango cha chini cha kazi ya mapato ikilinganishwa na maadili ya karibu. Na unaweza kuona kwa urahisi kuwa kiwango cha juu kati ya maadili ya Aprili-Mei-Juni ni chini ya kiwango cha chini cha Septemba-Oktoba-Novemba.

Kwa ujumla, kwa muda kitendakazi kinaweza kuwa na miiko kadhaa, na inaweza kuibuka kuwa kima cha chini cha chaguo za kukokotoa ni kikubwa kuliko kiwango cha juu zaidi. Kwa hiyo, kwa kazi iliyoonyeshwa kwenye takwimu hapo juu,.

Hiyo ni, mtu haipaswi kufikiria kuwa kiwango cha juu na cha chini cha kazi ni, mtawaliwa, maadili yake makubwa na madogo kwenye sehemu nzima inayozingatiwa. Katika hatua ya juu, chaguo la kukokotoa lina thamani kubwa zaidi kwa kulinganisha na maadili hayo ambayo ina pointi zote za kutosha karibu na kiwango cha juu, na kwa kiwango cha chini ina thamani ndogo zaidi kwa kulinganisha na maadili hayo. kwamba ina katika pointi zote za kutosha karibu na kiwango cha chini.

Kwa hivyo, tunaweza kufafanua wazo la hapo juu la alama za juu zaidi za chaguo la kukokotoa na kupiga simu alama za chini za kiwango cha chini cha kawaida, na alama za juu za kiwango cha juu cha kawaida.

Tunatafuta mwisho wa kazi pamoja

Mfano 3.

Suluhisho: Kitendaji kinafafanuliwa na kinaendelea kwenye mstari mzima wa nambari. Derivative yake pia ipo kwenye mstari mzima wa nambari. Kwa hivyo katika kwa kesi hii pointi muhimu ni zile tu ambazo, i.e. , kutoka wapi na. Mambo muhimu na ugawanye kikoa kizima cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa katika vipindi vitatu vya monotonicity: . Wacha tuchague sehemu moja ya udhibiti katika kila moja yao na tupate ishara ya derivative katika hatua hii.

Kwa muda, hatua ya udhibiti inaweza kuwa: kupata. Kuchukua hatua katika muda, tunapata, na kuchukua hatua katika muda, tunayo. Kwa hivyo, katika vipindi na, na kwa muda. Kwa mujibu wa kigezo cha kwanza cha kutosha cha uliokithiri, hakuna upeo katika hatua (kwa vile derivative huhifadhi ishara yake katika muda), na katika hatua ya kazi ina kiwango cha chini (kwani mabadiliko ya derivative ishara kutoka minus hadi plus wakati wa kupita. kupitia hatua hii). Wacha tupate maadili yanayolingana ya chaguo la kukokotoa: , a . Katika muda kazi hupungua, kwa kuwa katika muda huu, na katika muda huongezeka, kwa kuwa katika muda huu.

Ili kufafanua ujenzi wa grafu, tunapata pointi za makutano yake na axes za kuratibu. Tunapopata equation ambayo mizizi yake ni na, yaani, pointi mbili (0; 0) na (4; 0) za grafu ya kazi zimepatikana. Kutumia taarifa zote zilizopokelewa, tunajenga grafu (tazama mwanzo wa mfano).

Mfano 4. Pata mwisho wa kazi na ujenge grafu yake.

Kikoa cha ufafanuzi wa kazi ni mstari mzima wa nambari, isipokuwa kwa uhakika, i.e. .

Ili kufupisha utafiti, unaweza kutumia ukweli kwamba kazi hii ni hata, tangu . Kwa hiyo, grafu yake ni ya ulinganifu kuhusu mhimili Oy na utafiti unaweza tu kufanywa kwa muda.

Kutafuta derivative na pointi muhimu za kazi:

1) ;

2) ,

lakini chaguo la kukokotoa linakabiliwa na kutoendelea kwa wakati huu, kwa hivyo haiwezi kuwa hatua ya mwisho.

Hivyo, kazi iliyopewa ina mambo mawili muhimu: na. Kwa kuzingatia usawa wa chaguo za kukokotoa, tutaangalia nukta tu kwa kutumia kigezo cha pili cha kutosha cha upeo. Ili kufanya hivyo, tunapata derivative ya pili na kuamua ishara yake kwa: tunapata . Tangu na , ni hatua ya chini ya kazi, na .

Ili kutengeneza zaidi mtazamo kamili kuhusu grafu ya kazi, hebu tujue tabia yake kwenye mipaka ya kikoa cha ufafanuzi:

(hapa ishara inaonyesha hamu x hadi sifuri kutoka kulia, na x inabaki kuwa chanya; vile vile ina maana ya kutamani x hadi sifuri kutoka kushoto, na x inabaki kuwa hasi). Kwa hivyo, ikiwa, basi. Ifuatayo, tunapata