Sehemu ya nyenzo husogea kwa usawa kulingana na sheria ya mtandaoni. Maana ya kimwili ya derivative

− Mwalimu Dumbadze V.A.
kutoka shule ya 162 ya wilaya ya Kirov ya St.

Kikundi chetu cha VKontakte
Programu za simu:

(wapi x t- muda katika sekunde zilizopimwa tangu mwanzo wa harakati). Pata kasi yake (katika m/s) kwa wakati t= sekunde 9.

Katika t= 9 s tuna:

Kwa nini tunaacha nambari 17 kutoka kwa mlinganyo wa asili?

pata derivative ya kazi asilia.

hakuna nambari 17 kwenye derivative

Kwa nini kupata derivative?

Kasi ni derivative ya kuratibu kuhusiana na wakati.

Shida inakuuliza utafute kasi

x- umbali kutoka kwa eneo la kumbukumbu katika mita, t- muda katika sekunde zilizopimwa tangu mwanzo wa harakati). Tafuta kasi yake katika (m/s) kwa wakati t= sekunde 6.

Wacha tupate sheria ya mabadiliko ya kasi:

(6)=3/2*36-6*6+2=54-38=16, si 20

kumbuka utaratibu

Tangu lini kuongeza ni vyema kuliko kutoa?

Kuzidisha kunatanguliwa kuliko kujumlisha na kutoa. Kumbuka ya watoto mfano wa shule: 2 + 2 · 2. Acha nikukumbushe kwamba hapa haifanyiki 8, kama watu wengine wanavyofikiria, lakini 6.

Hukuelewa jibu la mgeni.

1,5*36 — 6*6 + 2 = 54 — 36 + 2 = 18 + 2 = 20.

Kwa hivyo kila kitu ni sawa, jifanyie hesabu mwenyewe.

2) kuzidisha/kugawanya (inategemea mpangilio katika equation; kile kinachokuja kwanza hutatuliwa kwanza);

3) kuongeza / kutoa (vivyo hivyo inategemea mpangilio katika mfano).

Kuzidisha = mgawanyiko, kuongeza = kutoa =>

Sio 54 - (36+2), lakini 54-36+2 = 54+2-36 = 20

Kwanza, kwako - Sergei Batkovich. Pili, umeelewa ulichotaka kusema na kwa nani? sijakuelewa.

Sehemu ya nyenzo husogea kwa mstatili kulingana na sheria (ambapo x ni umbali kutoka kwa sehemu ya kumbukumbu katika mita, t ni wakati katika sekunde zilizopimwa tangu mwanzo wa harakati). Tafuta kasi yake katika (m/s) kwa wakati s.

Hebu tupate sheria ya mabadiliko ya kasi: m / s. Wakati tuna:

Somo juu ya mada: "Kanuni za kutofautisha", daraja la 11

Sehemu: Hisabati

Aina ya somo: jumla na utaratibu wa maarifa.

Malengo ya somo:

kielimu:
- kujumlisha na kupanga nyenzo kwenye mada ya kupata derivative;
- unganisha sheria za kutofautisha;
- fungua polytechnic kwa wanafunzi, thamani iliyotumika Mada;
kuendeleza:
- tumia udhibiti wa upatikanaji wa maarifa na ujuzi;
- kukuza na kuboresha uwezo wa kutumia maarifa katika hali iliyobadilika;
- kukuza utamaduni wa hotuba na uwezo wa kufanya hitimisho na jumla;
kielimu:
- kuendeleza mchakato wa utambuzi;
- Kusisitiza kwa wanafunzi usahihi katika muundo na uamuzi.

Vifaa:

projekta ya juu, skrini;
kadi;
kompyuta;
meza;
kazi tofauti katika mfumo wa mawasilisho ya multimedia.

I. Kukagua kazi ya nyumbani.

1. Sikiliza ripoti za wanafunzi kuhusu mifano ya matumizi ya viasili.

2. Fikiria mifano ya matumizi ya derivatives katika fizikia, kemia, uhandisi na nyanja nyingine zilizopendekezwa na wanafunzi.

II. Kusasisha maarifa.

Mwalimu:

Bainisha derivative ya chaguo za kukokotoa.
Ni operesheni gani inayoitwa kutofautisha?
Ni sheria gani za kutofautisha zinazotumiwa wakati wa kuhesabu derivative? (Wanafunzi wanaohitajika wanaalikwa kuja kwenye bodi).
- derivative ya jumla;
- derivative ya kazi;
- derivative yenye sababu ya mara kwa mara;
- derivative ya mgawo;
- derivative ya kazi ngumu;
Toa mifano matatizo yaliyotumika, na kusababisha dhana ya derivative.

Idadi ya matatizo fulani kutoka nyanja mbalimbali za sayansi.

Kazi nambari 1. Mwili husogea kwa mstari ulionyooka kulingana na sheria x(t). Andika fomula ya kutafuta kasi na kuongeza kasi ya mwili kwa wakati t.

Kazi nambari 2. Radi ya mduara R inatofautiana kulingana na sheria R = 4 + 2t 2. Amua kiwango ambacho eneo lake linabadilika V muda t = 2 s. Radi ya mduara hupimwa kwa sentimita. Jibu: 603 cm 2 / s.

Kazi nambari 3. Sehemu ya nyenzo yenye uzito wa kilo 5 huenda kwa mstatili kulingana na sheria

S(t) = 2t+ , wapi S- umbali wa mita, t- muda katika sekunde. Tafuta nguvu inayotenda kwenye hoja kwa sasa t = 4 s.

Jibu: N.

Kazi nambari 4. Flywheel, iliyoshikiliwa na breki, inageuka nyuma t s kwa pembe ya 3t - 0.1t 2 (rad). Tafuta:

a) kasi ya angular ya mzunguko wa flywheel kwa sasa t = 7 Na;
b) kwa wakati gani kwa wakati flywheel itaacha.

Jibu: a) 2.86; b) sekunde 150.

Mifano ya kutumia derivatives pia inaweza kujumuisha matatizo ya kutafuta: uwezo maalum wa joto dutu ya mwili fulani, wiani wa mstari na nishati ya kinetic ya mwili, nk.

III. Kufanya kazi tofauti.

Wale ambao wanataka kukamilisha kazi za kiwango cha "A" huketi kwenye kompyuta na kukamilisha mtihani na jibu lililopangwa. ( Maombi. )

1. Pata thamani ya derivative ya chaguo za kukokotoa katika hatua x 0 = 3.

2. Tafuta thamani ya derivative ya chaguo za kukokotoa y = xe x katika uhakika x 0 = 1.

1) 2e;
2) e;
3) 1 + e;
4) 2 + e.

3. Tatua mlinganyo f / (x) = 0 ikiwa f (x) = (3x 2 + 1) (3x 2 - 1).

1) ;
2) 2;
3) ;
4) 0.

4. Hesabu f/(1) ikiwa f(x) = (x 2 + 1)(x 3 – x).

5. Pata thamani ya derivative ya chaguo za kukokotoa f(t) = (t4 – 3)(t2 + 2) kwenye hatua t0 = 1.

6. Hatua hiyo inasonga kwa mstatili kulingana na sheria: S(t) = t 3 - 3t 2. Chagua fomula inayobainisha kasi ya mwendo wa sehemu hii kwa wakati t.

1) t 2 - 2t;
2) 3t 2 - 3t;
3) 3t 2 - 6t;
4) t 3 + 6t.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Utumiaji wa derivatives katika fizikia, teknolojia, biolojia, maisha

Uwasilishaji kwa somo

Tahadhari! Onyesho la kuchungulia la slaidi ni kwa madhumuni ya habari pekee na huenda lisiwakilishe vipengele vyote vya wasilisho. Ikiwa una nia kazi hii, tafadhali pakua toleo kamili.

Aina ya somo: jumuishi.

Kusudi la somo: soma baadhi ya vipengele vya utumiaji wa viasili katika maeneo mbalimbali fizikia, kemia, biolojia.

Kazi: kupanua upeo wa mtu na shughuli ya utambuzi wanafunzi, maendeleo kufikiri kimantiki na uwezo wa kutumia maarifa yao.

Msaada wa kiufundi: bodi ya maingiliano; kompyuta na diski.

I. Wakati wa shirika

II. Kuweka lengo la somo

- Ningependa kufanya somo chini ya kauli mbiu ya Alexey Nikolaevich Krylov mwanahisabati wa Soviet na mjenzi wa meli: “Nadharia bila mazoezi imekufa au haina maana, mazoezi bila nadharia haiwezekani au ni hatari.”

- Wacha tupitie dhana za kimsingi na tujibu maswali:

- Niambie ufafanuzi wa msingi wa derivative?
Unajua nini kuhusu derivative (sifa, nadharia)?
- Je, unajua mifano yoyote ya matatizo ya kutumia derivatives katika fizikia, hisabati na biolojia?

Kuzingatia ufafanuzi wa msingi wa derivative na mantiki yake (jibu la swali la kwanza):

Derivative - moja ya dhana za kimsingi za hisabati. Uwezo wa kutatua shida kwa kutumia derivatives unahitaji maarifa mazuri nyenzo za kinadharia, uwezo wa kufanya utafiti katika hali mbalimbali.

Kwa hivyo, leo katika somo tutaunganisha na kupanga maarifa yaliyopatikana, tutazingatia na kutathmini kazi ya kila kikundi na, kwa kutumia mfano wa shida kadhaa, tutaonyesha jinsi ya kutatua shida zingine kwa kutumia derivative na. kazi zisizo za kawaida kwa kutumia derivatives.

III. Ufafanuzi wa nyenzo mpya

1. Nguvu ya papo hapo ni derivative ya kazi kuhusiana na muda:

W = lim ΔA/Δt ΔA - mabadiliko ya kazi.

2. Ikiwa mwili huzunguka karibu na mhimili, basi angle ya mzunguko ni kazi ya wakati t
Kisha kasi ya angular ni sawa na:

W = lim Δφ/Δt = φ׳(t) Δ t → 0

3. Nguvu ya sasa ni derivative Ι = lim Δg/Δt = g′, Wapi g- malipo chanya ya umeme yanayohamishwa kupitia sehemu ya msalaba ya kondakta kwa wakati Δt.

4. Hebu ΔQ- kiasi cha joto kinachohitajika kubadilisha hali ya joto Δt wakati, basi lim ΔQ/Δt = Q′ = C - joto maalum.

5. Tatizo kuhusu kiwango cha mmenyuko wa kemikali

m(t) - m(t0) - kiasi cha dutu ambayo humenyuka kwa muda t0 kabla t

V= lim Δm/Δt = m Δt → 0

6. Hebu m kuwa wingi dutu ya mionzi. Kasi kuoza kwa mionzi: V = lim Δm/Δt = m׳(t) Δt→0

Katika fomu tofauti, sheria ya kuoza kwa mionzi ina fomu: dN/dt = – λN, Wapi N- idadi ya viini ambavyo havijaharibika wakati t.

Kuunganisha usemi huu, tunapata: dN/N = – λdt ∫dN/N = – λ∫dt lnN = – λt + c, c = const katika t = 0 idadi ya viini vya mionzi N = N0, kutoka hapa tunayo: ln N0 = const, hivyo

n N = – λt + ln N0.

Kuwezesha usemi huu tunapata:

- sheria ya kuoza kwa mionzi, wapi N0- idadi ya cores kwa wakati mmoja t0 = 0, N- idadi ya viini ambavyo havijaoza kwa wakati t.

7. Kwa mujibu wa usawa wa uhamisho wa joto wa Newton, kiwango cha mtiririko wa joto dQ/dt inalingana moja kwa moja na eneo la dirisha S na tofauti ya halijoto ΔT kati ya glasi ya ndani na nje na inawiana kinyume na unene wake d:

dQ/dt =A S/d ΔT

8. Jambo la Kueneza ni mchakato wa kuanzisha usambazaji wa usawa

Ndani ya awamu za mkusanyiko. Kueneza huenda kwa upande, kusawazisha viwango.

m = D Δc/Δx c - mkusanyiko
m = D c "x x - kuratibu, D - mgawo wa uenezi

9. Ilijulikana kuwa uwanja wa umeme unasisimua ama malipo ya umeme, au uwanja wa sumaku ambao una chanzo kimoja - umeme wa sasa. James Clark Maxwell alianzisha marekebisho moja kwa sheria za sumaku-umeme zilizogunduliwa mbele yake: uwanja wa sumaku pia hutokea wakati mabadiliko. uwanja wa umeme. Marekebisho yaliyoonekana kuwa madogo yalikuwa na matokeo makubwa: mpya kabisa kitu cha kimwili – wimbi la umeme. Maxwell kwa ustadi, tofauti na Faraday, ambaye alifikiri kuwepo kwake kunawezekana, alipata equation ya uwanja wa umeme:

∂E/∂x = M∂B/Mo ∂t Mo = const t

Mabadiliko katika uwanja wa umeme husababisha kuonekana shamba la sumaku wakati wowote wa nafasi, kwa maneno mengine, kiwango cha mabadiliko ya uwanja wa umeme huamua ukubwa wa shamba la magnetic. Chini ya kubwa mshtuko wa umeme- uwanja mkubwa wa sumaku.

IV. Ujumuishaji wa kile ambacho kimejifunza

- Wewe na mimi tulijifunza derivative na sifa zake. Ningependa kusoma maelezo ya kifalsafa ya Gilbert: “Kila mtu ana mtazamo fulani. Wakati upeo wa macho huu unapungua hadi usio na ukomo, unageuka kuwa hatua. Kisha mtu huyo anasema kwamba huo ni mtazamo wake.”
Wacha tujaribu kupima maoni juu ya utumiaji wa derivative!

Njama ya "Leaf"(matumizi ya derivative katika biolojia, fizikia, maisha)

Fikiria kuanguka kama harakati zisizo sawa kutegemea wakati.

Kwa hivyo: S = S(t) V = S′(t) = x′(t), a = V′(t) = S″(t)

(Utafiti wa kinadharia: maana ya mitambo derivative).

1. Kutatua tatizo

Tatua matatizo mwenyewe.

2. F = ma F = mV′ F = mS″

Hebu tuandike sheria ya Porton II, na kwa kuzingatia maana ya mitambo ya derivative, tunaandika tena kwa fomu: F = mV′ F = mS″

Njama ya "Wolves, Gophers"

Wacha turudi kwenye milinganyo: Zingatia milinganyo tofauti ya ukuaji wa kielelezo na kupungua: F = ma F = mV’ F = mS"
Kutatua matatizo mengi katika fizikia, biolojia ya kiufundi na sayansi ya kijamii hupunguzwa kwa tatizo la kutafuta kazi f"(x) = kf(x), kutosheleza mlinganyo wa kutofautisha, wapi k = const .

Mfumo wa Binadamu

Mtu ni mkubwa mara nyingi kuliko atomi kama yeye ni mdogo kuliko nyota:

Inafuata hiyo
Hii ndiyo fomula inayoamua nafasi ya mwanadamu katika ulimwengu. Kulingana na hayo, saizi ya mtu inawakilisha uwiano wa wastani wa nyota na atomi.

Ningependa kumaliza somo na maneno ya Lobachevsky: "Hakuna eneo moja la hisabati, haijalishi ni ya kufikirika kiasi gani, ambayo siku moja haitatumika kwa matukio ya ulimwengu wa kweli."

V. Suluhisho la nambari kutoka kwa mkusanyiko:

Utatuzi wa shida wa kujitegemea kwenye bodi, uchambuzi wa pamoja wa suluhisho la shida:

№ 1 Tafuta kasi ya harakati hatua ya nyenzo mwishoni mwa sekunde ya 3, ikiwa mwendo wa hatua unatolewa na equation s = t^2 -11t + 30.

№ 2 Hatua hiyo inasonga kwa mstatili kulingana na sheria s = 6t - t^2. Je, kasi yake itakuwa sifuri saa ngapi?

№ 3 Miili miwili husogea kwa mstatili: moja kwa mujibu wa sheria s = t^3 – t^2 – 27t, nyingine kwa mujibu wa sheria s = t^2 + 1. Amua wakati ambapo kasi za miili hii zinageuka kuwa sawa. .

№ 4 Kwa gari linalotembea kwa kasi ya 30 m/s, umbali wa breki umedhamiriwa na formula s(t) = 30t-16t^2, ambapo s(t) ni umbali wa mita, t ni wakati wa kuvunja kwa sekunde. . Inachukua muda gani kuvunja breki? kituo kamili magari? Ambayo umbali utaenda gari tangu ilipoanza kusimama mpaka inasimama kabisa?

№5 Mwili wenye uzito wa kilo 8 husogea kwa mstatili kulingana na sheria s = 2t^2+ 3t - 1. Tafuta nishati ya kinetic mwili (mv^2/2) sekunde 3 baada ya kuanza kwa harakati.

Suluhisho: Wacha tupate kasi ya harakati ya mwili wakati wowote wa wakati:
V = ds / dt = 4t + 3
Wacha tuhesabu kasi ya mwili kwa wakati t = 3:
V t=3 = 4 * 3 + 3=15 (m/s).
Wacha tuamue nishati ya kinetic ya mwili kwa wakati t = 3:
mv2/2 = 8 – 15^2/2 = 900 (J).

№6 Pata nishati ya kinetic ya mwili 4 s baada ya kuanza kwa harakati, ikiwa uzito wake ni kilo 25, na sheria ya mwendo ina fomu s = 3t ^ 2- 1.

№7 Mwili ambao uzito wake ni kilo 30 husogea kwa mstatili kulingana na sheria s = 4t^2 + t. Thibitisha kwamba mwendo wa mwili hutokea chini ya ushawishi wa nguvu ya mara kwa mara.
Suluhisho: Tuna s’ = 8t + 1, s” = 8. Kwa hiyo, a(t) = 8 (m/s^2), yaani, kwa sheria hii ya mwendo, mwili hutembea na kuongeza kasi ya mara kwa mara 8 m/s^2. Zaidi ya hayo, kwa kuwa wingi wa mwili ni mara kwa mara (kilo 30), basi, kwa mujibu wa sheria ya pili ya Newton, nguvu inayofanya juu yake F = ma = 30 * 8 = 240 (H) pia ni thamani ya mara kwa mara.

№8 Mwili wenye uzito wa kilo 3 husogea kwa mstatili kulingana na sheria s(t) = t^3 - 3t^2 + 2. Tafuta nguvu inayofanya kazi kwenye mwili kwa wakati t = 4s.

№9 Sehemu ya nyenzo inasonga kulingana na sheria s = 2t^3 - 6t^2 + 4t. Pata kasi yake mwishoni mwa sekunde ya 3.

VI. Utumiaji wa derivative katika hisabati:

Derivative katika hisabati inaonyesha usemi wa nambari kiwango cha mabadiliko ya wingi iko katika hatua sawa chini ya ushawishi wa hali tofauti.

Fomula ya derivative ilianza karne ya 15. Mtaalamu mkuu wa Kiitaliano wa hisabati Tartagli, akizingatia na kuendeleza swali la ni kiasi gani cha kukimbia kwa projectile inategemea mwelekeo wa bunduki, anaitumia katika kazi zake.

Njia ya derivative mara nyingi hupatikana katika kazi za wanahisabati maarufu wa karne ya 17. Ilitumiwa na Newton na Leibniz.

Mwanasayansi maarufu Galileo Galilei anatoa nakala nzima juu ya jukumu la derivatives katika hisabati. Kisha derivative na maonyesho mbalimbali na matumizi yake yalianza kupatikana katika kazi za Descartes, mwanahisabati wa Ufaransa Roberval na Mwingereza Gregory. Mchango mkubwa katika utafiti wa derivative ulifanywa na akili kama L'Hopital, Bernoulli, Langrange na wengine.

1. Panga grafu na uchunguze kazi:

Suluhisho la tatizo hili:

Wakati wa kupumzika

VII. Utumiaji wa derivative katika fizikia:

Wakati wa kusoma michakato na matukio fulani, kazi ya kuamua kasi ya michakato hii mara nyingi hutokea. Suluhisho lake linaongoza kwa dhana ya derivative, ambayo ni dhana kuu hesabu tofauti.

Njia ya kuhesabu tofauti iliundwa katika karne ya 17 na 18. Majina ya wanahisabati wawili wakuu - I. Newton na G.V - wanahusishwa na kuibuka kwa njia hii. Leibniz.

Newton alikuja ugunduzi wa calculus tofauti wakati wa kutatua shida kuhusu kasi ya mwendo wa sehemu ya nyenzo. wakati huu wakati (kasi ya papo hapo).

Katika fizikia, derivative hutumiwa hasa kuhesabu kubwa zaidi au maadili ya chini kabisa kiasi chochote.

№1 Nishati inayowezekana U uwanja wa chembe ambamo kuna nyingine, chembe hiyo hiyo ina fomu: U = a/r 2 - b/r, Wapi a Na b- mara kwa mara chanya, r- umbali kati ya chembe. Tafuta: a) thamani r0 sambamba na nafasi ya usawa wa chembe; b) kujua ikiwa hali hii ni thabiti; V) Fmax thamani ya nguvu ya kivutio; d) chora takriban grafu za utegemezi U(r) Na F(r).

Suluhisho la tatizo hili: Kuamua r0 sambamba na nafasi ya usawa ya chembe tunayojifunza f = U(r) kwa uliokithiri.

Kutumia uhusiano kati ya nishati inayowezekana mashamba

U Na F, Kisha F = – dU/dr, tunapata F = – dU/dr = – (2a/r3+ b/r2) = 0; ambapo r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b; Tunaamua usawa thabiti au usio thabiti kwa ishara ya derivative ya pili:
d2U/dr02= dF/dr0 = – 6a/r02 + 2b/r03 = – 6a/(2a/b)4 + 2b/(2a/b)3 = (– b4/8a3) 2 = FM / (M + µt ) 2

Fikiria kesi wakati mchanga unamwagika kutoka kwa jukwaa lililojaa.
Mabadiliko ya kasi kwa muda mfupi:
Δ p = (M – µ(t + Δ t))(u+ Δ u) +Δ µtu – (M – µt)u = FΔ t
Muda Δ µtu ni msukumo wa kiasi cha mchanga uliomwagika nje ya jukwaa wakati wa Δ t. Kisha:
Δ p = MΔ u -µtΔ u - Δ µtΔ wewe = FΔ t
Gawanya na Δ t na uendelee hadi kikomo Δ t → 0
(M – µt)du/dt = F
Au a1= du/dt= F/(M – µt)

Jibu: a = FM / (M + µt) 2 , a1= F/(M – µt)

VIII. Kazi ya kujitegemea:

Tafuta derivatives ya kazi:

Mstari wa moja kwa moja y = 2x ni tangent kwa kazi: y = x 3 + 5x 2 + 9x + 3. Pata abscissa ya hatua ya tangency.

IX. Kwa muhtasari wa somo:

- Somo lilitolewa kwa maswali gani?
- Umejifunza nini katika somo?
- Ni mambo gani ya kinadharia yaliyofupishwa katika somo?
- Ni kazi gani zilizozingatiwa ziligeuka kuwa ngumu zaidi? Kwa nini?

Bibliografia:

Amelkin V.V., Sadovsky A.P. Mifano ya hisabati na milinganyo tofauti. - Minsk: shule ya kuhitimu, 1982. - 272 p.
Amelkin V.V. Milinganyo tofauti katika programu. M.: Sayansi. Ofisi kuu ya wahariri wa fasihi ya kimwili na hisabati, 1987. - 160 p.
Erugin N.P. Kitabu cha kusoma kozi ya jumla milinganyo tofauti. - Minsk: Sayansi na Teknolojia, 1979. - 744 p.
.Jarida "Uwezo" Novemba 2007 Na. 11
"Algebra na kanuni za uchambuzi" darasa la 11 S.M. Nikolsky, M.K. Potapov na wengine.
"Algebra na uchambuzi wa hisabati" N.Ya. Vilenkin et al.
"Hisabati" V.T. Lisichkin, I.L. Soloveichik, 1991

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Maana ya kimwili ya derivative. Kazi!

Maana ya kimwili derivative. Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati unajumuisha kundi la matatizo ya kutatua ambayo yanahitaji ujuzi na uelewa wa maana ya kimwili ya derivative. Hasa, kuna matatizo ambapo sheria ya mwendo inatolewa uhakika fulani(kitu), iliyoonyeshwa na equation na unahitaji kupata kasi yake kwa wakati fulani wakati wa harakati, au wakati ambao kitu kitapata kasi fulani. Kazi ni rahisi sana, zinaweza kutatuliwa kwa hatua moja. Kwa hivyo:

Hebu sheria ya mwendo wa nyenzo ya uhakika x (t) pamoja mhimili wa kuratibu, ambapo x ni kuratibu ya hatua ya kusonga, t ni wakati.

Kasi kwa wakati fulani kwa wakati ni derivative ya kuratibu kwa heshima na wakati. Hii ni maana ya mitambo ya derivative.

Vivyo hivyo, kuongeza kasi ni derivative ya kasi kuhusiana na wakati:

Kwa hivyo, maana ya kimwili ya derivative ni kasi. Hii inaweza kuwa kasi ya harakati, kiwango cha mabadiliko ya mchakato (kwa mfano, ukuaji wa bakteria), kasi ya kazi (na kadhalika, kuna matatizo mengi yaliyotumika).

Kwa kuongeza, unahitaji kujua meza ya derivative (unahitaji kujua kama meza ya kuzidisha) na sheria za kutofautisha. Hasa, ili kutatua shida zilizoainishwa, ujuzi wa derivatives sita za kwanza ni muhimu (tazama jedwali):

x (t) = t 2 - 7t - 20

ambapo x ni umbali kutoka kwa sehemu ya kumbukumbu katika mita, t ni wakati katika sekunde, kipimo kutoka mwanzo wa harakati. Pata kasi yake (katika mita kwa sekunde) kwa wakati t = 5 s.

Maana ya kimwili ya derivative ni kasi (kasi ya harakati, kiwango cha mabadiliko ya mchakato, kasi ya kazi, nk).

Hebu tupate sheria ya mabadiliko ya kasi: v (t) = x′ (t) = 2t - 7 m / s.

Sehemu ya nyenzo inasonga kwa mstatili kulingana na sheria x (t) = 6t 2 - 48t + 17, ambapo x- umbali kutoka kwa eneo la kumbukumbu katika mita, t- muda katika sekunde kipimo tangu mwanzo wa harakati. Pata kasi yake (katika mita kwa sekunde) kwa wakati t = 9 s.

Sehemu ya nyenzo inasonga kwa mstatili kulingana na sheria x (t) = 0.5t 3 - 3t 2 + 2t, ambapo x- umbali kutoka kwa eneo la kumbukumbu katika mita, t- muda katika sekunde kipimo tangu mwanzo wa harakati. Pata kasi yake (katika mita kwa sekunde) kwa wakati t = 6 s.

Sehemu ya nyenzo husogea kwa usawa kulingana na sheria

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Wapi x- umbali kutoka kwa eneo la kumbukumbu katika mita, t- muda katika sekunde kipimo tangu mwanzo wa harakati. Pata kasi yake (katika mita kwa sekunde) kwa wakati t = 3 s.

Sehemu ya nyenzo husogea kwa usawa kulingana na sheria

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

ambapo x ni umbali kutoka kwa sehemu ya kumbukumbu katika mita, t ni wakati katika sekunde, kipimo kutoka mwanzo wa harakati. Kwa wakati gani (katika sekunde) kasi yake ilikuwa sawa na 6 m / s?

Wacha tupate sheria ya mabadiliko ya kasi:

Ili kupata kwa wakati gani kwa wakati t kasi ilikuwa 3 m / s, ni muhimu kutatua equation:

Sehemu ya nyenzo inasonga kwa mstatili kulingana na sheria x (t) = t 2 - 13t + 23, ambapo x- umbali kutoka kwa eneo la kumbukumbu katika mita, t- muda katika sekunde kipimo tangu mwanzo wa harakati. Ni kwa wakati gani (katika sekunde) kasi yake ilikuwa sawa na 3 m / s?

Sehemu ya nyenzo husogea kwa usawa kulingana na sheria

x (t) = (1/3) t 3 - 3t 2 - 5t + 3

Wapi x- umbali kutoka kwa eneo la kumbukumbu katika mita, t- muda katika sekunde kipimo tangu mwanzo wa harakati. Ni kwa wakati gani (katika sekunde) kasi yake ilikuwa sawa na 2 m / s?

Ningependa kutambua kwamba haipaswi kuzingatia tu aina hii ya kazi kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja. Wanaweza kabisa bila kutarajia kuanzisha matatizo ambayo ni kinyume cha yale yaliyowasilishwa. Wakati sheria ya mabadiliko ya kasi inatolewa na swali litakuwa juu ya kutafuta sheria ya mwendo.

Kidokezo: katika kesi hii, unahitaji kupata kiunga cha kazi ya kasi (hii pia ni shida ya hatua moja). Ikiwa unahitaji kupata umbali uliosafirishwa kwa wakati fulani, unahitaji kubadilisha wakati kwenye equation inayosababisha na uhesabu umbali. Hata hivyo, pia tutachambua matatizo hayo, usikose! Nakutakia mafanikio!

matematikalogko.ru

Algebra na mwanzo uchambuzi wa hisabati, darasa la 11 (S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin) 2009

Ukurasa nambari 094.

Kitabu cha kiada:

Toleo la OCR la ukurasa kutoka kwa kitabu cha maandishi (maandishi ya ukurasa ulio hapo juu):

Kama ifuatavyo kutoka kwa wale waliojadiliwa hapo mwanzo ya aya hii kazi, taarifa zifuatazo ni kweli:

1. Ikiwa saa mwendo wa moja kwa moja njia iliyopitiwa na hatua ni kazi ya wakati t, i.e. s = f (t), basi kasi ya hatua ni derivative ya njia kwa heshima na wakati, i.e. v (t) =

Ukweli huu unaonyesha maana ya mitambo ya derivative.

2. Ikiwa katika hatua x 0 tanjenti imechorwa kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa y = f (jc), basi nambari f"(xo) ni tanjenti ya pembe a kati ya tanjenti hii na mwelekeo chanya wa mhimili wa Ox. , yaani /"(x 0) =

Tga. Pembe hii inaitwa pembe ya tangent.

Ukweli huu unajieleza maana ya kijiometri derivative.

MFANO 3. Hebu tupate tangent ya angle ya mwelekeo wa tangent kwa grafu ya kazi y = 0.5jc 2 - 2x + 4 kwa uhakika na abscissa x = 0.

Wacha tupate derivative ya kazi f(x) = 0.5jc 2 - 2x + 4 wakati wowote x, kwa kutumia usawa (2):

0.5 2 x - 2 = jc - 2.

Wacha tuhesabu thamani ya derivative hii kwa uhakika x = 0:

Kwa hiyo tga = -2. Grafu ya x ya chaguo za kukokotoa y = /(jc) na tanjiti kwa grafu yake katika hatua iliyo na abscissa jc = 0 zimeonyeshwa kwenye Mchoro 95.

4.1 Acha hoja iende kwa mstatili kulingana na sheria s = t 2. Tafuta:

a) nyongeza ya muda D£ kwa muda kutoka t x = 1 hadi £ 2 - 2;

b) ongezeko la njia Kama kwa kipindi cha muda kutoka t x = 1 hadi t 2 = 2;

V) kasi ya wastani kwa muda kutoka t x = 1 hadi t 2 = 2.

4.2 Katika kazi 4.1 tafuta:

b) kasi ya wastani kwa muda wa muda kutoka t hadi t + At;

V) kasi ya papo hapo kwa wakati t;

d) kasi ya papo hapo kwa wakati t = 1.

4.3 Wacha hoja iende kwa mshikamano kulingana na sheria:

1) s = 3t + 5; 2) s = t 2 - bt.

a) ongezeko la njia Kama kwa kipindi cha muda kutoka t hadi t + At;

Kitabu cha kiada: Algebra na mwanzo wa uchambuzi wa hisabati. Daraja la 11: elimu. kwa elimu ya jumla taasisi: msingi na wasifu. viwango / [S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin]. - Toleo la 8. - M.: Elimu, 2009. - 464 p.: mgonjwa.

Maana ya kimwili ya derivative. Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati unajumuisha kundi la matatizo ya kutatua ambayo yanahitaji ujuzi na uelewa wa maana ya kimwili ya derivative. Hasa, kuna matatizo ambapo sheria ya mwendo wa hatua fulani (kitu) hutolewa, iliyoonyeshwa na equation, na inahitajika kupata kasi yake kwa wakati fulani wakati wa harakati, au wakati baada ya kitu hicho. atapata kasi fulani.Kazi ni rahisi sana, zinaweza kutatuliwa kwa hatua moja. Kwa hivyo:

Wacha sheria ya mwendo wa sehemu ya nyenzo x (t) kando ya mhimili wa kuratibu itolewe, ambapo x ni uratibu wa hatua ya kusonga, t ni wakati.

Kasi kwa wakati fulani kwa wakati ni derivative ya kuratibu kwa heshima na wakati. Hii ni maana ya mitambo ya derivative.

Vivyo hivyo, kuongeza kasi ni derivative ya kasi kuhusiana na wakati:

Wacha tuzingatie majukumu:

x (t) = t 2 - 7t - 20

ambapo x t ni wakati katika sekunde kupimwa kutoka mwanzo wa harakati. Pata kasi yake (katika mita kwa sekunde) kwa wakati t = 5 s.

Maana ya kimwili ya derivative ni kasi (kasi ya harakati, kiwango cha mabadiliko ya mchakato, kasi ya kazi, nk).

Hebu tupate sheria ya mabadiliko ya kasi: v (t) = x′ (t) = 2t - 7 m / s.

Kwa t = 5 tunayo:

Jibu: 3

Amua mwenyewe:

Sehemu ya nyenzo inasonga kwa mstatili kulingana na sheria x (t) = 0.5t 3 - 3t 2 + 2t, wapi xt- muda katika sekunde kipimo tangu mwanzo wa harakati. Pata kasi yake (katika mita kwa sekunde) kwa wakati t = 6 s.

Sehemu ya nyenzo husogea kwa usawa kulingana na sheria

x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23

Wapi x- umbali kutoka kwa eneo la kumbukumbu katika mita,t- muda katika sekunde kipimo tangu mwanzo wa harakati. Pata kasi yake (katika mita kwa sekunde) kwa wakati t = 3 s.

Sehemu ya nyenzo husogea kwa usawa kulingana na sheria

x(t) = (1/6)t 2 + 5t + 28

ambapo x ni umbali kutoka kwa sehemu ya kumbukumbu katika mita, t ni wakati katika sekunde, kipimo kutoka mwanzo wa harakati. Kwa wakati gani (katika sekunde) kasi yake ilikuwa sawa na 6 m / s?

Wacha tupate sheria ya mabadiliko ya kasi:

Ili kupata wakati gani kwa wakatitkasi ilikuwa 3 m / s, ni muhimu kutatua equation:

Jibu: 3

Amua mwenyewe:

Sehemu ya nyenzo husogea kwa usawa kulingana na sheria

x (t) = (1/3) t 3 - 3t 2 - 5t + 3

Wapi x- umbali kutoka kwa eneo la kumbukumbu katika mita, t- muda katika sekunde kipimo tangu mwanzo wa harakati. Ni kwa wakati gani (katika sekunde) kasi yake ilikuwa sawa na 2 m / s?

Kwa dhati, Alexander Krutitskikh.

P.S: Ningeshukuru ukiniambia kuhusu tovuti kwenye mitandao ya kijamii.

Hoja inasonga kwa usawa kulingana na sheria S = t 4 +2t (S - katika mita, t- kwa sekunde). Pata kasi yake ya wastani katika muda kati ya muda mfupi t 1 = 5 s, t 2 = 7 s, pamoja na kuongeza kasi yake ya kweli kwa sasa t 3 = 6 s.

Suluhisho.

1. Tafuta kasi ya uhakika kama derivative ya njia S kuhusiana na wakati t, hizo.

2. Kubadilisha badala ya t maadili yake t 1 = 5 s na t 2 = 7 s, tunapata kasi:

V 1 = 4 5 3 + 2 = 502 m / s; V 2 = 4 7 3 + 2 = 1374 m / s.

3. Tambua nyongeza ya kasi ΔV kwa wakati Δt = 7 - 5 =2 s:

ΔV = V 2 - V 1= 1374 - 502 = 872 m/s.

4. Hivyo, kasi ya wastani ya uhakika itakuwa sawa na

5. Kuamua maana ya kweli kuongeza kasi ya uhakika, tunachukua derivative ya kasi kuhusiana na wakati:

6. Kubadilisha badala yake t thamani t 3 = 6 s, tunapata kuongeza kasi katika hatua hii kwa wakati

a av =12-6 3 =432 m/s 2 .

Mwendo wa curvilinear. Katika harakati ya curvilinear kasi ya hatua hubadilika katika ukubwa na mwelekeo.

Hebu tuwazie jambo moja M, ambayo kwa wakati Δt, kusonga pamoja na baadhi njia ya curvilinear, imesogezwa kwenye nafasi M 1(Mchoro 6).

Vekta ya kuongeza kasi (mabadiliko) ΔV mapenzi

Kwa ili kupata vekta ΔV, songa vekta V 1 hadi kwa uhakika M na tengeneza pembetatu ya kasi. Wacha tuamue vekta ya kuongeza kasi ya wastani:

Vekta a Wed ni sambamba na vekta ΔV, tangu kugawanya vekta na kiasi cha scalar mwelekeo wa vector haubadilika. Vekta ya kuongeza kasi ya kweli ni kikomo ambacho uwiano wa vector ya kasi kwa muda wa wakati unaofanana Δt huwa na sifuri, i.e.

Kikomo hiki kinaitwa derivative ya vector.

Hivyo, kasi ya kweli ya uhakika wakati wa mwendo wa curvilinear ni sawa na derivative ya vector kwa heshima na kasi.

Kutoka Mtini. 6 ni wazi kwamba vekta ya kuongeza kasi wakati wa mwendo wa curvilinear daima inaelekezwa kuelekea concavity ya trajectory.

Kwa urahisi wa mahesabu, kuongeza kasi hugawanywa katika vipengele viwili kwa trajectory ya mwendo: pamoja na tangent, inayoitwa tangential (tangential) kuongeza kasi. A, na pamoja na kawaida, inayoitwa kuongeza kasi ya kawaida n (Mchoro 7).

Katika kesi hii, kuongeza kasi ya jumla itakuwa sawa na

Kuongeza kasi ya tangential inafanana katika mwelekeo na kasi ya uhakika au ni kinyume chake. Ni sifa ya mabadiliko ya kasi na imedhamiriwa ipasavyo na fomula

Kuongeza kasi ya kawaida ni kwa mwelekeo wa kasi ya uhakika, na thamani yake ya nambari imedhamiriwa na formula.

wapi r - radius ya mpindano wa trajectory katika hatua inayozingatiwa.

Kwa kuwa uharakishaji wa tangential na wa kawaida ni wa pande zote, kwa hivyo thamani ya kuongeza kasi imedhamiriwa na formula.

na mwelekeo wake

Kama , basi kasi ya tangential na vectors ya kasi huelekezwa kwa mwelekeo mmoja na harakati itaharakishwa.

Kama , basi vector ya kuongeza kasi ya tangential inaelekezwa kwa mwelekeo kinyume na vector ya kasi, na harakati itakuwa polepole.

Vekta kuongeza kasi ya kawaida daima huelekezwa kuelekea katikati ya curvature, ndiyo sababu inaitwa centripetal.