Polyhedron ambayo nyuso zake ni pembetatu 4. Polyhedra ya kawaida: vipengele, ulinganifu na eneo

Polyhedra sio tu kuchukua nafasi maarufu katika jiometri, lakini pia hupatikana ndani Maisha ya kila siku kila mtu. Bila kutaja vitu vya nyumbani vilivyoundwa kwa njia ya bandia kwa namna ya polygons mbalimbali, kuanzia sanduku la mechi na kuishia na vipengele vya usanifu, fuwele kwa namna ya mchemraba (chumvi), prism (kioo), piramidi (scheelite), octahedron (almasi), nk pia hupatikana katika asili.

Wazo la polyhedron, aina za polihedra katika jiometri

Jiometri kama sayansi ina sehemu ya stereometry, ambayo inasoma sifa na mali ya miili ya volumetric, ambayo pande zake ni. nafasi tatu-dimensional iliyoundwa na ndege mdogo (nyuso), huitwa "polyhedra". Kuna aina kadhaa za polihedra, tofauti katika idadi na sura ya nyuso.

Walakini, polihedra zote zina sifa za kawaida:

1. Zote zina vifaa 3 muhimu: uso (uso wa poligoni), vertex (pembe zilizoundwa kwenye makutano ya nyuso), makali (upande wa takwimu au sehemu inayoundwa kwenye makutano ya nyuso mbili. )
2. Kila makali ya poligoni huunganisha nyuso mbili, na mbili tu, ambazo ziko karibu na kila mmoja.
3. Convexity ina maana kwamba mwili iko kabisa upande mmoja tu wa ndege ambayo moja ya nyuso uongo. Sheria hiyo inatumika kwa nyuso zote za polyhedron. Katika stereometry, takwimu hizo za kijiometri huitwa convex polyhedra. Isipokuwa ni polihedra yenye nyota, ambayo ni derivatives ya polihedra ya kawaida. miili ya kijiometri.

Polyhedra inaweza kugawanywa katika:

1. Aina za polihedra mbonyeo, inayojumuisha madarasa yafuatayo: ya kawaida au ya kitambo (prism, piramidi, parallelepiped), ya kawaida (pia inaitwa yabisi ya Plato), semiregular (jina lingine ni yabisi ya Archimedean).
2. Polihedra isiyo na mbonyeo (stellate).

Prism na sifa zake

Stereometry kama tawi la jiometri inasoma mali ya takwimu za pande tatu, aina za polihedra (prism kati yao). Prism ni mwili wa kijiometri ambao lazima uwe na nyuso mbili zinazofanana kabisa (pia huitwa besi) zilizolala ndani. ndege sambamba, na nambari ya nth ya nyuso za upande kwa namna ya parallelograms. Kwa upande wake, prism pia ina aina kadhaa, pamoja na aina kama hizo za polihedra kama:

1. Parallelepiped huundwa ikiwa msingi ni parallelogram - poligoni yenye jozi 2 za pembe tofauti na jozi mbili za pande zinazopingana.
2. Prism moja kwa moja ina mbavu perpendicular kwa msingi.
3. inayojulikana na uwepo wa pembe zisizo za moja kwa moja (zaidi ya 90) kati ya kingo na msingi.
4. Prism ya kawaida ina sifa ya besi katika mfumo wa nyuso sawa za upande.

Tabia kuu za prism:

• Misingi inayolingana.
• Kingo zote za prism ni sawa na zinafanana kwa kila mmoja.
• Wote nyuso za upande kuwa na sura ya parallelogram.

Piramidi

Piramidi ni mwili wa kijiometri ambao una msingi mmoja na nambari ya nth ya nyuso za triangular zinazounganishwa kwa hatua moja - kilele. Ikumbukwe kwamba ikiwa nyuso za upande wa piramidi lazima ziwakilishwe na pembetatu, basi kwa msingi kunaweza kuwa na polygon ya triangular, quadrangle, pentagon, na kadhalika ad infinitum. Katika kesi hii, jina la piramidi litalingana na poligoni kwenye msingi. Kwa mfano, ikiwa chini ya piramidi kuna pembetatu - hii ni quadrilateral, nk.

Piramidi ni polihedra yenye umbo la koni. Aina za polihedra katika kundi hili, pamoja na zile zilizoorodheshwa hapo juu, pia ni pamoja na wawakilishi wafuatao:

1. Piramidi ya kawaida ina poligoni ya kawaida kwenye msingi wake, na urefu wake unaonyeshwa katikati ya mduara ulioandikwa kwenye msingi au unaozunguka.
2. Piramidi ya mstatili huundwa wakati moja ya kingo za upande inapoingiliana na msingi kwa pembe ya kulia. Katika kesi hii, makali haya yanaweza pia kuitwa urefu wa piramidi.

Tabia za piramidi:

• Ikiwa kingo zote za piramidi zinalingana ( urefu sawa), basi wote huingiliana na msingi kwa pembe moja, na karibu na msingi unaweza kuchora mduara na kituo kinachofanana na makadirio ya juu ya piramidi.
• Ikiwa poligoni ya kawaida iko kwenye msingi wa piramidi, basi kingo zote za upande ni sanjari, na nyuso ni pembetatu za isosceles.

Polyhedron ya kawaida: aina na mali ya polihedra

Katika stereometry mahali maalum kuchukua miili ya kijiometri na nyuso sawa kabisa, kwenye wima ambazo idadi sawa ya kingo zimeunganishwa. Miili hii inaitwa yabisi ya Plato, au polihedra ya kawaida. Kuna aina tano tu za polihedra zenye sifa hizi:

1. Tetrahedron.
2. Hexahedron.
3. Octahedron.
4. Dodekahedron.
5. Icosahedron.

Polyhedra ya kawaida ina jina lao kwa mwanafalsafa wa kale wa Kigiriki Plato, ambaye alielezea miili hii ya kijiometri katika kazi zake na kuhusisha na mambo ya asili: dunia, maji, moto, hewa. Takwimu ya tano ilipewa kufanana na muundo wa Ulimwengu. Kwa maoni yake, atomi za vitu vya asili zina umbo kama polihedra ya kawaida. Shukrani kwa mali yao ya kuvutia zaidi - ulinganifu, miili hii ya kijiometri iliwakilishwa maslahi makubwa si tu kwa wanahisabati na wanafalsafa wa kale, bali pia kwa wasanifu, wasanii na wachongaji wa nyakati zote. Uwepo wa aina 5 tu za polihedra zilizo na ulinganifu kabisa ulizingatiwa kuwa ugunduzi wa kimsingi, hata zilihusishwa na kanuni ya kimungu.

Hexahedron na mali yake

Kwa namna ya hexagons, warithi wa Plato walidhani kufanana na muundo wa atomi za dunia. Kwa kweli, kwa sasa nadharia hii imekanushwa kabisa, ambayo, hata hivyo, haizuii takwimu kutoka kwa kuvutia akili katika nyakati za kisasa. takwimu maarufu aesthetics yake.

Katika jiometri, hexahedron, pia inajulikana kama mchemraba, inachukuliwa kuwa kesi maalum ya parallelepiped, ambayo, kwa upande wake, ni aina ya prism. Ipasavyo, mali ya mchemraba inahusiana na kila mmoja, na tofauti pekee ni kwamba nyuso zote na pembe za mchemraba ni sawa kwa kila mmoja. Tabia zifuatazo hufuata kutoka kwa hii:

1. Kingo zote za mchemraba ni sanjari na ziko katika ndege zinazofanana kwa heshima kwa kila mmoja.
2. Nyuso zote ni mraba unaofanana (kuna 6 kati yao kwenye mchemraba), yoyote ambayo inaweza kuchukuliwa kama msingi.
3. Pembe zote za interhedral ni sawa na 90.
4. Kila kipeo kina idadi sawa ya kingo, yaani 3.
5. Mchemraba una 9 ambao wote huingiliana kwenye hatua ya makutano ya diagonal ya hexahedron, inayoitwa katikati ya ulinganifu.

Tetrahedron

Tetrahedron ni tetrahedron yenye nyuso sawa katika sura ya pembetatu, kila moja ya wima ambayo ni hatua ya kuunganisha ya nyuso tatu.

Mali ya tetrahedron ya kawaida:

1. Nyuso zote za tetrahedron - hii ina maana kwamba nyuso zote za tetrahedron ni sanjari.
2. Kwa kuwa msingi unawakilishwa na takwimu ya kijiometri ya kawaida, yaani, ina pande sawa, basi nyuso za tetrahedron hukutana kwa pembe moja, yaani, pembe zote ni sawa.
3. Jumla ya pembe za ndege kwenye kila vertex ni 180, kwani pembe zote ni sawa, basi pembe yoyote ya tetrahedron ya kawaida ni 60.
4. Kila vertex inakadiriwa kwa hatua ya makutano ya urefu wa uso wa kinyume (orthocenter).

Octahedron na mali yake

Wakati wa kuelezea aina za polihedra ya kawaida, mtu hawezi kushindwa kutambua kitu kama octahedron, ambayo inaweza kuwakilishwa kwa macho kama piramidi mbili za kawaida za quadrangular zilizounganishwa pamoja kwenye besi.

Tabia za octahedron:

1. Jina lenyewe la mwili wa kijiometri linaonyesha idadi ya nyuso zake. Oktahedron ina viunga 8 pembetatu za usawa, katika kila wima ambayo idadi sawa ya nyuso huungana, yaani 4.
2. Kwa kuwa nyuso zote za octahedron ni sawa, pembe zake za kiolesura pia ni sawa, ambayo kila moja ni sawa na 60, na jumla ya pembe za ndege za wima yoyote ni 240.

Dodekahedron

Ikiwa tunafikiria kwamba nyuso zote za mwili wa kijiometri ni pentagon ya kawaida, basi tunapata dodecahedron - takwimu ya polygons 12.

Tabia ya dodecahedron:

1. Nyuso tatu hupishana kwenye kila kipeo.
2. Nyuso zote ni sawa na zina urefu sawa mbavu, pamoja na eneo sawa.
3. Dodekahedron ina shoka 15 na ndege za ulinganifu, na yeyote kati yao hupitia vertex ya uso na katikati ya makali kinyume chake.

Icosahedron

Sio chini ya kuvutia kuliko dodecahedron, takwimu ya icosahedron ni mwili wa kijiometri wa tatu-dimensional na nyuso 20 sawa. Kati ya mali ya 20-hedron ya kawaida, yafuatayo yanaweza kuzingatiwa:

1. Nyuso zote za icosahedron ni pembetatu za isosceles.
2. Nyuso tano hukutana kwenye kila kipeo cha polihedroni, na jumla pembe za karibu juu ni 300.
3. Icosahedron, kama dodekahedron, ina shoka 15 na ndege za ulinganifu zinazopita katikati ya nyuso zinazopingana.

Poligoni za semiregular

Mbali na yabisi ya Plato, kundi la polihedra mbonyeo pia linajumuisha yabisi ya Archimedean, ambayo hupunguzwa polihedra ya kawaida. Aina za polihedra katika kundi hili zina sifa zifuatazo:

1. Miili ya kijiometri ina nyuso sawa za aina kadhaa, kwa mfano, tetrahedron iliyopunguzwa ina, kama tetrahedron ya kawaida, nyuso 8, lakini kwa upande wa mwili wa Archimedean, nyuso 4 zitakuwa na umbo la pembetatu na 4 zitakuwa na hexagonal.
2. Pembe zote za vertex moja zina mshikamano.

Nyota polihedra

Wawakilishi wa aina zisizo za volumetric za miili ya kijiometri ni polyhedra ya stellate, nyuso ambazo zinaingiliana. Wanaweza kuundwa kwa kuunganishwa kwa miili miwili ya kawaida ya tatu-dimensional au kama matokeo ya ugani wa nyuso zao.

Kwa hivyo, polihedra yenye nyota kama hiyo inajulikana kama: aina za nyota za octahedron, dodecahedron, icosahedron, cuboctahedron, icosidodecahedron.

Somo la 7 juu ya mada: "Polyhedra. Vipeo, kingo, nyuso za polyhedron"

Kusudi la somo: kuwajulisha wanafunzi kwa moja ya aina za polihedra - mchemraba; kwa kupima na kuchunguza, pata mali nyingi za mchemraba iwezekanavyo.

Aina ya somo: kujifunza nyenzo mpya

Mbinu:

Kwa vyanzo vya maarifa: kwa maneno, kuona;

Kulingana na kiwango cha mwingiliano wa mwalimu na mwanafunzi: mazungumzo ya heuristic;

Kuhusu kazi za didactic: maandalizi ya mtazamo;

Kuhusu asili ya shughuli za utambuzi:uzazi, utafutaji wa sehemu.

Vifaa: Kitabu cha maandishi:Hisabati: Jiometri inayoonekana. 5-6 darasa la I.F. Sharygin, projekta ya media titika, kompyuta.

Matokeo ya kujifunza:

Binafsi: uwezo wa mtazamo wa kihisia vitu vya hisabati, uwezo wa kueleza mawazo ya mtu kwa uwazi na kwa usahihi.

Mada ya Meta: uwezo wa kuelewa na kutumia vielelezo.

Mada: jifunze kuchora alama na kutengeneza maumbo ukitumia.

Vifaa: kitabu cha maandishi "Jiometri ya Visual. Daraja la 5 - 6" S. Sharygin, bodi ya maingiliano, mkasi.

UUD:

kielimu: uchambuzi na uainishaji wa vitu

udhibiti: kuweka malengo; kutambua na kutambua kile ambacho tayari kinajulikana na kile kinachohitaji kujifunza

mawasiliano: ushirikiano wa kielimu na mwalimu na wenzao.

Wakati wa madarasa

Wakati wa kuandaa.

Kusasisha na kurekodi maarifa ya kimsingi.

Juu ya meza ni polyhedra, ambayo wanafunzi waliifahamu Shule ya msingi. Je, unaweza kutaja maumbo gani? Ni takwimu gani ziko nyingi zaidi?

Ni ngumu kupata mtu ambaye hajui mchemraba. Baada ya yote, cubes ni mchezo unaopenda kwa watoto. Inaonekana kwamba tunajua kila kitu kuhusu mchemraba. Lakini je!

Mchemraba ni mwakilishi wa familia kubwa ya polihedra. Tayari umekutana na wengine - hii ni piramidi, mchemraba. Kukutana na wengine kunakungoja mbele.

Licha ya tofauti zao zote, polihedra ina idadi ya mali ya kawaida.

Uso wa kila mmoja wao una polygons za gorofa, ambazo huitwanyuso za polyhedron . Poligoni mbili za gorofa zilizo karibu zina upande mmoja -makali ya polyhedron . Mwisho wa mbavu nivilele polihedroni.

Katika somo lililopita ulipendezwa na aina za polihedra na hapa kuna wawakilishi 5 wa poligoni za kawaida.

Tetrahedron oktahedron icosahedron hexahedron dodekahedron

Ujumla na utaratibu wa maarifa

Angalia picha ya mchemraba kwenye takwimu, chora kwenye daftari yako na uandike majina ya vitu kuu vya mchemraba. Kumbuka na kutumia maneno haya katika siku zijazo.

Mchemraba ni polihedroni ya kawaida ambayo nyuso zake ni miraba na kingo tatu na nyuso tatu hukutana kwenye kila kipeo. Ina: nyuso 6, wima 8 na kingo 12.

Kufanya kazi na mifano.

Kufanya kazi na kufagia.

№ 2 (Hisabati: Jiometri inayoonekana. Madarasa ya 5-6 I.F. Sharygin) Kwenye kipande cha karatasi, chora maendeleo ya mchemraba. Kata na uingie kwenye mchemraba, gundi pamoja.

Kielelezo kilichokatwa kinaitwamchemraba scan . Fikiria kwa nini inaitwa hivyo.

№ 3 (Hisabati: Jiometri inayoonekana. Madarasa ya 5-6 I.F. Sharygin) Jaribu kukusanya mchemraba kutoka kwa maendeleo yaliyopendekezwa na uhamishe kwenye daftari lako.

№ 5 (Hisabati: Jiometri inayoonekana. Madarasa ya 5-6 I.F. Sharygin) Ukuzaji wa mchemraba umetolewa. Ni cubes zipi katika Mchoro 30, a-c zinaweza kuunganishwa kutoka kwayo? Chagua mchemraba na uhalalishe chaguo lako.

№ 12 (Hisabati: Jiometri inayoonekana. Madarasa ya 5-6 I.F. Sharygin) Kuna kipande cha karatasi cha kupima 1*7. Jinsi ya kutengeneza mchemraba mmoja kutoka kwake?

№ 15 (Hisabati: Jiometri inayoonekana. Madarasa ya 5-6 I.F. Sharygin) Buibui na nzi hukaa katika vipeo vilivyo kinyume vya mchemraba. Je, ni njia fupi zaidi ya buibui kutambaa hadi kwa nzi? Eleza jibu lako

Tafakari ya shughuli za kielimu.

leo nimegundua...

ilikuwa ya kuvutia...

ilikuwa ngumu...

Nilifanya majukumu ...

Nilinunua...

Nilijifunza…

Niliweza …

niliweza...

Nitajaribu…

nilishangaa...

alinipa somo la maisha...

Kazi ya nyumbani. Fanya mfano wa mchemraba kutoka kwa kadibodi.

Somo."Polyhedron. Vipengele vya polyhedron - nyuso, wima, kingo."

Malengo. Unda masharti ya upanuzi maarifa ya kinadharia kuhusu takwimu za anga: kuanzisha dhana za "polyhedron", "nyuso", "vertex", "makali"; hakikisha maendeleo kwa watoto wa shule ya uwezo wa kuonyesha jambo kuu ndani kitu cha utambuzi; kukuza maendeleo mawazo ya anga wanafunzi.

Nyenzo za elimu. Kitabu cha maandishi "Hisabati. daraja la 4” (mwandishi V.N. Rudnitskaya, T.V. Yudacheva); kompyuta; projekta; uwasilishaji "Polygons"; fomu zilizochapishwa "Coordinate angle", "Polygons", "Tatizo"; mifano ya polyhedra, maendeleo ya polyhedra; vioo; mkasi.

WAKATI WA MADARASA

Kabla ya kuanza kwa somo, watoto wamegawanywa katika vikundi vitatu kulingana na kiwango chao cha maarifa - juu, wastani, chini.

I. Wakati wa shirika

Mwalimu. Watu wangu wapendwa wasio na utulivu, kwa mara nyingine tena ninakualika ulimwengu wa kuvutia hisabati. Na nina hakika kwamba katika somo hili utajifunza mambo mapya, kuunganisha yale uliyojifunza na kuwa na uwezo wa kutumia ujuzi uliopatikana katika mazoezi.

Leo ningependa kuanza somo letu kwa maneno ya mwanafalsafa Mwingereza Roger Bacon kuhusu hisabati: “Yeye asiyejua hisabati hawezi kusoma sayansi nyingine na hawezi kuelewa ulimwengu.” Nadhani katika somo hakika tutapata uthibitisho wa maneno ya mwanafalsafa huyu.

II. Kurudia nyenzo zilizofunikwa. Kuunda poligoni kwa kuratibu

U. Katika masomo ya hisabati katika darasa la 1, 2, 3, tulisoma takwimu mbalimbali za kijiometri za gorofa na pia kujifunza jinsi ya kuzijenga. Ninapendekeza ujenge ndani kuratibu angle takwimu za gorofa kulingana na kuratibu hizi.

Kazi imekamilika kwenye fomu zilizochapishwa.

Kikundi cha 1

Tengeneza takwimu ikiwa viwianishi vinajulikana A (0; 2), KATIKA (2; 5), NA(9; 2). Ulipata takwimu ya aina gani?

Kikundi cha 2

Tengeneza mstatili kama pointi A(3; 2) na KATIKA(6; 5) ni vipeo vyake vilivyo kinyume. Toa viwianishi vya vipeo vilivyo kinyume. Jina lingine la takwimu hii ni lipi?

Kikundi cha 3

Tengeneza kielelezo ikiwa viwianishi vya wima vyake vinajulikana A (2; 3), KATIKA (2; 6), NA (5; 8), D (8; 6), K (8; 3), M(5; 1). Ulipata takwimu ya aina gani?

- Unaweza kuwaitaje takwimu hizi zote?

Watoto. Hizi ni poligoni.

Slaidi 1

U. Tunajua kuwa poligoni zote zina wima na pande. Taja na uwaonyeshe.

Mtu mmoja kutoka kwenye kikundi anakamilisha kazi kwenye ubao.

III. Kujua nyenzo mpya

U. Leo nitakutambulisha kwa volumetric maumbo ya kijiometri, ambazo huitwa poligoni. Mifano zao zinawasilishwa kwenye meza zako.

Wanafunzi wana takwimu tatu-dimensional kwenye meza zao: cubes, parallelepipeds, piramidi, prisms.

- Kaa nyuma, angalia kwa uangalifu, sikiliza kwa uangalifu na ukumbuke.

Utangulizi wa dhana za "polyhedron", "uso", "vertex", "makali"

- Ikiwa unachukua pembetatu 4, unaweza kuunda takwimu tatu-dimensional – piramidi. Kutoka kwa mraba unaweza kupata takwimu nyingine - mchemraba, kutoka kwa rectangles - parallelepiped. Una takwimu nyingine kwenye meza yako - prism, ambayo imeundwa na rectangles na pembetatu. Takwimu hizi zote zinaitwa polihedra .

Kila moja ya poligoni (in kwa kesi hii pembetatu) huitwa makali polihedroni. Na pande za poligoni huitwa mbavu polihedroni. Na, kwa kweli, wima za poligoni zitakuwa vilele polihedroni. Hivi ndivyo mchoro wa polyhedron unavyoonekana kwenye karatasi.

Slaidi 2

- Inaonekana kwamba takwimu ni ya kioo. Unafikiri ni nini kinachoonyeshwa na mstari wa alama kwenye mchoro?

D. Mbavu zisizoonekana.

Watoto hufanya kazi kulingana na mchoro kwenye ubao.

U. Kwa hiyo ni nini?

D. Polyhedron.

U. Taja na uonyeshe nyuso za polihedron, kingo zake na vipeo.

Watoto huelekeza kwa pointer na orodha.

- Ikiwa utakata piramidi kutoka juu hadi msingi kando ya kingo, utapata kitu kama hiki.
Na sasa, fidgets zangu wapendwa, pata fomu kwenye meza na picha ya poligoni, soma kwa uangalifu maagizo:

1. Chunguza kwa uangalifu mchoro wa poligoni.
2. Pata maendeleo unayotaka ya poligoni (mifano kwenye ubao).
3. Kusanya modeli ya poligoni.
4. Onyesha idadi ya vipeo __, nyuso __, kingo __ za poligoni.
5. Taja kila kipeo __, ukingo __, uso __ wa poligoni.

Kikundi cha 1

Kikundi cha 2

Kikundi cha 3

- Bodi inaonyesha maendeleo ya polihedra. Jaribu kupata maendeleo ya takwimu yako kutoka kwa kuchora na kukusanya polyhedron. Fanyeni kazi pamoja na nadhani mtafanikiwa.

Kuangalia kukamilika kwa kazi (slaidi 3, 4, 5).

vilele – 8; mbavu – 12; nyuso – 6; vipeo - M, B, C, A, X, K, O, T; mbavu - MB, MA, MT, TX, TO, XK, XA, KO, KC, CB, AC, BO; nyuso - MBOT, MBCA, KCBO, TXKO, ACKX, MAXT.

vilele – 8; mbavu – 12; nyuso – 6; vipeo - M, B, C, A, X, K, O, T; mbavu - MB, MA, MT, TX, TO, XK, XA, KO, KC, CB, AC, BO; nyuso - MBOT, MBCA, KCBO, TXKO, ACKX, MAXT.

vilele – 12; mbavu – 18; nyuso – 8; vipeo - Y, B, A, X, N, M, P, E, D, F, L, C; mbavu - YB, YX, BA, XA, XN, NM, AM, ME, EP, NP, ED, PF, DF, FL, LC, CD, LY, CB; nyuso - BAMEDC, YXNPFL, YBAX, XAMN, NMEP, EDFP, DFLC, CLYB.

IV. Ujumla na utaratibu wa maarifa

U. Niambie, kuna vitu katika ulimwengu unaotuzunguka ambavyo vina umbo la polihedra?

Majibu ya watoto yanasikilizwa. "Matembezi" yasiyotarajiwa hufanyika kuzunguka yadi ya shule. Watoto "huchunguza" mifano ya jengo la shule na vyumba vya matumizi, ambavyo vinafanana na polihedra.

- Kamilisha kazi:

Mbwa Mwitu na Sungura waliunganisha nyumba kutoka kwa karatasi ya rangi. Ni nyuso ngapi za kila rangi zilihitajika? Je, ukingo wa kila rangi una umbo gani wa poligoni?

Slaidi 6

V. Ujumuishaji wa waliojifunza hapo awali

U. Guys, jifikirie kama wasanifu, wabunifu au wajenzi na jaribu kutatua shida.

Mgawo wa kikundi 1

Tafuta eneo ambalo jengo jipya la shule litachukua ikiwa urefu wake ni 74 m na upana wake ni 13 m. Jibu: 962 sq. m.)

Kazi ya kikundi cha 2

Eneo la uwanja wa michezo katika ua wa shule yetu ni mita za mraba 1080. m. Hii ni kwa 1320 sq. m chini ya eneo la uwanja wa hockey. Kuhesabu eneo la uwanja wa hoki. ( Jibu: 2400 sq. m)

Kazi ya kikundi cha 3

Eneo la mita za mraba 2,500 limetengwa kwa ajili ya ujenzi wa jengo jipya la shule yetu. m. Inajulikana kuwa jengo hilo litakuwa na upana wa mita 13 na urefu wa m 74 ni eneo gani la tovuti litaachwa kwa vitanda vya maua na njia baada ya jengo kujengwa? ( Jibu: 1) 962 sq. m; 2) 1538 sq. m)

Watoto huangalia suluhu za matatizo na kueleza jinsi walivyotatua.

VI. Muhtasari wa Somo

U. Inatokea kwamba Roger Bacon alikuwa sahihi aliposema: "Yeye ambaye hajui hisabati hawezi kujifunza sayansi nyingine na hawezi kuelewa ulimwengu."

Mwalimu anatathmini kazi ya vikundi.

1. Katika Mchoro 1, onyesha polihedra ya convex na isiyo ya convex.

Jibu: Convex - b), d); yasiyo ya convex - a), c), d).

2. Toa mfano wa polihedroni isiyo na mbonyeo ambayo nyuso zote ni poligoni mbonyeo.

Jibu: Kielelezo 1, a).

3. Je, ni kweli kwamba muungano wa polihedra mbonyeo ni polihedron mbonyeo?

Jibu: Hapana.

4. Je, idadi ya vipeo vya polihedron inaweza kuwa sawa na idadi ya nyuso zake?

Jibu: Ndiyo, karibu na tetrahedron.

5. Anzisha muunganisho kati ya idadi ya pembe bapa P ya polihedroni na idadi ya kingo zake P.

Jibu: P = 2P.

6. Nyuso pekee za polyhedron ya convex ni pembetatu. Je, ina wima ngapi B na nyuso D ikiwa ina: a) kingo 12; b) mbavu 15? Toa mifano ya polihedra kama hizo.

7. Kingo tatu hujitokeza kutoka kwa kila kipeo cha polihedroni mbonyeo. Je, ina wima ngapi B na nyuso D ikiwa ina: a) kingo 12; b) mbavu 15? Chora polihedra hizi.

Jibu: a) B = 8, D = 6, mchemraba; b) B = 10, G = 7, prism ya pentagonal.

8. Kingo nne huungana katika kila kipeo cha polihedroni mbonyeo. Je, ina wima ngapi B na nyuso D ikiwa idadi ya kingo ni 12? Chora polihedra hizi.

9. Thibitisha kuwa polihedroni yoyote mbonyeo ina uso wa pembe tatu au kingo tatu zinazokutana kwenye kipeo fulani.

10. Fikiria juu ya mahali ambapo msongamano wa polihedron ulitumiwa katika hoja inayoonyesha uhalali wa uhusiano wa Euler.

11. Ni thamani gani ya B - P + G kwa polihedron iliyoonyeshwa kwenye Mchoro 6?

Polyhedra ya kawaida

Polyhedron ya convex inaitwa kawaida ikiwa nyuso zake ni sawa poligoni za kawaida, na pembe zote za polyhedral ni sawa.

Hebu tuchunguze iwezekanavyo polyhedra ya kawaida na, kwanza kabisa, wale ambao nyuso zao ni pembetatu za kawaida. Polyhedron rahisi zaidi ya kawaida ni piramidi ya triangular, nyuso ambazo ni pembetatu za kawaida (Mchoro 7). Nyuso tatu hukutana katika kila wima yake. Ikiwa na nyuso nne tu, polihedron hii pia inaitwa tetrahedron ya kawaida, au tetrahedron tu, ambayo inatafsiriwa kutoka. Lugha ya Kigiriki ina maana ya tetrahedron.

Polyhedron ambayo nyuso zake ni pembetatu za kawaida na nyuso nne hukutana kwenye kila vertex imeonyeshwa kwenye Mchoro 8. Uso wake una pembetatu nane za kawaida, ndiyo sababu inaitwa octahedron.

Polyhedron, katika kila vertex ambayo pembetatu tano za kawaida hukutana, imeonyeshwa kwenye Mchoro 9. Uso wake una pembetatu ishirini za kawaida, ndiyo sababu inaitwa icosahedron.

Kumbuka kwamba kwa kuwa zaidi ya pembetatu tano za kawaida haziwezi kuungana kwenye vipeo vya polihedroni mbonyeo, hakuna polihedra nyingine ya kawaida ambayo nyuso zake ni pembetatu za kawaida.

Vile vile, kwa kuwa miraba mitatu pekee inaweza kuunganishwa kwenye vipeo vya polihedron ya convex, basi, isipokuwa kwa mchemraba (Mchoro 10), hakuna polihedra nyingine ya kawaida ambayo nyuso zao ni mraba. Mchemraba una nyuso sita na kwa hiyo pia huitwa hexahedron.

Polyhedron ambayo nyuso zake ni pentagoni za kawaida na nyuso tatu hukutana kwenye kila vertex imeonyeshwa kwenye Mchoro 11. Uso wake una pentagoni kumi na mbili za kawaida, ndiyo sababu inaitwa dodekahedron.

Wacha tuzingatie wazo la polyhedron ya kawaida kutoka kwa mtazamo wa topolojia ya sayansi, ambayo inasoma mali ya takwimu ambazo hazitegemei kasoro kadhaa bila kutokuwepo. Kwa mtazamo huu, kwa mfano, pembetatu zote ni sawa, kwa kuwa pembetatu moja inaweza kupatikana kutoka kwa nyingine yoyote kwa ukandamizaji sahihi au upanuzi wa pande zote. Kwa ujumla, poligoni zote zilizo na idadi sawa ya pande ni sawa kwa sababu sawa.

Jinsi ya kufafanua dhana ya polyhedron ya kawaida ya topologically katika hali kama hiyo? Kwa maneno mengine, ni mali gani katika ufafanuzi wa polihedron ya kawaida ni ya juu ya hali ya juu na inapaswa kubakishwa, na ni mali gani ambazo hazina msimamo wa juu na zinapaswa kutupwa.

Katika ufafanuzi wa polyhedron ya kawaida, idadi ya pande na idadi ya nyuso ni topologically imara, i.e. si kubadilika chini ya deformations kuendelea. Ukawaida wa poligoni sio mali thabiti ya kitopolojia. Kwa hivyo, tunakuja kwa ufafanuzi ufuatao.

Polihedroni mbonyeo inaitwa topologically kawaida ikiwa nyuso zake ni poligoni zenye idadi sawa ya pande na huungana katika kila kipeo. nambari sawa nyuso.

polihedra mbili zinasemekana kuwa sawa kitopolojia ikiwa moja inaweza kupatikana kutoka kwa nyingine kwa deformation inayoendelea.

Kwa mfano, kila mtu piramidi za pembetatu ni polihedra ya kawaida ya topologically, sawa na kila mmoja. Parallelepipeds zote pia ni sawa topologically polihedra. Kwa mfano, piramidi za quadrangular si polihedra ya kawaida ya topologically.

Wacha tufafanue swali la ni polihedra ngapi za kawaida za topolojia ambazo sio sawa kwa kila mmoja zipo.

Kama tunavyojua, kuna polihedra tano za kawaida: tetrahedron, mchemraba, octahedron, icosahedron na dodekahedron. Inaweza kuonekana kuwa kunapaswa kuwa na polihedra ya kawaida zaidi ya kitopolojia. Hata hivyo, zinageuka kuwa hakuna polytopes nyingine za topologically za kawaida ambazo si sawa na zile zinazojulikana tayari.

Ili kuthibitisha hili, tutatumia nadharia ya Euler. Acha polihedroni ya kawaida ya kitopolojia itolewe, ambayo nyuso zake ni n-gon, na kingo za m ziungane kwenye kila kipeo. Ni wazi kuwa n na m ni kubwa kuliko au sawa na tatu. Hebu tuonyeshe, kama hapo awali, B idadi ya vipeo, P idadi ya kingo, na G idadi ya nyuso za polihedroni hii. Kisha

nГ = 2P; Г = ; mB = 2P; B = .

Kulingana na nadharia ya Euler, B - P + G = 2 na, kwa hivyo,

P = iko wapi.

Kutoka kwa usawa unaosababishwa, haswa, inafuata kwamba usawa 2n + 2m - nm > 0 lazima ushikilie, ambayo ni sawa na usawa (n - 2) (m - 2)< 4.

Wacha tupate maadili yote yanayowezekana ya n na m ambayo yanakidhi usawa uliopatikana na ujaze jedwali lifuatalo

	tetrahedron	H=6, P=12, D=8	H=12, P=30, D=20 icosahedron
	H=8, P=12, D=4	Haipo	Haipo
	H=20, P=30, D=12 dodecahedron	Haipo	Haipo

Kwa mfano, thamani n = 3, m = 3 inakidhi ukosefu wa usawa (n - 2) (m - 2)< 4. Вычисляя значения Р, В и Г по приведенным выше формулам, получим Р = 6, В = 4, Г = 4.

Thamani n = 4, m = 4 hazikidhi usawa (n - 2)(m - 2)< 4 и, следовательно, соответствующего многогранника не существует.

Angalia kesi zingine mwenyewe.

Kutoka kwa jedwali hili inafuata kwamba polihedra ya kawaida tu inayowezekana ni polihedra ya kawaida iliyoorodheshwa hapo juu na polihedra inayolingana nazo.

Ufafanuzi. Polyhedron inaitwa kawaida ikiwa: 1) ni convex; 2) nyuso zake zote ni poligoni za kawaida sawa na kila mmoja; 3) idadi sawa ya kingo huungana katika kila wima yake; 4) Dihedrals zake zote ni sawa.

Mfano wa polihedron ya kawaida ni mchemraba: ni polyhedron convex, nyuso zake zote ni mraba sawa, kando tatu hukutana kwenye kila vertex, na pembe zote za dihedral za mchemraba ni sawa. Tetrahedron ya kawaida pia ni polyhedron ya kawaida.

Swali linatokea: ni wangapi? aina mbalimbali polihedra ya kawaida?

Aina tano za polihedra ya kawaida:

Fikiria polihedron ya kawaida ya kiholela M , ambayo ina wima B, kingo za P na nyuso za G. Kulingana na nadharia ya Euler, usawa ufuatao unashikilia polihedron hii:

B - P + G = 2. (1)

Acha kila uso wa polihedron uliyopewa iwe na m kingo (pande), na kuungana katika kila kipeo n mbavu Ni wazi,

Kwa kuwa polihedron B ina vipeo, na kila moja yao ina kingo n, tunapata n kingo. Lakini makali yoyote huunganisha wima mbili za polyhedron, hivyo kila makali itaonekana katika bidhaa n mara mbili. Hii ina maana kwamba polihedron ina mbalimbali mbavu Kisha

Kutoka (1), (3), (4) tunapata - P + = 2, wapi

+ = + > . (5)

Hivyo tuna

Kutoka kwa usawa wa 3 na 3 inafuata kwamba nyuso za polyhedron ya kawaida inaweza kuwa pembetatu ya kawaida, au quadrilaterals ya kawaida, au pentagoni za kawaida. Aidha, katika kesi m = n = 4; m = 4, n = 5; m = 5, n = 4; m = n = 5 tunakuja kwa kupingana na hali hiyo. Kwa hiyo, kesi tano zinabaki iwezekanavyo: 1) m = n = 3; 2) m = 4, n = 3; 3) m = 3, n = 4; 4) m = 5, n = 3; 5) m = 3, n = 5. Hebu fikiria kila kesi hizi kwa kutumia mahusiano (5), (4) na (3).

1) m = n = 3(kila uso wa polihedroni ni pembetatu ya kawaida. Huu ndio tunaujua tetrahedron ya kawaida (« tetrahedron"inamaanisha tetrahedron).

2) m = 4, n = 3(kila uso ni mraba, na kingo tatu hukutana kwenye kila vertex). Tuna

P = 12; B = 8; G = 6.

Tunapata hexagon ya kawaida, kila uso ambao ni mraba. Polyhedron hii inaitwa hexahedron ya kawaida na ni mchemraba (" hexahedron"- hexagon), parallelepiped yoyote ni hexahedron.

3) m = 3, n = 4(kila uso ni pembetatu ya kawaida, kingo nne hukutana kwenye kila vertex). Tuna

P = 12; B = =6; G = =8.

Tunapata octahedron ya kawaida, kila uso ambao ni pembetatu ya kawaida. Polyhedron hii inaitwa octahedron ya kawaida ("octahedron" -- octahedron).

4) m = 5, n = 3(kila uso ni pentagoni ya kawaida, kingo tatu hukutana kwenye kila vertex). Tuna:

P = 30; B = = 20; G = = 12.

Tunapata dodecahedron ya kawaida, kila uso ambao ni pentagon ya kawaida. Polyhedron hii inaitwa dodecahedron ya kawaida (« dodecahedron"- dodecahedron).

5) m = 3, n = 5(kila uso ni pembetatu ya kawaida, kingo tano hukutana kwenye kila vertex). Tuna

P = 30; B = =12; G = = 20.

Tunapata takwimu sahihi ya pande ishirini. Polyhedron hii inaitwa icosahedron ya kawaida (« icosahedron"- ishirini-upande).

Kwa hivyo, tumepata nadharia ifuatayo.

Nadharia. Kuna aina tano tofauti (hadi kufanana) za polihedra ya kawaida: tetrahedron ya kawaida, hexahedron ya kawaida (mchemraba), octahedron ya kawaida, dodecahedron ya kawaida na icosahedron ya kawaida.

Hitimisho hili linaweza kufikiwa kwa njia tofauti.

Hakika, ikiwa uso wa polihedron ya kawaida ni pembetatu ya kawaida, na huungana kwenye vertex moja. k mbavu, i.e. pembe zote za gorofa ni laini k-pembe za pande zote ni sawa, basi. Kwa hivyo, nambari ya asili k inaweza kuchukua maadili: 3;4;5. katika kesi hii Г =, Р =. Kulingana na nadharia ya Euler tunayo:

B+-= 2 au B (6 - k) = 12.

Kisha saa k= 3 tunapata: B = 4, G = 4, P = 6 (tetrahedron ya kawaida);

katika k = 4 tunapata: B = 6, G = 8, P = 12 (octahedron ya kawaida);

katika k = 5 tunapata: B = 12, G = 20, P = 30 (icosahedron ya kawaida).

Ikiwa uso wa polyhedron ya kawaida ni quadrilateral ya kawaida, basi. Hali hii inalingana na nambari moja ya asili k= 3. Kisha: Г =, Р=; B + - = 2 au. Hii ina maana B = 8, G = 6, P = 12 - tunapata mchemraba (hexahedron ya kawaida).

Ikiwa uso wa polyhedron ya kawaida ni pentagon ya kawaida, basi. Hali hii pia imeridhika tu na k= 3 na Г =; P = . Vivyo hivyo mahesabu ya awali tunapata: na B = 20, G = 12, P = 30 (dodecahedron ya kawaida).

Kuanzia na hexagoni za kawaida, labda nyuso za polihedroni ya kawaida, pembe za ndege huwa si ndogo na nyembamba. k= 3 jumla yao inakuwa si chini, ambayo haiwezekani. Kwa hiyo, kuna aina tano tu za polihedra za kawaida.

Takwimu zinaonyesha mpangilio wa kila moja ya polihedra tano za kawaida.

Tetrahedron ya kawaida

Octahedron ya kawaida

Hexahedron ya kawaida

Icosahedron ya kawaida

Dodecahedron ya kawaida

Baadhi ya sifa za polihedra za kawaida zimetolewa katika jedwali lifuatalo.

Aina ya uso	Pembe ya kilele cha gorofa	Mtazamo wa pembe ya vertex ya polyhedral	Jumla ya pembe za ndege kwenye vertex				Jina la Polyhedron
Sahihi pembetatu	3-upande				Tetrahedron ya kawaida
Sahihi pembetatu	4-upande				Octahedron ya kawaida
Sahihi pembetatu	5-upande				Icosahedron ya kawaida
	3-upande				Sahihi hexahedron (mchemraba)
Sahihi pentagoni	3-upande					Sahihi dodecahedron

Kwa kila polihedra ya kawaida, pamoja na zile zilizoonyeshwa tayari, mara nyingi tutapendezwa na:

• 1. Ukubwa wake angle ya dihedral na makali (na urefu wa makali a).
• 2. Eneo lake uso kamili(na urefu wa mbavu a).
• 3. Kiasi chake (yenye urefu wa mbavu a).
• 4. Radi ya tufe iliyoelezewa kuzunguka (pamoja na urefu wa ukingo a).
• 5. Radi ya tufe iliyoandikwa ndani yake (pamoja na urefu wa ukingo a).
• 6. Radi ya duara inayogusa kingo zake zote (na urefu wa ukingo a).

Suluhisho rahisi zaidi ni kuhesabu eneo la jumla ya uso wa polyhedron ya kawaida; ni sawa na G, ambapo G ni idadi ya nyuso za polihedroni ya kawaida, na ni eneo la uso mmoja.

Hebu tukumbuke kwamba dhambi =, ambayo inatupa fursa ya kuandika kwa radicals: ctg =. Kwa kuzingatia hili, tunaunda meza:

a) kwa eneo la uso wa polyhedron ya kawaida

b) kwa jumla ya eneo la polihedroni ya kawaida

Sasa hebu tuendelee kuhesabu angle ya dihedral ya polihedron ya kawaida kwenye makali yake. Kwa tetrahedron ya kawaida na mchemraba, unaweza kupata urahisi thamani ya pembe hii.

Katika dodecahedron ya kawaida, pembe zote za ndege za nyuso zake ni sawa, kwa hiyo, kwa kutumia theorem ya cosine kwa pembe tatu kwa pembe ya trihedral ya dodecahedron iliyopewa kwenye vertex yake, tunapata: cos, ambayo

Kwenye octahedron ya kawaida ya ABCDMF iliyoonyeshwa, unaweza kuthibitisha kwamba angle ya dihedral kwenye makali ya octahedron ni sawa na 2arctg.

Ili kupata thamani ya pembe ya dihedral kwenye ukingo wa icosahedron ya kawaida, tunaweza kuzingatia pembe ya trihedral ABCD kwenye vertex A: pembe zake za ndege BAC na CAD ni sawa, na pembe ya tatu ya ndege BAD, kinyume na ambayo angle ya dihedral B ( AC)D = uongo, ni sawa na (BCDMF - pentagon ya kawaida). Kwa nadharia ya cosine kwa pembe tatu ABCD tunayo: . Kwa kuzingatia hilo, tunatoka wapi. Kwa hivyo, pembe ya dihedral kwenye makali ya icosahedron ni sawa.

Kwa hivyo, tunapata jedwali lifuatalo la maadili ya pembe za dihedral kwenye kingo za polihedra ya kawaida.

Kabla ya kupata kiasi cha polihedron fulani ya kawaida, kwanza tunajadili jinsi ya kupata kiasi cha polihedra ya kawaida kwa fomu ya jumla.

Jaribu kwanza kuthibitisha kwamba ikiwa katikati ya kila uso wa polihedroni yoyote ya kawaida ni mstari ulionyooka, perpendicular kwa ndege uso huu, basi mistari yote iliyochorwa huingiliana kwa hatua fulani KUHUSU, kuondolewa kutoka kwa nyuso zote za polyhedron iliyotolewa kwa umbali sawa, ambayo tunaashiria kwa r. Nukta KUHUSU itakuwa katikati ya tufe iliyoandikwa katika polihedron iliyotolewa, na r- radius yake. Kwa kuunganisha hatua inayosababisha KUHUSU na wima zote za polihedron fulani, tutaigawanya katika Γ piramidi sawa (Γ ni idadi ya nyuso za polihedroni ya kawaida): besi za piramidi zilizoundwa ni sawa. r. Kisha kiasi cha polyhedron hii sawa na jumla wingi wa piramidi hizi zote. Kwa kuwa polyhedron ni ya kawaida, kiasi chake ni V inaweza kupatikana kwa kutumia formula:

Inabakia kupata urefu wa radius r.

Ili kufanya hivyo, unganisha dot KUHUSU na katikati KWA kingo za polihedron, jaribu kuhakikisha kwamba mshazari KO kwa uso wa polyhedron iliyo na makali, hufanya pembe na ndege ya uso huu sawa na nusu ya angle ya dihedral kwenye makali haya ya polyhedron; makadirio ya oblique KO kwenye ndege ya uso huu ni ya apothem yake na ni sawa na radius ya duara iliyoandikwa ndani yake. Kisha

ambapo p ni nusu ya mzunguko wa uso. Kisha kutoka (1) na (2) tunapata fomula ya jumla ya kukokotoa ujazo wao kwa polihedra zote za kawaida:

Njia hii sio lazima kabisa kupata ujazo wa mchemraba, tetrahedron ya kawaida na octahedron, lakini inafanya iwe rahisi kupata idadi ya icosahedron ya kawaida na dodecahedron.