Njia ya Newton iliyorekebishwa.

Tunaorodhesha ubaya wa njia ya Newton, ambayo marekebisho kadhaa yanalenga kuondoa:

ugumu wa kutaja makadirio ya awali ambayo njia hujiunga;

haja ya kuhesabu matrix ya Jacobian kwa kila iteration, ambayo inaweza kuhitaji gharama kubwa za computational;

hitaji la kutatua mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari kwa kila marudio;

hitaji la kutoharibika kwa tumbo la Jacobi.

Wacha tuchunguze marekebisho ya njia ya Newton, ambayo kwa kiwango kimoja au nyingine huondoa ubaya ulioorodheshwa.

Njia ya Newton yenye matrix ya mara kwa mara.

Ili kupunguza gharama ya hesabu ya marudio, matrix ya Jacobian katika urekebishaji huu inabaki thabiti kwa hatua kadhaa. Idadi ya hatua m, wapi J ni mara kwa mara, imeainishwa katika muundo huu kama paramu, au wakati wa kuhesabu tena tumbo la Jacobian imedhamiriwa na hali hiyo.

ambayo, kwa mfano, (matrix ya Jacobian inahesabiwa tena ikiwa hali hii imekiukwa).

Ufanisi wa njia hiyo unapatikana katika kesi hii sio tu kwa kupunguza idadi ya mahesabu ya matrix ya Jacobian, lakini hasa kutokana na ukweli kwamba. m Katika marudio ya njia, mifumo ya mstari yenye matrix sawa inapaswa kutatuliwa.

Njia ya Newton-Raphson.

Ili kuhakikisha muunganisho wa njia kutoka kwa makadirio ya awali yaliyochaguliwa, urekebishaji unaoitwa njia ya Newton-Raphson hutumiwa. Hesabu (k+ 1) Ukadiriaji wa th katika muundo huu unafanywa kulingana na sheria

iko wapi parameta ambayo thamani yake iko k th iteration ni kuchaguliwa kutoka hali

Mkakati wa kuchagua parameta kwa kurudia inaweza kuwa kama hii. Kwanza, thamani ya jaribio inakubaliwa au thamani hii inarekebishwa hadi sharti lililotajwa litimizwe. Hali hii inaweza kuhitaji vekta kutathminiwa mara nyingi wakati wa marudio ya sasa. Ni dhahiri kwamba wakati njia ya Newton-Raphson inapatana na njia ya Newton.

Njia za kuendelea kwa parameter.

Njia hizi hufanya iwezekanavyo kuhakikisha muunganisho wa njia ya Newton kutoka kwa makadirio ya awali yaliyochaguliwa Kiini cha mbinu za kuendelea kwa heshima na parameter ni kuchukua nafasi tatizo la awali mlolongo wa majukumu, kila kazi inayofuata ikiwa tofauti kidogo na ya awali. Mlolongo hujengwa kwa namna ambayo mfumo wa kwanza una suluhisho, na mfumo wa hivi karibuni sanjari na kazi ya awali. Kwa kuwa mifumo inatofautiana kidogo tu, suluhisho la tatizo la awali litakuwa makadirio mazuri ya awali kwa ijayo. Kutatua mlolongo huu wa matatizo kwa kutumia njia ya Newton, hatimaye tunapata suluhisho la mfumo wa awali. Wacha tuchunguze njia ya kuunda mlolongo maalum wa kazi.

Hebu wakati wa kutatua mfumo

makadirio ya awali hutumiwa. Wacha tubadilishe equation ya asili na equation na parameta

ambayo saa ina suluhisho, na inaambatana na suluhisho la shida ya asili, i.e.

Unaweza kuchagua vitendaji kama

Wacha tugawanye sehemu hiyo kwa vipindi na alama. Tunapata mlolongo unaohitajika wa mifumo:

Njia ya Newton kwa shida zisizo na hali mbaya.

Ikiwa tumbo la Jacobian halina hali mbaya, hitilafu katika kutatua mfumo wa mstari

inaweza kuwa muhimu kwa sababu ya makosa ya kuzunguka. Kwa hivyo katika

Katika kesi ya matrices yenye hali mbaya, wakati wa kuhesabu vector ya kurekebisha, mtu hutumia mfumo.

na parameta ya nambari, wapi E-matrix ya utambulisho. Wakati mfumo uliobadilishwa unaambatana na mfumo wa mstari Njia ya kawaida ya Newton, kwa kuwa nambari ya hali ya mfumo uliobadilishwa inaelekea moja, pia inaelekea moja. Hata hivyo, kiwango cha muunganiko wa njia inayolingana huharibika kwa kiasi kikubwa, kwani njia hiyo huharibika na kuwa njia ya marudio rahisi.

Uzoefu unaonyesha kuwa wakati wa kusoma kazi zisizo za quadratic, njia ya Newton sio ya kuaminika sana. Kwa kweli, ikiwa ni uhakika X(0) iko katika umbali mkubwa kutoka kwa uhakika X*, Hatua ya Newton mara nyingi ni kubwa sana, ambayo inaweza kusababisha ukosefu wa muunganisho. Njia inaweza kubadilishwa kwa urahisi kabisa ili kutoa kupunguzwa kazi ya lengo kutoka kwa kurudia hadi kurudia na utafute kwa mstari ulionyooka, kama katika njia ya Cauchy. Mlolongo wa marudio hujengwa kwa mujibu wa fomula

x = x -α f(x) f(x).(3.56)

Chaguo α kutekelezwa kwa namna hiyo

f(x) → dakika;

hii inahakikisha ukosefu wa usawa

f(x) ≤ f(x).

Njia hii inaitwa ilirekebisha mbinu ya Newton na katika hali ambapo hesabu ya maadili halisi ya derivatives ya kwanza na ya pili haihusiani na matatizo makubwa, inageuka kuwa ya kuaminika na yenye ufanisi. Walakini, wakati wa kutumia njia iliyorekebishwa ya Newton, kwa kila iteration kuna hitaji la kuunda na kutatua equation ya mstari iliyo na vitu vya matrix ya Hessian. f().

Mbinu ya Marquardt

Njia inayozingatiwa ni mchanganyiko wa njia za Cauchy na Newton, ambazo huchanganya kwa mafanikio sifa nzuri za njia zote mbili. Walakini, wakati wa kutumia njia ya Marquardt inahitajika habari juu ya maadili ya derivatives ya pili ya kazi inayolengwa. Ilibainishwa hapo juu kwamba gradient inaonyesha mwelekeo wa ongezeko kubwa la ndani katika kazi, na harakati katika mwelekeo kinyume na gradient kutoka kwa uhakika. X(0) iko katika umbali mkubwa kutoka mahali pa chini kabisa X*, kwa kawaida husababisha kupunguzwa kwa kiasi kikubwa kwa kazi ya lengo. Kwa upande mwingine, maelekezo ya utafutaji madhubuti katika eneo la kiwango cha chini zaidi yanaamuliwa na mbinu ya Newton. Wazo rahisi kuchanganya njia za Cauchy na Newton ilikuwa msingi wa algorithm iliyotengenezwa na Marquardt mwaka wa 1963. Kwa mujibu wa njia hii, mwelekeo wa utafutaji umewekwa na usawa.

s(x(k)) = – [N(k) + λ (k) I] -1 f (x(k)). (3.57)

Katika kesi hii, katika formula (3.42) tunapaswa kuweka α (k) = +1, kwani parameter λ inaruhusu si tu kubadilisha mwelekeo wa utafutaji, lakini pia kurekebisha urefu wa hatua. Alama I Hii inaashiria matriki ya utambulisho, yaani, matrix ambayo vipengele vyote ni sifuri isipokuwa vipengele vya diagonal, ambavyo ni +1. Washa hatua ya awali parameta ya utafutaji λ (0) imepewa umuhimu mkubwa(kwa mfano 10 4) hivyo

[N(0) + λ (0) I] -1 = [λ (0) I] -1 = I. (3.58)

Hivyo, maadili makubwaλ (0) inalingana na mwelekeo wa utaftaji s( x (0)) → f (x(0)).Kutoka kwa fomula (3.57) tunaweza kuhitimisha hilo kwa kupungua λ hadi sifuri s(x) mabadiliko kutoka mwelekeo kinyume na upinde rangi hadi mwelekeo ulioamuliwa na mbinu ya Newton. Ikiwa baada ya hatua ya kwanza hatua iliyo na thamani ndogo ya kazi ya lengo inapatikana (i.e. f(X (1)) < f(x(0))), tunapaswa kuchagua λ (1)< λ (0) и реализовать еще один шаг; в противном случае следует положить λ (0) = βλ (0) , где β >1, na utekeleze hatua ya awali tena. Chini ni hatua za algorithm.

Algorithm ya Marquardt

Hatua ya 1.Weka X(0) - mbinu ya awali ya X*; M- idadi ya juu (inayoruhusiwa) ya kurudia; ε ni kigezo cha muunganisho.

Hatua ya 2.Weka k= 0, λ (0) = 10 4 .

Hatua ya 3. Kuhesabu vipengele f (x(k)).

Hatua ya 4. Je, ukosefu wa usawa unashikilia?

|| f (x(k))||< ε?

Ndiyo: nenda kwa hatua ya 11.

Hatua ya 5. Je, ukosefu wa usawa unashikilia? k ≥ M?

Ndiyo: nenda kwa hatua ya 11.

Hapana: nenda kwa hatua inayofuata.

Hatua ya 6.Hesabu s(x(k)) = – [N(k) + λ (k) I] -1 f (x(k)).

Hatua ya 7.Weka x = xs(x).

Hatua ya 8. Je, ukosefu wa usawa unashikilia? f(x) < f(x)?

Ndiyo: nenda kwa hatua ya 9.

Hapana: nenda kwa hatua ya 10.

Hatua ya 9. Weka λ (k +1) = ½ λ (k) na k = k+ 1. Nenda kwa hatua ya 3.

Hatua ya 10. Weka λ (k) = 2λ (k) . Nenda kwa hatua ya 6.

Hatua ya 11.Chapisha matokeo na uache.

Mbinu ya Marquardt ina sifa ya unyenyekevu wa jamaa, sifa ya utendaji wa lengo hupungua wakati wa kusonga kutoka kwa kurudia hadi kurudia, na kiwango cha juu cha muunganisho katika eneo la sehemu ya chini zaidi. x*, a pia kwa kutokuwepo kwa utaratibu wa utafutaji kwenye mstari wa moja kwa moja. Hasara kuu ya njia ni haja ya kuhesabu N(k) na suluhisho la baadae la mfumo milinganyo ya mstari, sambamba na (3.57). Njia hii hutumiwa sana katika kutatua matatizo ambayo f(x) imeandikwa kama jumla ya mraba 1), i.e.

f (x) = f (x) + f (x) +…+ f (x). (3.59)

Hili ndilo tatizo ambalo Marquardt alizingatia. Powell na Bard, kulingana na majaribio ya kimahesabu, walionyesha kuwa mbinu ya Marquardt ni tofauti ufanisi wa juu wakati wa kutatua matatizo ya aina hii.

Njia ya Newton na njia ya secant

Mbinu ya Newton katika kesi ya mizizi rahisi halisi ina fomu

x k+1 = x k - ――― , k = 1,2,…. (8.6)

f (x k)

katika kesi ya wingi wa mizizi r

x k +1 - x k

f ′(x k)―――― + f(x k) = 0 .

Kadirio la makosa ni kama ifuatavyo:

|x k - x *| £ q |x 0 - x *|, k = 1,2,….

M p+1 |x 0 - x * |

q = ―――――< 1.

m p p (p + 1)

Unaweza kutumia makadirio ya makosa kama katika njia rahisi ya kurudia, ukizingatia mbinu hiyo ya Newton

sx) = x – p ――

x k+1 = x k - ――― , k = 0, 1, ….

f′(x 0)

hutumika wakati wanataka kuzuia hesabu nyingi za derivative ¦¢(x k).

Njia ya Newton inahitaji kuhesabu derivative ya kazi, ambayo si rahisi kila wakati. Unaweza kuchukua nafasi ya derivative na tofauti ya kwanza iliyogawanywa inayopatikana kutoka kwa marudio mawili ya mwisho. Kisha, badala ya njia ya Newton (8.6), tunapata njia ya secant

(x k – x k -1)f(x k)

x k+1 = x k - ―――――

f(x k) – f(x k-1)

Ili kuanza mchakato unahitaji kujua maadili x 0 Na x 1.

KAZI ZA KAZI YA MAABARA.

1. Tenganisha mizizi halisi kwa uchanganuzi au graphically.

2. Fafanua mizizi kwa kugawanya sehemu kwa nusu (ikiwa inawezekana) kwa usahihi wa 0.1.

3. Safisha mizizi kwa kutumia njia fulani kwa usahihi fulani.

Kwa mbinu ya Newton na mbinu rahisi ya kurudia, idadi ya marudio inayohitajika ili kufikia usahihi fulani lazima ichaguliwe mapema kwa kukadiria hitilafu wewe mwenyewe. Kwa njia zingine, marudio huacha baada ya tofauti za hizo mbili makadirio mfululizo inakuwa chini ya usahihi uliobainishwa.

4.Angalia matokeo kwa kubadilisha maadili yaliyopatikana kwenye mlinganyo.

CHAGUO

1. Pata mizizi yote ya equation

1000000 x 4 - 3000 x 3 + 1000002 x 2 - 3000 x + 2 = 0

kwa usahihi wa 0.0001 kwa njia ya a) Newton b) senti.

2. Pata mizizi yote ya equation

x 4 - 10001.01 x 3 -9800.01 x 2 - 999901 x + 10000 = 0

kwa usahihi wa 0.001 a) Mbinu ya Newton b) Mbinu ya Newton Iliyorekebishwa.

3. Pata mizizi yote ya equation

kwenye sehemu yenye usahihi wa 0.001 kwa mbinu ya Newton.

4. Pata mizizi yote ya equation

5. Tafuta mzizi wa equation

x 4 - 20 x 3 + 101 x 2 - 20 x + 1 = 0

kwenye sehemu [-1,1] na usahihi wa 0.0001 kwa mbinu ya Newton yenye vigezo

usahihi uliobainishwa.

6. Tafuta mzizi wa equation

7. Pata mizizi yote ya equation

x 5 - 3 x 2 + 1 = 0

kwa kutumia njia ya parabola kwa usahihi wa 0.0005.

8. Pata mizizi halisi ya equation

9. Tafuta ni ipi kati ya mizizi 0, 1, -1 ya equation

Njia ya Newton inabadilika ikiwa utaanza na ukadiriaji wa awali wa kiholela. Ni makadirio gani ya awali yanapeana utofauti wa njia?

10. Pata mizizi yote ya equation

x 3 + 3 x 2 - 1 = 0

kwa njia rahisi ya kurudia na usahihi wa 0.0005.

11. Pata mizizi yote ya equation

x 4 - 10000.01 x 3 +101 x 2 - 10000.01 x + 100 = 0

kwa usahihi wa 0.001 a) Mbinu ya Newton b) ilirekebisha mbinu ya Newton.

12. Tafuta mzizi wa equation

arccos(x/2) = x2

kwenye sehemu a) Mbinu ya Newton b) ilirekebisha mbinu ya Newton.

13. Pata mizizi yote ya equation

x 4 – 0.015x 3 + 0.3x 2 + x – 1 = 0

14. Tafuta mzizi wa equation

x 3 - dhambi (2x) = 1

kwa kutumia njia ya parabola kwa usahihi wa 0.001.

15. Pata mizizi yote ya equation

x 3 - 1777x 2 + 777 = 0

kwenye sehemu [-1,1] kwa kutumia mbinu ya parabola kwa usahihi wa 0.0001

16. Pata mizizi yote ya equation

5555x 4 – 555x 3 – 55x 2 – 5x = 0

kwa usahihi wa 0.00001 kwa mbinu ya a) Newton b) sekti.

17. Tafuta mzizi wa equation

arctan(7x) = 0.2

kwenye sehemu [-1,1] a) Mbinu ya Newton b) ilirekebisha mbinu ya Newton.

18 . Tafuta mzizi wa equation

dhambi (x 4) = 1 - 2x

kwa kutumia njia ya parabola kwa usahihi wa 0.0001.

19 . Tafuta mzizi wa equation

kwa usahihi wa 0.001 na mbinu ya Newton. Rudia hadi tofauti kati ya marudio ya karibu iwe chini ya usahihi uliobainishwa. Linganisha kiasi kinachohitajika marudio.

20. Pata mizizi yote ya equation

x 3 – 45x 2 + 43 = 0

kwenye sehemu [-2,1] a) njia ya Newton iliyorekebishwa b) njia ya secant.

21. Tafuta mzizi wa equation

arcsin(x) + e x = 2

kwa kutumia njia rahisi ya kurudia na usahihi wa 0.001, kufanya makadirio ya awali ya kosa.

22. Pata mizizi yote ya equation

54x 4 + x 2 - 0.0000001 =0

kwa usahihi wa 0.00001 kwa mbinu ya a) Newton b) sekti.

23. Pata mizizi yote ya equation

tg (x/3) - x 3 = 0

kwa kutumia njia ya parabola kwa usahihi wa 0.001.

24. Pata mizizi yote ya equation

12x 4 + 11x 3 –10x 2 –999 = 0

kwenye sehemu [-3.5,3] kwa usahihi wa 0.0001 kwa mbinu ya Newton yenye vigezo

p=1 na p=2. Linganisha idadi ya marudio yanayohitajika ili kufikia

usahihi uliobainishwa.

25. Tafuta mzizi wa equation

kwa usahihi wa 0.0001 na mbinu ya Newton na kurekebisha mbinu ya Newton. Rudia hadi tofauti kati ya marudio ya karibu iwe chini ya usahihi uliobainishwa. Linganisha nambari inayohitajika ya marudio.

MAJIBU:1) 0,0100; 0,0200 2) 0,688; 10000 3) 0,107; 0,155; 0,361 4) –1,32; 0; 1,32 5) 0,0917; 0,1125 6) 0 7) –0,5611; 0,5992; 1,348 8) –0,637; 1,41 9) –1; 0; 1 10) -2,879; -0,6527; 0,5321 11) 0,231; 10000 12) 1,01817183 13) –1,1468; 0,66935; 1 14) 1,191 15) -0,6611; 0,6614 16) –0,09811;0,19695 17) 0,028959 18) 0,4746 19) 0,987 20) –0,9672; 0,9884; 44,98 21) 0,4369 22) +/- 0,0003 23) +/- 0,581; 0 24) -3,36; 2,875 25) 1,2784.

Njia ya Newton iliyorekebishwa inategemea mbinu ya Newton. Ikiwa derivative inabadilika kidogo juu ya sehemu, basi tunaweza kudhani.

Kuanzia hapa tunapata makadirio yanayofuatana ya mzizi wa equation

N=0,1,2... (1.16)

Kijiometri, njia hii ina maana kwamba tunabadilisha tanjiti katika sehemu kwa mistari iliyonyooka sambamba na tanjenti hadi kwenye mkunjo katika sehemu isiyobadilika.

Njia hii inakuwezesha kuepuka mahesabu ya mara kwa mara ya derivative katika pointi. Mbinu ya Newton iliyorekebishwa hutumika kutatua milinganyo ambapo kukokotoa derivativu ni jambo kubwa na linalotumia muda mwingi. Katika hali nyingine, ni bora kutumia njia ya kawaida ya Newton.

Vizuizi vya kazi na makadirio ya awali ya njia zilizorekebishwa na za kawaida za Newton zinapatana. Algorithm ya njia zote mbili ni karibu sawa.

Mbinu ya Newton iliyorekebishwa ina muunganisho wa mstari

Njia hiyo inahakikisha kuwa hakuna mgawanyiko kwa sifuri ikiwa .

Mfano. Mlingano.

Njia ya Newton yenye parameter hutumiwa, kwa sababu mzizi una wingi p=2. Wacha tuchukue makadirio ya awali na tupate. Mzizi umepatikana.

Mfano. Mlingano.

Mzizi umetengwa kwenye sehemu. Hitilafu ya Eps ni 0.000001

Njia ya Newton inabadilika katika marudio 5, ilirekebisha njia ya Newton katika marudio 19, mbinu. nusu mgawanyiko katika marudio 22. Muunganisho wa njia ya kurudia inategemea uchaguzi wa parameta. Wakati muunganisho unafikiwa katika marudio 24, muunganisho katika marudio 11, muunganisho katika marudio 6, muunganisho katika marudio 25.

Mbinu ya Secant

Njia ya secant hupatikana kutoka kwa njia ya Newton kwa kuchukua nafasi ya tofauti iliyogawanywa

kukokotwa kutoka kwa makadirio yanayojulikana na.

Ipasavyo, tunapata fomula ifuatayo ya njia ya secant

. (1.18)

Njia hii ni ya hatua mbili (kwa kuwa unahitaji kujua hatua mbili za awali ili kufanya hatua mpya). Hii inatofautiana na njia zote zilizotajwa hapo awali - hatua moja.

Kwa njia ya secant, makadirio ya awali huchaguliwa kwanza. Ifuatayo, kwa kutumia formula ya njia nyingine au kwa njia nyingine, makadirio ya pili ya awali yanahesabiwa. Na kisha tu, kuhesabu makadirio yanayofuata, formula ya njia ya secant hutumiwa.

Ujumuishaji wa kazi Taarifa ya Tatizo

Acha kazi inayoendelea itolewe kwenye sehemu. Wacha tujenge kizigeu cha sehemu ya uhakika na sehemu za sehemu:

Urefu wa sehemu ni.

Wacha tuite jumla muhimu

Kiunganishi dhahiri cha chaguo za kukokotoa kwenye sehemu kinaitwa

Madarasa ya kazi zinazoweza kuunganishwa na mali zao zinazingatiwa katika nadharia ya uchambuzi wa hisabati na hazijajadiliwa hapa. Tutafikiri kwamba kazi yetu inaweza kuunganishwa kwa muda.

Unawezaje kuhesabu muhimu katika mazoezi? Ili kufanya hivyo, formula ya Newton-Leibniz kawaida hutumiwa:

Wapi P(x) - antiderivative ya kazi F(x) , yaani..

Formula ya Newton-Leibniz ina jukumu muhimu katika uchambuzi wa hisabati. Lakini inaweza kutumika kutatua matatizo kwenye kompyuta? Inawezekana, lakini sio kila wakati (kwani antiderivative haipo kila wakati).

Je, ni rahisi kuitumia wakati wa kuunda programu? Hapana, unahitaji kujua kizuia derivative. Kwa kuongeza, ikiwa kazi inatolewa na grafu au jedwali, basi uunganisho wake hauwezi kuhesabiwa kwa kutumia fomula hii.

Hii inaturuhusu kuhitimisha kuwa fomula ya Newton-Leibniz haitoi njia ya jumla, ya ulimwengu kwa ajili ya kutafuta kiunganishi dhahiri cha kazi ya kiholela na haipendekezwi kutumika katika programu za kitaalamu za kompyuta. Fomula ya Newton-Leibniz inatumika tu kujaribu programu mpya zilizotengenezwa ambapo mbinu zingine za makadirio ya ujumuishaji wa kazi zimetekelezwa.

Hapo chini tutawasilisha algorithms za hesabu za jumla za kutatua shida ya ujumuishaji wa nambari. Njia kama hizo huruhusu mtu kuhesabu viunga moja kwa moja kutoka kwa maadili ya kazi ya integrand na haitegemei njia ya kuibainisha.

Fomula zinazolingana huitwa fomula za ujumuishaji wa nambari au fomula za roboduara 5 .

Hatua ya kugawa katika kesi hii imehesabiwa kulingana na formula.