Moduli ya 6: Kueleza nyenzo mpya

Moduli ya nambari ni dhana mpya katika hisabati. Hebu tuchunguze kwa undani zaidi moduli ya nambari ni nini na jinsi ya kufanya kazi nayo?

Hebu tuangalie mfano:

Tulitoka nyumbani kwenda dukani. Tulitembea mita 300, kihisabati usemi huu unaweza kuandikwa kama +300, maana ya nambari 300 kutoka kwa ishara "+" haitabadilika. Umbali au moduli ya nambari katika hisabati ni kitu kimoja na inaweza kuandikwa hivi: |300|=300. Ishara ya moduli ya nambari inaonyeshwa na mistari miwili ya wima.

Na kisha ndani mwelekeo wa nyuma alitembea mita 200. Kihisabati Safari ya kurudi tunaweza kuandika kama -200. Lakini hatusemi "tulienda minus mita mia mbili," ingawa tulirudi, kwa sababu umbali kama wingi unabaki kuwa chanya. Kwa kusudi hili, dhana ya moduli ilianzishwa katika hisabati. Unaweza kuandika umbali au moduli ya nambari -200 kama hii: |-200|=200.

Tabia za moduli.

Ufafanuzi:
Moduli ya nambari au thamani kamili ya nambari ni umbali kutoka mahali pa kuanzia hadi mahali unakoenda.

Moduli ya nambari kamili isiyo sawa na sifuri daima ni nambari chanya.

Moduli imeandikwa kama hii:

1. Moduli nambari chanya sawa na nambari yenyewe.
| a|=a

2. Moduli nambari hasi sawa nambari kinyume.
|- a|=a

3. Moduli ya sifuri ni sawa na sifuri.
|0|=0

4. Moduli za nambari tofauti ni sawa.
| a|=|-a|=a

Maswali juu ya mada:
Moduli ya nambari ni nini?
Jibu: Modulus ni umbali kutoka mahali pa kuanzia hadi mahali lengwa.

Ukiweka alama ya "+" mbele ya nambari kamili, nini kitatokea?
Jibu: nambari haitabadilisha maana yake, kwa mfano, 4=+4.

Ikiwa utaweka ishara "-" mbele ya nambari kamili, nini kitatokea?
Jibu: nambari itabadilika kuwa, kwa mfano, 4 na -4.

Nambari gani zina moduli sawa?
Jibu: nambari chanya na sifuri zitakuwa na moduli sawa. Kwa mfano, 15=|15|.

Ni nambari gani zilizo na moduli ya nambari inayopingana?
Jibu: kwa nambari hasi, moduli itakuwa sawa na nambari iliyo kinyume. Kwa mfano, |-6|=6.

Mfano #1:
Tafuta moduli ya nambari: a) 0 b) 5 c) -7?

Suluhisho:
a) |0|=0
b) |5|=5
c)|-7|=7

Mfano #2:
Wapo wawili nambari tofauti, ambao modules ni sawa?

Suluhisho:
|10|=10
|-10|=10

Moduli za nambari kinyume ni sawa.

Mfano #3:
Ni nambari gani mbili zinazopingana zilizo na moduli 9?

Suluhisho:
|9|=9
|-9|=9

Jibu: 9 na -9.

Mfano #4:
Fuata hatua hizi: a) |+5|+|-3| b) |-3|+|-8| c)|+4|-|+1|

Suluhisho:
a) |+5|+|-3|=5+3=8
b) |-3|+|-8|=3+8=11
c)|+4|-|+1|=4-1=3

Mfano #5:
Tafuta: a) moduli ya nambari 2 b) moduli ya nambari 6 c) moduli ya nambari 8 d) moduli ya nambari 1 e) moduli ya nambari 0.
Suluhisho:

a) moduli ya nambari 2 imeashiriwa kama |2| au |+2| Ni sawa.
|2|=2

b) moduli ya nambari 6 imeashiriwa kama |6| au |+6| Ni sawa.
|6|=6

c) moduli ya nambari 8 imeashiriwa kama |8| au |+8| Ni sawa.
|8|=8

d) moduli ya nambari 1 imeashiriwa kama |1| au |+1| Ni sawa.
|1|=1

e) moduli ya nambari 0 imeashiriwa kama |0|, |+0| au |-0| Ni sawa.
|0|=0

Nambari kamili hasi

Kipimajoto kilichoonyeshwa kwenye Mtini. 3.1, inaonyesha halijoto ya 7°C. Ikiwa hali ya joto itapungua kwa 4 °, thermometer itaonyesha joto la 3 °. Kupungua kwa joto kunalingana na hatua na nambari za asili: 7-4 = 3.

Ikiwa hali ya joto itapungua kwa 7 °, kipimajoto kitaonyesha 0 °: 7-7 = 0.

Ikiwa hali ya joto itapungua kwa 9 °, thermometer itaonyesha -2 ° (2 ° chini ya sifuri). Lakini matokeo ya kutoa 7-9 hayajaonyeshwa kama nambari kamili isiyo hasi, ingawa ina maana halisi.

Hebu tuonyeshe utoaji kwa kutumia mfululizo wa nambari kamili zisizo hasi.

1) Kutoka nambari 7, hesabu nambari 4 kwenda kushoto na upate 3:

2) Kutoka nambari 7, hesabu nambari 7 kwenda kushoto na upate 0:

Haiwezekani kuhesabu nambari 9 kutoka nambari 7 hadi kushoto katika safu ya nambari zisizo hasi. Ili kufanya kitendo cha 7-9 kiwezekane, hebu tupanue anuwai ya nambari zisizo hasi. Ili kufanya hivyo, andika nambari 1, 2, 3 upande wa kushoto wa sifuri kwa mpangilio, na kuongeza kwa kila mmoja wao ishara ya minus (-), ambayo itaonyesha kuwa nambari iko upande wa kushoto wa sifuri. Nambari hizi zinasomwa kama hii: "ondoa moja", "minus mbili", "minus tatu", nk.

Kwa upande wa kulia wa nambari 0 ni nambari kamili ambazo pia huitwa nambari chanya.

Upande wa kushoto wa nambari 0 ni nambari hasi.

Nambari 0 sio nambari chanya au hasi. Inatenganisha nambari chanya na hasi.

Msururu wa nambari tulizopata huitwa mfululizo wa nambari kamili. Kwa hivyo, nambari za asili, nambari hasi na sifuri huunda safu ya nambari kamili. Kwa kulia na kushoto safu hii inaweza kuendelea kwa muda usiojulikana.

Kanuni za ishara. Thamani kamili ya nambari

Inaaminika kuwa ikiwa utaweka ishara ya kuongeza (+) mbele ya nambari nzima, hii haibadilishi nambari yenyewe. Kwa mfano; 5 = +5, -5 = +(-5).

Msururu wa nambari kamili unaweza kuandikwa kama hii:

Nambari kamili ambazo hutofautiana kwa ishara tu huitwa kinyume.

Kwa mfano, 1 na -1, -5 na 5, 10 na -10 ni nambari tofauti.

Ukiweka alama ya kutoa (-) mbele ya nambari kamili, unapata nambari iliyo kinyume: -(+1) =-1, - (-2) =+2.

Nambari pekee ambayo haibadilika ikiwa unaweka ishara "-" mbele yake ni nambari 0; 0 = -0 = +0. Zero inachukuliwa kuwa kinyume chake yenyewe.

Nambari tofauti ya a inaonyeshwa -a. Kumbuka kwamba -a inaweza kuwa nambari chanya, hasi, au sifuri. Kwa mfano, ikiwa a = + 2, basi -a = -2, tangu - (+2) = -2; ikiwa = -3, basi -a = +3, kwani - (-3) = +3; ikiwa - 0, basi -a = 0, kwani -0 = 0.

Wacha tulete dhana mpya - thamani kamili ya nambari.

Moduli ya nambari chanya ni nambari yenyewe..

Kwa mfano, moduli ya nambari +3 ni +3. Wanaandika: |+3| = +3.

Moduli ya nambari 0 ni nambari 0. Wanaandika:

Moduli ya nambari hasi ni nambari yake kinyume. Kwa mfano, moduli ya nambari -4 ni nambari +4. Wanaandika:

Hivyo, moduli ya nzima nambari ni nambari chanya au sifuri.

Moduli ya nambari chanya au hasi inaonyesha wapi kutoka sifuri (kulia au kushoto) nambari hii inasimama katika safu ya nambari kamili. Nambari pinzani zina ukubwa sawa.

Kusudi la somo:

• Ingiza ufafanuzi wa moduli ya nambari, uteuzi wa moduli ya nambari. Jifunze kupata moduli ya nambari.
• Uundaji wa ustadi wa jumla wa elimu kwa wanafunzi, uwezo wa kujipanga, kujidhibiti, kudhibiti pamoja, na kujithamini.
• Ukuzaji na uboreshaji wa hotuba ya wanafunzi.

Wakati wa madarasa

1. Wakati wa shirika.

2. Imla ya hisabati.

Wanafunzi huandika majibu yao kwenye karatasi mbili za kaboni. Wanamkabidhi mwalimu karatasi moja ili akaguliwe, na kwenye karatasi ya pili wanalinganisha majibu yao na majibu ya mwalimu yaliyoandikwa mapema ubaoni. Wanajipa "+" kwa kila kazi iliyokamilishwa kwa usahihi. Hesabu nambari ya "+" na ujipe ukadiriaji. Kwa tano "+" alama ni "5", kwa nne "+" alama ni "4", nk.

Data ya chaguo la pili hutolewa katika mabano ya mraba.

3. Ufafanuzi wa nyenzo mpya.

Hebu tutengeneze mstari wa kuratibu; Ni nini kinachohitajika ili mstari kama huo uwepo? (asili, mwelekeo mzuri, sehemu ya kitengo).

Zoezi 1. Hebu tuweke alama A(4), B(2), C(-6), K(-4) kwenye mstari wa kuratibu. Wacha tupate umbali kutoka kwa asili hadi kila nukta.

nukta	kuratibu	sehemu ya mstari	umbali (katika sehemu za kitengo)
A	4	OA	4
KATIKA	2	OB	2
NA	- 6	Mfumo wa Uendeshaji	6
KWA	- 4	sawa	4

Jina maalum liligunduliwa kwa umbali huu - moduli.

Moduli nambari a zinaitwa umbali(katika sehemu za kitengo) kutoka asili hadi nukta A(a).

Wanaandika: =4; =2,=6, =4. Walisoma: "Moduli ya nambari 4 ni 4. Moduli ya nambari -6 ni 6, nk."

Jukumu la 2. Kutumia template ya mstari wa kuratibu, pata moduli za nambari 3; 2.5; 8.

, .

Hesabu 3; 2.5; 8 - zipi? Vipi kuhusu moduli zao? Chora hitimisho. ( Moduli ya nambari chanya ni sawa na nambari hii yenyewe, i.e. ikiwa a ni chanya, basi =a).

Jukumu la 3. Kutumia muundo wa mstari wa kuratibu, pata moduli ya nambari -2;

Hesabu -2; -3; -4.2 - zipi? Vipi kuhusu moduli zao? Chora hitimisho. (Moduli ya nambari hasi ni sawa na nambari yake ya kinyume, i.e. ikiwa a ni hasi, basi = - a).

Kwa nini moduli ni sawa sufuri? =0. (Moduli ya sifuri ni sifuri.)

Jukumu la 4. Kwa kila nambari mfululizo, pata moduli ya nambari hiyo kwenye safu wima. Chora mshale kutoka kwa nambari hadi kwenye moduli.

Hesabu 4 na -4; 3 na -3; 2 na -2; 1 na -1 - zipi? Vipi kuhusu moduli ya kila jozi ya nambari? Chora hitimisho. ( Moduli za nambari kinyume ni sawa. Moduli ya nambari yoyote ni nambari isiyo hasi).

Ufafanuzi wa moduli unaweza kuandikwa kama hii:

4. Kuunganishwa kwa nyenzo mpya.

"Jiangalie".

Kamilisha jukumu na ufanye ukaguzi wa programu zingine.

	-10		0	-1,28

Tekeleza kwa maandishi Nambari 934; 937(safu 1); 938.

5. Muhtasari wa somo.

• Moduli ya nambari ni nini?
• Je, moduli inaweza kuwa nambari hasi?
• Je, moduli ya sifuri ni nini?
• Nambari hasi inachukuliwa, moduli ambayo ni 5. Nambari gani inachukuliwa?
• Nambari chanya inachukuliwa, moduli ambayo ni 8. Nambari gani inachukuliwa?

Kulingana na kazi katika somo lote, majibu ya wanafunzi yanatolewa maoni na kupangwa.

Fasihi.

1. Vilenkin N.Ya. na vitabu vingine. Hisabati. darasa la 6.
2. Miongozo kwa walimu na wanafunzi juu ya mada "Nambari Chanya na Hasi", TGPI, 1988.
3. Shevrin L.N., A.G. Gein et al. Hisabati: Kitabu cha maandishi-interlocutor kwa darasa la 5-6.

Katika somo hili tutazungumza juu ya ukweli kwamba nambari ina ishara na idadi. Kwa kuongeza, tunatanguliza dhana ya moduli ya nambari, ambayo itaashiria wingi, bila kuzingatia ishara ya nambari. Pia tutajadili mali ya moduli na jinsi ya kufanya kazi nayo.

Tulianzisha nambari nzuri, nambari za asili, na kisha sehemu ili kuonyesha wingi: kuni, lita moja ya maziwa (Mchoro 1).

Mchele. 1. Mfano wa kutumia nambari chanya

Kisha tulianzisha nambari hasi: kwa mfano,. Sasa nambari, pamoja na wingi, pia ina ishara inayoonyesha kile kinachohitajika kufanywa na wingi huu - kuongeza au kupunguza. Hiyo ni, baada ya nambari hasi kuletwa, tunaweza kusema kwamba nambari yoyote ina idadi (iliyopo kweli) na ishara (iliyobuniwa na sisi ili kurahisisha nukuu. shughuli za hesabu).

Lakini wakati mwingine tabia moja tu ni muhimu - wingi, na ishara haituvutii.

Hebu tufikirie mfano huu. Kwa dereva wa teksi, ni muhimu kwa muda gani safari anayofunika na abiria (Mchoro 2).

Mchele. 2. Kilomita

Baada ya yote, ikiwa mwishoni mwa safari abiria anarudishwa nyumbani, hii haimaanishi kwamba hana deni lolote kwa dereva wa teksi, kwa kuwa amesafiri umbali fulani tangu mwanzo wa safari (Mchoro 3).

Kielelezo 3. Njia iliyochukuliwa na teksi

Hebu sasa teksi inaweza kuendesha tu kwenye mstari wa moja kwa moja (kulia au kushoto). Tayari tuna mfano unaofaa - mstari wa kuratibu (Mchoro 4).

Mchele. 4. Analojia na mstari wa kuratibu

Wacha tuseme wateja wanaendesha km kwenda kushoto, kisha km kwenda kulia, kisha km nyingine kulia, kisha km nyingine kushoto. Matokeo yake, gari lilihamia kilomita moja kwenda kushoto kutoka mahali pa kuanzia: (Mchoro 5).

Mchele. 5. Gari imesafiri umbali gani (tunahesabu kwa kutumia laini ya nambari)

Lakini umbali unaosafirishwa na teksi ni mrefu zaidi: km.

Ili kuhesabu njia, tuliongeza idadi tu, bila kuzingatia ishara.

Sehemu hiyo ya nambari inayoonyesha wingi inaitwa thamani kamili(au nambari ya moduli). Hiyo ni, tunaweza kusema hivi: nambari yoyote ina ishara na thamani kamili(moduli). Ikiwa ishara ni pamoja, basi kwa ufupi kawaida haijaandikwa.

Kwa mfano, nambari ina ishara ya minus na moduli, na nambari ina ishara ya pamoja na moduli (Mchoro 6).

Mchele. 6. Nambari zinazopingana zimeundwa na nini?

Mfano: gari imeendesha km kando ya barabara. Tumia kwa hali hii mfano wa hisabati- mstari wa nambari. Gari kutoka kwa uhakika inaweza kwenda kulia au kushoto. Unaweza kusema hivi: songa km moja kwenda kulia, songa km moja kwenda kushoto. Lakini tunayo zana inayofaa, nambari hasi. Kwa hiyo, kwa kifupi, tunaweza kusema hivi: uhamisho au harakati (Mchoro 7).

Mchele. 7. Harakati zinazowezekana za mashine

Uhamisho ulikuwa tofauti, lakini gari liliondoka kutoka mahali pa kuanzia (kutoka) hadi umbali sawa - km. Lakini - hii ndio moduli (kwa nambari na kwa ).

Hiyo ni, tunaweza kusema juu ya moduli ya nambari kwa njia hii: moduli ni umbali kutoka kwa nambari hadi sifuri (kwa kweli, ufafanuzi huu ni wa ulimwengu wote, lakini utajifunza juu ya hili katika shule ya upili).

Katika fizikia dhana hizi mbili huitwa:

• kusonga: matokeo ni muhimu kwake - wapi walikuwa na wapi waliishia;
• njia: Cha muhimu hapa ni umbali tuliosafiri, na haijalishi tuliishia wapi mwishowe.

Kwa hiyo, ikiwa gari lilihamia kutoka kwa uhakika hadi km ya kulia, na kisha kwa km ya kushoto, basi itarudi kwenye hatua ya kuanzia. Uhamisho huo ni sawa na , lakini njia ni sawa na km (Mchoro 8).

Mchele. 8. Mwendo na njia

Kusonga kutoka sehemu moja hadi nyingine kunawakilishwa na sehemu ya mstari yenye mshale. Wanamwita vekta(Mchoro 1).

Mchele. 9. Vekta

Hapa hali ni sawa na nambari: kuna sehemu ya kiasi (urefu) na kuna mwelekeo (nambari ilikuwa na mbili tu ( na ), lakini hapa kunaweza kuwa na idadi isiyo na kipimo ya maelekezo).

Vekta yenyewe inaonyeshwa na mshale juu. Urefu wa vekta inaitwa moduli (kumbuka, kama nambari: moduli ni sehemu ya kiasi) na inaonyeshwa na mabano ya moja kwa moja au tu kama sehemu (Mchoro 2).

Mchele. 10. Uteuzi wa vector na urefu wake

Ikiwa tunahitaji kutoka hatua moja hadi nyingine, hatuwezi kwenda kwenye mstari ulionyooka kila wakati. Kwa mfano, tunasonga kutoka hatua hadi hatua, kuepuka lawn ambayo kutembea ni marufuku. Yaani tulihama mara mbili na... Uhamisho wa mwisho (Mchoro 3).

Mchele. 11. Kusonga

ni jumla ya harakati mbili: . Hii sio kweli kwa njia. Urefu wa sehemu ni chini ya jumla ya urefu wa sehemu na: . Njia iliyonyooka ni fupi kuliko njia ya kuzunguka.

Yote hii inaweza kuandikwa kwa usawa mmoja: . Ina maana hii: jumla ya harakati mbili ni harakati ya mwisho. Urefu wake ni chini ya jumla ya urefu wa kila harakati tofauti:.

Fikiria ikiwa kunaweza kuwa na usawa hapa ikiwa vekta za uhamishaji ziko tofauti? A ishara kinyume, yaani, ishara?

Hebu tufikirie mfano huu. Mwanamume anatembea na mbwa, anatembea kutoka hatua kwa hatua kwa mstari wa moja kwa moja, wakati mbwa pia huenda kutoka upande hadi upande, kwa kadiri leash inaruhusu (Mchoro 4).

Mchele. 12. Mfano kwa mfano

(Mchoro 5).

Mchele. 13. Kusonga mtu

Harakati ya mbwa imeundwa na vipande na pia hatimaye ni sawa (Mchoro 6).

Mchele. 14. Kusonga mbwa

Lakini ikiwa huongeza sio harakati, lakini njia, i.e. sio vectors, lakini modules zao, zinageuka kuwa mbwa alifunika njia mara mbili au tatu tena. Mbwa, akifanya harakati sawa na mmiliki wake, anaweza kukimbia umbali mrefu zaidi kuliko hiyo, kila kitu ni mdogo na shughuli zake.

Kuna kazi kama hiyo: kupima urefu wa ukanda wa pwani. Kila kitu kiko wazi kwa kusonga kutoka hatua hadi hatua kando ya pwani. Hii ni vector (Mchoro 7).

Mchele. 15. Kusonga

Lakini njia imeundwa na vipande (Mchoro 8). Ni kama na mbwa: unahitaji kuongeza moduli za harakati na vekta kama hizo.

Mchele. 16. Vipande vya njia

Lakini ikiwa utaangalia kwa usahihi, kila harakati kama hiyo ina harakati ndogo zaidi. Njia huongezeka sana (Mchoro 9).

Mchele. 17. Njia inayoongezeka

Lakini sio yote: ikiwa unatazama kwa usahihi zaidi, basi wamegawanywa katika harakati ndogo. Ukanda wa pwani unazidi kujipenyeza (Mchoro 10). Na haina mwisho.

Mchele. 18. Ragged ukanda wa pwani

Hiyo ni, urefu wa ukanda wa pwani hauwezi kupimwa kwa usahihi kwa njia hii.

Hivi ndivyo inavyogeuka kuwa, bila kusonga mbali na vector ya jumla ya harakati, unaweza kupata njia ndefu sana (kama njia ya mbwa) au hata njia isiyo na mwisho (kama ukanda wa pwani).

Tulikubali kuashiria moduli ya nambari iliyo na mabano wima. Kwa hivyo, moduli ya nambari chanya ni sawa na nambari yenyewe, moduli ya nambari hasi pia ni sawa na, ambayo ni, nambari tofauti: , .

Swali linabaki: moduli ya sifuri ni nini? Umbali kutoka sifuri hadi sifuri ni sifuri. Kwa hiyo, moduli ya sifuri inachukuliwa kuwa sawa na sifuri:.

Kwa hiyo, tayari tunajua kila kitu cha kutoa zaidi ufafanuzi sahihi, moduli ya nambari ni nini.

Thamani kamili ya nambari- hii ni nambari sawa na yenyewe ikiwa nambari ni chanya, kwa nambari kinyume ikiwa ni hasi, na bila kujali (yenyewe au kinyume chake) ikiwa nambari ni sifuri. Wacha iwe yenyewe: .

Ili kufanya kiingilio kifupi, hebu tuunganishe mistari ya kwanza na ya tatu. Na ufafanuzi sasa unasikika kama hii: moduli ya nambari ni sawa na nambari yenyewe ikiwa sio hasi (chanya au sifuri), na nambari tofauti ikiwa ni hasi: .

Ufafanuzi huu hauelezi kiini cha moduli ni nini. Lakini tayari tulizungumza juu ya kiini mapema. Ni chombo cha urahisi cha kufanya shughuli za hesabu. Ufafanuzi huu utakuwa muhimu hasa tunapotatua milinganyo na moduli.

Ikiwa tunapuuza matatizo kuhusu njia na harakati, basi kutafuta moduli ni ya kuvutia kwa sababu hii. Hapo awali, tulifanya shughuli kwa nambari mbili au zaidi. Kwa mfano, walichukua nambari mbili, wakaongeza, wakapata nambari mpya, jumla:. Au kulinganisha nambari mbili:.