Muda wa nguvu. Ufafanuzi na mali ya wakati wa nguvu Jinsi wakati wa nguvu kuhusu mhimili uliowekwa umehesabiwa

Uamuzi wa wakati wa nguvu kuhusiana na uhakika na mhimili. Uamuzi wa mkono wa nguvu unaohusiana na uhakika. Uundaji na uthibitisho wa mali ya wakati wa nguvu. Usemi wa thamani kamili ya wakati huo katika mfumo wa bidhaa ya mkono wa nguvu na moduli ya nguvu.

Maudhui

Wakati kuhusu hatua O, kutoka kwa nguvu ambayo mstari wa hatua hupita kupitia hatua hii, ni sawa na sifuri.

.

Vile vile hutumika kwa nguvu ambazo mistari ya muendelezo huingiliana kwa hatua moja. Katika kesi hii, hatua ya makutano ya mistari ya hatua yao inachukuliwa kama hatua ya matumizi ya jumla ya vikosi.

,
.

Wakati wa nguvu ni pseudovector au, ni nini sawa, vekta ya axial.

Mali hii inafuata kutoka kwa mali ya bidhaa ya vector. Kwa kuwa vekta ni kweli(au polar) vekta, basi bidhaa zao za vector ni pseudovector. Hii inamaanisha kuwa tunaweza tu kuamua thamani kamili na mhimili ambao bidhaa ya vekta inaelekezwa. Tunaweka mwelekeo kando ya mhimili huu kwa kiholela, kwa kutumia utawala wa screw sahihi. Hiyo ni, tunapanga vekta kiakili kutoka kituo kimoja. Kisha kugeuza kushughulikia kutoka nafasi hadi nafasi.

Matokeo yake, screw sahihi huenda kwa mwelekeo perpendicular kwa ndege ambayo vectors ziko. Tunachukua mwelekeo huu kama mwelekeo wa bidhaa ya vector.

Lakini ikiwa tuliamua mwelekeo kwa kutumia utawala wa screw wa kushoto, basi bidhaa ya vector ingeelekezwa kinyume chake. Katika kesi hii, hakuna utata unaotokea. Hiyo ni, kwa kweli, vekta za axial zinaweza kuwa na mwelekeo mbili kinyume. Ili sio magumu ya kanuni za hisabati, tunachagua mmoja wao kwa kutumia kanuni ya screw sahihi. Kwa sababu hii, pseudovectors haziwezi kuongezwa kijiometri kwa vekta za kweli. Lakini zinaweza kuzidishwa kwa kutumia bidhaa ya scalar au vector.

Wakati wa nguvu kuhusu mhimili

Ufafanuzi

Mara nyingi kuna matukio wakati hatuhitaji kujua vipengele vyote vya wakati wa nguvu kuhusu hatua iliyochaguliwa, lakini tu haja ya kujua wakati wa nguvu kuhusu mhimili uliochaguliwa.

Wacha iwe vekta ya kitengo iliyoelekezwa kando ya mhimili. Na iwe ni sehemu ya kiholela inayomilikiwa nayo. Halafu wakati wa nguvu juu ya mhimili ni bidhaa ya scalar:
.
Ufafanuzi huu unawezekana kwa sababu kwa pointi zozote mbili O na O′ zinazomilikiwa na mhimili, makadirio ya muda kuhusu pointi hizi kwenye mhimili ni sawa. Hebu tuonyeshe.

Wacha tutumie equation ya vekta:

;
.
Wacha tuzidishe equation hii kwa kasi na vekta ya kitengo iliyoelekezwa kando ya mhimili:
.
Kwa kuwa vekta ni sambamba na mhimili, basi.
.
Kutoka hapa

Hiyo ni, makadirio ya muda kwenye mhimili unaohusiana na pointi O na O′ zinazomilikiwa na mhimili huu ni sawa.

Mali

Muda kuhusu mhimili kutokana na nguvu ambayo mstari wake wa utekelezaji unapita kwenye mhimili huu ni sawa na sufuri.

Uthibitisho wa mali

Kusonga hatua ya matumizi ya nguvu kwenye mstari wa hatua yake

Ikiwa hatua ya matumizi ya nguvu inahamishwa kando ya mstari wa hatua ya nguvu, basi wakati huo, na harakati hiyo, haitabadilika.

Ushahidi
.
Wacha nguvu itumike katika hatua A.

Kupitia hatua A tunachora mstari wa moja kwa moja sambamba na vector ya nguvu. Mstari huu wa moja kwa moja ni mstari wa hatua yake. Hebu tusogeze hatua ya matumizi ya nguvu hadi A′ inayomilikiwa na mstari wa kitendo. Kisha
.
Vekta hutolewa kupitia pointi mbili za mstari wa hatua. Kwa hiyo, mwelekeo wake unafanana au ni kinyume na mwelekeo wa vector ya nguvu.

.
Kisha , ambapo λ ni parameter; .
.

, ikiwa nukta A′ imehamishwa kuhusiana na A kuelekea upande wa vekta.

Vinginevyo.

Kwa hivyo, vekta inayotolewa kutoka O hadi A′ ina fomu:

Ikiwa hatua ya matumizi ya nguvu inahamishwa kando ya mstari wa hatua ya nguvu, basi wakati huo, na harakati hiyo, haitabadilika.

Wacha tupate wakati wa nguvu kutumika kwa uhakika A′ kwa kutumia mali ya bidhaa ya vekta:

Tunaona kuwa wakati haujabadilika:
.
Kwa kuwa vekta na ni za kawaida, basi, kwa mali ya bidhaa ya vekta, thamani kamili ya wakati huu:
,
iko wapi thamani kamili ya nguvu.

Kumbuka kuwa vekta ya wakati ni sawa na ndege ya mchoro. Mwelekeo wake umeamua na utawala wa screw sahihi. Ikiwa tunazunguka screw kupita kwa uhakika O perpendicular kwa ndege ya takwimu katika mwelekeo wa nguvu F, basi itakuwa kuelekea kwetu. Kwa hiyo, vector ya sasa ni perpendicular kwa ndege ya kuchora na kuelekezwa kwetu.

, ikiwa nukta A′ imehamishwa kuhusiana na A kuelekea upande wa vekta.

Muda kidogo kwa sababu ya nguvu kupita katika hatua hiyo

Wakati kuhusu hatua O, kutoka kwa nguvu ambayo mstari wa hatua hupita kupitia hatua hii, ni sawa na sifuri.

Ikiwa hatua ya matumizi ya nguvu inahamishwa kando ya mstari wa hatua ya nguvu, basi wakati huo, na harakati hiyo, haitabadilika.

Wacha safu ya hatua ya nguvu ipite kupitia hatua O.
.

, ikiwa nukta A′ imehamishwa kuhusiana na A kuelekea upande wa vekta.

Kisha bega ya nguvu hii inayohusiana na O ni sawa na sifuri:.

Kulingana na , thamani kamili ya wakati wa nguvu kuhusiana na hatua iliyochaguliwa ni sifuri:
.

Ikiwa hatua ya matumizi ya nguvu inahamishwa kando ya mstari wa hatua ya nguvu, basi wakati huo, na harakati hiyo, haitabadilika.

Wakati wa jumla ya nguvu kutumika katika hatua moja

.

, ikiwa nukta A′ imehamishwa kuhusiana na A kuelekea upande wa vekta.

Wakati kutoka kwa jumla ya vekta ya nguvu inayotumika kwa sehemu moja ya mwili ni sawa na jumla ya muda wa vekta kutoka kwa kila nguvu inayotumika kwa hatua sawa:

Wacha nguvu zitumike wakati mmoja A.
,
Wacha iwe jumla ya vekta ya nguvu hizi. Tunapata wakati kuhusu hatua fulani O kutoka kwa jumla ya vekta iliyotumika kwa uhakika A.
.

Ikiwa hatua ya matumizi ya nguvu inahamishwa kando ya mstari wa hatua ya nguvu, basi wakati huo, na harakati hiyo, haitabadilika.

Ili kufanya hivyo, tunatumia mali ya bidhaa ya vector:
.
Muda wa mfumo wa nguvu ambao jumla ya vekta ni sifuri

Ikiwa jumla ya nguvu ya vekta ni sifuri:

, ikiwa nukta A′ imehamishwa kuhusiana na A kuelekea upande wa vekta.

basi jumla ya muda kutoka kwa nguvu hizi haitegemei nafasi ya kituo ambacho wakati huo umehesabiwa:

Hebu nguvu zitumike kwa pointi, kwa mtiririko huo. Na wacha alama O na C zionyeshe vituo viwili ambavyo tutahesabu wakati. Kisha hesabu za vekta zifuatazo zinashikilia:

Ikiwa hatua ya matumizi ya nguvu inahamishwa kando ya mstari wa hatua ya nguvu, basi wakati huo, na harakati hiyo, haitabadilika.

Tunazitumia wakati wa kuhesabu jumla ya muda kuhusu hatua O:
.
inaonyeshwa kuwa wakati wa nguvu kuhusu mhimili ni makadirio ya vekta ya wakati wa nguvu kuhusiana na hatua ya kiholela inayomilikiwa na mhimili huu kwenye mwelekeo wa mhimili. Kama hatua kama hiyo, tunachukua hatua ya makutano ya mstari wa hatua ya nguvu na mhimili. Lakini, kulingana na , wakati kuhusu hatua hii ni sawa na sifuri. Kwa hiyo, makadirio yake kwenye mhimili huu pia ni sifuri.

, ikiwa nukta A′ imehamishwa kuhusiana na A kuelekea upande wa vekta.

Katika makala tutazungumzia kuhusu wakati wa nguvu kuhusu hatua na mhimili, ufafanuzi, michoro na grafu, ni kitengo gani cha kipimo cha wakati wa nguvu, kazi na nguvu katika mwendo wa mzunguko, pamoja na mifano na matatizo.

wakati wa nguvu inawakilisha vekta ya wingi wa kimwili sawa na bidhaa za vekta nguvu ya bega(radius vector ya chembe) na nguvu, akitenda kwa uhakika. Lever ya nguvu ni vector inayounganisha hatua ambayo mhimili wa mzunguko wa mwili mgumu hupita na hatua ambayo nguvu hutumiwa.

ambapo: r ni mkono wa nguvu, F ni nguvu inayotumiwa kwa mwili.

Mwelekeo wa Vector nguvu za muda daima perpendicular kwa ndege iliyofafanuliwa na vekta r na F.

Jambo kuu- mfumo wowote wa nguvu kwenye ndege unaohusiana na pole iliyokubaliwa inaitwa wakati wa algebraic wa wakati wa nguvu zote za mfumo huu kuhusiana na pole hii.

Katika harakati za kuzunguka, sio tu idadi ya mwili yenyewe ni muhimu, lakini pia jinsi ziko karibu na mhimili wa mzunguko, ambayo ni, yao. muda mfupi. Tayari tunajua kuwa katika mwendo wa mzunguko, sio molekuli tu ni muhimu, bali pia. Katika kesi ya nguvu, ufanisi wake katika kuchochea kasi imedhamiriwa na njia ambayo nguvu hutumiwa kwenye mhimili wa mzunguko.

Uhusiano kati ya nguvu na jinsi inavyotumiwa huelezea WAKATI WA NGUVU. Wakati wa nguvu ni bidhaa ya vector ya mkono wa nguvu R kwa vekta ya nguvu F:

Kama ilivyo katika kila bidhaa ya vekta, kwa hivyo hapa

Kwa hiyo, nguvu haitaathiri mzunguko wakati angle kati ya vectors nguvu ni F na lever R sawa na 0 o au 180 o. Ni nini athari ya kutumia wakati wa nguvu M?

Tunatumia Sheria ya Pili ya Newton ya Mwendo na uhusiano kati ya kasi ya kamba na angular v = Rω katika fomu ya scalar, ni halali wakati vectors R Na ω perpendicular kwa kila mmoja

Kuzidisha pande zote mbili za equation na R, tunapata

Kwa kuwa mR 2 = mimi, tunahitimisha hivyo

Utegemezi hapo juu pia ni halali kwa kesi ya mwili wa nyenzo. Kumbuka kwamba wakati nguvu ya nje inatoa kuongeza kasi ya mstari a, wakati wa nguvu ya nje hutoa kasi ya angular ε.

Kitengo cha kipimo cha wakati wa nguvu

Kipimo kikuu cha muda wa nguvu katika kuratibu mfumo wa SI ni: [M]=N m

Katika GHS: [M]=din cm

Kazi na nguvu katika mwendo wa mzunguko

Kazi katika mwendo wa mstari imedhamiriwa na usemi wa jumla,

lakini kwa mwendo wa mzunguko,

na kwa hiyo

Kulingana na mali ya bidhaa mchanganyiko wa vectors tatu, tunaweza kuandika

Kwa hivyo tumepata usemi wa fanya kazi kwa mwendo wa mzunguko:

Nguvu katika mwendo wa mzunguko:

Tafuta wakati wa nguvu kutenda kwa mwili katika hali zilizoonyeshwa kwenye takwimu hapa chini. Hebu tuchukue kwamba r = 1m na F = 2N.

A) kwa kuwa pembe kati ya vekta r na F ni 90°, basi sin(a)=1:

M = r F = 1m 2N = 2N m

b) kwa sababu pembe kati ya vekta r na F ni 0 °, kwa hivyo sin(a)=0:

M = 0
ndiyo iliyoelekezwa nguvu hawezi kutoa hoja harakati za mzunguko.

c) kwa kuwa pembe kati ya vekta r na F ni 30°, basi sin(a)=0.5:

M = 0.5 r F = 1 N m.

Kwa hivyo, nguvu iliyoelekezwa itasababisha mzunguko wa mwili, hata hivyo, athari yake itakuwa chini ya kesi a).

Wakati wa nguvu kuhusu mhimili

Wacha tuchukue data ni hatua O(pole) na nguvu P. Kwa uhakika O tunachukua asili ya mfumo wa kuratibu wa mstatili. wakati wa nguvu R kuhusiana na nguzo O inawakilisha vekta M kutoka (R), (picha hapa chini) .

Hatua yoyote A kwenye mstari P ina kuratibu (xo, yo, zo).
Lazimisha vekta P ina kuratibu Px, Pz, Pz. Hatua ya kuchanganya A (xo, yo, zo) na mwanzo wa mfumo, tunapata vector uk. Lazimisha kuratibu za vekta P jamaa na nguzo O inavyoonyeshwa na alama Mx, Wangu, Mz. Viwianishi hivi vinaweza kukokotwa kama minima ya kiambishi fulani, ambapo ( mimi, j, k) - vekta za kitengo kwenye shoka za kuratibu (chaguo): mimi, j, k

Baada ya kutatua kibainishi, viwianishi vya wakati vitakuwa sawa na:

Viratibu vya vekta ya muda Mo (P) huitwa wakati wa nguvu kuhusu mhimili unaolingana. Kwa mfano, wakati wa nguvu P kuhusiana na mhimili Oz template ya mazingira:

Mz = Pyxo - Pxyo

Mchoro huu unafasiriwa kijiometri kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu hapa chini.

Kulingana na tafsiri hii, wakati wa nguvu kuhusu mhimili Oz inaweza kufafanuliwa kama wakati wa makadirio ya nguvu P perpendicular kwa mhimili Oz kuhusiana na hatua ya kupenya kwa ndege hii kwa mhimili. Makadirio ya nguvu P perpendicular kwa mhimili imeonyeshwa Pxy , na sehemu ya kupenya ya ndege Oksi- mhimili Mfumo wa Uendeshaji ishara O.
Kutoka kwa ufafanuzi hapo juu wa wakati wa nguvu juu ya mhimili, inafuata kwamba wakati wa nguvu juu ya mhimili ni sifuri wakati nguvu na mhimili ni sawa, katika ndege moja (wakati nguvu iko sambamba na mhimili au mhimili). wakati nguvu inapokatiza mhimili).
Kutumia fomula kwenye Mx, yangu, Mz, tunaweza kuhesabu thamani ya wakati wa nguvu P kuhusiana na uhakika O na kuamua pembe zilizomo kati ya vector M na shoka za mfumo:

Ikiwa nguvu iko ndani Ndege ya Oxy, Hiyo zo = 0 na Pz = 0 (tazama picha hapa chini).

wakati wa nguvu P kuhusiana na nukta (pole) O ni:
Mx = 0,
Yangu = 0,
Mo (P) = Mz = Pyxo - Pxyo.

Alama ya torque:
pamoja (+) - mzunguko wa nguvu kuzunguka mhimili wa O kisaa,
minus (-) - mzunguko wa nguvu kuzunguka mhimili wa O kinyume cha saa.

Wakati wa vikosi kadhaa

Wakati wa nguvu kuhusiana na hatua yoyote (katikati) ni vector ambayo ni nambari sawa na bidhaa ya moduli ya nguvu na mkono, i.e. kwa umbali mfupi zaidi kutoka kwa hatua iliyoainishwa hadi mstari wa hatua ya nguvu, na kuelekezwa kwa ndege inayopita kwenye sehemu iliyochaguliwa na mstari wa hatua ya nguvu katika mwelekeo ambao "mzunguko" unafanywa na nguvu karibu. hatua inaonekana kutokea kinyume cha saa. Wakati wa nguvu ni sifa ya hatua yake ya mzunguko.

Kama KUHUSU- hatua inayohusiana na wakati wa nguvu iko F, basi wakati wa nguvu unaonyeshwa na ishara M o (F). Hebu tuonyeshe kwamba ikiwa hatua ya matumizi ya nguvu F imedhamiriwa na vector ya radius r, basi uhusiano huo ni halali

M o (F)=r×F. (3.6)

Kulingana na uwiano huu wakati wa nguvu ni sawa na bidhaa ya vector ya vector r na vekta F.

Kwa kweli, moduli ya bidhaa ya vector ni sawa na

M o ( F)=rF dhambi= Fh, (3.7)

Wapi h- bega la nguvu. Kumbuka pia kwamba vector M o (F) kuelekezwa perpendicular kwa ndege kupita kupitia vectors r Na F, kwa mwelekeo ambao zamu fupi ya vector r kwa mwelekeo wa vector F inaonekana kutokea kinyume cha saa. Kwa hivyo, formula (3.6) huamua kikamilifu moduli na mwelekeo wa wakati wa nguvu F.

Wakati mwingine ni muhimu kuandika fomula (3.7) katika fomu

M o ( F)=2S, (3.8)

Wapi S- eneo la pembetatu OAV.

Hebu x, y, z ni kuratibu za hatua ya maombi ya nguvu, na Fx, Fy, F z- makadirio ya nguvu kwenye shoka za kuratibu. Kisha ikiwa ni uhakika KUHUSU iko kwenye asili, wakati wa nguvu unaonyeshwa kama ifuatavyo:

Inafuata kwamba makadirio ya wakati wa nguvu kwenye shoka za kuratibu imedhamiriwa na fomula:

Ng'ombe M(F)=yF z -zF y,

M Oy(F)=zF x -xF z ,

M Oy(F)=xF y -yF x. (3.10)

Hebu sasa tujulishe dhana ya makadirio ya nguvu kwenye ndege.

Wacha nguvu itolewe F na ndege fulani. Wacha tushushe perpendiculars kutoka mwanzo na mwisho wa vekta ya nguvu kwenye ndege hii.

Makadirio ya nguvu kwenye ndege kuitwa vekta , mwanzo na mwisho ambao unaambatana na makadirio ya mwanzo na makadirio ya mwisho wa nguvu kwenye ndege hii.

Ikiwa tutachukua ndege kama ndege inayozingatiwa xOy, kisha makadirio ya nguvu F kutakuwa na vekta kwenye ndege hii Fxy.

wakati wa nguvu Fxy kuhusiana na uhakika KUHUSU(pointi za makutano ya mhimili z na ndege xOy) inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula (3.9), ikiwa tutaichukua z=0, F z=0. Tunapata

MO(Fxy)=(xF y -yF x)k.

Kwa hivyo, wakati unaelekezwa kando ya mhimili z, na makadirio yake kwenye mhimili z inalingana kabisa na makadirio kwenye mhimili sawa wa wakati wa nguvu F kuhusiana na uhakika KUHUSU. Kwa maneno mengine,

M Oz(F)=M Oz(Fxy)= xF y -yF x. (3.11)

Kwa wazi, matokeo sawa yanaweza kupatikana ikiwa tutatoa nguvu F kwa ndege nyingine yoyote sambamba xOy. Katika kesi hii, hatua ya makutano ya mhimili z na ndege itakuwa tofauti (tunaashiria sehemu mpya ya makutano na KUHUSU 1). Walakini, idadi yote iliyojumuishwa katika upande wa kulia wa usawa (3.11) X, saa, F x, F y itabaki bila kubadilika, na kwa hivyo inaweza kuandikwa

M Oz(F)=M O 1 z ( Fxy).

Kwa maneno mengine, makadirio ya wakati wa nguvu kuhusiana na hatua kwenye mhimili unaopita katika hatua hii haitegemei uchaguzi wa hatua kwenye mhimili. . Kwa hiyo, katika kile kinachofuata, badala ya ishara M Oz(F) tutatumia ishara Mz(F) Makadirio ya wakati huu inaitwa wakati wa nguvu kuhusu mhimili z. Mara nyingi ni rahisi zaidi kuhesabu wakati wa nguvu kuhusu mhimili kwa kuonyesha nguvu F kwenye ndege perpendicular kwa mhimili na kuhesabu thamani Mz(Fxy).

Kwa mujibu wa formula (3.7) na kwa kuzingatia ishara ya makadirio, tunapata:

Mz(F)=Mz(Fxy)=± F xy h*. (3.12)

Hapa h*- bega la nguvu Fxy kuhusiana na uhakika KUHUSU. Ikiwa mwangalizi ataona kutoka kwa mwelekeo mzuri wa mhimili wa z kwamba nguvu Fxy huelekea kuzunguka mwili kuzunguka mhimili z kinyume cha saa, basi ishara "+" inachukuliwa, na vinginevyo ishara "-".

Mfumo (3.12) hufanya iwezekanavyo kuunda kanuni ifuatayo ya kuhesabu wakati wa nguvu kuhusu mhimili. Ili kufanya hivyo unahitaji:

· chagua hatua ya kiholela kwenye mhimili na utengeneze ndege ya perpendicular kwa mhimili;

· weka nguvu kwenye ndege hii;

· kuamua mkono wa makadirio ya nguvu h*.

Wakati wa nguvu kuhusiana na mhimili ni sawa na bidhaa ya moduli ya makadirio ya nguvu kwenye bega lake, iliyochukuliwa na ishara inayofaa (angalia sheria iliyoelezwa hapo juu).

Kutoka kwa formula (3.12) inafuata hiyo wakati wa nguvu juu ya mhimili ni sifuri katika visa viwili:

· wakati makadirio ya nguvu kwenye ndege perpendicular kwa mhimili ni sifuri, i.e. wakati nguvu na mhimili ni sambamba ;

wakati makadirio ya bega h* sawa na sifuri, i.e. wakati mstari wa hatua unaingiliana na mhimili .

Kesi hizi zote mbili zinaweza kuunganishwa kuwa moja: wakati wa nguvu juu ya mhimili ni sifuri ikiwa na tu ikiwa safu ya hatua ya nguvu na mhimili iko kwenye ndege moja. .

Kazi 3.1. Hesabu kuhusiana na uhakika KUHUSU wakati wa nguvu F, kutumika kwa uhakika A na uso wa mchemraba ulioelekezwa kwa diagonally na upande A.

Wakati wa kutatua matatizo hayo, inashauriwa kwanza kuhesabu wakati wa nguvu F kuhusiana na kuratibu shoka x, y, z. Viratibu vya pointi A matumizi ya nguvu F mapenzi

Makadirio ya nguvu F kwenye shoka za kuratibu:

Kubadilisha maadili haya kwa usawa (3.10), tunapata

, , .

Maneno sawa kwa wakati wa nguvu F kuhusiana na shoka za kuratibu zinaweza kupatikana kwa kutumia fomula (3.12). Ili kufanya hivyo, tunatengeneza nguvu F kwenye ndege perpendicular kwa mhimili X Na saa. Ni dhahiri kwamba . Kwa kutumia sheria iliyotajwa hapo juu, tunapata, kama mtu angetarajia, maneno sawa:

, , .

Moduli ya wakati huu imedhamiriwa na usawa

.

Hebu sasa tujulishe dhana ya wakati wa wanandoa. Hebu kwanza tupate ni nini jumla ya muda wa nguvu zinazounda jozi ni sawa na kuhusiana na hatua ya kiholela. Hebu KUHUSU ni hatua ya kiholela katika nafasi, na F Na F" - nguvu zinazounda wanandoa.

Kisha M o (F)= OA × F, M o (F")= OB × F",

M o (F)+ M o (F")= OA × F+ OB × F",

lakini tangu F= -F", Hiyo

M o (F)+ M o (F")= OA × F- OB × F=(OA-OB)× F.

Kwa kuzingatia usawa OA-OB=BA , hatimaye tunapata:

M o (F)+ M o (F")= VA × F.

Kwa hivyo, jumla ya muda wa nguvu zinazounda jozi haitegemei nafasi ya uhakika ambayo wakati unachukuliwa. .

Mchoro wa Vector VA × F na inaitwa muda mfupi . Wakati wa jozi unaonyeshwa na ishara M(F, F"), na

M(F, F")=VA × F= AB × F",

au, kwa kifupi,

M=VA × F= AB × F". (3.13)

Kwa kuzingatia upande wa kulia wa usawa huu, tunaona kwamba wakati wa jozi ni vector perpendicular kwa ndege ya jozi, sawa katika moduli kwa bidhaa ya moduli ya nguvu moja ya jozi kwa mkono wa jozi (yaani, kwa umbali mfupi zaidi kati ya mistari ya hatua. nguvu zinazounda jozi) na kuelekezwa katika mwelekeo ambao "mzunguko" wa jozi unaweza kuonekana kutokea kinyume cha saa. . Kama h- bega la jozi, basi M(F, F")=h×F.

Kutoka kwa ufafanuzi yenyewe ni wazi kwamba wakati wa jozi ya nguvu ni vector ya bure, mstari wa hatua ambayo haijafafanuliwa (uhalali wa ziada wa maoni haya hufuata kutoka kwa Theorems 2 na 3 ya sura hii).

Ili jozi ya vikosi kuunda mfumo wa usawa (mfumo wa nguvu sawa na sifuri), ni muhimu na ya kutosha kwamba wakati wa jozi iwe sawa na sifuri. Hakika, ikiwa wakati wa wanandoa ni sifuri, M=h×F, basi ama F=0, yaani. hakuna nguvu, au bega la wanandoa h sawa na sifuri. Lakini katika kesi hii, nguvu za jozi zitatenda kwa mstari mmoja wa moja kwa moja; kwa kuwa wao ni sawa katika modulus na kuelekezwa kwa mwelekeo tofauti, basi, kwa kuzingatia axiom 1, wataunda mfumo wa usawa. Kinyume chake, ikiwa ni nguvu mbili F 1 Na F 2, kutengeneza jozi, ni ya usawa, basi, kwa kuzingatia axiom 1 sawa, wanafanya kwa mstari mmoja wa moja kwa moja. Lakini katika kesi hii faida ya jozi h sawa na sifuri na kwa hivyo M=h×F=0.

Oanisha nadharia

Hebu tuthibitishe nadharia tatu kwa msaada wa ambayo mabadiliko sawa ya jozi yanawezekana. Katika mazingatio yote ikumbukwe kwamba wanarejelea wanandoa wanaofanya kazi kwenye mwili wowote thabiti.

Nadharia 1. Jozi mbili zinazolala katika ndege moja zinaweza kubadilishwa na jozi moja iliyolala kwenye ndege moja, kwa muda sawa na jumla ya muda wa jozi hizi mbili.

Ili kudhibitisha nadharia hii, fikiria jozi mbili ( F 1,F" 1) Na ( F 2,F" 2) na uhamishe vidokezo vya utumiaji wa nguvu zote kwenye mistari ya hatua yao kwa vidokezo A Na KATIKA kwa mtiririko huo. Kuongeza nguvu kulingana na axiom 3, tunapata

R=F 1+F 2 Na R"=F" 1+F" 2,

Lakini F 1=-F" 1 Na F 2=-F" 2.

Kwa hivyo, R=-R", i.e. nguvu R Na R" kuunda jozi. Wacha tupate wakati wa jozi hii kwa kutumia fomula (3.13):

M=M(R, R")=VA× R= VA× (F 1+F 2)=VA× F 1+VA× F 2. (3.14)

Wakati nguvu zinazounda jozi zinahamishwa pamoja na mistari ya hatua zao, wala bega wala mwelekeo wa mzunguko wa jozi hubadilika, kwa hiyo, wakati wa jozi haubadilika ama. Ina maana,

BA×F 1 =M(F 1,F" 1)=M 1, VA× F 2 = M(F 2,F" 2)=M 2

na fomula (3.14) itachukua fomu

M=M 1 +M 2, (3.15)

ambayo inathibitisha uhalali wa nadharia iliyotungwa hapo juu.

Wacha tufanye maoni mawili kwa nadharia hii.

1. Mistari ya hatua ya nguvu zinazounda jozi zinaweza kugeuka kuwa sawa. Theorem inabakia halali katika kesi hii, lakini ili kuthibitisha, mtu anapaswa kutumia utawala wa kuongeza nguvu zinazofanana.

2. Baada ya kuongeza inaweza kugeuka kuwa M(R, R")=0; Kulingana na maoni yaliyotolewa hapo awali, inafuata kwamba mkusanyiko wa jozi mbili ( F 1,F" 1, F 2,F" 2)=0.

Nadharia 2. Jozi mbili ambazo zina muda sawa wa kijiometri ni sawa.

Hebu kwenye mwili kwenye ndege I jozi ( F 1,F" 1) na wakati M 1. Wacha tuonyeshe kuwa jozi hii inaweza kubadilishwa na nyingine na jozi ( F 2,F" 2), iko kwenye ndege II, ikiwa ni wakati wake tu M 2 sawa M 1(kulingana na ufafanuzi (tazama 1.1) hii itamaanisha kuwa jozi ( F 1,F" 1) Na ( F 2,F" 2) ni sawa). Kwanza kabisa, tunaona kwamba ndege I Na II lazima ziwe sambamba, hasa zinaweza sanjari. Hakika, kutoka kwa usawa wa wakati M 1 Na M 2(kwa upande wetu M 1=M 2) inafuata kwamba ndege za hatua za jozi za perpendicular kwa wakati pia zinafanana.

Wacha tuanzishe jozi mpya ( F 3,F" 3) na ambatanishe pamoja na jozi ( F 2,F" 2) kwa mwili, kuweka jozi zote mbili kwenye ndege II. Ili kufanya hivyo, kulingana na axiom 2, unahitaji kuchagua jozi ( F 3,F" 3) na wakati M 3 ili mfumo unaotumika wa nguvu ( F 2,F" 2, F 3,F" 3) ilikuwa na usawa. Hii inaweza kufanyika, kwa mfano, kama ifuatavyo: kuweka F 3=-F" 1 Na F" 3 =-F 1 na kuchanganya pointi za matumizi ya nguvu hizi na makadirio A 1 na KATIKA pointi 1 A Na KATIKA kwa ndege II. Kulingana na ujenzi, tutakuwa na: M 3 = -M 1 au, kutokana na hilo M 1 = M 2,

M 2 + M 3 = 0.

Kwa kuzingatia maoni ya pili kwa nadharia iliyotangulia, tunapata ( F 2,F" 2, F 3,F" 3)=0. Kwa hivyo, jozi ( F 2,F" 2) Na ( F 3,F" 3) zina usawa na kushikamana kwao kwa mwili hakukiuki hali yake (axiom 2), ili

(F 1,F" 1)= (F 1,F" 1, F 2,F" 2, F 3,F" 3). (3.16)

Kwa upande mwingine, nguvu F 1 Na F 3, na pia F" 1 Na F" 3 inaweza kuongezwa kulingana na utawala wa kuongeza nguvu zinazofanana zinazoelekezwa katika mwelekeo mmoja. Katika moduli, nguvu hizi zote ni sawa kwa kila mmoja, kwa hivyo matokeo yao R Na R" lazima itumike kwenye hatua ya makutano ya diagonals ya mstatili ABB 1 A 1; kwa kuongeza, ni sawa kwa ukubwa na kuelekezwa kwa mwelekeo tofauti. Hii ina maana kwamba wanaunda mfumo sawa na sifuri. Kwa hiyo,

(F 1,F" 1, F 3,F" 3)=(R, R")=0.

Sasa tunaweza kuandika

(F 1,F" 1, F 2,F" 2, F 3,F" 3)=(F 3,F" 3). (3.17)

Kulinganisha mahusiano (3.16) na (3.17), tunapata ( F 1,F" 1)=(F 2,F" 2), ambayo ndiyo ilihitaji kuthibitishwa.

Kutoka kwa nadharia hii inafuata kwamba jozi ya nguvu inaweza kuhamishwa katika ndege ya hatua yake, kuhamishiwa kwenye ndege inayofanana; mwishowe, katika jozi unaweza kubadilisha wakati huo huo nguvu na kuongeza nguvu, kudumisha tu mwelekeo wa kuzunguka kwa jozi na moduli ya wakati wake ( F 1 h 1 =F 2 h 2).

Katika kile kinachofuata, tutafanya matumizi makubwa ya mabadiliko ya jozi sawa.

Nadharia 3. Jozi mbili zilizolala katika ndege zinazopishana ni sawa na jozi moja ambayo muda wake ni sawa na jumla ya muda wa jozi hizo mbili zilizotolewa.

Wacha wanandoa ( F 1,F" 1) Na ( F 2,F" 2) ziko kwenye ndege zinazopishana I Na II kwa mtiririko huo. Kutumia corollary ya Theorem 2, tunapunguza jozi zote mbili kwa bega AB, iko kwenye mstari wa makutano ya ndege I Na II. Wacha tuonyeshe jozi zilizobadilishwa na ( Q 1,Q" 1) Na ( Q 2,Q" 2) Katika kesi hii, usawa lazima utimizwe

M 1 = M(Q 1,Q" 1)=M(F 1,F" 1) Na M 2 = M(Q 2,Q" 2)=M(F 2,F" 2).

Wacha tuongeze, kulingana na axiom, vikosi 3 vilivyotumika kwa alama A Na KATIKA kwa mtiririko huo. Kisha tunapata R=Q 1 +Q 2 Na R"=Q" 1 +Q" 2. Kwa kuzingatia hilo Q" 1 = -Q 1 Na Q" 2 = -Q 2, tunapata R=-R". Kwa hivyo, tumethibitisha kuwa mfumo wa jozi mbili ni sawa na jozi moja ( R,R").

Hebu tutafute muda M wanandoa hawa. Kulingana na fomula (3.13) tunayo

M(R,R")=VA× (Swali la 1 +Q2)=VA× Q 1 + VA× Q 2=

=M(Q 1,Q" 1)+M(Q 2,Q" 2)=M(F 1,F" 1)+M(F 2,F" 2)

M=M 1 +M 2,

hizo. nadharia imethibitishwa.

Kumbuka kuwa matokeo yaliyopatikana pia ni halali kwa jozi zilizolala kwenye ndege zinazofanana. Kwa nadharia ya 2, jozi kama hizo zinaweza kupunguzwa kwa ndege moja, na kwa Theorem 1 zinaweza kubadilishwa na jozi moja, wakati ambao ni sawa na jumla ya wakati wa jozi za eneo.

Nadharia jozi zilizothibitishwa hapo juu zinaturuhusu kufikia hitimisho muhimu: wakati wa wanandoa ni vector ya bure na huamua kabisa hatua ya wanandoa kwenye mwili mgumu kabisa . Kwa kweli, tayari tumethibitisha kwamba ikiwa jozi mbili zina wakati sawa (kwa hiyo, uongo katika ndege moja au katika ndege zinazofanana), basi ni sawa na kila mmoja (Theorem 2). Kwa upande mwingine, jozi mbili zilizolala katika ndege zinazoingiliana haziwezi kuwa sawa, kwa sababu hii itamaanisha kwamba mmoja wao na jozi kinyume na nyingine ni sawa na sifuri, ambayo haiwezekani, kwani jumla ya muda wa jozi hizo ni nonzero.

Kwa hivyo, wazo lililoletwa la wakati wa wanandoa ni muhimu sana, kwani linaonyesha kabisa hatua ya mitambo ya wanandoa kwenye mwili. Kwa maana hii, tunaweza kusema kwamba wakati huo unawakilisha kikamilifu kitendo cha wanandoa kwenye mwili mgumu.

Kwa miili inayoweza kuharibika, nadharia ya jozi iliyoainishwa hapo juu haitumiki. Jozi mbili za kinyume, zinazofanya, kwa mfano, mwisho wa fimbo, ni sawa na sifuri kutoka kwa mtazamo wa statics ya mwili imara. Wakati huo huo, kitendo chao kwenye fimbo inayoweza kuharibika husababisha msokoto wake, na jinsi moduli inavyozidi kuongezeka.

Hebu tuendelee kutatua matatizo ya kwanza na ya pili ya statics, wakati jozi tu za nguvu zinafanya juu ya mwili.

Wakati wa kutatua matatizo ya vitu vinavyohamia, katika idadi ya matukio vipimo vyao vya anga vinapuuzwa, kuanzisha dhana ya hatua ya nyenzo. Kwa aina nyingine ya shida, ambayo miili ya kupumzika au inayozunguka inazingatiwa, ni muhimu kujua vigezo vyao na pointi za matumizi ya nguvu za nje. Katika kesi hii, tunazungumza juu ya wakati wa nguvu kuhusiana na mhimili wa mzunguko. Hebu tuangalie suala hili katika makala.

Dhana ya wakati wa nguvu

Kabla ya kuileta kuhusiana na mhimili uliowekwa wa mzunguko, ni muhimu kueleza ni jambo gani tunalozungumzia. Chini ni mchoro unaoonyesha wrench ya urefu d, nguvu F inatumiwa hadi mwisho wake Ni rahisi kufikiria kuwa matokeo ya ushawishi wake itakuwa kuzunguka wrench kinyume na saa na kufuta nut.

Kwa mujibu wa ufafanuzi, wakati wa jamaa wa nguvu ni bidhaa ya mkono (d katika kesi hii) kwa nguvu (F), yaani, maneno yafuatayo yanaweza kuandikwa: M = d * F. Ikumbukwe mara moja kuwa formula hapo juu imeandikwa kwa fomu ya scalar, ambayo ni, hukuruhusu kuhesabu dhamana kamili ya wakati M. Kama inavyoonekana kutoka kwa formula, kitengo cha kipimo cha thamani inayozingatiwa ni newtons. kwa mita (N*m).

- wingi wa vector

Kama ilivyoelezwa hapo juu, wakati M ni kweli vekta. Ili kufafanua kauli hii, fikiria takwimu nyingine.

Hapa tunaona lever ya urefu wa L, ambayo imewekwa kwa mhimili (iliyoonyeshwa na mshale). Nguvu F inatumika hadi mwisho wake kwa pembe Φ. Si vigumu kufikiria kwamba nguvu hii itasababisha lever kuongezeka. Fomula ya sasa katika umbo la vekta katika kesi hii itaandikwa kama ifuatavyo: M¯ = L¯*F¯, hapa upau ulio juu ya ishara unamaanisha kuwa kiasi kinachohusika ni vekta. Inapaswa kufafanuliwa kuwa L¯ inaelekezwa kutoka kwa mhimili wa mzunguko hadi hatua ya utumiaji wa nguvu F¯.

Usemi uliotolewa ni bidhaa mtambuka. Vekta yake itakayotokana (M¯) itaelekezwa moja kwa moja kwa ndege iliyoundwa na L¯ na F¯. Kuamua mwelekeo wa wakati M¯, kuna sheria kadhaa (mkono wa kulia, gimlet). Ili usizikumbuke na usichanganyike katika mpangilio wa kuzidisha vekta L¯ na F¯ (mwelekeo wa M¯ unategemea hiyo), unapaswa kukumbuka jambo moja rahisi: wakati wa nguvu utaelekezwa kwa vile. njia ambayo ikiangaliwa kutoka mwisho wa vekta yake, basi nguvu ya kaimu F ¯ itazungusha lever kinyume cha saa. Mwelekeo huu wa wakati huu unachukuliwa kwa kawaida kama chanya. Ikiwa mfumo unazunguka saa, basi wakati unaotokana na nguvu una thamani hasi.

Kwa hivyo, katika kesi inayozingatiwa na lever L, thamani ya M¯ inaelekezwa juu (kutoka kwa takwimu hadi kwa msomaji).

Katika muundo wa scalar, fomula ya muda itaandikwa kama: M = L*F*sin(180-Φ) au M = L*F*sin(Φ) (sin(180-Φ) = sin(Φ)) . Kwa mujibu wa ufafanuzi wa sine, tunaweza kuandika usawa: M = d * F, ambapo d = L* dhambi (Φ) (tazama takwimu na pembetatu inayofanana ya kulia). Fomula ya mwisho ni sawa na ile iliyotolewa katika aya iliyotangulia.

Hesabu zilizo hapo juu zinaonyesha jinsi ya kufanya kazi na vekta na thamani za torque ili kuzuia makosa.

Maana ya kimwili ya kiasi M¯

Kwa kuwa kesi mbili zilizojadiliwa katika aya zilizopita zinahusishwa na mwendo wa mzunguko, tunaweza kukisia nini maana ya wakati wa nguvu ni. Ikiwa nguvu inayofanya juu ya hatua ya nyenzo ni kipimo cha ongezeko la kasi ya harakati ya mstari wa mwisho, basi wakati wa nguvu ni kipimo cha uwezo wake wa mzunguko kuhusiana na mfumo unaozingatiwa.

Hebu tutoe mfano wazi. Mtu yeyote anafungua mlango kwa kushikilia mpini wake. Hii inaweza pia kufanywa kwa kusukuma mlango katika eneo la kushughulikia. Kwa nini mtu asiifungue kwa kuisukuma kwenye eneo la bawaba? Ni rahisi sana: karibu nguvu inatumiwa kwenye vidole, ni vigumu zaidi kufungua mlango, na kinyume chake. Hitimisho la sentensi iliyotangulia hufuata kutoka kwa fomula ya wakati huu (M = d*F), ambayo inaonyesha kuwa kwa M = const maadili ya d na F yanahusiana kinyume.

Wakati wa nguvu - wingi wa ziada

Katika visa vyote vilivyojadiliwa hapo juu, kulikuwa na nguvu moja tu inayofanya kazi. Wakati wa kutatua matatizo halisi, hali ni ngumu zaidi. Kwa kawaida, mifumo inayozunguka au iko katika usawa inakabiliwa na nguvu kadhaa za torsional, ambayo kila mmoja huunda wakati wake. Katika kesi hiyo, kutatua matatizo ni kupunguzwa kwa kutafuta wakati wa jumla wa nguvu kuhusiana na mhimili wa mzunguko.

Muda wote unapatikana na jumla ya kawaida ya muda wa mtu binafsi kwa kila nguvu, hata hivyo, kumbuka kutumia ishara sahihi kwa kila mmoja wao.

Mfano wa suluhisho la shida

Ili kuunganisha ujuzi uliopatikana, inapendekezwa kutatua tatizo lifuatalo: ni muhimu kuhesabu wakati wa jumla wa nguvu kwa mfumo ulioonyeshwa kwenye takwimu hapa chini.

Tunaona kwamba nguvu tatu (F1, F2, F3) hutenda kwenye lever 7 m kwa muda mrefu, na wana pointi tofauti za maombi kuhusiana na mhimili wa mzunguko. Kwa kuwa mwelekeo wa nguvu ni perpendicular kwa lever, hakuna haja ya kutumia kujieleza vector kwa wakati torsional. Unaweza kuhesabu jumla ya wakati M kwa kutumia formula ya scalar na bila kusahau kuweka ishara inayotaka. Kwa kuwa vikosi F1 na F3 huwa na mzunguko wa lever kinyume na saa, na F2 - saa, torque ya kwanza itakuwa chanya, na kwa pili - hasi. Tunayo: M = F1 * 7-F2 * 5 + F3 * 3 = 140-50 + 75 = 165 N * m. Hiyo ni, wakati wa jumla ni mzuri na unaelekezwa juu (kuelekea msomaji).

Ambayo ni sawa na bidhaa ya nguvu na bega lake.

Wakati wa nguvu huhesabiwa kwa kutumia formula:

Wapi F- nguvu, l- bega la nguvu.

Bega ya nguvu- hii ni umbali mfupi zaidi kutoka kwa mstari wa hatua ya nguvu hadi mhimili wa mzunguko wa mwili. Takwimu hapa chini inaonyesha mwili mgumu ambao unaweza kuzunguka mhimili. Mhimili wa mzunguko wa mwili huu ni sawa na ndege ya takwimu na hupitia hatua, ambayo imeteuliwa kama herufi O. Bega la nguvu. Ft hapa ni umbali l, kutoka kwa mhimili wa mzunguko hadi mstari wa hatua ya nguvu. Inafafanuliwa hivi. Hatua ya kwanza ni kuteka mstari wa hatua ya nguvu, kisha kutoka kwa hatua O, kwa njia ambayo mhimili wa mzunguko wa mwili hupita, chini ya perpendicular kwa mstari wa hatua ya nguvu. Urefu wa perpendicular hii inageuka kuwa mkono wa nguvu fulani.

Wakati wa nguvu ni sifa ya kitendo kinachozunguka cha nguvu. Kitendo hiki kinategemea nguvu na nguvu. Mkono mkubwa, nguvu ndogo lazima itumike ili kupata matokeo yaliyohitajika, yaani, wakati huo huo wa nguvu (angalia takwimu hapo juu). Ndio maana ni ngumu zaidi kufungua mlango kwa kuusukuma karibu na bawaba kuliko kushika mpini, na ni rahisi sana kufuta nati kwa muda mrefu kuliko kwa ufunguo mfupi.

Kitengo cha SI cha wakati wa nguvu kinachukuliwa kuwa wakati wa nguvu wa 1 N, mkono ambao ni sawa na 1 m - mita ya newton (N m).

Kanuni ya muda.

Mwili mgumu ambao unaweza kuzunguka mhimili uliowekwa uko katika usawa ikiwa ni wakati wa nguvu. M 1 kuzungusha mwendo wa saa ni sawa na wakati wa nguvu M 2 , ambayo huizungusha kinyume na saa:

Utawala wa wakati ni matokeo ya moja ya nadharia za mechanics, ambayo iliundwa na mwanasayansi wa Ufaransa P. Varignon mnamo 1687.

Wanandoa wa vikosi.

Ikiwa mwili unatekelezwa na vikosi 2 vilivyo sawa na vilivyoelekezwa kinyume ambavyo haviko kwenye mstari sawa, basi mwili kama huo hauko katika usawa, kwani wakati unaosababishwa wa nguvu hizi zinazohusiana na mhimili wowote sio sawa na sifuri, kwani. nguvu zote mbili zina muda ulioelekezwa katika mwelekeo mmoja. Nguvu mbili kama hizo zinazofanya kazi kwa wakati mmoja kwenye mwili zinaitwa vikosi kadhaa. Ikiwa mwili umewekwa kwenye mhimili, basi chini ya hatua ya jozi ya nguvu itazunguka. Ikiwa nguvu kadhaa zinatumika kwa mwili wa bure, basi itazunguka mhimili wake. kupita katikati ya mvuto wa mwili, takwimu b.

Wakati wa jozi ya nguvu ni sawa kuhusu mhimili wowote perpendicular kwa ndege ya jozi. Jumla ya muda M jozi daima ni sawa na bidhaa ya moja ya nguvu F kwa umbali l kati ya nguvu, ambayo inaitwa bega la wanandoa, haijalishi ni sehemu gani l, na inashiriki nafasi ya mhimili wa bega la jozi:

Wakati wa nguvu kadhaa, matokeo yake ni sifuri, itakuwa sawa na shoka zote zinazofanana, kwa hivyo hatua ya nguvu hizi zote kwenye mwili inaweza kubadilishwa na hatua ya jozi moja ya nguvu na sawa. dakika.