Pata thamani inayotarajiwa ya kigezo cha nasibu. Njia za kimsingi za matarajio ya hisabati

Thamani inayotarajiwa na utawanyiko - sifa za nambari zinazotumiwa zaidi kutofautiana nasibu. Wao huonyesha sifa muhimu zaidi za usambazaji: nafasi yake na kiwango cha kueneza. Katika matatizo mengi ya vitendo, sifa kamili, kamili ya kutofautiana kwa random - sheria ya usambazaji - haiwezi kupatikana kabisa, au haihitajiki kabisa. Katika matukio haya, moja ni mdogo kwa maelezo ya takriban ya kutofautiana kwa random kutumia sifa za nambari.

Thamani inayotarajiwa mara nyingi huitwa thamani ya wastani ya kigezo kisicho na mpangilio. Mtawanyiko wa kigeugeu bila mpangilio ni sifa ya mtawanyiko, uenezaji wa kigeugeu bila mpangilio karibu na matarajio yake ya kihisabati.

Matarajio ya tofauti tofauti ya nasibu

Hebu tufikie dhana ya matarajio ya hisabati, kwanza kulingana na tafsiri ya mitambo ya usambazaji wa kutofautiana kwa nasibu. Hebu misa ya kitengo isambazwe kati ya pointi za mhimili wa x x1 , x 2 , ..., x n, na kila nukta ya nyenzo ina misa inayolingana ya uk1 , uk 2 , ..., uk n. Inahitajika kuchagua hatua moja kwenye mhimili wa abscissa, unaoonyesha nafasi ya mfumo mzima pointi za nyenzo, kwa kuzingatia umati wao. Ni kawaida kuchukua katikati ya misa ya mfumo wa vidokezo vya nyenzo kama hatua kama hiyo. Huu ni wastani wa uzani wa tofauti ya nasibu X, ambayo abscissa ya kila hatua xi huingia na "uzito" sawa na uwezekano unaofanana. Thamani ya wastani ya utofauti wa nasibu uliopatikana kwa njia hii X inaitwa matarajio yake ya hisabati.

Matarajio ya hisabati ya kutofautisha bila mpangilio ni jumla ya bidhaa za maadili yake yote na uwezekano wa maadili haya:

Mfano 1. Bahati nasibu ya kushinda-kushinda imeandaliwa. Kuna ushindi 1000, ambao 400 ni rubles 10. 300 - 20 rubles kila mmoja. 200 - 100 rubles kila mmoja. na rubles 100 - 200 kila mmoja. Nini ukubwa wa wastani ushindi kwa wale walionunua tikiti moja?

Suluhisho. Tunapata malipo ya wastani ikiwa Jumla ushindi, ambayo ni sawa na 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50,000 rubles, ugawanye na 1000 (jumla ya kiasi cha ushindi). Kisha tunapata 50000/1000 = 50 rubles. Lakini usemi wa kuhesabu ushindi wa wastani unaweza kuwasilishwa kwa fomu ifuatayo:

Kwa upande mwingine, katika hali hizi, kiasi cha kushinda ni tofauti ya random, ambayo inaweza kuchukua maadili ya 10, 20, 100 na 200 rubles. na uwezekano sawa na 0.4, kwa mtiririko huo; 0.3; 0.2; 0.1. Kwa hiyo, malipo ya wastani yanayotarajiwa sawa na jumla bidhaa za saizi ya ushindi na uwezekano wa kuzipokea.

Mfano 2. Mchapishaji aliamua kuchapisha kitabu kipya. Anapanga kuuza kitabu kwa rubles 280, ambayo yeye mwenyewe atapata 200, 50 - duka la vitabu na 30 - mwandishi. Jedwali linatoa habari kuhusu gharama za kuchapisha kitabu na uwezekano wa kuuza idadi fulani ya nakala za kitabu.

Tafuta faida inayotarajiwa ya mchapishaji.

Suluhisho. Tofauti ya nasibu ya "faida" ni sawa na tofauti kati ya mapato kutoka kwa mauzo na gharama ya gharama. Kwa mfano, ikiwa nakala 500 za kitabu zinauzwa, basi mapato kutoka kwa uuzaji ni 200 * 500 = 100,000, na gharama ya uchapishaji ni rubles 225,000. Kwa hivyo, mchapishaji anakabiliwa na hasara ya rubles 125,000. Jedwali lifuatalo linatoa muhtasari wa maadili yanayotarajiwa ya kutofautisha bila mpangilio - faida:

Nambari	Faida xi	Uwezekano uki	xi uk i
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Jumla:		1,00	25000

Kwa hivyo, tunapata matarajio ya hisabati ya faida ya mchapishaji:

Mfano 3. Uwezekano wa kupiga kwa risasi moja uk= 0.2. Amua matumizi ya projectiles ambayo hutoa matarajio ya hisabati ya idadi ya hits sawa na 5.

Suluhisho. Kutoka kwa fomula ile ile ya matarajio ya hisabati ambayo tumetumia hadi sasa, tunaelezea x- matumizi ya ganda:

Mfano 4. Amua matarajio ya hisabati ya utofauti wa nasibu x idadi ya vibao vilivyo na mikwaju mitatu, ikiwa kuna uwezekano wa kupigwa kwa kila risasi uk = 0,4 .

Kidokezo: pata uwezekano wa maadili tofauti bila mpangilio kwa Fomula ya Bernoulli .

Tabia za matarajio ya hisabati

Hebu fikiria mali ya matarajio ya hisabati.

Mali 1. Matarajio ya hisabati ya thamani ya mara kwa mara ni sawa na hii mara kwa mara:

Mali 2. Sababu ya mara kwa mara inaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya matarajio ya hisabati:

Mali 3. Matarajio ya hisabati ya jumla (tofauti) ya anuwai za nasibu ni sawa na jumla (tofauti) ya matarajio yao ya hisabati:

Mali 4. Matarajio ya hisabati ya bidhaa ya anuwai ya nasibu ni sawa na matokeo ya matarajio yao ya hisabati:

Mali 5. Ikiwa maadili yote ya mabadiliko ya nasibu X kupungua (kuongezeka) kwa idadi sawa NA, basi matarajio yake ya kihesabu yatapungua (kuongezeka) kwa idadi sawa:

Wakati huwezi kujiwekea kikomo tu kwa matarajio ya hisabati

Katika hali nyingi, matarajio ya kihisabati pekee hayawezi kutofautisha vya kutosha.

Wacha vibadilishio bila mpangilio X Na Y zinatolewa na sheria zifuatazo za usambazaji:

Maana X	Uwezekano
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Maana Y	Uwezekano
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Matarajio ya hisabati ya idadi hii ni sawa - sawa na sifuri:

Walakini, mifumo yao ya usambazaji ni tofauti. Thamani ya nasibu X inaweza tu kuchukua maadili ambayo yanatofautiana kidogo na matarajio ya hisabati, na utofauti wa nasibu Y inaweza kuchukua maadili ambayo yanapotoka kwa kiasi kikubwa kutoka kwa matarajio ya hisabati. Mfano sawa: mshahara wa wastani haufanyi iwezekanavyo kuhukumu mvuto maalum wafanyikazi wa juu na wa chini. Kwa maneno mengine, mtu hawezi kuhukumu kutokana na matarajio ya hisabati ni kupotoka gani kutoka kwake, angalau kwa wastani, kunawezekana. Ili kufanya hivyo, unahitaji kupata tofauti ya kutofautiana kwa random.

Tofauti ya kigeu tofauti cha nasibu

Tofauti tofauti tofauti bila mpangilio X inaitwa matarajio ya hisabati ya mraba wa kupotoka kwake kutoka kwa matarajio ya hisabati:

Mkengeuko wa kawaida wa kigeu cha nasibu X kuitwa thamani ya hesabu mzizi wa mraba wa tofauti yake:

Mfano 5. Kokotoa tofauti na mikengeuko ya kawaida ya vigeu vya nasibu X Na Y, sheria za usambazaji ambazo zimetolewa katika majedwali hapo juu.

Suluhisho. Matarajio ya hisabati ya anuwai za nasibu X Na Y, kama inavyopatikana hapo juu, ni sawa na sifuri. Kulingana na fomula ya utawanyiko katika E(X)=E(y)=0 tunapata:

Kisha mikengeuko ya kawaida ya vigeu vya nasibu X Na Y make up

Kwa hivyo, kwa matarajio sawa ya hisabati, tofauti ya kutofautiana kwa nasibu X ndogo sana, lakini variable random Y- muhimu. Hii ni matokeo ya tofauti katika usambazaji wao.

Mfano 6. Mwekezaji ana miradi 4 mbadala ya uwekezaji. Jedwali linatoa muhtasari wa faida inayotarajiwa katika miradi hii na uwezekano unaolingana.

Mradi 1	Mradi 2	Mradi 3	Mradi 4
500, P=1	1000, P=0,5	500, P=0,5	500, P=0,5
	0, P=0,5	1000, P=0,25	10500, P=0,25
		0, P=0,25	9500, P=0,25

Tafuta matarajio ya hisabati, tofauti na mkengeuko wa kawaida kwa kila mbadala.

Suluhisho. Wacha tuonyeshe jinsi maadili haya yanavyohesabiwa kwa mbadala ya 3:

Jedwali linatoa muhtasari wa maadili yaliyopatikana kwa njia mbadala zote.

Njia mbadala zote zina matarajio sawa ya hisabati. Hii ina maana kwamba kwa muda mrefu kila mtu ana mapato sawa. Mkengeuko wa kawaida unaweza kufasiriwa kama kipimo cha hatari - kadri inavyokuwa juu, ndivyo hatari ya uwekezaji inavyoongezeka. Mwekezaji ambaye hataki hatari nyingi atachagua mradi 1 kwa kuwa una mchepuko mdogo kabisa wa kawaida (0). Ikiwa mwekezaji anapendelea hatari na faida kubwa kwa muda mfupi, basi atachagua mradi na kubwa zaidi kupotoka kwa kawaida- mradi 4.

Tabia za mtawanyiko

Wacha tuwasilishe mali ya utawanyiko.

Mali 1. Utawanyiko thamani ya kudumu sawa na sifuri:

Mali 2. Sababu ya mara kwa mara inaweza kutolewa nje ya ishara ya utawanyiko kwa kuipiga:

Mali 3. Tofauti ya kigezo cha nasibu ni sawa na matarajio ya hisabati ya mraba wa thamani hii, ambapo mraba wa matarajio ya hisabati ya thamani yenyewe imetolewa:

Wapi .

Mali 4. Tofauti ya jumla (tofauti) ya anuwai za nasibu ni sawa na jumla (tofauti) ya tofauti zao:

Mfano 7. Inajulikana kuwa tofauti ya nasibu isiyo na maana X inachukua tu maadili mawili: -3 na 7. Kwa kuongeza, matarajio ya hisabati yanajulikana: E(X) = 4 . Pata utofauti wa kigeu tofauti cha nasibu.

Suluhisho. Wacha tuonyeshe kwa uk uwezekano ambao ubadilishaji nasibu huchukua thamani x1 = −3 . Kisha uwezekano wa thamani x2 = 7 itakuwa 1 - uk. Wacha tupate equation ya matarajio ya hisabati:

E(X) = x 1 uk + x 2 (1 − uk) = −3uk + 7(1 − uk) = 4 ,

ambapo tunapata uwezekano: uk= 0.3 na 1 - uk = 0,7 .

Sheria ya usambazaji wa kibadilishaji nasibu:

X	−3	7
uk	0,3	0,7

Tunahesabu utofauti wa utaftaji huu wa nasibu kwa kutumia fomula kutoka kwa mali ya 3 ya utawanyiko:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Pata matarajio ya kihesabu ya kutofautisha bila mpangilio mwenyewe, na kisha uangalie suluhisho

Mfano 8. Tofauti tofauti bila mpangilio X inachukua maadili mawili tu. Inakubali thamani kubwa zaidi ya 3 na uwezekano 0.4. Kwa kuongeza, tofauti ya kutofautiana kwa random inajulikana D(X) = 6 . Pata matarajio ya kihisabati ya kigezo cha nasibu.

Mfano 9. Kuna mipira 6 nyeupe na 4 nyeusi kwenye mkojo. Mipira 3 hutolewa kutoka kwenye mkojo. Idadi ya mipira nyeupe kati ya mipira inayotolewa ni tofauti isiyo ya kawaida X. Pata matarajio ya hisabati na tofauti za kigeu hiki cha nasibu.

Suluhisho. Thamani ya nasibu X inaweza kuchukua maadili 0, 1, 2, 3. Uwezekano unaolingana unaweza kuhesabiwa kutoka kanuni ya kuzidisha uwezekano. Sheria ya usambazaji wa kibadilishaji nasibu:

X	0	1	2	3
uk	1/30	3/10	1/2	1/6

Kwa hivyo matarajio ya kihesabu ya utofauti huu wa nasibu:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Tofauti ya kigezo fulani cha nasibu ni:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Matarajio na tofauti ya tofauti inayoendelea ya nasibu

Kwa utofauti unaoendelea wa nasibu, tafsiri ya kimakanika ya matarajio ya hisabati itabaki na maana sawa: katikati ya misa kwa misa inayosambazwa kwa mfululizo kwenye mhimili wa x wenye msongamano. f(x) Tofauti na tofauti tofauti isiyo ya kawaida, ambayo hoja yake ya utendaji kazi xi mabadiliko ya ghafla; kwa kutofautiana kwa nasibu, hoja hubadilika mfululizo. Lakini matarajio ya hisabati ya kutofautiana kwa nasibu inayoendelea pia yanahusiana na thamani yake ya wastani.

Ili kupata matarajio ya hisabati na tofauti ya utofauti unaoendelea wa nasibu, unahitaji kupata viambajengo dhahiri. . Ikiwa kazi ya wiani ya kutofautiana kwa random inayoendelea inatolewa, basi inaingia moja kwa moja kwenye integrand. Ikiwa kazi ya usambazaji wa uwezekano hutolewa, basi kwa kuitofautisha, unahitaji kupata kazi ya wiani.

Wastani wa hesabu wa maadili yote yanayowezekana ya kutofautisha kwa nasibu inayoendelea inaitwa yake matarajio ya hisabati, iliyoashiriwa na au .

Suluhisho:

6.1.2 Sifa za matarajio ya hisabati

1. Matarajio ya hisabati ya thamani ya mara kwa mara ni sawa na mara kwa mara yenyewe.

2. Sababu ya mara kwa mara inaweza kuchukuliwa kama ishara ya matarajio ya hisabati.

3. Matarajio ya hisabati ya bidhaa ya vigezo viwili vya kujitegemea vya random ni sawa na bidhaa ya matarajio yao ya hisabati.

Sifa hii ni kweli kwa idadi ya kiholela ya vigeu vya nasibu.

4. Matarajio ya hisabati ya jumla ya vigezo viwili vya random ni sawa na jumla ya matarajio ya hisabati ya masharti.

Sifa hii pia ni kweli kwa idadi ya kiholela ya anuwai za nasibu.

Mfano: M(X) = 5, M(Y)= 2. Pata matarajio ya hisabati ya kutofautiana kwa nasibu Z, kutumia mali ya matarajio ya hisabati, ikiwa inajulikana kuwa Z=2X+3Y.

Suluhisho: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =

1) matarajio ya hisabati ya jumla ni sawa na jumla ya matarajio ya hisabati

2) sababu ya mara kwa mara inaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya matarajio ya hisabati

Hebu n majaribio huru yafanywe, uwezekano wa kutokea kwa tukio A ambalo ni sawa na uk. Kisha nadharia ifuatayo inashikilia:

Nadharia. Matarajio ya hisabati M(X) ya idadi ya matukio ya tukio A katika n vipimo vya kujitegemea ni sawa na bidhaa ya idadi ya majaribio na uwezekano wa tukio kutokea katika kila jaribio.

6.1.3 Mtawanyiko wa kigeu tofauti cha nasibu

Matarajio ya hisabati hayawezi kubainisha kikamilifu mchakato wa nasibu. Mbali na matarajio ya hisabati, ni muhimu kuingiza thamani ambayo ni sifa ya kupotoka kwa maadili ya kutofautiana kwa nasibu kutoka kwa matarajio ya hisabati.

Mkengeuko huu ni sawa na tofauti kati ya kutofautiana nasibu na matarajio yake ya hisabati. Katika kesi hii, matarajio ya hisabati ya kupotoka ni sifuri. Hii inafafanuliwa na ukweli kwamba baadhi ya upungufu iwezekanavyo ni chanya, wengine ni hasi, na kutokana na kufuta kwao kwa pamoja, sifuri hupatikana.

Kutawanyika (kutawanyika) ya tofauti tofauti nasibu ni matarajio ya kihisabati ya mkengeuko wa mraba wa kigezo nasibu kutoka kwa matarajio yake ya kihisabati.

Juu ya mazoezi njia sawa kuhesabu tofauti haifai, kwa sababu inaongoza kwa mahesabu magumu kwa idadi kubwa ya maadili tofauti ya nasibu.

Kwa hiyo, njia nyingine hutumiwa.

Nadharia. Tofauti ni sawa na tofauti kati ya matarajio ya hisabati ya mraba ya mabadiliko ya nasibu X na mraba wa matarajio yake ya hisabati..

Ushahidi. Kwa kuzingatia ukweli kwamba matarajio ya hisabati M(X) na mraba wa matarajio ya hisabati M2(X) ni idadi ya mara kwa mara, tunaweza kuandika:

Mfano. Pata utofauti wa kigezo tofauti cha nasibu kilichotolewa na sheria ya usambazaji.

X
X 2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

Suluhisho:.

6.1.4 Sifa za mtawanyiko

1. Tofauti ya thamani ya mara kwa mara ni sifuri. .

2. Sababu ya mara kwa mara inaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya utawanyiko kwa kuipiga. .

3. Tofauti ya jumla ya vigezo viwili huru vya nasibu ni sawa na jumla ya tofauti za vigezo hivi. .

4. Tofauti ya tofauti kati ya vigezo viwili huru vya nasibu ni sawa na jumla ya tofauti za vigezo hivi. .

Nadharia. Tofauti ya idadi ya matukio ya tukio A katika majaribio ya n huru, ambayo kila uwezekano wa p wa tukio ni mara kwa mara, ni sawa na matokeo ya idadi ya majaribio kwa uwezekano wa kutokea na kutokuwepo. tukio la tukio katika kila jaribio.

Mfano: Tafuta tofauti ya DSV X - idadi ya matukio ya tukio A katika majaribio 2 huru, ikiwa uwezekano wa kutokea kwa tukio katika majaribio haya ni sawa na inajulikana kuwa M(X) = 1.2.

Wacha tutumie nadharia kutoka kwa sehemu ya 6.1.2:

M(X) = np

M(X) = 1,2; n= 2. Hebu tupate uk:

1,2 = 2∙uk

uk = 1,2/2

q = 1 – uk = 1 – 0,6 = 0,4

Wacha tupate tofauti kwa kutumia formula:

D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48

6.1.5 Wastani kupotoka kwa kawaida tofauti tofauti bila mpangilio

Mkengeuko wa kawaida kutofautiana nasibu X inaitwa mzizi wa mraba wa tofauti.

(25)

Nadharia. Wastani kupotoka kwa kawaida kiasi nambari ya mwisho Vigezo vya nasibu vinavyojitegemea ni sawa na kipeo kutoka kwa jumla ya miraba ya mikengeuko ya kawaida ya idadi hizi.

6.1.6 Hali na wastani wa kigeu kisicho na mpangilio maalum

Mtindo M o DSV thamani inayowezekana zaidi ya kutofautisha bila mpangilio inaitwa (yaani thamani ambayo ina uwezekano mkubwa zaidi)

Wastani wa M e DSV ni thamani ya kigezo cha nasibu ambacho kinagawanya mfululizo wa usambazaji kwa nusu. Ikiwa idadi ya maadili ya tofauti ya nasibu ni sawa, basi wastani hupatikana kama maana ya hesabu ya maadili mawili ya wastani.

Mfano: Tafuta hali na wastani wa DSV X:

X
uk	0.2	0.3	0.1	0.4

M e = = 5,5

Maendeleo

1. Jitambulishe na sehemu ya kinadharia ya kazi hii (mihadhara, kitabu cha maandishi).

2. Kamilisha kazi kulingana na toleo lako mwenyewe.

3. Toa ripoti juu ya kazi.

4. Linda kazi yako.

2. Kusudi la kazi.

3. Maendeleo ya kazi.

4. Kutatua chaguo lako mwenyewe.

6.4 Chaguzi za kazi za kazi ya kujitegemea

Chaguo #1

1. Pata matarajio ya hisabati, mtawanyiko, mkengeuko wa kawaida, hali na wastani wa DSV X, iliyotolewa na sheria ya usambazaji.

X
P	0.1	0.6	0.2	0.1

2. Pata matarajio ya hisabati ya mabadiliko ya nasibu Z ikiwa matarajio ya hisabati ya X na Y yanajulikana: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.

3. Tafuta tofauti ya DSV X - idadi ya matukio ya tukio A katika majaribio mawili huru, ikiwa uwezekano wa kutokea kwa matukio katika majaribio haya ni sawa na inajulikana kuwa M (X) = 1.

4. Orodha ya thamani zinazowezekana za kigezo cha nasibu cha kipekee kinatolewa X: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3

Chaguo nambari 2

X
P	0.3	0.1	0.2	0.4

2. Pata matarajio ya hisabati ya mabadiliko ya nasibu Z ikiwa matarajio ya hisabati ya X na Y yanajulikana: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.

3. Pata tofauti ya DSV X - idadi ya matukio ya tukio A katika majaribio matatu ya kujitegemea, ikiwa uwezekano wa kutokea kwa matukio katika majaribio haya ni sawa na inajulikana kuwa M (X) = 0.9.

x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 4, x 4= 10, na matarajio ya hisabati ya thamani hii na mraba wake pia yanajulikana: , . Tafuta uwezekano , , , unaolingana na thamani zinazowezekana za , , na utengeneze sheria ya usambazaji ya DSV.

Chaguo #3

1. Tafuta matarajio ya hisabati, mtawanyiko na mkengeuko wa kawaida wa DSV X, unaotolewa na sheria ya usambazaji.

X
P	0.5	0.1	0.2	0.3

2. Pata matarajio ya hisabati ya mabadiliko ya nasibu Z ikiwa matarajio ya hisabati ya X na Y yanajulikana: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.

3. Pata tofauti ya DSV X - idadi ya matukio ya tukio A katika majaribio manne ya kujitegemea, ikiwa uwezekano wa kutokea kwa matukio katika majaribio haya ni sawa na inajulikana kuwa M (x) = 1.2.

4. Orodha ya maadili yanayowezekana ya tofauti isiyo ya kawaida ya X imetolewa: x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4= 5, na matarajio ya hisabati ya thamani hii na mraba wake pia yanajulikana: ,. Tafuta uwezekano , , , unaolingana na thamani zinazowezekana za , , na utengeneze sheria ya usambazaji ya DSV.

Chaguo namba 4

1. Tafuta matarajio ya hisabati, mtawanyiko na mkengeuko wa kawaida wa DSV X, unaotolewa na sheria ya usambazaji.

Kila thamani ya mtu binafsi imebainishwa kabisa na chaguo za kukokotoa za usambazaji. Pia, ili kutatua matatizo ya vitendo, inatosha kujua sifa kadhaa za nambari, shukrani ambayo inakuwa inawezekana kuwasilisha sifa kuu za kutofautiana kwa random kwa fomu fupi.

Kiasi hiki ni pamoja na kimsingi thamani inayotarajiwa Na utawanyiko .

Thamani inayotarajiwa— thamani ya wastani ya kigezo cha nasibu katika nadharia ya uwezekano. Imebainishwa kama.

wengi kwa njia rahisi matarajio ya hisabati ya kutofautiana nasibu X(w), tafuta jinsi muhimuLebesgue kuhusiana na kipimo cha uwezekano R asili nafasi ya uwezekano

Unaweza pia kupata matarajio ya hisabati ya thamani kama Lebesgue muhimu kutoka X kwa usambazaji wa uwezekano R X kiasi X:

iko wapi seti ya maadili yote yanayowezekana X.

Matarajio ya kihisabati ya chaguo za kukokotoa kutoka kwa kigezo cha nasibu X kupatikana kwa njia ya usambazaji R X. Kwa mfano, Kama X- kutofautisha bila mpangilio na maadili ndani na f(x)- isiyo na utata ya Borelkazi X , Hiyo:

Kama F(x)- kitendakazi cha usambazaji X, basi matarajio ya hisabati yanawakilishwa muhimuLebesgue - Stieltjes (au Riemann - Stieltjes):

katika kesi hii ushirikiano X Kwa upande wa ( * ) inalingana na ukomo wa kiunganishi

Katika hali maalum, ikiwa X Ina usambazaji tofauti na maadili yanayowezekana x k, k=1, 2, . , na uwezekano, basi

Kama X ina kabisa usambazaji unaoendelea na wiani wa uwezekano p(x), Hiyo

katika kesi hii, kuwepo kwa matarajio ya hisabati ni sawa na muunganiko kamili wa mfululizo sambamba au muhimu.

Sifa za matarajio ya hisabati ya tofauti nasibu.

Matarajio ya hisabati ya thamani ya kudumu ni sawa na thamani hii:

C- mara kwa mara;

M=C.M[X]

Matarajio ya hisabati ya jumla ya maadili yaliyochukuliwa kwa nasibu ni sawa na jumla ya matarajio yao ya hisabati:

Matarajio ya hisabati ya bidhaa ya vigeu vinavyojitegemea vilivyochukuliwa bila mpangilio = bidhaa ya matarajio yao ya kihisabati:

M=M[X]+M[Y]

Kama X Na Y kujitegemea.

ikiwa mfululizo unakutana:

Algorithm ya kuhesabu matarajio ya hisabati.

Sifa za anuwai tofauti za nasibu: maadili yao yote yanaweza kuhesabiwa tena nambari za asili; patia kila thamani uwezekano usio na sufuri.

1. Zidisha jozi moja baada ya nyingine: Xi juu p i.

2. Ongeza bidhaa ya kila jozi x i p i.

Kwa mfano, Kwa n = 4 :

Chaguo za kukokotoa za ugawaji wa kigezo tofauti cha nasibu hatua kwa hatua, inaongezeka kwa ghafla katika pointi hizo ambazo uwezekano wake una ishara nzuri.

Mfano: Pata matarajio ya hisabati kwa kutumia fomula.

Dhana ya matarajio ya hisabati inaweza kuzingatiwa kwa kutumia mfano wa kutupa kufa. Kwa kila kutupa, pointi zilizoshuka zinarekodiwa. Ili kuzielezea, maadili ya asili katika safu 1 - 6 hutumiwa.

Baada ya idadi fulani ya kutupa, kwa kutumia mahesabu rahisi, unaweza kupata wastani wa hesabu ya pointi zilizopigwa.

Kama vile kutokea kwa thamani yoyote katika safu, thamani hii itakuwa ya nasibu.

Je, ikiwa unaongeza idadi ya kutupa mara kadhaa? Katika kiasi kikubwa hutupa, wastani wa hesabu wa pointi utakaribia nambari maalum, ambayo katika nadharia ya uwezekano inaitwa matarajio ya hisabati.

Kwa hivyo, kwa matarajio ya hisabati tunamaanisha thamani ya wastani ya kutofautisha bila mpangilio. Kiashiria hiki kinaweza pia kuwasilishwa kama jumla ya uzani wa thamani zinazowezekana.

Dhana hii ina visawe kadhaa:

thamani ya wastani;
thamani ya wastani;
kiashiria cha mwelekeo wa kati;
dakika ya kwanza.

Kwa maneno mengine, sio zaidi ya nambari ambayo maadili ya kutofautisha bila mpangilio husambazwa.

KATIKA nyanja mbalimbali shughuli za binadamu mbinu za kuelewa matarajio ya hisabati zitakuwa tofauti kwa kiasi fulani.

Inaweza kuzingatiwa kama:

faida ya wastani inayopatikana kutokana na kufanya uamuzi, wakati uamuzi huo unazingatiwa kutoka kwa mtazamo wa nadharia ya idadi kubwa;
kiasi kinachowezekana cha kushinda au kupoteza (nadharia kamari), iliyohesabiwa kwa wastani kwa kila dau. Katika misimu, zinasikika kama "faida ya mchezaji" (chanya kwa mchezaji) au "faida ya kasino" (hasi kwa mchezaji);
asilimia ya faida iliyopokelewa kutoka kwa ushindi.

Matarajio sio lazima kwa anuwai zote za nasibu. Haipo kwa wale ambao wana tofauti katika jumla inayolingana au muhimu.

Tabia za matarajio ya hisabati

Kama parameta yoyote ya takwimu, matarajio ya kihesabu yana sifa zifuatazo:

Njia za kimsingi za matarajio ya hisabati

Hesabu ya matarajio ya hisabati inaweza kufanywa kwa viambatisho nasibu vinavyobainishwa na mwendelezo (fomula A) na uwazi (fomula B):

M(X)=∑i=1nxi⋅pi, ambapo xi ni maadili ya tofauti isiyo ya kawaida, pi ni uwezekano:
M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, ambapo f(x) ni msongamano uliotolewa.

Mifano ya kuhesabu matarajio ya hisabati

Mfano A.

Inawezekana kujua urefu wa wastani wa vibete kwenye hadithi ya hadithi kuhusu Snow White. Inajulikana kuwa kila dwarves 7 alikuwa na urefu fulani: 1.25; 0.98; 1.05; 0.71; 0.56; 0.95 na 0.81 m.

Algorithm ya kuhesabu ni rahisi sana:

tunapata jumla ya maadili yote ya kiashiria cha ukuaji (kutofautisha kwa nasibu):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
Gawanya kiasi kinachosababishwa na idadi ya gnomes:
6,31:7=0,90.

Kwa hiyo, urefu wa wastani wa gnomes katika hadithi ya hadithi ni 90 cm Kwa maneno mengine, hii ni matarajio ya hisabati ya ukuaji wa gnomes.

Fomula ya kufanya kazi - M(x)=4 0.2+6 0.3+10 0.5=6

Utekelezaji wa vitendo wa matarajio ya hisabati

Kuelekea hesabu kiashiria cha takwimu matarajio ya hisabati hutumiwa katika nyanja mbalimbali shughuli za vitendo. Kwanza kabisa tunazungumzia kuhusu nyanja ya kibiashara. Baada ya yote, utangulizi wa Huygens wa kiashiria hiki unahusishwa na kuamua nafasi ambazo zinaweza kuwa nzuri, au, kinyume chake, zisizofaa, kwa tukio fulani.

Kigezo hiki kinatumika sana kutathmini hatari, haswa linapokuja suala la uwekezaji wa kifedha.
Kwa hivyo, katika biashara, hesabu ya matarajio ya hisabati hufanya kama njia ya kutathmini hatari wakati wa kuhesabu bei.

Kiashiria hiki kinaweza pia kutumika kuhesabu ufanisi wa hatua fulani, kwa mfano, ulinzi wa kazi. Shukrani kwa hilo, unaweza kuhesabu uwezekano wa tukio kutokea.

Sehemu nyingine ya matumizi ya paramu hii ni usimamizi. Inaweza pia kuhesabiwa wakati wa udhibiti wa ubora wa bidhaa. Kwa mfano, kwa kutumia mkeka. matarajio yanaweza kuhesabiwa wingi iwezekanavyo uzalishaji wa sehemu zenye kasoro.

Matarajio ya hisabati pia yanageuka kuwa yasiyoweza kubadilishwa wakati wa kutekeleza usindikaji wa takwimu iliyopokelewa wakati utafiti wa kisayansi matokeo. Inakuruhusu kuhesabu uwezekano wa matokeo unayotaka au yasiyofaa ya jaribio au utafiti kulingana na kiwango cha mafanikio ya lengo. Baada ya yote, mafanikio yake yanaweza kuhusishwa na faida na faida, na kushindwa kwake kunaweza kuhusishwa na hasara au hasara.

Kutumia matarajio ya hisabati katika Forex

Matumizi ya vitendo ya parameter hii ya takwimu inawezekana wakati wa kufanya shughuli kwenye soko la fedha za kigeni. Kwa msaada wake, unaweza kuchambua mafanikio ya shughuli za biashara. Aidha, ongezeko la thamani ya matarajio inaonyesha ongezeko la mafanikio yao.

Pia ni muhimu kukumbuka kwamba matarajio ya hisabati haipaswi kuchukuliwa kuwa kigezo pekee cha takwimu kinachotumiwa kuchanganua utendaji wa mfanyabiashara. Matumizi ya vigezo kadhaa vya takwimu pamoja na thamani ya wastani huongeza usahihi wa uchanganuzi kwa kiasi kikubwa.

Kigezo hiki kimejidhihirisha vizuri katika uchunguzi wa ufuatiliaji wa akaunti za biashara. Shukrani kwa hilo, tathmini ya haraka ya kazi iliyofanywa kwenye akaunti ya amana inafanywa. Katika hali ambapo shughuli ya mfanyabiashara inafanikiwa na anaepuka hasara, haipendekezi kutumia pekee hesabu ya matarajio ya hisabati. Katika kesi hizi, hatari hazizingatiwi, ambayo hupunguza ufanisi wa uchambuzi.

Tafiti zilizofanywa za mbinu za wafanyabiashara zinaonyesha kuwa:

Mbinu za ufanisi zaidi ni zile zinazotokana na kuingia bila mpangilio;
Ufanisi mdogo zaidi ni mbinu kulingana na pembejeo zilizopangwa.

Katika kufikia matokeo chanya, sio muhimu zaidi ni:

mbinu za usimamizi wa fedha;
mikakati ya kuondoka.

Kutumia kiashiria kama vile matarajio ya hisabati, unaweza kutabiri faida au hasara itakuwa nini wakati wa kuwekeza dola 1. Inajulikana kuwa kiashiria hiki, kilichohesabiwa kwa michezo yote inayofanywa kwenye kasino, kinafaa kuanzishwa. Hii ndio hukuruhusu kupata pesa. Katika kesi ya mfululizo mrefu wa michezo, uwezekano wa mteja kupoteza pesa huongezeka kwa kiasi kikubwa.

Michezo inayochezwa na wachezaji wa kitaalamu hupunguzwa kwa muda mfupi, ambayo huongeza uwezekano wa kushinda na kupunguza hatari ya kupoteza. Mfano huo unazingatiwa wakati wa kufanya shughuli za uwekezaji.

Mwekezaji anaweza kupata kiasi kikubwa kwa matarajio chanya na utekelezaji. kiasi kikubwa shughuli za muda mfupi.

Matarajio yanaweza kuzingatiwa kama tofauti kati ya asilimia ya faida (PW) inayozidishwa na faida ya wastani (AW) na uwezekano wa hasara (PL) unaozidishwa na hasara ya wastani (AL).

Kwa mfano, tunaweza kuzingatia yafuatayo: nafasi - dola elfu 12.5, kwingineko - dola elfu 100, hatari ya amana - 1%. Faida ya shughuli ni 40% ya kesi na faida ya wastani ya 20%. Katika kesi ya kupoteza, hasara ya wastani ni 5%. Kuhesabu matarajio ya hisabati kwa muamala hutoa thamani ya $625.

Matarajio ya hisabati ni thamani ya wastani ya kigezo cha nasibu.

Matarajio ya hisabati ya kutofautisha bila mpangilio ni jumla ya bidhaa za maadili yake yote na uwezekano wao:

Mfano.

X -4 6 10
р 0.2 0.3 0.5

Suluhisho: Matarajio ya hisabati ni sawa na jumla ya bidhaa za maadili yote yanayowezekana ya X na uwezekano wao:

M (X) = 4*0.2 + 6*0.3 +10*0.5 = 6.

Ili kuhesabu matarajio ya hisabati, ni rahisi kufanya mahesabu katika Excel (haswa wakati kuna data nyingi), tunapendekeza kutumia. template tayari ().

Mfano kwa uamuzi wa kujitegemea(unaweza kutumia calculator).
Pata matarajio ya kihesabu ya tofauti isiyo ya kawaida ya X iliyotolewa na sheria ya usambazaji:

X 0.21 0.54 0.61
р 0.1 0.5 0.4

Matarajio ya hisabati yana sifa zifuatazo.

Mali 1. Matarajio ya hisabati ya thamani ya mara kwa mara ni sawa na mara kwa mara yenyewe: M(C)=C.

Mali 2. Kipengele kisichobadilika kinaweza kuchukuliwa kama ishara ya matarajio ya hisabati: M(CX)=CM(X).

Mali 3. Matarajio ya hisabati ya bidhaa ya vigezo vya random vya kujitegemea ni sawa na bidhaa ya matarajio ya hisabati ya mambo: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)*. ..*M (Xn)

Mali 4. Matarajio ya hisabati ya jumla ya vigeu vya nasibu ni sawa na jumla ya matarajio ya hisabati ya masharti: M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +M(Xn).

Tatizo 189. Pata matarajio ya hisabati ya kutofautiana kwa random Z ikiwa matarajio ya hisabati ya X na Y yanajulikana: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

Suluhisho: Kwa kutumia sifa za matarajio ya hisabati (matarajio ya hisabati ya jumla ni sawa na jumla ya matarajio ya hisabati ya masharti; sababu ya mara kwa mara inaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya matarajio ya hisabati), tunapata M(Z). )=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.

190. Kwa kutumia sifa za matarajio ya hisabati, thibitisha kwamba: a) M(X - Y) = M(X) - M (Y); b) matarajio ya hisabati ya kupotoka kwa X-M(X) ni sawa na sifuri.

191. Tofauti ya nasibu ya X inachukua maadili matatu iwezekanavyo: x1= 4 Kwa uwezekano p1 = 0.5; xЗ = 6 Kwa uwezekano P2 = 0.3 na x3 na uwezekano p3. Tafuta: x3 na p3, ukijua kuwa M(X)=8.

192. Orodha ya maadili yanayowezekana ya tofauti isiyo ya kawaida ya X inatolewa: x1 = -1, x2 = 0, x3= 1 matarajio ya hisabati ya thamani hii na mraba wake pia inajulikana: M (X) = 0.1 , M(X^2) = 0 ,9. Pata uwezekano p1, p2, p3 unaolingana na maadili yanayowezekana ya xi

194. Kundi la sehemu 10 lina sehemu tatu zisizo za kawaida. Sehemu mbili zilichaguliwa kwa nasibu. Pata matarajio ya hisabati ya tofauti ya nasibu X - idadi ya sehemu zisizo za kawaida kati ya mbili zilizochaguliwa.

196. Tafuta matarajio ya kihisabati ya nambari tofauti ya nasibu ya X ya kurusha tano kama hizo. kete, katika kila moja ambayo hatua moja itaonekana kwenye kete mbili, ikiwa jumla ya nambari kutupa ni sawa na ishirini.

Thamani inayotarajiwa usambazaji wa binomial ni sawa na bidhaa ya idadi ya majaribio na uwezekano wa tukio kutokea katika jaribio moja: