Ili kutatua tatizo la kijiometri kwa kutumia njia ya kuratibu, hatua ya makutano inahitajika, kuratibu ambazo hutumiwa katika suluhisho. Hali hutokea wakati unahitaji kutafuta kuratibu za makutano ya mistari miwili kwenye ndege au kuamua kuratibu za mistari sawa katika nafasi. Makala hii inazingatia kesi za kupata viwianishi vya vidokezo ambapo mistari iliyopewa huingiliana.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ni muhimu kufafanua pointi za makutano ya mistari miwili.

Sehemu iliyo kwenye nafasi ya jamaa ya mistari kwenye ndege inaonyesha kwamba inaweza sanjari, kuwa sambamba, kukatiza katika sehemu moja ya kawaida, au kukatiza. Mistari miwili katika nafasi inaitwa kukatiza ikiwa ina nukta moja ya kawaida.

Ufafanuzi wa hatua ya makutano ya mistari inaonekana kama hii:

Ufafanuzi 1

Sehemu ambayo mistari miwili inaingiliana inaitwa sehemu yao ya makutano. Kwa maneno mengine, hatua ya mistari ya kuingiliana ni hatua ya makutano.

Hebu tuangalie takwimu hapa chini.

Kabla ya kupata kuratibu za hatua ya makutano ya mistari miwili, ni muhimu kuzingatia mfano hapa chini.

Ikiwa ndege ina mfumo wa kuratibu O x y, basi mistari miwili ya moja kwa moja a na b imeelezwa. Moja kwa moja a inalingana mlingano wa jumla ya fomu A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, kwa mstari b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Kisha M 0 (x 0, y 0) ni hatua fulani ya ndege; ni muhimu kuamua ikiwa hatua ya M 0 itakuwa hatua ya makutano ya mistari hii.

Ili kutatua tatizo, ni muhimu kuzingatia ufafanuzi. Kisha mistari lazima ikatike katika hatua ambayo viwianishi ni suluhisho la milinganyo iliyotolewa A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 na A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Hii inamaanisha kuwa viwianishi vya sehemu ya makutano vinabadilishwa katika milinganyo yote iliyotolewa. Ikiwa, juu ya uingizwaji, wanatoa utambulisho sahihi, basi M 0 (x 0, y 0) inachukuliwa kuwa hatua yao ya makutano.

Mfano 1

Kwa kuzingatia mistari miwili inayokatiza 5 x - 2 y - 16 = 0 na 2 x - 5 y - 19 = 0. Je, hatua M 0 iliyo na viwianishi (2, - 3) itakuwa sehemu ya makutano.

Suluhisho

Ili makutano ya mistari kuwa halali, ni muhimu kwamba kuratibu za uhakika M 0 kukidhi hesabu za mistari. Hii inaweza kuangaliwa kwa kuzibadilisha. Tunapata hilo

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Usawa wote ni kweli, ambayo inamaanisha M 0 (2, - 3) ni sehemu ya makutano ya mistari iliyotolewa.

Hebu tuonyeshe uamuzi huu kwenye mstari wa kuratibu wa takwimu hapa chini.

Jibu:kuweka uhakika na kuratibu (2, - 3) itakuwa sehemu ya makutano ya mistari iliyotolewa.

Mfano 2

Je, mistari 5 x + 3 y - 1 = 0 na 7 x - 2 y + 11 = 0 itapita kwenye hatua ya M 0 (2, - 3)?

Suluhisho

Ili kutatua tatizo, unahitaji kubadilisha viwianishi vya uhakika katika milinganyo yote. Tunapata hilo

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Usawa wa pili sio kweli, inamaanisha kuwa hatua uliyopewa sio ya mstari 7 x - 2 y + 11 = 0. Kutoka kwa hili tunayo uhakika kwamba M 0 sio hatua ya makutano ya mistari.

Mchoro unaonyesha wazi kuwa M 0 sio sehemu ya makutano ya mistari. Wana hatua ya kawaida na kuratibu (- 1, 2).

Jibu: uhakika na kuratibu (2, - 3) sio sehemu ya makutano ya mistari iliyotolewa.

Tunaendelea kutafuta kuratibu za pointi za makutano ya mistari miwili kwa kutumia equations zilizotolewa kwenye ndege.

Mistari miwili ya kukatiza a na b imebainishwa na milinganyo ya fomu A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 na A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, iliyoko O ​​x y. Wakati wa kuteua sehemu ya makutano M 0, tunaona kwamba tunapaswa kuendelea kutafuta viwianishi kwa kutumia milinganyo A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 na A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Kutoka kwa ufafanuzi ni dhahiri kwamba M 0 ni hatua ya kawaida ya makutano ya mistari. Katika kesi hii, viwianishi vyake lazima vikidhi milinganyo A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 na A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Kwa maneno mengine, hii ndiyo suluhisho la mfumo unaosababisha A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Hii ina maana kwamba ili kupata kuratibu za hatua ya makutano, ni muhimu kuongeza equations zote kwenye mfumo na kutatua.

Mfano 3

Kutokana na mistari miwili ya moja kwa moja x - 9 y + 14 = 0 na 5 x - 2 y - 16 = 0 kwenye ndege. ni muhimu kupata makutano yao.

Suluhisho

Data juu ya hali ya equation lazima ikusanywe kwenye mfumo, baada ya hapo tunapata x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0. Ili kuisuluhisha, equation ya kwanza inatatuliwa kwa x, na usemi unabadilishwa kuwa wa pili:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Nambari zinazotokana ni kuratibu ambazo zinahitajika kupatikana.

Jibu: M 0 (4, 2) ni sehemu ya makutano ya mistari x - 9 y + 14 = 0 na 5 x - 2 y - 16 = 0.

Kupata viwianishi kunatokana na kusuluhisha mfumo wa milinganyo ya mstari. Ikiwa kwa hali ya aina tofauti ya usawa hutolewa, basi inapaswa kupunguzwa kwa fomu ya kawaida.

Mfano 4

Tambua kuratibu za pointi za makutano ya mistari x - 5 = y - 4 - 3 na x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R.

Suluhisho

Kwanza unahitaji kuleta equations kwa fomu ya jumla. Kisha tunapata kwamba x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R inabadilishwa kama ifuatavyo:

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 · (x - 4) = 9 · (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Kisha tunachukua equation ya fomu ya canonical x - 5 = y - 4 - 3 na kuibadilisha. Tunapata hilo

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Kuanzia hapa tuna kwamba kuratibu ni hatua ya makutano

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

Wacha tutumie njia ya Cramer kupata kuratibu:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1

Jibu: M 0 (- 5, 1).

Pia kuna njia ya kupata kuratibu za sehemu ya makutano ya mistari iko kwenye ndege. Inatumika wakati moja ya mistari inatolewa na equations parametric ya fomu x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Halafu badala ya thamani x tunabadilisha x = x 1 + a x · λ na y = y 1 + a y · λ, ambapo tunapata λ = λ 0, sambamba na sehemu ya makutano kuwa na kuratibu x 1 + a x · λ 0. , y 1 + a y · λ 0 .

Mfano 5

Tambua kuratibu za hatua ya makutano ya mstari x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R na x - 5 = y - 4 - 3.

Suluhisho

Inahitajika kufanya uingizwaji katika x - 5 = y - 4 - 3 na usemi x = 4 + 9 · λ, y = 2 + λ, kisha tunapata:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Wakati wa kutatua, tunapata kwamba λ = - 1. Inafuata kwamba kuna sehemu ya makutano kati ya mistari x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R na x - 5 = y - 4 - 3. Ili kuhesabu kuratibu, unahitaji kubadilisha usemi λ = - 1 kwenye equation ya parametric. Kisha tunapata kwamba x = 4 + 9 · (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1.

Jibu: M 0 (- 5, 1).

Ili kuelewa mada hiyo, unahitaji kujua nuances kadhaa.

Kwanza unahitaji kuelewa eneo la mistari. Wanapoingiliana, tutapata kuratibu katika hali zingine, hakutakuwa na suluhisho. Ili kuepuka hundi hii, unaweza kuunda mfumo wa fomu A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Ikiwa kuna suluhisho, tunahitimisha kuwa mistari huingiliana. Ikiwa hakuna suluhisho, basi ziko sambamba. Wakati mfumo una seti isiyo na mwisho masuluhisho, basi yanasemekana sanjari.

Mfano 6

Imepewa mistari x 3 + y - 4 = 1 na y = 4 3 x - 4. Amua ikiwa wana maoni sawa.

Suluhisho

Kurahisisha milinganyo iliyotolewa, tunapata 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 na 4 3 x - y - 4 = 0.

Equations inapaswa kukusanywa katika mfumo kwa ufumbuzi unaofuata:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Kutoka kwa hili tunaweza kuona kwamba equations zinaonyeshwa kupitia kila mmoja, basi tunapata idadi isiyo na kikomo ya ufumbuzi. Kisha milinganyo x 3 + y - 4 = 1 na y = 4 3 x - 4 inafafanua mstari huo. Kwa hiyo hakuna pointi za makutano.

Jibu: milinganyo iliyotolewa inafafanua mstari sawa sawa.

Mfano 7

Pata kuratibu za hatua ya mistari ya kuingiliana 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 na 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0.

Suluhisho

Kwa mujibu wa hali hiyo, hii inawezekana, mistari haitaingiliana. Ni muhimu kuunda mfumo wa equations na kutatua. Ili kutatua, ni muhimu kutumia njia ya Gaussian, kwa kuwa kwa msaada wake inawezekana kuangalia equation kwa utangamano. Tunapata mfumo wa fomu:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Tumepokea usawa usio sahihi, ambayo inamaanisha kuwa mfumo hauna suluhu. Tunahitimisha kuwa mistari ni sambamba. Hakuna sehemu za makutano.

Suluhisho la pili.

Kwanza unahitaji kuamua uwepo wa makutano ya mistari.

n 1 → = (2 , 2 - 3) ni vector ya kawaida ya mstari 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 , kisha vector n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 - vector ya kawaida kwa mstari wa 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0.

Ni muhimu kuangalia collinearity ya vectors n 1 → = (2, 2 - 3) na n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7). Tunapata usawa wa fomu 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7. Ni sahihi kwa sababu 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. Inafuata kwamba vekta ni collinear. Hii ina maana kwamba mistari ni sambamba na haina pointi za makutano.

Jibu: hakuna pointi za makutano, mistari ni sambamba.

Mfano 8

Pata kuratibu za makutano ya mistari iliyotolewa 2 x - 1 = 0 na y = 5 4 x - 2.

Suluhisho

Ili kutatua, tunaunda mfumo wa milinganyo. Tunapata

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Wacha tupate kiamua cha matrix kuu. Kwa hili, 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2. Kwa kuwa sio sawa na sifuri, mfumo una suluhisho 1. Inafuata kwamba mistari inaingiliana. Wacha tusuluhishe mfumo wa kupata kuratibu za sehemu za makutano:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Tuligundua kwamba hatua ya makutano ya mistari iliyotolewa ina kuratibu M 0 (1 2, - 11 8).

Jibu: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Kutafuta kuratibu za hatua ya makutano ya mistari miwili kwenye nafasi

Kwa njia hiyo hiyo, pointi za makutano ya mistari ya moja kwa moja katika nafasi zinapatikana.

Wakati mistari iliyonyooka a na b imetolewa kuratibu ndege O x y z milinganyo ya ndege zinazoingiliana, basi kuna mstari wa moja kwa moja a, ambao unaweza kuamua kwa kutumia mfumo uliopewa A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 na mstari ulionyooka b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 .

Wakati hatua M 0 ni hatua ya makutano ya mistari, basi kuratibu zake lazima ziwe suluhisho la hesabu zote mbili. Tunapata hesabu za mstari kwenye mfumo:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Wacha tuangalie kazi zinazofanana kwa kutumia mifano.

Mfano 9

Pata kuratibu za hatua ya makutano ya mistari iliyotolewa x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 na 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Suluhisho

Tunatunga mfumo x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 na kutatua. Ili kupata kuratibu, unahitaji kutatua kupitia tumbo. Kisha tunapata matrix kuu ya fomu A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 na tumbo iliyopanuliwa T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Tunaamua kiwango cha Gaussian cha tumbo.

Tunapata hilo

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Inafuata kwamba kiwango cha matrix iliyopanuliwa ina thamani 3. Kisha mfumo wa equations x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 husababisha suluhisho moja tu.

Msingi mdogo una kiashiria 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0, basi equation ya mwisho haitumiki. Tunapata kwamba x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. Suluhisho la mfumo x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Hii ina maana kwamba hatua ya makutano x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 na 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ina kuratibu (1, - 3, 0).

Jibu: (1 , - 3 , 0) .

Mfumo wa fomu A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 ina suluhisho moja tu. Hii ina maana kwamba mistari a na b hupishana.

Katika hali zingine, equation haina suluhisho, ambayo ni, pointi za kawaida Sawa. Hiyo ni, haiwezekani kupata uhakika na kuratibu, kwani haipo.

Kwa hiyo, mfumo wa fomu A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 hutatuliwa kwa njia ya Gaussian. Ikiwa haiendani, mistari haiingiliani. Ikiwa kuna idadi isiyo na kipimo ya suluhisho, basi zinapatana.

Unaweza kutatua kwa kuhesabu kiwango cha msingi na kilichopanuliwa cha matrix, na kisha kutumia nadharia ya Kronecker-Capelli. Tunapata suluhisho moja, nyingi au hakuna kabisa.

Mfano 10

Milinganyo ya mistari x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 na x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 hutolewa. Tafuta sehemu ya makutano.

Suluhisho

Kwanza, hebu tutengeneze mfumo wa milinganyo. Tunapata kwamba x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Tunatatua kwa kutumia njia ya Gaussian:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Kwa wazi, mfumo hauna suluhisho, ambayo inamaanisha kuwa mistari haiingiliani. Hakuna sehemu ya makutano.

Jibu: hakuna sehemu ya makutano.

Ikiwa mistari inafafanuliwa kwa kutumia cononic au equations parametric, unahitaji kuipunguza kwa fomu ya equations ya ndege zinazoingiliana, na kisha kupata kuratibu.

Mfano 11

Kutokana na mistari miwili x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ, λ ∈ R na x 2 = y - 3 0 = z 5 katika O x y z. Tafuta sehemu ya makutano.

Suluhisho

Tunafafanua mistari ya moja kwa moja kwa usawa wa ndege mbili zinazoingiliana. Tunapata hilo

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Tunapata kuratibu 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0, kwa hili tunahesabu safu za matrix. Kiwango cha matrix ni 3, na msingi mdogo 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, ambayo ina maana kwamba equation ya mwisho lazima iondolewe kwenye mfumo. Tunapata hilo

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Wacha tusuluhishe mfumo kwa kutumia njia ya Cramer. Tunapata kwamba x = - 2 y = 3 z = - 5. Kuanzia hapa tunapata kwamba makutano ya mistari iliyopewa inatoa uhakika na kuratibu (- 2, 3, - 5).

Jibu: (- 2 , 3 , - 5) .

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Oh-oh-oh-oh-oh ... vizuri, ni ngumu, kana kwamba alikuwa akijisomea sentensi =) Hata hivyo, kupumzika kutasaidia baadaye, hasa tangu leo ​​nilinunua vifaa vinavyofaa. Kwa hivyo, wacha tuendelee kwenye sehemu ya kwanza, natumai kuwa mwisho wa kifungu nitadumisha hali ya furaha.

Nafasi ya jamaa ya mistari miwili iliyonyooka

Hivi ndivyo hali ya hadhira inapoimba kwa pamoja. Mistari miwili iliyonyooka inaweza:

1) mechi;

2) kuwa sambamba:;

3) au vuka katika sehemu moja: .

Msaada kwa dummies : tafadhali kumbuka ishara ya hisabati makutano, itatokea mara nyingi sana. Nukuu ina maana kwamba mstari unaingiliana na mstari kwa uhakika.

Jinsi ya kuamua msimamo wa jamaa wa mistari miwili?

Wacha tuanze na kesi ya kwanza:

Mistari miwili inalingana ikiwa na ikiwa tu migawo inayolingana ni sawia, yaani, kuna nambari "lambda" kiasi kwamba usawa unaridhika

Hebu fikiria mistari ya moja kwa moja na kuunda equations tatu kutoka kwa coefficients sambamba:. Kutoka kwa kila equation inafuata kwamba, kwa hiyo, mistari hii inafanana.

Hakika, ikiwa coefficients yote ya equation zidisha kwa -1 (badilisha ishara), na coefficients zote za equation kata na 2, unapata equation sawa:.

Kesi ya pili, wakati mistari inafanana:

Mistari miwili ni sambamba ikiwa na ikiwa tu mgawo wao wa vigeuzo ni sawia: ,Lakini.

Kwa mfano, fikiria mistari miwili iliyonyooka. Tunaangalia uwiano wa coefficients sambamba kwa vigezo:

Hata hivyo, ni dhahiri kabisa kwamba.

Na kesi ya tatu, wakati mistari inapita:

Mistari miwili huingiliana ikiwa na ikiwa tu migawo yao ya vigeuzo HAINA uwiano, yaani, HAKUNA thamani kama hiyo ya "lambda" ambayo usawa unaridhika

Kwa hivyo, kwa mistari iliyonyooka tutaunda mfumo:

Kutoka kwa equation ya kwanza inafuata kwamba , na kutoka kwa equation ya pili: , ambayo ina maana mfumo hauendani(hakuna masuluhisho). Kwa hivyo, coefficients ya vigezo si sawia.

Hitimisho: mistari huingiliana

Katika matatizo ya vitendo, unaweza kutumia mpango wa ufumbuzi uliojadiliwa hivi karibuni. Kwa njia, inawakumbusha sana algorithm ya kuangalia veta kwa collinearity, ambayo tuliiangalia darasani. Wazo la utegemezi wa mstari (katika) wa vekta. Msingi wa vectors. Lakini kuna kifurushi cha kistaarabu zaidi:

Mfano 1

Ili kujua mpangilio wa pande zote moja kwa moja:

Suluhisho kulingana na utafiti wa kuelekeza vekta za mistari iliyonyooka:

a) Kutoka kwa hesabu tunapata veta za mwelekeo wa mistari: .

, ambayo ina maana kwamba vekta si collinear na mistari intersect.

Ikiwezekana, nitaweka jiwe lenye ishara kwenye njia panda:

Wengine wanaruka juu ya jiwe na kufuata zaidi, moja kwa moja hadi Kashchei the Immortal =)

b) Tafuta vekta za mwelekeo wa mistari:

Mistari hiyo ina vekta ya mwelekeo sawa, ambayo inamaanisha kuwa ni sawa au sanjari. Hakuna haja ya kuhesabu kiashiria hapa.

Ni dhahiri kwamba coefficients ya haijulikani ni sawia, na.

Wacha tujue ikiwa usawa ni kweli:

Hivyo,

c) Tafuta veta za mwelekeo wa mistari:

Wacha tuhesabu kibainishi kinachoundwa na kuratibu za veta hizi:
, kwa hiyo, vekta za mwelekeo ni collinear. Mistari ni ama sambamba au sanjari.

Mgawo wa uwiano "lambda" ni rahisi kuona moja kwa moja kutoka kwa uwiano wa vekta za mwelekeo wa collinear. Walakini, inaweza pia kupatikana kupitia coefficients ya equations zenyewe: .

Sasa hebu tujue kama usawa ni kweli. Masharti yote mawili ya bure ni sifuri, kwa hivyo:

Thamani inayotokana inatosheleza mlingano huu(nambari yoyote kwa ujumla inakidhi).

Kwa hivyo, mistari inalingana.

Jibu:

Hivi karibuni utajifunza (au hata tayari umejifunza) kutatua tatizo lililojadiliwa kwa maneno halisi katika suala la sekunde. Katika suala hili, sioni umuhimu wa kutoa chochote uamuzi wa kujitegemea, ni bora kuweka matofali mengine muhimu katika msingi wa kijiometri:

Jinsi ya kuunda mstari sambamba na uliyopewa?

Kwa kutojua hili kazi rahisi zaidi Nightingale Jambazi anaadhibu vikali.

Mfano 2

Mstari wa moja kwa moja hutolewa na equation. Andika mlinganyo wa mstari sambamba unaopita kwenye nukta.

Suluhisho: Hebu tuonyeshe mstari usiojulikana kwa herufi. Je, hali inasema nini juu yake? Mstari wa moja kwa moja hupitia hatua. Na ikiwa mistari ni sawa, basi ni dhahiri kwamba vector ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja "tse" pia inafaa kwa ajili ya kujenga mstari wa moja kwa moja "de".

Tunachukua vekta ya mwelekeo kutoka kwa equation:

Jibu:

Jiometri ya mfano inaonekana rahisi:

Mtihani wa uchambuzi una hatua zifuatazo:

1) Tunaangalia kuwa mistari ina vekta ya mwelekeo sawa (ikiwa equation ya mstari haijarahisishwa vizuri, basi vekta zitakuwa collinear).

2) Angalia ikiwa nukta inakidhi mlinganyo unaotokana.

Katika hali nyingi, uchunguzi wa uchambuzi unaweza kufanywa kwa mdomo kwa urahisi. Angalia hesabu mbili, na wengi wenu mtaamua haraka usawa wa mistari bila kuchora yoyote.

Mifano ya ufumbuzi wa kujitegemea leo itakuwa ya ubunifu. Kwa sababu bado utalazimika kushindana na Baba Yaga, na yeye, unajua, ni mpenzi wa kila aina ya vitendawili.

Mfano 3

Andika mlinganyo wa mstari unaopita kwenye nukta sambamba na mstari kama

Kuna njia ya busara na sio ya busara ya kuisuluhisha. Njia fupi zaidi iko mwisho wa somo.

Tulifanya kazi kidogo na mistari inayofanana na tutarudi kwao baadaye. Kesi ya mistari inayolingana haipendezi sana, kwa hivyo hebu tuzingatie shida ambayo unaifahamu kutoka. mtaala wa shule:

Jinsi ya kupata hatua ya makutano ya mistari miwili?

Ikiwa moja kwa moja intersect at point , basi kuratibu zake ndio suluhisho mifumo ya milinganyo ya mstari

Jinsi ya kupata hatua ya makutano ya mistari? Tatua mfumo.

Haya basi maana ya kijiometri mifumo ya milinganyo miwili ya mstari katika mbili zisizojulikana- hizi ni mistari miwili inayoingiliana (mara nyingi) kwenye ndege.

Mfano 4

Tafuta mahali pa makutano ya mistari

Suluhisho: Kuna njia mbili za kutatua - graphical na uchambuzi.

Mbinu ya picha ni kuchora tu mistari uliyopewa na kujua sehemu ya makutano moja kwa moja kutoka kwa mchoro:

Hapa kuna hoja yetu:. Kuangalia, unapaswa kubadilisha kuratibu zake katika kila equation ya mstari, zinapaswa kutoshea pale na pale. Kwa maneno mengine, kuratibu za uhakika ni suluhisho kwa mfumo. Kimsingi, tuliangalia suluhisho la picha mifumo ya milinganyo ya mstari na equations mbili, mbili haijulikani.

Njia ya graphical ni, bila shaka, si mbaya, lakini kuna hasara zinazoonekana. Hapana, suala sio kwamba wanafunzi wa darasa la saba wanaamua hivi, uhakika ni kwamba itachukua muda kuunda mchoro sahihi na SAHIHI. Kwa kuongeza, baadhi ya mistari ya moja kwa moja si rahisi sana kujenga, na hatua ya makutano yenyewe inaweza kuwa iko mahali fulani katika ufalme wa thelathini nje ya karatasi ya daftari.

Kwa hiyo, ni vyema zaidi kutafuta hatua ya makutano kwa kutumia njia ya uchambuzi. Wacha tusuluhishe mfumo:

Ili kutatua mfumo, njia ya kuongeza muda kwa muda wa equations ilitumiwa. Ili kukuza ustadi unaofaa, chukua somo Jinsi ya kutatua mfumo wa equations?

Jibu:

Cheki ni kidogo - viwianishi vya sehemu ya makutano lazima vikidhi kila equation ya mfumo.

Mfano 5

Tafuta sehemu ya makutano ya mistari ikiwa inaingiliana.

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Ni rahisi kugawanya kazi katika hatua kadhaa. Uchambuzi wa hali hiyo unaonyesha kuwa ni muhimu:
1) Andika equation ya mstari wa moja kwa moja.
2) Andika equation ya mstari wa moja kwa moja.
3) Jua msimamo wa jamaa wa mistari.
4) Ikiwa mistari inaingiliana, basi pata hatua ya makutano.

Ukuzaji wa algorithm ya vitendo ni kawaida kwa wengi matatizo ya kijiometri, na nitazingatia mara kwa mara juu ya hili.

Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo:

Hata jozi ya viatu haikuchakaa kabla ya kufika sehemu ya pili ya somo:

Mistari ya perpendicular. Umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari.
Pembe kati ya mistari iliyonyooka

Wacha tuanze na ya kawaida na sana kazi muhimu. Katika sehemu ya kwanza, tulijifunza jinsi ya kujenga mstari wa moja kwa moja sambamba na hii, na sasa kibanda kwenye miguu ya kuku kitageuka digrii 90:

Jinsi ya kuunda mstari wa perpendicular kwa uliyopewa?

Mfano 6

Mstari wa moja kwa moja hutolewa na equation. Andika equation perpendicular kwa mstari unaopita kwenye uhakika.

Suluhisho: Kwa sharti inajulikana kuwa. Itakuwa nzuri kupata vector inayoongoza ya mstari. Kwa kuwa mistari ni ya perpendicular, hila ni rahisi:

Kutoka kwa equation sisi "kuondoa" vector ya kawaida: , ambayo itakuwa vector inayoongoza ya mstari wa moja kwa moja.

Wacha tutunge hesabu ya mstari wa moja kwa moja kwa kutumia nukta na vekta ya mwelekeo:

Jibu:

Wacha tupanue mchoro wa kijiometri:

Hmmm ... Anga ya machungwa, bahari ya machungwa, ngamia ya machungwa.

Ukaguzi wa uchambuzi ufumbuzi:

1) Tunachukua vekta za mwelekeo kutoka kwa hesabu na kwa msaada bidhaa ya scalar ya vekta tunafikia hitimisho kwamba mistari ni ya kawaida: .

Kwa njia, unaweza kutumia vectors ya kawaida, ni rahisi zaidi.

2) Angalia ikiwa nukta inakidhi mlinganyo unaotokana .

Mtihani, tena, ni rahisi kufanya kwa mdomo.

Mfano 7

Pata hatua ya makutano ya mistari ya perpendicular ikiwa equation inajulikana na kipindi.

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Tatizo lina vitendo kadhaa, hivyo ni rahisi kuunda hatua ya ufumbuzi kwa uhakika.

Ni yetu safari ya kufurahisha inaendelea:

Umbali kutoka hatua hadi mstari

Mbele yetu kuna ukanda ulionyooka wa mto na kazi yetu ni kuufikia kwa njia fupi zaidi. Hakuna vikwazo, na njia bora zaidi itakuwa kusonga kando ya perpendicular. Hiyo ni, umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari ni urefu wa sehemu ya perpendicular.

Umbali katika jiometri kwa jadi unaonyeshwa na barua ya Kigiriki "rho", kwa mfano: - umbali kutoka kwa uhakika "em" hadi mstari wa moja kwa moja "de".

Umbali kutoka hatua hadi mstari iliyoonyeshwa na fomula

Mfano 8

Tafuta umbali kutoka kwa uhakika hadi mstari

Suluhisho: unachohitaji kufanya ni kubadilisha nambari kwa uangalifu kwenye fomula na kufanya mahesabu:

Jibu:

Wacha tufanye mchoro:

Umbali uliopatikana kutoka kwa uhakika hadi kwenye mstari ni urefu kamili wa sehemu nyekundu. Ikiwa utachora mchoro kwenye karatasi iliyotiwa alama kwenye mizani ya kitengo 1. = 1 cm (seli 2), basi umbali unaweza kupimwa na mtawala wa kawaida.

Wacha tuchunguze kazi nyingine kulingana na mchoro sawa:

Kazi ni kupata kuratibu za hatua ambayo ni ulinganifu kwa uhakika kuhusiana na mstari wa moja kwa moja . Ninapendekeza kufanya hatua mwenyewe, lakini nitaelezea algorithm ya suluhisho na matokeo ya kati:

1) Tafuta mstari ambao ni perpendicular kwa mstari.

2) Tafuta mahali pa makutano ya mistari: .

Vitendo vyote viwili vimejadiliwa kwa kina katika somo hili.

3) Hatua ni katikati ya sehemu. Tunajua kuratibu za katikati na moja ya mwisho. Na fomula za kuratibu za sehemu ya kati ya sehemu tunapata.

Itakuwa wazo nzuri kuangalia kuwa umbali pia ni vitengo 2.2.

Ugumu unaweza kutokea katika mahesabu hapa, lakini microcalculator ni msaada mkubwa katika mnara, kuruhusu wewe kuhesabu. sehemu za kawaida. Nimekushauri mara nyingi na nitakupendekeza tena.

Jinsi ya kupata umbali kati ya mistari miwili inayofanana?

Mfano 9

Tafuta umbali kati ya mistari miwili inayofanana

Huu ni mfano mwingine kwako kuamua mwenyewe. Nitakupa kidokezo kidogo: kuna njia nyingi za kutatua hili. Kujadiliana mwishoni mwa somo, lakini ni bora kujaribu kujikisia mwenyewe, nadhani ujanja wako ulikuzwa vizuri.

Pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka

Kila kona ni jamb:


Katika jiometri, pembe kati ya mistari miwili ya moja kwa moja inachukuliwa kuwa angle ndogo, ambayo inafuata moja kwa moja kwamba haiwezi kuwa butu. Katika takwimu, pembe iliyoonyeshwa na arc nyekundu haizingatiwi pembe kati ya mistari ya kuingiliana. Na jirani yake "kijani" au yenye mwelekeo kinyume kona ya "raspberry".

Ikiwa mistari ni perpendicular, basi yoyote ya pembe 4 inaweza kuchukuliwa kama pembe kati yao.

Je, pembe ni tofautije? Mwelekeo. Kwanza, mwelekeo ambao pembe "imezungushwa" ni muhimu sana. Pili, pembe yenye mwelekeo hasi imeandikwa kwa ishara ya kuondoa, kwa mfano ikiwa .

Kwa nini nilikuambia hivi? Inaonekana kwamba tunaweza kupata na dhana ya kawaida ya pembe. Ukweli ni kwamba katika fomula ambazo tutapata pembe, inaweza kugeuka kwa urahisi matokeo mabaya, na haipaswi kukushangaza. Pembe iliyo na ishara ya minus sio mbaya zaidi, na ina maana maalum ya kijiometri. Katika kuchora, kwa pembe hasi, hakikisha unaonyesha mwelekeo wake na mshale (saa ya saa).

Jinsi ya kupata pembe kati ya mistari miwili iliyonyooka? Kuna fomula mbili za kufanya kazi:

Mfano 10

Tafuta pembe kati ya mistari

Suluhisho Na Mbinu ya kwanza

Fikiria mistari miwili iliyonyooka, iliyotolewa na milinganyo V mtazamo wa jumla:

Ikiwa moja kwa moja sio perpendicular, Hiyo iliyoelekezwa Pembe kati yao inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula:

wengi zaidi umakini wa karibu wacha tuigeuze kwa dhehebu - hii ndio haswa bidhaa ya scalar kuelekeza vekta za mistari iliyonyooka:

Ikiwa , basi denominator ya formula inakuwa sifuri, na vectors itakuwa orthogonal na mistari itakuwa perpendicular. Ndio maana uhifadhi ulifanywa kuhusu kutokuwa na usawa wa mistari iliyonyooka katika uundaji.

Kulingana na hapo juu, ni rahisi kurasimisha suluhisho katika hatua mbili:

1) Wacha tuhesabu bidhaa ya scalar kuelekeza vekta za mistari iliyonyooka:
, ambayo ina maana kwamba mistari sio perpendicular.

2) Tafuta pembe kati ya mistari iliyonyooka kwa kutumia formula:

Kwa kutumia kazi ya kinyume Ni rahisi kupata kona yenyewe. Katika kesi hii, tunatumia hali isiyo ya kawaida ya arctangent (tazama. Grafu na mali ya kazi za msingi):

Jibu:

Katika jibu lako, tunaonyesha thamani kamili, pamoja na thamani ya takriban (ikiwezekana katika digrii zote mbili na radiani), iliyohesabiwa kwa kutumia kikokotoo.

Kweli, minus, minus, hakuna jambo kubwa. Hapa kuna kielelezo cha kijiometri:

Haishangazi kwamba pembe iligeuka kuwa ya mwelekeo mbaya, kwa sababu katika taarifa ya tatizo nambari ya kwanza ni mstari wa moja kwa moja na "kufungua" kwa pembe ilianza kwa usahihi.

Kama kweli unataka kupata pembe chanya, unahitaji kubadilishana mistari, yaani, kuchukua coefficients kutoka kwa equation ya pili , na uchukue coefficients kutoka kwa mlinganyo wa kwanza. Kwa kifupi, unahitaji kuanza na moja kwa moja .

Kuingiliana kwenye mhimili wa x, ni muhimu kutatua mlinganyo y₁=y₂, yaani, k₁x+b₁=k₂x+b₂.

Badilisha ukosefu huu wa usawa ili kupata k₁x-k₂x=b₂-b₁. Sasa eleza x: x=(b₂-b₁)/(k₁-k₂). Kwa njia hii utapata hatua ya makutano ya grafu, ambayo iko kwenye mhimili wa OX. Pata sehemu ya makutano kwenye mhimili wa kuratibu. Badilisha tu thamani ya x uliyopata hapo awali kwenye chaguo zozote za kukokotoa.

Chaguo la awali linafaa kwa grafu. Ikiwa kitendakazi ni , tumia kufuata maelekezo. Kwa njia sawa na kazi ya mstari, pata thamani ya x. Ili kufanya hivyo, suluhisha equation ya quadratic. Katika equation 2x² + 2x - 4=0, pata (equation imetolewa kama mfano). Ili kufanya hivyo, tumia fomula: D= b² - 4ac, ambapo b ni thamani kabla ya X, na c ni thamani ya nambari.

Kubadilisha maadili ya nambari, pata usemi wa fomu D= 4 + 4*4= 4+16= 20. Milinganyo inategemea thamani ya kibaguzi. Sasa kwa thamani ya kigezo b chenye alama ya "-", ongeza au toa (kwa upande wake) mzizi wa kibaguzi kinachosababisha, na ugawanye kwa bidhaa mara mbili mgawo a. Kwa njia hii utapata mizizi ya equation, yaani, kuratibu za pointi za makutano.

Grafu za kazi zina upekee: mhimili wa OX utapita mara mbili, yaani, utapata viwianishi viwili vya mhimili wa x. Ukipokea thamani ya muda utegemezi wa X kwa Y, basi ujue kuwa grafu inaingilia mhimili wa x kwa idadi isiyo na kikomo ya alama. Angalia ikiwa umepata sehemu za makutano. Ili kufanya hivyo, badilisha maadili ya X kwenye equation f(x)=0.

Vyanzo:

• Kutafuta pointi za makutano ya mistari

Ikiwa unajua thamani ya a, basi unaweza kusema kwamba umetatua equation ya quadratic, kwa sababu mizizi yake itapatikana kwa urahisi sana.

Utahitaji

• - formula ya kibaguzi ya mlingano wa quadratic;
• -ujuzi wa majedwali ya kuzidisha

Maagizo

Video kwenye mada

Ushauri wa manufaa

Kibaguzi cha mlingano wa quadratic kinaweza kuwa chanya, hasi, au sawa na 0.

Vyanzo:

• Suluhisho milinganyo ya quadratic
• ubaguzi hata

Kidokezo cha 3: Jinsi ya kupata viwianishi vya sehemu za makutano ya grafu ya chaguo za kukokotoa

Grafu ya kazi y = f (x) ni seti ya pointi zote katika ndege, inaratibu x, ambayo inakidhi uhusiano y = f (x). Grafu ya chaguo za kukokotoa inaonyesha kwa uwazi tabia na sifa za chaguo la kukokotoa. Ili kuunda grafu, maadili kadhaa ya hoja x kawaida huchaguliwa na maadili yanayolingana ya chaguo za kukokotoa y=f(x) huhesabiwa kwa ajili yao. Ili kuunda grafu kwa usahihi zaidi na kuibua, ni muhimu kupata pointi zake za makutano na axes za kuratibu.

Maagizo

Wakati wa kuvuka mhimili wa abscissa (X axis), thamani ya kazi ni 0, i.e. y=f(x)=0. Ili kuhesabu x, unahitaji kutatua equation f(x)=0. Katika kesi ya chaguo za kukokotoa, tunapata shoka ya equation+b=0, na kupata x=-b/a.

Kwa hivyo, mhimili wa X huingiliana kwenye hatua (-b/a,0).

Katika zaidi kesi ngumu, kwa mfano, katika kesi ya utegemezi wa y kwa x, equation f(x)=0 ina mizizi miwili, kwa hiyo, mhimili wa x huingilia mara mbili. Katika kesi ya y kulingana na x, kwa mfano y=sin(x), ina idadi isiyo na kikomo ya sehemu za makutano na mhimili wa X.

Ili kuangalia usahihi wa kupata viwianishi vya sehemu za makutano ya grafu ya kazi na mhimili wa X, ni muhimu kubadilisha maadili ya x yaliyopatikana f(x). Thamani ya usemi kwa yoyote kati ya x zilizokokotolewa lazima iwe sawa na 0.

Maagizo

Kwanza, ni muhimu kujadili uchaguzi wa mfumo wa kuratibu unaofaa kwa kutatua tatizo. Kwa kawaida, katika matatizo ya aina hii, moja ya pembetatu huwekwa kwenye mhimili wa 0X ili hatua moja ifanane na asili. Kwa hiyo, hupaswi kuachana na kanuni zinazokubaliwa kwa ujumla za suluhisho na kufanya vivyo hivyo (tazama Mchoro 1). Njia ya kufafanua pembetatu yenyewe haina jukumu la msingi, kwani unaweza daima kuhama kutoka kwa mmoja wao hadi (kama utaweza kuthibitisha baadaye).

Acha pembetatu inayohitajika ibainishwe na vekta mbili za pande zake AC na AB a(x1, y1) na b(x2, y2), mtawalia. Aidha, kwa ujenzi, y1=0. Upande wa tatu wa BC unalingana na c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2), kulingana na kielelezo hiki. Pointi A imewekwa kwenye asili ya kuratibu, ambayo ni kuratibu A(0, 0). Pia ni rahisi kutambua hilo kuratibu B (x2, y2), a C (x1, 0). Kutoka hili tunaweza kuhitimisha kuwa kufafanua pembetatu na vectors mbili moja kwa moja sanjari na kufafanua kwa pointi tatu.

Ifuatayo, unapaswa kukamilisha pembetatu inayohitajika kwa saizi inayolingana ya ABDC kwa saizi. Aidha, kwamba katika hatua makutano Wanagawanya vilaza vya msambamba ili AQ iwe wastani wa pembetatu ABC, inashuka kutoka A hadi upande BC. Vekta ya diagonal ina hii na ni, kulingana na kanuni ya parallelogram, jumla ya kijiometri a na b. Kisha s = a + b, na yake kuratibu s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2). Sawa kuratibu pia itakuwa katika hatua ya D (x1+x2, y2).

Sasa tunaweza kuendelea na kukusanya equation ya mstari wa moja kwa moja iliyo na s, AQ ya wastani na, muhimu zaidi, hatua inayotakiwa makutano wastani H. Kwa kuwa vekta s yenyewe ni mwongozo wa mstari fulani, na uhakika A(0, 0) inayomilikiwa nayo pia inajulikana, jambo rahisi zaidi ni kutumia mlinganyo wa mstari wa ndege katika mfumo wa kisheria: (x. -x0)/m =(y-y0)/n.Hapa (x0, y0) kuratibu hatua ya kiholela mstari wa moja kwa moja (pointi A (0, 0)), na (m, n) - kuratibu s (vekta (x1+x2, y2) Na kwa hivyo, mstari wa moja kwa moja unaotaka l1 utaonekana kama: x/(x1+x2)=y/ y2.

Njia bora ya kuipata ni kwenye makutano. Kwa hiyo, unapaswa kupata mstari mwingine wa moja kwa moja unao na kinachojulikana N. Ili kufanya hivyo, kwenye Mtini. 1 ujenzi wa msambamba mwingine wa APBC, ulalo ambao g=a+c =g(2x1-x2, -y2) una CW ya kati ya pili, iliyoshushwa kutoka C hadi upande wa AB. Ulalo huu una nukta C(x1, 0), kuratibu ambayo itachukua jukumu la (x0, y0), na vekta ya mwelekeo hapa itakuwa g(m, n)=g(2x1-x2, -y2). Kwa hivyo l2 imetolewa na mlinganyo: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).

KATIKA zamani Nilivutiwa na michoro ya kompyuta, 2D na 3D, pamoja na taswira za hisabati. Kinachoitwa kufurahisha tu, kama mwanafunzi, niliandika programu inayoonyesha takwimu za N-dimensional zikizunguka katika vipimo vyovyote, ingawa kwa kweli niliweza tu kuamua alama za hypercube ya 4-D. Lakini hii ni msemo tu. Upendo wangu kwa jiometri umebaki nami tangu wakati huo hadi leo, na bado ninapenda kutatua kazi za kuvutia kwa njia za kuvutia.
Nilikutana na moja ya shida hizi mnamo 2010. Kazi yenyewe ni ndogo sana: unahitaji kupata ikiwa sehemu mbili za 2-D zinaingiliana, na ikiwa zitafanya hivyo, pata mahali pa makutano yao. Suluhisho la kuvutia zaidi ni moja ambayo, nadhani, iligeuka kuwa ya kifahari kabisa, na ambayo ninataka kutoa kwa msomaji. Sidai uhalisi wa algorithm (ingawa ningependa), lakini sikuweza kupata suluhisho kama hilo kwenye Mtandao.

Kazi

Imepewa sehemu mbili, ambayo kila moja inafafanuliwa kwa alama mbili: (v11, v12), (v21, v22). Inahitajika kuamua ikiwa zinaingiliana, na ikiwa zinaingiliana, pata mahali pa makutano yao.

Suluhisho

Kwanza unahitaji kuamua ikiwa sehemu zinaingiliana. Muhimu na hali ya kutosha Makutano ambayo yanapaswa kuzingatiwa kwa makundi yote mawili ni yafuatayo: pointi za mwisho za moja ya makundi lazima zilala katika ndege tofauti za nusu ikiwa ndege imegawanywa na mstari ambao pili ya makundi iko. Hebu tuonyeshe hili kwa kuchora.

Mchoro wa kushoto (1) unaonyesha makundi mawili, ambayo hali hiyo inafikiwa, na makundi yanaingiliana. Katika takwimu ya kulia (2), hali inafikiwa kwa sehemu b, lakini kwa sehemu a haijafikiwa, na ipasavyo sehemu haziingiliani.
Inaweza kuonekana kuwa kuamua ni upande gani wa mstari ambao hatua iko ni kazi isiyo ya kawaida, lakini hofu ina macho makubwa, na kila kitu sio ngumu sana. Tunajua kuwa kuzidisha kwa vekta mbili hutupa vekta ya tatu, mwelekeo ambao unategemea ikiwa pembe kati ya vekta ya kwanza na ya pili ni chanya au hasi, mtawaliwa, operesheni kama hiyo ni ya kupingana. Na kwa kuwa veta zote zinalala X-Y ndege, basi bidhaa yao ya vector (ambayo lazima iwe perpendicular kwa vectors kuzidishwa) itakuwa tu na sehemu isiyo ya sifuri Z, na ipasavyo, tofauti kati ya bidhaa za vectors itakuwa tu katika sehemu hii. Zaidi ya hayo, wakati wa kubadilisha utaratibu wa kuzidisha kwa vectors (soma: angle kati ya vectors nyingi), itajumuisha tu kubadilisha ishara ya sehemu hii.
Kwa hiyo, tunaweza kuzidisha vekta ya sehemu ya kugawanya kwa jozi na vekta zilizoelekezwa kutoka mwanzo wa sehemu ya kugawanya hadi pointi zote mbili za sehemu inayoangaliwa.

Ikiwa vipengele vya Z vya bidhaa zote mbili vina ishara tofauti, ambayo ina maana moja ya pembe ni chini ya 0 lakini kubwa kuliko -180, na ya pili ni kubwa kuliko 0 na chini ya 180, kwa mtiririko huo, pointi ziko pamoja. pande tofauti kutoka kwa mstari wa moja kwa moja. Ikiwa vipengele vya Z vya bidhaa zote mbili vina ishara sawa, kwa hiyo wanalala upande mmoja wa mstari ulionyooka.
Ikiwa moja ya vipengele vya Z ni sifuri, basi tuna kesi ya mpaka wakati hatua iko kwenye mstari unaojaribiwa. Wacha tuwaachie mtumiaji kuamua ikiwa wanataka kuzingatia hii kama makutano.
Kisha tunahitaji kurudia operesheni kwa sehemu nyingine na mstari, na uhakikishe kuwa eneo la pointi zake za mwisho pia linakidhi hali hiyo.
Kwa hivyo, ikiwa kila kitu ni sawa na sehemu zote mbili zinakidhi hali hiyo, basi makutano yapo. Hebu tupate, na bidhaa ya vector pia itatusaidia na hili.
Kwa kuwa katika bidhaa ya vector tuna tu sehemu isiyo ya sifuri Z, basi moduli yake (urefu wa vector) itakuwa sawa na nambari kwa sehemu hii. Wacha tuone jinsi ya kupata sehemu ya makutano.

Urefu wa bidhaa ya vekta ya vekta a na b (kama tulivyogundua, kwa nambari ni sawa na sehemu yake Z) ni sawa na bidhaa ya maadili kamili ya vekta hizi na sine ya pembe kati yao (|a) |. | b | dhambi (ab)). Ipasavyo, kwa usanidi katika takwimu tunayo yafuatayo: |AB x AC| = |AB||AC|sin(α), na |AB x AD| = |AB||AD| dhambi (β). |AC|sin(α) ni kipenyo kutoka nukta C hadi sehemu ya AB, na |AD|sin(β) ni kipenyo kutoka sehemu D hadi sehemu ya AB (mguu ADD"). Kwa kuwa pembe γ na δ ni pembe za wima, basi ni sawa, ambayo ina maana ya pembetatu PCC" na PDD" ni sawa, na, ipasavyo, urefu wa pande zao zote ni sawia kwa uwiano sawa.
Kuwa na Z1 (AB x AC, ambayo ina maana |AB||AC|sin(α)) na Z2 (AB x AD, ambayo ina maana |AB||AD|sin(β)), tunaweza kukokotoa CC"/DD" ( ambayo itakuwa sawa na Z1/Z2), na pia kujua kwamba CC"/DD" = CP/DP, unaweza kuhesabu kwa urahisi eneo la uhakika P. Binafsi, ninaifanya kama ifuatavyo:

Px = Cx + (Dx-Cx)*|Z1|/|Z2-Z1|;
Py = Cy + (Dy-Cy)*|Z1|/|Z2-Z1|;

Ni hayo tu. Nadhani ni kweli rahisi sana na kifahari. Kwa kumalizia, ningependa kutoa nambari ya kazi inayotekelezea algorithm hii. Kitendaji kinatumia kiolezo cha vekta ya kujitengenezea nyumbani , ambayo ni kiolezo cha vekta ya ukubwa wa ndani na vipengele vya aina ya jina. Wale wanaopendezwa wanaweza kurekebisha kazi kwa urahisi kwa aina zao za vekta.

1 kiolezo 2 bool are_crossing(vekta const &v11, vekta const &v12, vekta const &v21, vekta const &v22, vekta *kuvuka) 3 ( 4 vekta kata1(v12-v11), kata2(v22-v21); 5 vekta prod1, prod2; 6 7 prod1 = msalaba (cut1 * (v21-v11)); 8 prod2 = msalaba (cut1 * (v22-v11)); 9 10 if(ishara(prod1[Z]) == sign(prod2[Z]) || (prod1[Z] == 0) || (prod2[Z] == 0)) // Pia tumekata mpaka kesi 11 kurudi uongo; 12 13 prod1 = msalaba (cut2 * (v11-v21)); 14 prod2 = msalaba (cut2 * (v12-v21)); 15 16 if(ishara(prod1[Z]) == sign(prod2[Z]) || (prod1[Z] == 0) || (prod2[Z] == 0)) // Pia tumekata mstari wa mpaka kesi 17 kurudi uongo; 18 19 ikiwa(kuvuka) ( // Angalia ikiwa ni muhimu kubainisha eneo la makutano 20 (*kuvuka)[X] = v11[X] + cut1[X]*fabs(prod1[Z])/fabs(prod2[ Z]- prod1[Z]); 21 (*kuvuka)[Y] = v11[Y] + cut1[Y]*fabs(prod1[Z])/fabs(prod2[Z]-prod1[Z]); kweli; 25)

Somo kutoka kwa mfululizo "algorithms ya kijiometri"

Habari mpenzi msomaji!

Tuendelee kuzoeana algorithms ya kijiometri. Katika somo la mwisho, tulipata equation ya mstari wa moja kwa moja kwa kutumia kuratibu za pointi mbili. Tulipata equation ya fomu:

Leo tutaandika kazi ambayo, kwa kutumia equations ya mistari miwili ya moja kwa moja, itapata kuratibu za hatua yao ya makutano (ikiwa kuna moja). Kuangalia usawa wa nambari halisi, tutatumia kazi maalum RealEq().

Pointi kwenye ndege zinaelezewa na jozi ya nambari halisi. Wakati wa kutumia aina halisi, ni bora kutekeleza shughuli za kulinganisha kwa kutumia kazi maalum.

Sababu inajulikana: juu ya aina halisi katika mfumo wa programu ya Pascal hakuna uhusiano wa utaratibu, hivyo rekodi za fomu a = b, ambapo a na b nambari za kweli, ni bora kutotumia.
Leo tutaanzisha kazi ya RealEq() ili kutekeleza operesheni ya "=" (sawa kabisa):

Kazi RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (sawa kabisa) anza RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Kazi. Milinganyo ya mistari miwili iliyonyooka imetolewa: na. Tafuta mahali pa makutano yao.

Suluhisho. Suluhisho dhahiri ni kutatua mfumo wa equations za mstari: Wacha tuandike upya mfumo huu kwa njia tofauti kidogo:
(1)

Tutangulize nukuu ifuatayo:, , . Hapa D ndio kibainishi cha mfumo, na ndio vibainishi vinavyotokana na kuchukua nafasi ya safu wima ya mgawo kwa zile zinazolingana na safu wima ya maneno bila malipo. Ikiwa , basi mfumo (1) ni wa uhakika, yaani, una suluhisho la kipekee. Suluhisho hili linaweza kupatikana kwa kutumia fomula zifuatazo:, ambazo huitwa Fomula za Cramer. Acha nikukumbushe jinsi kibainishi cha mpangilio wa pili kinavyohesabiwa. Kiamuzi hutofautisha diagonal mbili: kuu na sekondari. Ulalo kuu una vitu vilivyochukuliwa kwa mwelekeo kutoka kona ya juu kushoto ya kiashiria hadi kona ya chini ya kulia. Ulalo wa upande - kutoka kulia juu hadi chini kushoto. Uamuzi wa utaratibu wa pili ni sawa na bidhaa ya vipengele vya diagonal kuu minus bidhaa ya vipengele vya diagonal ya sekondari.

Nambari hutumia kazi ya RealEq() kuangalia usawa. Hesabu kwenye nambari halisi hufanywa kwa usahihi wa _Eps=1e-7.

Programu ya geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(usahihi wa hesabu) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Kazi RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (sawa kabisa) anza RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Tumekusanya programu ambayo unaweza, ukijua hesabu za mistari, kupata kuratibu za sehemu zao za makutano.