Kazi zisizo za kawaida. Shida zisizo za kawaida kama njia ya kukuza shauku ya hisabati kati ya wanafunzi

kwa hatua

Hatua ya 1

Hatua ya 2

3 kutoka kwao

Hatua ya 4

Hatua ya 5

KAZI ZISIZO ZA KIWANGO KATIKA MASOMO YA HISABATI

Mwalimu wa shule ya msingi Shamalova S.V.

Kila kizazi cha watu hufanya mahitaji yao wenyewe shuleni. Methali ya kale ya Kiroma yasema: “Hatusomi kwa ajili ya shule, bali kwa maisha yote.” Maana ya methali hii bado inafaa hata leo. Jamii ya kisasa inaamuru mfumo wa elimu kuelimisha watu ambao wako tayari kuishi katika hali zinazobadilika kila wakati, kuendelea na elimu, na ambao wanaweza kujifunza katika maisha yao yote.

Miongoni mwa uwezo wa kiroho wa mwanadamu, kuna moja ambayo imekuwa mada ya uangalizi wa karibu wa wanasayansi kwa karne nyingi na ambayo, wakati huo huo, bado ni somo gumu zaidi na la kushangaza la sayansi. Huu ni uwezo wa kufikiri. Tunakutana nayo kila mara katika kazi, katika kujifunza, katika maisha ya kila siku.

Shughuli yoyote ya mfanyakazi, mtoto wa shule na mwanasayansi haiwezi kutenganishwa na kazi ya akili. Katika jambo lolote la kweli, ni muhimu kupiga akili zako, kunyoosha akili yako, yaani, kwa lugha ya sayansi, unahitaji kutekeleza hatua ya akili, kazi ya kiakili. Inajulikana kuwa tatizo linaweza kutatuliwa au kutatuliwa, mtu mmoja atakabiliana nayo haraka, mwingine anafikiri kwa muda mrefu. Kuna kazi zinazowezekana hata kwa mtoto, na zingine zimefanyiwa kazi na timu nzima ya wanasayansi kwa miaka. Hii ina maana kuna uwezo wa kufikiri. Baadhi ni bora zaidi, wengine mbaya zaidi. Huu ni ustadi wa aina gani? Inatokea kwa njia zipi? Jinsi ya kununua?

Hakuna mtu atakayebisha kwamba kila mwalimu anapaswa kukuza fikra za kimantiki za wanafunzi. Hii imesemwa katika fasihi ya mbinu, katika maelezo ya maelezo ya programu za elimu. Walakini, sisi walimu hatujui jinsi ya kufanya hivi kila wakati. Hii mara nyingi husababisha ukweli kwamba maendeleo ya kufikiri kimantiki kwa kiasi kikubwa ni ya hiari, hivyo wengi wa wanafunzi, hata wanafunzi wa shule ya upili, hawana ujuzi wa mbinu za awali za kufikiri kimantiki (uchambuzi, kulinganisha, awali, uondoaji, nk).

Kulingana na wataalamu, kiwango cha utamaduni wa kimantiki wa watoto wa shule leo hauwezi kuzingatiwa kuwa wa kuridhisha. Wataalam wanaamini kuwa sababu ya hii iko katika ukosefu wa kazi juu ya maendeleo ya kimantiki yaliyolengwa ya wanafunzi katika hatua za mwanzo za elimu. Miongozo mingi ya kisasa kwa watoto wa shule ya mapema na watoto wa shule ya msingi ina seti ya kazi mbali mbali zinazozingatia mbinu kama hizi za shughuli za kiakili kama uchambuzi, usanisi, mlinganisho, jumla, uainishaji, kubadilika na kutofautisha kwa fikra. Kwa maneno mengine, maendeleo ya kufikiri kimantiki hutokea kwa kiasi kikubwa, kwa hiyo wanafunzi wengi hawana ujuzi wa mbinu za kufikiri hata katika shule ya upili, na mbinu hizi zinahitaji kufundishwa kwa wanafunzi wadogo.

Katika mazoezi yangu ninatumia teknolojia za kisasa za elimu, aina mbalimbali za kuandaa mchakato wa elimu, na mfumo wa kazi za maendeleo. Kazi hizi zinapaswa kuwa za maendeleo katika asili (kufundisha mbinu fulani za kufikiri); zinapaswa kuzingatia sifa za umri wa wanafunzi.

Katika mchakato wa kutatua matatizo ya elimu, watoto huendeleza uwezo wa kupotoshwa kutoka kwa maelezo yasiyo muhimu. Hatua hii inatolewa kwa watoto wa shule wachanga bila ugumu wowote kuliko kuangazia muhimu. Watoto wa shule, kama matokeo ya kusoma shuleni, wakati inahitajika kukamilisha kazi mara kwa mara bila kushindwa, jifunze kusimamia mawazo yao, kufikiria inapobidi. Kwanza, mazoezi ya mantiki yanayopatikana kwa watoto yanaletwa, yenye lengo la kuboresha shughuli za akili.

Katika mchakato wa kufanya mazoezi kama haya ya kimantiki, wanafunzi hujifunza kivitendo kulinganisha vitu mbalimbali, ikiwa ni pamoja na vile vya hisabati, kujenga hukumu sahihi juu ya kile kinachopatikana, na kutekeleza uthibitisho rahisi kwa kutumia uzoefu wao wa maisha. Mazoezi ya mantiki hatua kwa hatua yanakuwa magumu zaidi.

Pia mimi hutumia kazi za kimantiki zisizo za kawaida katika mazoezi yangu. Kuna aina kubwa ya shida kama hizo; Hasa fasihi nyingi maalum zimechapishwa katika miaka ya hivi karibuni.

Katika fasihi ya mbinu, majina yafuatayo yamepewa kazi za maendeleo: kazi za akili, kazi za ujanja, kazi zilizo na "twist". Katika utofauti wao wote, tunaweza kutofautisha katika darasa maalum kazi hizo, ambazo huitwa kazi - mitego, kazi za kuchochea. Masharti ya majukumu kama haya yana aina anuwai za marejeleo, maagizo, vidokezo ambavyo vinahimiza uchaguzi wa njia isiyo sahihi ya suluhisho au jibu lisilo sahihi. Nitatoa mifano ya kazi kama hizo.

Shida zinazolazimisha jibu moja, dhahiri sana.

Ni ipi kati ya nambari 333, 555, 666, 999 ambayo haiwezi kugawanywa na 3?

Kazi zinazokuhimiza kufanya chaguo lisilo sahihi la jibu kutoka kwa majibu sahihi na yasiyo sahihi yaliyopendekezwa.

Punda mmoja amebeba kilo 10 za sukari, na mwingine amebeba kilo 10 za popcorn. Nani alikuwa na mzigo mzito zaidi?

Majukumu ambayo masharti yake yanakusukuma kufanya kitendo fulani kwa kutumia nambari fulani, ilhali hakuna haja ya kufanya kitendo hiki hata kidogo.

Gari la Mercedes lilisafiri kilomita 100. Je, kila gurudumu lake lilisafiri kilomita ngapi?

Petya aliwahi kuwaambia marafiki zake: "Siku moja kabla ya jana nilikuwa na umri wa miaka 9, na mwaka ujao nitatimiza miaka 12." Petya alizaliwa tarehe gani?

Kutatua matatizo ya kimantiki kwa kutumia hoja.

Vadim, Sergey na Mikhail wanasoma lugha mbalimbali za kigeni: Kichina, Kijapani, Kiarabu. Alipoulizwa kila mmoja wao alikuwa akijifunza lugha gani, mmoja wao alijibu: “Vadim anasoma Kichina, Sergei hasomi Kichina, na Mikhail hasomi Kiarabu.” Baadaye, iliibuka kuwa taarifa moja tu katika taarifa hii ni ya kweli. Kila mmoja wao anasoma lugha gani?

Wafupi kutoka kwa Maua City walipanda tikiti maji. Kumwagilia inahitaji lita 1 ya maji. Wana makopo mawili tu ya lita 3 tupu. na 5 l. Jinsi ya kutumia makopo haya. Kusanya lita 1 kutoka mtoni. maji?

Ilya Muromets alikaa kwenye jiko kwa miaka ngapi? Inajulikana kuwa kama angekaa gerezani mara 2 zaidi, umri wake ungekuwa nambari kubwa zaidi ya tarakimu mbili.

Baron Munchausen alihesabu idadi ya nywele za kichawi kwenye ndevu za mzee Hottabych. Ilibadilika kuwa sawa na jumla ya nambari ndogo ya nambari tatu na nambari kubwa ya nambari mbili. Nambari hii ni nini?

Wakati wa kujifunza kutatua shida zisizo za kawaida, mimi huzingatia masharti yafuatayo:V Kwanza kabisa , kazi zinapaswa kuletwa katika mchakato wa kujifunza katika mfumo fulani na ongezeko la taratibu katika utata, kwa kuwa kazi isiyowezekana itakuwa na athari ndogo katika maendeleo ya wanafunzi;V o pili , inahitajika kuwapa wanafunzi uhuru wa hali ya juu wakati wa kutafuta suluhisho la shida, wape fursa ya kwenda mwisho kwenye njia mbaya ili kusadikishwa na kosa, kurudi mwanzo na kutafuta njia nyingine sahihi. ya suluhisho;Tatu , tunahitaji kuwasaidia wanafunzi kuelewa baadhi ya njia, mbinu na mbinu za jumla za kutatua matatizo yasiyo ya kawaida ya hesabu. Mara nyingi, mazoezi ya kimantiki yaliyopendekezwa hayahitaji mahesabu, lakini huwalazimisha tu watoto kufanya maamuzi sahihi na kutoa uthibitisho rahisi. Mazoezi yenyewe ni ya burudani kwa asili, kwa hiyo huchangia kuibuka kwa maslahi ya watoto katika mchakato wa shughuli za akili. Na hii ni moja ya kazi kuu za mchakato wa elimu shuleni.

Mifano ya kazi zinazotumiwa katika mazoezi yangu.

Pata muundo na uendelee vigwe

Pata muundo na uendelee mfululizo

B C D E F,…

1, 2, 4, 8, 16,…

Kazi ilianza na ukuaji wa watoto wa uwezo wa kugundua mifumo, kufanana na tofauti kwani kazi polepole zilikua ngumu zaidi. Kwa kusudi hili nilichaguakazi za kutambua ruwaza, tegemezi na kuunda jumlana ongezeko la taratibu katika kiwango cha ugumu wa kazi.Kazi juu ya ukuzaji wa fikra za kimantiki inapaswa kuwa kitu cha umakini wa mwalimu na ufanyike kwa utaratibu katika masomo ya hisabati. Kwa kusudi hili, mazoezi ya mantiki yanapaswa kujumuishwa katika kazi ya mdomo darasani. Kwa mfano:

Pata matokeo kwa kutumia usawa huu:

3+5=8

3+6=

3+7=

3+8=

Linganisha misemo, pata hali ya kawaida katika usawa unaosababishwa, tengeneza hitimisho:

2+3*2x3

4+4*3x4

4+5*4x5

5+6*5x6

Endelea mfululizo wa nambari.

3. 5, 7, 9, 11…

1, 4, 7, 10…

Njoo na mfano sawa kwa kila mfano uliopewa.

12+6=18

16-4=12

Je, nambari kwenye kila mstari zinafanana nini?

12 24 20 22

30 37 13 83

Nambari zilizotolewa:

23 74 41 14

40 17 60 50

Ni nambari gani isiyo ya kawaida katika kila mstari?

Katika masomo ya hesabu ya shule ya msingi, mara nyingi mimi hutumia mazoezi ya kuhesabu vijiti. Hizi ni shida za asili ya kijiometri, kwani wakati wa suluhisho, kama sheria, kuna mabadiliko, mabadiliko ya takwimu zingine kuwa zingine, na sio mabadiliko tu katika idadi yao. Haziwezi kutatuliwa kwa njia yoyote iliyojifunza hapo awali. Katika kipindi cha kutatua kila tatizo jipya, mtoto anahusika katika utafutaji wa kazi wa suluhisho, huku akijitahidi kufikia lengo la mwisho, marekebisho yanayotakiwa ya takwimu.

Mazoezi na vijiti vya kuhesabu vinaweza kuunganishwa katika vikundi 3: kazi za kutunga takwimu iliyotolewa kutoka kwa idadi fulani ya vijiti; kazi za kubadilisha takwimu, kutatua ambayo unahitaji kuondoa au kuongeza idadi maalum ya vijiti; kazi, suluhisho ambalo linajumuisha kupanga upya vijiti ili kurekebisha, kubadilisha takwimu iliyotolewa.

Mazoezi na vijiti vya kuhesabu.

Kazi za kufanya takwimu kutoka kwa idadi fulani ya vijiti.

Tengeneza miraba miwili tofauti kwa kutumia vijiti 7.

Matatizo yanayohusisha kubadilisha takwimu, ambapo unahitaji kuondoa au kuongeza idadi maalum ya vijiti.

Kwa kuzingatia takwimu ya mraba 6. Unahitaji kuondoa vijiti 2 ili miraba 4 ibaki."

Matatizo yanayohusisha kupanga upya vijiti kwa madhumuni ya mabadiliko.

Panga vijiti viwili kufanya pembetatu 3.

Mazoezi ya mara kwa mara ni mojawapo ya masharti ya maendeleo ya mafanikio ya wanafunzi. Kwanza kabisa, kutoka somo hadi somo ni muhimu kukuza uwezo wa mtoto wa kuchambua na kuunganisha; mafundisho ya muda mfupi ya dhana za kimantiki haitoi athari.

Kutatua matatizo yasiyo ya kawaida hukuza kwa wanafunzi uwezo wa kufanya mawazo, kuangalia usahihi wao, na kuyahalalisha kimantiki. Kuzungumza kwa madhumuni ya ushahidi huchangia maendeleo ya hotuba, maendeleo ya ujuzi wa kufanya hitimisho, na kujenga hitimisho. Katika mchakato wa kutumia mazoezi haya katika masomo na katika kazi ya ziada katika hisabati, mienendo nzuri ya ushawishi wa mazoezi haya juu ya kiwango cha maendeleo ya mawazo ya kimantiki ya wanafunzi ilionekana.

Mitihani na hojaji daraja la 3.

Kutatua matatizo ya maneno kunajulikana kuwa ni vigumu sana kwa wanafunzi. Pia inajulikana ni hatua gani ya suluhisho ni ngumu sana. Hii ni hatua ya kwanza kabisa - uchambuzi wa maandishi ya kazi. Wanafunzi wana mwelekeo mbaya katika maandishi ya shida, hali na mahitaji yake. Maandishi ya shida ni hadithi juu ya ukweli fulani wa maisha: "Masha alikimbia mita 100, na kuelekea kwake ...",

"Wanafunzi wa darasa la kwanza walinunua karafu 12, na wanafunzi wa pili ...", "Bwana alifanya sehemu 20 wakati wa zamu, na mwanafunzi wake ...".

Kila kitu katika maandishi ni muhimu; na wahusika, na matendo yao, na sifa za nambari. Wakati wa kufanya kazi na mfano wa hisabati wa tatizo (maneno ya nambari au equation), baadhi ya maelezo haya yameachwa. Lakini tunafundisha kwa usahihi uwezo wa kujiondoa kutoka kwa mali fulani na kutumia zingine.

Uwezo wa kusoma maandishi ya shida ya hisabati ni matokeo muhimu na hali muhimu kwa ukuaji wa jumla wa mwanafunzi. Na hii inahitaji kufanywa sio tu katika masomo ya hisabati, lakini pia katika kusoma na masomo ya sanaa nzuri. Matatizo mengine hufanya masomo mazuri kwa michoro. Na kazi yoyote ni mada nzuri ya kuelezea tena. Na ikiwa kuna masomo ya ukumbi wa michezo darasani, basi shida zingine za hesabu zinaweza kuigizwa. Bila shaka, mbinu hizi zote: kuelezea tena, kuchora, kuigiza - pia inaweza kuchukua nafasi katika masomo ya hisabati wenyewe. Kwa hiyo, kufanya kazi kwenye maandiko ya matatizo ya hisabati ni kipengele muhimu cha maendeleo ya jumla ya mtoto, kipengele cha elimu ya maendeleo.

Lakini ni kazi ambazo ziko katika vitabu vya sasa vya kiada na suluhisho ambalo limejumuishwa katika kiwango cha chini cha lazima cha kutosha kwa hili? Hapana, haitoshi. Kima cha chini kinachohitajika ni pamoja na uwezo wa kutatua aina fulani za shida:

kuhusu idadi ya vipengele vya seti fulani;

kuhusu harakati, kasi yake, njia na wakati;

kuhusu bei na gharama;

kuhusu kazi, muda wake, kiasi na tija.

Mada nne zilizoorodheshwa ni za kawaida. Inaaminika kuwa uwezo wa kutatua matatizo juu ya mada hizi unaweza kufundisha mtu kutatua matatizo kwa ujumla. Kwa bahati mbaya, sivyo. Wanafunzi wazuri ambao wanaweza kutatua kivitendo

shida yoyote kutoka kwa kitabu cha maandishi kwenye mada zilizoorodheshwa, mara nyingi hawawezi kuelewa hali ya shida kwenye mada nyingine.

Njia ya nje sio kujiwekea kikomo kwa mada yoyote ya shida za maneno, lakini kutatua shida zisizo za kawaida, ambayo ni, shida ambazo mada zao sio kitu cha kusoma. Baada ya yote, hatupunguzi njama za hadithi katika masomo ya kusoma!

Matatizo yasiyo ya kawaida yanahitaji kutatuliwa darasani kila siku. Wanaweza kupatikana katika vitabu vya hisabati vya darasa la 5-6 na katika majarida "Shule ya Msingi", "Hisabati Shuleni" na hata "Quant".

Idadi ya kazi ni kwamba unaweza kuchagua kazi kutoka kwao kwa kila somo: moja kwa kila somo. Matatizo yanatatuliwa nyumbani. Lakini mara nyingi sana unahitaji kuzitatua darasani. Miongoni mwa matatizo yaliyopendekezwa kuna yale ambayo mwanafunzi mwenye nguvu hutatua papo hapo. Hata hivyo, ni muhimu kuhitaji mabishano ya kutosha kutoka kwa watoto wenye nguvu, ikieleza kwamba kutokana na matatizo rahisi mtu hujifunza mbinu za kufikiri ambazo zitahitajika wakati wa kutatua matatizo magumu. Tunahitaji kusitawisha kwa watoto upendo kwa uzuri wa hoja zenye mantiki. Kama uamuzi wa mwisho, unaweza kulazimisha hoja kama hizo kutoka kwa wanafunzi wenye nguvu kwa kuwahitaji watengeneze maelezo ambayo yanaeleweka kwa wengine - kwa wale ambao hawaelewi suluhu la haraka.

Miongoni mwa matatizo kuna yanayofanana kabisa katika maneno ya hisabati. Ikiwa watoto wanaona hii, nzuri. Mwalimu anaweza kuonyesha hii mwenyewe. Walakini, haikubaliki kusema: tunasuluhisha shida kama hiyo, na jibu litakuwa sawa. Ukweli ni kwamba, kwanza, sio wanafunzi wote wana uwezo wa mlinganisho kama huo. Na pili, katika matatizo yasiyo ya kawaida njama sio muhimu zaidi kuliko maudhui ya hisabati. Kwa hiyo, ni bora kusisitiza uhusiano kati ya kazi na njama sawa.

Sio shida zote zinahitaji kutatuliwa (kuna zaidi yao hapa kuliko masomo ya hesabu katika mwaka wa shule). Unaweza kutaka kubadilisha mpangilio wa majukumu au kuongeza kazi ambayo haipo hapa.

Lyabina T.I.

Mwalimu wa hisabati wa kitengo cha juu zaidi

Taasisi ya elimu ya manispaa "Shule ya Sekondari ya Moshok"

Kazi zisizo za kawaida kama njia ya kukuza fikra za kimantiki

Ni shida gani ya hesabu inaweza kuitwa isiyo ya kawaida? Ufafanuzi mzuri umetolewa katika kitabu

Shida zisizo za kawaida ni zile ambazo kozi ya hesabu haina sheria na kanuni za jumla zinazoamua mpango halisi wa kuzitatua. Hawapaswi kuchanganyikiwa na kazi za kuongezeka kwa utata. Masharti ya shida za kuongezeka kwa ugumu ni kwamba huwaruhusu wanafunzi kutambua kwa urahisi vifaa vya hesabu ambavyo vinahitajika kutatua shida katika hisabati. Mwalimu anadhibiti mchakato wa kuunganisha ujuzi unaotolewa na programu ya mafunzo kwa kutatua matatizo ya aina hii. Lakini kazi isiyo ya kawaida hupendekeza mhusika wa utafiti. Walakini, ikiwa kutatua shida katika hisabati kwa mwanafunzi mmoja sio kiwango, kwani hajui njia za kutatua shida za aina hii, basi kwa mwingine, kutatua shida hufanyika kwa njia ya kawaida, kwani tayari ameshasuluhisha shida kama hizo. zaidi ya moja. Shida sawa katika hisabati katika daraja la 5 sio ya kawaida, lakini katika daraja la 6 ni ya kawaida, na sio hata ya kuongezeka kwa ugumu.

Kwa hivyo, ikiwa mwanafunzi hajui ni nyenzo gani za kinadharia za kutegemea kutatua shida, pia hajui, basi katika kesi hii shida katika hisabati inaweza kuitwa isiyo ya kawaida kwa muda fulani.

Je, ni mbinu gani za kufundisha kutatua matatizo katika hisabati ambazo kwa sasa tunaziona kuwa zisizo za kawaida? Kwa bahati mbaya, hakuna mtu aliyekuja na kichocheo cha ulimwengu wote, kutokana na upekee wa kazi hizi. Walimu wengine, kama wanasema, wanakufundisha katika mazoezi ya kimfumo. Hii hutokea kwa njia ifuatayo: mwalimu anaonyesha suluhisho, na kisha mwanafunzi anarudia hili mara nyingi wakati wa kutatua matatizo. Wakati huo huo, maslahi ya wanafunzi katika hisabati yanauawa, ambayo ni ya kusikitisha, kusema kidogo.

Unaweza kufundisha watoto jinsi ya kutatua shida za aina isiyo ya kawaida ikiwa unaamsha riba, kwa maneno mengine, kutoa shida zinazovutia na zenye maana kwa mwanafunzi wa kisasa. Au badilisha maneno ya swali kwa kutumia hali ngumu za maisha. Kwa mfano, badala ya kazi "suluhisha equation ya Diaphantine", toa kutatua shida ifuatayo. Je!

Je! mwanafunzi anapaswa kulipa ununuzi wa thamani ya rubles 19 ikiwa ana bili tatu za ruble tu, na muuzaji ana bili kumi za ruble?

Njia ya kuchagua kazi za msaidizi pia ni nzuri. Njia hii ya kufundisha utatuzi wa shida inaonyesha kiwango fulani cha mafanikio katika utatuzi wa shida. Kawaida katika hali kama hizi, mwanafunzi anayefikiria anajaribu kujitegemea, bila msaada wa mwalimu, kupata shida za msaidizi au kurahisisha na kurekebisha hali ya shida hizi.

Uwezo wa kutatua shida zisizo za kawaida hupatikana kupitia mazoezi. Sio bure kwamba wanasema kwamba huwezi kujifunza hisabati kwa kuangalia jirani yako akifanya hivyo. Kazi ya kujitegemea na msaada wa mwalimu ni ufunguo wa masomo yenye matunda.

1. Kazi zisizo za kawaida na sifa zao.

Uchunguzi unaonyesha kwamba hisabati hufurahiwa zaidi na wanafunzi ambao wanaweza kutatua matatizo. Kwa hivyo, kwa kufundisha watoto kujua uwezo wa kutatua shida, tutakuwa na athari kubwa kwa hamu yao katika somo, katika ukuzaji wa fikra na hotuba.

Kazi zisizo za kawaida huchangia katika ukuzaji wa fikra za kimantiki kwa kiwango kikubwa zaidi. Kwa kuongezea, ni njia zenye nguvu za kuamsha shughuli za utambuzi, ambayo ni, huamsha shauku kubwa na hamu ya watoto kufanya kazi. Wacha tutoe mfano wa kazi zisizo za kawaida.

I. Changamoto za ujanja.

1. Uzito wa korongo amesimama kwa mguu mmoja ni kilo 12. Je, nguli atakuwa na uzito gani ikiwa amesimama kwa miguu 2?

2. Jozi ya farasi walikimbia kilomita 40. Kila farasi alikimbia umbali gani?

3. Ndugu saba wana dada mmoja. Je, kuna watoto wangapi katika familia?

4. Paka sita hula panya sita kwa dakika sita. Je, itachukua paka ngapi kula panya mia moja kwa dakika mia moja?

5. Kuna glasi 6, 3 na maji, 3 tupu. Jinsi ya kuzipanga ili glasi zilizo na maji na glasi tupu zibadilishe? Glasi moja tu inaruhusiwa kuhamishwa.

6. Wanajiolojia walipata mawe 7. Uzito wa kila jiwe ni: 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg, 5 kg, 6 kg na 7 kg. Mawe haya yaliwekwa katika mabegi 4 hivyo

kwamba katika kila mkoba wingi wa mawe uligeuka kuwa sawa.

Walifanyaje?

7. Darasani kuna wasichana wengi waliochana kama wavulana wakorofi. Nani zaidi darasani, wasichana au wanafunzi wakorofi?

8. Bata walikuwa wakiruka: moja mbele na mbili nyuma, moja nyuma na mbili mbele, moja kati ya mbili na tatu mfululizo. Je, kulikuwa na bata wangapi kwa jumla?

9. Misha anasema: “Siku moja kabla ya jana nilikuwa na umri wa miaka 10, na mwaka ujao nitafikisha umri wa miaka 13.” Inawezekana?

10. Andrey na Bori wana pipi 11, Bori na Vova wana pipi 13, na Andrey na Vova wana 12. Je! wavulana wana pipi ngapi kwa jumla?

11. Baba na wana wawili walikuwa wakiendesha baiskeli: magurudumu mawili na matatu. Walikuwa na magurudumu 7 kwa jumla. Kulikuwa na baiskeli ngapi, na za aina gani?

12. Kuna kuku na nguruwe uani. Wote wana vichwa 5 na miguu 14. Je! ni kuku wangapi na nguruwe wangapi?

13. Kuku na sungura wanazunguka uani. Wana jumla ya miguu 12. Kuku wangapi na sungura wangapi?

14.Kila Martian ana mikono 3. Je, Martians 13 wanaweza kushikana mikono bila kuacha mikono yoyote ya bure?

15. Wakati wa kucheza, kila mmoja wa wasichana watatu - Katya, Galya, Olya - alificha moja ya toys - dubu, hare na tembo. Katya hakuficha hare, Olya hakuficha sungura au dubu. Nani alificha toy gani?

II. Kazi za kuburudisha.

1. Jinsi ya kupanga viti 6 dhidi ya kuta 4 ili kila ukuta uwe na viti 2.

2. Baba na wana wawili walipanda matembezi. Wakiwa njiani walikutana na mto. Kuna raft karibu na pwani. Inaweza kusaidia baba mmoja au wana wawili juu ya maji. Baba na wanawe wanawezaje kuvuka kwenda ng'ambo ya pili?

3. Kwa farasi mmoja na ng'ombe wawili, kilo 34 za nyasi hutolewa kila siku, na kwa farasi wawili na ng'ombe mmoja - kilo 35 za nyasi. Ni nyasi ngapi hupewa kila siku kwa farasi mmoja na ni ngapi kwa ng'ombe mmoja?

4. Ducklings nne na goslings tano uzito wa kilo 4 100 g, na ducklings tano na goslings nne uzito 4 kg. bata mmoja ana uzito gani?

5. Mvulana alikuwa na sarafu 22 - ruble tano na kumi-ruble, kwa jumla ya 150 rubles. Je! kulikuwa na sarafu ngapi za ruble tano na ruble kumi?

6. Kittens tatu huishi katika ghorofa No 1, 2, 3: nyeupe, nyeusi na nyekundu. Hakuwa paka mweusi ambaye aliishi katika vyumba Na. 1 na 2. Kitten nyeupe haikuishi katika ghorofa Nambari 1. Je, kila kittens aliishi katika ghorofa gani?

7. Katika wiki tano, pirate Yerema anaweza kunywa pipa la ramu. Na ingemchukua maharamia Emelya wiki mbili kufanya hivi. Itachukua siku ngapi maharamia, wakifanya kazi pamoja, kumaliza ramu?

8. Farasi hula mzigo wa nyasi kwa mwezi, mbuzi katika miezi miwili, kondoo katika miezi mitatu. Je, itachukua muda gani farasi, mbuzi, au kondoo kula mzigo uleule wa nyasi pamoja?

9. Watu wawili walimenya viazi 400; moja ilisafisha vipande 3 kwa dakika, nyingine -2. Ya pili ilifanya kazi kwa dakika 25 zaidi ya ile ya kwanza. Kila mtu alifanya kazi kwa muda gani?

10. Miongoni mwa mipira ya soka, mpira nyekundu ni mzito zaidi kuliko kahawia, na kahawia ni nzito kuliko kijani. Ni mpira gani mzito zaidi: kijani au nyekundu?

11. Pretzels tatu, gingerbreads tano na bagels sita gharama 24 rubles pamoja. Je, ni ghali zaidi: pretzel au bagel?

12. Sarafu moja ya bandia (nyepesi) kati ya sarafu 20 inawezaje kupatikana kwa vipimo vitatu kwenye mizani ya kikombe bila uzani?

13. Kutoka kona ya juu ya chumba, nzizi mbili zilitambaa chini ya ukuta. Baada ya kushuka sakafuni, walitambaa nyuma. Nzi wa kwanza alitambaa pande zote mbili kwa kasi ileile, na wa pili, ingawa alipanda mara mbili polepole kuliko wa kwanza, alishuka mara mbili haraka. Ni nzi gani atatambaa nyuma kwanza?

14. Kuna pheasants na sungura katika ngome. Wanyama wote wana vichwa 35 na miguu 94. Kuna sungura ngapi na pheasants ngapi kwenye ngome?

15. Wanasema kwamba alipoulizwa alikuwa na wanafunzi wangapi, mwanahisabati Mgiriki wa kale Pythagoras alijibu hivi: “Nusu ya wanafunzi wangu husoma hisabati, somo la nne, wa saba wanatumia wakati katika kutafakari kimya-kimya, wengine wote ni mabikira 3.” wanafunzi walikuwepo huko Pythagoras?

III. Matatizo ya kijiometri.

1. Kugawanya pie ya mstatili vipande vipande na kupunguzwa mbili ili wawe na sura ya triangular. Umepata sehemu ngapi?

2. Chora takwimu bila kuinua ncha ya penseli kutoka kwenye karatasi na bila kuchora mstari huo mara mbili.

3. Kata mraba katika sehemu 4 na uzikunja katika mraba 2. Jinsi ya kufanya hivyo?

4.Ondoa vijiti 4 ili miraba 5 ibaki.

5.Kata pembetatu katika pembetatu mbili, quadrilateral na pentagon, kwa kuchora mistari miwili iliyonyooka.

6.Je, mraba unaweza kugawanywa katika sehemu 5 na kukusanywa katika octagon?

IV. Viwanja vya mantiki.

1. Jaza mraba (4 x 4) na namba 1, 2, 3, 6 ili jumla ya nambari katika safu zote, safu na diagonals ni sawa. Nambari katika safu, safu na diagonal hazipaswi kurudiwa.

2. Rangi mraba na rangi nyekundu, kijani, njano na bluu ili rangi zisirudiwe katika safu, safu na diagonals.

3. Katika mraba unahitaji kuweka nambari zaidi 2,2,2,3,3,3 ili kwenye mistari yote upate jumla ya 6.

5. Katika seli za mraba, weka nambari 4,6,7,9,10,11,12 ili katika safuwima, safu na diagonal upate jumla ya 24.

V. Matatizo ya kuchanganya.

1. Dasha ina sketi 2: nyekundu na bluu, na blauzi 2: striped na polka dot. Dasha ana mavazi ngapi tofauti?

2. Kuna nambari ngapi za tarakimu mbili ambazo tarakimu zote ni odd?

3. Wazazi walinunua safari ya kwenda Ugiriki. Ugiriki inaweza kufikiwa kwa kutumia mojawapo ya aina tatu za usafiri: ndege, mashua au basi. Orodhesha chaguzi zote zinazowezekana za kutumia aina hizi za usafirishaji.

4. Ni maneno mangapi tofauti yanaweza kuundwa kwa kutumia herufi za neno “unganishi”?

5. Kutoka kwa nambari 1, 3, 5, fanya nambari tofauti za tarakimu tatu ili hakuna tarakimu zinazofanana katika nambari.

6. Marafiki watatu walikutana: mchongaji Belov, mpiga violinist Chernov na msanii Ryzhov. "Ni vizuri kwamba mmoja wetu ni blonde, mwingine ni brunette, na wa tatu ana nywele nyekundu. Lakini hakuna hata mmoja aliye na nywele za rangi iliyoonyeshwa kwa jina lake la mwisho, "brunette alibainisha. "Uko sawa," Belov alisema. Je, nywele za msanii ni za rangi gani?

7. Marafiki watatu walitoka kwa kutembea kwa nguo nyeupe, kijani na bluu na viatu vya rangi sawa. Inajulikana kuwa Anya pekee ana rangi sawa ya mavazi na viatu. Wala viatu vya Valya wala mavazi yake yalikuwa nyeupe. Natasha alikuwa amevaa viatu vya kijani. Tambua rangi ya mavazi na viatu ambavyo kila rafiki yako amevaa.

8. Tawi la benki huajiri mtunza fedha, mtawala na meneja. Majina yao ya mwisho ni Borisov, Ivanov na Sidorov. Keshia hana kaka au dada na ndiye mdogo kuliko wote. Sidorov ameolewa na dada ya Borisov na ni mrefu kuliko mtawala. Taja majina ya kidhibiti na meneja.

9. Kwa picnic, Masha, ambaye ana jino tamu, alichukua masanduku matatu yanayofanana ya pipi, biskuti na keki. Sanduku hizo ziliandikwa “Pipi,” “Vidakuzi,” na “Keki.” Lakini Masha alijua kuwa mama yake alipenda mzaha na kila wakati aliweka chakula ndani

masanduku ambayo lebo zake hazilingani na yaliyomo. Masha alikuwa na hakika kwamba pipi hazikuwa kwenye sanduku ambalo lilisema "Keki" juu yake. Keki iko kwenye sanduku gani?

10. Ivanov, Petrov, Markov, Karpov wameketi kwenye mduara. Majina yao ni Andrey, Sergey, Timofey, Alexey. Inajulikana kuwa Ivanov sio Andrei au Alexey. Sergei anakaa kati ya Markov na Timofey. Petrov anakaa kati ya Karpov na Andrey. Majina ya Ivanov, Petrov, Markov na Karpov ni nini?

VI. Kazi za uhamisho.

1. Je, inawezekana, kuwa na vyombo viwili tu vyenye uwezo wa lita 3 na 5, kuteka lita 4 za maji kutoka kwenye bomba la maji?

2. Jinsi ya kugawanya kwa usawa kati ya familia mbili lita 12 za kvass ya mkate, iko katika chombo cha lita kumi na mbili, kwa kutumia vyombo viwili tupu: lita nane na lita tatu?

3. Jinsi gani, kuwa na vyombo viwili na uwezo wa lita 9 na lita 5, unaweza kukusanya hasa lita 3 za maji kutoka kwenye hifadhi?

4. Mkopo wenye ujazo wa lita 10 umejaa juisi. Pia kuna vyombo tupu vya lita 7 na 2. Jinsi ya kumwaga juisi ndani ya vyombo viwili vya lita 5 kila moja?

5. Kuna vyombo viwili. Uwezo wa mmoja wao ni 9L, na mwingine ni 4L. Unawezaje kutumia vyombo hivi kukusanya lita 6 za kioevu kutoka kwa tanki? (Kioevu kinaweza kurudishwa ndani ya tangi).

Mchanganuo wa shida za maandishi yaliyopendekezwa unaonyesha kuwa suluhisho lao haliingii katika mfumo wa mfumo mmoja au mwingine wa shida za kawaida. Shida kama hizo huitwa zisizo za kawaida (I. K. Andronov, A. S. Pchelko, nk) au zisizo za kawaida (Yu. M. Kolyagin, K. I. Neshkov, D. Polya, nk).

Muhtasari wa mbinu mbalimbali za wanamethodolojia katika kuelewa matatizo ya kawaida na yasiyo ya kawaida (D. Polya, Ya. M. Friedman, n.k.), chini ya kazi isiyo ya kawaida Tunaelewa kazi ambayo algoriti yake haifahamiki kwa mwanafunzi na haijaundwa kama hitaji la programu.

Uchambuzi wa vitabu vya kiada na vifaa vya kufundishia katika hisabati unaonyesha kwamba kila tatizo la neno katika hali fulani linaweza kuwa lisilo la kawaida, na kwa wengine - la kawaida, la kawaida. Tatizo la kawaida katika kozi moja ya hisabati linaweza kuwa lisilo la kawaida katika kozi nyingine.

Kwa mfano. "Kulikuwa na ndege 57 na helikopta 79 kwenye uwanja wa ndege, ndege 60 zilipaa. Je, inawezekana kusema kwamba kuna: a) angalau ndege 1 angani; b) angalau helikopta 1?

Shida kama hizo zilikuwa za hiari kwa wanafunzi wote; zilikusudiwa wale wenye uwezo zaidi wa hisabati.

"Ikiwa unataka kujifunza jinsi ya kutatua matatizo, basi yatatue!" - anashauri D. Polya.

Jambo kuu ni kuunda njia ya jumla ya kutatua shida, wakati shida inazingatiwa kama kitu cha utafiti, na suluhisho lake linazingatiwa kama muundo na uvumbuzi wa njia ya suluhisho.

Kwa kawaida, njia hii haihitaji ufumbuzi usio na akili kwa idadi kubwa ya matatizo, lakini ufumbuzi wa burudani, makini na wa kina kwa idadi ndogo ya matatizo, lakini kwa uchambuzi wa baadaye wa ufumbuzi.

Kwa hiyo, hakuna sheria za jumla za kutatua matatizo yasiyo ya kawaida (ndiyo sababu matatizo haya yanaitwa yasiyo ya kawaida). Walakini, wanahisabati na walimu bora (S.A. Yanovskaya, L.M. Friedman,

E.N. Balayan) ilipata idadi ya miongozo ya jumla na mapendekezo ambayo yanaweza kutumika kuongoza ufumbuzi wa matatizo yasiyo ya kawaida. Miongozo hii kwa kawaida huitwa sheria za heuristic au, kwa urahisi, heuristics. Neno "heuristics" lina asili ya Kigiriki na linamaanisha "sanaa ya kupata ukweli."

Tofauti na sheria za hisabati, heuristics ni katika asili ya mapendekezo ya hiari, ushauri, kufuatia ambayo inaweza (au inaweza) kusababisha kutatua tatizo.

Mchakato wa kutatua shida yoyote isiyo ya kawaida (kulingana na

S.A. Yanovskaya) lina utumiaji mlolongo wa shughuli mbili:

1. kupunguzwa kwa mabadiliko ya tatizo lisilo la kawaida hadi lingine, sawa, lakini tayari tatizo la kawaida;

2. kugawanya kazi isiyo ya kawaida katika majukumu kadhaa ya kawaida.

Hakuna sheria maalum za kupunguza shida isiyo ya kawaida hadi ya kawaida. Walakini, ikiwa unachambua kwa uangalifu na kutatua kila shida, ukirekodi katika kumbukumbu yako mbinu zote ambazo suluhisho zilipatikana, ni njia gani zilizotumiwa kutatua shida, basi utaendeleza ustadi katika habari kama hiyo.

Wacha tuangalie kazi ya mfano:

Kando ya njia, kando ya misitu, mikia kadhaa ilitembea,

Naam, swali langu ni hili: jogoo walikuwa wangapi?

Na ningefurahi kujua - kulikuwa na watoto wangapi wa nguruwe?

Ikiwa hatuwezi kutatua tatizo hili, tutajaribu kupunguza kwa moja sawa.

Wacha tujipange upya:

1. Hebu tuje na kutatua sawa, lakini rahisi zaidi.

2. Tunatumia suluhisho lake kutatua hili.

Ugumu ni kwamba kuna aina mbili za wanyama katika tatizo. Wacha kila mtu awe nguruwe, basi kutakuwa na miguu 40.

Wacha tutengeneze shida kama hiyo:

Mikia kadhaa ilikuwa ikitembea kando ya njia, kando ya vichaka.

Ilikuwa ni jogoo na nguruwe wakienda mahali pamoja.

Naam, swali langu ni hili: jogoo walikuwa wangapi?

Na ningefurahi kujua - kulikuwa na watoto wangapi wa nguruwe?

Ni wazi kwamba ikiwa kuna miguu mara 4 zaidi kuliko mikia, basi wanyama wote ni nguruwe.

Katika tatizo sawa, walichukua miguu 40, lakini katika moja kuu kulikuwa na 30. Jinsi ya kupunguza idadi ya miguu? Badilisha nguruwe na jogoo.

Suluhisho la shida kuu: ikiwa wanyama wote wangekuwa nguruwe, wangekuwa na miguu 40. Tunapobadilisha nguruwe na jogoo, idadi ya miguu hupungua kwa mbili. Kwa jumla, unahitaji kufanya mbadala tano kupata miguu 30. Hii ina maana kwamba kulikuwa na jogoo 5 na nguruwe 5 wakitembea.

Jinsi ya kupata shida "sawa"?

2 njia ya kutatua tatizo.

Katika tatizo hili, unaweza kutumia kanuni ya kusawazisha.

Wacha watoto wote wa nguruwe wasimame kwa miguu yao ya nyuma.

10*2 =20 miguu mingi sana inayotembea njiani

30 - 20 =10 ni idadi ya nguruwe ya mbele ya miguu ya mbele

10:2 = nguruwe 5 walitembea njiani

Kweli, kuna jogoo 10 -5 = 5.

Wacha tuunda sheria kadhaa za kutatua shida zisizo za kawaida.

1. Utawala "Rahisi": usiruke kazi rahisi zaidi.

Kawaida kazi rahisi huenda bila kutambuliwa. Na lazima tuanze nayo.

2. Kanuni ya "Ijayo": ikiwa inawezekana, hali zinapaswa kubadilishwa moja kwa moja. Idadi ya masharti ni nambari ya mwisho, kwa hivyo mapema au baadaye kila mtu atapata zamu yake.

3. Kanuni ya "Haijulikani": baada ya kubadilisha hali moja, teua nyingine inayohusishwa nayo kama x, na kisha uchague ili tatizo la msaidizi litatuliwe kwa thamani fulani na haijatatuliwa wakati x inaongezeka kwa moja.

3. Utawala wa "Kuvutia": fanya hali ya tatizo kuvutia zaidi.

4. Utawala wa "Muda": ikiwa kuna aina fulani ya mchakato katika shida na hali ya mwisho ni ya uhakika zaidi kuliko ile ya awali, inafaa kukimbia wakati kwa mwelekeo tofauti: fikiria hatua ya mwisho ya mchakato, kisha ya mwisho. moja, nk.

Hebu fikiria matumizi ya sheria hizi.

Kazi nambari 1. Wavulana watano walipata uyoga tisa. Thibitisha kwamba angalau wawili kati yao walipata idadi sawa ya uyoga.

Hatua 1. Kuna wavulana wengi. Wacha kuwe na 2 wachache wao katika shida inayofuata.

"Wavulana watatu walipata x idadi ya uyoga. Thibitisha kwamba angalau wawili kati yao walipata idadi sawa ya uyoga.

Ili kudhibitisha hili, wacha tujue ni shida gani x ina suluhisho.

Kwa x=0, x=1, x=2 tatizo lina suluhu, kwa x=3 tatizo halina suluhu.

Wacha tutengeneze shida kama hiyo.

Wavulana watatu walipata uyoga 2. Thibitisha kwamba angalau wawili kati yao walipata idadi sawa ya uyoga.

Wacha wavulana wote watatu wapate idadi tofauti ya uyoga. Kisha idadi ya chini ya uyoga ni 3, tangu 3=0+1+2. Lakini kulingana na hali hiyo, idadi ya uyoga ni chini ya 3, hivyo wavulana wawili kati ya watatu walipata idadi sawa ya uyoga.

Wakati wa kutatua shida ya asili, hoja ni sawa kabisa. Waache wavulana wote watano wapate idadi tofauti ya uyoga. Idadi ya chini ya uyoga inapaswa basi kuwa 10. (10 =0+1+2+3+4). Lakini kulingana na hali hiyo, idadi ya uyoga ni chini ya 10, hivyo wavulana wawili walipata idadi sawa ya uyoga.

Wakati wa kutatua, tulitumia sheria "isiyojulikana".

Kazi nambari 2. Swans walikuwa wakiruka juu ya maziwa. Kwenye kila nusu moja ya swans na nusu nyingine ya swan ilitua, wengine waliruka. Kila mtu aliketi juu ya ziwa saba. Kulikuwa na swans wangapi?

Hatua 1. Mchakato unaendelea, hali ya awali haijafafanuliwa, hali ya mwisho ni sifuri, i.e. hakukuwa tena na swans wanaoruka.

Wacha turudishe wakati nyuma kwa kuja na shida ifuatayo:

Swans walikuwa wakiruka juu ya maziwa. Juu ya kila nusu moja swan alichukua mbali na wengi zaidi kama walikuwa sasa flying. Kila mtu akaondoka katika yale maziwa saba. Kulikuwa na swans wangapi?

Hatua ya 2 Wacha tuanze kutoka mwanzo:

(((((((0+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2+1/2)2 =127.

Kazi nambari 3.

Mtu mvivu na shetani walikutana kwenye daraja la mto. Mtu mvivu alilalamika juu ya umaskini wake. Kwa kujibu, shetani alipendekeza:

Naweza kukusaidia. Kila unapovuka daraja hili, pesa zako zitaongezeka maradufu. Lakini kila wakati unapovuka daraja, itabidi unipe kopecks 24. Yule aliyeacha kazi alivuka daraja mara tatu, na alipotazama kwenye pochi yake, ilikuwa tupu. Je, aliyeacha kazi alikuwa na pesa ngapi?

(((0+24):2+24):2+24):2= 21

Wakati wa kutatua matatizo No 2 na No 3, utawala wa "wakati" ulitumiwa.

Kazi nambari 4. A viatu kwato moja katika dakika 15. Itachukua muda gani wahunzi 8 kuanika farasi 10? (Farasi hawezi kusimama kwa miguu miwili.)

Hatua 1. Kuna farasi wengi na wahunzi, wacha tupunguze idadi yao sawia kwa kuunda kazi.

A viatu kwato moja katika dakika tano. Itachukua muda gani wahunzi wanne kuwafunga farasi watano?

Ni wazi kwamba muda mdogo iwezekanavyo ni dakika 25, lakini inaweza kupatikana? Ni muhimu kuandaa kazi ya wahunzi bila downtime. Tutachukua hatua bila kuvunja ulinganifu. Wacha tuweke farasi watano kwenye duara. Baada ya wapanda farasi wanne kila mmoja kuvaa kwato za farasi mmoja, wapanda farasi husogeza farasi mmoja kwenye duara. Ili kuzunguka mduara kamili, itachukua alama tano za kazi kwa dakika tano. Wakati wa midundo 4, kila farasi atapigwa viatu na kupumzika kwa mpigo mmoja. Kama matokeo, farasi wote watavaliwa kwa dakika 25.

Hatua ya 2. Kurudi kwa tatizo la awali, kumbuka kuwa 8=2*4, na 10=2*5. Kisha wahunzi 8 wanahitaji kugawanywa katika timu mbili

watu 4 kila mmoja, na farasi - katika makundi mawili ya farasi 5 kila moja.

Ndani ya dakika 25, timu ya kwanza ya wahunzi itavaa kundi la kwanza, na timu ya pili itatengeneza ya pili.

Wakati wa kutatua, sheria "ijayo" ilitumiwa.

Bila shaka, kunaweza kuwa na tatizo ambalo hakuna sheria zilizoorodheshwa zinaweza kutumika. Kisha unahitaji kuvumbua njia maalum ya kutatua tatizo hili.

Ni lazima ikumbukwe kwamba kutatua shida zisizo za kawaida ni sanaa ambayo inaweza kueleweka tu kama matokeo ya uchambuzi wa mara kwa mara wa vitendo vya kutatua shida.

2. Kazi za elimu za kazi zisizo za kawaida.

Jukumu la kazi zisizo za kawaida katika malezi ya fikra za kimantiki.

Katika hatua ya sasa ya elimu, kumekuwa na tabia ya kutumia matatizo kama sehemu muhimu ya kufundisha wanafunzi hisabati. Hii inaelezwa, kwanza kabisa, kwa kuongeza mahitaji yenye lengo la kuimarisha kazi za maendeleo ya mafunzo.

Wazo la "kazi isiyo ya kawaida" hutumiwa na wataalamu wengi wa mbinu. Kwa hiyo, Yu. M. Kolyagin inafichua dhana hii kama ifuatavyo: “Chini yasiyo ya kiwango inaeleweka kazi, inapowasilishwa ambayo wanafunzi hawajui kimbele njia ya kulitatua au ni nyenzo gani ya kielimu ambayo suluhu hiyo inategemea.”

Kulingana na uchambuzi wa nadharia na mazoezi ya kutumia matatizo yasiyo ya kawaida katika kufundisha hisabati, jukumu lao la jumla na maalum limeanzishwa.

Kazi zisizo za kawaida:

Wanafundisha watoto kutumia sio tu algorithms zilizopangwa tayari, lakini pia kwa kujitegemea kutafuta njia mpya za kutatua matatizo, yaani, wanakuza uwezo wa kupata njia za awali za kutatua matatizo;

Wanaathiri ukuaji wa akili na akili ya wanafunzi;

kuzuia ukuzaji wa cliche zenye madhara wakati wa kutatua shida, kuharibu vyama visivyo sahihi katika maarifa na ustadi wa wanafunzi, haimaanishi sana uigaji wa mbinu za algorithmic, lakini ugunduzi wa miunganisho mpya katika maarifa, kuhamisha.

ujuzi katika hali mpya, kusimamia mbinu mbalimbali za shughuli za akili;

Wanaunda hali nzuri za kuongeza nguvu na kina cha maarifa ya wanafunzi na kuhakikisha uigaji wa dhana za hisabati.

Kazi zisizo za kawaida:

Hawapaswi kuwa na algoriti zilizotengenezwa tayari ambazo watoto wamekariri;

Maudhui lazima yaweze kufikiwa na wanafunzi wote;

Lazima kuvutia katika maudhui;

Ili kutatua matatizo yasiyo ya kawaida, wanafunzi lazima wawe na ujuzi wa kutosha ambao wamepata katika programu.

3. Mbinu ya kukuza uwezo wa kutatua shida zisizo za kawaida.

Kazi nambari 1.

Msafara wa ngamia unatembea polepole jangwani, jumla yao ni 40. Ukihesabu nundu zote za ngamia hawa, utapata nundu 57. Je, kuna ngamia wangapi katika msafara huu?

Ngamia wanaweza kuwa na nundu ngapi?

(kunaweza kuwa mbili au moja)

Wacha tuunganishe ua kwenye nundu ya kila ngamia.

Ni maua ngapi yatahitajika? (Ngamia 40 - maua 40)

Ni ngamia wangapi wataachwa bila maua?

(Kutakuwa na 57-40=17 kati ya hizi. Hizi ni nundu za pili za ngamia za Bactrian).

Kuna ngamia wangapi wa Bactrian? (17)

Ngamia ngapi? (40-17=23)

Je, jibu la tatizo ni lipi? (Ngamia 17 na 23).

Kazi nambari 2.

Katika karakana hiyo kulikuwa na magari na pikipiki zenye kando, 18 kati ya hizo zote kwa pamoja.Magari na pikipiki zilikuwa na magurudumu 65. Ni pikipiki ngapi zilizo na sidecars zilikuwa kwenye karakana, ikiwa magari yana magurudumu 4 na pikipiki zina magurudumu 3?

Hebu turekebishe tatizo. Majambazi hao waliofika kwenye karakana iliyokuwa imeegeshwa magari 18 na pikipiki zilizokuwa pembeni, walitoa magurudumu matatu kwenye kila gari na pikipiki na kuondoka nazo. Ni magurudumu ngapi yamesalia kwenye karakana ikiwa kulikuwa na 65 kati yao? Je, ni mali ya gari au pikipiki?

Je, majambazi walichukua magurudumu mangapi? (3*18=magurudumu 54)

Ni magurudumu mangapi yamesalia? (65-54=11)

Kulikuwa na magari mangapi kwenye karakana?

Kulikuwa na magari na pikipiki 18 zilizokuwa na kando kwenye karakana. Magari na pikipiki zina magurudumu 65. Je, kuna pikipiki ngapi kwenye karakana ikiwa kila gari la pembeni lina gurudumu la ziada?

Je, magari na pikipiki zina magurudumu mangapi kwa pamoja? (4*18=72)

Je, unaweka magurudumu mangapi ya vipuri kwenye kila kitembezi? (72-65= 7)

Je, kuna magari mangapi kwenye karakana? (18-7=1)

Kazi nambari 3.

Kwa farasi mmoja na ng'ombe wawili, kilo 34 za nyasi hutolewa kila siku, na kwa farasi wawili na ng'ombe mmoja - kilo 35 za nyasi. Je! ni nyasi ngapi hupewa farasi mmoja na ng'ombe mmoja?

Hebu tuandike taarifa fupi ya tatizo:

farasi 1 na ng'ombe 2 -34kg.

farasi 2 na ng'ombe 1 -35kg.

Je, inawezekana kujua ni nyasi ngapi zinahitajika kwa farasi 3 na ng'ombe 3? (kwa farasi 3 na ng'ombe 3 - 34+35=69 kg)

Je, inawezekana kujua ni nyasi ngapi zinahitajika kwa farasi mmoja na ng'ombe mmoja? (69: 3 - 23kg)

Je, farasi mmoja anahitaji nyasi ngapi? (35-23=12kg)

Ng'ombe mmoja anahitaji nyasi ngapi? (23 -13 =11kg)

Jibu: 12kg na 11kg

Kazi nambari 4.

-Bukini walikuwa wakiruka: 2 mbele, 1 nyuma, 1 mbele, 2 nyuma.

Je! bukini wangapi walikuwa wakiruka?

Ni bukini wangapi waliruka, kama ilivyoonyeshwa katika hali? (2 mbele, 1 nyuma)

Chora hii kwa nukta.

Chora kwa nukta.

Hesabu ulichonacho (2 mbele, 1, 1, 2 nyuma)

Je, ndivyo hali inavyosema? (Hapana)

Hii inamaanisha kuwa umechora bukini wa ziada. Kutoka kwa mchoro wako tunaweza kusema kwamba 2 ni mbele na 4 ni nyuma, au 4 ni mbele na 2 ni nyuma. Na hii sio kulingana na hali. Nini kinahitaji kufanywa? (ondoa nukta 3 za mwisho)

Nini kitatokea?

Kwa hivyo bukini wangapi walikuwa wakiruka? (3)

Majukumu Nambari 5.

Bata wanne na goslings watano wana uzito wa kilo 4 100 g, bata watano na goslings wanne wana uzito wa kilo 4. bata mmoja ana uzito gani?

Hebu turekebishe tatizo.

Bata wanne na goslings watano wana uzito wa kilo 4 100 g, bata watano na goslings wanne wana uzito wa kilo 4.

bata mmoja na gosling mmoja wana uzito gani pamoja?

Je, ducklings 9 na goslings 9 wana uzito gani pamoja?

Tumia suluhisho la tatizo la msaidizi ili kutatua tatizo kuu, kujua ni kiasi gani cha ducklings 3 na goslings 3 hupima pamoja?

Matatizo na vipengele vya combinatorics na ingenuity.

Kazi Nambari 6.

Marina aliamua kupata kifungua kinywa kwenye mkahawa wa shule. Soma menyu na ujibu, ni kwa njia ngapi anaweza kuchagua kinywaji na bidhaa ya confectionery?

Wacha tufikirie kwamba Marina anachagua chai kama kinywaji. Ni bidhaa gani ya confectionery anaweza kuchagua kwa chai? (chai - cheesecake, chai - biskuti, chai - bun)

Njia ngapi? (3)

Nini ikiwa ni compote? (pia 3)

Unawezaje kujua ni njia ngapi Marina anaweza kutumia kuchagua chakula chake cha mchana? (3+3+3=9)

Ndio uko sahihi. Lakini ili iwe rahisi kwetu kutatua tatizo hili, tutatumia grafu. Hebu tuonyeshe vinywaji na bidhaa za confectionery na dots na kuunganisha jozi za sahani hizo ambazo Marina anachagua.

compote ya maziwa ya chai

keki ya cheese bun

Sasa hebu tuhesabu idadi ya mistari. Kuna 9 kati yao. Hii ina maana kwamba kuna njia 9 za kuchagua sahani.

Kazi Nambari 7.

Mashujaa watatu - Ilya Muromets, Alyosha Popovich na Dobrynya Nikitich, wakitetea ardhi yao ya asili kutokana na uvamizi, walikata vichwa vyote 13 vya Nyoka Gorynych. Ilya Muromets alipunguza vichwa vingi, na Alyosha Popovich alipunguza kidogo zaidi ya yote. Ni vichwa vingapi kila mmoja angeweza kukata?

Nani anaweza kujibu swali hili?

(mwalimu anauliza watu kadhaa - kila mtu ana majibu tofauti)

Mbona umepata majibu tofauti? (kwa sababu haijasemwa haswa ni vichwa vingapi vilikatwa na angalau mmoja wa mashujaa)

Wacha tujaribu kutafuta suluhisho zote zinazowezekana za shida hii. Jedwali litatusaidia na hili.

Je, ni sharti gani tunapaswa kuzingatia wakati wa kutatua tatizo hili? (Mashujaa wote walikata idadi tofauti ya vichwa, na Alyosha alikuwa na mdogo kuliko wote, Ilya alikuwa na zaidi)

Je, tatizo hili lina suluhu ngapi zinazowezekana? (8)

Matatizo hayo huitwa matatizo na ufumbuzi wa multivariate.

Tunga shida yako na suluhisho la chaguo nyingi.

Kazi Nambari 8.

-Katika vita na Nyoka Gorynych mwenye vichwa vitatu na mwenye mikia mitatu

Ivan Tsarevich kwa pigo moja la upanga wake anaweza kukata kichwa kimoja, vichwa viwili, mkia mmoja au mikia miwili. Ukikata kichwa kimoja, kipya kitakua, ukikata mkia mmoja, mbili mpya zitakua, ukikata mikia miwili, kichwa kitakua, ukikata vichwa viwili, hakuna kitakachokua. Mshauri Ivan Tsarevich nini cha kufanya ili aweze kukata vichwa na mikia yote ya Nyoka.

Nini kitatokea ikiwa Ivan Tsarevich atakata kichwa kimoja? (kichwa kipya kitakua)

Je, ina maana kukata kichwa kimoja? (hapana, hakuna kitakachobadilika)

Hii inamaanisha kuwa hatujumuishi kukata kichwa kimoja - kupoteza wakati na bidii.

Nini kitatokea ikiwa utakata mkia mmoja? (mikia miwili mipya itakua)

Nini ikiwa utakata mikia miwili? (kichwa kitakua)

Vipi kuhusu vichwa viwili? (hakuna kitakachokua)

Kwa hiyo, hatuwezi kukata kichwa kimoja, kwa sababu hakuna kitakachobadilika, kichwa kitakua tena. Ni muhimu kufikia nafasi hiyo kwamba kuna idadi hata ya vichwa, na hakuna mikia. Lakini kwa hili ni muhimu kwamba kuna idadi hata ya mikia.

Unawezaje kufikia matokeo unayotaka?

1). Pigo la 1: kata mikia 2 - kutakuwa na vichwa 4 na mkia 1;

Pigo la 2: kata mkia 1 - kutakuwa na vichwa 4 na mikia 2;

Pigo la 3: kata mkia 1 - kutakuwa na vichwa 4 na mikia 3;

Pigo la 4: kata mkia 1 - kutakuwa na vichwa 4 na mikia 4;

Pigo la 5: kata mikia 2 - kutakuwa na vichwa 5 na mikia 2;

Pigo la 6: kata mikia 2 - kutakuwa na vichwa 6 na mikia 0;

Pigo la 7: kata vichwa 2 - kutakuwa na vichwa 4;

2). Pigo la 1: kata vichwa 2 - kutakuwa na kichwa 1 na mikia 3;

Pigo la 2: kata mkia 1 - kutakuwa na kichwa 1 na mikia 4;

Pigo la 3: kata mkia 1 - kutakuwa na kichwa 1 na mikia 5;

Pigo la 4: kata mkia 1 - kutakuwa na kichwa 1 na mikia 6;

Pigo la 5: kata mikia 2 - kutakuwa na vichwa 2 na mikia 4;

Pigo la 6: kata mikia 2 - kutakuwa na vichwa 3 na mikia 2;

Pigo la 7: kata mikia 2 - kutakuwa na vichwa 4;

Pigo la 8: kata vichwa 2 - kutakuwa na vichwa 2;

Hit ya 9: kata vichwa 2 - kutakuwa na vichwa 0.

Kazi Nambari 9.

Familia ina watoto wanne: Seryozha, Ira, Vitya na Galya. Wana umri wa miaka 5, 7, 9 na 11. Kila mmoja wao ana umri gani, ikiwa mmoja wa wavulana huenda shule ya chekechea, Ira ni mdogo kuliko Seryozha, na jumla ya miaka ya wasichana imegawanywa na 3?

Rudia kauli ya tatizo.

Ili si kuchanganyikiwa katika mchakato wa hoja, hebu tuchore meza.

Tunajua nini kuhusu mmoja wa wavulana? (huenda shule ya chekechea)

Huyu kijana ana miaka mingapi? (5)

Je, jina la kijana huyu linaweza kuwa Seryozha? (hapana, Seryozha ni mzee kuliko Ira, ambayo inamaanisha jina lake ni Vitya)

Hebu tuweke ishara "+" kwenye safu ya "Vitya", safu "5". Hii ina maana kwamba jina la mtoto mdogo ni Vitya na ana umri wa miaka 5.

Tunajua nini kuhusu Ira? (yeye ni mdogo kuliko Seryozha, na ikiwa tunaongeza umri wa dada yake mwingine kwa umri wake, basi kiasi hiki kitagawanywa na 3)

Wacha tujaribu kuhesabu hesabu zote za nambari 7, 9 na 11.

16 na 20 hazigawanyiki na 3, lakini 18 zinaweza kugawanywa na 3.

Hii inamaanisha wasichana wana miaka 7 na 11.

Seryozha ana umri gani? (9)

Vipi kuhusu Ira? (7, kwa sababu yeye ni mdogo kuliko Seryozha)

Na Gale? (miaka 11)

Tunaingiza data kwenye meza:

Je, jibu la swali la tatizo ni lipi? (Vita ana umri wa miaka 5, Ira ana miaka 7, Seryozha ana miaka 9, na Gala ana miaka 11)

Kazi nambari 10.

Katya, Sonya, Galya na Tom walizaliwa mnamo Machi 2, Mei 17, Juni 2, Machi 20. Sonya na Galya walizaliwa katika mwezi huo huo, na Galya na Katya walikuwa na siku moja ya kuzaliwa. Nani alizaliwa tarehe ngapi na mwezi gani?

Soma tatizo.

Tunajua nini? (kwamba Sonya na Galya walizaliwa mwezi huo huo, na Galya na Katya walizaliwa tarehe moja)

Kwa hiyo, ni mwezi gani siku za kuzaliwa za Sonya na Galya? (mwezi Machi)

Tunaweza kusema nini kuhusu Galya, tukijua kwamba alizaliwa Machi, na kwamba nambari yake inalingana na nambari ya Katya? (Galya alizaliwa Machi 2)

Wazo la "kazi isiyo ya kawaida" hutumiwa na wataalamu wengi wa mbinu. Kwa hivyo, Yu. M. Kolyagin anaelezea wazo hili kama ifuatavyo: "Chini yasiyo ya kiwango inaeleweka kazi, inapowasilishwa ambayo wanafunzi hawajui kimbele njia ya kulitatua au ni nyenzo gani ya kielimu ambayo suluhu hiyo inategemea.”

Ufafanuzi wa tatizo lisilo la kawaida pia umetolewa katika kitabu "How to Learn to Solve Problems" na waandishi L.M. Fridman, E.N. Turetsky: ". Kazi zisizo za kawaida- hizi ni zile ambazo kozi ya hisabati haina sheria na kanuni za jumla zinazoamua mpango halisi wa suluhisho lao.

Kazi zisizo za kawaida hazipaswi kuchanganyikiwa na kazi za kuongezeka kwa utata. Masharti ya shida za kuongezeka kwa ugumu ni kwamba huwaruhusu wanafunzi kutambua kwa urahisi vifaa vya hesabu ambavyo vinahitajika kutatua shida katika hisabati. Mwalimu anadhibiti mchakato wa kuunganisha ujuzi unaotolewa na programu ya mafunzo kwa kutatua matatizo ya aina hii. Lakini kazi isiyo ya kawaida hupendekeza mhusika wa utafiti. Walakini, ikiwa kutatua shida katika hisabati kwa mwanafunzi mmoja sio kiwango, kwani hajui njia za kutatua shida za aina hii, basi kwa mwingine, kutatua shida hufanyika kwa njia ya kawaida, kwani tayari ameshasuluhisha shida kama hizo. zaidi ya moja. Shida sawa katika hisabati katika daraja la 5 sio ya kawaida, lakini katika daraja la 6 ni ya kawaida, na sio hata ya kuongezeka kwa ugumu.

Kulingana na uchambuzi wa nadharia na mazoezi ya kutumia matatizo yasiyo ya kawaida katika kufundisha hisabati, inawezekana kuanzisha jukumu lao la jumla na maalum. Kazi zisizo za kawaida:

· kufundisha watoto kutumia sio tu algorithms tayari, lakini pia kujitegemea kutafuta njia mpya za kutatua matatizo, i.e. kukuza uwezo wa kutafuta njia za asili za kutatua shida;
· kuathiri ukuaji wa akili na akili ya wanafunzi;
· kuzuia ukuzaji wa cliche zenye madhara wakati wa kutatua shida, kuharibu vyama visivyo sahihi katika maarifa na ustadi wa wanafunzi, haimaanishi sana uigaji wa mbinu za algorithmic, lakini badala yake kupatikana kwa miunganisho mpya katika maarifa, uhamishaji wa maarifa kwa hali mpya; na ujuzi wa mbinu mbalimbali za shughuli za akili;
· kuunda hali nzuri za kuongeza nguvu na kina cha maarifa ya wanafunzi, hakikisha uigaji wa dhana za hisabati.

Kazi zisizo za kawaida:

· haipaswi kuwa na algoriti zilizotengenezwa tayari ambazo watoto wamekariri;
· maudhui lazima yaweze kufikiwa na wanafunzi wote;
· lazima iwe ya kuvutia katika maudhui;
· Ili kutatua matatizo yasiyo ya kawaida, wanafunzi lazima wawe na maarifa ya kutosha waliyopata katika programu.

Kutatua matatizo yasiyo ya kawaida huwezesha shughuli za wanafunzi. Wanafunzi hujifunza kulinganisha, kuainisha, kujumlisha, kuchanganua, na hii inachangia unyambulishaji wa maarifa unaodumu zaidi na wa kufahamu.

Kama mazoezi yameonyesha, kazi zisizo za kawaida ni muhimu sana sio tu kwa masomo, bali pia kwa shughuli za ziada, kwa mgawo wa olympiad, kwani hii inafungua fursa ya kutofautisha matokeo ya kila mshiriki. Kazi kama hizo zinaweza kutumika kwa mafanikio kama kazi za kibinafsi kwa wale wanafunzi ambao wanaweza kwa urahisi na haraka kukabiliana na sehemu kuu ya kazi ya kujitegemea darasani, au kwa wale wanaotaka kufanya hivyo kama kazi za ziada. Kama matokeo, wanafunzi hupokea maendeleo ya kiakili na maandalizi ya kazi ya vitendo.

Hakuna uainishaji unaokubalika kwa ujumla wa shida zisizo za kawaida, lakini B.A. Kordemsky anabainisha aina zifuatazo za kazi hizo:

· Matatizo yanayohusiana na kozi ya hisabati ya shule, lakini ya ugumu ulioongezeka - kama vile matatizo ya olympiads za hisabati. Imekusudiwa hasa kwa watoto wa shule walio na shauku ya uhakika katika hisabati; kimaudhui, kazi hizi kwa kawaida huhusiana na sehemu moja au nyingine mahususi ya mtaala wa shule. Mazoezi yanayohusiana hapa yanakuza nyenzo za kielimu, kutimiza na kujumlisha vifungu vya mtu binafsi vya kozi ya shule, kupanua upeo wa hisabati, na kukuza ujuzi katika kutatua shida ngumu.
· Matatizo kama vile burudani ya hisabati. Hazihusiani moja kwa moja na mtaala wa shule na, kama sheria, hazihitaji mafunzo ya kina ya hisabati. Hii haimaanishi, hata hivyo, kwamba aina ya pili ya kazi inajumuisha mazoezi ya mwanga tu. Kuna matatizo yenye suluhu na matatizo magumu sana ambayo bado hayajapatiwa ufumbuzi. "Matatizo yasiyo ya kawaida, yanayowasilishwa kwa njia ya kusisimua, huleta kipengele cha kihisia kwa mazoezi ya akili. Haihusiani na hitaji la kutumia sheria na mbinu zilizokaririwa kila wakati kuzitatua, zinahitaji uhamasishaji wa maarifa yote yaliyokusanywa, kufundisha watu kutafuta suluhisho asili, zisizo za kawaida, kuboresha sanaa ya kutatua kwa mifano nzuri, na kumfanya mtu apendezwe. nguvu ya akili.”

Aina hii ya kazi ni pamoja na:

mafumbo mbalimbali ya nambari (“... mifano ambayo nambari zote au baadhi hubadilishwa na nyota au herufi. Herufi zile zile hubadilisha nambari zilezile, herufi tofauti - nambari tofauti.”) na mafumbo kwa werevu;

matatizo ya mantiki, ufumbuzi ambao hauhitaji mahesabu, lakini ni msingi wa kujenga mlolongo wa hoja sahihi;

kazi ambazo ufumbuzi wake unategemea mchanganyiko wa maendeleo ya hisabati na ustadi wa vitendo: kupima na uhamisho chini ya hali ngumu;

sophism za hisabati ni hitimisho la makusudi, la uwongo ambalo lina mwonekano wa kuwa sahihi. (Sophism ni uthibitisho wa taarifa ya uwongo, na kosa katika uthibitisho limefichwa kwa ustadi. Sophistry iliyotafsiriwa kutoka kwa Kigiriki inamaanisha uvumbuzi wa busara, hila, fumbo);

kazi za utani;

matatizo ya kuchanganya ambapo mchanganyiko mbalimbali wa vitu vilivyotolewa huzingatiwa kwamba hukidhi hali fulani (B.A. Kordemsky, 1958).

Sio chini ya kuvutia ni uainishaji wa matatizo yasiyo ya kawaida yaliyotolewa na I.V. Egorchenko:

· Kazi zinazolenga kutafuta uhusiano kati ya vitu fulani, michakato au matukio;
· matatizo ambayo hayawezi kutatuliwa au hayawezi kutatuliwa kwa njia ya kozi ya shule katika kiwango fulani cha ujuzi wa wanafunzi;
kazi zinazohitaji:

kuchora na kutumia mlinganisho, kuamua tofauti kati ya vitu vilivyopewa, michakato au matukio, kuanzisha upinzani wa matukio na michakato au antipodes zao;

utekelezaji wa maonyesho ya vitendo, kujiondoa kutoka kwa mali fulani ya kitu, mchakato, jambo au maelezo ya kipengele kimoja au kingine cha jambo fulani;

kuanzisha uhusiano wa sababu-na-athari kati ya vitu fulani, michakato au matukio;

kujenga minyororo ya uchambuzi au ya synthetically ya kusababisha-na-athari na uchambuzi unaofuata wa chaguzi zinazosababisha;

utekelezaji sahihi wa mlolongo wa vitendo fulani, kuepuka makosa ya "mtego";

kufanya mabadiliko kutoka kwa mpangilio hadi toleo la anga la mchakato fulani, kitu, jambo, au kinyume chake (I.V. Egorchenko, 2003).

Kwa hivyo, hakuna uainishaji mmoja wa shida zisizo za kawaida. Kuna kadhaa yao, lakini mwandishi wa kazi iliyotumiwa katika utafiti uainishaji uliopendekezwa na I.V. Egorchenko.

Mkusanyiko unatoa nyenzo za kukuza ujuzi wa wanafunzi katika kutatua matatizo yasiyo ya kawaida.Uwezo wa kutatua matatizo yasiyo ya kawaida, yaani, yale ambayo algorithm ya ufumbuzi haijulikani mapema, ni sehemu muhimu ya elimu ya shule. Jinsi ya kufundisha watoto wa shule kutatua shida zisizo za kawaida? Moja ya chaguzi zinazowezekana kwa mafunzo hayo - ushindani wa mara kwa mara wa kutatua matatizo - ilielezwa kwenye kurasa za ziada ya Hisabati (No. 28-29, 38-40/96). Seti ya kazi zinazotolewa kwa umakini wako pia zinaweza kutumika katika shughuli za ziada. Nyenzo hiyo ilitayarishwa kwa ombi la walimu katika jiji la Kostroma.

Ujuzi wa kutatua matatizo ndio sehemu muhimu zaidi (na rahisi kudhibiti) ya ukuaji wa hisabati wa wanafunzi. Hatuzungumzii juu ya kazi za kawaida (mazoezi), lakini juu ya kazi isiyo ya kawaida, algoriti ya suluhu ambayo haijajulikana mapema (mpaka kati ya aina hizi za matatizo ni ya kiholela, na kile ambacho si cha kawaida kwa mwanafunzi wa darasa la sita kinaweza kujulikana kwa mwanafunzi wa darasa la saba! Matatizo 150 yaliyopendekezwa hapa chini (mwendelezo wa moja kwa moja). ya matatizo yasiyo ya kawaida kwa wanafunzi wa darasa la tano) yanakusudiwa mashindano ya kila mwaka katika daraja la 6. Kazi hizi pia zinaweza kutumika katika shughuli za ziada.

Maoni juu ya kazi

Kazi zote zinaweza kugawanywa katika vikundi vitatu:

1.Changamoto za ujanja. Kutatua shida kama hizo, kama sheria, hauitaji maarifa ya kina; kinachohitajika ni akili na hamu ya kushinda shida zinazopatikana kwenye njia ya suluhisho. Miongoni mwa mambo mengine, hii ni nafasi ya kuvutia wanafunzi ambao hawaonyeshi bidii ya kujifunza, na, hasa, kwa hisabati.

2.Kazi za kuunganisha nyenzo. Mara kwa mara, ni muhimu kutatua matatizo yaliyoundwa tu ili kuunganisha mawazo yaliyojifunza. Kumbuka kuwa inashauriwa kuangalia kiwango cha unyambulishaji wa nyenzo mpya muda baada ya kuisoma.

3.Kazi za propaedeutics ya mawazo mapya. Shida za aina hii huandaa wanafunzi kwa masomo ya kimfumo ya nyenzo za programu, na maoni na ukweli uliomo ndani yao hupokea jumla ya asili na rahisi katika siku zijazo. Kwa mfano, kukokotoa hesabu mbalimbali za nambari kutasaidia wanafunzi kuelewa chimbuko la fomula ya jumla ya mwendelezo wa hesabu, na mawazo na ukweli uliomo katika baadhi ya matatizo ya maneno katika seti hii kuwatayarisha kwa ajili ya kujifunza mada: Mifumo ya Milingano ya Mistari. , Mwendo Uliofanana, n.k. Jinsi Uzoefu unaonyesha kwamba kadiri nyenzo zinavyosomwa, ndivyo inavyokuwa rahisi kujifunza.

Kuhusu kutatua matatizo

Wacha tuzingatie mambo muhimu ya kimsingi:

1. Tunatoa masuluhisho ya "hesabu pekee" kwa matatizo ya maneno inapowezekana, hata kama wanafunzi wanaweza kuyatatua kwa urahisi kwa kutumia milinganyo. Hii inafafanuliwa na ukweli kwamba kuzaliana kwa nyenzo kwa njia ya maneno kunahitaji juhudi kubwa zaidi ya kimantiki na kwa hivyo huendeleza fikra za wanafunzi kwa ufanisi zaidi. Uwezo wa kuwasilisha nyenzo katika fomu ya maneno ni kiashiria muhimu zaidi cha kiwango cha mawazo ya hisabati.

2. Nyenzo zilizosomwa ni bora kufyonzwa ikiwa katika akili za wanafunzi zimeunganishwa na nyenzo zingine, kwa hivyo, kama sheria, tunarejelea shida zilizotatuliwa tayari (viungo kama hivyo vimechapwa kwa maandishi).

3. Ni muhimu kutatua matatizo kwa njia tofauti (alama nzuri hutolewa kwa njia yoyote ya ufumbuzi). Kwa hiyo, kwa matatizo yote ya neno isipokuwa hesabu inazingatiwa algebra suluhisho (equation). Mwalimu anapendekezwa kufanya uchambuzi wa kulinganisha wa ufumbuzi uliopendekezwa.

Masharti ya shida

▼ 1.1. Ni nambari gani ya tarakimu moja inapaswa kuzidishwa na ili matokeo yawe nambari mpya iliyoandikwa kwa vizio pekee?

1.2. Ikiwa Anya anatembea kwenda shuleni na kuchukua basi kurudi, basi hutumia jumla ya masaa 1.5 barabarani. Ikiwa ataenda njia zote mbili kwa basi, basi safari nzima huchukua dakika 30. Anya atatumia muda gani barabarani akienda na kurudi shuleni?

1.3. Viazi zilishuka kwa bei kwa 20%. Ni asilimia ngapi zaidi ya viazi unaweza kununua kwa kiasi sawa?

1.4. Ndoo ya lita sita ina lita 4 za kvass, na ndoo ya lita saba ina lita 6. Jinsi ya kugawanya kvass zote zinazopatikana kwa nusu kwa kutumia ndoo hizi na jarida tupu la lita tatu?

1.5. Inawezekana kusonga knight ya chess kutoka kona ya chini kushoto ya ubao hadi kona ya juu kulia, kutembelea kila mraba mara moja? Ikiwezekana, basi onyesha njia; ikiwa sivyo, basi eleza kwa nini.

▼ 2.1. Je, kauli hiyo ni kweli: Ikiwa utaongeza mraba wa nambari sawa kwa nambari hasi, je, utapata nambari chanya kila wakati?

2.2. Ninatembea kutoka nyumbani hadi shule dakika 30, na kaka yangu - dakika 40. Itanichukua dakika ngapi kupatana na kaka yangu ikiwa aliondoka nyumbani dakika 5 kabla yangu?

2.3. Mwanafunzi aliandika mfano ubaoni wa kuzidisha nambari za tarakimu mbili. Kisha akafuta nambari zote na kuweka barua. Matokeo yake ni usawa: . Thibitisha kuwa mwanafunzi amekosea.

2.4. Mtungi husawazisha kisafishaji na glasi, mitungi miwili ina uzito sawa na vikombe vitatu, na glasi na kikombe husawazisha kifaa cha kukagua. Je, decanter inasawazisha glasi ngapi?

▼ 3.1. Abiria huyo akiwa amesafiri nusu ya umbali, aliingia kitandani na kulala hadi nusu ya umbali uliokuwa umesalia wa kusafiri ambao alikuwa amesafiri akiwa amelala. Alisafiri kwa muda gani akiwa amelala?

3.2. Neno gani limesimbwa kwa nambari ikiwa kila herufi itabadilishwa na nambari yake katika alfabeti?

3.3. Imepewa nambari 173, ambayo kila moja ni sawa na 1 au -1. Je, inawezekana kuwagawanya katika makundi mawili ili hesabu za nambari katika vikundi ziwe sawa?

3.4. Mwanafunzi alisoma kitabu ndani ya siku 3. Siku ya kwanza alisoma 0.2 ya kitabu kizima na kurasa 16 zaidi, siku ya pili alisoma 0.3 kati ya zingine na kurasa 20 zaidi, na siku ya tatu alisoma 0.75 kati ya mabaki mapya na kurasa 30 za mwisho. Je, kuna kurasa ngapi kwenye kitabu?

3.5. Mchemraba wa rangi yenye makali ya cm 10 ulipigwa kwenye cubes na makali ya cm 1. Ni ngapi kati yao kungekuwa na cubes na makali moja ya rangi? Na kingo mbili zilizopakwa rangi?

▼ 4.1. Kutoka kwa nambari 21, 19, 30, 25, 3, 12, 9, 15, 6, 27, chagua nambari tatu ambazo jumla yake ni 50.

4.2. Gari inasafiri kwa kasi ya 60 km / h. Unahitaji kiasi gani kuongeza kasi yako ili kufikia kilomita moja kwa kasi zaidi?

4.3. Mraba mmoja umeongezwa kwenye ubao wa tic-tac-toe (tazama picha). Mchezaji wa kwanza acheze vipi ili kuhakikisha anashinda?

4.4. Watu 7 walishiriki katika mashindano ya chess. Kila mchezaji wa chess alicheza mchezo mmoja na kila mmoja. Je! ni michezo mingapi iliyochezwa?

4.5. Inawezekana kukata ubao wa chess kwenye mstatili 3x1?

▼ 5.1. Walilipa rubles 5,000 kwa kitabu. Na inabakia kulipa kiasi ambacho kingesalia kulipa ikiwa wamelipia kiasi ambacho kingesalia kulipa. Kitabu kinagharimu kiasi gani?

5.2. Mpwa akamuuliza mjomba wake ana miaka mingapi. Mjomba akajibu: “Ukiongeza miaka 7 hadi nusu ya miaka yangu, utagundua umri wangu miaka 13 iliyopita.” Mjomba wako ana umri gani?

5.3. Ikiwa utaingiza 0 kati ya tarakimu za nambari ya tarakimu mbili, basi nambari ya tarakimu tatu inayotokana ni mara 9 zaidi kuliko ya awali. Tafuta nambari hii ya tarakimu mbili.

5.4. Pata jumla ya nambari 1 + 2 + ... + 870 + 871.

5.5. Kuna vijiti 6, kila urefu wa 1 cm, vijiti 3 - 2 cm, vijiti 6 - 3 cm, vijiti 5 - cm 4. Je, inawezekana kufanya mraba kutoka kwa seti hii, kwa kutumia vijiti vyote, bila kuzivunja au kuweka moja juu ya nyingine?

▼ 6.1. Multiplicand iliongezeka kwa 10%, na kuzidisha ilipungua kwa 10%. Je, hii ilibadilishaje kazi?

6.2. Wakimbiaji watatu A , B Na KATIKA alishindana katika mbio za mita 100. Wakati A kufika mwisho wa mbio B nyuma yake kwa 10 m, Wakati B alifika mstari wa kumalizia KATIKA nyuma yake kwa mita 10. Ni mita ngapi zilizobaki nyuma KATIKA kutoka A , Lini A umemaliza?

6.3. Idadi ya wanafunzi ambao hawapo darasani ni sawa na idadi ya wanafunzi waliopo. Baada ya mwanafunzi mmoja kutoka darasani, idadi ya watoro ililingana na idadi ya waliohudhuria. Je, kuna wanafunzi wangapi darasani?

6.4 . Tikiti maji husawazisha tikiti na beets. Tikiti husawazisha kabichi na beets. Matikiti maji mawili yana uzito sawa na vichwa vitatu vya kabichi. Ni mara ngapi melon nzito kuliko beet?

6.5. Je, mstatili wa 4x8 unaweza kukatwa katika miraba 9?

▼ 7.1. Bei ya bidhaa ilipunguzwa kwa 10%, na kisha tena kwa 10%. Je, bidhaa itakuwa nafuu ikiwa bei yake itapunguzwa mara moja kwa 20%?

7.2. Mpiga makasia, akielea kando ya mto, alipoteza kofia yake chini ya daraja. Baada ya dakika 15, aliona haipo, akarudi na kukamata kofia kilomita 1 kutoka daraja. Je, kasi ya mtiririko wa mto ni nini?

7.3. Inajulikana kuwa moja ya sarafu ni bandia na ni nyepesi kuliko nyingine. Je, katika mizani ngapi kwenye mizani ya kikombe bila uzani unaweza kuamua ni sarafu gani ni ghushi?

7.4. Je, inawezekana, kwa mujibu wa sheria za mchezo, kuweka domino zote 28 kwenye mnyororo ili kuwe na "sita" mwisho mmoja na "tano" kwa mwingine?

7.5. Kuna simu 19. Je, inawezekana kuwaunganisha kwa jozi ili kila mmoja aunganishwe na hasa kumi na tatu kati yao?

▼ 8.1. Mabondia 47 wanashindana katika mfumo wa Olimpiki (mpotezaji huondolewa). Ni mapambano mangapi yanapaswa kupigwa ili kujua mshindi?

8.2. Miti ya apple na cherry hukua kwenye bustani. Ikiwa unachukua cherries zote na miti yote ya apple, basi kutakuwa na idadi sawa ya miti yote miwili, na kwa jumla kuna miti 360 kwenye bustani. Je! kulikuwa na miti mingapi ya tufaha na cherry kwenye bustani?

8.3. Kolya, Borya, Vova na Yura walichukua nafasi nne za kwanza kwenye shindano hilo, na hakuna wavulana wawili walioshiriki maeneo yoyote kati yao. Alipoulizwa ni nani alishinda nafasi gani, Kolya alijibu: "Si wa kwanza wala wa nne." Borya alisema: "Pili," na Vova alibaini kuwa hakuwa wa mwisho. Kila mmoja wa wavulana alichukua nafasi gani ikiwa wote walisema ukweli?

8.4. Je, nambari inaweza kugawanywa na 9?

8.5. Kata mstatili ambao urefu wake ni 9 cm na upana 4 cm katika sehemu mbili sawa ili waweze kukunjwa katika mraba.

▼ 9.1. Tulikusanya kilo 100 za uyoga. Ilibadilika kuwa unyevu wao ulikuwa 99%. Wakati uyoga ni kavu, unyevu

ilipungua hadi 98%. Je! ni wingi wa uyoga baada ya kukausha?

9.2. Je, inawezekana kutumia nambari 1, 2, 3, ..., 11, 12 kuunda jedwali la safu 3 na safu wima 4 ili jumla ya nambari katika kila safu iwe sawa?

9.3. Ni nambari gani inayoisha kwa jumla ya 135x + 31y + 56x+y, ikiwa x na y – nambari kamili?

9.4. Wavulana watano Andrey, Borya, Volodya, Gena na Dima ni wa umri tofauti: mmoja ana umri wa miaka 1, mwingine ana umri wa miaka 2, wengine ni 3, 4 na 5. Volodya ndiye mdogo zaidi, Dima ni mzee kama Andrei na Gena wako pamoja. Borya ana umri gani? Umri wa nani mwingine unaweza kuamua?

9.5. Chessboard ina viwanja viwili vilivyokatwa: chini kushoto na kulia juu. Je, inawezekana kufunika chessboard hiyo na "mifupa" ya domino 2x1?

▼ 10.1. Je, inawezekana kutoka kwa nambari 1,2,3,…. 11.12 unda jedwali la safu 3 na safu wima 4 ili jumla ya nambari katika kila safu tatu iwe sawa?

10.2. Mkurugenzi wa kiwanda kawaida hufika jijini kwa treni saa 8. Hasa wakati huu, gari hufika na kumpeleka kwenye mmea. Siku moja mkurugenzi alifika kituoni saa 7 na kutembea hadi kwenye mmea. Alipokutana na gari, aliingia ndani yake na kufika kwenye kiwanda dakika 20 mapema kuliko kawaida. Saa ilionyesha saa ngapi mkurugenzi alipokutana na mashine?

10.3 . Kuna kilo 140 za unga katika mifuko miwili. Ikiwa unahamisha 1/8 ya unga ulio kwenye mfuko wa kwanza kutoka kwenye mfuko wa kwanza hadi wa pili, basi kutakuwa na kiasi sawa cha unga katika mifuko yote miwili. Ni unga ngapi mwanzoni ulikuwa kwenye kila mfuko?

10.4. Katika mwezi mmoja, Jumatano tatu zilianguka kwa idadi sawa. Jumapili ya pili mwezi huu ni tarehe ngapi?

10.5. Baada ya safisha 7, urefu, upana na unene wa bar ya sabuni ilikuwa nusu. Je, sabuni iliyobaki itaosha mara ngapi?

▼ 11.1. Endelea mfululizo wa nambari: 10, 8, 11, 9, 12, 10 hadi nambari ya nane. Inatungwa kwa kanuni gani?

11.2. Kutoka nyumbani hadi shule Yura imechelewa kwa dakika 5 Lena, lakini alitembea haraka mara mbili kama yeye. Dakika ngapi baada ya kuondoka Yura itashika Lena?

11.3. 2100?

11.4. Wanafunzi wa darasa la sita walinunua vitabu 737, na kila mmoja alinunua idadi sawa ya vitabu vya kiada. Je! ni wanafunzi wangapi wa darasa la sita, na kila mmoja wao alinunua vitabu vingapi vya kiada?

11.5 . Pata eneo la pembetatu iliyoonyeshwa kwenye takwimu (eneo la kila seli ni 1 sq. cm).

▼ 12.1. Kiwango cha unyevu wa nyasi iliyokatwa ni 60%, na nyasi ni 15%. Ni nyasi ngapi zitatolewa kutoka kwa tani moja ya nyasi iliyokatwa?

12.2. Wanafunzi watano walinunua madaftari 100. Kolya Na Vasya alinunua madaftari 52, Vasya Na Yura– 43, Yura Na Sasha - 34, Sasha Na Seryozha- 30. Kila mmoja wao alinunua madaftari ngapi?

12.3. Je! ni wachezaji wangapi wa chess walicheza katika mashindano ya raundi ikiwa jumla ya michezo 190 ilichezwa?

12.4. Nambari Z100 inaisha na tarakimu gani?

12.5. Inajulikana kuwa urefu wa pande za pembetatu ni integers, na upande mmoja sawa na 5 na nyingine 1. Je, ni urefu gani wa upande wa tatu?

▼ 13.1. Tikiti inagharimu rubles. Baada ya kupunguzwa kwa nauli, idadi ya abiria iliongezeka kwa 50%, na mapato yaliongezeka kwa 25%. Tikiti iligharimu kiasi gani baada ya kupunguzwa?

13.2. Meli inachukua siku 5 kutoka Nizhny Novgorod hadi Astrakhan, na siku 7 nyuma. Rafu itachukua muda gani kusafiri kutoka Nizhny Novgorod hadi Astrakhan?

13.3. Yura Niliazima kitabu kwa siku 3. Siku ya kwanza alisoma nusu ya kitabu, ya pili - theluthi ya kurasa zilizobaki, na idadi ya kurasa zilizosomwa siku ya tatu ilikuwa sawa na nusu ya kurasa zilizosomwa siku mbili za kwanza. Ulikuwa na wakati? Yura kusoma kitabu ndani ya siku 3?

13.4. Alyosha, Borya Na Vitya kusoma katika darasa moja. Mmoja wao huenda nyumbani kutoka shuleni kwa basi, mwingine kwa tramu, na wa tatu kwa basi la toroli. Siku moja baada ya shule Alyosha Nilikwenda kumsindikiza rafiki yangu hadi kituo cha basi. Basi la troli lilipopita karibu nao, rafiki wa tatu alipaza sauti kutoka dirishani: “ Borya, Umesahau daftari lako shuleni!” Ni aina gani ya usafiri ambayo kila mtu anatumia kwenda nyumbani?

13.5. Sasa nina umri maradufu kuliko ulivyokuwa wakati nilipokuwa mzee kama wewe sasa. Sasa tumekuwa pamoja kwa miaka 35. Kila mmoja wenu ana umri gani?

▼ 14.1. Nambari iliyotolewa ni 2001. Inajulikana kuwa jumla ya nne kati yao ni chanya. Je, ni kweli kwamba jumla ya nambari zote ni chanya?

14.2. Mwendesha baiskeli alipopita njia, tairi lilipasuka. Alitembea njia iliyobaki na alitumia muda mara 2 zaidi juu ya hili kuliko kuendesha baiskeli. Mwendesha baiskeli alikuwa akisafiri kwa kasi mara ngapi kuliko alivyokuwa akitembea?

14.3. Kuna mizani ya vikombe viwili na uzito wa gramu 1, 3, 9, 27 na 81. Uzito huwekwa kwenye kikombe kimoja cha mizani; uzani unaweza kuwekwa kwenye vikombe vyote viwili. Thibitisha kwamba mizani inaweza kuwa na usawa ikiwa wingi wa mzigo ni: a) 13 g; b) 19 g; c) 23 g; d) umri wa miaka 31

14.4. Mwanafunzi aliandika mfano ubaoni wa kuzidisha nambari za tarakimu mbili. Kisha akafuta nambari zote na kuzibadilisha na herufi: nambari zinazofanana na herufi zinazofanana, na nambari tofauti na zile tofauti. Matokeo yake ni usawa: . Thibitisha kuwa mwanafunzi amekosea.

14.5. Miongoni mwa wanamuziki, kila saba ni mchezaji wa chess, na kati ya wachezaji wa chess, kila tisa ni mwanamuziki. Nani zaidi: wanamuziki au wachezaji wa chess? Kwa nini?

▼ 15.1. Urefu wa sehemu ya mstatili uliongezeka kwa 35%, na upana ulipungua kwa 14%. Eneo la njama lilibadilika kwa asilimia ngapi?

15.2. Hesabu jumla ya nambari za nambari 109! Kisha wakahesabu jumla ya nambari za nambari mpya iliyopatikana na hivyo kuendelea hadi nambari ya nambari moja ilipopatikana. Nambari hii ni nini?

15.3. Ijumaa tatu za mwezi fulani ziliangukia tarehe hata. Ni siku gani ya juma ilikuwa tarehe 18 mwezi huu?

15.4. Jambo hilo linatatuliwa Brown, Jones Na Smith. Mmoja wao alifanya uhalifu. Wakati wa uchunguzi, kila mmoja wao alitoa taarifa mbili:

Brown: 1. Mimi si mhalifu. 2. Jones pia.

Jones: 1, Huyu sio Brown. 2. Huyu ni Smith.

Aliishi: 1. Mhalifu Brown. 2. Sio mimi.

Ilibainika kuwa mmoja wao alisema uwongo mara mbili, mwingine alisema ukweli mara mbili, na wa tatu alisema uwongo mara moja na kusema ukweli mara moja. Nani alitenda uhalifu?

15.5. Saa inaonyesha 19:15. Ni pembe gani kati ya mikono ya dakika na saa?

▼ 16.1. Ikiwa mtu aliyesimama kwenye mstari mbele yako alikuwa mrefu kuliko yule aliyesimama nyuma ya mtu aliyesimama mbele yako, je, mtu aliyesimama mbele yako alikuwa Mrefu kuliko wewe?

16.2. Kuna wanafunzi chini ya 50 darasani. Kwa mtihani, mmoja wa saba wa wanafunzi alipata daraja la "5", wa tatu alipata daraja la "4", na nusu alipata daraja la "3". Wengine walipokea "2". Kulikuwa na kazi ngapi kama hizo?

16.3. Waendesha baiskeli wawili waliacha pointi kwa wakati mmoja A Na KATIKA kuelekea kila mmoja na kukutana kilomita 70 kutoka A. Wakiendelea kusonga kwa mwendo uleule, walifika maeneo yao ya mwisho na, baada ya kupumzika kwa muda sawa, walirudi nyuma. Mkutano wa pili ulifanyika kilomita 90 kutoka KATIKA. Tafuta umbali kutoka A kabla KATIKA.

16.4. Je, nambari inaweza kugawanywa? 111…111 (vizio 999) kwa 37?

16.5. Gawanya mstatili wa 18x8 vipande vipande ili vipande viweze kukunjwa kwenye mraba.

▼ 17.1. Lini Vanya Waliuliza alikuwa na umri gani, alifikiria na kusema: "Mimi ni mdogo mara tatu kuliko baba, lakini mara tatu kuliko Seryozha." Kisha yule mdogo akakimbia Xiekukata na akasema kwamba baba ana umri wa miaka 40 kuliko yeye. Miaka mingapi Vanya?

17.2. Mizigo hiyo ilifikishwa kwenye maghala matatu. Tani 400 zilifikishwa kwa ghala la kwanza na la pili, tani 300 hadi la pili na la tatu kwa pamoja, na tani 440 kwa ghala la kwanza na la tatu. Je, ni tani ngapi za mizigo zilitolewa kwa kila ghala tofauti?

17.3. Kutoka kwenye dari ya chumba, nzi wawili walitambaa wima chini ya ukuta. Baada ya kushuka sakafuni, walitambaa nyuma. Nzi wa kwanza alitambaa pande zote mbili kwa kasi sawa, na wa pili, ingawa alipanda mara mbili polepole kama wa kwanza, lakini alishuka mara mbili haraka. Ni nzi gani atatambaa nyuma kwanza?

17.4. Masanduku 25 ya maapulo ya aina tatu yaliletwa kwenye duka, na kila sanduku lilikuwa na maapulo ya aina moja. Je, inawezekana kupata masanduku 9 ya maapulo ya aina moja?

17.5. Tafuta nambari kuu mbili ambazo jumla na tofauti pia ni nambari kuu.

▼ 18.1. Nambari ya tarakimu tatu inachukuliwa, ambayo moja ya tarakimu inafanana na nambari yoyote 543, 142 na 562, na nyingine mbili hazifanani. Nambari iliyokusudiwa ni nini?

18.2. Kwenye mpira, kila bwana alicheza na wanawake watatu, na kila mwanamke na mabwana watatu. Thibitisha kuwa kwenye mpira idadi ya wanawake ilikuwa sawa na idadi ya waungwana.

18.3. Shule ina madarasa 33, wanafunzi 1150. Je, kuna darasa katika shule hii lenye angalau wanafunzi 35?

18.4. Katika eneo moja la jiji, zaidi ya 94% ya nyumba zina zaidi ya sakafu 5. Je, ni idadi gani ndogo ya nyumba zinazowezekana katika eneo hili?

18.5. Pata pembetatu zote ambazo urefu wa upande ni sentimita kamili na urefu wa kila mmoja wao hauzidi 2 cm.

▼ 19.1. Thibitisha kuwa ikiwa jumla ya nambari mbili asilia ni chini ya 13, basi bidhaa zao hazizidi 36.

19.2. Kati ya pete 75 zinazofanana, moja ni tofauti kwa uzito na nyingine. Unawezaje kuamua katika vipimo viwili kwenye mizani ya kikombe ikiwa pete hii ni nyepesi au nzito kuliko nyingine?

19.3. Ndege hiyo iliruka kutoka A hadi B mwanzoni kwa kasi ya kilomita 180 kwa saa, lakini ilipokuwa na kilomita 320 chini ya kuruka kuliko ilivyokuwa tayari imeruka, iliongeza kasi yake hadi 250 km / h. Ilibadilika kuwa kasi ya wastani ya ndege kwenye njia nzima ilikuwa 200 km / h. Amua umbali kutoka A kwa V.

19.4. Polisi aligeuka kwa sauti ya kupasuka kwa kioo na kuona vijana wanne wakikimbia kutoka kwa sanduku la maonyesho lililovunjika. Dakika 5 baadaye walikuwa kituo cha polisi. Andrey alisema kioo kilivunjika Victor, Victor alidai kuwa ana hatia Sergey.Sergey uhakika kwamba Victor uongo, lakini Yuri alisisitiza kuwa si yeye aliyefanya hivyo. Kutoka kwa mazungumzo zaidi iliibuka kuwa ni mmoja tu wa watu hao alikuwa akisema ukweli. Nani alivunja glasi?

19.5. Nambari zote za asili kutoka 1 hadi 99 zimeandikwa kwenye ubao. Nambari gani ziko zaidi kwenye ubao - hata au isiyo ya kawaida?

▼ 20.1. Wakulima wawili waliondoka kijijini kwenda mjini. Baada ya kutembea njia, waliketi kupumzika. “Bado muda gani kwenda?” - mmoja aliuliza mwingine. "Tuna kilomita 12 zaidi ya kwenda kuliko ambayo tayari tumeshughulikia," lilikuwa jibu. Kuna umbali gani kati ya jiji na kijiji?

20.2. Thibitisha kuwa nambari 7777 + 1 haiwezi kugawanywa na 5.

20.3. Familia ina watoto wanne, wana miaka 5, 8, 13 na 15. Majina ya watoto Anya, Borya, Vera Na Galya. Kila mtoto ana umri gani, ikiwa mmoja wa wasichana anaenda shule ya chekechea, Anya mzee Bori na jumla ya miaka Ani Na Imani kugawanywa na 3?

20.4. Kuna matikiti 10 na matikiti 8 kwenye chumba cheusi (matikiti na matikiti hayatofautiani na kuguswa). Unahitaji kuchukua matunda ngapi ili kuwe na angalau tikiti mbili kati yao?

20.5. Kiwanja cha shule ya mstatili kina mzunguko wa m 160. Eneo lake litabadilikaje ikiwa urefu wa kila upande umeongezeka kwa m 10?

▼ 21.1. Pata jumla ya 1 + 5 + ... + 97 + 101.

21.2. Jana idadi ya wanafunzi waliokuwepo darasani ilikuwa kubwa mara 8 kuliko wale ambao hawakuwa shuleni. Leo wanafunzi wengine 2 hawakuja na ikabainika kuwa 20% ya wanafunzi waliokuwepo darasani hawakuwepo. Je, kuna wanafunzi wangapi darasani?

21.3. Nini zaidi 3200 au 2300?

21.4. Je, diagonal thelathini na nne ina diagonal ngapi?

21.5. Katikati ya njama ya umbo la mraba kuna kitanda cha maua, ambacho pia kina sura ya mraba. Eneo la kiwanja ni 100 m2. Upande wa kitanda cha maua ni nusu ya ukubwa wa upande wa njama. Eneo la kitanda cha maua ni nini?

▼ 22.1. Punguza sehemu

22.2. Kipande cha waya cha urefu wa cm 102 lazima kikate vipande vipande 15 na 12 cm ili hakuna chakavu. Jinsi ya kufanya hivyo? Je, tatizo lina suluhu ngapi?

22.3. Sanduku lina penseli 7 nyekundu na 5 za bluu. Penseli huchukuliwa kutoka kwa sanduku kwenye giza. Ni penseli ngapi unahitaji kuchukua ili kati yao kuna angalau mbili nyekundu na tatu za bluu?

22.4. Katika chombo kimoja 2a lita za maji, na nyingine ni tupu. Kutoka kwenye chombo cha 1, mimina nusu ya maji ndani ya 2,

kisha maji hutiwa kutoka kwa 2 hadi 1, kisha maji kutoka kwa 1 hutiwa ndani ya 2, nk. Ni lita ngapi za maji zitakuwa kwenye chombo cha kwanza baada ya kuingizwa kwa 1995?

8. Kutoka kwa nambari ...5960, futa tarakimu mia moja ili nambari inayosababisha ni kubwa zaidi.

▼ 23.1. Kwanza, tulikunywa kikombe cha kahawa nyeusi na kuinyunyiza na maziwa. Kisha wakanywa vikombe na kuviongeza na maziwa tena. Kisha wakanywa kikombe kingine cha nusu na kukijaza na maziwa tena. Hatimaye, tulikunywa kikombe kizima. Ulikunywa nini zaidi: kahawa au maziwa?

23.2. Tuliongeza 3 kwa nambari ya nambari tatu upande wa kushoto na iliongezeka mara 9. Nambari hii ni nini?

23.3. Kutoka kwa uhakika A kwa uhakika KATIKA mende wawili hutambaa na kurudi. Mende wa kwanza alitambaa pande zote mbili kwa kasi ileile. Wa pili akaingia ndani KATIKA Mara 1.5 haraka, na nyuma mara 1.5 polepole kuliko ya kwanza. Ni mende gani amerudi A mapema?

23.4. Nambari ipi ni kubwa zaidi: 2,379∙23 au 2,378∙23?

23.5. Eneo la mraba ni 16 m2. Eneo la mraba litakuwa nini ikiwa:

a) kuongeza upande wa mraba kwa mara 2?

B) kuongeza upande wa mraba kwa mara 3?

C) kuongeza upande wa mraba kwa 2 dm?

▼ 24.1. Ni nambari gani inapaswa kuzidishwa ili kupata nambari iliyoandikwa kwa kutumia tano tu?

24.2. Je, ni kweli kwamba nambari 1 ni mraba wa nambari fulani asilia?

24.3. Gari kutoka A V KATIKA iliendesha kwa kasi ya wastani ya 50 km / h, na kurudi nyuma kwa kasi ya 30 km / h. Kasi yake ya wastani ni ipi?

24.4. Thibitisha kwamba kiasi chochote cha idadi nzima ya rubles zaidi ya saba inaweza kulipwa bila mabadiliko katika noti za rubles 3 na 5?

24.5. Aina mbili za magogo zililetwa kwenye mmea: urefu wa 6 na 7. Wanahitaji kukatwa kwenye magogo ya urefu wa mita. Ni magogo gani yana faida zaidi kukata?

▼ 25.1. Jumla ya nambari kadhaa ni 1. Je, jumla ya miraba yao inaweza kuwa chini ya 0.01?

25.2. Kuna mifuko 10 ya sarafu. Mifuko tisa ina sarafu halisi (uzani wa 10 g kila moja), na moja ina sarafu bandia (uzani wa 11 g kila moja). Kwa uzani mmoja kwenye mizani ya elektroniki, unaweza kuamua ni mfuko gani una sarafu za bandia.

25.3. Thibitisha kuwa jumla ya nambari asilia nne mfululizo hazigawanyiki kwa 4.

25.3. Kutoka kwa nambari ...5960, futa tarakimu mia moja ili nambari inayosababisha ni ndogo zaidi.

25.4. Tulinunua vitabu kadhaa vinavyofanana na albamu zinazofanana. Walilipa rubles 10 kwa vitabu. 56 kopecks Ni vitabu ngapi vilinunuliwa ikiwa bei ya kitabu kimoja ni zaidi ya ruble ya juu kuliko bei ya albamu, na vitabu 6 zaidi vilinunuliwa kuliko albamu.

▼ 26.1. Pande mbili za kinyume za mstatili huongezwa kwa sehemu yao, na wengine wawili hupunguzwa kwa sehemu. Eneo la mstatili lilibadilikaje?

26.2. Timu kumi zinashiriki katika mashindano ya kandanda. Thibitisha kuwa kwa ratiba yoyote ya michezo kutakuwa na timu mbili ambazo zimecheza idadi sawa ya mechi.

26.3. Ndege inaruka kwa mstari wa moja kwa moja kutoka mji A hadi B, na kisha kurudi. Kasi yake yenyewe ni ya kudumu. Ndege itaruka lini kwa kasi zaidi: kwa kukosekana kwa upepo au kwa upepo unaovuma kila mara kwa mwelekeo kutoka A hadi B?

26.4. Nambari 100 na 90 zimegawanywa na nambari moja na sawa. Katika kesi ya kwanza, iliyobaki ilikuwa 4, na ya pili, 18. Mgawanyiko ulifanywa na nambari gani?

26.5. Flasks sita za uwazi na maji hupangwa katika safu mbili za sambamba za flasks 3 kila moja. Katika Mtini. 1, flasks tatu za mbele zinaonekana, na kwenye Mtini. 2 - mbili za upande wa kulia. Kupitia kuta za uwazi za flasks, viwango vya maji katika kila chupa inayoonekana na katika flasks zote nyuma yao zinaonekana. Tambua utaratibu ambao flasks huwekwa na ni kiwango gani cha maji katika kila mmoja wao.

▼ 27.1. Siku ya kwanza, timu ya kukata miti ilikata nusu ya meadow na hekta nyingine 2, na siku ya pili - 25% ya sehemu iliyobaki na hekta 6 za mwisho. Pata eneo la meadow.

27.2. Kuna mifuko 11 ya sarafu. Mifuko kumi ina sarafu halisi (uzani wa 10 g kila moja), na moja ina sarafu za bandia (pima 11 g kila moja). Kwa kupima tu unaweza kuamua ni mfuko gani una sarafu za bandia.

27.3. Sanduku lina penseli 10 nyekundu, 8 za bluu na 4 za manjano. Penseli huchukuliwa kutoka kwa sanduku kwenye giza. Ni idadi gani ndogo ya penseli ambayo inapaswa kuchukuliwa ili kati yao kutakuwa na hakika: a) angalau penseli 4 za rangi sawa? B) angalau penseli 6 za rangi sawa? C) angalau penseli 1 ya kila rangi?

D) angalau penseli 6 za bluu?

27.4. Vasya alisema kwamba anajua suluhisho la equation xy 8+ x 8y = 1995 kwa idadi ya asili. Thibitisha kwamba Vasya si sahihi.

27.5. Chora poligoni kama hiyo na ncha ndani yake ili hakuna upande wa poligoni unaoonekana kabisa kutoka kwa hatua hii (katika Mchoro 3, upande hauonekani kabisa kutoka kwa hatua O. AB).

▼ 28.1. Grisha na baba walikwenda kwenye safu ya risasi. Makubaliano yalikuwa hivi: Grisha anafyatua risasi 5 na kwa kila goli analolenga anapata haki ya kufyatua risasi 2 zaidi. Kwa jumla, Grisha alipiga risasi 17. Alipiga shabaha mara ngapi?

28.2. Kipande cha karatasi kilikatwa vipande 4, kisha baadhi (labda vyote) vya vipande hivyo pia vilikatwa vipande 4, nk. Je, matokeo yanaweza kuwa vipande 50 vya karatasi hasa?

28.3. Mpanda farasi alikimbia kwa nusu ya kwanza ya safari kwa kasi ya kilomita 20 / h, na kwa nusu ya pili kwa kasi ya 12 km / h. Pata kasi ya wastani ya mpanda farasi.

28.4. Kuna tikiti 4 za uzani tofauti. Kwa kutumia mizani ya vikombe bila uzani, unawezaje kuzipanga kwa mpangilio wa kupanda wa uzito katika mizani isiyozidi tano?

28.5. Thibitisha kuwa haiwezekani kuteka mstari wa moja kwa moja ili kuingilia pande zote za 1001-gon (bila kupita kwenye vipeo vyake).

▼ 29.1. Mkuu A namba 1?

29.2. Chupa moja ina divai nyeupe, na chupa nyingine ina divai nyekundu. Wacha tudondoshe tone moja la divai nyekundu kuwa nyeupe, na kisha turudishe tone moja kutoka kwa mchanganyiko unaosababishwa hadi divai nyekundu. Ni nini zaidi ya divai nyeupe katika divai nyekundu au nyekundu katika nyeupe?

29.3. Couriers hoja sawasawa, lakini kwa kasi tofauti, kutoka A V KATIKA kuelekea kila mmoja. Baada ya mkutano, ili kufika mahali wanakoenda, mmoja alihitaji kutumia saa nyingine 16, na mwingine - saa 9. Inachukua muda gani kila mmoja wao kusafiri njia nzima kutoka A hadi B?

29.4. Nini kubwa zaidi, 3111 au 1714?

29.5. a) Jumla ya pande za mraba ni 40 dm. Eneo la mraba ni nini?

b) Eneo la mraba 64. Mzunguko wake ni nini?

▼ 30.1. Inawezekana kuwakilisha nambari 203 kama jumla ya maneno kadhaa, bidhaa ambayo pia ni sawa na 203?

30.2. Miji mia moja imeunganishwa na mashirika ya ndege. Thibitisha kuwa kati yao kuna miji miwili ambayo idadi sawa ya mashirika ya ndege hupita.

30.3. Kati ya sehemu nne zinazofanana nje, moja hutofautiana kwa wingi kutoka kwa nyingine tatu, lakini haijulikani ikiwa wingi wake ni mkubwa au chini. Jinsi ya kutambua sehemu hii kwa mizani miwili kwenye mizani ya kikombe bila uzani?

30.4. Nambari inaisha na tarakimu gani?

13 + 23 + … + 9993?

30.5. Chora mistari 3 ya moja kwa moja ili karatasi ya daftari igawanywe katika idadi kubwa ya sehemu. Je, kutakuwa na sehemu ngapi? Chora mistari 4 iliyonyooka na hali sawa. Kuna sehemu ngapi sasa?

SULUHISHO LA MATATIZO

1.1. Kwa kuangalia tunasadikishwa: ikiwa nambari imezidishwa na 9, matokeo yatakuwa Swali kwa wanafunzi: kwa nini nambari ya 9 tu inapaswa "kuangaliwa"?)

1.2. Ikiwa Anya anasafiri kwa basi kwa njia zote mbili, basi safari nzima inachukua dakika 30, kwa hivyo, anafika huko kwa njia moja kwa basi katika dakika 15. Ikiwa Anya anatembea kwenda shuleni na kuchukua basi kurudi, basi hutumia jumla ya masaa 1.5 barabarani, ambayo inamaanisha anafika huko kwa miguu kwa njia moja kwa saa 1 dakika 15. Ikiwa Anya anatembea kwenda na kurudi shuleni, basi hutumia saa 2 dakika 30 barabarani.

1.3. Kwa kuwa viazi vimeshuka kwa bei kwa 20%, sasa unahitaji kutumia 80% ya pesa zilizopo kwenye viazi vyote vilivyonunuliwa mapema, na ununue 1/4 nyingine ya viazi na 20% iliyobaki, ambayo ni 25%. 4

1.4. Maendeleo ya suluhisho yanaonekana kutoka kwa meza:

1.5. Ili kuzunguka miraba yote 64 ya chessboard, ukitembelea kila mraba mara moja. Knight lazima afanye hatua 63. Kwa kila hoja, knight huhama kutoka mraba nyeupe hadi nyeusi (au kutoka mraba nyeusi hadi nyeupe), kwa hivyo, baada ya kusonga na nambari sawa, knight itaishia kwenye miraba ya rangi sawa na ile ya asili. , na baada ya hatua "isiyo ya kawaida", kwenye mraba na rangi tofauti. Kwa hivyo, knight haiwezi kuingia kwenye kona ya juu ya kulia ya bodi kwenye hoja ya 63, kwa kuwa ni rangi sawa na ya juu ya kulia.