Matrix inverse na sifa zake. matrix ya kinyume

Kutafuta matrix ya kinyume- shida ambayo mara nyingi hutatuliwa kwa njia mbili:

• njia ya nyongeza za algebra, ambayo inahitaji kupata viashiria na matrices ya kupitisha;
• kwa kuondoa Gauss haijulikani, ambayo ni muhimu kufanya mabadiliko ya msingi ya matrices (kuongeza safu, kuzidisha safu kwa idadi sawa, nk).

Kwa wale ambao wanatamani sana, kuna njia zingine, kwa mfano, njia ya mabadiliko ya mstari. Katika somo hili tutachambua njia tatu zilizotajwa na algoriti za kutafuta matrix inverse kwa kutumia njia hizi.

Matrix ya kinyume A, matrix kama hiyo inaitwa

A
. (1)

Matrix ya kinyume , ambayo inahitaji kupatikana kwa matrix ya mraba iliyotolewa A, matrix kama hiyo inaitwa

bidhaa ambayo matrices A upande wa kulia ni matrix ya utambulisho, i.e.
. (1)

Matrix ya kitambulisho ni matrix ya diagonal ambayo vipengele vyote vya diagonal ni sawa na moja.

Nadharia.Kwa kila matrix ya mraba isiyo ya umoja (isiyoharibika, isiyo ya umoja), mtu anaweza kupata tumbo la kinyume, na moja tu. Kwa matrix ya mraba maalum (iliyoharibika, ya umoja), matrix inverse haipo.

Matrix ya mraba inaitwa sio maalum(au yasiyo ya kuzorota, isiyo ya umoja), ikiwa kiashiria chake sio sifuri, na Maalum(au kuzorota, Umoja) ikiwa kibainishi chake ni sifuri.

matrix ya kinyume inaweza kupatikana tu kwa matrix ya mraba. Kwa kawaida, matrix inverse pia itakuwa mraba na ya mpangilio sawa na matrix iliyotolewa. Matrix ambayo matrix inverse inaweza kupatikana inaitwa matrix invertible.

Kwa matrix ya kinyume Kuna mlinganisho unaofaa na kinyume cha nambari. Kwa kila nambari a, sio sawa na sifuri, kuna nambari kama hiyo b hiyo kazi a Na b sawa na moja: ab= 1 . Nambari b inayoitwa kinyume cha nambari b. Kwa mfano, kwa nambari ya 7 ya kubadilishana ni 1/7, tangu 7 * 1/7 = 1.

Kupata matrix inverse kwa kutumia njia ya nyongeza za aljebra (matrix ya washirika)

Kwa matrix ya mraba isiyo ya umoja A kinyume ni tumbo

iko wapi kibainishi cha matrix A, a ni matrix inayohusishwa na tumbo A.

Inashirikiana na tumbo la mraba A ni matrix ya mpangilio sawa ambao vipengele vyake ni nyongeza za algebra vipengele vinavyolingana vya kiambishi cha matriki iliyopitishwa kwa heshima na tumbo A. Kwa hivyo, ikiwa

Hiyo

Na

Algorithm ya kutafuta matrix inverse kwa kutumia njia ya nyongeza za aljebra

1. Tafuta kibainishi cha matrix hii A. Ikiwa kiashiria ni sawa na sifuri, kutafuta matrix inverse huacha, kwani tumbo ni la umoja na inverse yake haipo.

2. Tafuta matrix iliyopitishwa kwa heshima na A.

3. Kokotoa vipengee vya matrix ya muungano kama vikamilishana vya aljebra vya maritz vinavyopatikana katika hatua ya 2.

4. Tumia fomula (2): zidisha nambari, kinyume cha kibainishi matrices A, kwa matrix ya muungano inayopatikana katika hatua ya 4.

5. Angalia matokeo yaliyopatikana katika hatua ya 4 kwa kuzidisha matrix hii A kwa matrix ya kinyume. Ikiwa bidhaa ya matrices haya ni sawa na matrix ya utambulisho, basi tumbo la kinyume lilipatikana kwa usahihi. Vinginevyo, anza mchakato wa suluhisho tena.

Mfano 1. Kwa matrix

pata matrix inverse.

Suluhisho. Ili kupata matrix inverse, unahitaji kupata kibainishi cha matrix A. Tunapata kwa sheria ya pembetatu:

Kwa hiyo, tumbo A- isiyo ya umoja (isiyoharibika, isiyo ya umoja) na kuna kinyume chake.

Wacha tupate tumbo linalohusiana na tumbo hili A.

Wacha tupate matrix iliyopitishwa kwa heshima na tumbo A:

Tunakokotoa vipengee vya matriki shirikishi kama viambatanisho vya aljebra vya matrix inayopitishwa kwa heshima na matriki. A:

Kwa hivyo, matrix inashirikiana na tumbo A, ina fomu

Maoni. Mpangilio ambao vitu huhesabiwa na matrix hupitishwa inaweza kuwa tofauti. Unaweza kwanza kuhesabu nyongeza za aljebra za matrix A, na kisha ubadilishe matriki inayosaidia ya aljebra. Matokeo yanapaswa kuwa mambo sawa ya matrix ya muungano.

Kwa kutumia fomula (2), tunapata matrix inverse kwa tumbo A:

Kupata matrix kinyume kwa kutumia njia ya uondoaji isiyojulikana ya Gaussian

Hatua ya kwanza ya kupata ubadilishaji wa matrix kwa kutumia njia ya kuondoa ya Gaussian ni kugawa matrix. A matrix ya utambulisho ya utaratibu sawa, kuwatenganisha na mstari wa wima. Tutapata matrix mbili. Wacha tuzidishe pande zote mbili za tumbo hili kwa , kisha tupate

,

Algorithm ya kutafuta matrix kinyume kwa kutumia njia ya uondoaji isiyojulikana ya Gaussian

1. Kwa tumbo A gawa matrix ya utambulisho wa mpangilio sawa.

2. Badilisha tumbo mbili zinazosababisha ili upande wa kushoto upate matrix ya kitengo, kisha upande wa kulia, badala ya matrix ya utambulisho, unapata moja kwa moja tumbo la kinyume. Matrix A upande wa kushoto hubadilishwa kuwa matrix ya utambulisho kwa mabadiliko ya msingi matrices.

2. Ikiwa katika mchakato wa mabadiliko ya matrix A kwenye matrix ya kitambulisho kutakuwa na sifuri tu katika safu yoyote au safu yoyote, kisha kiashiria cha tumbo ni sawa na sifuri, na, kwa hivyo, tumbo. A itakuwa ya umoja, na haina matrix inverse. Katika kesi hii, uamuzi zaidi wa matrix ya inverse huacha.

Mfano 2. Kwa matrix

pata matrix inverse.

na tutaibadilisha ili upande wa kushoto tupate matrix ya utambulisho. Tunaanza mabadiliko.

Zidisha safu ya kwanza ya matrix ya kushoto na kulia na (-3) na uiongeze kwenye safu ya pili, na kisha zidisha safu ya kwanza na (-4) na uiongeze kwenye safu ya tatu, kisha tunapata.

.

Ili ikiwezekana hakuna nambari za sehemu wakati wa mabadiliko yanayofuata, kwanza tutaunda kitengo katika safu ya pili upande wa kushoto wa tumbo mbili. Ili kufanya hivyo, zidisha mstari wa pili na 2 na uondoe mstari wa tatu kutoka kwake, kisha tunapata

.

Hebu tuongeze mstari wa kwanza na wa pili, na kisha uzidishe mstari wa pili na (-9) na uiongeze na mstari wa tatu. Kisha tunapata

.

Gawanya mstari wa tatu na 8, basi

.

Zidisha mstari wa tatu kwa 2 na uongeze kwenye mstari wa pili. Inageuka:

.

Wacha tubadilishane mistari ya pili na ya tatu, kisha hatimaye tunapata:

.

Tunaona kwamba upande wa kushoto tuna matrix ya utambulisho, kwa hiyo, upande wa kulia tuna matrix inverse. Hivyo:

.

Unaweza kuangalia usahihi wa hesabu kwa kuzidisha matrix asilia na matriki ya kinyume inayopatikana:

Matokeo yake yanapaswa kuwa matrix inverse.

Mfano 3. Kwa matrix

pata matrix inverse.

Suluhisho. Kukusanya matrix mbili

na tutaibadilisha.

Tunazidisha mstari wa kwanza na 3, na wa pili kwa 2, na kutoa kutoka kwa pili, na kisha tunazidisha mstari wa kwanza na 5, na wa tatu kwa 2 na kutoa kutoka kwa mstari wa tatu, kisha tunapata.

.

Tunazidisha mstari wa kwanza na 2 na kuiongeza kwa pili, na kisha toa ya pili kutoka kwa mstari wa tatu, kisha tunapata.

.

Tunaona kwamba katika mstari wa tatu upande wa kushoto vipengele vyote ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, matrix ni ya umoja na haina matrix ya kinyume. Tunaacha zaidi kutafuta maritz inverse.

Mada hii ni moja ya inayochukiwa zaidi kati ya wanafunzi. Mbaya zaidi, pengine, ni wahitimu.

Ujanja ni kwamba dhana yenyewe ya kipengele cha kinyume (na siongelei tu juu ya matrices) inatuelekeza kwenye uendeshaji wa kuzidisha. Hata katika mtaala wa shule hesabu za kuzidisha operesheni tata, na kuzidisha matrix ni mada tofauti kabisa, ambayo nina aya nzima na mafunzo ya video yaliyotolewa.

Leo hatutaingia katika maelezo ya mahesabu ya matrix. Hebu tukumbuke tu: jinsi matrices yameteuliwa, jinsi yanavyozidishwa, na ni nini kinachofuata kutoka kwa hili.

Mapitio: Kuzidisha Matrix

Kwanza kabisa, hebu tukubaliane juu ya notation. Matrix $A$ ya ukubwa $\left[ m\times n \kulia]$ ni jedwali la nambari lililo na safu mlalo $m$ haswa na safu wima $n$:

\=\mbari ya chini(\kushoto[ \anza(tumbo) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & (a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & (a)_(mn)) \\\mwisho(matrix) \kulia])_(n)\]

Ili kuzuia kuchanganya kwa bahati mbaya safu na safu (niamini, katika mtihani unaweza kuchanganya moja na mbili, achilia safu kadhaa), angalia tu picha:

Kuamua fahirisi za seli za matrix

Nini kinaendelea? Ukiweka mfumo wa kawaida wa kuratibu $OXY$ upande wa kushoto kona ya juu na uelekeze shoka ili zifunike tumbo zima, basi kila seli ya matriki hii inaweza kuhusishwa kipekee na kuratibu $\left(x;y\right)$ - hii itakuwa nambari ya safu mlalo na nambari ya safu wima.

Kwa nini mfumo wa kuratibu umewekwa kwenye kona ya juu kushoto? Ndiyo, kwa sababu ni kutoka hapo kwamba tunaanza kusoma maandiko yoyote. Ni rahisi sana kukumbuka.

Kwa nini mhimili wa $x$ umeelekezwa chini na sio kulia? Tena, ni rahisi: chukua mfumo wa kawaida wa kuratibu (mhimili wa $x$ unakwenda kulia, mhimili wa $y$ huenda juu) na uzungushe ili kufunika matrix. Huu ni mzunguko wa digrii 90 wa saa - tunaona matokeo kwenye picha.

Kwa ujumla, tumegundua jinsi ya kuamua fahirisi za vitu vya matrix. Sasa hebu tuangalie kuzidisha.

Ufafanuzi. Matrices $A=\left[ m\times n \kulia]$ na $B=\left[ n\times k \kulia]$, wakati idadi ya safu wima katika ya kwanza inalingana na idadi ya safu katika ya pili, ni. inayoitwa thabiti.

Hasa kwa utaratibu huo. Mtu anaweza kuchanganyikiwa na kusema kwamba matiti $A$ na $B$ huunda jozi iliyoamriwa $\left(A;B \kulia)$: ikiwa ni thabiti katika mpangilio huu, basi sio lazima hata kidogo $B. $ na $ A $ hizo. jozi $\left(B;A \kulia)$ pia ni thabiti.

Matrices yanayolingana pekee yanaweza kuzidishwa.

Ufafanuzi. Bidhaa ya matiti zinazolingana $A=\left[ m\times n \right]$ na $B=\left[ n\times k \kulia]$ ndio matrix mpya $C=\left[ m\times k \kulia ]$ , vipengele ambavyo $((c)_(ij))$ vinakokotolewa kulingana na fomula:

\[((c)_(ij))=\jumla\mipaka_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdoti ((b)_(kj))\]

Kwa maneno mengine: kupata kipengee $((c)_(ij))$ cha matrix $C=A\cdot B$, unahitaji kuchukua $i$-safu ya matrix ya kwanza, $j$ -th safu ya matrix ya pili, na kisha zidisha kwa jozi vipengele kutoka kwa safu na safu hii. Ongeza matokeo.

Ndio, hiyo ni ufafanuzi mkali sana. Ukweli kadhaa hufuata mara moja kutoka kwake:

1. Kuzidisha kwa matrix, kwa kusema kwa ujumla, sio ya kubadilisha: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Walakini, kuzidisha ni ushirika: $\left(A\cdot B \kulia)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \kulia)$;
3. Na hata kwa usambazaji: $\left(A+B \kulia)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. Na kwa mara nyingine tena kwa usambazaji: $A\cdot \left(B+C \kulia)=A\cdot B+A\cdot C$.

Usambazaji wa kuzidisha ulibidi uelezewe kando kwa sababu ya jumla ya kushoto na kulia kwa usahihi kwa sababu ya kutobadilika kwa operesheni ya kuzidisha.

Ikibadilika kuwa $A\cdot B=B\cdot A$, matrices kama hayo huitwa commutative.

Kati ya matiti yote ambayo yanazidishwa na kitu hapo, kuna maalum - zile ambazo, zikizidishwa na matrix yoyote $A$, hupeana tena $A$:

Ufafanuzi. Matrix $E$ inaitwa utambulisho ikiwa $A\cdot E=A$ au $E\cdot A=A$. Kwa upande wa matrix ya mraba $A$ tunaweza kuandika:

Matrix ya kitambulisho ni mgeni wa mara kwa mara katika kutatua milinganyo ya matrix. Na kwa ujumla, mgeni wa mara kwa mara katika ulimwengu wa matrices :)

Na kwa sababu ya $E$ hii, mtu alikuja na upuuzi wote ambao utaandikwa baadaye.

Matrix inverse ni nini

Kwa kuwa kuzidisha kwa matrix ni operesheni inayohitaji nguvu kazi nyingi (lazima uzidishe rundo la safu mlalo na safu wima), dhana ya matrix inverse pia inageuka kuwa sio jambo dogo zaidi. Na kuhitaji maelezo fulani.

Ufafanuzi Muhimu

Naam, ni wakati wa kujua ukweli.

Ufafanuzi. Matrix $B$ inaitwa kinyume cha matrix $A$ if

Matrix inverse inaashiria $((A)^(-1))$ (isichanganywe na shahada!), kwa hivyo ufafanuzi unaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo:

Inaweza kuonekana kuwa kila kitu ni rahisi sana na wazi. Lakini wakati wa kuchambua ufafanuzi huu, maswali kadhaa huibuka mara moja:

1. Je, matrix inverse ipo kila wakati? Na ikiwa sio kila wakati, basi jinsi ya kuamua: wakati iko na wakati haipo?
2. Na ni nani alisema kuwa kuna tumbo moja kama hilo? Je, ikiwa kwa matrix ya awali $A$ kuna umati mzima wa inverses?
3. Je, "reverses" hizi zote zinaonekanaje? Na ni jinsi gani, hasa, tunapaswa kuzihesabu?

Kuhusu algorithms ya hesabu, tutazungumza juu ya hii baadaye kidogo. Lakini tutajibu maswali yaliyobaki hivi sasa. Wacha tuyaunda kwa namna ya kauli tofauti-lemmas.

Mali ya msingi

Wacha tuanze na jinsi matrix $A$ inapaswa, kimsingi, kuangalia ili $((A)^(-1))$ kuwepo kwa hilo. Sasa tutahakikisha kwamba matiti hizi zote mbili lazima ziwe za mraba na za ukubwa sawa: $\left[ n\times n \right]$.

Lema 1. Kwa kuzingatia matrix $A$ na inverse yake $((A)^(-1))$. Kisha matiti hizi zote mbili ni za mraba, na za mpangilio sawa $n$.

Ushahidi. Ni rahisi. Acha matrix $A=\left[ m\times n \kulia]$, $((A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. Kwa kuwa bidhaa $A\cdot ((A)^(-1))=E$ ipo kwa ufafanuzi, matrices $A$ na $((A)^(-1))$ ni thabiti katika mpangilio ulioonyeshwa:

\[\anza(linganisha) & \kushoto[ m\mara n \kulia]\cdot \kushoto[ a\mara b \kulia]=\kushoto[ m\mara b \kulia] \\ & n=a \mwisho( panga)\]

Haya ni tokeo la moja kwa moja la kanuni ya kuzidisha matrix: viambajengo $n$ na $a$ ni "usafiri" na lazima ziwe sawa.

Wakati huo huo, kuzidisha kinyume pia kunafafanuliwa: $((A)^(-1))\cdot A=E$, kwa hivyo matrices $((A)^(-1))$ na $A$ ni pia ni sawa katika mpangilio maalum:

\[\anza(linganisha) & \kushoto[ a\nyakati b \kulia]\cdot \kushoto[ m\mara n \kulia]=\kushoto[ a\mara n \kulia] \\ & b=m \mwisho( panga)\]

Kwa hivyo, bila kupoteza jumla, tunaweza kudhani kuwa $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. Walakini, kulingana na ufafanuzi wa $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, kwa hivyo saizi za matiti zinalingana kabisa:

\[\anza(panga) & \kushoto[ m\mara n \kulia]=\kushoto[ n\mara m \kulia] \\ & m=n \mwisho(patanisha)\]

Kwa hivyo inabadilika kuwa matrices yote matatu - $A$, $((A)^(-1))$ na $E$ - ni ukubwa wa mraba$\left[ n\times n \kulia]$. Lema imethibitishwa.

Naam, hiyo tayari ni nzuri. Tunaona kwamba tu matrices ya mraba ni invertible. Sasa hebu tuhakikishe kuwa matrix inverse ni sawa kila wakati.

Lema 2. Kwa kuzingatia matrix $A$ na inverse yake $((A)^(-1))$. Kisha matrix hii inverse ndiyo pekee.

Ushahidi. Wacha tuende kwa ukinzani: acha matrix $A$ iwe na angalau inverses mbili - $B$ na $C$. Halafu, kulingana na ufafanuzi, usawa ufuatao ni kweli:

\[\anza(linganisha) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \mwisho(patanisha)\]

Kutoka kwa Lemma 1 tunahitimisha kuwa matrices zote nne - $A$, $B$, $C$ na $E$ - ni miraba yenye mpangilio sawa: $\left[ n\times n \right]$. Kwa hivyo, bidhaa imedhamiriwa:

Kwa kuwa kuzidisha kwa matrix ni shirikishi (lakini sio kubadilika!), tunaweza kuandika:

\[\anza(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \kulia)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \kulia)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\ Rightarrow B=C. \\ \mwisho(patanisha)\]

Tumepokea tu lahaja iwezekanavyo: matukio mawili ya matriki kinyume ni sawa. Lema imethibitishwa.

Hoja zilizo hapo juu hurudia karibu neno na uthibitisho wa upekee wa kipengele kinyume kwa wote nambari za kweli$b\ne 0$. Aidha muhimu tu ni kuzingatia ukubwa wa matrices.

Walakini, bado hatujui chochote kuhusu ikiwa kuna yoyote matrix ya mraba inaweza kutenduliwa. Hapa kiashiria kinakuja kwa msaada wetu - hii ni sifa muhimu kwa matrices yote ya mraba.

Lema 3. Kwa kuzingatia matrix $A$. Ikiwa matrix yake ya kinyume $((A)^(-1))$ ipo, basi kibainishi cha matrix asili ni nonzero:

\[\kushoto| A\kulia|\ne 0\]

Ushahidi. Tayari tunajua kuwa $A$ na $((A)^(-1))$ ni matriki ya mraba ya ukubwa $\left[ n\times n \right]$. Kwa hivyo, kwa kila mmoja wao tunaweza kuhesabu kiashiria: $\left| A\kulia|$ na $\left| ((A)^(-1)) \kulia|$. Walakini, kiashiria cha bidhaa sawa na bidhaa wahitimu:

\[\kushoto| A\cdot B \kulia|=\kushoto| \kulia|\cdoti \kushoto| B \kulia|\Mshale wa kulia \kushoto| A\cdot ((A)^(-1)) \kulia|=\kushoto| \kulia|\cdoti \kushoto| ((A)^(-1)) \kulia|\]

Lakini kulingana na ufafanuzi, $A\cdot ((A)^(-1))=E$, na kibainishi cha $E$ daima ni sawa na 1, kwa hivyo.

\[\anza(linganisha) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \kushoto| A\cdot ((A)^(-1)) \kulia|=\kushoto| E\kulia|; \\ & \kushoto| \kulia|\cdoti \kushoto| ((A)^(-1)) \kulia|=1. \\ \mwisho(patanisha)\]

Bidhaa ya nambari mbili ni sawa na moja ikiwa kila moja ya nambari hizi sio sifuri:

\[\kushoto| A \kulia|\ne 0;\quad \kushoto| ((A)^(-1)) \kulia|\ne 0.\]

Kwa hivyo zinageuka kuwa $\left| A \kulia|\ne 0$. Lema imethibitishwa.

Kwa kweli, mahitaji haya ni mantiki kabisa. Sasa tutachambua algorithm ya kupata matrix inverse - na itakuwa wazi kabisa kwa nini, kwa kiashiria cha sifuri, hakuna matrix inverse kimsingi inaweza kuwepo.

Lakini kwanza, hebu tutengeneze ufafanuzi wa "msaidizi":

Ufafanuzi. Tumbo la umoja ni matriki ya mraba ya ukubwa $\left[ n\times n \kulia]$ ambayo kiazi chake ni sifuri.

Kwa hivyo, tunaweza kudai kwamba kila matrix inayoweza kubadilika sio ya umoja.

Jinsi ya kupata inverse ya matrix

Sasa tutazingatia algorithm ya ulimwengu kwa kupata matrices inverse. Kwa ujumla, kuna algorithms mbili zinazokubaliwa kwa ujumla, na pia tutazingatia ya pili leo.

Lile litakalojadiliwa sasa linafaa sana kwa matrices ya ukubwa $\left[ 2\mara 2 \kulia]$ na - kiasi - size $\left[ 3\mara 3 \right]$. Lakini kuanzia saizi $\left[ 4\times 4 \right]$ ni bora kutoitumia. Kwa nini - sasa utaelewa kila kitu mwenyewe.

Nyongeza za algebra

Jitayarishe. Sasa kutakuwa na maumivu. Hapana, usijali: muuguzi mzuri katika sketi, soksi zilizo na lace hazitakuja kwako na kukupa sindano kwenye kitako. Kila kitu ni prosaic zaidi: nyongeza za algebra na Ukuu wake "Matrix ya Muungano" inakuja kwako.

Hebu tuanze na jambo kuu. Hebu kuwe na matrix ya mraba ya ukubwa $A=\left[ n\times n \right]$, ambayo vipengele vyake huitwa $((a)_(ij))$. Kisha kwa kila kipengele kama hicho tunaweza kufafanua kijalizo cha algebra:

Ufafanuzi. Aljebra inayosaidia $((A)_(ij))$ kwa kipengele $((a)_(ij))$ kilicho katika $i$th safu mlalo na $j$th safuwima ya matrix $A=\left[ n \times n \kulia]$ ni muundo wa fomu

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \kulia))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Ambapo $M_(ij)^(*)$ ni kibainishi cha matrix iliyopatikana kutoka $A$ asili kwa kufuta safu mlalo sawa ya $i$th na $j$th.

Tena. Kiambatisho cha aljebra kwa kipengele cha matrix chenye viwianishi $\left(i;j \kulia)$ kinaashiria $((A)_(ij))$ na kinakokotolewa kulingana na mpango:

1. Kwanza, tunafuta safu wima ya $i$-na $j$-th kutoka kwa tumbo asilia. Tunapata matrix mpya ya mraba, na tunaashiria kibainishi chake kama $M_(ij)^(*)$.
2. Kisha tunazidisha kibainishi hiki kwa $((\left(-1 \kulia))^(i+j))$ - mwanzoni usemi huu unaweza kuonekana kuwa wa kuzua akili, lakini kimsingi tunafikiria tu ishara iliyo mbele ya $M_(ij)^(*) $.
3. Tunahesabu - tunapata nambari maalum. Wale. nyongeza ya aljebra ni nambari haswa, na sio matrix mpya, nk.

Matrix $M_(ij)^(*)$ yenyewe inaitwa ziada ndogo kwa kipengele $((a)_(ij))$. Na kwa maana hii, ufafanuzi hapo juu wa kijalizo cha aljebra ni kesi maalum ya zaidi ufafanuzi mgumu- tulichoangalia katika somo kuhusu kiambishi.

Ujumbe muhimu. Kwa kweli, katika hisabati ya "watu wazima", nyongeza za algebra hufafanuliwa kama ifuatavyo:

1. Tunachukua safu mlalo za $k$ na safu wima $k$ kwenye tumbo la mraba. Katika makutano yao tunapata matrix ya ukubwa $\left[ k\times k \right]$ - kibainishi chake kinaitwa dogo la mpangilio $k$ na inaashiria $((M)_(k))$.
2. Kisha tunavuka safu hizi "zilizochaguliwa" $k$ na nguzo $k$. Kwa mara nyingine tena unapata matrix ya mraba - kibainishi chake kinaitwa dogo la ziada na inaashiria $M_(k)^(*)$.
3. Zidisha $M_(k)^(*)$ kwa $((\left(-1 \kulia))^(t))$, ambapo $t$ ni (zingatia sasa!) jumla ya nambari za safu mlalo zote zilizochaguliwa. na nguzo. Hii itakuwa nyongeza ya algebra.

Angalia hatua ya tatu: kwa kweli kuna jumla ya masharti ya $2k$! Jambo lingine ni kwamba kwa $k=1$ tutapata istilahi 2 tu - hizi zitakuwa $i+j$ sawa - "viratibu" vya kipengele $((a)_(ij))$ ambacho tunatumika. kutafuta kijalizo cha aljebra.

Kwa hivyo leo tunatumia ufafanuzi uliorahisishwa kidogo. Lakini kama tutakavyoona baadaye, itakuwa zaidi ya kutosha. Jambo lifuatalo ni muhimu zaidi:

Ufafanuzi. Matrix washirika $S$ hadi matrix ya mraba $A=\left[ n\times n \right]$ ni matrix mpya ya ukubwa $\left[ n\times n \right]$, ambayo hupatikana kutoka $A$ kwa kubadilisha $(( a)_(ij))$ na nyongeza za aljebra $((A)_(ij))$:

\\Mshale wa kulia S=\kushoto[ \anza(tumbo) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & (A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & (A)_(nn)) \\\mwisho(matrix) \kulia]\]

Wazo la kwanza linalotokea wakati wa kutambua ufafanuzi huu ni "ni kiasi gani kitastahili kuhesabiwa!" Pumzika: itabidi uhesabu, lakini sio sana :)

Kweli, hii yote ni nzuri sana, lakini kwa nini inahitajika? Lakini kwa nini.

Nadharia kuu

Turudi nyuma kidogo. Kumbuka, katika Lemma 3 ilisemwa kuwa matrix inayoweza kubadilika $A$ daima sio umoja (yaani, kiangazio chake sio sifuri: $\left| A \kulia|\ne 0$).

Kwa hivyo, kinyume pia ni kweli: ikiwa matrix $ A $ sio umoja, basi huwa haibadiliki. Na kuna hata mpango wa kutafuta $((A)^(-1))$. Iangalie:

Nadharia ya matrix kinyume. Acha matrix ya mraba $A=\left[ n\times n \kulia]$ itolewe, na kibainishi chake ni nonzero: $\left| A \kulia|\ne 0$. Kisha matrix inverse $((A)^(-1))$ ipo na inakokotolewa na formula:

\[(A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \kulia|)\cdot ((S)^(T))\]

Na sasa - kila kitu ni sawa, lakini kwa mwandiko unaosomeka. Ili kupata matrix inverse, unahitaji:

1. Kokotoa kibainishi $\left| \\right|$ na uhakikishe kuwa sio sifuri.
2. Tengeneza muungano wa matrix $S$, i.e. hesabu nyongeza za aljebra 100500 $((A)_(ij))$ na uziweke mahali $((a)_(ij))$.
3. Badili matrix hii $S$, na kisha uizidishe kwa nambari fulani $q=(1)/(\left| A \kulia|)\;$.

Ni hayo tu! Matrix ya kinyume $((A)^(-1))$ imepatikana. Hebu tuangalie mifano:

\[\kushoto[ \anza(matrix) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\mwisho(matrix) \kulia]\]

Suluhisho. Wacha tuangalie urejeshaji. Wacha tuhesabu kiashiria:

\[\kushoto| A\kulia|=\kushoto| \anza(tumbo) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\mwisho(tumbo) \kulia|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Kiamuzi ni tofauti na sifuri. Hii inamaanisha kuwa matrix haiwezi kubadilika. Wacha tuunde matrix ya muungano:

Wacha tuhesabu nyongeza za algebra:

\[\anza(linganisha) & ((A)_(11))=((\kushoto(-1 \kulia))^(1+1))\cdot \kushoto| 2 \kulia|=2; \\ & ((A)_(12))=((\kushoto(-1 \kulia))^(1+2))\cdot \kushoto| 5 \kulia|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\kushoto(-1 \kulia))^(2+1))\cdot \kushoto| 1 \kulia|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\kushoto(-1 \kulia))^(2+2))\cdot \kushoto| 3\kulia|=3. \\ \mwisho(patanisha)\]

Tafadhali kumbuka: viambuzi |2|, |5|, |1| na |3| ni viashiria vya ukubwa wa $\left[ 1\mara 1 \kulia]$, na si moduli. Wale. ikiwa waliohitimu ni pamoja na nambari hasi, hakuna haja ya kuondoa "minus".

Kwa jumla, matrix yetu ya muungano inaonekana kama hii:

\[(A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \kulia|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\kushoto[ \anza(safu)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\mwisho(safu) \kulia])^(T))=\kushoto[ \anza (safu)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\mwisho(safu) \kulia]\]

Sawa yote yamekwisha Sasa. Tatizo linatatuliwa.

Jibu. $\left[ \anza(safu)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\mwisho(safu) \kulia]$

Kazi. Tafuta matrix ya kinyume:

\[\kushoto[ \anza(safu)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\mwisho(safu) \kulia] \]

Suluhisho. Tunahesabu kiashiria tena:

\[\anza(linganisha) & \kushoto| \anza(safu)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\mwisho(safu) \kulia|=\anza(matrix ) \kushoto(1\cdot 2\cdot 1+\kushoto(-1 \kulia)\cdot \kushoto(-1 \kulia)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \kulia)- \\ -\kushoto (2\cdot 2\cdot 1+\kushoto(-1 \kulia)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \kushoto(-1 \kulia)\cdot 0 \kulia) \\\mwisho(matrix)= \ \ & =\kushoto(2+1+0 \kulia)-\kushoto(4+0+0 \kulia)=-1\ne 0. \\ \mwisho(patanisha)\]

Kiamuzi ni nonzero-matrix haiwezi kugeuzwa. Lakini sasa itakuwa ngumu sana: tunahitaji kuhesabu nyongeza za aljebra kama 9 (tisa, mama!) Na kila moja yao itakuwa na kibainishi $\left[ 2\ times 2 \right]$. Aliruka:

\[\anza(matrix) ((A)_(11))=((\left(-1 \kulia))^(1+1))\cdot \left| \anza(matrix) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\mwisho(tumbo) \kulia|=2; \\ ((A)_(12))=((\kushoto(-1 \kulia))^(1+2))\cdot \kushoto| \anza(matrix) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\mwisho(tumbo) \kulia|=-1; \\ ((A)_(13))=((\kushoto(-1 \kulia))^(1+3))\cdot \kushoto| \anza(matrix) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\mwisho(tumbo) \kulia|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\kushoto(-1 \kulia))^(3+3))\cdot \kushoto| \anza(matrix) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\mwisho(tumbo) \kulia|=2; \\ \mwisho(matrix)\]

Kwa kifupi, matrix ya muungano itaonekana kama hii:

Kwa hivyo, matrix inverse itakuwa:

\[(A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \kushoto[ \anza(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\mwisho(matrix) \kulia]=\kushoto[ \anza(safu)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 & 1 & -2 \\\mwisho(safu) \kulia]\]

Ni hayo tu. Hili hapa jibu.

Jibu. $\left[ \anza(safu)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\mwisho(safu) \kulia ]$

Kama unaweza kuona, mwisho wa kila mfano tulifanya ukaguzi. Katika suala hili, nukuu muhimu:

Usiwe wavivu kuangalia. Zidisha matrix ya asili kwa matrix inverse iliyopatikana - unapaswa kupata $E$.

Kufanya hundi hii ni rahisi zaidi na kwa haraka zaidi kuliko kutafuta hitilafu katika mahesabu zaidi wakati, kwa mfano, unatatua equation ya matrix.

Njia mbadala

Kama nilivyosema, nadharia ya matrix inverse inafanya kazi vizuri kwa saizi $\left[ 2\mara 2 \kulia]$ na $\left[ 3\mara 3 \kulia]$ (katika kesi ya mwisho- sio "ya ajabu" tena), lakini kwa matrices ya ukubwa mkubwa huzuni huanza.

Lakini usijali: kuna algorithm mbadala ambayo unaweza kupata inverse kwa utulivu hata kwa matrix $\left[ 10\mara 10 \kulia]$. Lakini, kama inavyotokea mara nyingi, kuzingatia algorithm hii tunahitaji msingi mdogo wa kinadharia.

Mabadiliko ya msingi

Kati ya mabadiliko yote yanayowezekana ya matrix, kuna kadhaa maalum - zinaitwa msingi. Kuna mabadiliko matatu kama haya:

1. Kuzidisha. Unaweza kuchukua safu mlalo ya $i$th (safu) na kuizidisha kwa nambari yoyote $k\ne 0$;
2. Nyongeza. Ongeza kwenye safu mlalo ya $i$-th (safu) safu nyingine yoyote ya $j$-th (safu), ikizidishwa na nambari yoyote $k\ne 0$ (bila shaka, unaweza kufanya $k=0$, lakini nini Je, hakuna kitakachobadilika).
3. Kupanga upya. Chukua safu mlalo za $i$th na $j$th (safu wima) na ubadilishane mahali.

Kwa nini mabadiliko haya yanaitwa msingi (kwa matrices makubwa hayaonekani kuwa ya msingi) na kwa nini kuna tatu tu - maswali haya ni zaidi ya upeo wa somo la leo. Kwa hivyo, hatutaingia kwa undani.

Jambo lingine ni muhimu: tunapaswa kufanya upotovu huu wote kwenye tumbo la karibu. Ndio, ndio: umesikia sawa. Sasa kutakuwa na ufafanuzi mmoja zaidi - wa mwisho katika somo la leo.

Matrix ya pamoja

Hakika shuleni ulitatua mifumo ya milinganyo kwa kutumia njia ya kuongeza. Kweli, hapo, toa mwingine kutoka kwa mstari mmoja, zidisha safu kadhaa kwa nambari - ndivyo tu.

Kwa hiyo: sasa kila kitu kitakuwa sawa, lakini kwa njia ya "mtu mzima". Tayari?

Ufafanuzi. Acha matrix $A=\left[ n\times n \kulia]$ na matrix ya utambulisho $E$ ya ukubwa sawa $n$ itolewe. Kisha matrix ya kuunganishwa $\left[ A\left| E\kulia. \kulia]$ ni matrix mpya ya ukubwa $\left[ n\times 2n \right]$ ambayo inaonekana kama hii:

\[\kushoto[ A\kushoto| E\kulia. \kulia]=\kushoto[ \anza(safu)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\mwisho(safu) \kulia]\]

Kwa kifupi, tunachukua matrix $ A $, upande wa kulia tunaiweka matrix ya utambulisho $ E $ ya ukubwa unaohitajika, tunawatenganisha na upau wa wima kwa uzuri - hapa unayo adjoint :)

Nini samaki? Hapa ni nini:

Nadharia. Acha matrix $A$ ibadilike. Zingatia matrix ya pamoja $\left[ A\left| E\kulia. \kulia]$. Ikiwa unatumia ubadilishaji wa kamba za msingi ilete kwa fomu $\left[ E\left| B\ kulia. \kulia]$, i.e. kwa kuzidisha, kutoa na kupanga upya safu mlalo ili kupata kutoka $A$ matrix $E$ upande wa kulia, kisha matrix $B$ iliyopatikana upande wa kushoto ni kinyume cha $A$:

\[\kushoto[ A\kushoto| E\kulia. \kulia]\kwenda \kushoto[ E\kushoto| B\ kulia. \kulia]\Mshale wa Kulia B=((A)^(-1))\]

Ni rahisi hivyo! Kwa kifupi, algorithm ya kupata matrix inverse inaonekana kama hii:

1. Andika matrix inayoambatana $\left[ A\left| E\kulia. \kulia]$;
2. Tekeleza ubadilishaji wa mfuatano wa msingi hadi $E$ ionekane badala ya $A$;
3. Bila shaka, kitu pia kitaonekana upande wa kushoto - matrix fulani $ B $. Hii itakuwa kinyume chake;
4. FAIDA! :)

Bila shaka, hii ni rahisi zaidi kusema kuliko kufanya. Kwa hivyo, hebu tuangalie mifano michache: kwa saizi $\left[ 3\mara 3 \kulia]$ na $\left[ 4\mara 4 \kulia]$.

Kazi. Tafuta matrix ya kinyume:

\[\kushoto[ \anza(safu)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\mwisho(safu) \kulia]\ ]

Suluhisho. Tunaunda matrix ya karibu:

\[\ kushoto[ \anza(safu)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\mwisho(safu) \kulia]\]

Kwa kuwa safu ya mwisho ya matrix ya asili imejaa zile, toa safu ya kwanza kutoka kwa zingine:

\[\anza(panga) & \kushoto[ \anza(safu)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\mwisho(safu) \kulia]\anza(tumbo) \kuteremka \\ -1 \\ -1 \\\mwisho(tumbo)\hadi \\ & \hadi \kushoto [ \anza(safu)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\mwisho(safu) \kulia] \\ \mwisho(patanisha)\]

Hakuna vitengo zaidi, isipokuwa kwa mstari wa kwanza. Lakini hatuigusa, vinginevyo vitengo vipya vilivyoondolewa vitaanza "kuzidisha" kwenye safu ya tatu.

Lakini tunaweza kutoa mstari wa pili mara mbili kutoka mwisho - tunapata moja kwenye kona ya chini kushoto:

\[\anza(panga) & \kushoto[ \anza(safu)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\mwisho(safu) \kulia]\anza(tumbo) \\\ \kushusha \\ -2 \\\mwisho(tumbo)\hadi \\ & \kushoto [ \anza(safu)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\mwisho(safu) \kulia] \\ \mwisho(patanisha)\]

Sasa tunaweza kutoa safu ya mwisho kutoka ya kwanza na mara mbili kutoka ya pili - kwa njia hii "sifuri" safu ya kwanza:

\[\anza(panga) & \kushoto[ \anza(safu)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\mwisho(safu) \kulia]\anza(tumbo) -1 \\ -2 \\ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\'```)&&&&&&&&&&&&&â " "mwisho)" \\ hadi \ kushoto[ \anza(safu)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\mwisho(safu) \kulia] \\ \mwisho(patanisha)\]

Zidisha mstari wa pili kwa -1, kisha uondoe mara 6 kutoka kwa wa kwanza na ongeza mara 1 hadi ya mwisho:

\[\anza(panga) & \kushoto[ \anza(safu)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\mwisho(safu) \kulia]\anza(tumbo) \ \\ \kushoto| \cdot \kushoto(-1 \kulia) \kulia. \\ \ \\\mwisho(tumbo)\kwa \\ & \kwenda \kushoto[ \anza(safu)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\mwisho(safu) \kulia]\anza(tumbo) -6 \\ \chini chini \\ +1 \\\mwisho (matrix)\to \\ & \to \kushoto[ \anza(safu)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\mwisho(safu) \kulia] \\ \mwisho(patanisha)\]

Kilichobaki ni kubadilishana mistari 1 na 3:

\[\kushoto[ \anza(safu)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\mwisho(safu) \kulia]\]

Tayari! Upande wa kulia ni matrix ya kinyume inayohitajika.

Jibu. $\left[ \anza(safu)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\mwisho(safu) \kulia ]$

Kazi. Tafuta matrix ya kinyume:

\[\kushoto[ \anza(tumbo) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\mwisho(matrix) \kulia]\]

Suluhisho. Tunaunda kiunga tena:

\[\ kushoto[ \anza(safu)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\mwisho(safu) \\ kulia]\]

Hebu tulie kidogo, tuwe na huzuni kuhusu ni kiasi gani tunachopaswa kuhesabu sasa ... na kuanza kuhesabu. Kwanza, hebu "tuondoe sifuri" safu wima ya kwanza kwa kuondoa safu mlalo ya 1 kutoka safu ya 2 na 3:

\[\anza(linganisha) & \kushoto[ \anza(safu)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\mwisho (safu) \kulia]\anza(tumbo) \kuteremka \\ -1 \\ -1 \\ \\\\mwisho(tumbo)\\\ & \to \kushoto[ \anza(safu)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\mwisho(safu) \kulia] \\ \mwisho(patanisha)\]

Tunaona "hasara" nyingi sana katika mstari wa 2-4. Zidisha safu zote tatu kwa -1, na kisha choma safu wima ya tatu kwa kutoa safu mlalo ya 3 kutoka kwa zingine:

\[\anza(panga) & \kushoto[ \anza(safu)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \mwisho(safu) \kulia]\anza(tumbo) \ \\ \kushoto| \cdot \kushoto(-1 \kulia) \kulia. \\ \kushoto| \cdot \kushoto(-1 \kulia) \kulia. \\ \kushoto| \cdot \kushoto(-1 \kulia) \kulia. \\\mwisho(tumbo)\kwa \\ & \to \kushoto[ \anza(safu)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \mwisho (safu) \kulia]\anza(tumbo) -2 \\ -1 \\ \chini chini \\ -2 \\\mwisho(tumbo)\hadi \\ & \hadi \kushoto[ \anza(safu)( rrrr|. rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\mwisho(safu) \kulia] \\ \mwisho(panga)\]

Sasa ni wakati wa "kaanga" safu wima ya mwisho ya tumbo asili: toa safu mlalo ya 4 kutoka kwa zingine:

\[\anza(panga) & \kushoto[ \anza(safu)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\mwisho (safu ) \kulia]\anza(tumbo) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \babu \\\mwisho(tumbo)\kwa \\ & \to \kushoto[ \anza(safu)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\mwisho(safu) \kulia] \\ \mwisho(patanisha)\]

Urushaji wa mwisho: "choma" safu wima ya pili kwa kutoa mstari wa 2 kutoka kwa mstari wa 1 na 3:

\[\anza(panga) & \kushoto[ \anza(safu)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\mwisho( safu) \kulia]\anza(tumbo) 6 \\ \chini chini \\ -5 \\ \\\\mwisho(tumbo)\hadi \\ & \to \kushoto[ \anza(safu)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\mwisho(safu) \kulia] \\ \mwisho(patanisha)\]

Na tena matrix ya kitambulisho iko upande wa kushoto, ambayo inamaanisha kuwa inverse iko upande wa kulia :)

Jibu. $\kushoto[ \anza(tumbo) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\mwisho(matrix) \kulia]$

Ufafanuzi wa 1: matrix inaitwa umoja ikiwa kiashiria chake ni sifuri.

Ufafanuzi wa 2: matrix inaitwa isiyo ya umoja ikiwa kiashiria chake si sawa na sifuri.

Matrix "A" inaitwa matrix ya kinyume, ikiwa hali A*A-1 = A-1 *A = E (matrix ya kitengo) imeridhika.

Matrix ya mraba haiwezi kugeuzwa tu ikiwa haina umoja.

Mpango wa kuhesabu matrix inverse:

1) Kokotoa kibainishi cha matrix "A" ikiwa ∆ A = 0, basi matrix inverse haipo.

2) Pata nyongeza zote za algebraic za matrix "A".

3) Unda matrix ya nyongeza za aljebra (Aij)

4) Badili matrix ya viambajengo vya aljebra (Aij )T

5) Zidisha matriki iliyopitishwa kwa kinyume cha kibainishi cha matriki hii.

6) Fanya ukaguzi:

Kwa mtazamo wa kwanza inaweza kuonekana kuwa ngumu, lakini kwa kweli kila kitu ni rahisi sana. Suluhisho zote ni msingi rahisi shughuli za hesabu, jambo kuu wakati wa kuamua sio kuchanganyikiwa na ishara "-" na "+" na si kuzipoteza.

Sasa tuamue pamoja kazi ya vitendo, kukokotoa matriki kinyume.

Kazi: pata matrix ya kinyume "A" iliyoonyeshwa kwenye picha hapa chini:

Tunatatua kila kitu haswa kama inavyoonyeshwa kwenye mpango wa kuhesabu matrix ya kinyume.

1. Jambo la kwanza la kufanya ni kupata kibainishi cha matrix "A":

Maelezo:

Tumerahisisha kibainishi chetu kwa kutumia vipengele vyake vya kimsingi. Kwanza, tuliongeza kwa mstari wa 2 na wa 3 vipengele vya mstari wa kwanza, kuzidishwa na nambari moja.

Pili, tulibadilisha safu ya 2 na 3 ya kiashiria, na kulingana na mali yake, tulibadilisha ishara mbele yake.

Tatu, tulichukua sababu ya kawaida (-1) ya mstari wa pili, na hivyo kubadilisha ishara tena, na ikawa chanya. Pia tulirahisisha mstari wa 3 kwa njia sawa na mwanzoni mwa mfano.

Tuna kiashiria cha pembetatu ambacho vipengele vilivyo chini ya diagonal ni sawa na sifuri, na kwa mali 7 ni sawa na bidhaa za vipengele vya diagonal. Mwishowe tulipata ∆ A = 26, kwa hivyo matrix inverse ipo.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 = -1*(9+2) = -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Hatua inayofuata ni kukusanya matrix kutoka kwa nyongeza zinazosababisha:

5. Zidisha matriki hii kwa kinyume cha kiambishi, yaani, kwa 1/26:

6. Sasa tunahitaji tu kuangalia:

Wakati wa mtihani, tulipokea matrix ya utambulisho, kwa hiyo, suluhisho lilifanyika kwa usahihi kabisa.

Njia 2 za kukokotoa matrix inverse.

1. Mabadiliko ya msingi ya tumbo

2. Matrix ya kinyume kupitia kibadilishaji cha msingi.

Mabadiliko ya matrix ya msingi ni pamoja na:

1. Kuzidisha mfuatano kwa nambari ambayo si sawa na sifuri.

2. Kuongeza kwa mstari wowote mstari mwingine unaozidishwa na nambari.

3. Badilisha safu za matrix.

4. Kutumia mlolongo wa mabadiliko ya msingi, tunapata matrix nyingine.

A -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2.A -1 * A = E

Hebu tuangalie hili mfano wa vitendo na nambari halisi.

Zoezi: Pata matrix ya kinyume.

Suluhisho:

Hebu tuangalie:

Ufafanuzi mdogo juu ya suluhisho:

Kwanza, tulipanga upya safu za 1 na 2 za matrix, kisha tukazidisha safu ya kwanza kwa (-1).

Baada ya hapo, tulizidisha safu ya kwanza na (-2) na kuiongeza na safu ya pili ya tumbo. Kisha tulizidisha mstari wa 2 kwa 1/4.

Hatua ya mwisho Mabadiliko yalikuwa ni kuzidisha kwa mstari wa pili na 2 na kuongeza kutoka kwa kwanza. Kama matokeo, tunayo matrix ya kitambulisho upande wa kushoto, kwa hivyo, tumbo la kinyume ni tumbo la kulia.

Baada ya kuangalia, tulikuwa na hakika kwamba uamuzi huo ulikuwa sahihi.

Kama unaweza kuona, kuhesabu matrix inverse ni rahisi sana.

Mwishoni mwa hotuba hii, ningependa pia kutumia muda kidogo juu ya mali ya matrix kama hiyo.

Njia za kupata matrix inverse, . Fikiria tumbo la mraba

Wacha tuonyeshe Δ =det A.

Matrix ya mraba A inaitwa isiyoharibika, au sio maalum, ikiwa kibainishi chake ni nonzero, na kuzorota, au Maalum, KamaΔ = 0.

Matrix ya mraba B ni ya matriki ya mraba A ya mpangilio sawa ikiwa bidhaa yao ni A B = B A = E, ambapo E ni matriki ya utambulisho ya mpangilio sawa na matriki A na B.

Nadharia . Ili matrix A iwe na matrix inverse, ni muhimu na inatosha kwamba kibainishi chake kiwe tofauti na sifuri.

Matrix ya kinyume ya matrix A, iliyoonyeshwa na A- 1, kwa hivyo B = A - 1 na huhesabiwa kwa fomula

, (1)

ambapo A i j ni ukamilishaji wa aljebra wa vipengele a i j ya matrix A..

Hesabu ya A -1 kwa kutumia fomula (1) kwa matrices utaratibu wa juu ni kazi kubwa sana, kwa hivyo katika mazoezi ni rahisi kupata A -1 kwa kutumia njia ya mabadiliko ya kimsingi (ET). Matrix yoyote isiyo ya umoja inaweza kupunguzwa hadi matriki ya utambulisho E kwa kutumia safu wima tu (au safu mlalo pekee) kwenye mkusanyiko wa utambulisho Ikiwa mabadiliko kamili juu ya matrix A yatatumika kwa mpangilio sawa kwenye tumbo la utambulisho E. matokeo yatakuwa matrix inverse. Ni rahisi kutekeleza EP kwenye matrices A na E wakati huo huo, kuandika matrices zote mbili kwa upande kupitia mstari. Hebu tukumbuke tena kwamba wakati wa kutafuta fomu ya kisheria ya matrix, ili kuipata, unaweza kutumia mabadiliko ya safu na safu. Ikiwa unahitaji kupata kinyume cha matrix, unapaswa kutumia safu mlalo au safu wima pekee wakati wa mchakato wa kubadilisha.

Mfano 2.10. Kwa matrix tafuta A -1 .

Suluhisho.Kwanza tunapata kibainishi cha matrix A
Hii inamaanisha kuwa matrix inverse ipo na tunaweza kuipata kwa kutumia fomula: , ambapo A i j (i,j=1,2,3) ni nyongeza za aljebra za vipengele a i j vya matrix asilia.

Wapi .

Mfano 2.11. Kutumia njia ya mabadiliko ya kimsingi, pata A -1 kwa tumbo: A = .

Suluhisho.Tunapeana matrix asili upande wa kulia matrix ya utambulisho wa mpangilio sawa: . Kwa kutumia mabadiliko ya msingi ya safu wima, tutapunguza "nusu" ya kushoto hadi kitengo cha kwanza, wakati huo huo tukifanya mabadiliko sawa kwenye tumbo la kulia.
Ili kufanya hivyo, badilisha safu wima ya kwanza na ya pili: ~ . Kwa safu ya tatu tunaongeza ya kwanza, na ya pili - ya kwanza, iliyozidishwa na -2: . Kutoka safu ya kwanza tunatoa ya pili mara mbili, na kutoka kwa tatu - ya pili imeongezeka kwa 6; . Wacha tuongeze safu ya tatu kwa ya kwanza na ya pili: . Zidisha safu wima ya mwisho kwa -1: . Tumbo la mraba linalopatikana upande wa kulia wa upau wima ni matriki ya kinyume cha matriki A. Kwa hivyo,
.

Kwa mtu yeyote matrix isiyo ya umoja Na kuna, na zaidi ya hayo, matrix ya kipekee A -1 kama hiyo

A*A -1 =A -1 *A = E,

ambapo E ni matriki ya utambulisho ya maagizo sawa na A. Matrix A -1 inaitwa kinyume cha matrix A.

Ikiwa mtu alisahau, kwenye tumbo la kitambulisho, isipokuwa kwa diagonal iliyojazwa na zile, nafasi zingine zote zimejaa sufuri, mfano wa matrix ya kitambulisho:

Kutafuta matrix inverse kwa kutumia mbinu ya matriki inayoambatana

Matrix inverse inafafanuliwa na formula:

ambapo A ij - vipengele a ij.

Wale. Ili kuhesabu matriki ya kinyume, unahitaji kukokotoa kibainishi cha matriki hii. Kisha pata nyongeza za algebra kwa vipengele vyake vyote na utunge matrix mpya kutoka kwao. Ifuatayo, unahitaji kusafirisha tumbo hili. Na ugawanye kila kipengele cha matriki mpya na kibainishi cha matriki asilia.

Hebu tuangalie mifano michache.

Tafuta A -1 kwa matrix

Suluhisho Wacha tupate A -1 kwa kutumia njia ya matrix inayoambatana. Tuna det A = 2. Hebu tutafute nyongeza za aljebra za vipengele vya matriki A. Katika kwa kesi hii nyongeza za algebra za vitu vya matrix zitakuwa vitu vinavyolingana vya matrix yenyewe, iliyochukuliwa na ishara kulingana na fomula.

Tunayo A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Tunaunda matrix inayoambatana

Tunasafirisha matrix A*:

Tunapata matrix ya kinyume kwa kutumia formula:

Tunapata:

Kwa kutumia njia ya matrix inayoambatana, pata A -1 ikiwa

Suluhisho Kwanza kabisa, tunahesabu ufafanuzi wa matrix hii ili kuthibitisha kuwepo kwa matrix inverse. Tuna

Hapa tuliongeza kwa vipengele vya safu ya pili vipengele vya safu ya tatu, vilivyozidishwa hapo awali na (-1), na kisha kupanua kiashiria cha safu ya pili. Kwa kuwa ufafanuzi wa matrix hii ni nonzero, tumbo lake la kinyume lipo. Ili kuunda matrix inayoambatana, tunapata nyongeza za algebra za vitu vya tumbo hili. Tuna

Kulingana na formula

matrix ya usafiri A*:

Kisha kulingana na formula

Kupata matrix inverse kwa kutumia njia ya mabadiliko ya kimsingi

Kwa kuongezea njia ya kupata matrix inverse, ambayo hufuata kutoka kwa fomula (mbinu ya matrix iliyounganishwa), kuna njia ya kupata matrix inverse, inayoitwa njia ya mabadiliko ya kimsingi.

Mabadiliko ya matrix ya msingi

Mabadiliko yafuatayo yanaitwa mabadiliko ya msingi ya matrix:

1) upangaji upya wa safu (safu);

2) kuzidisha safu (safu) kwa nambari tofauti na sifuri;

3) kuongeza kwa vipengele vya safu (safu) vipengele vinavyolingana vya safu nyingine (safu), iliyozidishwa na nambari fulani.

Ili kupata matrix A -1 tunaunda tumbo la mstatili B = (A|E) ya maagizo (n; 2n), ikikabidhi kwa matrix A iliyo upande wa kulia matrix ya utambulisho E kupitia mstari wa kugawanya:

Hebu tuangalie mfano.

Kutumia njia ya mabadiliko ya kimsingi, pata A -1 ikiwa

Suluhisho Tunaunda matrix B:

Wacha tuonyeshe safu za matrix B kwa α 1, α 2, α 3. Wacha tufanye mabadiliko yafuatayo kwenye safu za matrix B.