Suluhisho la jumla na mahususi la mfumo wa milinganyo ya mstari. Milinganyo ya mstari

Njia ya Gaussian ina idadi ya hasara: haiwezekani kujua ikiwa mfumo ni thabiti au la mpaka mabadiliko yote muhimu katika njia ya Gaussian yamefanyika; Njia ya Gauss haifai kwa mifumo yenye coefficients ya barua.

Wacha tuchunguze njia zingine za kutatua mifumo ya hesabu za mstari. Njia hizi hutumia dhana ya kiwango cha matrix na kupunguza suluhisho la mfumo wowote thabiti kwa suluhisho la mfumo ambao sheria ya Cramer inatumika.

Mfano 1. Pata suluhisho la jumla kwa mfumo ufuatao wa milinganyo ya mstari kwa kutumia mfumo wa kimsingi wa suluhisho kwa mfumo uliopunguzwa wa homogeneous na suluhisho fulani kwa mfumo usio sawa.

1. Kufanya matrix A na matrix ya mfumo uliopanuliwa (1)

2. Chunguza mfumo (1) kwa umoja. Ili kufanya hivyo, tunapata safu za matrices A na https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Iwapo itakuwa hivyo, basi mfumo (1) zisizopatana. Tukipata hilo , basi mfumo huu ni thabiti na tutautatua. (Utafiti wa utangamano unatokana na nadharia ya Kronecker-Capelli).

a. Tunapata rA.

Kupata rA, tutazingatia kwa mpangilio watoto wasio na sifuri wa maagizo ya kwanza, ya pili, n.k. ya tumbo. A na watoto wadogo wanaowazunguka.

M1=1≠0 (tunachukua 1 kutoka kona ya juu kushoto ya tumbo A).

Tunapakana M1 safu ya pili na safu ya pili ya tumbo hili. . Tunaendelea mpaka M1 mstari wa pili na safu ya tatu..gif" width="37" height="20 src=">. Sasa tunapakana na ile isiyo ya sifuri ndogo. M2′ utaratibu wa pili.

Tunayo: (kwa kuwa safu wima mbili za kwanza ni sawa)

(kwa kuwa mstari wa pili na wa tatu ni sawia).

Tunaona hilo rA=2, a ndio msingi mdogo wa matrix A.

b. Tunapata.

Haki ya msingi mdogo M2′ matrices A mpaka na safu ya masharti ya bure na safu zote (tuna safu ya mwisho tu).

. Inafuata hiyo M3′′ inabakia kuwa msingi mdogo wa matrix https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Kwa sababu M2′- msingi mdogo wa matrix A mifumo (2) , basi mfumo huu ni sawa na mfumo (3) , inayojumuisha milinganyo miwili ya kwanza ya mfumo (2) (kwa M2′ iko kwenye safu mbili za kwanza za matrix A).

(3)

Tangu msingi mdogo https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Katika mfumo huu kuna vitu viwili visivyojulikana ( x2 Na x4 ) Ndiyo maana FSR mifumo (4) lina masuluhisho mawili. Ili kuzipata, tunawapa watu wasiojulikana bila malipo (4) maadili kwanza x2=1 , x4=0 , na kisha - x2=0 , x4=1 .

Saa x2=1 , x4=0 tunapata:

Mfumo huu tayari una kitu pekee suluhisho (inaweza kupatikana kwa kutumia sheria ya Cramer au njia nyingine yoyote). Kuondoa ya kwanza kutoka kwa equation ya pili, tunapata:

Suluhisho lake litakuwa x1= -1 , x3=0 . Kwa kuzingatia maadili x2 Na x4 , ambayo tuliongeza, tunapata suluhisho la kwanza la msingi la mfumo (2) : .

Sasa tunaamini (4) x2=0 , x4=1 . Tunapata:

Tunatatua mfumo huu kwa kutumia nadharia ya Cramer:

Tunapata suluhisho la pili la msingi la mfumo (2) : .

Ufumbuzi β1 , β2 na make up FSR mifumo (2) . Kisha suluhisho lake la jumla litakuwa

γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Hapa C1 , C2 - viunga vya kiholela.

4. Tutafute moja Privat suluhisho mfumo tofauti(1) . Kama katika aya 3 , badala ya mfumo (1) Hebu fikiria mfumo sawa (5) , inayojumuisha milinganyo miwili ya kwanza ya mfumo (1) .

(5)

Wacha tuhamishe zisizojulikana za bure kwa pande za kulia x2 Na x4.

(6)

Wacha tutoe haijulikani bure x2 Na x4 maadili ya kiholela, kwa mfano, x2=2 , x4=1 na kuziweka ndani (6) . Wacha tupate mfumo

Mfumo huu una suluhisho la kipekee (kwani kibainishi chake M2′0) Kutatua (kwa kutumia nadharia ya Cramer au njia ya Gauss), tunapata x1=3 , x3=3 . Kwa kuzingatia maadili ya vitu visivyojulikana vya bure x2 Na x4 , tunapata suluhisho maalum la mfumo wa inhomogeneous(1)α1=(3,2,3,1).

5. Sasa kilichobaki ni kuandika tu suluhisho la jumla α la mfumo usio na usawa(1) : ni sawa na jumla suluhisho la kibinafsi mfumo huu na suluhisho la jumla la mfumo wake uliopunguzwa wa homogeneous (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Hii ina maana: (7)

6. Uchunguzi. Ili kuangalia ikiwa umetatua mfumo kwa usahihi (1) , tunahitaji suluhisho la jumla (7) mbadala katika (1) . Ikiwa kila equation itageuka kuwa kitambulisho ( C1 Na C2 lazima iharibiwe), basi suluhisho linapatikana kwa usahihi.

Tutabadilisha (7) kwa mfano, tu equation ya mwisho ya mfumo (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Tunapata: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Wapi –1=–1. Tulipata utambulisho. Tunafanya hivi na hesabu zingine zote za mfumo (1) .

Maoni. Cheki kawaida ni ngumu sana. "Cheki cha sehemu" ifuatayo inaweza kupendekezwa: katika suluhisho la jumla la mfumo (1) gawa baadhi ya maadili kwa viambatisho vya kiholela na ubadilishe suluhu inayotokana na sehemu tu kwenye milinganyo iliyotupwa (yaani, kwenye milinganyo hiyo kutoka (1) , ambazo hazikujumuishwa (5) ) Ikiwa utapata vitambulisho, basi uwezekano zaidi, suluhisho la mfumo (1) kupatikana kwa usahihi (lakini hundi hiyo haitoi dhamana kamili ya usahihi!). Kwa mfano, ikiwa ndani (7) weka C2=- 1 , C1=1, kisha tunapata: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Kubadilisha katika equation ya mwisho ya mfumo (1), tuna: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , yaani -1=–1. Tulipata utambulisho.

Mfano 2. Pata suluhisho la jumla kwa mfumo wa milinganyo ya mstari (1) , akielezea mambo ya msingi yasiyojulikana kwa suala la bure.

Suluhisho. Kama katika mfano 1, kutunga matrices A na https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ya matrices haya. Sasa tunaacha milinganyo hiyo ya mfumo pekee. (1) , mgawo ambao umejumuishwa katika udogo huu wa msingi (yaani, tuna milinganyo miwili ya kwanza) na kuzingatia mfumo unaojumuisha, sawa na mfumo (1).

Wacha tuhamishe zile zisizojulikana zisizolipishwa kwenye pande za kulia za milinganyo hii.

mfumo (9) Tunatatua kwa njia ya Gaussian, kwa kuzingatia pande za kulia kama masharti ya bure.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Chaguo la 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Chaguo la 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Chaguo la 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Chaguo 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Suluhisho. A= . Wacha tupate r (A). Kwa sababu tumbo Na ina utaratibu wa 3x4, basi utaratibu wa juu wa watoto ni 3. Zaidi ya hayo, watoto wote wa tatu ni sawa na sifuri (angalia mwenyewe). Maana, r(A)< 3. Возьмем главный msingi mdogo = -5-4 = -9 ≠ 0. Kwa hiyo r(A) =2.

Hebu tuzingatie tumbo NA = .

Tatu ndogo agizo ≠ 0. Kwa hivyo r(C) = 3.

Tangu r(A) ≠ r(C) , basi mfumo hauendani.

Mfano 2. Amua utangamano wa mfumo wa milinganyo

Tatua mfumo huu ikiwa utageuka kuwa thabiti.

Suluhisho.

A = , C = . Ni dhahiri kwamba r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Tangu detC = 0, kisha r(C)< 4. Hebu tuzingatie mdogo tatu agizo, iko kwenye kona ya juu kushoto ya tumbo A na C: = -23 ≠ 0. Kwa hivyo r(A) = r(C) = 3.

Nambari haijulikani katika mfumo n=3. Hii ina maana kwamba mfumo una ufumbuzi wa kipekee. Katika kesi hii, equation ya nne inawakilisha jumla ya tatu za kwanza na inaweza kupuuzwa.

Kulingana na fomula za Cramer tunapata x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Mbinu ya Matrix. Njia ya Gaussian

mfumo n milinganyo ya mstari Na n zisizojulikana zinaweza kutatuliwa njia ya matrix kulingana na formula X = A -1 B (katika Δ ≠ 0), ambayo hupatikana kutoka (2) kwa kuzidisha sehemu zote mbili kwa A -1.

Mfano 1. Tatua mfumo wa milinganyo

njia ya matrix (katika sehemu ya 2.2 mfumo huu ulitatuliwa kwa kutumia fomula za Cramer)

Suluhisho. Δ = 10 ≠ 0 A = - matrix isiyoharibika.

= (angalia hii mwenyewe kwa kufanya mahesabu muhimu).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x= .

Jibu: .

Kutoka kwa mtazamo wa vitendo njia ya matrix na fomula Kramer zinahusishwa na kiasi kikubwa cha hesabu, hivyo upendeleo hutolewa Njia ya Gaussian, ambayo inajumuisha uondoaji wa mfululizo wa haijulikani. Kwa kufanya hivyo, mfumo wa equations umepunguzwa kwa mfumo sawa na matrix iliyopanuliwa ya triangular (mambo yote chini ya diagonal kuu ni sawa na sifuri). Vitendo hivi vinaitwa kusonga mbele. Kutoka kwa mfumo wa triangular unaosababisha, vigezo vinapatikana kwa kutumia mbadala mfululizo (reverse).

Mfano 2. Tatua mfumo kwa kutumia njia ya Gauss

(Hapo juu, mfumo huu ulitatuliwa kwa kutumia fomula ya Cramer na njia ya matrix).

Suluhisho.

Hoja ya moja kwa moja. Wacha tuandike matrix iliyopanuliwa na, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, tupunguze kuwa fomu ya pembetatu:

~ ~ ~ ~ .

Tunapata mfumo

Kurudi nyuma. Kutoka kwa equation ya mwisho tunapata X 3 = -6 na ubadilishe thamani hii kwenye mlinganyo wa pili:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Jibu: .

2.5. Suluhisho la jumla la mfumo wa milinganyo ya mstari

Wacha mfumo wa milinganyo ya mstari utolewe = b i(i=). Hebu r(A) = r(C) = r, i.e. mfumo ni shirikishi. Kidogo chochote cha utaratibu r zaidi ya sifuri ni msingi mdogo. Bila kupoteza kwa ujumla, tutafikiri kwamba msingi mdogo iko katika safu ya kwanza ya r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) ya matrix A. Baada ya kutupilia mbali milinganyo ya mwisho ya m-r ya mfumo, tunaandika a. mfumo mfupi:

ambayo ni sawa na ile ya awali. Wacha tuwataje wasiojulikana x 1 ,….x r msingi, na x r +1 ,…, x r bure na uhamishe masharti yaliyo na zisizojulikana bila malipo kwa upande wa kulia wa milinganyo ya mfumo uliopunguzwa. Tunapata mfumo kwa heshima na mambo ya msingi yasiyojulikana:

ambayo kwa kila seti ya maadili ya haijulikani bila malipo x r +1 = С 1 ,…, x n = С n-r ina suluhisho moja tu x 1 (C 1 ,…, C n-r),…, x r (C 1 ,…, C n-r), kupatikana kwa utawala wa Cramer.

Suluhisho Sambamba iliyofupishwa, na kwa hivyo mfumo wa asili una fomu:

X(C 1 ,…, C n-r) = - suluhisho la jumla la mfumo.

Ikiwa katika suluhisho la jumla tunapeana maadili fulani ya nambari kwa zisizojulikana za bure, tunapata suluhisho kwa mfumo wa mstari, unaoitwa suluhisho la sehemu.

Mfano.

Suluhisho Anzisha utangamano na upate suluhisho la jumla la mfumo . A = .

, C = Hivyo Jinsi gani r(A)< 4).

= r(C) = 2 (jionee hili), basi mfumo wa asili ni thabiti na una idadi isiyo na kikomo ya suluhisho (tangu r Njia ya Gaussian, pia inaitwa njia ya kuondoa kwa mlolongo wa haijulikani, ni kama ifuatavyo. Kutumia mabadiliko ya kimsingi, mfumo wa hesabu za mstari huletwa kwa fomu ambayo matrix yake ya mgawo inageuka kuwa. au karibu na trapezoidal (kiharusi cha moja kwa moja cha njia ya Gaussian, baada ya hapo kiharusi cha moja kwa moja). Mfano wa mfumo huo na ufumbuzi wake ni katika takwimu hapo juu.

Katika mfumo kama huo, mlinganyo wa mwisho una kigezo kimoja tu na thamani yake inaweza kupatikana bila utata. Thamani ya utaftaji huu basi inabadilishwa kuwa equation iliyotangulia ( kinyume cha njia ya Gaussian , basi tu kinyume chake), ambayo tofauti ya awali inapatikana, na kadhalika.

Katika mfumo wa trapezoidal (pembetatu), kama tunavyoona, equation ya tatu haina tena vigeuzo. y Na x, na equation ya pili ni kutofautiana x .

Baada ya matrix ya mfumo imechukua sura ya trapezoidal, si vigumu tena kuelewa suala la utangamano wa mfumo, kuamua idadi ya ufumbuzi na kupata ufumbuzi wenyewe.

Faida za mbinu:

wakati wa kusuluhisha mifumo ya milinganyo ya mstari yenye zaidi ya milinganyo mitatu na isiyojulikana, njia ya Gauss si ngumu kama mbinu ya Cramer, kwani kusuluhisha kwa njia ya Gauss kunahitaji mahesabu machache;
njia ya Gauss inaweza kutatua mifumo isiyojulikana ya equations za mstari, yaani, wale ambao wana suluhisho la jumla (na tutawachambua katika somo hili), na kwa kutumia njia ya Cramer, tunaweza kusema tu kwamba mfumo haujajulikana;
unaweza kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari ambayo idadi ya haijulikani si sawa na idadi ya equations (tutazichambua pia katika somo hili);
Njia hiyo inategemea njia za msingi (shule) - njia ya kubadilisha haijulikani na njia ya kuongeza hesabu, ambayo tuligusa katika nakala inayolingana.

Ili kila mtu aelewe unyenyekevu ambao mifumo ya trapezoidal (pembe tatu, hatua) ya milinganyo ya mstari hutatuliwa, tunawasilisha suluhisho kwa mfumo kama huo kwa kutumia mwendo wa nyuma. Suluhisho la haraka la mfumo huu lilionyeshwa kwenye picha mwanzoni mwa somo.

Mfano 1. Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia kinyume:

Suluhisho. Katika mfumo huu wa trapezoidal kutofautiana z hupatikana kwa njia ya kipekee kutoka kwa mlinganyo wa tatu. Tunabadilisha thamani yake katika equation ya pili na kupata thamani ya kutofautiana y:

Sasa tunajua maadili ya vigezo viwili - z Na y. Tunazibadilisha katika equation ya kwanza na kupata thamani ya kutofautiana x:

Kutoka kwa hatua zilizopita tunaandika suluhisho la mfumo wa equations:

Ili kupata mfumo kama huu wa trapezoidal wa equations za mstari, ambazo tulitatua kwa urahisi sana, ni muhimu kutumia kiharusi cha mbele kinachohusishwa na mabadiliko ya msingi ya mfumo wa equations za mstari. Pia sio ngumu sana.

Mabadiliko ya kimsingi ya mfumo wa milinganyo ya mstari

Kurudia njia ya shule ya kuongeza hesabu za mfumo kwa algebra, tuligundua kuwa kwa moja ya hesabu za mfumo tunaweza kuongeza equation nyingine ya mfumo, na kila hesabu inaweza kuzidishwa na nambari kadhaa. Kwa hivyo, tunapata mfumo wa milinganyo ya mstari sawa na huu. Ndani yake, equation moja tayari ina tofauti moja tu, ikibadilisha thamani ambayo ndani ya milinganyo mingine, tunapata suluhisho. Nyongeza kama hiyo ni moja wapo ya aina ya mabadiliko ya kimsingi ya mfumo. Wakati wa kutumia njia ya Gaussian, tunaweza kutumia aina kadhaa za mabadiliko.

Uhuishaji hapo juu unaonyesha jinsi mfumo wa milinganyo hatua kwa hatua unageuka kuwa trapezoidal. Hiyo ni, ile ambayo uliona kwenye uhuishaji wa kwanza kabisa na ukajihakikishia kuwa ni rahisi kupata maadili ya yote yasiyojulikana kutoka kwake. Jinsi ya kufanya mabadiliko kama haya na, kwa kweli, mifano itajadiliwa zaidi.

Wakati wa kutatua mifumo ya hesabu za mstari na idadi yoyote ya equations na haijulikani katika mfumo wa equations na katika matrix iliyopanuliwa ya mfumo. Je!:

panga upya mistari (hii ilitajwa mwanzoni mwa kifungu hiki);
ikiwa mabadiliko mengine husababisha safu sawa au za uwiano, zinaweza kufutwa, isipokuwa moja;
ondoa safu za "sifuri" ambapo coefficients zote ni sawa na sifuri;
kuzidisha au kugawanya kamba yoyote kwa nambari fulani;
kwa mstari wowote ongeza mstari mwingine, unaozidishwa na nambari fulani.

Kama matokeo ya mabadiliko, tunapata mfumo wa milinganyo ya mstari sawa na huu.

Algorithm na mifano ya kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari na matrix ya mraba ya mfumo kwa kutumia njia ya Gauss.

Wacha kwanza tuzingatie utatuzi wa mifumo ya milinganyo ya mstari ambayo idadi ya haijulikani ni sawa na idadi ya milinganyo. Matrix ya mfumo kama huo ni mraba, ambayo ni, idadi ya safu ndani yake ni sawa na idadi ya safu.

Mfano 2. Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu ya Gauss

Wakati wa kusuluhisha mifumo ya milinganyo ya mstari kwa kutumia mbinu za shule, tulizidisha moja ya milinganyo baada ya muhula, ili migawo ya lahaja ya kwanza katika milinganyo miwili iwe nambari kinyume. Wakati wa kuongeza equations, tofauti hii huondolewa. Njia ya Gauss inafanya kazi vivyo hivyo.

Ili kurahisisha kuonekana kwa suluhisho wacha tuunde matrix iliyopanuliwa ya mfumo:

Katika tumbo hili, coefficients ya haijulikani iko upande wa kushoto kabla ya mstari wa wima, na masharti ya bure iko upande wa kulia baada ya mstari wa wima.

Kwa urahisi wa kugawanya mgawo kwa anuwai (kupata mgawanyiko kwa umoja) Wacha tubadilishane safu ya kwanza na ya pili ya matrix ya mfumo. Tunapata mfumo sawa na huu, kwa kuwa katika mfumo wa milinganyo ya mstari milinganyo inaweza kubadilishwa:

Kwa kutumia mlingano mpya wa kwanza kuondokana na kutofautiana x kutoka kwa milinganyo ya pili na yote inayofuata. Ili kufanya hivyo, kwa safu ya pili ya matrix tunaongeza safu ya kwanza iliyozidishwa na (kwa upande wetu na ), hadi safu ya tatu - safu ya kwanza iliyozidishwa na (kwa upande wetu na).

Hili linawezekana kwa sababu

Iwapo kungekuwa na zaidi ya milinganyo mitatu katika mfumo wetu, basi tungelazimika kuongeza kwenye milinganyo yote inayofuata mstari wa kwanza, unaozidishwa na uwiano wa migawo inayolingana, iliyochukuliwa kwa ishara ya kutoa.

Kama matokeo, tunapata matrix sawa na mfumo huu wa mfumo mpya wa equations, ambapo milinganyo yote, kuanzia ya pili. usiwe na kigezo x :

Ili kurahisisha safu ya pili ya mfumo unaosababishwa, zidisha na tena pata matrix ya mfumo wa equations sawa na mfumo huu:

Sasa, kuweka equation ya kwanza ya mfumo unaosababishwa bila kubadilika, kwa kutumia equation ya pili tunaondoa kutofautisha y kutoka kwa milinganyo yote inayofuata. Ili kufanya hivyo, kwa safu ya tatu ya matrix ya mfumo tunaongeza safu ya pili, iliyozidishwa na (kwa upande wetu na).

Iwapo kungekuwa na zaidi ya milinganyo mitatu katika mfumo wetu, basi tungelazimika kuongeza mstari wa pili kwa milinganyo yote inayofuata, ikizidishwa na uwiano wa migawo inayolingana iliyochukuliwa kwa ishara ya kutoa.

Kama matokeo, tunapata tena matrix ya mfumo sawa na mfumo huu wa milinganyo ya mstari:

Tumepata mfumo sawa wa trapezoidal wa milinganyo ya mstari:

Ikiwa idadi ya milinganyo na vigeu ni kubwa kuliko katika mfano wetu, basi mchakato wa kuondoa vigeu kwa mpangilio unaendelea hadi matriki ya mfumo inakuwa trapezoidal, kama ilivyo katika mfano wetu wa onyesho.

Tutapata suluhisho "kutoka mwisho" - hoja ya nyuma. Kwa hili kutoka kwa equation ya mwisho tunayoamua z:
.
Kubadilisha thamani hii katika mlinganyo uliopita, tutapata y:

Kutoka kwa equation ya kwanza tutapata x:

Jibu: suluhisho la mfumo huu wa milinganyo ni .

: katika kesi hii jibu sawa litatolewa ikiwa mfumo una suluhisho la kipekee. Ikiwa mfumo una idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi, basi hii itakuwa jibu, na hii ndiyo somo la sehemu ya tano ya somo hili.

Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya Gaussian mwenyewe, na kisha uangalie suluhisho

Hapa tena tuna mfano wa mfumo thabiti na wa uhakika wa milinganyo ya mstari, ambapo idadi ya milinganyo ni sawa na idadi ya zisizojulikana. Tofauti kutoka kwa mfano wetu wa onyesho kutoka kwa algorithm ni kwamba tayari kuna milinganyo minne na nne zisizojulikana.

Mfano 4. Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya Gauss:

Sasa unahitaji kutumia equation ya pili ili kuondoa kutofautisha kutoka kwa hesabu zinazofuata. Wacha tufanye kazi ya maandalizi. Ili kuifanya iwe rahisi zaidi na uwiano wa coefficients, unahitaji kupata moja kwenye safu ya pili ya safu ya pili. Ili kufanya hivyo, toa ya tatu kutoka kwa mstari wa pili, na kuzidisha mstari wa pili unaosababishwa na -1.

Hebu sasa tufanye uondoaji halisi wa kutofautiana kutoka kwa equations ya tatu na ya nne. Ili kufanya hivyo, ongeza mstari wa pili, ukizidishwa na , hadi mstari wa tatu, na wa pili, umeongezeka kwa , hadi mstari wa nne.

Sasa, kwa kutumia equation ya tatu, tunaondoa kutofautiana kutoka kwa equation ya nne. Ili kufanya hivyo, ongeza mstari wa tatu kwenye mstari wa nne, ukizidishwa na. Tunapata matrix ya trapezoidal iliyopanuliwa.

Tulipata mfumo wa milinganyo ambao mfumo uliotolewa ni sawa:

Kwa hivyo, mifumo inayotokana na iliyotolewa inaendana na ya uhakika. Tunapata suluhisho la mwisho "kutoka mwisho". Kutoka kwa equation ya nne tunaweza kueleza moja kwa moja thamani ya kutofautisha "x-four":

Tunabadilisha thamani hii katika equation ya tatu ya mfumo na kupata

Hatimaye, badala ya thamani

Equation ya kwanza inatoa

tunapata wapi "x kwanza":

Jibu: mfumo huu wa milinganyo una suluhisho la kipekee .

Unaweza pia kuangalia suluhisho la mfumo kwenye calculator kwa kutumia njia ya Cramer: katika kesi hii, jibu sawa litatolewa ikiwa mfumo una ufumbuzi wa pekee.

Kutatua matatizo yaliyotumika kwa kutumia njia ya Gauss kwa kutumia mfano wa tatizo kwenye aloi

Mifumo ya milinganyo ya mstari hutumiwa kuiga vitu halisi katika ulimwengu wa kimwili. Hebu kutatua moja ya matatizo haya - aloi. Shida zinazofanana ni shida kwenye mchanganyiko, gharama au sehemu ya bidhaa za kibinafsi katika kundi la bidhaa, na kadhalika.

Mfano 5. Vipande vitatu vya aloi vina uzito wa kilo 150. Aloi ya kwanza ina 60% ya shaba, ya pili - 30%, ya tatu - 10%. Zaidi ya hayo, katika aloi za pili na za tatu zilizochukuliwa pamoja kuna kilo 28.4 chini ya shaba kuliko katika aloi ya kwanza, na katika aloi ya tatu kuna kilo 6.2 chini ya shaba kuliko ya pili. Pata wingi wa kila kipande cha aloi.

Suluhisho. Tunaunda mfumo wa milinganyo ya mstari:

Tunazidisha milinganyo ya pili na ya tatu kwa 10, tunapata mfumo sawa wa milinganyo ya mstari:

Tunaunda matrix iliyopanuliwa ya mfumo:

Tahadhari, moja kwa moja mbele. Kwa kuongeza (kwa upande wetu, kutoa) safu moja iliyozidishwa na nambari (tunaitumia mara mbili), mabadiliko yafuatayo hufanyika na matrix iliyopanuliwa ya mfumo:

Hatua ya moja kwa moja imekwisha. Tulipata matrix ya trapezoidal iliyopanuliwa.

Tunatumia hoja ya nyuma. Tunapata suluhisho kutoka mwisho. Tunaona hilo.

Kutoka kwa equation ya pili tunapata

Kutoka kwa equation ya tatu -

Unaweza pia kuangalia suluhisho la mfumo kwenye calculator kwa kutumia njia ya Cramer: katika kesi hii, jibu sawa litatolewa ikiwa mfumo una ufumbuzi wa pekee.

Urahisi wa njia ya Gauss inathibitishwa na ukweli kwamba ilimchukua mwanahisabati wa Ujerumani Carl Friedrich Gauss dakika 15 tu kuivumbua. Mbali na njia iliyopewa jina lake, msemo "Hatupaswi kuchanganya kile kinachoonekana kuwa cha kushangaza na kisicho cha asili kwetu na kisichowezekana kabisa" kinajulikana kutoka kwa kazi za Gauss - aina ya maagizo mafupi juu ya uvumbuzi.

Katika matatizo mengi yaliyotumiwa kunaweza kuwa hakuna kizuizi cha tatu, yaani, equation ya tatu, basi, kwa kutumia njia ya Gaussian, mtu anapaswa kutatua mfumo wa equations mbili na haijulikani tatu, au, kinyume chake, kuna wachache wasiojulikana kuliko equations. Sasa tutaanza kutatua mifumo kama hii ya milinganyo.

Kwa kutumia mbinu ya Gaussian, unaweza kubaini ikiwa mfumo wowote unaafikiana au hauoani n milinganyo ya mstari na n vigezo.

Mbinu ya Gauss na mifumo ya milinganyo ya mstari yenye idadi isiyo na kikomo ya suluhu

Mfano unaofuata ni mfumo thabiti lakini usio na kipimo wa milinganyo ya mstari, yaani, kuwa na idadi isiyo na kikomo ya suluhu.

Baada ya kufanya mabadiliko katika matrix iliyopanuliwa ya mfumo (kupanga upya safu, kuzidisha na kugawanya safu kwa nambari fulani, na kuongeza nyingine kwenye safu moja), safu za fomu zinaweza kuonekana.

Ikiwa katika milinganyo yote ina fomu

Maneno ya bure ni sawa na sifuri, hii ina maana kwamba mfumo hauna uhakika, yaani, una idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi, na equations ya aina hii ni "superfluous" na tunawatenga kutoka kwenye mfumo.

Mfano 6.

Suluhisho. Wacha tuunda matrix iliyopanuliwa ya mfumo. Kisha, kwa kutumia equation ya kwanza, tunaondoa kutofautiana kutoka kwa usawa unaofuata. Ili kufanya hivyo, ongeza kwa mstari wa pili, wa tatu na wa nne wa kwanza, ukizidishwa na:

Sasa hebu tuongeze mstari wa pili kwa tatu na nne.

Matokeo yake, tunafika kwenye mfumo

Milinganyo miwili ya mwisho iligeuka kuwa milinganyo ya fomu. Milinganyo hii imeridhika kwa thamani yoyote ya zisizojulikana na inaweza kutupwa.

Ili kukidhi mlinganyo wa pili, tunaweza kuchagua thamani kiholela za na , kisha thamani ya itabainishwa kipekee: . Kutoka kwa equation ya kwanza thamani ya pia inapatikana kipekee: .

Mifumo iliyopewa na ya mwisho ni thabiti, lakini haina uhakika, na fomula

kwa kiholela na kutupa suluhisho zote za mfumo fulani.

Njia ya Gauss na mifumo ya milinganyo ya mstari bila suluhu

Mfano unaofuata ni mfumo usiolingana wa milinganyo ya mstari, yaani, ule ambao hauna suluhu. Jibu la matatizo hayo limeundwa kwa njia hii: mfumo hauna ufumbuzi.

Kama ilivyoelezwa tayari kuhusiana na mfano wa kwanza, baada ya kufanya mabadiliko, safu za fomu zinaweza kuonekana kwenye matrix iliyopanuliwa ya mfumo.

sambamba na mlinganyo wa fomu

Ikiwa kati yao kuna angalau equation moja na neno la bure la nonzero (yaani), basi mfumo huu wa equations haufanani, yaani, hauna ufumbuzi na ufumbuzi wake umekamilika.

Mfano 7. Tatua mfumo wa milinganyo ya mstari kwa kutumia njia ya Gauss:

Suluhisho. Tunaunda matrix iliyopanuliwa ya mfumo. Kwa kutumia equation ya kwanza, tunatenga tofauti kutoka kwa milinganyo inayofuata. Ili kufanya hivyo, ongeza mstari wa kwanza uliozidishwa na mstari wa pili, mstari wa kwanza ulizidishwa na mstari wa tatu, na mstari wa kwanza ukiongezeka kwa mstari wa nne.

Sasa unahitaji kutumia equation ya pili ili kuondoa kutofautisha kutoka kwa hesabu zinazofuata. Ili kupata uwiano kamili wa coefficients, tunabadilisha safu ya pili na ya tatu ya matrix iliyopanuliwa ya mfumo.

Ili kuwatenga milinganyo ya tatu na ya nne, ongeza ya pili iliyozidishwa na , hadi mstari wa tatu, na ya pili ikizidishwa na , hadi mstari wa nne.

Sasa, kwa kutumia equation ya tatu, tunaondoa kutofautiana kutoka kwa equation ya nne. Ili kufanya hivyo, ongeza mstari wa tatu kwenye mstari wa nne, ukizidishwa na.

Kwa hivyo, mfumo uliotolewa ni sawa na ufuatao:

Mfumo unaosababishwa hauendani, kwani equation yake ya mwisho haiwezi kuridhika na maadili yoyote ya haijulikani. Kwa hiyo, mfumo huu hauna ufumbuzi.

Kwa ujumla, equation ya mstari ina fomu:

Equation ina suluhisho: ikiwa angalau moja ya coefficients ya haijulikani ni tofauti na sifuri. Katika kesi hii, vector yoyote-dimensional inaitwa suluhisho la equation ikiwa, wakati wa kubadilisha kuratibu zake, equation inakuwa kitambulisho.

Tabia za jumla za mfumo uliotatuliwa wa milinganyo

Mfano 20.1

Eleza mfumo wa milinganyo.

Suluhisho:

1. Je, kuna mlingano unaopingana unaohusika?(Ikiwa coefficients, katika kesi hii equation ina fomu: na inaitwa yenye utata.)

Ikiwa mfumo una kitu kinachopingana, basi mfumo kama huo hauendani na hauna suluhisho.

2. Pata vigeu vyote vinavyoruhusiwa. (Isiyojulikana inaitwakuruhusiwa kwa mfumo wa equations, ikiwa imejumuishwa katika moja ya equations ya mfumo na mgawo wa +1, lakini haijajumuishwa katika equations iliyobaki (yaani, imejumuishwa na mgawo sawa na sifuri).

3. Je, mfumo wa milinganyo umetatuliwa? (Mfumo wa equations unaitwa kutatuliwa, ikiwa kila equation ya mfumo ina kutatuliwa isiyojulikana, kati ya ambayo hakuna ya bahati mbaya)

Kutatuliwa haijulikani, kuchukuliwa moja kutoka kwa kila equation ya mfumo, fomu seti kamili ya zisizojulikana zilizotatuliwa mifumo. (katika mfano wetu hii ni)

Kuruhusiwa haijulikani kujumuishwa katika seti kamili pia huitwa msingi(), na haijajumuishwa kwenye seti - bure ().

Katika hali ya jumla, mfumo uliotatuliwa wa equations una fomu:

Katika hatua hii, jambo kuu ni kuelewa ni nini kutatuliwa haijulikani(imejumuishwa katika msingi na bure).

Suluhisho za kimsingi za kimsingi

Suluhisho la jumla mfumo uliotatuliwa wa equations ni seti ya misemo ya kutojulikana kutatuliwa kupitia masharti ya bure na yasiyojulikana ya bure:

Uamuzi wa kibinafsi inaitwa suluhisho lililopatikana kutoka kwa suluhisho la jumla kwa maadili maalum ya anuwai ya bure na isiyojulikana.

Suluhisho la msingi ni suluhisho fulani lililopatikana kutoka kwa jumla kwa maadili ya sifuri ya anuwai ya bure.

Suluhisho la msingi (vector) linaitwa kuzorota, ikiwa idadi ya viwianishi vyake visivyo vya sifuri ni chini ya idadi ya zisizojulikana zinazoruhusiwa.
Suluhisho la msingi linaitwa yasiyo ya kuzorota, ikiwa idadi ya kuratibu zake zisizo za sifuri ni sawa na idadi ya kuruhusiwa haijulikani ya mfumo iliyojumuishwa katika seti kamili.

Nadharia (1)

Mfumo uliotatuliwa wa milinganyo daima ni thabiti(kwa sababu ina angalau suluhisho moja); Kwa kuongeza, ikiwa mfumo hauna haijulikani bila malipo,(yaani, katika mfumo wa milinganyo, zote zinazoruhusiwa zimejumuishwa katika msingi) basi inafafanuliwa(ina suluhisho la kipekee); ikiwa kuna angalau variable moja ya bure, basi mfumo haujafafanuliwa(ina idadi isiyo na kikomo ya suluhisho).

Mfano 1. Tafuta suluhisho la jumla, la msingi na mahususi kwa mfumo wa milinganyo:

Suluhisho:

1. Je, tunaangalia kama mfumo umeidhinishwa?

Mfumo umetatuliwa (kwa kuwa kila milinganyo ina jambo lisilojulikana lililotatuliwa)

2. Tunajumuisha zisizojulikana zinazoruhusiwa katika seti - moja kutoka kwa kila mlinganyo.

3. Tunaandika suluhisho la jumla kulingana na kile kinachoruhusiwa kisichojulikana ambacho tulijumuisha kwenye seti.

4. Kutafuta suluhisho maalum. Ili kufanya hivyo, tunalinganisha vigezo vya bure ambavyo hatukujumuisha katika seti na nambari za kiholela.

Jibu: suluhisho la kibinafsi(moja ya chaguzi)

5. Kutafuta suluhisho la msingi. Ili kufanya hivyo, tunalinganisha vigezo vya bure ambavyo hatukujumuisha katika seti hadi sifuri.

Mabadiliko ya kimsingi ya milinganyo ya mstari

Mifumo ya milinganyo ya mstari imepunguzwa hadi mifumo sawa iliyotatuliwa kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi.

Nadharia (2)

Kama ipo zidisha mlinganyo wa mfumo kwa nambari isiyo ya kawaida, na uache milinganyo iliyobaki bila kubadilika, basi . (Hiyo ni, ikiwa unazidisha pande za kushoto na kulia za equation kwa nambari sawa, unapata mlinganyo sawa na hii)

Nadharia (3)

Kama ongeza nyingine kwa mlinganyo wowote wa mfumo, na kuacha milinganyo mingine yote bila kubadilika, basi tunapata mfumo sawa na huu. (Hiyo ni, ukiongeza hesabu mbili (kwa kuongeza pande zao za kushoto na kulia) utapata equation sawa na data)

Mfuatano wa Nadharia (2 na 3)

Kama ongeza mlinganyo mwingine kwa mlinganyo unaozidishwa na nambari fulani, na kuacha milinganyo mingine yote bila kubadilika, basi tunapata mfumo sawa na huu.

Fomula za kukokotoa upya mgawo wa mfumo

Ikiwa tuna mfumo wa milinganyo na tunataka kuubadilisha kuwa mfumo uliotatuliwa wa milinganyo, mbinu ya Jordan-Gauss itatusaidia na hili.

Yordani kubadilisha na kipengele cha kusuluhisha hukuruhusu kupata kwa mfumo wa milinganyo iliyotatuliwa isiyojulikana katika mlinganyo na nambari . (mfano 2).

Mabadiliko ya Yordani yana mabadiliko ya kimsingi ya aina mbili:

Wacha tuseme tunataka kufanya kisichojulikana katika mlinganyo wa chini kuwa kisichojulikana. Ili kufanya hivyo, lazima tugawanye kwa , ili jumla ni .

Mfano 2 Wacha tuhesabu tena mgawo wa mfumo

Wakati wa kugawanya equation na nambari na , mgawo wake huhesabiwa upya kwa kutumia fomula:

Ili kuwatenga kutoka kwa mlinganyo na nambari , unahitaji kuzidisha equation na nambari na kuongeza kwenye mlinganyo huu.

Nadharia (4) Juu ya kupunguza idadi ya milinganyo ya mfumo.

Ikiwa mfumo wa equations una equation isiyo na maana, basi inaweza kutengwa na mfumo, na mfumo unaofanana na wa awali utapatikana.

Nadharia (5) Juu ya kutopatana kwa mfumo wa milinganyo.

Ikiwa mfumo wa milinganyo una mlinganyo usio thabiti, basi haufanani.

Algorithm ya njia ya Jordan-Gauss

Algorithm ya kutatua mifumo ya equations kwa kutumia njia ya Jordan-Gauss ina idadi ya hatua zinazofanana, kwa kila hatua ambayo hufanywa kwa mpangilio ufuatao:

Hukagua ili kuona ikiwa mfumo hauendani. Ikiwa mfumo una mlinganyo usio sawa, basi haufanani.
Uwezekano wa kupunguza idadi ya equations ni checked. Ikiwa mfumo una equation isiyo na maana, inavuka.
Ikiwa mfumo wa equations umetatuliwa, basi andika suluhisho la jumla la mfumo na, ikiwa ni lazima, ufumbuzi fulani.
Ikiwa mfumo haujatatuliwa, basi katika equation ambayo haina kutatuliwa haijulikani, kipengele cha kutatua kinachaguliwa na mabadiliko ya Yordani yanafanywa na kipengele hiki.
Kisha rudi kwenye nukta 1

Mfano 3 Tatua mfumo wa milinganyo kwa kutumia njia ya Jordan-Gauss.

Tafuta: masuluhisho mawili ya jumla na mawili yanayolingana

Suluhisho:

Mahesabu yanaonyeshwa kwenye jedwali hapa chini:

Upande wa kulia wa jedwali ni vitendo kwenye milinganyo. Mishale inaonyesha ambayo equation iliyo na kipengele cha kutatua imeongezwa, ikizidishwa na sababu inayofaa.

Safu tatu za kwanza za jedwali zina coefficients ya haijulikani na pande za kulia za mfumo wa awali. Matokeo ya mabadiliko ya kwanza ya Yordani yenye kipengele cha kutatua sawa na moja yametolewa katika mstari wa 4, 5, 6. Matokeo ya mabadiliko ya pili ya Yordani yenye kipengele cha kutatua sawa na (-1) yametolewa katika mstari wa 7, 8, 9. Kwa kuwa equation ya tatu ni ndogo, haiwezi kuzingatiwa.

Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.

Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi

Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.

Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.

Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.

Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:

Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, barua pepe, n.k.

Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:

Taarifa za kibinafsi tunazokusanya huturuhusu kuwasiliana nawe na matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani, kama vile kufanya ukaguzi, uchambuzi wa data na utafiti mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.

Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine

Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.

Vighairi:

Ikiwa ni lazima - kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, katika kesi za kisheria, na / au kwa misingi ya maombi ya umma au maombi kutoka kwa mamlaka ya serikali katika eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.

Ulinzi wa habari za kibinafsi

Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.

Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni

Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.