Maelezo ya grafu ya kitendakazi cha quadratic. Uchunguzi wa I, parabola ya classical

Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.

Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi

Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.

Unaweza kuulizwa kutoa yako habari za kibinafsi wakati wowote unawasiliana nasi.

Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.

Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:

• Unapotuma ombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, anwani Barua pepe na kadhalika.

Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:

• Taarifa za kibinafsi tunazokusanya huturuhusu kuwasiliana nawe na matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
• Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
• Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani, kama vile kufanya ukaguzi, uchambuzi wa data na utafiti mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
• Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.

Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine

Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.

Vighairi:

• Ikiwa ni lazima, kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, katika kesi za kisheria, na/au kulingana na maswali ya umma au maombi kutoka mashirika ya serikali kwenye eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
• Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.

Ulinzi wa habari za kibinafsi

Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.

Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni

Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.

Mali na kazi za grafu kazi ya quadratic kusababisha, kama inavyoonyesha mazoezi, matatizo makubwa. Hii ni ya kushangaza sana, kwa sababu wanasoma kazi ya quadratic katika daraja la 8, na kisha katika robo ya kwanza ya daraja la 9 "wanatesa" mali ya parabola na kujenga grafu zake kwa vigezo mbalimbali.

Hii ni kwa sababu ya ukweli kwamba wakati wa kulazimisha wanafunzi kuunda parabolas, kwa kweli hawatumii wakati wa "kusoma" grafu, ambayo ni, hawafanyi mazoezi ya kuelewa habari iliyopokelewa kutoka kwa picha. Inavyoonekana, inadhaniwa kwamba, baada ya kuunda grafu kadhaa au mbili, mwanafunzi mwenye akili atagundua na kuunda uhusiano kati ya coefficients katika formula na. mwonekano sanaa za michoro. Katika mazoezi hii haifanyi kazi. Kwa ujumla kama huo ni muhimu uzoefu mkubwa utafiti mdogo wa hisabati, ambao wanafunzi wengi wa darasa la tisa, bila shaka, hawana. Wakati huo huo, Ukaguzi wa Jimbo unapendekeza kuamua ishara za coefficients kwa kutumia ratiba.

Hatutadai kisichowezekana kutoka kwa watoto wa shule na tutatoa moja ya algorithms ya kutatua shida kama hizo.

Kwa hivyo, kazi ya fomu y = shoka 2 + bx + c inaitwa quadratic, grafu yake ni parabola. Kama jina linavyopendekeza, neno kuu ni shoka 2. Hiyo ni A haipaswi kuwa sawa na sifuri, coefficients iliyobaki ( b Na Na) inaweza kuwa sifuri.

Hebu tuone jinsi ishara za coefficients zake zinavyoathiri kuonekana kwa parabola.

Utegemezi rahisi zaidi wa mgawo A. Watoto wengi wa shule hujibu kwa ujasiri: “ikiwa A> 0, basi matawi ya parabola yanaelekezwa juu, na ikiwa A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0.5x 2 - 3x + 1

KATIKA kwa kesi hii A = 0,5

Na sasa kwa A < 0:

y = - 0.5x2 - 3x + 1

Kwa kesi hii A = - 0,5

Athari ya mgawo Na Pia ni rahisi sana kufuata. Hebu tufikirie kwamba tunataka kupata thamani ya chaguo la kukokotoa kwa uhakika X= 0. Badilisha sifuri kwenye fomula:

y = a 0 2 + b 0 + c = c. Inageuka kuwa y = c. Hiyo ni Na ni mratibu wa hatua ya makutano ya parabola na mhimili y. Kwa kawaida, hatua hii ni rahisi kupata kwenye grafu. Na uamue ikiwa iko juu ya sifuri au chini. Hiyo ni Na> 0 au Na < 0.

Na > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Na < 0

y = x 2 + 4x - 3

Ipasavyo, ikiwa Na= 0, basi parabola lazima itapita kwenye asili:

y = x 2 + 4x

Ngumu zaidi na parameter b. Hatua ambayo tutaipata inategemea sio tu b lakini pia kutoka A. Hii ni sehemu ya juu ya parabola. Abscissa yake (axis coordinate X) hupatikana kwa fomula x katika = - b/(2a). Hivyo, b = - 2 ax ndani. Hiyo ni, tunaendelea kama ifuatavyo: tunapata vertex ya parabola kwenye grafu, kuamua ishara ya abscissa yake, yaani, tunaangalia kulia kwa sifuri ( x katika> 0) au kushoto ( x katika < 0) она лежит.

Walakini, hiyo sio yote. Tunahitaji pia kuzingatia ishara ya mgawo A. Hiyo ni, angalia ambapo matawi ya parabola yanaelekezwa. Na tu baada ya hayo, kulingana na formula b = - 2 ax ndani kuamua ishara b.

Hebu tuangalie mfano:

Matawi yanaelekezwa juu, ambayo ina maana A> 0, parabola hukatiza mhimili katika chini ya sifuri ina maana Na < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x katika> 0. Hivyo b = - 2 ax ndani = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, Na < 0.

Matatizo mengi yanahitaji kuhesabu kiwango cha juu au thamani ya chini kazi ya quadratic. Kiwango cha juu au cha chini kinaweza kupatikana ikiwa chaguo za kukokotoa asilia zimeandikwa fomu ya kawaida: au kupitia viwianishi vya kipeo cha parabola: f (x) = a (x − h) 2 + k (\mtindo wa kuonyesha f(x)=a(x-h)^(2)+k). Zaidi ya hayo, kiwango cha juu au cha chini zaidi cha chaguo za kukokotoa za quadratic kinaweza kukokotwa kwa kutumia shughuli za hisabati.

Hatua

Kazi ya quadratic imeandikwa kwa fomu ya kawaida

Andika chaguo la kukokotoa katika fomu ya kawaida. Kitendakazi cha quadratic ni chaguo la kukokotoa ambalo mlinganyo wake unahusisha kigezo x 2 (\mtindo wa kuonyesha x^(2)). Mlinganyo unaweza au usijumuishe kigezo x (\mtindo wa kuonyesha x). Ikiwa mlinganyo unajumuisha kigezo chenye kipeo kikubwa zaidi ya 2, hakielezei chaguo za kukokotoa za robo. Ikiwa ni lazima, toa masharti sawa na uyapange upya ili kuandika chaguo la kukokotoa katika fomu ya kawaida.

• Kwa mfano, kutokana na kazi f (x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 (\mtindo wa maonyesho f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). Ongeza maneno na vigezo x 2 (\mtindo wa kuonyesha x^(2)) na wanachama wenye mabadiliko x (\mtindo wa kuonyesha x) kuandika equation katika fomu ya kawaida:
  • f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 (\mtindo wa kuonyesha f(x)=2x^(2)+5x+4)

1. Grafu ya kazi ya quadratic ni parabola. Matawi ya parabola yanaelekezwa juu au chini. Ikiwa mgawo a (\mtindo wa kuonyesha a) yenye kutofautiana x 2 (\mtindo wa kuonyesha x^(2)) a (\mtindo wa kuonyesha a)

   • f (x) = 2 x 2 + 4 x − 6 (\mtindo wa maonyesho f(x)=2x^(2)+4x-6). Hapa a = 2 (\mtindo wa kuonyesha a=2)
   • f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 (\mtindo wa maonyesho f(x)=-3x^(2)+2x+8). Hapa, kwa hiyo, parabola inaelekezwa chini.
   • f (x) = x 2 + 6 (\mtindo wa kuonyesha f(x)=x^(2)+6). Hapa a = 1 (\mtindo wa kuonyesha a=1), kwa hivyo parabola inaelekezwa juu.
   • Ikiwa parabola imeelekezwa juu, unahitaji kuangalia kiwango chake cha chini. Ikiwa parabola inaelekeza chini, tafuta upeo wake.

2. Hesabu -b/2a. Maana − b 2 a (\mtindo wa maonyesho -(\frac (b)(2a))) ni kuratibu x (\mtindo wa kuonyesha x) wima ya parabola. Ikiwa kazi ya quadratic imeandikwa kwa fomu ya kawaida a x 2 + b x + c (\mtindo wa kuonyesha shoka^(2)+bx+c), tumia coefficients kwa x (\mtindo wa kuonyesha x) Na x 2 (\mtindo wa kuonyesha x^(2)) kwa njia ifuatayo:

   • Katika coefficients za kazi a = 1 (\mtindo wa kuonyesha a=1) Na b = 10 (\mtindo wa kuonyesha b=10)
     • x = − 10 (2) (1) (\mtindo wa kuonyesha x=-(\frac (10)(2)(1))))
     • x = − 10 2 (\mtindo wa kuonyesha x=-(\frac (10)(2)))
   • Kama mfano wa pili, fikiria kazi. Hapa a = − 3 (\mtindo wa kuonyesha a=-3) Na b = 6 (\mtindo wa kuonyesha b=6). Kwa hivyo, hesabu uratibu wa "x" wa vertex ya parabola kama ifuatavyo:
     • x = − b 2 a (\mtindo wa maonyesho x=-(\frac (b)(2a)))
     • x = − 6 (2) (− 3) (\mtindo wa maonyesho x=-(\frac (6)(2)(-3))))
     • x = − 6 − 6 (\mtindo wa maonyesho x=-(\frac (6)(-6)))
     • x = − (− 1) (\mtindo wa kuonyesha x=-(-1))
     • x = 1 (\mtindo wa kuonyesha x=1)

3. Tafuta thamani inayolingana ya f(x). Chomeka thamani iliyopatikana ya "x" kwenye chaguo za kukokotoa asili ili kupata thamani inayolingana ya f(x). Kwa njia hii utapata kiwango cha chini au cha juu zaidi cha chaguo la kukokotoa.

   • Katika mfano wa kwanza f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\mtindo wa maonyesho f(x)=x^(2)+10x-1) umehesabu kuwa uratibu wa x wa kipeo cha parabola ni x = − 5 (\mtindo wa kuonyesha x=-5). Katika kazi ya asili, badala ya x (\mtindo wa kuonyesha x) mbadala − 5 (\mtindo wa kuonyesha -5)
     • f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\mtindo wa maonyesho f(x)=x^(2)+10x-1)
     • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
     • f (x) = 25 − 50 − 1 (\mtindo wa maonyesho f(x)=25-50-1)
     • f (x) = − 26 (\mtindo wa maonyesho f(x)=-26)
   • Katika mfano wa pili f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\mtindo wa maonyesho f(x)=-3x^(2)+6x-4) uligundua kuwa uratibu wa x wa vertex ya parabola ni x = 1 (\mtindo wa kuonyesha x=1). Katika kazi ya asili, badala ya x (\mtindo wa kuonyesha x) mbadala 1 (\mtindo wa kuonyesha 1) kupata thamani yake ya juu:
     • f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\mtindo wa maonyesho f(x)=-3x^(2)+6x-4)
     • f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 (\mtindo wa maonyesho f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
     • f (x) = − 3 + 6 − 4 (\mtindo wa maonyesho f(x)=-3+6-4)
     • f (x) = − 1 (\mtindo wa maonyesho f(x)=-1)

4. Andika jibu lako. Soma tena taarifa ya tatizo. Ikiwa unahitaji kupata kuratibu za vertex ya parabola, andika maadili yote mawili katika jibu lako. x (\mtindo wa kuonyesha x) Na y (\mtindo wa kuonyesha y)(au f (x) (\mtindo wa maonyesho f(x))) Ikiwa unahitaji kukokotoa upeo au kiwango cha chini zaidi cha chaguo za kukokotoa, andika tu thamani katika jibu lako y (\mtindo wa kuonyesha y)(au f (x) (\mtindo wa maonyesho f(x))) Angalia tena ishara ya mgawo a (\mtindo wa kuonyesha a) ili kuangalia ikiwa umekokotoa kiwango cha juu zaidi au cha chini zaidi.

   • Katika mfano wa kwanza f (x) = x 2 + 10 x − 1 (\mtindo wa maonyesho f(x)=x^(2)+10x-1) maana a (\mtindo wa kuonyesha a) chanya, kwa hivyo umehesabu kiwango cha chini. Kipeo cha parabola kiko kwenye hatua na kuratibu (− 5 , − 26) (\mtindo wa kuonyesha (-5,-26)), na thamani ya chini ya chaguo za kukokotoa ni − 26 (\mtindo wa kuonyesha -26).
   • Katika mfano wa pili f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\mtindo wa maonyesho f(x)=-3x^(2)+6x-4) maana a (\mtindo wa kuonyesha a) hasi, kwa hivyo umepata kiwango cha juu. Kipeo cha parabola kiko kwenye hatua na kuratibu (1 , − 1) (\mtindo wa kuonyesha (1,-1)), na thamani ya juu ya chaguo za kukokotoa ni − 1 (\mtindo wa kuonyesha -1).

5. Kuamua mwelekeo wa parabola. Ili kufanya hivyo, angalia ishara ya mgawo a (\mtindo wa kuonyesha a). Ikiwa mgawo a (\mtindo wa kuonyesha a) chanya, parabola inaelekezwa juu. Ikiwa mgawo a (\mtindo wa kuonyesha a) hasi, parabola inaelekezwa chini. Kwa mfano:

   • . Hapa a = 2 (\mtindo wa kuonyesha a=2), yaani, mgawo ni chanya, hivyo parabola inaelekezwa juu.
   • . Hapa a = − 3 (\mtindo wa kuonyesha a=-3), yaani, mgawo ni hasi, hivyo parabola inaelekezwa chini.
   • Ikiwa parabola inaelekezwa juu, unahitaji kuhesabu thamani ya chini ya chaguo la kukokotoa. Ikiwa parabola inaelekezwa chini, unahitaji kupata thamani ya juu ya kazi.

6. Pata thamani ya chini au ya juu zaidi ya chaguo za kukokotoa. Ikiwa kazi imeandikwa kwa mujibu wa kuratibu za vertex ya parabola, kiwango cha chini au cha juu sawa na thamani mgawo k (\mtindo wa maonyesho k). Katika mifano hapo juu:

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\mtindo wa maonyesho f(x)=2(x+1)^(2)-4). Hapa k = − 4 (\mtindo wa kuonyesha k=-4). Hii ndiyo thamani ya chini kabisa ya chaguo la kukokotoa kwa sababu parabola inaelekezwa juu.
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\mtindo wa maonyesho f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Hapa k = 2 (\mtindo wa kuonyesha k=2). Hii ndiyo thamani ya juu zaidi ya chaguo la kukokotoa kwa sababu parabola inaelekezwa chini.

7. Pata kuratibu za vertex ya parabola. Ikiwa shida inahitaji kupata vertex ya parabola, kuratibu zake ni (h , k) (\mtindo wa kuonyesha (h,k)). Tafadhali kumbuka kuwa wakati utendaji wa quadratic umeandikwa kupitia kuratibu za vertex ya parabola, operesheni ya kutoa lazima iwekwe kwenye mabano. (x − h) (\mtindo wa kuonyesha (x-h)), hivyo thamani h (\mtindo wa kuonyesha h) inachukuliwa na ishara kinyume.

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\mtindo wa maonyesho f(x)=2(x+1)^(2)-4). Hapa operesheni ya kuongeza (x+1) imefungwa kwenye mabano, ambayo inaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo: (x-(-1)). Hivyo, h = − 1 (\mtindo wa kuonyesha h=-1). Kwa hiyo, kuratibu za vertex ya parabola ya kazi hii ni sawa na (− 1 , − 4) (\mtindo wa kuonyesha (-1,-4)).
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\mtindo wa maonyesho f(x)=-3(x-2)^(2)+2). Hapa kwenye mabano kuna usemi (x-2). Kwa hivyo, h = 2 (\mtindo wa kuonyesha h=2). Kuratibu za vertex ni (2,2).

Jinsi ya Kukokotoa Uendeshaji wa Hesabu au Kiwango cha Chini

1. Kwanza, hebu tuangalie fomu ya kawaida ya equation. Andika utendaji wa quadratic katika fomu ya kawaida: f (x) = a x 2 + b x + c (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). Ikihitajika, ongeza masharti sawa na uyapange upya ili kupata mlingano wa kawaida.

   • Kwa mfano: .

2. Tafuta derivative ya kwanza. Derivative ya kwanza ya kazi ya quadratic, ambayo imeandikwa kwa fomu ya kawaida, ni sawa na f ′ (x) = 2 a x + b (\mtindo wa maonyesho f^(\prime )(x)=2ax+b).

   • f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 (\mtindo wa maonyesho f(x)=2x^(2)-4x+1). Derivative ya kwanza ya chaguo za kukokotoa huhesabiwa kama ifuatavyo:
     • f ′ (x) = 4 x − 4 (\mtindo wa maonyesho f^(\prime )(x)=4x-4)

3. Linganisha derivative kwa sifuri. Kumbuka kwamba derivative ya chaguo za kukokotoa ni sawa na mteremko wa chaguo za kukokotoa katika uhakika fulani. Kwa kiwango cha chini au cha juu mteremko sawa na sifuri. Kwa hivyo, ili kupata thamani ya chini au ya juu zaidi ya chaguo za kukokotoa, kitokeo lazima kiwekewe sifuri. Katika mfano wetu.

Jinsi ya kujenga parabola? Kuna njia kadhaa za kuchora utendaji wa quadratic. Kila mmoja wao ana faida na hasara zake. Hebu tuchunguze njia mbili.

Wacha tuanze kwa kupanga kazi ya quadratic ya fomu y=x²+bx+c na y= -x²+bx+c.

Mfano.

Grafu chaguo za kukokotoa y=x²+2x-3.

Suluhisho:

y=x²+2x-3 ni chaguo za kukokotoa za quadratic. Grafu ni parabola yenye matawi juu. Kuratibu za vertex ya Parabola

Kutoka kwenye kipeo (-1;-4) tunaunda grafu ya parabola y=x² (kama kutoka asili ya viwianishi. Badala ya (0;0) - kipeo (-1;-4). Kutoka (-1; -4) tunaenda kulia kwa kitengo 1 na juu kwa kitengo 1, kisha kushoto na 1 na juu kwa 1 kisha: 2 - kulia, 4 - juu, 2 - kushoto, 3 - juu; kushoto, 9 - juu Ikiwa pointi hizi 7 hazitoshi, basi 4 kwa haki, 16 hadi juu, nk).

Grafu ya kazi ya quadratic y= -x²+bx+c ni parabola, matawi ambayo yanaelekezwa chini. Ili kuunda grafu, tunatafuta kuratibu za vertex na kutoka kwayo tunaunda parabola y= -x².

Mfano.

Grafu chaguo za kukokotoa y= -x²+2x+8.

Suluhisho:

y= -x²+2x+8 ni kazi ya quadratic. Grafu ni parabola na matawi chini. Kuratibu za vertex ya Parabola

Kutoka juu tunaunda parabola y= -x² (1 - kulia, 1- chini; 1 - kushoto, 1 - chini; 2 - kulia, 4 - chini; 2 - kushoto, 4 - chini, nk):

Njia hii hukuruhusu kuunda parabola haraka na haisababishi ugumu ikiwa unajua jinsi ya kuchora vitendaji y=x² na y= -x². Hasara: ikiwa kuratibu za vertex ni nambari za sehemu, kujenga grafu sio rahisi sana. Ikiwa unahitaji kujua maadili halisi ya alama za makutano ya grafu na mhimili wa Ox, italazimika kutatua equation x²+bx+c=0 (au -x²+bx+c=0), hata kama pointi hizi zinaweza kuamua moja kwa moja kutoka kwa kuchora.

Njia nyingine ya kujenga parabola ni kwa pointi, yaani, unaweza kupata pointi kadhaa kwenye grafu na kuchora parabola kupitia kwao (kwa kuzingatia kwamba mstari x = x - ni mhimili wake wa ulinganifu). Kawaida, kwa kusudi hili, huchukua vertex ya parabola, pointi za makutano ya grafu na axes za kuratibu na pointi 1-2 za ziada.

Chora grafu ya chaguo za kukokotoa y=x²+5x+4.

Suluhisho:

y=x²+5x+4 ni chaguo za kukokotoa za quadratic. Grafu ni parabola yenye matawi juu. Kuratibu za vertex ya Parabola

yaani, juu ya parabola ni uhakika (-2.5; -2.25).

Wanatafuta. Katika hatua ya makutano na mhimili wa Ox y=0: x²+5x+4=0. Mizizi mlinganyo wa quadratic x1=-1, x2=-4, yaani, tulipata pointi mbili kwenye grafu (-1; 0) na (-4; 0).

Katika hatua ya makutano ya grafu yenye mhimili wa Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Tulipata uhakika (0; 4).

Ili kufafanua grafu, unaweza kupata uhakika wa ziada. Wacha tuchukue x=1, kisha y=1²+5∙1+4=10, yaani, hatua nyingine kwenye grafu ni (1; 10). Tunaweka alama kwenye pointi hizi kuratibu ndege. Kwa kuzingatia ulinganifu wa jamaa ya parabola na mstari unaopita kwenye vertex yake, tunaweka alama mbili zaidi: (-5; 6) na (-6; 10) na kuchora parabola kupitia kwao:

Grafu kazi y= -x²-3x.

Suluhisho:

y= -x²-3x ni utendaji wa quadratic. Grafu ni parabola na matawi chini. Kuratibu za vertex ya Parabola

Kipeo (-1.5; 2.25) ni hatua ya kwanza ya parabola.

Katika sehemu za makutano ya grafu na mhimili wa abscissa y = 0, yaani, tunatatua equation -x²-3x=0. Mizizi yake ni x=0 na x=-3, yaani (0;0) na (-3;0) - pointi mbili zaidi kwenye grafu. Hoja (o; 0) pia ni sehemu ya makutano ya parabola na mhimili wa kuratibu.

Katika x=1 y=-1²-3∙1=-4, hiyo ni (1; -4) ni sehemu ya ziada ya kupanga njama.

Kuunda parabola kutoka kwa vidokezo ni njia yenye nguvu zaidi ikilinganishwa na ile ya kwanza. Ikiwa parabola haiingiliani na mhimili wa Ox, pointi zaidi za ziada zitahitajika.

Kabla ya kuendelea kuunda grafu za utendaji wa quadratic wa fomu y=ax²+bx+c, hebu tuzingatie ujenzi wa grafu za utendaji kwa kutumia mabadiliko ya kijiometri. Pia ni rahisi zaidi kuunda grafu za fomula y=x²+c kwa kutumia mojawapo ya mabadiliko haya—tafsiri sambamba.

Jamii: |

Katika masomo ya hisabati shuleni, tayari umefahamiana na mali rahisi na grafu ya kazi. y = x 2. Tupanue maarifa yetu kazi ya quadratic.

Zoezi 1.

Kitendaji cha grafu y = x 2. Kipimo: 1 = 2 cm. Weka alama kwenye mhimili wa Oy F(0; 1/4). Kwa kutumia dira au kipande cha karatasi, pima umbali kutoka kwa uhakika F kwa hatua fulani M parabolas. Kisha bandika ukanda kwa uhakika M na uzungushe kuzunguka sehemu hiyo hadi iwe wima. Mwisho wa ukanda utaanguka kidogo chini ya mhimili wa x (Kielelezo 1). Weka alama kwenye mstari jinsi inavyoenea zaidi ya mhimili wa x. Sasa chukua hatua nyingine kwenye parabola na kurudia kipimo tena. Ukingo wa ukanda umeanguka kwa umbali gani chini ya mhimili wa x?

Matokeo: haijalishi ni hatua gani kwenye parabola y = x 2 unachukua, umbali kutoka kwa hatua hii hadi hatua F (0; 1/4) itakuwa kubwa kuliko umbali kutoka kwa hatua sawa hadi mhimili wa abscissa kwa nambari sawa kila wakati - 1/4.

Tunaweza kusema tofauti: umbali kutoka kwa hatua yoyote ya parabola hadi hatua (0; 1/4) ni sawa na umbali kutoka kwa hatua sawa ya parabola hadi mstari wa moja kwa moja y = -1/4. Hatua hii ya ajabu F(0; 1/4) inaitwa kuzingatia parabolas y = x 2, na mstari wa moja kwa moja y = -1/4 - mwalimu mkuu parabola hii. Kila parabola ina mwelekeo na mwelekeo.

Tabia za kuvutia za parabola:

1. Hatua yoyote ya parabola ni sawa kutoka kwa sehemu fulani, inayoitwa lengo la parabola, na baadhi ya mstari wa moja kwa moja, unaoitwa directrix yake.

2. Ikiwa unazunguka parabola karibu na mhimili wa ulinganifu (kwa mfano, parabola y = x 2 karibu na mhimili wa Oy), utapata uso wa kuvutia sana unaoitwa paraboloid ya mapinduzi.

Uso wa kioevu kwenye chombo kinachozunguka una sura ya paraboloid ya mapinduzi. Unaweza kuona uso huu ikiwa unachochea kwa nguvu na kijiko kwenye glasi isiyo kamili ya chai, na kisha uondoe kijiko.

3. Ukitupa jiwe kwenye utupu kwa pembe fulani hadi kwenye upeo wa macho, litaruka kwa parabola. (Mchoro 2).

4. Ikiwa unaingilia uso wa koni na ndege inayofanana na jenereta yoyote, basi sehemu ya msalaba itasababisha parabola. (Kielelezo 3).

5. Viwanja vya burudani wakati mwingine huwa na safari ya kufurahisha inayoitwa Paraboloid of Wonders. Inaonekana kwa kila mtu aliyesimama ndani ya paraboloid inayozunguka kwamba amesimama kwenye sakafu, wakati watu wengine kwa namna fulani wameshikilia kuta kimiujiza.

6. Katika kutafakari darubini, vioo vya parabolic pia hutumiwa: mwanga wa nyota ya mbali, inakuja kwenye boriti inayofanana, ikianguka kwenye kioo cha darubini, inakusanywa kwa kuzingatia.

7. Viangazi kawaida huwa na kioo katika umbo la paraboloid. Ikiwa unaweka chanzo cha mwanga kwenye mtazamo wa paraboloid, basi mionzi, inayoonekana kutoka kwenye kioo cha kimfano, huunda boriti inayofanana.

Kuchora Kazi ya Quadratic

Katika masomo ya hisabati, ulisoma jinsi ya kupata grafu za kazi za fomu kutoka kwa grafu ya kazi y = x 2:

1) y = shoka 2– kunyoosha grafu y = x 2 kwenye mhimili wa Oy katika |a| nyakati (na |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, mchele. 4).

2) y = x 2 + n- kuhama kwa grafu kwa vitengo vya n kando ya mhimili wa Oy, na ikiwa n > 0, basi mabadiliko ni ya juu, na ikiwa n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– kuhama kwa grafu kwa vitengo vya m kando ya mhimili wa Ox: ikiwa m< 0, то вправо, а если m >0, kisha kushoto, (Kielelezo 5).

4) y = -x 2– onyesho la ulinganifu linalohusiana na mhimili wa Ox wa grafu y = x 2 .

Wacha tuangalie kwa karibu kupanga kazi y = a(x – m) 2 + n.

Utendaji wa quadratic wa fomu y = ax 2 + bx + c unaweza kupunguzwa kila wakati hadi umbo.

y = a(x – m) 2 + n, ambapo m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Hebu tuthibitishe.

Kweli,

y = shoka 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Wacha tulete maoni mapya.

Hebu m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

kisha tunapata y = a(x – m) 2 + n au y – n = a(x – m) 2.

Wacha tufanye vibadala vingine: hebu y – n = Y, x – m = X (*).

Kisha tunapata kazi Y = aX 2, grafu ambayo ni parabola.

Kipeo cha parabola iko kwenye asili. X = 0; Y = 0.

Kubadilisha kuratibu za vertex ndani (*), tunapata kuratibu za vertex ya grafu y = a (x - m) 2 + n: x = m, y = n.

Kwa hivyo, ili kupanga kazi ya quadratic inayowakilishwa kama

y = a(x – m) 2 + n

kupitia mabadiliko, unaweza kuendelea kama ifuatavyo:

a) panga kazi y = x 2;

b) kwa tafsiri sambamba kando ya mhimili wa Ox kwa vitengo vya m na kando ya mhimili wa Oy kwa vitengo vya n - kuhamisha vertex ya parabola kutoka asili hadi kwa uhakika na kuratibu (m; n) (Kielelezo 6).

Kurekodi mabadiliko:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Mfano.

Kwa kutumia mabadiliko, jenga ndani Mfumo wa Cartesian huratibu grafu ya chaguo za kukokotoa y = 2(x – 3) 2 – 2.

Suluhisho.

Mlolongo wa mabadiliko:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Upangaji unaonyeshwa kwenye mchele. 7.

Unaweza kufanya mazoezi ya utendaji wa quadratic ya kuchora peke yako. Kwa mfano, jenga grafu ya kazi y = 2(x + 3) 2 + 2 katika mfumo mmoja wa kuratibu kwa kutumia mabadiliko Ikiwa una maswali yoyote au unataka kupata ushauri kutoka kwa mwalimu, basi una fursa ya kufanya somo la bure la dakika 25 na mwalimu wa mtandaoni baada ya usajili. Ili kufanya kazi zaidi na mwalimu, unaweza kuchagua mpango wa ushuru unaofaa kwako.

Bado una maswali? Je! hujui jinsi ya kuchora utendaji wa quadratic?
Ili kupata msaada kutoka kwa mwalimu, jiandikishe.
Somo la kwanza ni bure!

tovuti, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo kinahitajika.