Uamuzi wa maana ya harmonic. Maana ya hesabu na maana ya harmonic

Harmonic maana - kutumika wakati habari za takwimu haina data juu ya uzani wa anuwai za watu binafsi, lakini bidhaa za maadili ya tabia tofauti na uzani unaolingana hujulikana.

Njia ya jumla ya maana ya uzani wa harmonic ni kama ifuatavyo.

x - thamani ya tabia tofauti,

w - bidhaa ya thamani ya sifa tofauti na uzito wake (xf)

Katika tukio ambalo jumla ya wingi wa matukio, i.e. bidhaa za maadili ya kipengele na uzani wao ni sawa, basi maana rahisi ya harmonic inatumika:

x - maadili ya mtu binafsi ya tabia (chaguo);

n - jumla ya idadi ya chaguzi.

Maana ya harmonic hutumiwa kwa mahesabu wakati sio vitengo vya idadi ya watu - wabebaji wa tabia - hutumiwa kama uzani, lakini bidhaa ya vitengo hivi kwa maadili ya tabia (yaani m = Xf). Urahisi wa wastani wa usawa unapaswa kutekelezwa katika kesi za kuamua, kwa mfano, gharama ya wastani ya kazi, wakati, vifaa kwa kila kitengo cha uzalishaji, kwa sehemu moja kwa biashara mbili (tatu, nne, nk) na wafanyikazi wanaohusika katika utengenezaji. ya aina moja ya bidhaa, sehemu sawa, bidhaa.

Maana ya kijiometri na maana ya mpangilio.

Maana ya kijiometri

Ikiwa kuna mgawo wa ukuaji wa n, basi fomula ya mgawo wa wastani ni:

Hii ni formula ya maana ya kijiometri.

Wastani wa kijiometri ni sawa na mzizi wa digrii n kutoka kwa bidhaa ya mgawo wa ukuaji unaoonyesha uwiano wa thamani ya kila kipindi kinachofuata hadi thamani ya awali.

Wastani wa mpangilio ni wastani unaokokotolewa kutoka kwa thamani zinazobadilika kwa wakati. Hutumika kukokotoa kiwango cha wastani cha mfululizo wa muda. Katika tukio ambalo data inayopatikana inarejelea alama maalum kwa wakati c kwa vipindi sawa, basi formula ifuatayo inatumika:

X ni thamani ya viwango vya mfululizo,

n - idadi ya viashiria vinavyopatikana.

Kiwango cha wastani cha mfululizo wa muda wa mienendo yenye tarehe zisizo na nafasi inabainishwa na fomula ya wastani ya uzani wa mpangilio wa matukio:

Viwango vya safu ya mienendo viko wapi

- muda wa muda kati ya viwango

Wastani wa mraba. Uhusiano kati ya wastani wa nguvu.

Ikiwa maadili yaliyoonyeshwa kwenye fomu yanategemea wastani kazi za quadratic, wastani unatumika quadratic. Kwa mfano, kwa kutumia mzizi maana ya mraba, unaweza kuamua kipenyo cha mabomba, magurudumu, nk.

Mraba wa maana wa mizizi hubainishwa kwa kuchimba kipeo kutoka kwa mgawo wa jumla ya miraba maadili ya mtu binafsi saini kwenye nambari yao.

Mraba wa maana uliopimwa ni sawa na:

Dhana ya mtindo. Uhesabuji wa hali ya mfululizo tofauti na wa muda wa usambazaji.

Ili kuashiria muundo wa idadi ya watu wa takwimu, viashiria vinavyoitwa wastani wa muundo hutumiwa. Hizi ni pamoja na modi na wastani.

Mtindo (Mo) ni chaguo la kawaida zaidi. Hali ni thamani ya sifa ambayo inalingana na upeo wa juu wa mkondo wa usambazaji wa kinadharia.

Mitindo inawakilisha maana inayotokea mara kwa mara au ya kawaida.

Mitindo hutumiwa katika mazoezi ya kibiashara kusoma mahitaji ya watumiaji na kurekodi bei.

KATIKA mfululizo tofauti mtindo ni chaguo na masafa ya juu zaidi. Katika mfululizo wa tofauti za muda, mode inachukuliwa kuwa tofauti ya kati ya muda, ambayo ina mzunguko wa juu zaidi (upekee).

Ndani ya muda, unahitaji kupata thamani ya sifa ambayo ni mode.

ambapo xo ni kikomo cha chini cha muda wa modal;

h - thamani ya muda wa modal;

fm - mzunguko wa muda wa modal;

ft-1 - mzunguko wa muda unaotangulia moja ya modal;

fm + 1 - mzunguko wa muda unaofuata moja ya modal.

Hali inategemea ukubwa wa vikundi na kwa nafasi halisi ya mipaka ya kikundi.

Modi ni nambari ambayo hutokea mara nyingi zaidi (ni thamani ya
nnaya), kwa mazoezi ina programu pana zaidi (aina ya kawaida ya mnunuzi).

Maana ya Harmonic- ϶ᴛᴏ uwiano wa maana ya hesabu, ᴛ.ᴇ. inajumuisha maadili ya usawa ishara.

Mfano 5. Uhesabuji wa asilimia ya wastani ya kukamilika kwa mpango. Data ifuatayo inapatikana:

Katika mfano, viashiria vya kiwango cha utekelezaji wa mpango (chaguzi) hufanya kama tabia tofauti, na mpango unachukua uzito (frequencies). Katika kesi hii, wastani hupatikana kama wastani wa hesabu ulio na uzani:

Ikiwa, wakati wa kuamua shahada ya kati utekelezaji wa mpango, sio kazi inayochukuliwa kama uzito, lakini utekelezaji wake halisi, kisha wastani wa hesabu katika kwa kesi hii itatoa matokeo mabaya:

Matokeo sahihi wakati wa kupima kulingana na kukamilika halisi kwa kazi itatolewa na wastani wa uzani wa harmonic:

Wapi w- uzani wa wastani wa uzani wa harmonic.

Masharti ya kutumia maana ya harmonic

Maana ya harmonic hutumiwa wakati sio vitengo vya idadi ya watu (wabebaji wa tabia) hutumiwa kama uzani, lakini bidhaa za vitengo hivi kwa maadili ya tabia, ᴛ.ᴇ. .

Kutoka kwa sheria hii inafuata kwamba maana ya harmonic katika takwimu kimsingi ni maana ya hesabu iliyobadilishwa, ambayo hutumiwa wakati ukubwa wa idadi ya watu haijulikani na ni muhimu kupima chaguzi kwa kiasi cha tabia.

2. Ikiwa mizani ni maadili kamili, hatua yoyote ya kati wakati wa kuhesabu wastani inapaswa kutoa matokeo muhimu ya kiuchumi.

Kwa mfano, wakati wa kuhesabu asilimia ya wastani ya kukamilika kwa mpango, tunazidisha kiashirio cha kukamilika kwa mpango kulingana na lengo la mpango na kupata ukamilishaji halisi wa mpango. Ikiwa kiashiria cha utekelezaji wa mpango kinazidishwa na utekelezaji wake halisi, basi kutoka kwa mtazamo wa kiuchumi matokeo yatakuwa ya ujinga. Hii ina maana kwamba fomu ya kati ilitumiwa vibaya).

Soma pia

- Maana ya Harmonic

Wakati maelezo ya takwimu hayana masafa ya anuwai ya watu binafsi, lakini yanawasilishwa kama bidhaa zao, i.e. mzunguko lazima uhesabiwe tofauti kulingana na lahaja inayojulikana X na bidhaa X f, maana ya harmonic hutumiwa. Wastani… [soma zaidi].

- Maana ya Harmonic.

Maana ya harmonic ni aina ya primitive ya maana ya hesabu. Inahesabiwa katika hali ambapo uzani fi haijabainishwa moja kwa moja, lakini imejumuishwa kama sababu katika moja ya viashiria vinavyopatikana. Kama tu maana ya hesabu, maana ya usawa inaweza kuwa... [soma zaidi].

- Maana ya Harmonic

- Maana ya Harmonic.

Pamoja na maana ya hesabu, takwimu hutumia maana ya harmonic, kinyume cha maana ya hesabu ya maadili ya kinyume cha sifa. Kama maana ya hesabu, inaweza kuwa rahisi na yenye uzito. Sifa za mfululizo wa mabadiliko, pamoja na... [soma zaidi].

- Wastani wa uzani wa harmonic

Wastani wa hesabu uliopimwa Hutumika wakati viashirio vya wingi wa bidhaa vimeingia kwa aina; ambapo pq ni mauzo ya biashara katika rubles. Inatumika wakati data ya mauzo inatumiwa kama uzani...

Wastani wa maadili na viashiria vya tofauti

- Maana ya Harmonic.

Pamoja na maana ya hesabu, takwimu hutumia maana ya harmonic, kinyume cha maana ya hesabu ya maadili ya kinyume cha sifa. Kama maana ya hesabu, inaweza kuwa rahisi na yenye uzito. Hivyo, fomula ya kukokotoa wastani... [soma zaidi].

- Hesabu ya maana na maana wingi wa harmonic

Kiini na maana ya maadili ya wastani, aina zao Fomu ya kawaida kiashiria cha takwimu ni thamani ya wastani. Kiashiria katika mfumo wa thamani ya wastani huonyeshwa kiwango cha kawaida ishara katika jumla. Kuenea kwa matumizi ya kati... [soma zaidi].

- Maana ya Harmonic.

Pamoja na maana ya hesabu, takwimu hutumia maana ya harmonic, kinyume cha maana ya hesabu ya maadili ya kinyume cha sifa. Kama maana ya hesabu, inaweza kuwa rahisi na yenye uzito. … [Soma zaidi].

- Harmonic maana, jiometri, quadratic, nguvu

Wakati wa kutatua matatizo, hesabu ukubwa wa wastani huanza na mkusanyiko wa uhusiano wa awali - formula ya kimantiki ya wastani. Imekusanywa kwa misingi ya uchambuzi wa kinadharia na kimantiki. Wakati mwingine maana ya hesabu haiwezi kutumika. Katika kesi hii, katika ... [soma zaidi].

- Thamani ya maana ya Harmonic

Ikiwa, kulingana na hali ya shida, ni muhimu kwamba jumla ya maadili yanayolingana na maadili ya mtu binafsi ya tabia kubaki bila kubadilika wakati wa wastani, basi thamani ya wastani ni wastani wa usawa. Njia ya maana ya harmonic ni: Kwa mfano, gari na ... [soma zaidi].

70. Maana ya Harmonic

Maana ya Harmonic nambari chanya o, b ni nambari ambayo kinyume chake ni wastani wa hesabu kati ya , i.e. nambari

Tatizo 358. Thibitisha kwamba maana ya harmonic haizidi maana ya kijiometri.

Maadili ya wastani katika takwimu: kiini, mali, aina. Mifano ya kutatua matatizo

Kinyume cha maana ya harmonic ni maana nambari za hesabu kinyume cha maana ya kijiometri ni maana ya kijiometri ya nambari, kwa hiyo inabakia kutaja usawa kuhusu maana ya hesabu na kijiometri.

Tatizo 359. Nambari ni chanya. Thibitisha hilo

Suluhisho. Ukosefu wa usawa unaohitajika unaweza kuandikwa upya katika fomu

yaani, ni muhimu kuthibitisha kwamba maana ya hesabu ya nambari ni kubwa kuliko au sawa na maana yao ya harmonic. Hii inakuwa wazi ikiwa tutaingiza maana ya kijiometri kati yao:

ukosefu wa usawa wa mwisho unapunguza kukosekana kwa usawa kuhusu maana ya hesabu na nambari za kijiometri.

Suluhisho lingine hutumia hila ifuatayo. Tutathibitisha zaidi usawa wa jumla(inayoitwa usawa wa Cauchy-Bunyakovsky)

(tukiibadilisha ndani yake tunapata tunachohitaji).

Ili kudhibitisha usawa wa Cauchy-Bunyakovsky, fikiria utatu wa quadratic

Kufungua mabano ndani yake na kuweka masharti kwa nguvu za x, tunapata trinomial

Kwa x yoyote, trinomial hii sio hasi - baada ya yote, ni jumla ya mraba. Hii ina maana kwamba ubaguzi wake si Juu ya sifuri, i.e.

Ulipendaje mbinu hii?

Mfano : Kuamuliwa umri wa wastani mwanafunzi fomu ya mawasiliano mafunzo kulingana na data iliyoainishwa kwenye jedwali lifuatalo:

Umri wa wanafunzi, miaka ( X)	Idadi ya wanafunzi, watu ( f)	thamani ya wastani ya muda (x', katikati)	*Xifi**





26 na zaidi
Jumla:

Ili kukokotoa wastani katika mfululizo wa muda, kwanza tambua thamani ya wastani ya muda kama nusu-jumla ya kikomo cha juu na cha chini, kisha ukokotoa wastani kwa kutumia fomula ya wastani ya uzani wa hesabu.

Hapo juu ni mfano na vipindi sawa, na 1 na mwisho kuwa wazi.

Jibu: Umri wa wastani wa mwanafunzi ni miaka 22.6, au takriban miaka 23.

Maana ya Harmonic ina muundo changamano zaidi kuliko maana ya hesabu. Inatumika katika kesi ambapo maelezo ya takwimu hayana masafa ya mtu binafsi maadili ya sifa, na inawakilishwa na bidhaa ya thamani ya sifa na masafa . Maana ya harmonic kama aina ya maana ya nguvu inaonekana kama hii:

Kulingana na aina ya uwasilishaji wa data chanzo, maana ya harmonic inaweza kuhesabiwa kuwa rahisi au yenye uzito. Ikiwa data ya chanzo haijajumuishwa, basi wastani harmonic rahisi :

Inatumika katika kesi za kuamua, kwa mfano, gharama ya wastani ya kazi, vifaa, nk.

Harmonic ina maana rahisi na yenye uzito

kwa kila kitengo cha uzalishaji katika biashara kadhaa.

Wakati wa kufanya kazi na data ya kikundi, tumia maana ya harmonic yenye uzito:

Maana ya kijiometriinatumika katika hali ambapo wakati jumla ya ujazo wa kipengele cha wastani ni wingi wa kuzidisha,wale. imedhamiriwa sio kwa muhtasari, lakini kwa kuzidisha maadili ya mtu binafsi ya tabia.

Umbo la maana ya uzani wa kijiometri katika mahesabu ya vitendo haitumiki .

Wastani wa mraba kutumika katika hali ambapo, wakati wa kubadilisha maadili ya mtu binafsi ya tabia na thamani ya wastani, ni muhimu kuweka jumla ya mraba wa maadili ya awali bila kubadilika. .

nyumbani wigo wa matumizi yake - kipimo cha kiwango cha kushuka kwa thamani ya mtu binafsi ya tabia inayohusiana na maana ya hesabu;(wastani kupotoka kwa kawaida) Kwa kuongeza, mraba wa maana hutumiwa katika kesi ambapo ni muhimu kuhesabu thamani ya wastani ya tabia iliyoonyeshwa kwa mraba au vitengo vya ujazo vipimo (wakati wa kuhesabu ukubwa wa wastani wa sehemu za mraba, kipenyo cha wastani cha mabomba, shina, nk).

Mraba wa maana wa mizizi huhesabiwa katika aina mbili:

Njia zote za nguvu hutofautiana kutoka kwa kila mmoja kwa maadili ya kielelezo. Ambapo, juu ya kipeo, zaidithamani ya kiasi cha wastani:

Mali hii ya wastani wa nguvu inaitwa mali ya ukubwa wa wastani.

Thamani ya maana ya Harmonic

Chini ya uingizwaji katika formula ya jumla(6.1) maadili k= -1 yanaweza kupatikana thamani ya maana ya harmonic, ambayo ina fomu rahisi na yenye uzito.

Kwa mfululizo wa nafasi, maana ya harmonic hutumiwa rahisi thamani ambayo inaweza kuandikwa kama ifuatavyo.

wapi n - jumla ya nambari chaguo; - chaguzi za kugeuza maana.

Hebu sema kuna ushahidi kwamba wakati wa kusafirisha viazi, kasi ya gari yenye mzigo ni 30 km / h, bila mzigo - 60 km / h. Haja ya kupata kasi ya wastani harakati za gari. Kwa mtazamo wa kwanza, inaonekana kuwa suluhisho rahisi kabisa kwa tatizo: tumia njia ya wastani wa hesabu ya thamani rahisi, i.e.

Walakini, ikiwa tunakumbuka kuwa kasi ya harakati ni sawa na umbali uliosafirishwa uliogawanywa na wakati uliotumiwa, basi ni dhahiri kwamba matokeo (45 km / h) yanageuka kuwa sahihi, kwani inachukua gari na gari. na bila mzigo kusafiri kwa njia ile ile ( safari ya kwenda na kurudi) muda unaohitajika utatofautiana kwa kiasi kikubwa. Kwa hivyo, kasi sahihi zaidi ya wastani ya gari iliyo na na bila mzigo inaweza kuhesabiwa kwa kutumia maana ya maana ya thamani rahisi:

Hivyo, kasi ya wastani ya gari na bila mizigo si 45, lakini 40 km / h.

Katika mfululizo wa pekee au wa muda, maana ya harmonic hutumiwa yenye uzito ukubwa:

ambapo W ni bidhaa ya chaguzi na frequency (chaguo lenye uzito, xf).

Hebu tuzingatie mfano. Nguvu ya kazi ya kuzalisha tani 1 ya viazi katika mgawanyiko wa kwanza wa shirika la kilimo ni saa 10 za mtu, kwa pili - saa 30 za mtu. Katika vitengo vyote viwili, masaa elfu 30 ya watu yalitumika katika uzalishaji wa viazi. Inahitajika kuhesabu kiwango cha wastani cha kazi ya hesabu ya viazi katika shirika la kilimo. Inaonekana kwamba kiwango cha wastani cha kazi ni rahisi kupata kama nusu ya jumla ya nguvu ya viazi katika sehemu mbili, ambayo ni, kwa kutumia njia ya wastani ya hesabu:

Walakini, suluhisho hili hufanya makosa mawili. Kosa la kwanza, la msingi ni kwamba wakati wa kuhesabu kiwango cha wastani cha kazi kwa kutumia njia rahisi ya wastani ya hesabu, kiini cha nguvu ya kazi yenyewe, ambayo hupatikana kama uwiano wa gharama za moja kwa moja za kazi kwa kiasi cha uzalishaji, hazizingatiwi. Hitilafu ya pili ni kwamba suluhisho halikuzingatia kiasi maalum cha gharama za kazi kwa ajili ya uzalishaji wa viazi iliyotolewa kulingana na hali ya tatizo (elfu 30 kila moja).

Maana ya Harmonic

saa ya mtu katika idara zote mbili). Hii inaruhusu mtu kuhesabu masafa (uzito) kwa nguvu ya kazi ya viazi na hivyo kupata wastani wa hesabu ya uzito wa leba, ambayo itabadilishwa kwa ufanisi kwa kutumia wastani wa uzani wa harmonic:

Kwa hivyo, kiwango cha wastani cha kazi ya viazi katika shirika la kilimo sio 20, kama ilivyohesabiwa hapo juu, lakini watu 15. h/t.

Thamani ya maana ya harmonic hutumiwa hasa katika hali ambapo vibadala vya mfululizo vinawakilishwa na maadili kinyume, na masafa (uzito) hufichwa katika jumla ya ujazo wa sifa inayosomwa.

Wastani wa muundo

Katika baadhi ya matukio, ili kupata sifa ya jumla ya idadi ya watu wa takwimu kwa kigezo chochote, ni muhimu kutumia kinachojulikana. wastani wa muundo. Hizi ni pamoja na mtindo Na wastani.

Mitindo inawakilisha lahaja mara nyingi hupatikana katika idadi fulani ya takwimu. Katika safu iliyoorodheshwa, hali, kama sheria, haijaamuliwa, kwani kila chaguo inalingana na frequency sawa na umoja.

Hali katika mfululizo wa diski inalingana na lahaja na masafa ya juu zaidi, wakati thamani ya nasibu inaweza kuwa na njia kadhaa. Ikiwa mmoja wao yuko, usambazaji wa idadi ya watu wa takwimu kawaida huitwa unimodal, mbele ya njia mbili - bimodal, tatu au zaidi modes - multimodal. Uwepo wa njia kadhaa mara nyingi humaanisha mchanganyiko wa vitengo vya takwimu vya ubora tofauti katika seti moja.

Hali ya mfululizo wa muda na vipindi sawa huhesabiwa na fomula

(6.12)

ambapo xmo sub> ni kikomo cha chini cha muda wa modal; i mo - thamani ya muda;

f mo - mzunguko wa muda wa modal; f dmo - mzunguko wa muda wa premodal; f zmo - mzunguko wa muda wa submodal.

Hebu tuseme kwamba bei za soko za apples katika vituo vya kikanda vya kanda ni kama ifuatavyo (Jedwali 6.8). Kwa kutumia data hizi, ni muhimu kuhesabu mwenendo wa bei ya soko kwa viazi.

Jedwali 6.8. Bei za soko za apples

Kutoka kwa data kwenye jedwali. 6.8 inaonyesha kuwa idadi ya juu zaidi ya soko imejilimbikizia katika kipindi cha tatu, na usambazaji wa idadi ya takwimu sio sawa. Ili kukokotoa mtindo wa bei za soko za tufaha, tunatumia fomula (6.12):

Kwa hivyo, bei ya soko la modal kwa apples katika vituo vya kikanda vya kanda ni rubles 1690 / kg.

Chaguo la modal wakati wa kuashiria idadi ya watu wa takwimu inaweza kutumika katika hali ambapo kuhesabu thamani ya wastani ni ngumu au haiwezekani, kwa mfano, katika hali ya soko wakati wa kusoma ugavi na mahitaji, viwango vya bei, nk.

Wastani- chaguo ziko katikati ya mfululizo wa mabadiliko. Wastani katika safu iliyoorodheshwa hupatikana kama ifuatavyo. Kwanza, hesabu idadi ya chaguzi za wastani:

ambapo n mimi ni idadi ya chaguzi za wastani; n ni jumla ya idadi ya chaguo katika mfululizo.

Pili, katika safu iliyoorodheshwa thamani ya wastani ya chaguzi imedhamiriwa: ikiwa idadi ya chaguzi ni isiyo ya kawaida, basi wastani inalingana na nambari iliyohesabiwa kwa formula (6.13).

Wacha tuseme safu iliyoorodheshwa ina vitengo 99 vinavyosambazwa na mavuno ya beet ya sukari. Nambari ya wastani ya chaguzi hupatikana kwa kutumia fomula (6.13): .

Hii ina maana kwamba nambari 50 ni mavuno ya wastani yanayotakiwa, ambayo ni sawa na, kwa mfano, 500 c/ha.

Ikiwa jumla ya idadi ya vibadala ni sawa, basi wastani ni sawa na nusu ya jumla ya vibadala viwili vinavyokaribiana vya wastani. Kwa mfano, katika mfululizo wa nafasi kuna vitengo 100 vya takwimu, tena vinasambazwa na mavuno ya beet ya sukari. Kwa hivyo, katika safu kama hizi kuna nambari mbili za wastani, kama inavyoweza kuonekana kutoka kwa hesabu ifuatayo kwa kutumia formula (6.13):

Hii ina maana kwamba katika kesi hii, nambari 50 na 51 zinachukuliwa kuwa wapatanishi, na mavuno ya wastani ya beet ya sukari, kwa mfano, yanaweza kuhesabiwa kama nusu ya pili ya mazao mawili ya karibu, i.e.

Kwa mfululizo wa usambazaji tofauti, wastani huhesabiwa kutoka kwa mzunguko uliokusanywa: kwanza, nusu ya jumla ya mzunguko wa kusanyiko hupatikana; pili, wanaamua ikiwa nusu ya jumla inalingana na chaguo maalum, ambalo litakuwa wastani.

Kwa mfano, mavuno ya maziwa ya kila mwaka ya ng'ombe husambazwa kwa njia ya safu tofauti ambayo jumla ya masafa yaliyokusanywa ni vitengo 200 na, ipasavyo, nusu ya jumla ni vitengo 100.

Nambari hii ya wastani iko katika kundi la vitengo vya takwimu vya mfululizo tofauti na inalingana na mavuno ya kila mwaka ya maziwa ya ng'ombe wa kilo 5000 za maziwa, ambayo ni wastani wa mfululizo tofauti.

Katika mfululizo wa mabadiliko ya muda, wastani huhesabiwa kwa kutumia fomula

, (6.14)

ambapo M e ni wastani wa mfululizo wa muda; x me - kikomo cha chini cha muda wa wastani; mimi - thamani ya muda wa wastani; Σf - jumla ya masafa yaliyokusanywa katika mfululizo wa muda; f n - mzunguko wa kusanyiko wa muda wa kabla ya wastani; f me - mzunguko wa muda wa wastani.

Ili kuhesabu wastani katika mfululizo wa muda, tutatumia data ifuatayo (Jedwali 6.9).

Jedwali 6.9.

Mavuno ya viazi katika viwanja vya kibinafsi

Kaya

Kutoka kwa data kwenye jedwali. 6.9, kwanza kabisa, ni wazi kwamba muda wa nne ni wastani. Kwa kuongeza, hesabu rahisi inaonyesha kwamba jumla ya masafa ya kusanyiko (jumla ya idadi ya mashamba) ni vitengo 200, na mzunguko wa kusanyiko wa muda wa kabla ya wastani ni vitengo 90.

Wacha tutumie fomula (6.14) na tuhesabu mavuno ya viazi ya wastani:

Hivyo, mavuno ya viazi ya wastani katika mashamba ya kaya binafsi ni 256 c / ha.

Matumizi ya wastani yana tabia maalum. Kwa hivyo, ikiwa safu ya utofautishaji ni ndogo, basi thamani ya wastani wa hesabu inaweza kuathiriwa na mabadiliko ya nasibu ya anuwai kubwa, ambayo haitaathiri saizi ya wastani.

Iliyotangulia45678910111213141516171819Inayofuata

Maana ya harmonic ni maana ya hesabu, iliyohesabiwa kutoka kwa maadili ya usawa ya sifa za wastani. Kulingana na hali ya nyenzo zinazopatikana, hutumiwa wakati uzani unapaswa kugawanywa katika chaguzi badala ya kuzidisha, au, ni kitu gani sawa, kuzidishwa na thamani yao ya kinyume. Kwa hivyo, maana ya harmonic huhesabiwa wakati sifa za kiasi zinajulikana (W=xf) Na maadili ya mtu binafsi sifa (x) na uzani usiojulikana (φ). Kwa kuwa ujazo wa vipengele ni zao la thamani za vipengele (X) kwa frequency f, basi frequency f imedhamiriwa na removable = W: x.

Njia rahisi na zenye uzani za maana ya harmonic ni:

Kama unaweza kuona, maana ya harmonic ni aina iliyobadilishwa ya maana ya hesabu. Badala ya maana ya harmonic, unaweza kuhesabu wastani wa hesabu kwa kwanza kuamua uzani wa maadili ya sifa ya mtu binafsi. Wakati wa kuhesabu maana ya harmonic, uzani ni wingi wa vipengele.

Maana rahisi ya harmonic hutumiwa katika hali ambapo wingi wa matukio kwa kila ngazi ya sifa.

Kwa mfano, waendeshaji watatu wa mchanganyiko wanafanya kazi kuvuna mazao ya nafaka. Mvunaji wa kwanza alitumia dakika 35 kuvuna hekta 1 wakati wa zamu ya masaa 7, ya pili - dakika 31, ya tatu - dakika 33. Ni muhimu kuamua wastani wa gharama za kazi kwa kuvuna hekta 1 ya mazao ya nafaka.

Kuhesabu muda wa wastani unaotumika kuvuna hekta 1 ya mazao ya nafaka kwa kutumia fomula rahisi ya wastani ya hesabu itakuwa sahihi.

basi, wakati waendeshaji wote wa kuchanganya walivuna hekta 1 au idadi sawa ya hekta za mazao ya nafaka wakati wa zamu. Hata hivyo, wakati wa mabadiliko, mtu binafsi kuchanganya operators zilizokusanywa eneo tofauti mazao ya nafaka.

Ukosefu wa kutumia formula ya wastani ya hesabu pia inaelezewa na ukweli kwamba kiashiria cha gharama za kazi kwa kila kitengo cha kazi (kuvuna hekta 1 ya mazao ya nafaka) ni kinyume cha kiashiria cha tija ya kazi (kuvuna mazao ya nafaka kwa kitengo cha wakati) .

Wastani wa muda unaohitajika kuvuna hekta 1 ya mazao ya nafaka kwa kutumia viunganishi vyote huamuliwa kama uwiano wa muda unaotumiwa na viunganishi vyote. jumla ya nambari hekta zilizovunwa. Katika mfano wetu, hakuna taarifa kuhusu idadi ya hekta zilizovunwa na kila mhudumu wa kombaini. Walakini, maadili haya yanaweza kuhesabiwa kwa kutumia uhusiano ufuatao:

ambapo jumla ya muda unaotumika kwa kila opereta wa kombinesheni itakuwa dakika 420 (miaka 7 o dakika 60).

Kisha muda wa wastani unaotumika kuvuna hekta 1 ya mazao ya nafaka unaweza kuamuliwa na formula:

Mahesabu yanaweza kurahisishwa sana ikiwa unatumia formula kuu ya maana:

Kwa hivyo, kwa seti hii ya waendeshaji mchanganyiko, inachukua wastani wa dakika 32.9 kuvuna hekta 1 ya mazao ya nafaka.

Tutazingatia utaratibu wa kuhesabu wastani wa usawa wa uzani kwa kutumia mfano ufuatao (Jedwali 4.3).

Jedwali 4.3. Data ya kukokotoa wastani wa uzani wa uzani

Kwa kuwa mavuno ya wastani ni uwiano wa mavuno ya jumla kwa eneo lililopandwa, kwanza tunaamua eneo lililopandwa viazi kwa kila shamba, na kisha mavuno ya wastani:

Kulingana na moja ya mali, maana ya harmonic haitabadilika ikiwa kiasi cha matukio, ambayo ni uzito wa chaguzi za mtu binafsi, huzidishwa au kugawanywa na nambari yoyote ya kiholela. Hii inafanya uwezekano wa kutotumia kwa maneno kabisa, na wao mvuto maalum. Hebu tuseme unahitaji kuamua bei ya wastani ya kuuza viazi kwa kutumia data ifuatayo (Jedwali 4.4).

Jedwali 4.4. Data ya kukokotoa wastani wa bei ya kuuza viazi

Katika mfano uliotolewa, hakuna data juu ya mapato kutokana na mauzo ya aina moja ya viazi, ambayo ni zao la bei ya mauzo ya 1 centner kwa idadi ya viazi zilizouzwa. Kwa hiyo, badala ya wingi wa matukio, uwiano wao unaweza kutumika, yaani mvuto maalum aina za viazi binafsi katika mapato ya jumla. Kwa kutumia data ya jedwali, tunaamua bei ya wastani ya kuuza viazi:

Maana ya harmonic pia hutumiwa kuamua mavuno ya wastani kwa kikundi cha mazao ya homogeneous, ikiwa mavuno ya jumla na mavuno ya mazao ya mtu binafsi yanajulikana, kuhesabu asilimia ya wastani ya utekelezaji wa mpango wa uzalishaji na mauzo ya bidhaa kwa idadi ya watu sawa, ikiwa data juu ya bidhaa zinazozalishwa au kuuzwa kwa kweli na asilimia ya utekelezaji wa mpango hujulikana vitu binafsi, nk.

Fomu ya kawaida ya kiashiria cha takwimu ni wastaniukubwa. Kiashiria katika mfumo wa thamani ya wastani huonyesha kiwango cha kawaida cha sifa katika jumla. Utumiaji mkubwa wa maadili ya wastani huelezewa na ukweli kwamba huruhusu mtu kulinganisha maadili ya tabia kati ya vitengo vya watu tofauti. Kwa mfano, unaweza kulinganisha urefu wa wastani wa siku ya kufanya kazi, kitengo cha wastani cha mshahara wa wafanyikazi, kiwango cha wastani mshahara kwa makampuni mbalimbali.

Kiini cha maadili ya wastani ni kwamba wanaghairi kupotoka kwa maadili ya tabia katika vitengo vya watu binafsi, vinavyosababishwa na hatua ya mambo ya nasibu. Kwa hivyo, maadili ya wastani lazima yahesabiwe kwa idadi kubwa ya kutosha (kulingana na sheria ya idadi kubwa). Kuegemea kwa maadili ya wastani pia inategemea utofauti wa maadili ya sifa katika jumla. KATIKA kesi ya jumla, tofauti ndogo ya sifa na idadi kubwa ya watu ambayo thamani ya wastani imedhamiriwa, inaaminika zaidi.

Kawaida ya thamani ya wastani pia inahusiana moja kwa moja na homogeneity ya idadi ya watu wa takwimu. Thamani ya wastani itaonyesha tu kiwango cha kawaida cha sifa inapokokotolewa kutoka kwa idadi ya watu walio sawa kimaelezo. Vinginevyo, njia ya wastani hutumiwa pamoja na njia ya kikundi. Ikiwa idadi ya watu ni tofauti, basi wastani wa jumla hubadilishwa au kuongezewa na wastani wa kikundi uliohesabiwa kwa vikundi vilivyo sawa.

Kuchagua aina ya wastani imedhamiriwa na maudhui ya kiuchumi ya kiashiria chini ya utafiti na data chanzo. Mara nyingi hutumiwa katika takwimu aina zifuatazo wastani: wastani wa nguvu (hesabu, harmonic, kijiometri, quadratic, cubic, nk), wastani wa mpangilio, pamoja na wastani wa miundo (mode na wastani).

Maana ya hesabu mara nyingi hupatikana katika utafiti wa kijamii na kiuchumi. Wastani wa hesabu hutumiwa kwa njia ya wastani rahisi na wastani wa uzito.

Imehesabiwa kutoka kwa data isiyojumuishwa kulingana na fomula (4.1):

Wapi x- maadili ya mtu binafsi ya tabia (chaguzi);

n- idadi ya vitengo katika idadi ya watu.

Mfano. Inahitajika kupata pato la wastani la mfanyakazi katika brigade yenye watu 15, ikiwa idadi ya bidhaa zinazozalishwa na mfanyakazi mmoja (vipande) inajulikana: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Maana rahisi ya hesabu kukokotwa kutoka kwa data isiyokuwa na vikundi kulingana na fomula (4.2):

ambapo f ni marudio ya marudio ya thamani inayolingana ya sifa (lahaja);

∑f ni jumla ya idadi ya vitengo vya watu (∑f = n).

Mfano. Kulingana na data inayopatikana juu ya usambazaji wa wafanyikazi katika timu kulingana na idadi ya bidhaa wanazozalisha, ni muhimu kupata pato la wastani la mfanyakazi katika timu.

Kumbuka 1. Thamani ya wastani ya tabia katika jumla inaweza kuhesabiwa kwa msingi wa maadili ya mtu binafsi ya tabia na kwa msingi wa wastani wa kikundi (binafsi) uliohesabiwa kwa sehemu za watu binafsi. Katika kesi hii, formula ya wastani ya uzani wa hesabu hutumiwa, na wastani wa kikundi (sehemu) ( x j).

Mfano. Kuna data juu ya urefu wa wastani wa huduma ya wafanyikazi katika warsha za kiwanda. Inahitajika kuamua urefu wa wastani wa huduma ya wafanyikazi kwa mmea kwa ujumla.

Kumbuka 2. Katika kesi wakati maadili ya tabia ya wastani yameainishwa kwa namna ya vipindi, wakati wa kuhesabu wastani. thamani ya hesabu maadili ya wastani ya vipindi hivi huchukuliwa kama maadili ya tabia katika vikundi ( X’). Hivyo, mfululizo wa muda kubadilishwa kuwa tofauti. Katika kesi hii, thamani ya vipindi wazi, ikiwa ipo (kama sheria, hizi ni za kwanza na za mwisho), ni sawa na thamani ya vipindi vilivyo karibu nao.

Mfano. Kuna data juu ya usambazaji wa wafanyikazi wa biashara kwa kiwango cha mshahara.

Thamani ya maana ya Harmonic ni marekebisho ya maana ya hesabu. Inatumika katika hali ambapo maadili ya mtu binafsi ya tabia yanajulikana, i.e. anuwai ( x), na bidhaa ya lahaja na masafa (xf = M), lakini masafa yenyewe hayajulikani ( f).

Wastani wa uzani wa uzani huhesabiwa kwa kutumia fomula (4.3):

Mfano. Haja ya kuamua ukubwa wa wastani mshahara wa wafanyakazi wa chama kinachojumuisha makampuni matatu, ikiwa mfuko wa mshahara na mshahara wa wastani wa wafanyakazi kwa kila biashara hujulikana.

Maana ya harmonic, ambayo ni rahisi katika mazoezi ya takwimu, hutumiwa mara chache sana. Katika hali ambapo xf = Mm = const, maana ya uzani ya uzani hubadilika kuwa maana rahisi ya harmonic (4.4):

Mfano. Magari mawili yalisafiri kwa njia moja. Wakati huo huo, mmoja wao alikuwa akienda kwa kasi ya kilomita 60 / h, pili - kwa kasi ya 80 km / h. Inahitajika kuamua kasi ya wastani ya magari njiani.

Aina zingine za wastani wa nguvu. Wastani wa mpangilio

Wastani wa kijiometri hutumiwa kukokotoa mienendo ya wastani. Wastani wa kijiometri hutumiwa kwa njia ya wastani rahisi (kwa data isiyokuwa na vikundi) na wastani wa uzani (kwa data iliyopangwa).

Maana ya kijiometri rahisi (4.5):

ambapo n ni idadi ya maadili ya sifa;

P ni ishara ya bidhaa.

Maana ya kijiometri iliyopimwa(4.6):

Wastani kiasi cha quadratic hutumika wakati wa kuhesabu fahirisi tofauti. Inatumika kwa fomu rahisi na yenye uzito.

Mraba wastani rahisi (4.7):

Uzani wa mraba wa wastani (4.8):

Wastani wa ujazo hutumiwa katika hesabu ya skewness na kurtosis. Inatumika kwa fomu rahisi iliyopimwa.

Wastani wa ujazo rahisi (4.9):

Uzito wa wastani wa ujazo (4.10):

Thamani ya wastani ya mpangilio wa nyakati hutumika kukokotoa kiwango cha wastani cha mfululizo wa saa (4.11):

Wastani wa muundo

Kando na maadili ya wastani yaliyojadiliwa hapo juu, takwimu hutumia wastani wa miundo, ambayo ni pamoja na hali na wastani.

Mitindo(Mo) ni thamani ya sifa inayochunguzwa (lahaja), ambayo mara nyingi hupatikana katika jumla. Katika mfululizo wa kipekee Hali imedhamiriwa kwa urahisi - kwa kiashiria cha juu cha mzunguko. Katika mfululizo wa mabadiliko ya muda, mode takriban inalingana na katikati ya muda wa modal, yaani, muda ambao una mzunguko wa juu (frequency).

Thamani ya hali maalum huhesabiwa kwa kutumia fomula (4.12):

ni wapi kikomo cha chini cha muda wa modal;

upana wa muda wa modal;

frequency sambamba na muda wa modal;

mzunguko wa muda kabla ya modal;

mzunguko wa muda unaofuata modal.

Wastani (Mimi) ni thamani ya sifa iliyo katikati ya safu iliyoorodheshwa. Kwa kuorodheshwa tunamaanisha mfululizo uliopangwa kwa mpangilio wa kupanda au kushuka wa thamani za sifa. Wastani hugawanya safu iliyoorodheshwa katika sehemu mbili, moja ambayo ina maadili ya sifa sio kubwa kuliko ya wastani, na nyingine sio chini.

Kwa mfululizo ulioorodheshwa na idadi isiyo ya kawaida ya wanachama, wastani ni chaguo lililo katikati ya mfululizo. Nafasi ya wastani imedhamiriwa na nambari ya serial ya kitengo cha safu kulingana na formula (4.13):

ambapo n ni idadi ya washiriki wa safu iliyoorodheshwa.

Kwa safu iliyoorodheshwa iliyo na idadi sawa ya washiriki, wastani ndio maana ya hesabu ya maadili mawili yaliyo karibu yaliyo katikati ya mfululizo.

Katika mfululizo wa mabadiliko ya muda, fomula ifuatayo (4.14) inatumika kupata wastani:

wapi kikomo cha chini cha muda wa wastani;

upana wa muda wa kati;

kusanyiko la mzunguko wa muda kabla ya wastani;
mzunguko wa muda wa kati.

Mfano. Timu ya kazi inayojumuisha 9 watu, kuwa na ushuru zifuatazo tarakimu: 4; 3; 4; 5; 3; 3; 6; 2;6. Inahitajika kuamua maadili ya modal na wastani ya kitengo cha ushuru.

Kwa kuwa brigedi hii ina wafanyikazi wengi wa kitengo cha 3, kitengo hiki kitakuwa cha modal, i.e. Mo = 3.

Ili kuamua wastani Wacha tupange safu asili kwa mpangilio wa kupanda wa maadili ya sifa:

2; 3; 3; 3; 4; 4; 5; 6; 6.

Thamani ya tano ya sifa ni kuu katika mfululizo huu. Ipasavyo, Mimi = 4.

Mfano.Inahitajika kubainisha kategoria ya ushuru wa modali na wastani wa wafanyikazi wa kiwanda kulingana na data kutoka safu ifuatayo ya usambazaji.

Kwa kuwa mfululizo wa awali wa usambazaji ni tofauti, thamani ya modal imedhamiriwa na kiashiria cha juu cha mzunguko. Katika mfano huu, mmea una wafanyakazi wengi wa jamii ya 3 (f max = 30), i.e. kutokwa huku ni modal (Mo = 3).

Wacha tuamue msimamo wa wastani. Mfululizo wa awali wa usambazaji umejengwa kwa msingi wa safu iliyoorodheshwa, iliyoamriwa kwa kuongeza maadili ya sifa. Katikati ya safu ni kati ya 50 na 51 nambari za serial maadili ya tabia. Wacha tujue wafanyikazi walio na nambari hizi za serial ni wa kundi gani. Ili kufanya hivyo, hebu tuhesabu masafa ya kusanyiko. Masafa yaliyokusanywa yanaonyesha kuwa thamani ya wastani ya kitengo cha ushuru ni sawa na tatu (Me = 3), kwani maadili ya tabia na nambari za serial kutoka 39 hadi 68, pamoja na 50 na 51, ni sawa 3.

Mfano. Inahitajika kuamua mishahara ya kawaida na ya wastani ya wafanyikazi wa kiwanda kulingana na data kutoka kwa safu zifuatazo za usambazaji.

Kwa kuwa mfululizo wa awali wa usambazaji ni muda, thamani ya modal ya mshahara huhesabiwa kwa kutumia fomula. Katika kesi hii, muda wa modal ni 360-420 na mzunguko wa juu wa 30.

Thamani ya wastani mshahara pia huhesabiwa kwa kutumia fomula. Katika kesi hii, wastani ni muda wa 360-420, mzunguko wa kusanyiko ambao ni 70, wakati mzunguko wa kusanyiko wa muda uliopita ulikuwa 40 tu. jumla ya nambari vitengo sawa na 100.

Maadili ya wastani yamegawanywa katika vikundi viwili vikubwa: njia za nguvu na njia za kimuundo

Wastani wa nguvu:

Hesabu

Harmonic

Jiometri

Quadratic

Wastani rahisi wa hesabu ni neno la wastani, katika kubainisha ni kiasi gani cha jumla cha sifa fulani katika seti ya data kinasambazwa kwa usawa kati ya vitengo vyote vilivyojumuishwa katika seti hii. Kwa hivyo, wastani wa pato la kila mfanyakazi ni kiasi cha pato ambacho kingeanguka kwa kila mfanyakazi ikiwa kiasi kizima cha pato kingegawanywa kwa usawa kati ya wafanyikazi wote wa shirika. Thamani ya maana ya hesabu inahesabiwa kwa kutumia fomula:

Wastani rahisi wa hesabu- Sawa na uwiano wa jumla ya maadili ya mtu binafsi ya tabia kwa idadi ya sifa katika jumla

Uzito wa wastani wa hesabu

Ikiwa kiasi cha seti ya data ni kubwa na inawakilisha mfululizo wa usambazaji, basi wastani wa hesabu uliopimwa huhesabiwa. Hivi ndivyo bei ya wastani ya uzani kwa kila kitengo cha uzalishaji imedhamiriwa: jumla ya gharama ya uzalishaji (jumla ya bidhaa za wingi wake kwa bei ya kitengo cha uzalishaji) imegawanywa na jumla ya kiasi cha uzalishaji.

Wacha tufikirie hii kwa fomula ifuatayo:

Uzito wa wastani wa hesabu- ni sawa na uwiano wa (jumla ya bidhaa za thamani ya kipengele kwa marudio ya marudio ya kipengele hiki) hadi (jumla ya masafa ya vipengele vyote). kutokea kwa idadi isiyo sawa ya nyakati.

Maana ya hesabu kwa mfululizo wa muda

Wakati wa kukokotoa wastani wa hesabu kwa mfululizo wa mabadiliko ya muda, kwanza tambua wastani wa kila kipindi kama nusu-jumla ya kikomo cha juu na cha chini, na kisha wastani wa mfululizo mzima. Katika kesi ya vipindi vya wazi, thamani ya muda wa chini au wa juu imedhamiriwa na ukubwa wa vipindi vilivyo karibu nao.

Wastani unaokokotolewa kutoka kwa mfululizo wa muda ni wa kukadiria.

Wastani unaokokotolewa kutoka kwa mfululizo wa muda ni wa kukadiria. Kiwango cha makadirio yao inategemea kiwango ambacho usambazaji halisi wa vitengo vya idadi ya watu ndani ya muda unakaribia usambazaji sare.

Wakati wa kuhesabu wastani, sio tu kabisa, bali pia maadili ya jamaa(masafa):

Maana ya Harmonic- hutumika katika hali ambapo maadili ya mtu binafsi ya sifa na bidhaa yanajulikana, lakini masafa hayajulikani.

Katika mfano hapa chini - mavuno yanajulikana, - eneo haijulikani (ingawa inaweza kuhesabiwa kwa kugawanya mavuno ya nafaka kwa mavuno), - mavuno ya nafaka yanajulikana.

Thamani ya maana ya harmonic inaweza kuamua kwa kutumia fomula ifuatayo:

Njia ya maana ya Harmonic:

Harmonic rahisi

Katika hali ambapo bidhaa ni sawa au sawa na 1 (z = 1), wastani rahisi wa harmonic hutumiwa kwa hesabu, iliyohesabiwa kwa kutumia formula:

Maana rahisi ya harmonic ni kiashiria ambacho ni kinyume cha maana rahisi ya hesabu, iliyohesabiwa kutoka kwa maadili ya kubadilishana ya tabia.

Thamani ya maana ya kijiometri inafanya uwezekano wa kuhifadhi bila kubadilika sio jumla, lakini bidhaa ya maadili ya mtu binafsi ya thamani fulani. Inaweza kuamua na formula ifuatayo:

Thamani za maana za kijiometri hutumiwa mara nyingi wakati wa kuchambua viwango vya ukuaji wa viashiria vya kiuchumi.

Maana ya Harmonic

Jina la kigezo	Maana
Mada ya kifungu:	Maana ya Harmonic
Rubriki (aina ya mada)	Utamaduni

Maana ya Harmonic- ϶ᴛᴏ uwiano wa maana ya hesabu, ᴛ.ᴇ. ina maadili ya kinyume ya tabia.

Mfano 5. Uhesabuji wa asilimia ya wastani ya kukamilika kwa mpango. Data ifuatayo inapatikana:

Ikiwa, wakati wa kuamua kiwango cha wastani cha utimilifu wa mpango, hatuchukui kazi kama uzito, lakini utekelezaji wake halisi, basi wastani wa hesabu katika kesi hii utatoa matokeo mabaya:

Matokeo sahihi wakati wa kupima kulingana na kukamilika halisi kwa kazi itatolewa na wastani wa uzani wa harmonic:

Wapi w- uzani wa wastani wa uzani wa harmonic.

Masharti ya kutumia maana ya harmonic

1. Maana ya sauti hutumika wakati sio vitengo vya idadi ya watu (wabebaji wa tabia) hutumiwa kama uzani, lakini bidhaa za vitengo hivi kwa maadili ya tabia, ᴛ.ᴇ. .

2. Ikiwa maadili kamili yanatumiwa kama uzani, hatua yoyote ya kati wakati wa kuhesabu wastani inapaswa kutoa matokeo muhimu kiuchumi.

Maana ya Harmonic - dhana na aina. Uainishaji na vipengele vya kitengo "Wastani wa harmonic" 2017, 2018.

- Maana ya Harmonic.

- Maana ya Harmonic

- Maana ya Harmonic.

- Harmonic maana uzito

Wastani wa hesabu zilizopimwa Hutumika wakati viashirio vya wingi wa bidhaa katika hali halisi vinatumika kama uzani; ambapo pq ni mauzo ya biashara katika rubles. Inatumika wakati data ya mauzo inatumiwa kama uzani... .

- Maana ya Harmonic.

- Maana ya hesabu na maana ya usawa

Kiini na maana ya maadili ya wastani, aina zao Aina ya kawaida ya kiashiria cha takwimu ni thamani ya wastani. Kiashiria katika mfumo wa thamani ya wastani huonyesha kiwango cha kawaida cha sifa katika jumla. Utumizi mpana wa kati...