Suluhisho la uhakika la algorithm. Kutatua muhimu dhahiri mtandaoni

Dhahiri muhimu. Mifano ya ufumbuzi

Habari tena. Katika somo hili tutachunguza kwa undani jambo la ajabu kama kiungo dhahiri. Wakati huu utangulizi utakuwa mfupi. Wote. Kwa sababu kuna dhoruba ya theluji nje ya dirisha.

Ili kujifunza jinsi ya kutatua viambatanisho dhahiri unahitaji:

1) Kuwa na uwezo tafuta viungo visivyo na ukomo.

2) Kuwa na uwezo hesabu uhakika muhimu.

Kama unavyoona, ili kujua kiunga fulani, unahitaji kuwa na ufahamu mzuri wa viambatanisho vya "kawaida" visivyojulikana. Kwa hivyo, ikiwa unaanza kupiga mbizi kwenye calculus muhimu, na kettle bado haijachemshwa kabisa, basi ni bora kuanza na somo. Muhimu usio na kikomo. Mifano ya ufumbuzi. Kwa kuongeza, kuna kozi za pdf kwa maandalizi ya haraka sana- ikiwa una siku, nusu ya siku imesalia.

Kwa fomu ya jumla, kiunga cha uhakika kimeandikwa kama ifuatavyo:

Ni nini kinachoongezwa ikilinganishwa na kiunga kisichojulikana? Zaidi mipaka ya ujumuishaji.

Kikomo cha chini cha ujumuishaji
Kikomo cha juu cha ujumuishaji inaashiriwa kwa kawaida na herufi .
Sehemu inaitwa sehemu ya ujumuishaji.

Kabla ya kuendelea na mifano ya vitendo, faq ya haraka juu ya kiunganishi dhahiri.

Inamaanisha nini kutatua kiunganishi dhahiri? Kutatua muunganisho dhahiri kunamaanisha kupata nambari.

Jinsi ya kutatua kiunga dhahiri? Kwa kutumia fomula ya Newton-Leibniz inayojulikana shuleni:

Ni bora kuandika tena fomula kwenye karatasi tofauti; inapaswa kuwa mbele ya macho yako katika somo zima.

Hatua za kusuluhisha kiunganishi dhahiri ni kama ifuatavyo.

1) Kwanza tunapata kazi ya antiderivative (muhimu usiojulikana). Kumbuka kwamba mara kwa mara katika muunganisho dhahiri haijaongezwa. Uteuzi huo ni wa kiufundi tu, na fimbo ya wima haina maana yoyote ya hisabati, kwa kweli, ni kuashiria tu. Kwa nini rekodi yenyewe inahitajika? Maandalizi ya kutumia fomula ya Newton-Leibniz.

2) Badilisha thamani ya kikomo cha juu kwenye kitendakazi kizuia derivative: .

3) Badilisha thamani ya kikomo cha chini hadi kitendakazi kizuia derivative: .

4) Tunahesabu (bila makosa!) Tofauti, yaani, tunapata nambari.

Je, kiungo hakika kipo kila wakati? Hapana sio kila wakati.

Kwa mfano, kiunganishi haipo kwa sababu sehemu ya ujumuishaji haijajumuishwa katika kikoa cha ufafanuzi wa kiunganishi (maadili chini ya mzizi wa mraba hayawezi kuwa hasi). Hapa kuna mfano usio wazi zaidi: . Hapa kwenye muda wa ujumuishaji tangent huvumilia mapumziko yasiyo na mwisho kwa pointi , , na kwa hiyo kiunganishi kama hicho pia haipo. Kwa njia, ni nani ambaye bado hajasoma nyenzo za kufundishia? Grafu na mali ya msingi ya kazi za msingi- wakati wa kuifanya ni sasa. Itakuwa nzuri kusaidia katika kipindi chote cha hisabati ya juu.

Kwa hilo ili kiunganishi kiwepo kabisa, inatosha kwamba kiunganishi kinaendelea kwa muda wa ujumuishaji..

Kutoka kwa hapo juu, pendekezo la kwanza muhimu linafuata: kabla ya kuanza kusuluhisha kiunga chochote dhahiri, unahitaji kuhakikisha kuwa kazi ya integrand. inaendelea kwa muda wa ujumuishaji. Nilipokuwa mwanafunzi, mara kwa mara nilipata tukio nilipohangaika kwa muda mrefu kutafuta dawa ngumu ya kuzuia asili, na nilipoipata, nilisumbua akili yangu kwa swali lingine: "Ni upuuzi wa aina gani uligeuka kuwa. ?” Katika toleo lililorahisishwa, hali inaonekana kama hii:

???! Hauwezi kubadilisha nambari hasi chini ya mzizi! Ni nini jamani hii?! Kutokuwa makini kwa awali.

Ikiwa kwa suluhisho (katika mtihani, mtihani, mtihani) umetolewa kama au , basi unahitaji kutoa jibu kwamba kiungo hiki cha uhakika haipo na kuhalalisha kwa nini.

! Kumbuka : katika kesi ya mwisho, neno "hakika" haliwezi kuachwa, kwa sababu muhimu na discontinuities ya uhakika imegawanywa katika kadhaa, katika kesi hii katika viungo 3 visivyofaa, na uundaji "muhimu huu haupo" huwa sio sahihi.

Je, kiungo hakika kinaweza kuwa sawa na nambari hasi? Labda. Na nambari hasi. Na sifuri. Inaweza hata kugeuka kuwa infinity, lakini itakuwa tayari kiungo kisichofaa, ambayo hupewa hotuba tofauti.

Je, kikomo cha chini cha ujumuishaji kinaweza kuwa kikubwa kuliko kikomo cha juu cha ujumuishaji? Labda hali hii hutokea katika mazoezi.

- muhimu inaweza kuhesabiwa kwa urahisi kwa kutumia fomula ya Newton-Leibniz.

Hisabati ya juu ni nini muhimu? Bila shaka, bila kila aina ya mali. Kwa hivyo, wacha tuzingatie mali kadhaa za kiunga fulani.

Kwa ujumuishaji dhahiri, unaweza kupanga upya mipaka ya juu na ya chini, ukibadilisha ishara:

Kwa mfano, katika muunganisho wa uhakika, kabla ya kuunganishwa, inashauriwa kubadili mipaka ya kuunganishwa kwa utaratibu wa "kawaida":

- katika fomu hii ni rahisi zaidi kujumuisha.

- hii sio kweli kwa mbili tu, bali pia kwa idadi yoyote ya kazi.

Katika muunganisho dhahiri mtu anaweza kutekeleza uingizwaji wa kutofautiana kwa ujumuishaji, hata hivyo, ikilinganishwa na uunganisho usio na ukomo, hii ina maalum yake, ambayo tutazungumzia baadaye.

Kwa muunganisho dhahiri yafuatayo ni kweli: ujumuishaji kwa fomula ya sehemu:

Mfano 1

Suluhisho:

(1) Tunachukua mara kwa mara kutoka kwa ishara muhimu.

(2) Unganisha juu ya jedwali kwa kutumia fomula maarufu zaidi . Inashauriwa kutenganisha mara kwa mara inayojitokeza na kuiweka nje ya bracket. Si lazima kufanya hivyo, lakini ni vyema - kwa nini mahesabu ya ziada?

. Kwanza tunabadilisha kikomo cha juu, kisha kikomo cha chini. Tunafanya mahesabu zaidi na kupata jibu la mwisho.

Mfano 2

Hesabu kiunganishi dhahiri

Huu ni mfano kwako kuutatua peke yako, suluhu na jibu ni mwisho wa somo.

Wacha tufanye kazi ngumu kidogo:

Mfano 3

Hesabu kiunganishi dhahiri

Suluhisho:

(1) Tunatumia sifa za mstari wa kiunganishi dhahiri.

(2) Tunaunganisha kulingana na jedwali, huku tukiondoa viunga vyote - hawatashiriki katika uingizwaji wa mipaka ya juu na ya chini.

(3) Kwa kila masharti matatu tunatumia fomula ya Newton-Leibniz:

KIUNGO DHAIFU katika muunganisho dhahiri ni hitilafu za hesabu na CHANGANYIKO cha kawaida katika ISHARA. Kuwa mwangalifu! Ninazingatia sana muhula wa tatu: - nafasi ya kwanza kwenye gwaride la makosa kwa sababu ya kutojali, mara nyingi huandika kiatomati (hasa wakati uingizwaji wa mipaka ya juu na ya chini unafanywa kwa maneno na haujaandikwa kwa undani). Kwa mara nyingine tena, jifunze kwa uangalifu mfano ulio hapo juu.

Ikumbukwe kwamba njia inayozingatiwa ya kutatua kiunga cha uhakika sio pekee. Kwa uzoefu fulani, suluhisho linaweza kupunguzwa kwa kiasi kikubwa. Kwa mfano, mimi mwenyewe nimezoea kutatua viunga kama hivi:

Hapa nilitumia kwa maneno kanuni za mstari na kuunganishwa kwa maneno kwa kutumia jedwali. Niliishia na bracket moja tu iliyo na mipaka iliyowekwa: (tofauti na mabano matatu katika njia ya kwanza). Na katika kitendakazi "zima" cha kuzuia derivative, kwanza nilibadilisha 4, kisha -2, tena nikifanya vitendo vyote akilini mwangu.

Je, ni hasara gani za suluhisho fupi? Kila kitu hapa sio nzuri sana kutoka kwa mtazamo wa busara ya mahesabu, lakini kibinafsi sijali - ninahesabu sehemu za kawaida kwenye calculator.
Kwa kuongeza, kuna hatari kubwa ya kufanya makosa katika mahesabu, kwa hiyo ni bora kwa mwanafunzi wa chai kutumia njia ya kwanza ya kutatua, ishara itapotea mahali fulani.

Walakini, faida zisizo na shaka za njia ya pili ni kasi ya suluhisho, ujanibishaji wa nukuu na ukweli kwamba antiderivative iko kwenye bracket moja.

Ushauri: kabla ya kutumia formula ya Newton-Leibniz, ni muhimu kuangalia: je, kizuia derivative chenyewe kilipatikana kwa usahihi?

Kwa hiyo, kuhusiana na mfano unaozingatiwa: kabla ya kubadilisha mipaka ya juu na ya chini kwenye kazi ya antiderivative, inashauriwa kuangalia kwenye rasimu ikiwa kiungo kisichojulikana kilipatikana kwa usahihi? Wacha tutofautishe:

Kazi ya awali ya integrand imepatikana, ambayo ina maana kwamba kiunganishi kisichojulikana kimepatikana kwa usahihi. Sasa tunaweza kutumia fomula ya Newton-Leibniz.

Cheki kama hicho haitakuwa cha juu sana wakati wa kuhesabu kiunga chochote dhahiri.

Mfano 4

Hesabu kiunganishi dhahiri

Huu ni mfano kwako kujitatua. Jaribu kutatua kwa njia fupi na ya kina.

Kubadilisha kigezo katika muunganisho dhahiri

Kwa muunganisho dhahiri, aina zote za vibadala ni halali kama kwa kiunganishi kisichojulikana. Kwa hivyo, ikiwa sio mzuri sana na mbadala, unapaswa kusoma somo kwa uangalifu Mbinu ya kubadilisha katika muunganisho usiojulikana.

Hakuna kitu cha kutisha au ngumu katika aya hii. Novelty iko kwenye swali jinsi ya kubadilisha mipaka ya ujumuishaji wakati wa kuchukua nafasi.

Kwa mifano, nitajaribu kutoa aina za uingizwaji ambazo bado hazijapatikana popote kwenye tovuti.

Mfano 5

Hesabu kiunganishi dhahiri

Swali kuu hapa sio kabisa juu ya uunganisho dhahiri, lakini juu ya jinsi ya kufanya uingizwaji kwa usahihi. Hebu tuangalie jedwali la viungo na kujua nini integrand kazi yetu inaonekana kama zaidi? Ni wazi, kwa logarithm ndefu: . Lakini kuna tofauti moja, kwenye jedwali muhimu chini ya mzizi, na katika yetu - "x" kwa nguvu ya nne. Wazo la uingizwaji pia linafuata kutoka kwa hoja - itakuwa nzuri kwa njia fulani kugeuza nguvu yetu ya nne kuwa mraba. Ni ya kweli.

Kwanza, tunatayarisha kiunga chetu kwa uingizwaji:

Kutoka kwa mazingatio hapo juu, uingizwaji kawaida hutokea:
Kwa hivyo, kila kitu kitakuwa sawa katika denominator:.
Tunagundua ni sehemu gani iliyobaki ya kiunganishi itageuka, kwa hili tunapata tofauti:

Ikilinganishwa na uingizwaji katika muunganisho usiojulikana, tunaongeza hatua ya ziada.

Kutafuta mipaka mipya ya ujumuishaji.

Ni rahisi sana. Hebu tuangalie uingizwaji wetu na mipaka ya zamani ya ushirikiano,.

Kwanza, tunabadilisha kikomo cha chini cha ujumuishaji, ambayo ni, sifuri, kwa usemi wa uingizwaji:

Kisha tunabadilisha kikomo cha juu cha ujumuishaji katika usemi wa uingizwaji, ambayo ni, mzizi wa tatu:

Tayari. Na tu ...

Wacha tuendelee na suluhisho.

(1) Kulingana na uingizwaji andika kiunga kipya kilicho na mipaka mipya ya ujumuishaji.

(2) Hii ni jedwali rahisi zaidi, tunaunganisha juu ya meza. Ni bora kuacha mara kwa mara nje ya mabano (sio lazima ufanye hivyo) ili isiingiliane na mahesabu zaidi. Kwa upande wa kulia tunachora mstari unaoonyesha mipaka mipya ya ujumuishaji - hii ni maandalizi ya kutumia formula ya Newton-Leibniz.

(3) Tunatumia fomula ya Newton-Leibniz .

Tunajitahidi kuandika jibu kwa fomu ya kompakt zaidi hapa nilitumia mali ya logarithms.

Tofauti nyingine kutoka kwa kiunganishi kisichojulikana ni kwamba, baada ya kufanya uingizwaji, hakuna haja ya kufanya uingizwaji wowote wa nyuma.

Na sasa michache ya mifano kwa wewe kuamua mwenyewe. Nini mbadala za kufanya - jaribu kubahatisha peke yako.

Mfano 6

Hesabu kiunganishi dhahiri

Mfano 7

Hesabu kiunganishi dhahiri

Hii ni mifano kwako kuamua mwenyewe. Suluhu na majibu mwishoni mwa somo.

Na mwisho wa aya, vidokezo kadhaa muhimu, uchambuzi ambao ulionekana shukrani kwa wageni wa tovuti. Ya kwanza inahusu uhalali wa uingizwaji. Katika baadhi ya matukio haiwezi kufanyika! Kwa hivyo, Mfano wa 6, inaweza kuonekana, inaweza kutatuliwa kwa kutumia uingizwaji wa trigonometric zima, hata hivyo, kikomo cha juu cha ushirikiano ("pi") haijajumuishwa ndani kikoa tangent hii na kwa hivyo uingizwaji huu ni haramu! Hivyo, kazi ya "badala" lazima iwe endelevu kwa yote pointi za sehemu ya ujumuishaji.

Katika barua pepe nyingine, swali lifuatalo lilipokelewa: "Je, tunahitaji kubadilisha mipaka ya ujumuishaji tunapoingiza chaguo la kukokotoa chini ya ishara ya utofautishaji?" Mwanzoni nilitaka "kutupilia mbali upuuzi" na kujibu moja kwa moja "bila shaka," lakini kisha nikafikiria juu ya sababu ya swali kama hilo na ghafla nikagundua kuwa hakukuwa na habari. inakosa. Lakini, ingawa ni wazi, ni muhimu sana:

Ikiwa tutachukua kazi chini ya ishara tofauti, basi hakuna haja ya kubadilisha mipaka ya ushirikiano! Kwa nini? Kwa sababu katika kesi hii hakuna mpito halisi kwa tofauti mpya. Kwa mfano:

Na hapa muhtasari ni rahisi zaidi kuliko uingizwaji wa kitaaluma na "uchoraji" unaofuata wa mipaka mpya ya ujumuishaji. Hivyo, ikiwa kiunga cha uhakika sio ngumu sana, basi jaribu kila wakati kuweka kazi chini ya ishara tofauti! Ni haraka, ni compact zaidi, na ni kawaida - kama utaona kadhaa ya mara!

Asante sana kwa barua zako!

Njia ya kuunganishwa na sehemu katika muunganisho dhahiri

Kuna hata kidogo novelty hapa. Mahesabu yote ya kifungu Kuunganishwa kwa sehemu katika muunganisho usiojulikana ni halali kikamilifu kwa kiunganishi dhahiri.
Kuna maelezo moja tu ambayo ni pamoja na; katika fomula ya kuunganishwa na sehemu, mipaka ya ujumuishaji imeongezwa:

Formula ya Newton-Leibniz lazima itumike mara mbili hapa: kwa bidhaa na baada ya kuchukua muhimu.

Kwa mfano, nilichagua tena aina ya kiunganishi ambacho bado hakijapatikana popote kwenye tovuti. Mfano sio rahisi zaidi, lakini ni wa habari sana.

Mfano 8

Hesabu kiunganishi dhahiri

Hebu tuamue.

Wacha tuunganishe kwa sehemu:

Yeyote anayepata shida na muunganisho, angalia somo Viunga vya kazi za trigonometric, inajadiliwa kwa kina hapo.

(1) Tunaandika suluhisho kwa mujibu wa fomula ya kuunganishwa na sehemu.

(2) Kwa bidhaa tunatumia fomula ya Newton-Leibniz. Kwa kiunga kilichobaki tunatumia mali ya mstari, tukigawanya katika viambatanisho viwili. Usichanganyikiwe na ishara!

(4) Tunatumia fomula ya Newton-Leibniz kwa vizuia derivative viwili vilivyopatikana.

Kuwa mkweli, siipendi fomula. na, kama inawezekana, ... mimi kufanya bila hiyo wakati wote! Wacha tuangalie suluhisho la pili kwa maoni yangu, ni ya busara zaidi.

Hesabu kiunganishi dhahiri

Katika hatua ya kwanza napata muhimu kwa muda usiojulikana:

Wacha tuunganishe kwa sehemu:

Kazi ya antiderivative imepatikana. Hakuna maana katika kuongeza mara kwa mara katika kesi hii.

Je, ni faida gani ya kupanda vile? Hakuna haja ya "kubeba karibu" mipaka ya ushirikiano; kwa kweli, inaweza kuwa ngumu kuandika alama ndogo za mipaka ya ushirikiano mara kadhaa

Katika hatua ya pili ninaangalia(kawaida katika rasimu).

Pia mantiki. Ikiwa nimepata kitendakazi cha antiderivative kimakosa, basi nitasuluhisha kiunganishi hakika kimakosa. Ni bora kujua mara moja, wacha tutofautishe jibu:

Kazi ya awali ya integrand imepatikana, ambayo ina maana kwamba kazi ya antiderivative imepatikana kwa usahihi.

Hatua ya tatu ni matumizi ya fomula ya Newton-Leibniz:

Na kuna faida kubwa hapa! Katika njia ya suluhisho "yangu" kuna hatari ndogo zaidi ya kuchanganyikiwa katika ubadilishanaji na mahesabu - formula ya Newton-Leibniz inatumika mara moja tu. Ikiwa buli kitatatua kiunganishi sawa kwa kutumia fomula (kwa njia ya kwanza), basi hakika atafanya makosa mahali fulani.

Algorithm ya suluhisho inayozingatiwa inaweza kutumika kwa kiunganishi chochote dhahiri.

Mwanafunzi mpendwa, chapisha na uhifadhi:

Nini cha kufanya ikiwa unapewa kiungo cha uhakika ambacho kinaonekana kuwa ngumu au haijulikani mara moja jinsi ya kutatua?

1) Kwanza tunapata kiunga kisichojulikana (kazi ya antiderivative). Ikiwa katika hatua ya kwanza kulikuwa na bummer, hakuna maana ya kutikisa zaidi mashua na Newton na Leibniz. Kuna njia moja tu - kuongeza kiwango chako cha maarifa na ujuzi katika kutatua viungo visivyo na ukomo.

2) Tunaangalia kazi ya antiderivative iliyopatikana kwa kutofautisha. Ikiwa imepatikana vibaya, hatua ya tatu itakuwa kupoteza muda.

3) Tunatumia fomula ya Newton-Leibniz. Tunafanya mahesabu yote KWA UMAKINI SANA - hiki ndicho kiungo dhaifu zaidi cha kazi.

Na, kwa vitafunio, ni muhimu kwa ufumbuzi wa kujitegemea.

Mfano 9

Hesabu kiunganishi dhahiri

Suluhisho na jibu ziko karibu.

Somo linalofuata lililopendekezwa juu ya mada ni Jinsi ya kuhesabu eneo la takwimu kwa kutumia kiunga fulani?
Wacha tuunganishe kwa sehemu:

Je, una uhakika umeyatatua na kupata majibu sawa? ;-) Na kuna ponografia kwa mwanamke mzee.

Ili kujifunza jinsi ya kutatua viambatanisho dhahiri unahitaji:

1) Kuwa na uwezo tafuta viungo visivyo na ukomo.

2) Kuwa na uwezo hesabu uhakika muhimu.

Kwa fomu ya jumla, kiunga cha uhakika kimeandikwa kama ifuatavyo:

Ni nini kinachoongezwa ikilinganishwa na kiunga kisichojulikana? Zaidi mipaka ya ujumuishaji.

Kikomo cha chini cha ujumuishaji
Kikomo cha juu cha ujumuishaji inaashiriwa kwa kawaida na herufi .
Sehemu inaitwa sehemu ya ujumuishaji.

Kabla ya sisi kuendelea na mifano ya vitendo, kidogo "fucking" juu ya uhakika muhimu.

Je, kiungo hakika ni kipi? Ningeweza kukuambia juu ya kipenyo cha sehemu, kikomo cha hesabu kamili, nk, lakini somo ni la asili ya vitendo. Kwa hivyo, nitasema kuwa kiunganishi dhahiri ni NAMBA. Ndio, ndio, nambari ya kawaida zaidi.

Je, kiungo hakika kina maana ya kijiometri? Kula. Na nzuri sana. Kazi maarufu zaidi ni eneo la kuhesabu kwa kutumia kiunganishi dhahiri.

Inamaanisha nini kutatua kiunganishi dhahiri? Kutatua muunganisho dhahiri kunamaanisha kupata nambari.

Jinsi ya kutatua kiunga dhahiri? Kwa kutumia fomula ya Newton-Leibniz inayojulikana shuleni:

Ni bora kuandika tena fomula kwenye karatasi tofauti; inapaswa kuwa mbele ya macho yako katika somo zima.

Hatua za kusuluhisha kiunganishi dhahiri ni kama ifuatavyo.

1) Kwanza tunapata kazi ya antiderivative (muhimu usiojulikana). Kumbuka kwamba mara kwa mara katika muunganisho dhahiri haijawahi kuongezwa. Uteuzi huo ni wa kiufundi tu, na fimbo ya wima haina maana yoyote ya hisabati, kwa kweli, ni kuashiria tu. Kwa nini rekodi yenyewe inahitajika? Maandalizi ya kutumia fomula ya Newton-Leibniz.

2) Badilisha thamani ya kikomo cha juu kwenye kitendakazi kizuia derivative: .

3) Badilisha thamani ya kikomo cha chini hadi kitendakazi kizuia derivative: .

4) Tunahesabu (bila makosa!) Tofauti, yaani, tunapata nambari.

Je, kiungo hakika kipo kila wakati? Hapana sio kila wakati.

Kwa mfano, kiunganishi haipo kwa sababu sehemu ya ujumuishaji haijajumuishwa katika kikoa cha ufafanuzi wa kiunganishi (maadili chini ya mzizi wa mraba hayawezi kuwa hasi). Hapa kuna mfano usio wazi zaidi: . Muhimu kama huo pia haipo, kwani hakuna tangent katika sehemu za sehemu. Kwa njia, ni nani ambaye bado hajasoma nyenzo za kufundishia? Grafu na mali ya msingi ya kazi za msingi- wakati wa kuifanya ni sasa. Itakuwa nzuri kusaidia katika kipindi chote cha hisabati ya juu.

Ili kiunganishi dhahiri kiwepo kabisa, ni muhimu kwamba kazi ya integrand iwe endelevu kwa muda wa ujumuishaji.

???!!!

Hauwezi kubadilisha nambari hasi chini ya mzizi!

Ikiwa kwa suluhu (katika jaribio, mtihani, mtihani) unapewa kama haipo

basi unahitaji kutoa jibu kwamba muhimu haipo na kuhalalisha kwa nini.

Je, kikomo cha chini cha ujumuishaji kinaweza kuwa kikubwa kuliko kikomo cha juu cha ujumuishaji? Labda hali hii hutokea katika mazoezi.

- muhimu inaweza kuhesabiwa kwa urahisi kwa kutumia fomula ya Newton-Leibniz.

Hisabati ya juu ni nini muhimu? Bila shaka, bila kila aina ya mali. Kwa hivyo, wacha tuzingatie mali kadhaa za kiunga fulani.

Kwa muunganisho dhahiri, unaweza kupanga upya mipaka ya juu na ya chini, ukibadilisha ishara:

Kwa mfano, katika muunganisho wa uhakika, kabla ya kuunganishwa, inashauriwa kubadili mipaka ya kuunganishwa kwa utaratibu wa "kawaida":

- katika fomu hii ni rahisi zaidi kujumuisha.

Kama ilivyo kwa kiunganishi kisichojulikana, kiunganishi dhahiri kina sifa za mstari:

- hii sio kweli kwa mbili tu, bali pia kwa idadi yoyote ya kazi.

Kwa muunganisho dhahiri yafuatayo ni kweli: ujumuishaji kwa fomula ya sehemu:

Mfano 1

Suluhisho:

(1) Tunachukua mara kwa mara kutoka kwa ishara muhimu.

(3) Tunatumia fomula ya Newton-Leibniz

Kwanza tunabadilisha kikomo cha juu, kisha kikomo cha chini. Tunafanya mahesabu zaidi na kupata jibu la mwisho.

Mfano 2

Hesabu kiunganishi dhahiri

Huu ni mfano kwako kuutatua peke yako, suluhu na jibu ni mwisho wa somo.

Wacha tufanye kazi ngumu kidogo:

Mfano 3

Hesabu kiunganishi dhahiri

Suluhisho:

(1) Tunatumia sifa za mstari wa kiunganishi dhahiri.

(2) Tunaunganisha kulingana na jedwali, huku tukiondoa viunga vyote - hawatashiriki katika uingizwaji wa mipaka ya juu na ya chini.

- nafasi ya kwanza kwenye gwaride la makosa kwa sababu ya kutojali, mara nyingi huandika kiatomati

(hasa wakati uingizwaji wa mipaka ya juu na ya chini unafanywa kwa maneno na haujaandikwa kwa undani). Kwa mara nyingine tena, jifunze kwa uangalifu mfano ulio hapo juu.

Hapa nilitumia kwa maneno kanuni za mstari na kuunganishwa kwa maneno kwa kutumia jedwali. Niliishia na bracket moja tu iliyo na mipaka iliyowekwa:

(tofauti na mabano matatu katika njia ya kwanza). Na katika kitendakazi "zima" cha kuzuia derivative, kwanza nilibadilisha 4, kisha -2, tena nikifanya vitendo vyote akilini mwangu.

Faida zisizo na shaka za njia ya pili ni kasi ya suluhisho, ujanibishaji wa nukuu na ukweli kwamba kizuia derivative.

iko kwenye mabano moja.

Mchakato wa kutatua viambatanisho katika sayansi inayoitwa hisabati inaitwa ushirikiano. Kutumia ushirikiano, unaweza kupata kiasi fulani cha kimwili: eneo, kiasi, wingi wa miili na mengi zaidi.

Viunganishi vinaweza kuwa vya kudumu au dhahiri. Wacha tuchunguze fomu ya kiunga fulani na jaribu kuelewa maana yake ya mwili. Inawakilishwa katika fomu hii: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Kipengele bainifu cha uandishi wa kiunganishi dhahiri kutoka kwa kiungo kisichojulikana ni kwamba kuna mipaka ya ujumuishaji a na b. Sasa tutajua kwa nini zinahitajika, na ni nini kiunga cha uhakika kinamaanisha. Kwa maana ya kijiometri, kiunganishi kama hicho ni sawa na eneo la takwimu iliyofungwa na curve f (x), mistari a na b, na mhimili wa Ox.

Kutoka kwa Mchoro wa 1 ni wazi kwamba kiunganishi cha uhakika ni eneo lile lile ambalo lina kivuli cha kijivu. Wacha tuangalie hii kwa mfano rahisi. Wacha tupate eneo la takwimu kwenye picha hapa chini kwa kutumia ujumuishaji, na kisha tuhesabu kwa njia ya kawaida ya kuzidisha urefu kwa upana.

Kutoka kwa Mchoro wa 2 ni wazi kuwa $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $. Sasa tunazibadilisha katika ufafanuzi wa muunganisho, tunapata hiyo $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(units)^2 $$ Hebu tufanye ukaguzi kwa njia ya kawaida. Kwa upande wetu, urefu = 3, upana wa takwimu = 1. $$ S = \text(urefu) \cdot \text(upana) = 3 \cdot 1 = 3 \text(units)^2 $$ Unavyoweza unaona, kila kitu kinalingana kikamilifu.

Swali linatokea: jinsi ya kutatua viunga visivyo na ukomo na maana yao ni nini? Kutatua viambatanisho vile ni kutafuta vitendakazi vya antiderivative. Utaratibu huu ni kinyume cha kutafuta derivative. Ili kupata kizuia derivative, unaweza kutumia msaada wetu katika kutatua shida katika hisabati, au unahitaji kukariri kwa uhuru mali ya viunga na jedwali la ujumuishaji wa kazi rahisi za kimsingi. Utaftaji unaonekana kama hii: $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(ambapo) F(x) $ ni kipingamizi cha $ f(x), C = const $.

Ili kutatua muunganisho, unahitaji kuunganisha kazi $ f(x) $ juu ya kutofautiana. Ikiwa kazi ni tabular, basi jibu limeandikwa kwa fomu inayofaa. Ikiwa sivyo, basi mchakato unakuja kupata kitendakazi cha jedwali kutoka kwa chaguo za kukokotoa $ f(x) $ kupitia mageuzi ya kihesabu yenye ujanja. Kuna njia na mali anuwai za hii, ambayo tutazingatia zaidi.

Kwa hiyo, sasa hebu tuunda algorithm ya kutatua vipengele vya dummies?

Algorithm ya kuhesabu viambatanisho

Wacha tujue kiunga cha uhakika au la.
Ikiwa haijafafanuliwa, basi unahitaji kupata kitendakazi kizuia derivative $ F(x) $ ya integrand $ f(x) $ kwa kutumia mageuzi ya hisabati inayoongoza kwenye fomu ya jedwali ya chaguo za kukokotoa $ f(x) $.
Ikifafanuliwa, basi unahitaji kutekeleza hatua ya 2, na kisha ubadilishe vikomo vya $ a $ na $ b $ kwenye kitendakazi kizuia derivative $ F(x) $. Utajua ni formula gani ya kufanya hivyo katika kifungu "Mfumo wa Newton-Leibniz".

Mifano ya ufumbuzi

Kwa hivyo, umejifunza jinsi ya kutatua viunga vya dummies, mifano ya utatuzi wa viambatanisho imepangwa. Tulijifunza maana yao ya kimwili na ya kijiometri. Njia za suluhisho zitaelezewa katika nakala zingine.

Mifano ya kuhesabu viambatanisho visivyo na kikomo

Uhesabuji wa muhimu kutoka kwa meza

Ujumuishaji kwa kubadilisha:

Mifano ya mahesabu muhimu

Newton–Leibniz formula ya msingi

Mahesabu ya uingizwaji

Sura ya 4 Milinganyo tofauti.

Mlinganyo wa tofauti ni mlinganyo unaohusiana na kigezo huru kwa kila kimoja X , kazi tunayotafuta katika na derivatives au tofauti zake.

Mlinganyo uliotofautishwa kiishara umeandikwa kama ifuatavyo:

Equation ya kutofautisha inaitwa kawaida, ikiwa kazi inayohitajika inategemea tofauti moja huru.

Ili ya mlinganyo tofauti ni mpangilio wa derivative ya juu zaidi (au tofauti) iliyojumuishwa katika mlingano huu.

Kwa uamuzi(au muhimu) ya mlinganyo tofauti ni chaguo la kukokotoa ambalo hugeuza mlinganyo huu kuwa utambulisho.

Suluhisho la jumla(au jumla muhimu) ya mlinganyo wa kutofautisha ni suluhu linalojumuisha viambajengo vingi vinavyojitegemea kama mpangilio wa mlinganyo. Kwa hivyo, suluhisho la jumla la equation ya mpangilio wa kwanza ina moja ya kiholela.

Uamuzi wa kibinafsi Equation ya kutofautisha ni suluhisho linalopatikana kutoka kwa suluhisho la jumla kwa maadili tofauti ya nambari ya viboreshaji vya kiholela. Thamani za viwango vya kiholela hupatikana katika maadili fulani ya awali ya hoja na kazi.

Grafu ya suluhisho fulani kwa usawa wa kutofautisha inaitwa curve muhimu.

Suluhisho la jumla la equation ya kutofautisha inalingana na seti (familia) ya curves zote muhimu.

Agiza kwanza mlinganyo wa kutofautisha ni mlinganyo unaojumuisha viasili (au tofauti) zisizozidi mpangilio wa kwanza.

Mlinganyo tofauti na vigeu vinavyoweza kutenganishwa inayoitwa equation ya fomu

Ili kutatua equation hii, kwanza unahitaji kutenganisha anuwai:

na kisha unganisha pande zote mbili za usawa unaosababishwa:

1. Tafuta suluhisho la jumla la equation

o Kugawanya vigezo tulivyo navyo

Kuunganisha pande zote mbili za equation inayosababisha:

Tangu mara kwa mara kiholela NA inaweza kuchukua maadili yoyote ya nambari, basi kwa urahisi wa mabadiliko zaidi, badala ya C tuliandika (1/2)ln C. Kuwezesha usawa wa mwisho tunaopata

Hili ndilo suluhisho la jumla kwa mlinganyo huu.

Fasihi

V. G. Boltyansky, Tofauti ni nini, "Mihadhara maarufu juu ya hisabati",

Toleo la 17, Gostekhizdat 1955, kurasa 64.

V. A. Gusev, A. G. Mordkovich "Hisabati"

G. M. Fikhtengolts "Kozi ya tofauti na calculus muhimu", Juzuu 1

V. M. Borodikhin, Hisabati ya Juu, kitabu cha maandishi. mwongozo, ISBN 5-7782-0422-1.

Nikolsky S. M. Sura ya 9. Muhimu wa uhakika wa Riemann // Kozi ya uchambuzi wa hisabati. - 1990. - T. 1.

Ilyin V. A., Poznyak, E. G. Sura ya 6. Muhimu usio na kipimo // Misingi ya uchambuzi wa hisabati. - 1998. - T. 1. - (Kozi ya hisabati ya juu na fizikia ya hisabati).

Demidovich B.P. Sehemu ya 3. Muhimu usio na kipimo // Mkusanyiko wa matatizo na mazoezi juu ya uchambuzi wa hisabati. - 1990. - (Kozi ya hisabati ya juu na fizikia ya hisabati).

Valutse I.I., Diligul G.D. Hisabati kwa shule za ufundi kulingana na shule za sekondari: Kitabu cha kiada-toleo la 2, kimerekebishwa. na ziada M.6Sayansi. 1989

Kolyagin Yu.M. Yakovlev G.N. hisabati kwa shule za ufundi. Aljebra na mwanzo wa uchambuzi, sehemu ya 1 na 2. Nyumba ya uchapishaji "Naukka" M., 1981.

Shchipachev V.S. Shida katika hisabati ya juu: Proc. Mwongozo kwa vyuo vikuu. Juu zaidi Shk. 1997

Bogomolov N.V. masomo ya vitendo katika hisabati: kitabu cha maandishi. Mwongozo kwa shule za ufundi. Juu zaidi Shk 1997