Katika zaidi miundo tata Inaweza kuwa muhimu kutumia nadharia ya mtengano mara kwa mara. Kwa hiyo, Mchoro 2.2 unaonyesha mtengano kwa heshima na kipengele cha 7 (mstari wa juu), na kisha kwa kuzingatia kipengele cha 8 (mstari wa chini). Mitandao midogo minne inayotokana ina miundo ya serial-sambamba na haihitaji tena mtengano. Ni rahisi kuona kuwa kwa kila hatua idadi ya vitu kwenye subnets zinazosababishwa hupungua kwa moja na idadi ya subnets zinazohitaji. kuzingatia zaidi maradufu. Kwa hiyo, mchakato ulioelezwa ni wa mwisho kwa hali yoyote, na idadi ya miundo inayofanana ya serial itakuwa 2 m, ambapo T - idadi ya vipengele ambavyo mtengano ulipaswa kutekelezwa. Ugumu wa njia hii inaweza kukadiriwa kuwa m 2, ambayo ni chini ya ugumu wa utaftaji kamili, lakini bado haikubaliki kwa kuhesabu kuegemea kwa mitandao halisi ya kubadili.

Mchoro 2.2 Mtengano wa mtandao unaofuatana

Njia ya sehemu au mkusanyiko wa njia

Hebu fikiria njia nyingine ya kuhesabu uaminifu wa muundo wa mitandao. Wacha tufikirie, kama hapo awali, kwamba ni muhimu kuamua uwezekano wa muunganisho wa mtandao kati ya waliopewa jozi nodi A,B. Kigezo cha uendeshaji sahihi wa mtandao katika kwa kesi hii ni uwepo wa angalau njia moja ya kupitisha habari kati ya nodi zinazohusika. Tuseme tuna orodha njia zinazowezekana kwa namna ya orodha ya vipengele (nodes na maelekezo ya mawasiliano) yaliyojumuishwa katika kila njia. KATIKA kesi ya jumla njia zitakuwa tegemezi, kwani kipengele chochote kinaweza kujumuishwa katika njia zaidi ya moja. Kuegemea R s njia yoyote ya s-ro inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula ya uunganisho ya mfululizo R s =p 1s p 2s …p ts , ambapo p iko - kutegemewa i-th kipengele s-ro njia.

Kuegemea inahitajika H AB inategemea kuegemea kwa kila njia na chaguzi za makutano yao pamoja na mambo ya kawaida. Wacha tuonyeshe kuegemea ambayo inahakikishwa na wa kwanza r njia, kupitia H r. Kuongeza njia inayofuata (r+1)-th na kuegemea R r+1 bila shaka itasababisha kuongezeka kwa kuegemea kwa muundo, ambayo sasa itaamuliwa na mchanganyiko wa matukio mawili: angalau moja ya r ya kwanza inafanya kazi. njia au njia ya (r+1) inafanya kazi. Uwezekano wa kutokea kwa tukio hili la pamoja ukizingatiwa utegemezi unaowezekana. kushindwa (r+1) - th na njia nyingine

H r+i =H r +R r+i -R r+1 H r/(r+1), (2.10)

ambapo H r/ (r+1) ni uwezekano wa utumishi wa angalau mojawapo ya njia za r za kwanza, mradi tu njia ya (r+1) inaweza kutumika.

Kutoka kwa ufafanuzi uwezekano wa masharti H r/ (r+1) inafuata kwamba wakati wa kuihesabu, uwezekano wa operesheni sahihi ya vitu vyote vilivyojumuishwa kwenye njia ya (r+1) lazima iwekwe. sawa na moja. Kwa urahisi wa mahesabu zaidi, tunawasilisha muhula wa mwisho wa kujieleza (2.10) katika fomu ifuatayo:

R r+1 H r/ (r+1) = R r+1 ¤ H r (2.11)

ambapo ishara (¤) ina maana kwamba wakati wa kuzidisha, viashiria vya kuaminika vya vipengele vyote vilivyojumuishwa katika njia za kwanza za r na kawaida na (r + l) njia hubadilishwa na moja. Kwa kuzingatia (2.11) tunaweza kuandika upya (2.10):

?H r+1 = R r+1 ¤ Q r (2.12)

wapi?H r+1 =H r+1 -H r - ongezeko la uaminifu wa muundo na kuanzishwa kwa (r + 1) - njia ya th; Q r = 1 - H r ni uwezekano kwamba kushindwa kwa wakati mmoja kwa njia za kwanza za r kutatokea.

Kwa kuzingatia kwamba ongezeko la kutegemewa?H r+1 ni sawa kiidadi na kupungua kwa kutotegemewa?Q r+1, tunapata mlinganyo ufuatao katika tofauti zenye kikomo:

?Q r+1 =R r+1 ¤ Q r (2.13)

Ni rahisi kuangalia kuwa suluhisho la equation (2.13) ndio kazi

Q r = (1-R 1) ¤ (1-R 2) ¤…¤ (1-R r) ( 2.14)

Katika kesi ya njia za kujitegemea, utendakazi wa kuzidisha kwa ishara unaambatana na kuzidisha na usemi wa kawaida (2.14), sawa na (2.4), hutoa mgawo wa wakati wa kupungua wa mfumo unaojumuisha vitu vilivyounganishwa sambamba. Katika hali ya jumla, hitaji la kuzingatia mambo ya kawaida ya njia hulazimisha kuzidisha kulingana na (2.14) katika fomu ya algebra. Katika kesi hii, idadi ya maneno katika fomula inayosababisha na kuzidisha kwa kila binomial inayofuata mara mbili na matokeo ya mwisho itakuwa na maneno 2 r, ambayo ni sawa na utafutaji kamili wa seti ya njia zote za r. Kwa mfano, na r=10 idadi ya masharti katika fomula ya mwisho itazidi 1000, ambayo tayari iko nje ya upeo wa hesabu ya mwongozo. Kwa ongezeko zaidi la idadi ya njia, uwezo wa kompyuta za kisasa umechoka haraka.

Hata hivyo, mali ya operesheni ya kuzidisha ya mfano iliyoletwa hapo juu hufanya iwezekanavyo kupunguza kwa kasi ugumu wa mahesabu. Hebu tuangalie mali hizi kwa undani zaidi. Kulingana na utendakazi wa kuzidisha kwa ishara, sheria ifuatayo ni kweli kwa kiashiria cha kuegemea p i cha kitu chochote:

uk i ¤ uk i =p i . (2.15)

Hebu tukumbuke kwamba jambo la pili (2.15) lina maana ya uwezekano wa uendeshaji sahihi wa kipengele cha i-th, mradi tu iko katika utaratibu mzuri wa kufanya kazi, ambayo ni wazi sawa na moja.

Ili kufupisha mahesabu zaidi, tunatanguliza jina lifuatalo la kutoaminika kwa kipengele cha i-th:

=1-p i (2.16)

Kuzingatia (2.15) na (2.16) kwa kuzingatia, tunaweza kuandika zifuatazo sheria rahisi kubadilisha misemo iliyo na p na p :

p i ¤p i =p i (2.17)

p i p j ¤ =p i p j -p i p s

Kwa mfano wa kutumia sheria hizi wakati wa kuhesabu kuegemea, fikiria mtandao rahisi zaidi wa mawasiliano unaoonyeshwa. Mchoro.2.3 Barua ziko kwenye kando ya grafu zinaonyesha viashiria vya kuaminika vya mistari ya mawasiliano inayofanana.

Kwa unyenyekevu, tutazingatia nodi kuwa za kuaminika kabisa. Hebu tuchukue kwamba kwa mawasiliano kati ya nodes A na B, njia zote zinazojumuisha mistari mitatu au chache iliyounganishwa kwa mlolongo inaweza kutumika, i.e. sehemu ndogo ya njia (m) = (ab, cdf, cgb, ahf) inapaswa kuzingatiwa. Wacha tuamue ongezeko la kuegemea linalotolewa na kila njia inayofuata kwa kutumia fomula (2.12) kwa kuzingatia (2.14):

Зr+1=Rr+1¤ (¤1¤…¤) (2.18),

Mchoro 2.3 - Mfano wa mtandao wa hesabu kwenye sehemu ndogo ya njia

Mchoro 2.4 - Mfano wa mtandao wa kuhesabu uaminifu juu ya seti kamili ya njia, ambapo Ri=1-R1 ni sawa na (2.16).

Kutumia fomula mara kwa mara (2.18) na sheria za kuzidisha kwa ishara (2.17). kwa mtandao unaozingatiwa, tunapata

Z 2 =cdf¤ () =cdf*;

3 =cgb¤ (¤) =cgb**;

Z 4 =ahf¤ (¤¤) =ahf**.

Wakati wa kuhesabu ongezeko la mwisho, tulitumia utawala wa 4, ambao unaweza kuitwa utawala wa kunyonya kwa minyororo ndefu na mfupi; katika kesi hii, matumizi yake yanatoa b¤cgb=b . Ikiwa njia zingine zinaruhusiwa, kama vile njia ya cdhb , basi si vigumu kuhesabu ongezeko la kutegemewa linalotoa?H 5 =cdhb¤ (a¤ f¤ g¤ af) = =cdfb*a*f*g. Kuegemea kwa mtandao kunaweza sasa kuhesabiwa kama jumla ya nyongeza zinazotolewa na kila moja ya njia zinazozingatiwa:

H R =?H i (2.19)

Kwa hivyo, kwa mfano uliozingatiwa, chini ya dhana hiyo kuegemea. ya vipengele vyote vya mtandao ni sawa, i.e. a=b=c=d=f=h=g=p, tunapata H 5 =p 2 +p 3 (1-p 2) + +2p 3 (1-p) (1-p 2) +p 4 ( 1-p) 3 . Katika kesi ya utekelezaji wa mashine, hesabu inaweza pia kutegemea formula (2.13), kwa kuzingatia ukweli kwamba

Q r =?Swali i (2.20)

Kulingana na (2.13) tunayo yafuatayo uhusiano wa kurudia

Q r+i =Q r -R r+1 ¤ Q r . (2.21)

Katika hali ya awali Q 0 =l katika kila hatua inayofuata, kutoka kwa usemi uliopatikana hapo awali wa Q r, mtu anapaswa kuondoa bidhaa ya kuegemea ya njia inayofuata (r+1)-th kwa usemi sawa, ambapo viashiria vya kuegemea vya wote. vipengele vilivyojumuishwa kwenye njia ya (r+1)-th lazima viwekwe sawa na moja.

Kama mfano, hebu tuhesabu uaminifu wa mtandao unaoonyeshwa kwenye Mchoro 2.4 kuhusiana na nodi A na B. , kati ya ambayo kuna njia 11 zinazowezekana za kusambaza habari. Mahesabu yote yamefupishwa katika Jedwali 2.1: orodha ya vipengele vilivyojumuishwa katika kila njia, matokeo ya kuzidisha uaminifu wa njia fulani kwa thamani ya Q r iliyopatikana kwa kuzingatia njia zote zilizopita, na matokeo ya kurahisisha yaliyomo ya tatu. safu kulingana na sheria (2.17). Fomula ya mwisho ya q AB iko kwenye safu wima ya mwisho inaposomwa kutoka juu hadi chini. Jedwali linaonyesha kikamilifu mahesabu yote muhimu ili kuhesabu uaminifu wa muundo wa mtandao unaohusika.

Jedwali 2.1 Matokeo ya kukokotoa uaminifu wa mtandao unaoonyeshwa kwenye Mchoro 2.4

Ili kupunguza kiasi cha hesabu, epuka kupanua mabano bila lazima; Kama matokeo ya kati inaruhusu kurahisisha (kuleta masharti sawa, kuweka jambo la kawaida nje ya mabano, nk), zinapaswa kufanywa.

Hebu tueleze hatua kadhaa za kuhesabu. Kwa kuwa Q 0 = 1 (kwa kukosekana kwa njia mtandao umevunjika), basi kwa Q 1 kutoka (2.21) Q 1 =1 - ab=ab. Tunachukua hatua inayofuata (6.21) kwa Q 2 =ab-fghab==ab*fgh, nk.

Hebu tuchunguze kwa undani zaidi hatua ambayo mchango wa njia ya 9 huzingatiwa. Bidhaa ya viashiria vya kuaminika vya vipengele vyake vilivyomo, vilivyoandikwa katika safu ya pili ya Jedwali 2.1, huhamishiwa kwa tatu. Inayofuata mabano ya mraba uwezekano wa kuvunja njia zote nane zilizopita zimeandikwa, kusanyiko katika safu ya nne (kuanzia safu ya kwanza), kwa kuzingatia sheria (2.15), kulingana na ambayo viashiria vya kuegemea vya vitu vyote vilivyojumuishwa kwenye njia ya 9 vinabadilishwa na wale. Mchango wa mstari wa nne, wa sita na wa saba unageuka kuwa sifuri kulingana na kanuni ya 1. Kisha, usemi katika mabano ya mraba hurahisishwa kulingana na sheria (2.17) kama ifuatavyo: b = b (fhc-hfc-fhc) = bc (h-fh) =bchf . Hesabu inafanywa vivyo hivyo kwa njia zingine zote.

Kutumia njia inayozingatiwa huturuhusu kupata formula ya jumla kuegemea miundo, zenye katika kesi kuchukuliwa masharti 15 tu badala ya idadi ya juu 2 11 = 2048, kupatikana kwa moja kwa moja kuzidisha uwezekano wa kushindwa kwa njia hizi. Wakati wa kutekeleza njia kwenye mashine, ni rahisi kuwakilisha vitu vyote vya mtandao katika nambari ya nafasi kama safu ya bits na kutumia kazi za Boolean zilizojengwa ili kutekeleza mambo ya kimantiki ya mabadiliko (2.17).

Hadi sasa, tumezingatia viashiria vya uaminifu wa muundo wa mtandao unaohusiana na jozi zilizochaguliwa za nodi. Jumla ya viashiria kama hivyo kwa wote au sehemu ndogo ya jozi inaweza kuashiria kabisa uaminifu wa muundo wa mtandao kwa ujumla. Wakati mwingine mwingine, muhimu, kigezo cha kuaminika kwa muundo hutumiwa. Kwa mujibu wa kigezo hiki, mtandao unachukuliwa kuwa na afya ikiwa kuna mawasiliano kati ya nodes zake zote na mahitaji yanawekwa kwa uwezekano wa tukio hilo.

Ili kuhesabu uaminifu wa muundo kwa kutumia kigezo hiki, inatosha kuanzisha jumla ya dhana ya njia kwa namna ya mti unaounganisha nodes zote za mtandao. Kisha mtandao utaunganishwa ikiwa kuna angalau mti mmoja wa kuunganisha, na hesabu hupungua kwa kuzidisha uwezekano wa kushindwa kwa miti yote inayozingatiwa, kwa kuzingatia kuwepo kwa vipengele vya kawaida. Uwezekano. Kushindwa kwa Q kwa mti wa s-th kumedhamiriwa sawa na uwezekano wa kushindwa kwa njia

wapi p - kiashiria cha kuegemea i-ro kipengele kilichojumuishwa s-e mti; ns idadi ya vipengele katika mti wa s-th.

Hebu fikiria, kwa mfano, mtandao rahisi zaidi kwa namna ya pembetatu, upande. ambayo ina uzito wa viashiria vya kutegemewa a, b, c matawi yanayolingana. Kwa mtandao huo kuunganishwa, kuwepo kwa angalau moja ya miti ab, bc, ca ni ya kutosha . Kwa kutumia uhusiano wa kujirudia (2.12), tunabainisha uwezekano wa muunganisho wa mtandao huu wa H . cb =ab+bca+cab. Ikiwa a=b=c=p , tunapata thamani inayofuata uwezekano wa kuunganishwa, ambayo ni rahisi kuangalia kwa nguvu ya kikatili: H . cb =3р 2 -2р 3 .

Ili kuhesabu uwezekano wa kuunganishwa kwa mitandao yenye matawi ya kutosha, badala ya orodha ya miti inayounganisha, kama sheria, ni rahisi zaidi kutumia orodha ya sehemu (y) ambayo husababisha upotezaji wa muunganisho wa mtandao kulingana na kigezo kinachozingatiwa. . Ni rahisi kuonyesha kuwa sheria zote za kuzidisha kwa ishara zilizoletwa hapo juu ni halali kwa sehemu hiyo, badala ya viashiria vya kuegemea vya vitu vya mtandao, viashiria vya kutoaminika q=1-p vinapaswa kutumika kama data ya awali. . Hakika, ikiwa njia zote au miti inaweza kuchukuliwa kuwa ni pamoja na "sambamba", kwa kuzingatia kutegemeana kwao, basi sehemu zote zinajumuishwa kwa maana hii "mfululizo". Hebu tuonyeshe uwezekano kwamba katika baadhi ya sehemu s hakuna kipengele kimoja kinachoweza kutumika na р s. Kisha tunaweza kuandika

R s =q 1s q 2s …q ms , (2.22)

ambapo q iko - kiashiria cha kutokutegemewa kwa kipengele cha i-ro kilichojumuishwa katika sehemu ya s-e.

Uwezekano H cb wa muunganisho wa mtandao unaweza kuwakilishwa vile vile na (2.14) katika fomu ya ishara.

N cb = (1-р 1 ) ¤ ( 1 2 ) ¤…¤ ( 1 r) (2.23)

wapi r - idadi ya sehemu zinazozingatiwa. Kwa maneno mengine, ili mtandao uunganishwe, ni muhimu kwamba angalau kipengele kimoja katika kila sehemu kifanye kazi kwa wakati mmoja, kwa kuzingatia utegemezi wa pamoja wa sehemu kwenye vipengele vya kawaida. Fomula (2.23) ina maana mbili kuhusiana na fomula (2.14) na hupatikana kutoka kwa fomula kwa kubadilisha njia na sehemu na uwezekano wa utendakazi sahihi na uwezekano wa kuwa katika hali ya kutofaulu. Vile vile mbili kwa fomula (2.21) ni uhusiano wa kujirudia

H r+1 =H r -R r+1 ¤ H r (2.24)

Kama mfano, hebu tuhesabu uwezekano wa muunganisho wa mtandao wa pembetatu unaozingatiwa hapo juu na seti ya sehemu ab, bc, ca. Kulingana na (2.23), chini ya hali ya awali H 0 = 1 tuna H cd = ab-bca-cab. Kwa viashiria sawa vya kutokuwa na uhakika wa vipengele vya mtandao a=b=c=q tunapata H cb =1-q 2 -2q 2 (1 - q). Matokeo haya yanaambatana na yale yaliyopatikana hapo awali kwa kutumia mbinu ya kuhesabu miti.

Njia ya sehemu inaweza, bila shaka, kutumika kuhesabu uwezekano wa kuunganishwa kwa mtandao kuhusiana na jozi ya nodi zilizochaguliwa, hasa katika hali ambapo idadi ya sehemu katika mtandao unaozingatiwa ni muhimu. idadi ndogo sufuri. Hata hivyo, athari kubwa zaidi katika suala la kupunguza utata wa mahesabu hutoka kwa matumizi ya wakati mmoja wa njia zote mbili, ambazo zitajadiliwa zaidi.

Kupata muunganisho usio na kikomo (seti ya vizuia derivatives au "vinza derivatives") inamaanisha kuunda upya chaguo la kukokotoa kutoka kwa derivative inayojulikana ya chaguo hili la kukokotoa. Seti iliyorejeshwa ya antiderivatives F(x) + NA kwa kazi f(x) inazingatia ujumuishaji mara kwa mara C. Kwa kasi ya harakati nyenzo uhakika(derivative) sheria ya mwendo wa hatua hii (antiderivative) inaweza kurejeshwa; kulingana na kasi ya harakati ya uhakika - kasi yake na sheria ya mwendo. Kama unaweza kuona, ujumuishaji ni uwanja mpana wa shughuli za Sherlock Holmeses ya fizikia. Na katika uchumi, dhana nyingi zinawakilishwa kupitia kazi na derivatives zao, na kwa hiyo, kwa mfano, inawezekana kurejesha kiasi cha bidhaa zinazozalishwa kwa wakati unaofaa kwa kutumia tija ya kazi kwa wakati fulani (derivative).

Kupata muunganisho usiojulikana kunahitaji idadi ndogo ya fomula za ujumuishaji za kimsingi. Lakini mchakato wa kuipata ni ngumu zaidi kuliko kutumia tu kanuni hizi. Utata wote hauhusiani na ujumuishaji, lakini kuleta usemi unaoweza kuunganishwa kwa fomu inayowezesha kupata muunganisho usiojulikana kwa kutumia fomula za kimsingi zilizotajwa hapo juu. Hii ina maana kwamba ili kuanza mazoezi ya ujumuishaji, unahitaji kuamilisha yale ambayo umejifunza ndani sekondari ujuzi wa mabadiliko ya kujieleza.

Tutajifunza kupata viambatanisho kwa kutumia mali na jedwali la viunga visivyo na kikomo kutoka kwa somo kuhusu dhana za msingi za mada hii (inafungua kwenye dirisha jipya).

Kuna njia kadhaa za kupata muhimu, ambayo njia ya uingizwaji tofauti Na ujumuishaji kwa njia ya sehemu- seti ya lazima ya muungwana kwa kila mtu ambaye amefanikiwa kupita hisabati ya juu. Hata hivyo, ni muhimu zaidi na ya kufurahisha kuanza ujuzi wa ushirikiano kwa kutumia njia ya upanuzi, kwa kuzingatia nadharia mbili zifuatazo juu ya mali ya uunganisho usio na kipimo, ambayo tunarudia hapa kwa urahisi.

Nadharia 3. Sababu ya mara kwa mara katika integrand inaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya uunganisho usio na ukomo, i.e.

Nadharia 4. Muunganisho usio na kikomo wa jumla ya aljebra nambari ya mwisho kazi ni sawa jumla ya algebra viungo visivyo na ukomo vya kazi hizi, i.e.

(2)

Kwa kuongeza, sheria ifuatayo inaweza kuwa na manufaa katika ushirikiano: ikiwa usemi wa integrand una sababu ya mara kwa mara, basi usemi wa antiderivative huzidishwa na kinyume cha sababu ya mara kwa mara, ambayo ni.

(3)

Kwa kuwa somo hili ni la utangulizi wa kutatua matatizo ya ujumuishaji, ni muhimu kuzingatia mambo mawili ambayo tayari hatua ya awali, au baadaye kidogo wanaweza kukushangaza. Mshangao ni kwa sababu ya ukweli kwamba ujumuishaji ni operesheni inverse ya utofautishaji na kiunga kisichojulikana kinaweza kuitwa "kinza derivative".

Jambo la kwanza haupaswi kushangazwa na wakati wa kuunganisha. Katika jedwali la viungo kuna fomula ambazo hazina analogi kati ya fomula za jedwali derivative . Hizi ni fomula zifuatazo:

Walakini, unaweza kuhakikisha kuwa viingilio vya misemo kwenye pande za kulia za fomula hizi sanjari na viambatanisho vinavyolingana.

Jambo la pili ambalo halipaswi kushangaza wakati wa kuunganisha. Ingawa derivative ya kazi yoyote ya msingi pia ni kazi ya msingi, viambajengo visivyojulikana vya baadhi ya vipengele vya msingi havipo tena kazi za msingi . Mifano ya viambatanisho vile inaweza kuwa ifuatayo:

Ili kukuza mbinu za ujumuishaji, ustadi ufuatao utakuwa muhimu: kupunguza sehemu, kugawanya polynomial katika nambari ya sehemu na monomial katika dhehebu (kupata jumla ya viambatanisho visivyojulikana), kubadilisha mizizi kuwa nguvu, kuzidisha monomial na polynomial, kuinua kwa mamlaka. Ujuzi huu unahitajika kwa mabadiliko ya kiunganishi, ambayo yanapaswa kusababisha jumla ya viunga vilivyopo kwenye jedwali la viambatanisho.

Kupata viambatanisho visivyo na kikomo pamoja

Mfano 1. Pata muunganisho usio na kikomo

.

Suluhisho. Tunaona katika dhehebu la kiunganishi na polinomia ambamo x ni mraba. Hii ni ishara ya uhakika kwamba unaweza kutumia jedwali muhimu 21 (na arctangent kama matokeo). Tunachukua sababu-mbili kutoka kwa dhehebu (kuna mali kama hiyo ya muhimu - sababu ya mara kwa mara inaweza kutolewa nje ya ishara ya muunganisho; ilitajwa hapo juu kama Theorem 3). Matokeo ya haya yote:

Sasa dhehebu ni jumla ya miraba, ambayo ina maana kwamba tunaweza kutumia jedwali lililotajwa muhimu. Hatimaye tunapata jibu:

.

Mfano 2. Pata muunganisho usio na kikomo

Suluhisho. Tunatumia tena Theorem 3 - mali ya kiunganishi, kwa msingi ambao sababu ya mara kwa mara inaweza kutolewa nje ya ishara ya muhimu:

Tunatumia fomula ya 7 kutoka kwa jedwali la viambatanisho (kigeu kwa nguvu) hadi kitendakazi cha integrand:

.

Tunapunguza sehemu zinazosababishwa na tunayo jibu la mwisho:

Mfano 3. Pata muunganisho usio na kikomo

Suluhisho. Tukitumia nadharia ya kwanza ya 4 na kisha nadharia ya 3 juu ya mali, tunapata hii muhimu kama jumla ya viambatanisho vitatu:

Viungo vyote vitatu vilivyopatikana ni vya jedwali. Tunatumia fomula (7) kutoka kwa jedwali la viunga kwa n = 1/2, n= 2 na n= 1/5, na kisha

inachanganya viunga vyote vitatu vya kiholela ambavyo vilianzishwa lini kutafuta tatu viungo. Kwa hiyo, katika hali zinazofanana, mara kwa mara moja tu ya ushirikiano wa kiholela inapaswa kuletwa.

Mfano 4. Pata muunganisho usio na kikomo

Suluhisho. Wakati kipunguzo cha integrand kina monomia, tunaweza kugawanya nambari kwa neno la denominator kwa neno. Kiunga cha asili kiligeuka kuwa jumla ya viambatanisho viwili:

.

Ili kutumia jedwali muhimu, tunabadilisha mizizi kuwa nguvu na hapa kuna jibu la mwisho:

Tunaendelea kupata viambatanisho visivyo na kikomo pamoja

Mfano 7. Pata muunganisho usio na kikomo

Suluhisho. Ikiwa tutabadilisha muunganisho kwa kubana tarakimu mbili na kugawanya nambari kwa neno denominator kwa neno, basi kiunganishi asili kinakuwa jumla ya viambajengo vitatu.

Somo hili fupi sio tu litakusaidia kujifunza kazi ya kawaida, ambayo ni ya kawaida kabisa katika mazoezi, lakini pia kuunganisha vifaa vya makala Upanuzi wa chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa nishati. Tutahitaji jedwali la upanuzi wa utendakazi ndani mfululizo wa nguvu , ambayo inaweza kupatikana kwenye ukurasa Fomula za hisabati na meza. Kwa kuongeza, msomaji lazima aelewe maana ya kijiometri dhahiri muhimu na kuwa na ujuzi wa msingi wa ujumuishaji.

Inapaswa pia kuzingatiwa kuwa usahihi kwa maeneo matatu ya decimal ni maarufu zaidi. Usahihi mwingine wa hesabu pia unatumika, kwa kawaida 0.01 au 0.0001.

Sasa hatua ya pili ya suluhisho:
Kwanza, tunabadilisha kiunganishi kuwa safu ya nguvu inayosababisha:

Kwa nini hii inaweza kufanywa hata kidogo? Ukweli huu alielezea katika somo kuhusu upanuzi wa vitendakazi katika mfululizo wa nishati- grafu ya polynomial isiyo na mwisho inalingana kabisa na grafu ya chaguo la kukokotoa! Aidha, katika kesi hii taarifa ni kweli kwa thamani yoyote ya "x", na si tu kwa sehemu ya ushirikiano.

Katika hatua inayofuata, tunarahisisha kila neno kadri tuwezavyo:

Ni bora kufanya hivyo mara moja ili usichanganyike na mahesabu yasiyo ya lazima katika hatua inayofuata.

Mbinu ya kuhesabu ni ya kawaida: kwanza tunabadilisha 0.3 kwa kila neno, na kisha sifuri. Kwa mahesabu tunatumia calculator:

Ni masharti mangapi ya mfululizo yanahitajika kuchukuliwa kwa hesabu za mwisho? Ikiwa ni mfululizo wa kuunganishwa kuashiria, Hiyo kosa kabisa modulo ya hesabu haizidi muhula wa mwisho uliotupwa wa mfululizo. Kwa upande wetu tayari muda wa tatu wa mfululizo ni chini ya usahihi unaohitajika wa 0.001, na kwa hivyo ikiwa tutaitupa, hakika tutakosea kwa si zaidi ya 0.000972 (tambua kwanini!). Kwa hivyo, kwa hesabu ya mwisho, maneno mawili ya kwanza yanatosha:.

Jibu: , sahihi kwa 0.001

Hii iligeuka kuwa nambari ya aina gani? hatua ya kijiometri maono? ni eneo la takriban la takwimu iliyotiwa kivuli (tazama takwimu hapo juu).

Mfano 2

Hesabu takriban uhakika muhimu, baada ya kupanua kiunganishi hapo awali kuwa safu ya nguvu, kwa usahihi wa 0.001

Huu ni mfano kwa uamuzi wa kujitegemea. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo.

Kwa namna fulani, bila kustahili, nilipita arctangent, sikuwahi kuiweka mara moja mfululizo. Tusahihishe makosa.

Mfano 3

Kokotoa kiunganishi dhahiri kwa usahihi wa 0.01 kwa kutumia upanuzi wa mfululizo wa muunganisho.

Suluhisho: Kuna shaka kubwa kwamba kiungo hiki kinaweza kutenduliwa, ingawa suluhu si rahisi zaidi.

Hebu tupanue integrand katika mfululizo wa Maclaurin. Tunatumia upanuzi:

Kwa kesi hii


Ilikuwa ni bahati hapa kwamba mwishowe digrii zilibaki sawa, nguvu za sehemu itakuwa ngumu zaidi kujumuisha.

Hivyo:

Pia hutokea. Wanachama walio na mkokoteni - ni rahisi kwa mwanafunzi.

Jibu: kwa usahihi wa 0.01.

Tena, kumbuka kuwa usahihi wa 0.01 umehakikishwa hapa kwa sababu tu mfululizo wa muunganisho kuashiria. Kwa safu na wanachama chanya, kwa mfano, mfululizo tathmini hiyo haiwezi kufanywa, kwa kuwa kiasi cha "mkia" kilichotupwa kinaweza kuzidi kwa urahisi 0.00089. Nini cha kufanya katika kesi kama hizo? Nitakuambia mwishoni mwa somo. Wakati huo huo, nitakuambia siri: katika mifano yote ya leo, safu zinabadilishana.

Na, kwa kweli, unapaswa kudhibiti eneo la muunganiko wa mfululizo. Katika mfano unaozingatiwa, kwa njia, "imekatwa": (kwa sababu ya kipeo) , hata hivyo, sehemu yetu ya ujumuishaji iko katika eneo hili kabisa.

Nini kinatokea ikiwa utajaribu kutatua kesi isiyo halali kama ? Kazi pia itapanuliwa kikamilifu katika mfululizo, na masharti ya mfululizo pia yataunganishwa kikamilifu. Lakini tunapoanza kubadilisha thamani kikomo cha juu kulingana na fomula ya Newton-Leibniz, tunaona hivyo idadi itaongezeka kwa muda usiojulikana, yaani kila nambari inayofuata itakuwa kubwa kuliko ya awali. Mfululizo hukutana tu kwenye sehemu. Hii sio paranoia; kwa mazoezi, hii hufanyika mara kwa mara. Sababu ni makosa katika mkusanyiko wa matatizo au mwongozo wa mafunzo, wakati waandishi walishindwa kutambua kwamba muda wa kuunganisha "unatambaa" zaidi ya eneo la muunganisho wa mfululizo.

Sitazingatia muhimu na arcsine, kwani imeorodheshwa katika Kitabu Nyekundu. Ni bora kuzingatia zaidi "bajeti":

Mfano 4

Kokotoa kiunganishi dhahiri kwa usahihi wa 0.001 kwa kupanua muunganisho katika mfululizo na kuunganisha mfululizo huu muda baada ya muhula.

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Kama sifuri, sio kizuizi hapa - kiunga huvumilia tu pengo linaloweza kurekebishwa kwa uhakika, na kwa hiyo kiungo kisichofaa sio amelala hapa, i.e. bado tunazungumza uhakika muhimu. Unaposuluhisha, utaona kwamba mfululizo unaotokana unabadilika kikamilifu hadi sifuri.

Mwishowe, wacha tuangalie mifano michache zaidi ambayo ni ngumu zaidi.

Mfano 5

Kokotoa kiunganishi dhahiri kwa usahihi wa 0.001 kwa kutumia upanuzi wa muunganisho katika mfululizo na muunganisho wa muda baada ya muda wa mfululizo huu.

Suluhisho: Kuchambua integrand, tunafikia hitimisho kwamba tunahitaji kutumia upanuzi wa binomial. Lakini kwanza kazi lazima iwakilishwe katika fomu inayofaa:

Kwa bahati mbaya, hakuna kesi maalum Upanuzi wa binomial haufai, na tutalazimika kutumia fomula ngumu ya jumla:

Kwa kesi hii: ,

Ni bora kurahisisha mtengano iwezekanavyo katika hatua hii. Pia tunaona kwamba kwa hakika hatuhitaji muda wa nne wa mfululizo, kwani hata kabla ya kuunganishwa sehemu hiyo ilionekana ndani yake, ambayo ni wazi chini ya usahihi unaohitajika wa 0.001.

Washa somo hili tutajifunza kupata viambatanisho vya aina fulani za sehemu. Ili kufanikiwa kwa nyenzo, lazima uelewe wazi mpangilio wa vifungu na.

Kama ilivyoelezwa tayari, katika hesabu muhimu hakuna fomula inayofaa ya kujumuisha sehemu:

Na kwa hiyo, kuna mwelekeo wa kusikitisha: sehemu ya kisasa zaidi, ni vigumu zaidi kupata muhimu. Katika suala hili, unapaswa kuamua hila mbalimbali, ambazo tutazungumzia sasa.

Mbinu ya upanuzi wa nambari

Mfano 1

Pata muunganisho usio na kikomo

Fanya ukaguzi.

Kwenye somo Muhimu usio na kikomo. Mifano ya ufumbuzi tuliondoa bidhaa ya kazi kwenye kiunga, na kuibadilisha kuwa jumla inayofaa kwa ujumuishaji. Inabadilika kuwa wakati mwingine unaweza kugeuza sehemu kuwa jumla (tofauti)!

Tukichanganua utendakazi wa integrand, tunaona kwamba katika nambari na denominata zote tuna polynomia za shahada ya kwanza: x Na ( x+3). Wakati nambari na denominator zina polynomials sawa shahada, basi mbinu ifuatayo ya bandia husaidia: katika nambari lazima tupange kwa uhuru usemi sawa na katika dhehebu:

.

Hoja inaweza kuwa kama ifuatavyo: "Katika nambari ni muhimu kupanga ( x+ 3) kuleta muhimu kwenye jedwali, lakini nikiongeza tatu kwa "X", basi, ili usemi usibadilike, lazima nitoe tatu sawa."

Sasa unaweza kugawanya nambari kwa neno la denominator kwa muda:

Matokeo yake, tulipata kile tulichotaka. Tunatumia sheria mbili za kwanza za ujumuishaji:

Tayari. Ikiwa inataka, fanya ukaguzi mwenyewe. kumbuka hilo

katika muunganisho wa pili ni "rahisi" kazi ngumu. Vipengele vya ujumuishaji wake vilijadiliwa darasani Njia ya kubadilisha inayoweza kubadilika katika muunganisho usiojulikana.

Kwa njia, muhimu inayozingatiwa inaweza pia kutatuliwa kwa mabadiliko ya njia ya kutofautiana, inayoashiria, lakini kuandika suluhisho itakuwa ndefu zaidi.

Mfano 2

Pata muunganisho usio na kikomo

Endesha ukaguzi

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Ikumbukwe kwamba njia ya uingizwaji ya kutofautiana haitafanya kazi tena hapa.

Tahadhari, muhimu! Mifano No 1, 2 ni ya kawaida na hutokea mara kwa mara.

Hasa, viambatanisho vile mara nyingi hutokea wakati wa ufumbuzi wa viungo vingine, hasa, wakati ushirikiano kazi zisizo na mantiki (mizizi).

Mbinu inayozingatiwa pia inafanya kazi katika kesi hiyo ikiwa daraja la juu zaidi la nambari ni kubwa kuliko daraja la juu zaidi la kiidadi.

Mfano 3

Pata muunganisho usio na kikomo

Fanya ukaguzi.

Tunaanza kuchagua nambari. Algorithm ya kuchagua nambari ni kitu kama hiki:

1) Katika nambari tunahitaji kupanga 2 x-1, lakini huko x 2. Nini cha kufanya? nahitimisha 2 x-1 kwenye mabano na zidisha kwa x, Vipi: x(2x-1).

2) Sasa tunajaribu kufungua mabano haya, nini kinatokea? Pata: (2 x 2 -x) Tayari ni bora, lakini hakuna deuce x 2 mwanzoni haiko kwenye nambari. Nini cha kufanya? Tunahitaji kuzidisha kwa (1/2), tunapata:

3) Kufungua mabano tena, tunapata:

Ilibadilika kuwa sawa x 2! Lakini shida ni kwamba neno la ziada limeonekana (-1/2) x. Nini cha kufanya? Ili kuzuia usemi kubadilika, lazima tuongeze sawa (1/2) kwenye ujenzi wetu x:

. Maisha yamekuwa rahisi. Inawezekana kupanga tena katika nambari (2 x-1)?

4) Inawezekana. Tujaribu: . Fungua mabano ya muhula wa pili:

. Samahani, lakini tulikuwa nayo katika hatua ya awali (+1/2) x, sio (+ x). Nini cha kufanya? Unahitaji kuzidisha muhula wa pili kwa (+1/2):

.

5) Tena, ili kuangalia, fungua mabano katika muhula wa pili:

. Sasa ni kawaida: imepokelewa (+1/2) x kutoka kwa muundo wa mwisho wa hatua ya 3! Lakini tena kuna neno dogo “lakini”, neno la ziada (-1/4) limetokea, ambalo linamaanisha ni lazima tuongeze (1/4) kwa usemi wetu:

.

Ikiwa kila kitu kimefanywa kwa usahihi, basi tunapofungua mabano yote tunapaswa kupata nambari ya awali ya integrand. Tunaangalia:

Ilifanya kazi.

Hivyo:

Tayari. Katika muhula uliopita tulitumia mbinu ya kupeana chaguo za kukokotoa chini ya utofautishaji.

Ikiwa tutapata derivative ya jibu na kupunguza usemi kwa dhehebu la kawaida, basi tunapata kazi halisi ya integrand

Njia inayozingatiwa ya mtengano x 2 katika jumla si chochote zaidi ya kitendo cha kinyume cha kuleta usemi kwa madhehebu ya kawaida.

Algorithm ya kuchagua nambari ndani mifano inayofanana Ni bora kuifanya kwa fomu ya rasimu. Kwa ujuzi fulani itafanya kazi kiakili.

Mbali na algorithm ya uteuzi, unaweza kutumia mgawanyiko wa safu ya polynomial na polynomial, lakini ninaogopa kuwa maelezo yatachukua nafasi zaidi, kwa hivyo wakati mwingine.

Mfano 4

Pata muunganisho usio na kikomo

Fanya ukaguzi.

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako.