Eneo la rhombus ni bidhaa ya diagonal zake. Njia nne ambazo zinaweza kutumika kuhesabu eneo la rhombus

Rhombus ni kesi maalum ya parallelogram. Ni takwimu ya gorofa ya quadrangular ambayo pande zote ni sawa. Mali hii huamua kuwa rhombuses zina pande zinazofanana na pembe sawa. Ulalo wa rhombus huingiliana kwa pembe za kulia, hatua ya makutano yao iko katikati ya kila diagonal, na pembe ambazo hutoka zimegawanywa kwa nusu. Hiyo ni, wao diagonals ya rhombus ni bisectors ya pembe. Kulingana na ufafanuzi hapo juu na mali zilizoorodheshwa za rhombuses, eneo lao linaweza kuamua kwa njia mbalimbali.

1. Ikiwa diagonal zote mbili za rhombus AC na BD zinajulikana, basi eneo la rhombus linaweza kuamua kama nusu ya bidhaa ya diagonals.

S = ½ ∙ A.C. ∙ BD

ambapo AC, BD ni urefu wa diagonals ya rhombus.

Ili kuelewa ni kwa nini hii ni hivyo, unaweza kufaa kiakili mstatili ndani ya rhombus ili pande za mwisho ni perpendicular kwa diagonals ya rhombus. Inakuwa dhahiri kuwa eneo la rhombus litakuwa sawa na nusu ya eneo la mstatili ulioandikwa kwa njia hii kwenye rhombus, urefu na upana ambao utafanana na ukubwa wa diagonals ya rhombus.

2. Kwa mlinganisho na parallelepiped, eneo la rhombus linaweza kupatikana kama bidhaa ya upande wake na urefu wa perpendicular kutoka upande wa kinyume umeshushwa kwa upande fulani.

S = a ∙ h

ambapo a ni upande wa rhombus;
h ni urefu wa perpendicular imeshuka kwa upande fulani.

3. Eneo la rhombus pia ni sawa na mraba wa upande wake unaozidishwa na sine ya pembe α.

S = a 2 ∙ dhambi α

ambapo a ni upande wa rhombus;
α ni pembe kati ya pande.

4. Pia, eneo la rhombus linaweza kupatikana kupitia upande wake na radius ya mduara iliyoandikwa ndani yake.

S=2 ∙ a ∙ r

ambapo a ni upande wa rhombus;
r ni radius ya mduara iliyoandikwa kwenye rhombus.

Mambo ya Kuvutia
Neno rhombus linatokana na neno la kale la Kigiriki rombus, ambalo linamaanisha "tambourini". Katika siku hizo, matari yalikuwa na umbo la almasi, na sio mviringo, kama tulivyozoea kuwaona sasa. Kutoka wakati huo huo, jina la suti ya kadi "almasi" ilikuja. Almasi za aina mbalimbali hutumiwa sana katika heraldry.

Rhombus ni takwimu maalum katika jiometri. Shukrani kwa mali yake maalum, hakuna moja, lakini fomula kadhaa ambazo zinaweza kutumika kuhesabu eneo la rhombus. Ni mali gani hizi na ni kanuni gani za kawaida za kupata eneo la takwimu hii? Hebu tufikirie.

Ni takwimu gani ya kijiometri inayoitwa rhombus?

Kabla ya kujua eneo la rhombus ni nini, inafaa kujua ni aina gani ya takwimu.

Kutoka wakati wa jiometri ya Euclidean, rhombus ni quadrilateral linganifu, pande zote nne ambazo ni sawa kwa urefu na sambamba katika jozi.

Asili ya neno

Jina la takwimu hii lilikuja kwa lugha nyingi za kisasa kutoka kwa Kigiriki, kupitia upatanishi wa Kilatini. “Mzazi” wa neno “rhombus” lilikuwa nomino ya Kigiriki ῥόμβος (tambourini). Ingawa ni ngumu kwa wakaazi wa karne ya ishirini, waliozoea matari ya pande zote, kuwafikiria katika sura nyingine yoyote, kati ya Hellenes vyombo hivi vya muziki kwa jadi vilitengenezwa sio pande zote, lakini umbo la almasi.

Katika lugha nyingi za kisasa, neno hili la hisabati linatumika kama katika Kilatini: rombus. Hata hivyo, kwa Kiingereza, rhombuses wakati mwingine huitwa almasi (almasi au almasi). Takwimu hii ilipokea jina hili la utani kwa sababu ya sura yake maalum, kukumbusha jiwe la thamani. Kama sheria, neno kama hilo halitumiwi kwa rhombuses zote, lakini kwa zile tu ambazo pembe ya makutano ya pande zake mbili ni sawa na digrii sitini au arobaini na tano.

Takwimu hii ilitajwa kwanza katika kazi za mwanahisabati wa Uigiriki ambaye aliishi katika karne ya kwanza ya enzi mpya - Heron wa Alexandria.

Je, takwimu hii ya kijiometri ina sifa gani?

Ili kupata eneo la rhombus, kwanza kabisa unahitaji kujua ni sifa gani takwimu hii ya kijiometri ina.

Katika hali gani parallelogram ni rhombus?

Kama unavyojua, kila rhombus ni parallelogram, lakini si kila parallelogram ni rhombus. Ili kusema kwa usahihi kwamba takwimu iliyowasilishwa ni kweli rhombus, na si parallelogram rahisi, lazima ifanane na moja ya vipengele vitatu kuu vinavyofautisha rhombus. Au zote tatu kwa wakati mmoja.

1. Mishale ya parallelogramu hukatiza kwa pembe ya digrii tisini.
2. Ulalo hugawanya pembe katika mbili, zikifanya kazi kama sehemu mbili zao.
3. Sio tu sambamba, lakini pia pande za karibu zina urefu sawa. Hii, kwa njia, ni moja ya tofauti kuu kati ya rhombus na parallelogram, kwa kuwa takwimu ya pili ina pande zinazofanana tu ambazo ni sawa kwa urefu, lakini sio karibu.

Chini ya hali gani rhombus ni mraba?

Kwa mujibu wa mali zake, katika baadhi ya matukio rhombus inaweza wakati huo huo kuwa mraba. Ili kuthibitisha wazi taarifa hii, zungusha tu mraba katika mwelekeo wowote kwa digrii arobaini na tano. Takwimu inayotokana itakuwa rhombus, kila pembe ambayo ni sawa na digrii tisini.

Pia, ili kuthibitisha kwamba mraba ni rhombus, unaweza kulinganisha sifa za takwimu hizi: katika hali zote mbili, pande zote ni sawa, na diagonals ni bisectors na intersect kwa angle ya digrii tisini.

Jinsi ya kujua eneo la rhombus kwa kutumia diagonal zake

Katika ulimwengu wa kisasa, unaweza kupata karibu vifaa vyote vya kufanya mahesabu muhimu kwenye mtandao. Kwa hivyo, kuna rasilimali nyingi zilizo na programu za kuhesabu kiotomati eneo la takwimu fulani. Kwa kuongeza, ikiwa (kama ilivyo kwa rhombus) kuna formula kadhaa kwa hili, basi inawezekana kuchagua ambayo ni rahisi zaidi kutumia. Walakini, kwanza kabisa, unahitaji kuwa na uwezo wa kuhesabu eneo la rhombus mwenyewe bila msaada wa kompyuta na uendeshe fomula. Kuna wengi wao kwa rhombus, lakini maarufu zaidi kati yao ni nne.

Njia moja rahisi na ya kawaida ya kujua eneo la takwimu hii ni ikiwa una habari juu ya urefu wa diagonal zake. Ikiwa tatizo lina data hii, basi unaweza kutumia formula ifuatayo ili kupata eneo: S = KM x LN/2 (KM na LN ni diagonals ya rhombus KLMN).

Unaweza kuangalia uaminifu wa formula hii katika mazoezi. Hebu tuseme kwamba rhombus KLMN ina urefu wa moja ya diagonals KM - 10 cm, na LN ya pili - 8 cm Kisha tunabadilisha data hizi kwenye fomula hapo juu na kupata matokeo yafuatayo: S = 10 x 8/ 2 =. 40 cm 2.

Mfumo wa kuhesabu eneo la parallelogram

Kuna formula nyingine. Kama ilivyoelezwa hapo juu katika ufafanuzi wa rhombus, sio tu quadrilateral, lakini pia parallelogram, na ina sifa zote za takwimu hii. Katika kesi hii, ili kupata eneo lake, ni vyema kutumia formula inayotumiwa kwa parallelogram: S = KL x Z. Katika kesi hii, KL ni urefu wa upande wa parallelogram (rhombus), na Z ni urefu wa urefu unaotolewa kwa upande huu.

Katika matatizo fulani, urefu wa upande haujatolewa, lakini mzunguko wa rhombus unajulikana. Kwa kuwa formula ya kuipata ilionyeshwa hapo juu, unaweza kuitumia kujua urefu wa upande. Kwa hiyo, mzunguko wa takwimu ni 10 cm Urefu wa upande unaweza kupatikana kwa kugeuza formula ya mzunguko na kugawanya 10 kwa 4. Matokeo yake yatakuwa 2.5 cm - hii ni urefu uliotaka wa upande wa rhombus.

Sasa inafaa kujaribu kubadilisha nambari hii kwenye fomula, ukijua kuwa urefu wa urefu uliotolewa kwa upande pia ni sawa na 2.5 cm parallelogram. Inabadilika kuwa eneo la rhombus ni S = 2.5 x 2.5 = 6.25 cm 2.

Njia zingine za kuhesabu eneo la rhombus

Wale ambao tayari wamejua sines na cosines wanaweza kutumia fomula zilizomo kupata eneo la rhombus. Mfano wa kawaida ni fomula ifuatayo: S = KM 2 x Sin KLM. Katika kesi hii, eneo la takwimu ni sawa na bidhaa ya pande mbili za rhombus iliyozidishwa na sine ya pembe kati yao. Na kwa kuwa pande zote kwenye rhombus ni sawa, ni rahisi mara moja mraba upande mmoja, kama ilivyoonyeshwa kwenye formula.

Tunaangalia mpango huu kwa mazoezi, na sio tu kwa rhombus, lakini kwa mraba, ambayo, kama unavyojua, ina pembe zote za kulia, ambayo inamaanisha kuwa ni sawa na digrii tisini. Hebu sema moja ya pande ni 15 cm Pia inajulikana kuwa sine ya angle ya 90 ° ni sawa na moja. Kisha, kulingana na fomula, S = 15 x 15 x Sin 90 ° = 255x1 = 255 cm 2.

Mbali na hayo hapo juu, katika hali nyingine formula nyingine hutumiwa, kwa kutumia sine kuamua eneo la rhombus: S = 4 x R 2 / Sin KLM. Katika embodiment hii, radius ya mduara iliyoandikwa kwenye rhombus hutumiwa. Imeinuliwa kwa nguvu ya mraba na kuzidishwa na nne. Na matokeo yote yamegawanywa na sine ya pembe iliyo karibu na takwimu iliyoandikwa.

Kwa mfano, kwa unyenyekevu wa mahesabu, wacha tuchukue mraba tena (sine ya pembe yake itakuwa sawa na moja). Radi ya mduara iliyoandikwa ndani yake ni 4.4 cm Kisha eneo la rhombus litahesabiwa kama ifuatavyo: S = 4 x 4.4 2 / Sin 90 ° = 77.44 cm 2.

Njia za hapo juu za kupata radius ya rhombus ni mbali na zile pekee za aina yao, lakini ni rahisi kuelewa na kufanya mahesabu.

Rhombus ni nini? Rhombus ni parallelogram ambayo pande zote ni sawa.

RHOMBUS, takwimu kwenye ndege, pembe nne na pande sawa. Rhombus ni kesi maalum ya PARALLELOGRAM, ambayo pande mbili za karibu ni sawa, au diagonal huingiliana kwa pembe za kulia, au diagonal hupunguza pembe. Rhombus yenye pembe za kulia inaitwa mraba.

Njia ya kawaida ya eneo la rhombus ni kuhesabu thamani kupitia urefu. Eneo la rhombus ni sawa na bidhaa ya upande na urefu unaotolewa kwa upande huo.

1. Eneo la rhombus ni sawa na bidhaa ya upande na urefu unaotolewa kwa upande huu:

\[ S = a \cdot h \]

2. Ikiwa upande wa rhombus unajulikana (pande zote za rhombus ni sawa) na pembe kati ya pande, basi eneo linaweza kupatikana kwa kutumia formula ifuatayo:

\[ S = a^(2) \cdot dhambi(\alpha) \]

3. Eneo la rhombus pia ni sawa na nusu ya bidhaa ya diagonals, yaani:

\[ S = \dfrac(d_(1) \cdot d_(2) )(2) \]

4. Ikiwa radius r ya duara iliyoandikwa kwenye rhombus na upande wa rhombus a inajulikana, basi eneo lake linahesabiwa kwa formula:

\[ S = 2 \cdot a \cdot R \]

Tabia za rhombus

Katika takwimu hapo juu, \(ABCD\) ni rhombus, \(AC = DB = CD = AD\) . Kwa kuwa rhombus ni parallelogram, ina mali yote ya parallelogram, lakini pia kuna mali ya asili tu kwa rhombus.

Unaweza kuingiza mduara kwenye rhombus yoyote. Katikati ya duara iliyoandikwa kwenye rhombus ni sehemu ya makutano ya diagonals zake. Radi ya mduara sawa na nusu ya urefu wa rhombus:

\[ r = \frac( AH )(2) \]

Tabia za rhombus

Ulalo wa rhombus ni perpendicular;

Diagonals ya rhombus ni bisectors ya pembe zake.

Ishara za almasi

Sambamba ambayo diagonal huingiliana kwa pembe za kulia ni rhombus;

Paralelogramu ambayo diagonals ni sehemu mbili za pembe zake ni rhombus.

Javascript imezimwa kwenye kivinjari chako.
Ili kufanya hesabu, lazima uwashe vidhibiti vya ActiveX!

ni msambamba ambamo pande zote ni sawa, basi kanuni zote zile zile zinatumika kwake kama kwa parallelogramu, ikijumuisha fomula ya kutafuta eneo kupitia bidhaa ya urefu na pande.

Eneo la rhombus linaweza kupatikana kwa kujua pia diagonal zake. Ulalo hugawanya rhombus katika pembetatu nne zinazofanana kabisa za kulia. Ikiwa tutazipanga ili kupata mstatili, basi urefu na upana wake utakuwa sawa na diagonal moja nzima na nusu ya diagonal ya pili. Kwa hiyo, eneo la rhombus hupatikana kwa kuzidisha diagonals ya rhombus, iliyopunguzwa na mbili (kama eneo la mstatili unaosababisha).

Ikiwa una pembe tu na upande ulio nao, basi unaweza kutumia diagonal kama msaidizi na kuchora kinyume na pembe inayojulikana. Kisha itagawanya rhombus katika pembetatu mbili zinazofanana, maeneo ambayo yataongeza ili kutupa eneo la rhombus. Eneo la kila pembetatu litakuwa sawa na nusu ya bidhaa ya mraba wa upande na sine ya pembe inayojulikana, kama eneo la pembetatu ya isosceles. Kwa kuwa kuna pembetatu kama hizo, coefficients hupunguzwa, na kuacha upande tu kwa nguvu ya pili na sine:

Ikiwa utaandika mduara ndani ya rhombus, basi radius yake itahusiana na upande kwa pembe ya 90 °, ambayo ina maana kwamba mara mbili radius itakuwa sawa na urefu wa rhombus. Kubadilisha badala ya urefu h=2r kwenye fomula iliyotangulia, tunapata eneo S=ha=2ra

Ikiwa, pamoja na radius ya mduara ulioandikwa, sio upande, lakini pembe hutolewa, basi lazima kwanza upate upande kwa kuchora urefu kwa njia ya kupata pembetatu sahihi na angle iliyotolewa. Kisha upande a unaweza kupatikana kutoka kwa uhusiano wa trigonometric kwa kutumia fomula . Kubadilisha usemi huu katika fomula sawa ya eneo la rhombus, tunapata

Rhombus (kutoka kwa Kigiriki cha kale ῥόμβος na kutoka kwa Kilatini rombus "tambourine") ni parallelogram, ambayo ina sifa ya kuwepo kwa pande za urefu sawa. Wakati pembe ni digrii 90 (au pembe ya kulia), takwimu hiyo ya kijiometri inaitwa mraba. Rhombus ni takwimu ya kijiometri, aina ya quadrilateral. Inaweza kuwa mraba na parallelogram.

Asili ya neno hili

Hebu tuzungumze kidogo juu ya historia ya takwimu hii, ambayo itatusaidia kufunua kidogo ya siri za siri za ulimwengu wa kale. Neno tulilozoea, ambalo mara nyingi hupatikana katika fasihi za shule, “rhombus,” linatokana na neno la Kigiriki la kale “tambourini.” Katika Ugiriki ya Kale, vyombo hivi vya muziki vilitolewa kwa sura ya almasi au mraba (kinyume na vifaa vya kisasa). Hakika umeona kwamba suti ya kadi - almasi - ina sura ya rhombic. Uundaji wa suti hii unarudi nyakati ambazo almasi za pande zote hazikutumiwa katika maisha ya kila siku. Kwa hivyo, rhombus ndiye takwimu ya zamani zaidi ya kihistoria ambayo iligunduliwa na wanadamu muda mrefu kabla ya ujio wa gurudumu.

Kwa mara ya kwanza, neno kama "rhombus" lilitumiwa na watu maarufu kama Heron na Papa wa Alexandria.

Tabia za rhombus

1. Kwa kuwa pande za rombus ziko kinyume na ziko sambamba katika jozi, basi rhombus bila shaka ni parallelogram (AB || CD, AD || BC).
2. Vilalo vya umbo la pembeni hukatiza kwa pembe za kulia (AC ⊥ BD), na kwa hivyo ni za pembeni. Kwa hiyo, makutano hupunguza diagonals.
3. Vipande viwili vya pembe za rhombic ni diagonals ya rhombus (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, nk).
4. Kutoka kwa utambulisho wa parallelograms inafuata kwamba jumla ya miraba yote ya diagonal ya rhombus ni nambari ya mraba ya upande, ambayo inazidishwa na 4.

Ishara za almasi

Rhombus ni parallelogram wakati inakidhi masharti yafuatayo:

1. Pande zote za parallelogram ni sawa.
2. Ulalo wa rhombus huingiliana na pembe ya kulia, yaani, ni perpendicular kwa kila mmoja (AC⊥BD). Hii inathibitisha utawala wa pande tatu (pande ni sawa na kwa pembe ya digrii 90).
3. Ulalo wa parallelogram hugawanya pembe kwa usawa kwa sababu pande ni sawa.

Eneo la rhombus

1. Eneo la rhombus ni sawa na nambari ambayo ni nusu ya bidhaa ya diagonal zake zote.
2. Kwa kuwa rhombus ni aina ya parallelogram, eneo la rhombus (S) ni bidhaa ya upande wa parallelogram na urefu wake (h).
3. Kwa kuongezea, eneo la rhombus linaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula, ambayo ni bidhaa ya upande wa mraba wa rhombus na sine ya pembe. Sine ya pembe ni alpha - pembe iko kati ya pande za rhombus ya awali.
4. Fomula ambayo ni bidhaa ya alfa ya pembe mara mbili na radius ya duara iliyoandikwa (r) inachukuliwa kuwa inakubalika kabisa kwa suluhisho sahihi.