Kwa nini mali muhimu zaidi ya shughuli za trigonometric zinatimizwa. Trigonometry kufanywa rahisi na wazi

Sine, cosine, tangent - wakati wa kutamka maneno haya mbele ya wanafunzi wa shule ya upili, unaweza kuwa na uhakika kwamba theluthi mbili yao itapoteza hamu ya mazungumzo zaidi. Sababu iko katika ukweli kwamba misingi ya trigonometry shuleni hufundishwa kwa kutengwa kabisa na ukweli, na kwa hiyo wanafunzi hawaoni maana ya kusoma kanuni na nadharia.

Kwa kweli, juu ya uchunguzi wa karibu, eneo hili la ujuzi linageuka kuwa la kuvutia sana, na pia linatumika - trigonometry hutumiwa katika unajimu, ujenzi, fizikia, muziki na nyanja zingine nyingi.

Wacha tufahamiane na dhana za kimsingi na tutaje sababu kadhaa za kusoma tawi hili la sayansi ya hisabati.

Hadithi

Haijulikani ni wakati gani kwa wakati ubinadamu ulianza kuunda trigonometry ya baadaye kutoka mwanzo. Hata hivyo, imeandikwa kwamba tayari katika milenia ya pili KK, Wamisri walikuwa wanafahamu misingi ya sayansi hii: archaeologists walipata papyrus na kazi ambayo ilitakiwa kupata angle ya mwelekeo wa piramidi kwa pande mbili zinazojulikana.

Wanasayansi wa Babeli ya Kale walipata mafanikio makubwa zaidi. Kwa karne nyingi, wakisoma unajimu, walijua nadharia kadhaa, walianzisha njia maalum za kupima pembe, ambazo, kwa njia, tunatumia leo: digrii, dakika na sekunde zilikopwa na sayansi ya Uropa katika tamaduni ya Greco-Kirumi, ambayo vitengo hivi vilitoka kwa Wababeli.

Inachukuliwa kuwa nadharia maarufu ya Pythagorean, inayohusiana na misingi ya trigonometry, ilijulikana kwa Wababiloni karibu miaka elfu nne iliyopita.

Jina

Kwa kweli, neno "trigonometry" linaweza kutafsiriwa kama "kipimo cha pembetatu." Jambo kuu la kusoma ndani ya sehemu hii ya sayansi kwa karne nyingi lilikuwa pembetatu sahihi, au kwa usahihi zaidi, uhusiano kati ya ukubwa wa pembe na urefu wa pande zake (leo, utafiti wa trigonometry kutoka mwanzo huanza na sehemu hii) . Mara nyingi kuna hali katika maisha wakati haiwezekani kupima vigezo vyote vinavyohitajika vya kitu (au umbali wa kitu), na kisha inakuwa muhimu kupata data inayokosekana kwa njia ya mahesabu.

Kwa mfano, katika siku za nyuma, watu hawakuweza kupima umbali wa vitu vya nafasi, lakini majaribio ya kuhesabu umbali huu yalitokea muda mrefu kabla ya ujio wa zama zetu. Trigonometry pia ilicheza jukumu muhimu katika urambazaji: kwa ujuzi fulani, nahodha angeweza kuzunguka nyota wakati wote usiku na kurekebisha mwendo.

Dhana za Msingi

Kujua trigonometria kutoka mwanzo kunahitaji kuelewa na kukumbuka maneno kadhaa ya msingi.

Sine ya pembe fulani ni uwiano wa upande kinyume na hypotenuse. Hebu tufafanue kwamba mguu wa kinyume ni upande ulio kinyume na angle tunayozingatia. Kwa hivyo, ikiwa pembe ni digrii 30, sine ya pembe hii daima, kwa saizi yoyote ya pembetatu, itakuwa sawa na ½. Cosine ya pembe ni uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse.

Tangenti ni uwiano wa upande kinyume na upande wa karibu (au, ambayo ni sawa, uwiano wa sine kwa cosine). Cotangent ni kitengo kilichogawanywa na tanjiti.

Inastahili kutaja nambari maarufu ya Pi (3.14 ...), ambayo ni nusu ya urefu wa mduara na radius ya kitengo kimoja.

Makosa maarufu

Watu wanaojifunza trigonometria kutoka mwanzo hufanya makosa kadhaa - hasa kutokana na kutokuwa makini.

Kwanza, wakati wa kutatua matatizo ya jiometri, lazima ukumbuke kwamba matumizi ya sines na cosines inawezekana tu katika pembetatu sahihi. Inatokea kwamba mwanafunzi "moja kwa moja" huchukua upande mrefu zaidi wa pembetatu kama hypotenuse na anapata matokeo yasiyo sahihi ya hesabu.

Pili, mwanzoni ni rahisi kuchanganya maadili ya sine na cosine kwa pembe iliyochaguliwa: kumbuka kwamba sine ya digrii 30 ni nambari sawa na cosine ya 60, na kinyume chake. Ukibadilisha nambari isiyo sahihi, mahesabu yote zaidi yatakuwa sahihi.

Tatu, hadi shida itakapotatuliwa kabisa, haupaswi kuzunguka maadili yoyote, kutoa mizizi, au kuandika sehemu ya kawaida kama desimali. Mara nyingi wanafunzi hujitahidi kupata nambari "nzuri" katika tatizo la trigonometria na mara moja kutoa mzizi wa tatu, ingawa baada ya hatua moja mzizi huu unaweza kupunguzwa.

Etymology ya neno "sine"

Historia ya neno "sine" si ya kawaida kabisa. Ukweli ni kwamba tafsiri halisi ya neno hili kutoka Kilatini humaanisha “shimo.” Hii ni kwa sababu ufahamu sahihi wa neno ulipotea wakati wa kutafsiri kutoka lugha moja hadi nyingine.

Majina ya kazi za msingi za trigonometric hutoka India, ambapo wazo la sine lilionyeshwa na neno "kamba" katika Sanskrit - ukweli ni kwamba sehemu hiyo, pamoja na safu ya duara ambayo iliegemea, ilionekana kama upinde. . Wakati wa enzi ya ustaarabu wa Waarabu, mafanikio ya Wahindi katika uwanja wa trigonometry yalikopwa, na neno hilo likapitishwa katika Kiarabu kama nakala. Ilifanyika kwamba lugha hii tayari ilikuwa na neno kama hilo linaloashiria unyogovu, na ikiwa Waarabu walielewa tofauti ya kifonetiki kati ya neno la asili na lililokopwa, basi Wazungu, wakitafsiri maandishi ya kisayansi kwa Kilatini, walitafsiri kimakosa neno la Kiarabu, ambalo halikuwa na chochote. kuhusiana na dhana ya sine . Bado tunaitumia hadi leo.

Jedwali la maadili

Kuna majedwali ambayo yana maadili ya nambari kwa sines, cosines na tangents ya pembe zote zinazowezekana. Hapo chini tunawasilisha data ya pembe za digrii 0, 30, 45, 60 na 90, ambayo lazima ijifunze kama sehemu ya lazima ya trigonometry kwa "dummies" kwa bahati nzuri, ni rahisi kukumbuka.

Ikiwa itatokea kwamba thamani ya nambari ya sine au cosine ya pembe "imetoka kwenye kichwa chako," kuna njia ya kuipata mwenyewe.

Uwakilishi wa kijiometri

Wacha tuchore mduara na kuchora abscissa na shoka za kuratibu kupitia kituo chake. Mhimili wa abscissa ni usawa, mhimili wa kuratibu ni wima. Kawaida hutiwa saini kama "X" na "Y" mtawalia. Sasa tutatoa mstari wa moja kwa moja kutoka katikati ya mduara ili pembe tunayohitaji inapatikana kati yake na mhimili wa X. Hatimaye, kutoka mahali ambapo mstari wa moja kwa moja unaingilia mduara, tunaacha perpendicular kwa mhimili wa X Urefu wa sehemu inayosababisha itakuwa sawa na thamani ya nambari ya sine ya angle yetu.

Njia hii inafaa sana ikiwa umesahau thamani inayohitajika, kwa mfano, wakati wa mtihani, na huna kitabu cha maandishi cha trigonometry karibu. Hutapata nambari kamili kwa njia hii, lakini bila shaka utaona tofauti kati ya ½ na 1.73/2 (sine na cosine ya pembe ya digrii 30).

Maombi

Baadhi ya wataalamu wa kwanza kutumia trigonometry walikuwa mabaharia ambao hawakuwa na sehemu nyingine ya kurejelea juu ya bahari kuu isipokuwa anga juu ya vichwa vyao. Leo, manahodha wa meli (ndege na njia zingine za usafiri) hawatafuti njia fupi zaidi kwa kutumia nyota, lakini wanaamua kikamilifu urambazaji wa GPS, ambayo haiwezekani bila kutumia trigonometry.

Karibu katika kila sehemu ya fizikia utapata mahesabu kwa kutumia sines na cosines: iwe ni matumizi ya nguvu katika mechanics, mahesabu ya njia ya vitu katika kinematics, vibrations, uenezi wa wimbi, refraction ya mwanga - huwezi kufanya bila trigonometry ya msingi. fomula.

Taaluma nyingine ambayo haifikiriki bila trigonometry ni upimaji ardhi. Kutumia theodolite na kiwango au kifaa ngumu zaidi - tachometer, watu hawa hupima tofauti ya urefu kati ya pointi tofauti kwenye uso wa dunia.

Kuweza kurudiwa

Trigonometry haishughulikii tu pembe na pande za pembetatu, ingawa hapa ndipo ilipoanzia uwepo wake. Katika maeneo yote ambapo mzunguko upo (baiolojia, dawa, fizikia, muziki, n.k.) utakutana na grafu ambayo labda unaifahamu jina lake - ni wimbi la sine.

Grafu kama hiyo ni duara iliyofunuliwa kando ya mhimili wa wakati na inaonekana kama wimbi. Ikiwa umewahi kufanya kazi na oscilloscope katika darasa la fizikia, unajua tunazungumza nini. Kisawazisha muziki na kifuatilia mapigo ya moyo hutumia fomula za trigonometria katika kazi zao.

Hatimaye

Wakati wa kufikiria jinsi ya kujifunza trigonometry, wanafunzi wengi wa shule ya kati na ya upili huanza kuiona kama sayansi ngumu na isiyowezekana, kwani wanafahamiana tu na habari ya kuchosha kutoka kwa kitabu cha kiada.

Kuhusu kutowezekana, tayari tumeona kwamba, kwa kiwango kimoja au kingine, uwezo wa kushughulikia sines na tangents inahitajika katika karibu uwanja wowote wa shughuli. Kuhusu utata... Fikiria: ikiwa watu walitumia ujuzi huu zaidi ya miaka elfu mbili iliyopita, wakati mtu mzima alikuwa na ujuzi mdogo kuliko mwanafunzi wa leo wa shule ya upili, je, ni jambo la kweli kwako binafsi kusoma fani hii ya sayansi katika kiwango cha msingi? Saa chache za kusuluhisha shida za mazoezi ya kufikiria - na utafikia lengo lako kwa kusoma kozi ya msingi, kinachojulikana kama trigonometry kwa dummies.

Wakati wa kufanya ubadilishaji wa trigonometric, fuata vidokezo hivi:

Usijaribu mara moja kuja na suluhisho kwa mfano kutoka mwanzo hadi mwisho.
Usijaribu kubadilisha mfano mzima mara moja. Chukua hatua ndogo mbele.
Kumbuka kwamba pamoja na fomula za trigonometric katika trigonometria, bado unaweza kutumia mabadiliko yote ya algebraic (kuweka mabano, sehemu za kufupisha, fomula za kuzidisha zilizofupishwa, na kadhalika).
Amini kwamba kila kitu kitakuwa sawa.

Njia za msingi za trigonometric

Fomula nyingi katika trigonometria mara nyingi hutumiwa kutoka kulia kwenda kushoto na kutoka kushoto kwenda kulia, kwa hivyo unahitaji kujifunza fomula hizi vizuri ili uweze kutumia fomula katika pande zote mbili kwa urahisi. Hebu kwanza tuandike ufafanuzi wa kazi za trigonometric. Wacha kuwe na pembetatu ya kulia:

Kisha, ufafanuzi wa sine:

Ufafanuzi wa cosine:

Ufafanuzi wa tangent:

Ufafanuzi wa cotangent:

Utambulisho wa msingi wa trigonometric:

Viambatanisho rahisi zaidi kutoka kwa utambulisho wa msingi wa trigonometric:

Fomula za pembe mbili. Sine ya pembe mbili:

Cosine ya pembe mbili:

Tangenti ya pembe mbili:

Cotangent ya pembe mbili:

Fomula za trigonometric za ziada

Njia za kuongeza trigonometric. Sine ya jumla:

Sine ya tofauti:

Cosine ya jumla:

Cosine ya tofauti:

Tangi ya jumla:

Tangi ya tofauti:

Cotangent ya kiasi:

Cotangent ya tofauti:

Fomula tatu za kubadilisha jumla kuwa bidhaa. Jumla ya sines:

Tofauti ya Sine:

Jumla ya cosines:

Tofauti ya cosine:

Jumla ya tangents:

Tofauti ya tangent:

Jumla ya cotangents:

Tofauti ya Cotangent:

Fomula tatu za kubadilisha bidhaa kuwa jumla. Bidhaa za sines:

Bidhaa ya sine na cosine:

Bidhaa za cosine:

Fomula za kupunguza shahada.

Fomula za pembe nusu.

Njia za kupunguza trigonometric

Kazi ya cosine inaitwa mshikamano kazi za sine na kinyume chake. Vile vile, kazi za tanjiti na kotanji ni viunganishi. Njia za kupunguza zinaweza kutengenezwa kama kanuni ifuatayo:

Ikiwa katika formula ya kupunguza angle imetolewa (imeongezwa) kutoka digrii 90 au digrii 270, basi kazi iliyopunguzwa inabadilika kwa ushirikiano;
Ikiwa katika formula ya kupunguza angle imetolewa (imeongezwa) kutoka digrii 180 au digrii 360, basi jina la kazi iliyopunguzwa huhifadhiwa;
Katika kesi hii, ishara kwamba kazi iliyopunguzwa (yaani, ya awali) ina katika quadrant sambamba imewekwa mbele ya kazi iliyopunguzwa, ikiwa tunazingatia angle iliyopunguzwa (iliyoongezwa) kuwa papo hapo.

Fomula za kupunguza hutolewa kwa fomu ya meza:

Na mzunguko wa trigonometric rahisi kuamua maadili ya tabular ya kazi za trigonometric:

Milinganyo ya Trigonometric

Ili kutatua equation fulani ya trigonometric, ni lazima ipunguzwe kwa mojawapo ya equations rahisi zaidi ya trigonometric, ambayo itajadiliwa hapa chini. Kwa hii; kwa hili:

Unaweza kutumia fomula za trigonometric zilizotolewa hapo juu. Wakati huo huo, huna haja ya kujaribu kubadilisha mfano mzima mara moja, lakini unahitaji kusonga mbele kwa hatua ndogo.
Hatupaswi kusahau juu ya uwezekano wa kubadilisha usemi fulani kwa kutumia njia za algebra, i.e. kwa mfano, chukua kitu nje ya mabano au, kinyume chake, fungua mabano, punguza sehemu, tumia fomula iliyofupishwa ya kuzidisha, kuleta sehemu kwa dhehebu la kawaida, na kadhalika.
Wakati wa kutatua equations trigonometric, unaweza kutumia mbinu ya kupanga vikundi. Ni lazima ikumbukwe kwamba ili bidhaa ya mambo kadhaa iwe sawa na sifuri, inatosha kwamba yoyote kati yao ni sawa na sifuri, na. mengine yalikuwepo.
Inatuma njia ya uingizwaji tofauti, kama kawaida, mlinganyo baada ya kuanzisha uingizwaji unapaswa kuwa rahisi na usiwe na utofauti wa asili. Pia unahitaji kukumbuka kufanya uingizwaji wa kinyume.
Kumbuka kwamba equations homogeneous mara nyingi huonekana katika trigonometry.
Wakati wa kufungua moduli au kutatua hesabu zisizo na maana na kazi za trigonometric, unahitaji kukumbuka na kuzingatia hila zote za kutatua hesabu zinazolingana na kazi za kawaida.
Kumbuka kuhusu ODZ (katika equations trigonometric, vikwazo juu ya ODZ hasa kuja chini kwa ukweli kwamba huwezi kugawanya kwa sifuri, lakini usisahau kuhusu vikwazo vingine, hasa kuhusu chanya ya maneno katika nguvu za busara na chini ya mizizi ya hata nguvu). Pia kumbuka kuwa maadili ya sine na cosine yanaweza tu kuwa katika safu kutoka minus moja hadi jumlisha moja, zikijumuishwa.

Jambo kuu ni, ikiwa hujui nini cha kufanya, fanya angalau kitu, na jambo kuu ni kutumia formula za trigonometric kwa usahihi. Ikiwa kile unachopata kinakuwa bora na bora, basi endelea suluhisho, na ikiwa inazidi kuwa mbaya, basi rudi mwanzo na ujaribu kutumia fomula zingine, fanya hivi hadi upate suluhisho sahihi.

Fomula za suluhu za milinganyo rahisi zaidi ya trigonometriki. Kwa sine kuna aina mbili sawa za kuandika suluhisho:

Kwa vipengele vingine vya trigonometric, nukuu haina utata. Kwa cosine:

Kwa tangent:

Kwa Cotangent:

Kutatua hesabu za trigonometric katika visa vingine maalum:

Jifunze kanuni na sheria zote katika fizikia, na kanuni na mbinu katika hisabati. Kwa kweli, hii pia ni rahisi sana kufanya; kuna tu kuhusu 200 formula muhimu katika fizikia, na hata kidogo kidogo katika hisabati. Katika kila moja ya masomo haya kuna njia kadhaa za kawaida za kutatua shida za kiwango cha msingi cha ugumu, ambacho kinaweza pia kujifunza, na kwa hivyo, kiotomatiki kabisa na bila ugumu wa kutatua CT nyingi kwa wakati unaofaa. Baada ya hayo, utalazimika kufikiria tu juu ya kazi ngumu zaidi.

Hudhuria hatua zote tatu za majaribio ya majaribio katika fizikia na hisabati. Kila RT inaweza kutembelewa mara mbili ili kuamua juu ya chaguo zote mbili. Tena, kwenye CT, pamoja na uwezo wa kutatua matatizo kwa haraka na kwa ufanisi, na ujuzi wa fomula na mbinu, lazima pia uweze kupanga vizuri wakati, kusambaza nguvu, na muhimu zaidi, kwa usahihi kujaza fomu ya jibu, bila. kuchanganya idadi ya majibu na matatizo, au jina lako la mwisho. Pia, wakati wa RT, ni muhimu kuzoea mtindo wa kuuliza maswali katika matatizo, ambayo inaweza kuonekana kuwa ya kawaida sana kwa mtu asiyejitayarisha katika DT.

Utekelezaji wa mafanikio, bidii na uwajibikaji wa vidokezo hivi vitatu itakuruhusu kuonyesha matokeo bora kwenye CT, kiwango cha juu cha kile unachoweza.

Umepata kosa?

Ikiwa unafikiri umepata hitilafu katika vifaa vya mafunzo, tafadhali andika kuhusu hilo kwa barua pepe. Unaweza pia kuripoti hitilafu kwenye mtandao wa kijamii (). Katika barua, onyesha somo (fizikia au hisabati), jina au nambari ya mada au mtihani, idadi ya tatizo, au mahali katika maandishi (ukurasa) ambapo, kwa maoni yako, kuna makosa. Pia eleza kosa linaloshukiwa ni nini. Barua yako haitapuuzwa, kosa litarekebishwa, au utaelezewa kwa nini sio kosa.

Huko nyuma mnamo 1905, wasomaji wa Kirusi wangeweza kusoma katika kitabu cha William James "Saikolojia" hoja yake kuhusu "kwa nini kujifunza kwa kukariri ni njia mbaya ya kujifunza?"

“Maarifa yanayopatikana kupitia kujifunza kwa kukariri yanakaribia kusahaulika kabisa bila kuwa na alama yoyote. Kinyume chake, nyenzo za kiakili, zinazopatikana kwa kumbukumbu polepole, siku baada ya siku, kuhusiana na muktadha tofauti, unaohusishwa na matukio mengine ya nje na kujadiliwa mara kwa mara, huunda mfumo kama huo, huingia katika uhusiano kama huo na mambo mengine ya maisha yetu. akili, hurejeshwa kwa urahisi katika kumbukumbu na wingi wa matukio ya nje, ambayo yanabaki kuwa upatikanaji wa kudumu kwa muda mrefu.

Zaidi ya miaka 100 imepita tangu wakati huo, na maneno haya yanabaki kuwa mada ya kushangaza. Unasadikishwa na hili kila siku unapofanya kazi na watoto wa shule. Mapungufu makubwa katika maarifa ni makubwa sana hivi kwamba yanaweza kubishaniwa: kozi ya hisabati ya shule katika maneno ya didactic na kisaikolojia sio mfumo, lakini ni aina ya kifaa kinachohimiza kumbukumbu ya muda mfupi na haijali kabisa kumbukumbu ya muda mrefu. .

Kujua kozi ya hisabati ya shule inamaanisha kujua nyenzo za kila eneo la hisabati na kuweza kusasisha yoyote kati yao wakati wowote. Ili kufikia hili, unahitaji kuwasiliana kwa utaratibu kila mmoja wao, ambayo wakati mwingine haiwezekani kila mara kutokana na mzigo mkubwa wa kazi katika somo.

Kuna njia nyingine ya kukariri kwa muda mrefu ukweli na kanuni - hizi ni ishara za kumbukumbu.

Trigonometry ni mojawapo ya sehemu kubwa za hisabati ya shule, iliyosomwa katika mwendo wa jiometri katika darasa la 8 na 9 na katika mwendo wa aljebra katika daraja la 9, algebra na uchambuzi wa msingi katika daraja la 10.

Kiasi kikubwa cha nyenzo zilizosomwa katika trigonometry huanguka kwenye daraja la 10. Nyenzo nyingi za trigonometria hii zinaweza kujifunza na kukaririwa mzunguko wa trigonometric(mduara wa radius ya kitengo na kituo chake katika asili ya mfumo wa kuratibu wa mstatili). Kiambatisho1.ppt

Hizi ni dhana zifuatazo za trigonometry:

ufafanuzi wa sine, kosine, tangent na cotangent ya pembe;
kipimo cha angle ya radian;
kikoa cha ufafanuzi na anuwai ya maadili ya kazi za trigonometric
maadili ya kazi za trigonometric kwa maadili fulani ya hoja ya nambari na angular;
periodicity ya kazi za trigonometric;
usawa na isiyo ya kawaida ya kazi za trigonometric;
kuongeza na kupunguza kazi za trigonometric;
fomula za kupunguza;
maadili ya kazi za trigonometric inverse;
kutatua equations rahisi za trigonometric;
kutatua usawa rahisi;
kanuni za msingi za trigonometry.

Wacha tuzingatie kusoma dhana hizi kwenye duara ya trigonometric.

1) Ufafanuzi wa sine, cosine, tangent na cotangent.

Baada ya kuanzisha dhana ya mduara wa trigonometric (mduara wa radius ya kitengo na kituo kwenye asili), radius ya awali (radius ya duara katika mwelekeo wa mhimili wa Ox), na pembe ya mzunguko, wanafunzi hupata ufafanuzi kwa uhuru. kwa sine, kosine, tanjiti na kotanji kwenye mduara wa trigonometriki, kwa kutumia ufafanuzi kutoka kwa jiometri ya kozi, yaani, kuzingatia pembetatu ya kulia yenye hypotenuse sawa na 1.

Cosine ya pembe ni abscissa ya uhakika kwenye mduara wakati radius ya awali inazungushwa na pembe fulani.

Sini ya pembe ni mratibu wa nukta kwenye duara wakati radius ya awali inazungushwa kwa pembe fulani.

2) Kipimo cha radian cha pembe kwenye mduara wa trigonometric.

Baada ya kutambulisha kipimo cha radian cha pembe (radian 1 ni pembe ya kati, ambayo inalingana na urefu wa arc sawa na urefu wa radius ya duara), wanafunzi wanahitimisha kuwa kipimo cha radian cha pembe ni thamani ya nambari ya angle ya mzunguko kwenye mduara, sawa na urefu wa arc sambamba wakati radius ya awali inapozungushwa na angle iliyotolewa. .

Mduara wa trigonometric umegawanywa katika sehemu 12 sawa na kipenyo cha mduara. Kwa kujua kwamba pembe iko katika radiani, unaweza kubainisha kipimo cha radian kwa pembe ambazo ni zidishi za .

Na vipimo vya radian vya pembe, vingi, vinapatikana vile vile:

3) Kikoa cha ufafanuzi na anuwai ya maadili ya kazi za trigonometric.

Mawasiliano kati ya pembe za kuzunguka na kuratibu maadili ya nukta kwenye duara itakuwa kazi?

Kila pembe ya mzunguko inalingana na nukta moja kwenye duara, ambayo inamaanisha kuwa mawasiliano haya ni kazi.

Kupata vipengele

Kwenye mduara wa trigonometric unaweza kuona kwamba kikoa cha ufafanuzi wa kazi ni seti ya nambari zote halisi, na anuwai ya maadili ni .

Wacha tuanzishe dhana za mistari ya tangents na cotangents kwenye mduara wa trigonometric.

1) Wacha Hebu tuanzishe mstari wa moja kwa moja msaidizi sambamba na mhimili wa Oy, ambao tanjiti hubainishwa kwa hoja yoyote ya nambari.

2) Vile vile, tunapata mstari wa cotangents. Acha y=1, basi. Hii inamaanisha kuwa maadili ya kotanji huamuliwa kwa mstari ulionyooka sambamba na mhimili wa Ox.

Kwenye mduara wa trigonometric unaweza kuamua kwa urahisi kikoa cha ufafanuzi na anuwai ya maadili ya kazi za trigonometric:

kwa tangent -

kwa cotangent -

4) Maadili ya kazi za trigonometric kwenye mduara wa trigonometric.

Mguu ulio kinyume na pembe ndani ni sawa na nusu ya hypotenuse, ambayo ni, mguu mwingine kulingana na theorem ya Pythagorean:

Hii ina maana kwamba kwa kufafanua sine, cosine, tangent, cotangent, unaweza kuamua thamani za pembe ambazo ni nyingi au radians. Thamani za sine huamuliwa pamoja na mhimili wa Oy, cosine kando ya mhimili wa Ox, na maadili ya tangent na cotangent yanaweza kuamuliwa kwa kutumia shoka za ziada zinazofanana na shoka za Oy na Ox, mtawaliwa.

Thamani zilizoorodheshwa za sine na cosine ziko kwenye shoka zinazolingana kama ifuatavyo:

Jedwali la maadili ya tangent na cotangent -

5) Muda wa kazi za trigonometric.

Kwenye mduara wa trigonometric unaweza kuona kwamba maadili ya sine na cosine yanarudiwa kila radian, na tangent na cotangent - kila radian.

6) Usawa na usio wa kawaida wa kazi za trigonometric.

Mali hii inaweza kupatikana kwa kulinganisha maadili ya pembe chanya na kinyume cha mzunguko wa kazi za trigonometric. Tunapata hilo

Hii ina maana kwamba cosine ni kazi sawa, utendaji mwingine wote ni isiyo ya kawaida.

7) Kuongeza na kupunguza kazi za trigonometric.

Mduara wa trigonometric unaonyesha kuwa utendaji wa sine huongezeka na hupungua

Kwa kuzingatia vile vile, tunapata vipindi vya kuongezeka na kupungua kwa kazi za kosine, tanjiti na kotangenti.

8) Fomula za kupunguza.

Kwa pembe tunachukua thamani ndogo ya pembe kwenye mzunguko wa trigonometric. Fomula zote hupatikana kwa kulinganisha maadili ya kazi za trigonometric kwenye miguu ya pembetatu zilizochaguliwa za kulia.

Algorithm ya kutumia fomula za kupunguza:

1) Amua ishara ya kazi wakati unazunguka kupitia pembe fulani.

Wakati wa kugeuza kona kazi imehifadhiwa, inapozungushwa na pembe - nambari kamili, nambari isiyo ya kawaida, kiunganishi (

9) Maadili ya kazi tofauti za trigonometric.

Hebu tuanzishe vitendakazi kinyume kwa chaguo za kukokotoa za trigonometric kwa kutumia ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa.

Kila thamani ya sine, kosine, tanjiti na kotanji kwenye duara la trigonometriki inalingana na thamani moja tu ya pembe ya mzunguko. Hii ina maana kwamba kwa chaguo za kukokotoa kikoa cha ufafanuzi ni , anuwai ya thamani - Kwa chaguo za kukokotoa kikoa cha ufafanuzi ni , anuwai ya thamani ni . Vile vile, tunapata kikoa cha ufafanuzi na anuwai ya maadili ya kazi tofauti za cosine na cotangent.

Algorithm ya kupata maadili ya kazi tofauti za trigonometric:

1) kutafuta thamani ya hoja ya kazi ya trigonometric inverse kwenye mhimili unaolingana;

2) kupata pembe ya kuzunguka kwa radius ya awali, kwa kuzingatia anuwai ya maadili ya kazi ya trigonometric ya kinyume.

Kwa mfano:

10) Kutatua milinganyo rahisi kwenye mduara wa trigonometric.

Ili kutatua equation ya fomu , tunapata pointi kwenye mduara ambao uratibu wake ni sawa na kuandika pembe zinazofanana, kwa kuzingatia kipindi cha kazi.

Kwa equation, tunapata pointi kwenye mduara ambao abscissas ni sawa na kuandika pembe zinazofanana, kwa kuzingatia kipindi cha kazi.

Vivyo hivyo kwa milinganyo ya fomu Thamani imedhamiriwa kwenye mistari ya tangents na cotangents na pembe zinazolingana za mzunguko hurekodiwa.

Dhana zote na fomula za trigonometria hujifunza na wanafunzi wenyewe chini ya mwongozo wazi wa mwalimu kwa kutumia mduara wa trigonometric. Katika siku zijazo, "mduara" huu utatumika kama ishara ya kumbukumbu au sababu ya nje kwao kuzaliana katika kumbukumbu dhana na fomula za trigonometria.

Kusoma trigonometry kwenye mduara wa trigonometric husaidia:

kuchagua mtindo bora wa mawasiliano kwa somo fulani, kuandaa ushirikiano wa kielimu;
malengo ya somo yanakuwa muhimu kibinafsi kwa kila mwanafunzi;
nyenzo mpya inategemea uzoefu wa kibinafsi wa mwanafunzi wa hatua, kufikiri, na hisia;
somo linajumuisha aina mbalimbali za kazi na njia za kupata na kunyanyua maarifa; kuna mambo ya kuheshimiana na kujifunza binafsi; kujidhibiti na kuheshimiana;
kuna majibu ya haraka kwa kutokuelewana na makosa (majadiliano ya pamoja, vidokezo vya usaidizi, mashauriano ya pande zote).

Katika somo hili tutazungumzia jinsi hitaji la kuanzisha kazi za trigonometric hutokea na kwa nini zinasomwa, unahitaji kuelewa nini katika mada hii, na wapi unahitaji tu kupata bora zaidi (mbinu ni nini). Kumbuka kuwa mbinu na ufahamu ni vitu viwili tofauti. Kukubaliana, kuna tofauti: kujifunza kuendesha baiskeli, yaani, kuelewa jinsi ya kufanya hivyo, au kuwa mtaalamu wa baiskeli. Tutazungumza haswa juu ya kuelewa, kwa nini kazi za trigonometric zinahitajika.

Kuna kazi nne za trigonometric, lakini zote zinaweza kuonyeshwa kulingana na moja kwa kutumia vitambulisho (sawa zinazohusiana nazo).

Ufafanuzi rasmi wa kazi za trigonometric kwa pembe za papo hapo katika pembetatu za kulia (Mchoro 1).

Sinus Pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia ni uwiano wa upande wa kinyume na hypotenuse.

Cosine Pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia ni uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse.

Tangenti Pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia ni uwiano wa upande wa kinyume na upande wa karibu.

Cotangent Pembe ya papo hapo ya pembetatu ya kulia ni uwiano wa upande wa karibu na upande wa pili.

Mchele. 1. Uamuzi wa kazi za trigonometric ya angle ya papo hapo ya pembetatu ya kulia

Ufafanuzi huu ni rasmi. Ni sahihi zaidi kusema kwamba kuna kazi moja tu, kwa mfano, sine. Ikiwa hazikuhitajika sana (zisizotumiwa mara nyingi) katika teknolojia, kazi nyingi tofauti za trigonometric hazingeanzishwa.

Kwa mfano, cosine ya pembe ni sawa na sine ya pembe sawa na kuongeza ya (). Kwa kuongeza, kosine ya pembe inaweza kuonyeshwa kila wakati kupitia sine ya pembe sawa hadi kutia saini, kwa kutumia utambulisho wa msingi wa trigonometric (). Tanjiti ya pembe ni uwiano wa sine hadi kosine au kotangent iliyogeuzwa (Mchoro 2). Wengine hawatumii cotangent hata kidogo, wakiibadilisha na . Kwa hiyo, ni muhimu kuelewa na kuwa na uwezo wa kufanya kazi na kazi moja ya trigonometric.

Mchele. 2. Uhusiano kati ya kazi mbalimbali za trigonometric

Lakini kwa nini kazi kama hizo zilihitajika hata kidogo? Je, ni matatizo gani ya kimatendo wanayotumia kutatua? Hebu tuangalie mifano michache.

Watu wawili ( A Na KATIKA) kusukuma gari nje ya dimbwi (Mchoro 3). Binadamu KATIKA inaweza kusukuma gari upande, lakini hakuna uwezekano wa kusaidia A. Kwa upande mwingine, mwelekeo wa jitihada zake unaweza kuhama hatua kwa hatua (Mchoro 4).

Mchele. 3. KATIKA anasukuma gari pembeni

Mchele. 4. KATIKA huanza kubadilisha mwelekeo wa juhudi zake

Ni wazi kwamba jitihada zao zitakuwa na ufanisi zaidi wakati wa kusukuma gari kwa mwelekeo mmoja (Mchoro 5).

Mchele. 5. Mwelekeo wa pamoja wa ufanisi zaidi wa jitihada

Kiasi gani KATIKA husaidia kusukuma mashine kwa kiwango ambacho mwelekeo wa nguvu yake iko karibu na mwelekeo wa nguvu ambayo inafanya kazi A, ni kazi ya angle na inaonyeshwa kwa njia ya cosine yake (Mchoro 6).

Mchele. 6. Cosine kama sifa ya ufanisi wa juhudi KATIKA

Ikiwa tutazidisha ukubwa wa nguvu ambayo nayo KATIKA, kwenye cosine ya pembe, tunapata makadirio ya nguvu yake kwenye mwelekeo wa nguvu ambayo inafanya kazi. A. Karibu pembe kati ya mwelekeo wa nguvu ni , matokeo ya vitendo vya pamoja yatakuwa yenye ufanisi zaidi. A Na KATIKA(Mchoro 7). Ikiwa wanasukuma gari kwa nguvu sawa katika mwelekeo tofauti, gari itakaa mahali (Mchoro 8).

Mchele. 7. Ufanisi wa juhudi za pamoja A Na KATIKA

Mchele. 8. Mwelekeo wa kinyume wa nguvu A Na KATIKA

Ni muhimu kuelewa kwa nini tunaweza kuchukua nafasi ya pembe (mchango wake kwa matokeo ya mwisho) na cosine (au kazi nyingine ya trigonometric ya pembe). Kwa kweli, hii inafuata kutoka kwa mali hii ya pembetatu sawa. Kwa kuwa kwa kweli tunasema yafuatayo: angle inaweza kubadilishwa na uwiano wa namba mbili (upande-hypotenuse au upande-upande). Hii haitawezekana ikiwa, kwa mfano, kwa pembe sawa ya pembetatu tofauti za kulia uwiano huu ulikuwa tofauti (Mchoro 9).

Mchele. 9. Uwiano wa upande sawa katika pembetatu sawa

Kwa mfano, ikiwa uwiano na uwiano ulikuwa tofauti, basi hatukuweza kuanzisha kazi ya tangent, kwa kuwa kwa pembe sawa katika pembetatu tofauti za kulia tangent itakuwa tofauti. Lakini kwa sababu ya ukweli kwamba uwiano wa urefu wa miguu ya pembetatu sawa za kulia ni sawa, thamani ya kazi haitategemea pembetatu, ambayo ina maana kwamba pembe ya papo hapo na maadili ya kazi zake za trigonometric ni. moja kwa moja.

Tuseme tunajua urefu wa mti fulani (Mchoro 10). Jinsi ya kupima urefu wa jengo la karibu?

Mchele. 10. Mchoro wa hali ya mfano 2

Tunapata uhakika kwamba mstari unaotolewa kupitia hatua hii na juu ya nyumba itapita juu ya mti (Mchoro 11).

Mchele. 11. Mchoro wa suluhisho la tatizo la mfano 2

Tunaweza kupima umbali kutoka hatua hii hadi mti, umbali kutoka kwake hadi nyumba, na tunajua urefu wa mti. Kutoka kwa uwiano unaweza kupata urefu wa nyumba:.

Uwiano ni usawa wa uwiano wa nambari mbili. Katika kesi hii, usawa wa uwiano wa urefu wa miguu ya pembetatu sawa za kulia. Aidha, uwiano huu ni sawa na kipimo fulani cha pembe, ambacho kinaonyeshwa kwa njia ya kazi ya trigonometric (kwa ufafanuzi, hii ni tangent). Tunaona kwamba kwa kila pembe ya papo hapo thamani ya kazi yake ya trigonometric ni ya pekee. Hiyo ni, sine, cosine, tangent, cotangent ni kazi kweli, kwani kila pembe ya papo hapo inalingana na thamani moja ya kila moja yao. Kwa hivyo, zinaweza kuchunguzwa zaidi na mali zao kutumika. Thamani za kazi za trigonometric kwa pembe zote tayari zimehesabiwa na zinaweza kutumika (zinaweza kupatikana kutoka kwa meza za Bradis au kutumia kikokotoo chochote cha uhandisi). Lakini hatuwezi daima kutatua tatizo la kinyume (kwa mfano, kutumia thamani ya sine kurejesha kipimo cha pembe inayolingana nayo).

Hebu sine ya pembe fulani iwe sawa na au takriban (Mchoro 12). Ni pembe gani italingana na thamani hii ya sine? Bila shaka, tunaweza tena kutumia meza ya Bradis na kupata thamani fulani, lakini inageuka kuwa haitakuwa pekee (Mchoro 13).

Mchele. 12. Kupata pembe kwa thamani ya sine yake

Mchele. 13. Polysemy ya kazi za trigonometric inverse

Kwa hiyo, wakati wa kujenga upya thamani ya kazi ya trigonometric ya pembe, asili ya multivalued ya kazi za trigonometric inverse hutokea. Hili linaweza kuonekana kuwa gumu, lakini kwa kweli tunakabili hali kama hizo kila siku.

Ukifunika madirisha na hujui ni mwanga au giza nje, au ukijikuta upo pangoni, basi ukiamka ni vigumu kusema ni saa moja alasiri, usiku au siku iliyofuata (Mchoro 14). Kwa kweli, ukituuliza "Ni saa ngapi?", lazima tujibu kwa uaminifu: "Saa pamoja na kuzidishwa na wapi"

Mchele. 14. Mchoro wa polisemia kwa kutumia mfano wa saa

Tunaweza kuhitimisha kuwa hiki ni kipindi (muda ambao saa itaonyesha wakati sawa na sasa). Kazi za trigonometric pia zina vipindi: sine, cosine, nk. Hiyo ni, maadili yao yanarudiwa baada ya mabadiliko fulani katika hoja.

Ikiwa hakukuwa na mabadiliko ya mchana na usiku au mabadiliko ya misimu kwenye sayari, basi hatukuweza kutumia muda wa mara kwa mara. Baada ya yote, tunahesabu miaka tu kwa mpangilio wa kupanda, lakini siku zina masaa, na kila siku mpya kuhesabu huanza upya. Hali ni sawa na miezi: ikiwa ni Januari sasa, basi katika miezi michache Januari itakuja tena, nk. Marejeleo ya nje yanatusaidia kutumia kuhesabu muda mara kwa mara (saa, miezi), kwa mfano, mzunguko wa Dunia kuzunguka mhimili wake na mabadiliko ya nafasi ya Jua na Mwezi angani. Ikiwa Jua lilining'inia kila wakati katika nafasi sawa, basi kuhesabu wakati tungehesabu idadi ya sekunde (dakika) kutoka wakati hesabu hii ilipoanza. Tarehe na saa zinaweza kusomeka hivi: sekunde bilioni.

Hitimisho: hakuna ugumu katika suala la polysemy ya kazi za kinyume. Hakika, kunaweza kuwa na chaguzi wakati kwa sine sawa kuna maadili tofauti ya pembe (Mchoro 15).

Mchele. 15. Kurejesha pembe kutoka kwa thamani ya sine yake

Kawaida, wakati wa kutatua shida za vitendo, sisi hufanya kazi kila wakati katika safu ya kawaida kutoka hadi. Katika safu hii, kwa kila thamani ya kazi ya trigonometric kuna maadili mawili tu yanayolingana ya kipimo cha pembe.

Fikiria ukanda wa kusonga na pendulum kwa namna ya ndoo yenye shimo ambalo mchanga hutoka. Pendulum inazunguka, mkanda unasonga (Mchoro 16). Matokeo yake, mchanga utaacha ufuatiliaji kwa namna ya grafu ya kazi ya sine (au cosine), ambayo inaitwa wimbi la sine.

Kwa kweli, grafu za sine na cosine hutofautiana kutoka kwa kila mmoja tu katika hatua ya kumbukumbu (ikiwa unachora moja yao na kisha kufuta axes za kuratibu, hautaweza kuamua ni grafu gani iliyochorwa). Kwa hivyo, hakuna maana katika kuita grafu ya cosine grafu (kwa nini uje na jina tofauti kwa grafu sawa)?

Mchele. 16. Mchoro wa taarifa ya tatizo katika mfano 4

Grafu ya chaguo za kukokotoa pia inaweza kukusaidia kuelewa kwa nini vitendaji kinyume vitakuwa na thamani nyingi. Ikiwa thamani ya sine imewekwa, i.e. chora mstari wa moja kwa moja sambamba na mhimili wa abscissa, kisha kwenye makutano tunapata pointi zote ambazo sine ya pembe ni sawa na ile iliyotolewa. Ni wazi kuwa kutakuwa na idadi isiyo na kikomo ya alama kama hizo. Kama katika mfano na saa, ambapo thamani ya wakati ilitofautiana na , hapa tu thamani ya pembe itatofautiana na kiasi (Mchoro 17).

Mchele. 17. Mchoro wa polisemia kwa sine

Ikiwa tunazingatia mfano wa saa, basi hatua (mwisho wa saa) huzunguka mduara. Kazi za trigonometric zinaweza kufafanuliwa kwa njia ile ile - usizingatie pembe katika pembetatu ya kulia, lakini pembe kati ya radius ya mduara na mwelekeo mzuri wa mhimili. Idadi ya miduara ambayo hatua itapitia (tulikubali kuhesabu harakati saa moja kwa moja na ishara ya minus, na kinyume chake na ishara ya pamoja), hii ni kipindi (Mchoro 18).

Mchele. 18. Thamani ya sine kwenye duara

Kwa hivyo, kitendakazi cha kinyume kinafafanuliwa kipekee kwa muda fulani. Kwa muda huu, tunaweza kuhesabu maadili yake, na kupata mengine yote kutoka kwa maadili yaliyopatikana kwa kuongeza na kupunguza muda wa chaguo la kukokotoa.

Hebu tuangalie mfano mwingine wa kipindi. Gari linatembea kando ya barabara. Hebu fikiria kwamba gurudumu lake limeingia kwenye rangi au dimbwi. Alama za mara kwa mara kutoka kwa rangi au madimbwi kwenye barabara zinaweza kuonekana (Mchoro 19).

Mchele. 19. Mchoro wa kipindi

Kuna fomula nyingi za trigonometric katika kozi ya shule, lakini kwa kiasi kikubwa inatosha kukumbuka moja tu (Mchoro 20).

Mchele. 20. Fomula za Trigonometric

Fomula ya pembe mbili pia inaweza kutolewa kwa urahisi kutoka kwa sine ya jumla kwa kubadilisha (vivyo hivyo kwa cosine). Unaweza pia kupata fomula za bidhaa.

Kwa kweli, unahitaji kukumbuka kidogo sana, kwani kwa kutatua shida fomula hizi zenyewe zitakumbukwa. Kwa kweli, mtu atakuwa mvivu sana kuamua mengi, lakini basi hatahitaji mbinu hii, na kwa hivyo fomula zenyewe.

Na kwa kuwa fomula hazihitajiki, basi hakuna haja ya kuzikariri. Unahitaji tu kuelewa wazo kwamba kazi za trigonometric ni kazi ambazo hutumiwa kuhesabu, kwa mfano, madaraja. Karibu hakuna utaratibu unaweza kufanya bila matumizi yao na hesabu.

1. Swali mara nyingi hutokea ikiwa waya zinaweza kuwa sawa kabisa na ardhi. Jibu: hapana, hawawezi, kwa kuwa nguvu moja hutenda chini na wengine hufanya kwa sambamba - kamwe hawatasawazisha (Mchoro 21).

2. Swan, crayfish na pike huvuta mkokoteni katika ndege moja. Swan huruka kwa mwelekeo mmoja, crayfish huvuta kwa nyingine, na pike katika tatu (Mchoro 22). Nguvu zao zinaweza kusawazishwa. Usawazishaji huu unaweza kuhesabiwa kwa kutumia vitendaji vya trigonometric.

3. Daraja la kukaa kwa cable (Mchoro 23). Vitendo vya Trigonometric husaidia kuhesabu idadi ya nyaya, jinsi zinapaswa kuelekezwa na mvutano.

Mchele. 23. Daraja la kebo

Mchele. 24. "String Bridge"

Mchele. 25. Bolshoi Obukhovsky Bridge

Viungo vya tovuti ma-te-ri-a-lyInternetUrok

Hisabati daraja la 6:

Jiometri daraja la 8: